О приближенном решении ypaвнений Коши-Римана и об определениях собственных значений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г 5 ОД

3 Ма!1 Государственный Национальный Университет

имени Лль-Фараби

На правах рукописи

ИМАНБАЕВ НУРЛАН САЙРАМОВИЧ

О приближенном решении уравнении Коши-Римана и об определении их собственных значений

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казахский Государственный Национальный Университет имени Аль-Фараби

На правах рукописи

ИМАНБАЕВ НУРЛАН САЙРАМОВИЧ

О приближенном решении уравнении Коши-Римана и об определении их собственных значений

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических нау

Работа выполнена на кафедре математического анализа 1 Алматинского Государственного Университета имени Абая

Научные руководители: кандидат физико-математических1

наук, доцент Токибетов Ж.А., 1 ; кандидат физико-математических;

• наук, доцент Кангужин Б.Е.

г »

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Тунгатаров А.Б.(КазГАУ)., кандидат физико-математических наук, доцент Елдесбаев Т. (КазГУ им. Аль-Фараби).

Ведущая организация: Институт математики МН-АН. РК.

15"

Защита состоится « 1Н » сМО Л 199 г. в { Ъ на заседании диссертационного совета К14/А.01.05. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском Государственном Национальном Университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, Алматы, ул.Масанчи 39/47 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ имени Аль-Фараби.

Автореферат разослан «|0 »<3иРЕЛА 199-^ года

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук, доцент <у/Биадилов Н.Б.

Актуальность темы.

В последние годы все большее внимание математиков уделяется задачам для уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.

Этот интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и возможностями важных приложений. Подобные граничные условия возникают при математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, теплопроводности, излучения лазера, прогнозирования почвенной влаги, при изучении процессов размножения клеток, бактерий и т.п. В некоторых случаях (физика сверхпроводников, радиационный перенос, процессы распространения загрязнение воды в биосфере, демография, популяционная генетика и др. биологические проблемы) граничные условия имеют интегральную форму, легко приводящуюся к обсуждаемому виду.

Простейшие примеры указанных краевых условий, возникающих в теплопроводности, были сформулированы В.А.Стекловым (1922г.), а в газовой динамике - Ф.И.Франклем (1956г.). А.М.Нахушевым в 1969г. были поставлены и изучены сразу несколько задач данного типа, а для их названия предложен термин «со смещением». В том же 1969г. появилась статья А.В.Бицадзе и А.А.Самарского, где впервые исследована задача «со смещением во внутрь области». Содержание последних публикаций привело к осознанию качественной новизны краевых задач со смещениями для теории дифференциальных уравнений в частных производных. Обилие публикаций, где изучаются все более общие ситуации, производит иногда впечатление, что теория краевых задач «со смещением» уже завершена. Здесь, однако, имеется

ряд менее изученных, но важных вопросов, в частности задача о собственных значениях или об их аналитическом описании с помощью, например, асимптотических разложений. Применяемые сейчас методы функционального анализа| и метод сведения к модельным уравнениям путем интегральных

I ;

преобразований недостаточны для того, чтобы получить такую детальную информацию. >

ф другой стороны, вряд ли можно надеяться получить, например, решение задачи на собственные значения для дифференциальных уравнений с частными производными в столь же явном виде, как это было сделано в аналогичной ситуации для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общность перечисленных выше вопросов для уравнений с частными производными вынуждает в дальнейшем наложить на изучаемые операторы ряд весьма жестких ограничений. Выяснение правильных постановок задач и исследование специфических свойств решений для «неклассических» уравнений удобно начинать с рассмотрения идеализированных моделей, например, с рассмотрения уравнений с постоянными коэффициентами.

Цель работы.

1. Исследование неоднородной краевой задачи со смещением для уравнения Коши-Римана с параметром X

дсо

= Ла + /(г), |г|<1,

Яе<у(г) = Яе

1 , Я®(0 + /(0

I

1-2

Л

Ла(0 + Л0

/

а

2. Приближенное решение вышеуказанной краевой задачи.

