О приведенных регулярных непрерывных дробях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

904609332

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 511.335 + 511.41

Жабицкая Елена Николаевна

О ПРИВЕДЕННЫХ РЕГУЛЯРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЯХ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

^Сах^Сс^СС^

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 О СЕН 2010

Москва, 2010

004609382

Работа выполнена на кафедре теории чисел Механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, Устинов Алексей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Мощевитин Николай Германович

доктор физико-математических наук, профессор Зубков Андрей Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Добровольский Николай Михайлович

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится 1 октября 2010 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: РФ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 1 сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из инструментов исследования в теории диофантовых приближений является аппарат непрерывных дробей. Статистические свойства разложения действительных чисел в непрерывные дроби исследовались еще Гауссом. В первой половине XX века этим вопросом занимались Кузьмин1, Хинчин2, Леви3 и некоторые другие математики. Систематическое изложение теории цепных дробей есть, например, в книге Хинчина4.

Статистические свойства конечных цепных дробей исследовали Локс5 и Хейльброн6.

В последнее время к этим вопросам вновь проявился интерес. Здесь следует отметить ряд работ Быковского7, Авдеевой8, Быковского и Авдеевой9, Устинова10.

Настоящая диссертация, в основном, посвящена исследованию статистических свойств конечных приведенных регулярных непрерывных дробей. Приведенной регулярной непрерывной дробью (ein reduziert-regalmaessiger

Р. О. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса. ДАН ССР, 1928, с. 375-380. А. Я. Хинчин. Metrische Kettenbruechproblem. Compos. Math. 1935, Bd. 1, pp. 361-382 P.Levy. Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue. Bull. Soc. Math. France, v. 57, 1929, pp. 178-194.

A. Я. Хинчин. Цепные дроби. M., Наука, 1978.

G.Lochs. Statistic der Teilnenner der zu den echten Bruechen gehoerigen regelmaessigen Kettenbrueche. Monatshefte fuer Mathematic, 1960, Bd. 65, pp. 27-53.

H.Heilbrorm. On the average length of a class of finite continued fractions. In Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp. 89-96.

B. А. Быковский. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дробей. ФПМ, 1.11, №6, 2005, с. 15-26.

М. О. Авдеева. Распределение неполных частных в конечных цепных дробях. Владивосток : ИПМ ДВО РАН, 2000, с. 19

М.О.Авдеева, В.,А.Быковский. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина. Препринт ДВО РАН №08, Дальнаука, Владивосток, 2002. А. В.Устинов. Асимптотическое поведение первого и второго моментов для числа шагов в алгоритме Евклида. Известия РАН, т. 72, № 5, 2008, с. 86-216.

Kettenbruch11) называется выражение следующего вида:

1

1

где все — целые, ^ 2 при п ^ 1. Всякое действительное число г единственным образом представляется в виде приведенной регулярной непрерывной дроби • • ■ • • •)> гДе ¿о = М (верхняя целая часть г), ¿„ ^ 2 при п ^ 1 Такие дроби упоминались в книге Перрона12.

Свойствам подходящих дробей приведенной регулярной непрерывной дроби посвящена работа Финкельшнейна13.

Для рационального числа г представление в виде (1) конечно и однозначно определено. Пусть г — ■ --Лг), Длину I приведенной регулярной непрерывной дроби, представляющей рациональное число г, обозначим через 1(г).

Длина обычной непрерывной дроби г(а/Ь) числа а/Ъ есть число шагов в классическом алгоритме Евклида, примененном к числам а и Ь. Этот алгоритм использует деление с остатком:

Аналогично можно рассматривать длину приведенной регулярной непрерывной дроби 1(а/Ь) числа а/Ь как число шагов в алгоритме Евклида с «делением по избытку», т. е.

Таким образом, средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби

числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», примененного к числам а и Ь, меняющимся в пределах 1 ^ а. ^ b ^ Я, Я —>оо.

O.Perron. Die Lehre von den Kettenbrücken. Bd.I.Teuber, 1954. O.Perron. Die Lehre von den Kettenbruchen. Bd.I.Teuber, 1954.

Ю. Ю. Финкелыптейн. Полигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби. Успехи мат. наук, 1993, т. 48, Вып.З, с. 205-206.

a=bq + r, q <Е Z, 0 < г < Ь.

a = bq + r, qe Z, -b<r ^ 0.

