О решении методом граничных интегральных уравнений краевых задач для линейных параболических уравнений произвольного порядка в нецилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННКЛ'УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.956.4

ЕАДЕРКО Елена Александровна

О РЕШЕНИИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИКТЕ1?АЛЪШХ УРАВНЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯЖА В НЕЦИЛИНДРИЧЗСКИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1892

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Прилепко, доктор физико-математических наук, профессор Е.В.Радкевич, доктор физико-математических наук, профессор А.П.Солдатов

Ведущая организация - Ташкентский государственный университет

Защита диссертации состоится 1Ь92 г.

в 15 час.30 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.37 при Московском государственном университете имени И.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва,Ленинские горы МГУ, 2 учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685. '•

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан

«В»

¿Гу^ 1992 г*

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.37 при М1У, доктор физико-математических наук, профессор

Е.И.МОИСЕЕВ

ОБЩАЯ .ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЙ

Актуальность темы. В слое D = IR"" х(0,Т), (Т > О фиксировгто) рассматривается равномерно-параболическое уравнение произвольного порядка 2 m(m. - натуральное)

Jf-u. = -м. + (-1) ^ Л (Р)'Э-ьс +

+ Zi а Л?)д1и =0-, (i)

lf l¿2 m -i 1 где P=(x,t Мое,,..., ос =СЭ ) -

1 Л n.

"пространственный" градиент, l =( i^)- мультииндекс,

a(P)6 = Ц Cl (P)6* ( G 6 *]R"■) - форма степени 2m. Ií)=2m 1

Вещественнозначные коэффициенты уравнения (i) удовлетворяют условиям:

(3S0 7 0) ( V РеЗ . УбеТ^), а(Р)6 0!б12™(2)

( 3 <*€(о.Ш , а, е с°,Ы (3 ) / I?! ¿ 2т). (з)

Для любой области П CR™ чеоез С ' (Q) обозначаем анизотропные пространства Гельдера (см. ГЛ),а именно, линейные пространства непрерывных в функций ,

[1]С.Д.Эйдельман.Параболические уравнения.В кн.:Итоги науки и техн.Сер.совр.пробл.мат.Фунд.напр.ВИНИТИ. IttOr.,T.63,c.20I-3í3.

имеющих непрерывные в П производные Q 'il ( J Л 4 к ),с нормой

|| и» an = £ { лаР № +

IMS к л

Кроме того, рассматриваем подпространства

Ск,<А(П.)= { <U£C s OL(oc,0)=0 ] .

о

В диссертация исследуется однозначная разрешимость (в

2m-i,dL

классическом смысле) в, пространствах С (О.) краевых

задач для уравнения (1) с порядками граничных операторов £ 2т-1 в нешшшдричбских, вообще говоря, областях, "боковин поверхность" которых может быть негладкой (not). Как, инструмент решения таких задач используется потенциал, обобщающий на случай произвольного т. классический параболический потенциал простого слоя, порожденный фундаментальным решением (ф.р.) , Использование этого потенциала

относится к методам теории потенциала, или, иначе говоря, к методам граничных интегральных уравнений,' поскольку смысл привлечения потенциала состоит в редукции краевой задачи к решению интегрального уравнения (системы) на границе области.

Исследование свойств одномерных (а =1) теплсЛых потенциалов (т.е. потенциалов для уравнения теплопроводности) и

-2-

приложение их к репениа краевых задач в областях с криволинейными боковыми границами было начато в IS07-I3rr. в классических работах Хольмгрена, Леви и «евре, см. [2],[3], [4J. Затеч в 1Ь34г. Г.ь'лнтц исследовал тепловые потенциалы для ri = 2,3, [5]. В 1938г. A.H.Thxqhob в своей глубокой работе [63 изучал тепловые потенциалы и разрелишсть краевых задач в многомерном случае п.»1. После построения фундаментальных решений для общих параболических уравнений 2-го

[2] E.Holmgren. Sur une application de l'équation de M.Vol-terra.Arc.Math.Astr.Fys.,v.3,N 12,1907. E.E.Levi.Su d'equazions del calore.Ann.mat.,ser.3,v. 14-, 1908,p.187-264.

[43 M.Gevrey.Sur lea êquatons aux dérivées partielles du type parabolique.J.Math.Pur.Appl.,ser.6,v.9,N 4,1913,p.305-471. 1Я г.Мюнтц.Интегральные уравнения,т.1.Л.-М.Гостехтеоретиз-дат,Ь34.