Методика исследования. Широко использованы методы краевых задач, теории функций комплексного переменного и сингулярных интегральных уравнений, с помощью которых переформулированы соответствующие положения к более естественной для имеющейся ситуации форме и дополнены новыми фактами, не вытекающими непосредственно из известных теорий. Доказательства отдельных теорем основаны на результатах И.А.Акбергенова, связанных с аппроксимациями интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Научная новизна.

В работе получены условия на параметр А, при которых рассматриваемая задача нётерова в соответствующем функциональном пространстве, т.е. получен аналог условия Лопатинского для случая нелокальных граничных задач.

Разработаны методы редукции краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям или к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

Получены формулы, характеризующие приближенную структуру решения краевой задачи со смещением.

Доказано существование счетного числа нулей одного класса целых функций, имеющих интегральное представление, найдена их асимптотика с указанием остаточного члена.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. В ней дается систематическое

i 1 ''

развитие! идеи смещений в краевых условиях для уравнения Коши-Римана.

I i

Используемая методика позволила свести исходную задачу к уравнению Фредгольма второго рода с конечномерным ядром, что эквивалентно решерию

конечно t системы линейных алгебраических уравнений. j

j

Апробаг ия работы. j

Основные результаты диссертации но мере их получения обсуждались на кафедре математического анализа Алматинского государственного университета имени Абая. Отдельные результаты диссертации сообщались на научно-исследовательских семинарах КазГУ имени Аль-Фараби, АГУ имени Абая и Института математики Министерства Науки - Академии Наук PK. Кроме того, автор выступил с докладом на конференциях посвященных 60-летию профессора К.Ж.Наурызбаева (КазГАСА, г.Алматы, 1994г.), Член-корреспондента HAH. PK, д.ф.-м.н., профессора К.А.Касымова (КазГУ им.Аль-Фараби, г.Алматы, 1995г.), на международной математической конференции посвященной 30-летию Актюбинского педагогического института им.К.Жубанова (г.Актюбинск, 23-24 мая, 1996г.), на 1-ом Съезде математиков Казахстана (Южно-Каз. Технич. Университет, г.Шымкент, 11-14 сентября 1996г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. К совместным работам прилагаются справки о личном вкладе автора диссертации.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на восемь параграфов.

Список литературы содержит 34 названия.

Объем диссертации её страниц.

Содержание работы.

Во введении даны постановки задач, приведены основные результаты и указаны связи с исследованиями других авторов.

В параграфе 1 первой главы дается описание общих регулярных краевых задач для дифференциального выражения Коши-Римана, при этом используется аппарат разработанный Дж.Ф. Нейманом, М.И. Вишиком, М. Отелбаевым, A.A. Дезиным. Приведенные задачи носят нелокальный характер и подобные задачи для операции Коши-Римап С1 впервые описаны в1982году М. Отелбаевым, А.Н. Шыныбековым [1]. Заметим, что в работе [1] имеются некоторые неточности, которые нами устранены.

Сформулируем уточненный результат 1.1.

В функциональном пространстве рассмотрим операторы К,

порождаемые дифференциальной операцией Коши-Римана

cz

где

д 1( д .8

на множестве

Считаем, что оператор К имеет непустое резольвентное множество. Не

I !

умоляя общности, предлагаем, что

операторов {ЛГ} со свойством (1):

Теорема 1.1.1. (глава 1 1, теорема 1). Для каждого линейного оператора К с условием (1) найдется ограниченный оператор (7 , переводящий непрерывные в круге 51 функции в голоморфные, у которых мнимая часть при г = 0 равна нулю, а также ограниченный функционал 5 на множестве непрерывных функций в круге |г|<1, которые однозначно определяют область определения оператора К по формуле

Оер(К),

О)

где | р(АТ) - резольвентное множество оператора К, то есть существует ограниченный оператор В работе [1] полностью описано множество

Л(А') = {«(2)еС(Н< 1), ^бС(|г|<1),

11е<»(2)= ЯеС

Ш Н-.

Обратно пара С и 5 определяет К, для которого верно (1).

В этой постановке содержатся в качестве частных случаев большинство задач, изученных для рассматриваемого модельного уравнения ранее.

В следующем параграфе первой главы дается постановка задачи на собственные значения для операторов вида К.

Приведенная задача требует исследования спектра эллиптических операторов. Наиболее глубокие результаты в этой проблематике имеют украинские математики [2].

