О потенциале простого слоя для параболической системы в классах Дини тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный университет имени М.В.Ломоносова

О ПОТЕНЦИАЛЕ ПРОСТОГО СЛОЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЙЙЫ В КЛАССАХ ЛИНИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Механико-математический факультет

На правах рукописй УДК 517.956.4

МАИСУН ЭЕИНЕДДШ

/

Москва - 1932

>

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Е.А.Бадерко Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, •

профессор Е.И.Моисеев доктор физико-математических наук, профессор А.П.Солдатов

Ведущая организация - Московский инженерно- физический институт

Защита диссертации.состоится 1992 г.

в 16 час С5 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.З.Ломоносова по адресу: 113839, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультэта МГУ С14 этаж).

Автореферат разослан " 1932 г.

Учёный секретарь специализированного ()

совета Д.053.05.04 при МГУ, д.ф.м.н.' ¿)\\.с)1.и ^

Т.П.Лукааенкс

Обаая характеристика работы Актуальность темы. Метод потенциалов - один из классических методов решения краезых задач для параболических уравнений и систем. Его основу составляет исследование гладкости потенциалов в различных функциональных пространствах, а также изучение разрважости соответствуете интегральных уравнения и систем, к которым сводятся поставленные краевые задачи. Изучение различных вопросов теории параболических потенциалов простого слоя, порождённых фундаментальные решением уравнен::;;, посвяцено большое число работ. Среди основополагающих в этой области отметим работы М.Жевре Cl], В.Погорельского [23, Л.И.Камынина 13,43-, Е.А.Бадерко 15,6].

» » »

[1] Gevrey M. Sur les équation aux derivees partielles du type parabolique .// J. Math. Pur. Appl. - 1C13. - Ser 6, V. 9, N4. - p. 305 - 471.

[23 Pcgorgelski W. Probleir.es aux limites pour l'équation parabolique normale // Ann. polor.. Math, - 1S57. - V. 4, N 1. - p. 110 - 123.

C3] Камынин Л.И. О гладкости тепловых потенциалов // Дифф. ур. -1S65. - Т.1, Й5. - с. 800 - S39.

[4] Какынин Л.И. К теории Кзвре для параболических потенциалов // Дифф. ур. - 1972. - Т. 8,ХЗ. С. 1015- 1025.

С03 Бадерко Е.А. 0 гладкост:-; 2л.- параболического потенциала простого слоя //Дифф. ур. - 1930. - Т.26. И. С. 3-10. С63 Бадерко Е.А. Краевые задачи для параболического уравнен/я и граничные интегральные уравнения // Диф£. ур. - 1Q93. - Т.28, ,41. - С.17-23.

Для одного параболического уравнения в работе Л. И. Камынина [7] изучена гладкость потенциала простого слоя в пространства* Дкни. Для параболической с;:сте:/.ы второго порядка, одномерно;: по пространственно:: переменной, з работа:: В.А.Тверитинова [8,9] исследована гладкость потенциала простого слоя в пространствам Гельдера. В настоящей диссертации изучается вопрос о переносе теории гладкости этого потенциала з топологически более слабые пространства Дики.

Цель работ:-:. Исследование гладкости в пространствах Дкк» потенциала простого слоя для параболических с/.стем второгс порядка, одномерных по пространственной переменной, и решен;« с его помоцьа втсгс;: краевой задачи для таких спсте.ч.

Нзу^'н'Чя ко*

1. Доказаны теор.-ма с предельных значениях нг кривой-носителе пространственно:; производной потенциала простогс слоя, лоролзёнксго фундаментальной матрицей решен:;:; лл: параболической систомы, и теорема о гладкости зтого потенциала ; пространстве Дин;:.

[7] Камынин Т.. И. О решении ¡.(отодсм пстс::ц:!алов основный красвы: задач для одномерного параболического уравнения Е-го порядка /-

УР- - 137; - Т. 13, .К'. - с. 80и-334.

[8] Тв?р::ти:-:ов В.А. О второй краевой задаче для параболичсч-ко; с::оте:.:ы с одной пространственной переменной // . ур. - .^ Т.23. - с. 2178-2179.

[9] Т£:ернти!!оз Б.А. О ро:дек.::; кзтодо;.; граничных интегралькы уравк'.,:-:1!й краевой задач:: для п^рвболич-: с.чоД ои-тс-;сл на г.лсскост. /V ур. - 1С5Э - Т. 23, Л.' - с. .174-1'/5.

2. Устанавливается теорема о классической разрешимости в пространстве Дини второй краевой задачи для параболической системы в полуограниченной области, при минимальном условии на боковую часть границы области.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Её результаты являются продвижением в области теории потенциала для параболических систем. Они могут найти применение в исследовании краевых задач для параболических уравнений и систем, в исследовании гладкост:: решений краевых задач. Они также могут служить теоретической основой исследований по численной реализации решений этих задач методом граничных интегральных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции в Алма-Ате (1991 г.), на • научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.

' Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведён в конце реферата.

Структура и объём диссертации. Работа состоит иэ введения, трёх глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы, содержащего 41 наименование. Обоий объём диссертации 89 стр.

Содержание диссертации.

Во введении показана актуальность работы, проьодится об^ор полученных ранее результатов по теме диссертации, даётся их краткий анализ, формулируются основные результаты диссертации.

В работе в евклидовом пространстве 0? переменных хД рассматривается равномерно параболическая по И.Г.Петровскому [10] система

д д

и—,— ;хД}иСх,1)=0 в О, С1)

&л дЬ

где

В: =<СхД): х е К , 0<КТ>, Т>0 фиксированное число; оператор

д 3 д д* д 1С —.—;;х.О:=Е--АСх.О- + ВСхД) — + ССхД),

ох ¿1 с1 д.1г ох

Е - единичная матрица, А(хД) = !|а. , ВСхД)=1!Ь ¡¡^ . 1

г " 1 1 . Л = I

ССх.О*]^ - матрица коэффициентов размерности КхН (N>1),

определённых в 0.

Под решением системы (1) в некоторой области О понимаем её классическое рогенге. а именно - функции и. имевши ]

5\1 д',: и

й непрерывные производные —, —-, (к=С,1,2), и удовлетворяемо I

51 да'

О системе (1).

Определение 1. Пусть - функция типа ьодул

непрерывности [113, удовлетворяемая условие

&Сх ) )

(Зе € (0,1), ЗОО), 0< —я*— < С —С2)

..Ь с

л л

I £

[103 Петровски.': И. Г. 0 проблеме Коаи г-г.я систем!: линейны уравнений с частными производными в области ксакалптичоекп функции// Еюлл. МГУ. - 1538 - сехц.А, Т. 1, вып. 7-е. 1-72. [113* Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительног переменного : Фноыатгиз, 1950.

для любых X >0.

I 2 _

Пространством Н°,0CD) называем линейное пространство непрерывных

в D функций и, для которых конечна величина:

- fo ,,•> |А, uCx.U I

Ju,D|| ■ : = Sup_|u(x,t)| + Sup _ —^-Г7Г +

Cx.tKD Cx,t),Cx.t+it)€D u iAt|'

|Д uCx.t)I Sup —*----

Сх.и.Сх+Лх.ОеО

Лх*0

Ка коэффициенты оператора I. накладываются условия: а) система С13 равномерно параболическая по Петровскому [10];. вЭ а^, Ь . с с Но'оС0), где и:[0,+ш)->Е - функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая условию С2) и

"Ш:= /у"сгу<+оо, СОО). СЗ)

О О

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В

ней построена фундаментальная матрица решений (ф.м.р.) для

параболической системы (1) методом Леви, а именно в виде:

ГСх, С;?,Т) =2Сх~5,+ ИСхЛ;{.тЭ, (4)

где 2 - фундаментальная матрица решений системы

<3и б2ц Е--А С?,х) - =0

Л <Эха

с матрицей коэффициентов, замороженных в точке С{,т), а нгорое слагаемое имеет вид: I

УСхЛ;?.г)= / / 2Сх-уЛ-Х;уД)С(уД;?,тЗ dy, т К

где матрица 0 находится из условия, чтобы фундаментальная матрица решения Г удовлетворяла по хД системе (1). Впервые ф.м.р. дл,>

системы (1) была построена в работе Г12]. методом Хопфа. В

диссертации построена ф.м.р. системы С1) классическим методом

Леви, т.е. тем-же методом, каким строятся ф.м.р. в случае

гельдерогых коэффициентов [13]. так как вид (4) для ф.м.р. более

удобен в дальнейшем для исследования потенциала простого слоя.

Во второй главе диссертации исследуется потенциал простого

слоя, порождённый ф.м.р. Ш и его гладкость в классах Дини:

А именно, в полосе С выделяется полуограниченная область

:= {СхД} € о I х>ХСО>

с негладкой, вообще говоря, боковой границей

£ := <(х,1) е й | х=Х(и>,

где X: [ ОД] -> К - нелрср^нчя функция.

Рассматриваем потенциал простого слоя для системы (1) I

[Мх.И: = / Г(хЛ;Х(т),х;уСт)бт, (Сх.О ¿С), (5)

0

где матричное ядро Г - ф.м.р. С4) системы (1). вектор-плотность . ...,»н) - непрерывная вектор-функция на [О,'Г]. На боковую границу 2 накладывается условие: с) (Д^СО! < С1ДЧ,/го С1ДМ1/г),

где о - функция типа . модуля непрерывности, удовлетворяющая условию (2) на Ю.Т] и условию Дини

1

и (1):= Г " Сх)х"'бх < +со. • •' 1

О

[12] Матийчук М.И.. Зйдельмак С.Д. О фундаментальных решениях ; задаче Кош:: Труды семинара по функциональному анализу, вып. 1 Воронеж, 1567. с. 04-83.