[б!А.Н.Тихонов.Об уравнении теплопроводности для нескольких переменкых.Бюлл.МГ/,секц.А,т.2,вып.9,1938, с.1-45.

порядка, как средство решения краевых задач для таких уравнений .стали использоваться параболические потенциалы, порожденные ф.р., см..например, работу А.А.Самарского £7}. Важную часть теории параболических потенциалов составили работы 60-х годов В.Погожельского, в которых исследовались свойства потенциала простого слоя в многомерных цилиндрических областях. В [83 эти результаты использовались им для решения краевых задач, а затем были обобщены А.Пискорекоы на случай нецилиндрических областей,см. £3]. Дальнейшее развитие теория параболических потенциалов получила в 70-80гг. В работах Ван Туна изучалась гладкость те;плозых потенциалов в одномерном случае, а также рассматривались некоторые свойства поверхностных потенциалов, см. [10]. В серии работ

[7]А.А.0амарский.УравнениЛ параболического типа с.разрывными коэффиционташ.ДАН СССР,т. 121,JÉ2,1958,с.225-228. [81 Pogorgelaki.Problèmes aux limites pour l'équation parabolique normale.Ann.Fol.Math. ,v.4-,N 1,1957»P» 110-126. l9}A.Piscorek.Sur certains problèmes aux limites pour

l'équation parabolique dans un domaine non cylindrique. Ann.Pol.Math. ,v.16,N 1,1964-, p. 101-116. [10} Ван Тун,Пространства д теор^ твплового потен_

ци ала.Канд.дисс.М.,1964.

Л.И.Камынина (см..например, [Ш) исследовалась гладкость то иловых потенциалов в общем случае нецилиндрических поверхностей-носителей. В 1571-72гг. Л.И.Камынин построил систематическую теорию гладкости параболических потенциалов для одномерного параболического уравнения о негладкими кривыми-носителями, см. [12Л. В работах автора был построен обобщенный потенциал простого слоя для одномерного параболического уравнения порядка 2«л и использован в [13] для решения краевых задач в областях с негладкими, вообще говоря, боковыми границами.

В случае одной пространственной переменной ( п =1) с помощью потенциала простого слоя в существующей научной литературе решаются как первая, так и вторая краевые задача для параболического уравнения второго порядка (пг=1). При этом вторая краевая задача сразу редуцируется к интегральному уравнениюВольтерра второго рода о ядром, имеющим слабую

[ЛЗЛ.И.Камынян.О гладкости тепловых потенциалов.Диф.ур.,

т.4,1968,с. 881-895. [123Л.И.Камынин. К теории Яевре для параболических потенциалов.Диф.ур. , т. 8, .46,1972, с. 1015-1025. [ШЕ.А.Бадерко. О разрешимости граничных задач для параболических уравнений высокого порядка в областях с криволинейными боковыми границами.Дифф.ур.,т.12,МО,1976,с.1781-1792.

особенность, которое лепсо решается методом последовательных приближений. Первая краевая задача редуцируется к уравнению первого рода, которое с помощью дифференцирования порядка 1/2 приводится к эквивалентному уравнению второго рода с ядром, имеющим слабую особенность.

В случае-же многих пространственных переменных (п> 2) применение потенциала простого слоя ограничивается лишь второй краевой задачей, когда на боковой границе задаются значения производной решения по конормали. Такое сильное сужение сферы использования потенциала простого слоя объясняется тем, что первая краевая задача редуцируетЬя с его помощью к интегральному уравнению первого рода, а задача с наклонней производной - к уравнению хотя и второго рода, однако - с ядром, не являющимся .вообще говоря, абсолютно интегрируемым (кроме случай второй краевой задачи). Исследование этих интегральных уравнений оказалось более трудной задачей, чек аналогичный вопрос в одномерном (п.=1) случае. Для общего уравнения (л) порядка 2т к этому добавляется необходимость подходящего выбора ядра для потенциала и решения не одного, а системы интегральных уравнений, если т. у/2.

В диссертации вводится обобщенный потенциал простого слоя для уравнения (1), а затем исследуется однозначная разрешимость систем интегральных уравнений, к которым, посредством этого потенциала, редуцируются краевые задачи для уравнения (1) в общем случае гг уЛ, т. 7/1, Введенный потенциал при па =1 совпадает с классическим потенциалом простого слоя, порожденным ф.р.