В общем случае, спектр эллиптического оператора существенно определяется спектральными свойствами граничного оператора. Однако выяснение зависимости спектра оператора К в исходных терминах граничных условий представляет актуальную (нерешенную) проблему. Из общих результатов подобные факты не прослеживаются, поэтому приходится привлекать более глубокие методы, связанные со спецификой конкретных краевых условий.

В качестве конкретных краевых условий в параграфе 3 главы 1 выбрана граничная пара

2я

«Л-5Ч щи.

1<И

Тогда задача на собственные значения примет вид

) I

Ке«(г) = 11е— < Ы = 1, (3)

Мф(.0) = М— | ^-Л, I (4)

2т ^ I !

ксгфрая редуцирована к сингулярному интегральному уравнению. Этот факт

сформулирован в следующей теореме. I

I !

I Теорема 1.3.1. Решение задачи (2), (3), (4) определяется по формуле

| |

! со(г) =-е ( и(г)~--+ ¡Се ,

2т |(|=1 / - г I

причем для вещественной функции и (г) на окружности = 1 справедливо следующее сингулярное интегральное уравнение

|<|=|' ~ 2 |/|=1

где

Т(г,0 =

1 I 2лг/

4л-(1

е** -е^ -Л-Л + -^{ме* -Яг<^)- - Щ

--- + & - + Я - я) - + Я - я)

- ЯеЯ) ^ 2 2 у Л /

Константа С из общего решения представима при ЯеА ^ 1 в виде

С =--- I ит — (ЛеЪ -кеа +Л-Л),

Щ-ИеЛ)^ V/1

Отметим, что Т(г, X) - непрерывное ядро.

Таким образом, основная проблема в нахождении решении сингулярного интегрального уравнения.

В параграфе 5 главы 1 найдено условие нетеровости , полученного сингулярного интегрального уравнения для и (¡). Таким образом, найден аналог условия Лопатинского для случая нелокальных граничных задач.

Теорема 1.5.1. Сингулярное интегральное уравнение для II (I) нетерово при условии, когда Яе А # 0. Больше того, индекс нетера равен нулю при ЯеЯ^ 0.

В параграфе 5 главы 1 на основе теоремы С.Г. Михлина [3] осуществлена регуляризация сингулярного интегрального уравнения и выписано эквивалентное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром.

Теорема 1.6.1. Пусть ИеЯ^О , Яе А ^ 1. Тогда сингулярное интегральное уравнение для и (I) из теоремы 1.3.1 эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода

(а2(2)-62(г))с/(г)+ = (5)

¡'¡=1

где

1 ем - 1 еЪ -еЪ -

я (2,0 = г£т£-—(26(2) + + -— (А - 2Ж*) +

2 т I-г 2яз г~г

а ,¿(2) + ф) , . , ч 2*//яЯ - ф) - ф) . .

< 2л1 2тг(1 - Ке л)

I ¿(г) 2 + Я ^ ЯеЯ/тД ф) ф)2 + Я ЯеЯ / ^ у

I 1

; 2к{\ - ЯеЯ)

(2итХ - ф) - ф)},

Заметим, что в интегральном уравнении из теоремы 1.6.1. выражение а2 (г) Ь2 (г) > 0 при \г\ = 1 и ЯеЯ * 0. Из явного вида ядра К {г, 0 следует непрерывность ядра вышеотмеченного интегрального уравнения Фредгольма. Добавим, что произведение (2-1) К (г, I) будет вырожденным ядром, т.е. представляет сумму произведений от г на функции от г. В то же время само К (г, 0 не является таковым. Поэтому соответствующий определитель Фредгольма в элементарных функциях не выражается, хотя существование его и представление в виде бесконечного ряда не вызывает сомнений.

Следствие 1.6.1. Пусть ЯеЯ^О , ЛеЯ#1. Комплексное число Я является собственным значением задачи (2), (3), (4) тогда и только тогда, когда интегральное уравнение Фредгольма второго рода (5) имеет ненулевое решение.

Одним из эффективных методов приближенного решения уравнения Фредгольма является - метод замены ядра на вырожденное ядро. Кроме эффективности этот способ является и вполне общим, так как всякое непрерывное ядро может быть аппроксимировано с любой степенью точности

вырожденным ядром. Один изящный и довольно простой способ построения вырожденного аппроксимирующего ядра был указан H.Bateman'oM.