[131 Эйдельман С. Д. Параболические системы. М;: Мир. 1504.

Определение Пусть ог:[0,+со) -> (R - функция типа модуля 1епреривности, удовлетворявшая условию (2). Пространством í"i([0,TD называем линейное пространство непрерывных на Ю,Т1 вектор-функциП ,...,»„) с hodmoA

Ц»;[0,ТЗ D а = niax |yCt)| * Sup —i-Т7Г. (6)

tetO.T] t,t+üte[0,T]"»,:l¿Ll4 5

Д1*0

Если « € Н°аао.ТЗ) и »(03=0 то пишем: i € Н^аО.ТП.

о

Определение 3. Пусть о : [0. +оо) -> К, 1=3,4 - функции типа модуля непрерывности, удовлетворяющие условно (2). Пространством называем линейное пространство непрерывных в D+

о .

вектор-функций u=Cu ,....и ), для которых конечна величина

Uu.dV^'W-V] Sup

fcs0 Cx.tKD*

1 ■ #

a**

uCx.O

д

Д , — u(x,U яЛдх

IД. uCx.L) I

f Sup .—i---—+ Sup -—:

(x,t),Cx,l^t)6D+|AL|,/at>jC (At | ) (x, t). (x.L + 4t)|йх| +1Д11 5

Д1"0 1 (x+ux.t) E 0 1

|Ax|+|At| ">0

И, кроме того, u|L_g =0.

3u

Здесь и дальие под значениями производной — на кривой 7

дх

понимаетел её предельные значания "изнутри" области Dv.

Основным результатом второй главы является следусщая" Теорема L. Предположим, что для коэффициентов оператора L выполнены условия а) ив), а для кривой £ - условие с), и пусть о :[0,+oi) -> R функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая условии (2). Тогда оператор U, задаваемый формулой (5), есть

ограниченный оператор из пространства Н°а([0Д]) в пространство

Н^ЛСОЪ. где 0 % ^

О : =сЬ+о . о : =ош +о .

з > а « 1 а ,

При этом для любой непрерывной на [О,"Л вектор-ф^ИИЦШ ? ЯМеет место формула: д№1 1

- СХСО,и=— А_,СХС1).и»СО +

дк г

1 д

+ / — ГСХт,1;Х(т),тМт)с1т, а 6 [ОД]), о &

где А"'- матрица, обратная к А.

Как следует из работы Л.И.Камынина, Б.Н.Химченко [141. условие с) на боковую границу является минимальным для того, чтобы пространственная производная потенциала имела конечные предельные значения на этой кривой.

В третьей главе диссертации иллюстрируется возможности потенциала простого слоя в решении краевых задач для параболических систем в классах Дини на примере второй краевой задачи. А именно, ищется классическое решение краевой задачи: 1л = 0 в 0+ (7)

иСх.ОЗ-О х>ХС0) , (8)

¿>иСх,и

дх

= уСО , 0<13Т . (9)

х=-ХСО

(14] Камынин Л.И., Химченко Б.Н. Принцип максимума и локальные сценки Липшица вблизи боковой границы для решений параболического урагяенил /у - Сиб. мат. журнал - 1975 - т. 16. Кб - с. 1172-1187.

Доказана следующая

Теорема Предположим, что для коэффициентов оператора I. выполнены условия а) ив), а для боковой границы Е - условие с), и пусть о^.-СО, ю>) -> 0? - функция типа модуля непрерывности, удовлетворяющая условию (2). Тогда для любой вектор-функщи «С <= ([ОД]) решением задачи (7)-(9) является потенциал

о

простого слоя

иСхЛ)=1иЖх.О. ССх.О € 1)+), СЮ)

где вектор-функция у - есть решение системы граничных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода (см. (9)):

- СХи)Л)=уШ, а е 10Д]). (11)

дх

Решение (10) принадлежит пространству (Б4),

о

где

~ -V

Ы : =0 + о + о

и I У

н справедлива оценка: 1]а;П+1!(1'"и-ии)<С!;у;[0Д]В"у, с постоянной, не зависящей от у.

Как следует из работы [14], условие Дп;;и с), накладываемое на боковую границу ¿, является минимальным для суаестворания классического решения задачи (7)-(3).

Аьтср ьыражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доценту Елене Александровне Бадерко, за предложенную тему л постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Эейнеддин М. Потенциал простого слоя и вторая краевая' задача для параболической системы & ЛЯгсссзК //. Е

кн.: Краевые задачи и их спектральные вопросы дл) дифф. уравнений. Тезисы докладов Всесоюзной конф Алма-Ата. 1991. с.43.

В. Эейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя дл параболической системы второго порядка в класса Дини //рг.1 , в ВИНИТИ РАН.