цель работы. I) Построение обобщенного потенциала проито го слоя для уравнения (I) и исследование его гладкости .

2) Решение интегральных уравнений (систем), к которым ре-дуцирупТ'-ч краевые задачи для уравнения (I).

3) Установление существования и .единственности решения

краевых задач для уравнения (I) в пространствах С (П),

Общая методика исследования. Для изучения потенциала простого слоя автором разработан метод, ко'^рый дает новые результаты (при т 7/2), а также упрощает доказательство известных фактов ( пг=1).

Автором в многомерном случае ( а 7/ 2) разработан метод решения систем интегральных уравнения типа Вольте.ра (первого и второго рода), к которым редуцируются параболические краевые задачи.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим их.

1) Введен и исследован в пространствах Гельдера потенциал для уравнения (1), совпадающий при т =1' о классическим параболическим потенциалом простого слоя, порожденным ф.р.

2) Исследована однозначная разрешимость систем граничных интегральных уравнений, к которым, посредством введенного потенциала, редуцируются линейные краевые задачи для уравнения (1) с порядками граничных операторов * 2т -I.

3)Доказана однозначная разрешимость в классах Гельдера краевых задач для уравнения (1) в нецилиндрических областях.

*Приложения. Работа носкт теоретический характер. Ее результаты и методы мо1"ут найти применение в дальнейших исследованиях различных задач для параболических уравнений и систем, линейных и нелинейных. Она может служить теоретической основой для численных исследований задач тепло- и массопере-носа методами граничных интегральных уравнения (граничных элементов).

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах на фа*, культете вычислительной математики и кибернетики к механико-математическом факультете М1У, в математическом институте им.В.А.Стеклова РАН и в его Петербургском отделении. О результатах диссертации делались доклады на всесоюзных конференциях по уравнениям с частными производными им.И.Г.Петровского (Москва) в 1985,1987,1983 и 1991гг., на международной конференции "Новейшие достижения советских математичес-, ких школ"(Будапешт, 1987г.), на всесоюзной школе ".функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент,1988г.), на всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям (Ашхабад,1990г.) и краевым задача;.! для дифференциальных уравнений (Алма-Ата,1991г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [[3 - [8], приведенных в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех частей, заключающих в себе 31 параграф. Общий объем диссертации 211 стр. Список литературы содержит 105 названии

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ.

Во введения диссертация изложена рассматриваемая в не;1 проблематика и дан исторический обзор результатов, связанных о темой диссертации.

В части 1 "Обобщенный параболически', потенциал проьто--го слоя" вводится указанный в заголовке потенциал и исследуется его гладкость в пространствах Гельдера.

В слое рассматриваем область а (см.рис.1), у которой граница

= П с/Л. 0 2. ,

(0)

(Т)

рис

где область

(о)

на плоскости 1= О,

_ _ г».

область С 1К. (Т)

на плоскости 1 = Т, 21 п.-мерная поверхность (с краем),.Сечение = £ Л ,

для любых "С е. [0>т3 • является (г\.-1)-мерной поверхностью, которая в каждой своей точке имеет касательную плоскость, лежащую в плоскости t=1 .В каждой точке -9-

Р° = ("х0, t0) е существует вектор который явля-

ется ортом внутренней (по отношению к Л ) нормали в точке

Р° к поверхности 2 „ , лежащей в плоскости 1 =>

Систему координат (я|4.....^ в ортонормировани05* б®-1

зиое { в , С Л4|]о началом в точке (ос°,0),у кото-

рого (Р°), называем Р°-системой координат. Полагаем

В(Р°,с1)о( (у'.!) ^""^(о.Т): + Ц-г°1 1/2тЫ]

( = ( .....^ л-1 ), У 0).

Пусть £ 2гл-1. Если существует о такое, что

каждая точка Р°е 2 имеет окрестность 0(Р°) со свойством:

2 А 0(Р°)

где а (• ;Р°) 6 С ^ (В(Р°, сО) и

С ( I 'с* )

^ар || о(. ;Р0)}В(Р°,с1)11 <> ' с * со , Р°«£ <3

о I

то говорим, что 2-1 принадлежит классу Гельдера С

В первой части предполагается, что

2 € С . . <4>

Для любого Яё (0, ^/2) можно выбрать (ср. о [143 ) конечное или счетное (для некомпактной И ) множество