математическим ожиданием

Вопрос о поведении средней длины для обычных непрерывных дробей был впервые исследован Хейльбронном14. Он выделил главный член асимптотики для средней длины, где усреднение ведется по числителям:

щ £ = + о (10§41о6 а).

М)=1

Статистикам конечных непрерывных дробей посвящены также работы Лок-са15, Кнута16, Попова17. Позднее Портер18 для того же среднего получил асимптотическую формулу с двумя значащими членами:

1 ^ 21(^2,

s(c/d) = ^logd + Cp-l + 0 (d-V**) ,

(c.<0=l

где e — любое положительное и число

носит название константы Портера.

При усреднении по числителям и знаменателям вероятностными и эрго-дическими методами ряд результатов был получен Диксоном19, Хенсли20, Балле и Балади21. В 2000 году Балле22 была доказана асимптотическая

Н. Heilbronn. On the average length of a class of finite continued fractions. In Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp. 89-96.

G. Lochs. Statistic der Teilnenner der zu den echten Bruechen gehoerigen regelmaessigen Kettenbrueche. Monatshefte fuer Mathematic, 1960, Bd. 65, pp. 27-53. D. E. Knuth. Analysis of the substractive algorithm for greatest common divisors. Proc. Nat. Acad. USA, v. 72, №12, 1975, pp. 4720-4722.

В. H. Попов. Асимптотика суммы, сумм элементов непрерывных дробей чисел вида о/р. Аналитическая теория чисел и теория функций. 2, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 91, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1979, с. 81-93

J.Porter. On a theorem of Heilbronn. Matematika, 1975, v. 22, №1, pp. 20-28.

J. D. Dixon. The number of steps in the Euclidean algorithm. J. Number Theory, v. 2, 1970,

pp. 414-422.

D. Hensley. The Number of Steps

iu the Euclidean Algorithm. J. of Number Theory, v. 49,

1994, pp. 142-182.

B.Vallee, V. Baladi. Euclidean algorithms are gaussian. J. Number Theory, v. 110, 2005, pp. 331-386.

B.Vallee. A unifying framework for the analysis of a class of Euclidean algorithms. Proceedings of LATIN'2000, Lecture Notes in Computer Science 1776, Springer, pp.343354.

формула для средней длины со степенным понижением в остаточном члене. Последний результат в этой области принадлежит Устинову23, который получил асимптотическую формулу с лучшим, чем можно получить из результата Портера, понижением в остаточном члене;

щипу££•«*>■- ж',

где

В-Г 1 + Н2(2С{2) 1

Что же касается приведенных регулярных непрерывных дробей, то в 2003 году Балле24, исследуя статистические свойства различных видов алгоритмов Евклида, с использованием вероятностных и эргодических методов получила, в частности, главный член асимптотической формулы для математического ожидания числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», а следовательно, и для-средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби.

В настоящей диссертационной работе на основе подхода, предложенного Устиновым25, получен более сильный результат, чем у Балле.

Остановимся подробнее на сравнении различных видов алгоритмов Евклида. Обычный алгоритм Евклида, приводит к разложению действительного числа а/Ь в непрерывную дробь классического вида:

а/Ъ = [а0; 01, а2,..., а3,...} = а0 +---, (2)

aj + -

02 + ...+

1

as + ...

где а0 6 Z, aj е N при j ^ 1. Для рационального х е Q представление в виде (2) является конечным, и, для однозначности разложения рационального числа, будем считать, что последнее неполное частное as ^ 2.

A. В. Устинов. Асимптотическое поведение первого и второго моментов для числа шагов в алгоритме Евклида. Известия РАН, т. 72, №5, 2008, с. 86-216.

B.Vallee. Dynamical analysis of a class of Euclidean algorithms. Theoretical computer science, v. 297, 2003, pp. 447-486.

А. В. Устинов. О статистических свойствах конечных цепных дробей. Труды по теории чисел, Зап. научн. сем. ПОМИ, 322, ПОМИ, СПб., 2005, с. 186-211.

Если обозначить сумму ао + + .. • + неполных частных разложения (2) рационального числа а/6 через 5'°'(а/6) и положить

Тг

■п:= {я €<&*€[(), ljîSMfrXn + l},

то окажется, что множества Т,, — это так называемые последовательности Штерна-Броко.

Назовем F(x) предельной функцией распределения последовательности Мп конечных подмножеств отрезка [0,1], если

lim Fn{x) = F(x),

n—»oo

Предельная функция распределения последовательности J-n, совпадает с известной функцией Минковского ?(х), введенной Г. Минковским26. Свойства функции ?(х) подробно исследуются в работах Денжуа27, Виадера, Парадиза и Бибилони28, а также Кинне 29.