Помимо построения аппроксимирующего вырожденного ядра, важно уметь оценить, близость приближенного решения к точному решению данного интегрального уравнения. Оценкой такой близости занимались F.Tricomi, Л.В.Канторович.

Систематическому исследованию таких оценок посвящена

диссертация И. Акбергенова «О приближенном решении линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода и об определении его собственных значений», выполненной в НИИ математики и механики ЛГУ им. А.С. Бубнова в 1935 году - [4-5]. В нашем случае при |А|(R -фиксировано) вырожденное ядро R(z,t), аппроксимирующее ядро уравнения (5) имеет вид

k 1 2! N\ 1 2т W

с* | l2(t-z) t | A»(t-z)N~l 2b(z) + a(z) <

tz 2! N\ ' 2m

1 Mz) + a{z). . , , ,, 7UmA-b(z)-c(z) , ,

+ - -— (6(z) + a(z) - 2 Re Я) +-—-K—JmÀ -

t 2 m 2k(\-RgX)

b(z) 2 +Л ' 2к 2 1

2;r(l-ReA)

1 - ReA ' t m 2 1 - Re A \ '

(2 UmÀ-b{z)-c(z)},

В диссертации указан алгоритм выбора натурального числа N , входящего в K(z,t). Через Л [(Я) обозначим определитель Фредгольма, соответствующий вырожденному ядру R{z,t). Применение результатов И.Акбергенова дает утверждение.

Теорема 1.7.4. Если Д1(А)?'0 и ЯеЯ^О , то Я - точка

резольвентного множества оператора Коши-Римана (2), (3), (4). 1

Заметим, что определитель Л, (Я) является трансцендентной функцией

от Я

и Я . Элементы определителя представляют вычеты при z j= 0 от

1 I

функции, зависящих от Я , Я , г , — экспоненциальным или степенным

г I

(

образом. Из отмеченной работы И. Акбергенова вытекают также оценки в норме пространства непрерывных функций доя разности между точным и

приближенным решениями в случае неоднородного уравнения. '

| ■

' Вторая глава диссертации посвящена исследованию нулей одного класса целых функций. Рассматривается вопрос распределения нулей целых функций вида

f(z) = l+Az + z2 j \Z(^p(p(^jX + (oJ+iy)))D(x,y)dxdy, (6)

[ОДх J0.6J 7=0

где p = l[z \ coj = cxp^i ~ jj; ; = л/-7, A - постоянная величина;

Dfx, у) - абсолютно интегрируемая функция. К подобной проблеме редуцируются задачи на собственные значения для некоторых классов дифференциальных операторов на отрезке. В частности, к изучаемому вопросу приводит задача на собственные значения для линейного дифференциального уравнения третьего порядка, среди которых содержатся все всюду разрешимые в L2(0, 6) многоточечные задачи.

Исследованию нулей целых функций, имеющих интегральные представления, посвящены работы Titchmarsh Е.С., Polya G., Gaptwpight M.L., Седлецкого A.M.- [6-9].

Иногда целые функции вида (6) совпадают с квазиполиномами, нули которых исследовались в работах Нанмарка М.А., Шкаликова A.A.- [10-11]. Связь нулей квазиполиномов со спектральными задачами отражены в работах Беллман Р., Кук К., Леонтьева А.Ф.- [12-13].

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.1.1. Пусть D (х, у) - абсолютно интегрируемая на квадрате [0, b] *[0, Ь] функция. Если функция D(x,y) • непрерывна и отлична от нуля в окрестности квадрата, тогда нули функции / (z) достаточно большие по модулю, могут быть только в секторах сколь угодно малого раствора е :

Argz ± — < е 2\

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1. и пусть величина а>р(о, 0) + О (О, Ь) отлична от нуля, тогда нули гк функции / (2)

достаточно большие по модулю, принадлежащие сектору имеют асимптотику

Argz- j

v К { Ьо}2 Ьа>2 D(b,b) ) - к

где а (3)- модуль непрерывности функции О (х, у) .