(Н]В.А.Солонш1ков.О краевых задачах для линей:шх'~ларабсли-ческих систем дифференциальных уравнений общего вида. Тр.мат.ин-та 1га.В.А.Стеклова,т.83,4.3,1965. -10-

точек ■[ Р еИ ] и число £ у 0 такие, что области, описывающиеся в Р -системе координат в виде

со^ = { € Тйп+1:( В(рк .Я),

^ Я} у =1.2),

: ъ^р \ "О "а с • ~р ) ^ 1

к. °

обладают свойства!®:

и Л (РеО: М<х-х°1 +и-1°1 1/1

к 1 Р°с2

и существует такое число М , не зависящее от ^ , что пересе-

к , Ь

чение любых М+1 областей ^ 2 пусто. Пусть ]-сист

гема

_ п+1

бесконечно дифференцируемых в уч функций, обладающих

к к к к к

свойствами? 0 5 с* $1, с* =1в ^ . ^рр си52 •

полагаем

(Ъ(Р;<2)= И ¿(Р)Ла) I 2йр)У1/г 1 к </

Уравнение (I) имеет (см. [15]) ф.р,

Г0(Р;0) -(V 0 + 0У(Р;а> ,

где V 0(Р;0) =

(2ТГ)"1 ^ лвхр{ 1(х-5 )6 -а«2)е(*:-1)№б ( )

О ( 1: ^ ),

р^А.Фридман.Уравнения с частными производша;я параболического типа. М. ,.7лр,1^68. _|Т_

W0(P;Q) = iV0(P;A)jw0(A;Q)dA .

(CP,Q.) = ((oc,t ),0E ."c )) e "3 xj> ). JA 0 находится из

условия .чтобы Г0 удовлетворяла по переменной-Р уравнению

(1). Рассматриваем числа

\= ы " s (s =0.....m-I),

m

где cl из услоь.л (3), и полагаем для s =1,...,п\-1(если

гь(Ргй) = (Vb+Ws)(P;Q),

где VS(P;Q) =

c + CK>

= ^>(P;Q )Г~ ) 0 Я.

W" (P;Q)=-5 Г0(Р;А)[ ¿f VjAsQ)] ¿Л , Л A

((P,Q)e fr x S ).

Пусть

r(P;Q) = (Г0,..., rm_I)(P;Q),((P;Q) с П. xS \

Интеграл

UH'(P) -- S r(PjQ). Ч»(а)о(бЛ , (Pc Л ), (5)

называем обобщенным параболичеоким потенциалом простого слоя с векторным ядром Г, вектор-плотностью V »

0,..., vp _А) и поверхностью-носителем . Интеграл

понимается как повторный: \ = \ d% \

£ 0 2«

-12-

Рассматривается линейное пространство вектор-функций, определенных на 2 :

Л т"Х О.Л-Л 0

= П с (2 ).

s =0 о

Через С ^ р ( Г1 ) обозначаем пространство непрерывных в Q функций, обладающих свойством:

( Vil''ecft) ( 3 p»«(0,D), Лир < + оо

1 II'

(область О с с li <=> fl ограничена и Основной результат первой части составляет

Теорема I. Если для коэффициентов оператора ¿£ выполнены условия (2),(3) и для поверхности S - условие (4), то:

1)оператор IL , задаваемый формулой (5), есть ограничен-

¿s 2m-I,А

.ный оператор из х в С , ( kl);

о

2)(V4'e<î>) -э'^еС . ( П ) .если Ш =2 m .

ОС , IOC

Введение потенциала простого слоя по формуле (5) и теорема J. представляют собой новый результат для , ц?/2, т?/2. , Свойства потенциала простого слоя в случае m =1 рассматривались ранее в работах Хольмгрена, Жевре, Тихонова, Пого-яельского, Камынина и др.(см. также Q6J). Теорема 1 совпадает с полученными в них результатами, если m =1 и Ц компактна. Если некомпактна, то утверждение теоремы

[1б)М.<э.Черепова.Решение задачи Еицадзе-С&'/арского для параболического уравнения в непилиндркческой*области. Канд.дпсс.М.,1^87.

является! новым и в случае т =1 .

В части 2 "Система граничных интегральных уравнений" на "боковой поверхности" £ области Л . описанной выше (ом. рис.1), рассматривается система интегральных уравнений, к которой, посредством введенного потенциала (5), редуцируются краевые задачи для уравнения (1).