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1. и пусть величина В (Ь, 0) + а2 [) (0, Ь) отлична от нуля, тогда нули ¿к функции / (г)

достаточно большие по модулю, принадлежащие сектору

^ я

Argz + — 2

< £

имеют асимптотику

i ^ ¿«i У к ,

где а <8) - модуль непрерывности функции D(x,y).

Теорема 2.1.4. Пусть функция / (z) имеет вид (6). Допустим, что фуны1ия D (х, у) в квадрате [0, в]*[0, в] имеет непрерывные частные произ юдные до третьего порядка по переменным х, у. j Если,

ü)jD(c,0) + D(0,b)#0, D(b,b)* О, то нули функции zk имеют ;ту же

¥

асимйтотаку, что и в теоремах 2.1.2., 2.1.З., остаточный член которых

записывается в виде (Л—| . '

I ^КУ

В формулировках теорем 2.1.2., 2.1.3. числа, выраженные через логарифмы, можно включить в остаточные члены. В то же время в теореме 2.1.4. эти величины существенно уточняют асимптотику.

При других предположениях аналогичные теоремы о нулях целых функций, имеющих интегральное представление, доказаны Ш.М.Утепбергеновым.

В заключении автор считает своим долгом выразить огромную благодарность научным руководителям доценту Б.Е.Кангужину и доценту Ж.А.Токибетову.

Сделаны ссылки на следующие работы:

[1]. Отелбаев М., Шыныбеков А.Н. О корректных задачах типа

Бицадзе-Самарского // ДАН. СССР. 1982. Т.265, № 4. С. 815-819.

[2]. Михайлец В.А. Спектральные задачи с общими краевыми

условиями. Автореф. диссер... д.ф.-м.н., Киев, 1989,29с.

[3]. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // УМН., 1948.

Т.З. Вып.3(25). С.30-111.

[4]. Акбергенов И.А. О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода и об определении их собственных значений//Матем. сб., 1935. Т.42, вып.6. С. 679-697.

[5]. Акбергенов И. А. О приближенном решении линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода и об определении его собственных значений // Труды Среднеазиат. Гос. Унив. Сер. 5-а. Матем. Вып.1б. Ташкент.: Изд-во САГУ., 1937. 49с.

[6]. Titchmarsh Е.С. The zeros of certain integral functions // Proc. London Math. Soc. 1926. V. 25, №4. P.283-302.

[7]. Polya G. Uber die Nullstelellen gewisser ganzer Funktionen // Math. Z. 1918. №2. S. 352-383.

[8]. Gartwright M.L. The zeros of certain integral functions // The Quarterly journal of Math. 1930. V. 1., № 1, P. 38-59.

[9]. Седлецкий A.M. О нулях преобразования Фурье финитной меры // Мат. заметки., 1993. Т.53,№1. С. 111-119.

[10]. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 496 с.

[11]. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестаик МГУ. Сер. Мат. Мех., 1982.

№6. С. 12-21.

[12]. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967. 548 с.

[13]. Леонтьев А.Ф.Целые функции и ряды экспонент. М., 1983. 176с.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: ,

1. Иманбаев Н.С., Кангужин Б.Е. О нулях целых функций, имеющих

интегральное представление //Изв. НАН. РК. Сер. физ.-мат., 1995. №3. С.47-52. I )

2. Иманбаев Н.С., Токибетов Ж.А.. К распределению нулей одного класса Целых

функцш // Вестник КазГУ. Серия математическая. Алматы, 1995. №3. С. 96-102. ;

3. Иман(Заев Н.С., Утепбергенов Ш.М.. К асимптотике нулей целых функций

одного 1ласса // Актуальные вопросы математики и методики преподавания

1

математ «си. Материалы межвузовской научно-методической конференции, посвященной 60-летию профессора К.Ж.Наурызбаева. Часть-2. Алматы.: КазГАСА., 1995. С. 87-92.

4. Иманбаев Н.С., Кангужин Б.Е., Токибетов Ж.А.. К задаче па собственные значения оператора Коши-Римана // Материалы школы-семинара по математике и механике, посвященного к 60-летию Член-корреспондента НАН. РК, профессора К.А. Касымова. Алматы.: Изд-во «Гылым»., 1995. С. 72.