Пусть компоненты векторного оператора

действуют на функции и , определенные в Л , по правилам:

£

.0Ъ.<и(Р>=£! & . . (Р)'Э и , (I =о.....т-1,Р«2) (6)

где 04 10< ... сЧт_1$2т-1. Предполагается, что для вещественнозначных коэффициентов оператора выполняются: условие дополнительности (см. [Д , ) (7).

и

с С2Ж"1"Ч1,Ы(2 ) (¿=О.....т-1,1М$1.).(8)

Во второй части предполагается, что

„ 2т-1-1 ,о( , ,, ,

£ С С ,Х = т»л{10, 2т-^(9)

Наряду с рассматриваем пространство

т-х 2т-1-ч. ,«*

Т= П й (£>.

Из теореш I вытекает, что, при условиях (2),(3),(8) и (9), произведение ЗУМ, задающееся формулами (5),(6), есть ограниченный оператор из ^ в"^ . Основным результатом второй части является

Теорема 2. Если для оператора о? выполнены условия (2),(3), для оператооа - условия (7),(8) и для повери-' . . -[4-

ности 21 - условие (9), то оператор ЗЬИ имеет

ограниченный обратный.

Сформулированная теорема известна в следующих случаях:

1)Гс =1 (Хольмгрен, Невре, Камынин и др.);

2) п. у/ 2, т=1, &(Р)'Э'м -производи?" по конормали (т.е. граничный оператор поротдается второй краевой задачей) и £ компактна (Погожельский, Пискорек, Камынин и др.);

3) п.7,2 =1# ¿'Эк =01 ( юрождается первой краевой задачей) - результат автора [17} для полуограниченной области с негладкой боковой границей специального вида обобщен в [16] на случай общей поверхности 2 (компактной).

Т.о., теорема 2 представлвят собой новый результат для любых п.у,2, т7/1, за исключением указанных частных случаев.

Основной элемент в доказательстве теоремы 2 составляет построение специального интегро-дифференциального оператора, действие которого на обе части системы «¿В И1? =4* преобразует ее к эквивалентной системе уравнений второго рода с ядрами, тлеющими слабую особенность.

В третьей части "Краевые задачи" снова рассматривается область £1 с "боковой границей"2 общего вида,'описанного выше (см.рис.1). Ставится задача отыскания решения (в классическом смысле) уравнения

= ] в а , (ю)

с начальным условием

ас = к на П(0) > (II)

р^Е.А.Бадерко.О решении первой краевой задачи для параболических уравнений с помощью потенциала простого слоя.

ДА7 СССР, т. 283, М, 1985, с. 11-13.

-15-

и граничным условием

¿bu= Y на Z , (12)

при естественном условии согласования

= V на £ 0. (13)'

Наряду о ( Ö), рассматривается условие i

¿í С . (14)

Для "снятия" правых частей в (IÖ) и (11) попользуются известные (см. [l4j , Q.8J) потенциалы : объемный V^ (Р)»

= ^ r(P;Q)$ (Q)olQ и - типа Пуасоона V0k(P) « ID °

= L-KP|U,0))Uí . TR" с

Содержание третьей части ооотавляет доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Если для операторов о£ , &Ь а поверхности 2 выполнены условия теоремы 2, то:

1) для любых С0»** (7> ), k е e2m"ll*(1Kn)l

. 01-1 2m-í-t,,A

т € П С (¿¡ ), удовлетворяющих (14), ро-

1=0

шением задачи (Ю)-(12) являетоя сумма потенциалов

ai = + V0 к ,

где

H = iJbV.)'1 (V -&V0k -&VJ>.

(l83e.Ame8e.Su alcune propietà dell'integrale dl Foieaon relativo ad equazione parabólica di ordine 2/na coefficien-ti non constant!.Ann.mat.pura ed appl.tv.91,'197/1»P.1-l6.

-16-

Это решение принадлежит С (í¿ ) и справедлива оценка

• |1<Ц;Ш1 Í С \ гпачсН^;!,!» 1 +

* 1фЗ>П llk;TRWH }.

Кроме того,

Vn €С , (П), (Ifl =2гт>). (15)

•X » fot

2) Если поверхность 2j удовлетворяет (14)^и

2т-1,с< —

1А& С ( LI) - решение задачи (ÍO)-(i2) при i- = О,

К = О» н 0, обладающее свойством (15), то И. =. О в Л.

Если усилить требования на данные задачи: коэффициенты -

операторов ,$b¿ и граничные функции с С '' (2),

I 2т, Ы - _ 2т,d

начальная функция К с С (TR ), поверхность £> е С ,

то нз основополагающих результатов В.А.Солонникова [J43 ,

С.Д.Зйдельмана.см. [i], для задачи (10)-(12) вытекает сущест-

2rr«,ol к .

вование и единственность решения W е С (11). Отметим еще глубокую работу О.А.Олейник и Е.В.Радкевича[1$[[,в. которой исследуетоя.единственность в классах растущих функций для решений параболических систем. Условия теоремы 3 (например, возможная негладкость £ ) не позволяют непосредственно обратиться к методам этих классических работ.

Утверждение I) теоремы 3(существование) известно:

pv] О.А.Олейник,Е.В.Радкевич.Метод введения параметра для

для исследования эволюционных уравнений.Успехи мзт.нзук, T.7I3,/é5,iü78,c.7-76. . _г7_

1) в случав а =1 ( работы Л.И.Камынина,еслит =1 и - автора,если ^>/2);

2) в случае п -у, 2, m =1 и компактной £)

- лия периой краевой задачи (см. [161 , где•обобщается результат автора (17)},

- для задачи с наклонной производной, см. [<¡03 ( в [20] используется потенциал Паньи, независимо в работе автора(T2Ü решение устанавливается в виде потенциала простого слоя).

Т.о., 1-е утверждение составляет новый результат при п -7/ 2 в случаях:

1)m =1, ¿J некомпактна;

2)т =1,2 компактна - для задачи о наклонной производной дается новый метод решения с помощью потенциала простого слоя; для первой краевой задачи разработана оонова метода;

3) m >/ -¿ .

Для уравнения второго порядка единственность решения является хорошо известным фактом, вытекающим из принципа максимума,см. .например, £223 . В случае m?/<¡ утверждение

^2©Л.И.Камынин.Приложения параболических потенциалов

Паньи к краевым задачам математической физики.Дифф.ур., т. 27,]йЗ, 1990, о. 487-296.

[2^Е.А.Бадерко.Решение задачи с косой производной для параболического уравнения методом граничных интегральных уравнений.Дифф.ур.,т.25, КЗ,19 89,с.14-20.

С2?Зл.И.Камынин.О единственности решения первой краевой задачи в неограниченной области для параболического уравнения второго порядка.Нурн.выч.иат.и ыат.6из,т.24,&}, 1984,с.1331-134 5.

2) теоремы 3 составляет новый результат (в том лсле, для П. =1) при сформулированных условиях на коэффициенты задачи и поверхность £ .

Теорема существования получается в третьей части как простое следствие результатов первых двух частей. Затем доказывается теорема единственности, при эти.л снова используются результаты частей 1 и 2.

публикации по теме ;.:ссертации

1. Е.А.Бадерко.О решении первой краевой задачи для парабо-^ лических уравнений о помощью потенциала простого слоя. ДАН СССР,Т.283.М,1985,0.11-13.

2. Е.А.Бадерко.О"почти!'модельной. краевой задачи для параболического уравнения высокого порядка.Дифф.ур.,т.23, М, 1987, с. 22-29.

3. Е.А.Бадерко.Кетод теории потенциала в краевых задачах для 2 т -параболических уравнений в полу ограниченной области о негладкой боковой границей. Дифф.ур.,т.24, И, 1988,с.3-9.

4. Е.А.Бадерко. Решение задачи с косой производной-для

• параболического уравнения методом граничных интегральных уравнений. Дифф.ур.,т.25,с,14-20.

5. Е.А.Бадерко.О гладкости 2т-параболического потенциала простого слоя. Дифф.ур.,т.26,.'¿1,1990,с.3-10.

6. Е.А.Бадерко.О параболической краевой задаче в области простого вида. Дифф.ур.,т.27,й1,1991,с.17-2й.

7. Е.А.Бадврко. О единственности решения краевой задачи для 2т-параболичеоких уравнений. В кн.:Ди$ференц.уравн. и оптта.упр." Тез.докл. Всосоюзн.конф. Ашхабад, 1990, с.29-31.

8. Е.А.Бадерко. Краевые задачи для параболического уравне-,: ния и граничные интегральные уравнения. Дифф.ур.,т.28, Ж, 1992, с. 17-23.

Сдано в набор 22.06.92. Формат 60x84 1/16

Усл.-печ.л. 1,5. Заказ К 1042. Тирах 100 экз.

Типография 151 КГ а