5. Иманбаев Н.С., Кангужин Б.Е., Токибетов Ж.А.., Кубенова Ш.И.. О спектре оператора Коши-Римана // Современные вопросы теории функции и функционального анализа. Караганда.: Изд-во Карагандинского пед. института, 1995. С. 45-51.

6. Иманбаев Н.С.. Метод И.А. Акбергенова для оператора Коши-Римана. // Тезисы докладов 1-го Съезда математиков Казахстана. Шымкент.: Изд-во «Гылым»., ЮКТУ, 1996. С. 27.

7. Иманбаев Н.С.. Об одном квазисингулярном интегральном уравнении.// Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений. Межвузовский сборник научных трудов. Алматы.: Изд-во АГУим. Абая, 1996. С. 33-39.

IMANBAEV NURLAN SAYRAMOVICH About approximate solution of Koshy-Riemann's equation and about determine of it's proper values

Summary

This dissertation is dedicated to research proper values of an operator, which is rised by Koshy-Riemann's differential operation with unlocal limiting conditions, and also considers the question about zeros of entire functions, which have integral representation, which follows from problems of proper values for an linear differentional equation for third degree and there are all multipointer problems solvabled everywhere in 1^(0,b) among them.

It is received next results:

1) It is formulated the correct problem for Koshy-Riemann's equation.

2) The problem is reduced to the solution of the singular integral equation.

3) It is calculated the index of singular integral operators and it is obtained conditions on X/ - parameter, on which the considerating problem is Noether's problem in corresponding functional space, i.e. it is obtained analogue conditions of Lopatinski for case of an unlocal boundary values problem

4) It is solved that the singular integral operator is equivalent to integral Fredgolm's equation of second order.

5) It is writed out evident view of kemal of integral Fredgolm's equation of second order and it is given the theorem about localisation of proper values

6) It is obtained formulas, which characterise approximate structure of the solution of the boundary problem with displacement

7) The existence of a calculate number of zeros of a class of entire functions, which have integral representation, is proved. It is obtained their asymptotic with a remaining member.

ИМАНБАЕВ Н¥РЛАН САИРАМ¥ЛЫ

■ ;

5 Коши-Риман течдеушщ жуык, шеилмдер! жэне ( олардьщ менилкт! мандерЕн аныцтау |

Д

Резюме

5

«хертациялык, жумыста классикалык; есептерге жатпайтын,

локал|>д1 емес шекаралык шарттармен бершген Коши-Р^иман дифф гренциапдык амалынан туындайтын бейнел1ктщ мейш1кт1 манде :р1н зерттеу карастырылган. Сонымен б1рге 1]2(0,Ь) функц ионалдык ке^сппнде барлык шецлмдер1 курамына е^ет1Н, уишний ретп сызыкты дифференциалдык тецдеудщ менинклч мэндерше арналран кеп нуктел1 есептерден туындайтын, интегралдык турдеп бутЫ ' функциялардьщ нелдер1 зерттелт, б1ркатар келеа жан,а нэтижелер апынган:

1. Коши-Риман тецдеу1 уилн шекаралык, есегт'н коррект1 койылуы келтрлген.

2. Менш|'кт1 мандерге арналган локалипи емес шекаралык есеп сингулярлы интегралдык тецдеу1не келт1ртген.

3. X - демеуЫне арналган нетер шарты керсеттт, сингулярлы интегралдык, бейнел'нстщ индекса есептелд!, ягни локальд) емес шекаралык есеб1 уилн Лопатинский шартыныц аналогы алынды.

4. Сингулярлы интегралдык, тецдеуЫщ 2-ш\ турдеп Фредгольм тецдеу1не эквивалентттИ дэлелденген.

5. 2-ил турдеп интегралдык Фредгольм тецдеуЫщ ядросыныц айкын тур! жазылып, менилюч мэндерд1 локапизациялау туралы теоремалар бершген.

6. Локальд1 емес шекаралык есептщ жуык шеипмдер'шщ курылымын сипаттайтын формулалар апынган.

7. Интеграл туртде бертген бупн функциялардыц нелдер1н1н, саныныц саналымды болатындыгы дэлелденген жэне олардын капдык мушеа бар асимптотикасы табылган.