Алгоритм Евклида с делением «по избытку» приводит к разложению действительного числа х в приведенную регулярную непрерывную дробь (1). Как и в случае обычных непрерывных дробей, приведенная регулярная непрерывная дробь рационального числа будет конечной.

Аналогично последовательности Тп для обычных непрерывных дробей, введем последовательность множеств Еп рациональных чисел с суммой неполных частных приведенной регуляной непрерывной дроби, ограниченной числом п. Предельную функцию распределения последовательности множеств Вп обозначим через F^(x).

Наконец, алгоритм Евклида, в котором при делении выбирается минимальный по модулю остаток:

Ь ^ ь

a = bq + r, -_<r<-, (3)

H. Minkowski. Gesammelte Abhandungen, vol.2.

A. Denjoy. Sur une. jonction reele de Minkowski. J. Math. Pures Appl. v. 17,1938, pp. 105-151. P.Viader, J.Paradis, L.Bibiloni. A new light of Minkowski's ?(x) function. J. Number Theory., v. 73, 1998, pp. 212 -227.

J. R. Kinney. Note on a singular function of Minkowski. J. Number Theory., v. 73, 1998, pp. 212-227.

приводит к разложению в непрерывную дробь с минимальными остатками

£1 £' 1 , £1 /А\

ад —,...,—,.. • = а0 Н--, (4)

а1 0-1 £2

О! -1--

еI

а2 + ... + —--

щ + ...

где ао £ 2, ^ = ±1 и а^ ^ 2, а^ + £7+1 > 2 при ] > 1. В этой дроби присутствуют как знаки «+», так и «-». Для х 6 <0> представление в виде (4) является конечным, и, для однозначности этого представления, в случае когда последнее неполное частное щ = 2 полагаем ег = 1.

Устинов30 доказал следующие асимптотические формулы для средней длины дроби с минимальными остатками:

+ éi^2) 1 V^

Е = log 6 + G, + о, (> log^ Ь),

V(b) 4 ' ' С(2)

(«,Ч=1

где l'(a/b) — число неполных частных в разложении (4) числа a/b,ip = а Сз, С4 — некоторые указанные постоянные.

Для таких дробей также можно рассмотреть последовательность множеств с ограниченной суммой неполных частных. Обозначим ее через 2п. Предельную функцию распределения последовательности множеств Zn обозначим через Р1'2^).

В 1938 году Денжуа31 ввел в рассмотрение функции к(х,а), а £ (0,1), х £ [0, оо), обобщающие функцию Минковского ?(х). А 1995 году, в работе Тихий и Уитц32 рассмотрели однопараметрическое семейство сингулярных функций дх, А € (0,1), аналогичных функциям к(х,а). Функция ?(х) является членом семейства дх(х) с Л = 1/2. Для х G [0,1] функции к(х, а) и дх связаны соотношением

_к(х,а) = 1 - (1 - а)д^а(х).

А.В.Устинов. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором минимального по модулю остатка. Матем. заметки, т. 85, №1, 2009, с. 153-156.

A.Denjoy. Sur une fonction reele de Minkowski. J. Math. Pures Appl. v. 17,1938, pp. 105-151. R. F.Tichy, J.Uitz. An extension of Minkowski's singular function. Appl. Math. Lett., v. 8, 1995, pp. 39-46.

В данной диссертационной работе показано, что предельная функция /^'(х) распределения последовательности множеств Еп является членом семейства дх(х), а именно,

^ (х) = дАх),

Что же касается функции ^^ (х), то она не является членом семейства дх(х), но обладает похожими свойствами. В частности, существует

и равна 0 почти всюду в смысле меры Лебега, т.е. функция ^М(г), как и функции из семейства дх, является сингулярной.

Цель работы

Цель диссертации — исследование свойств непрерывных дробей особого вида (приведенных регулярных непрерывных дробей и непрерывных дробей с минимальными остатками), получаемых с помощью алгоритма Евклида, в котором вместо обычного деления используется деление «по избытку» и «центральное» деление соответственно.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получена трехчленная асимптотическая формула для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби.

2. Доказано, что предельная функция распределения последовательности множеств рациональных чисел с ограниченной суммой неполных частных приведенной регулярной непрерывной дроби является членом семейства сингулярных функций дх, введенных Тихим и Уитцем в 1995 году.

3. Доказаны некоторые свойства предельной функции распределения последовательности множеств рациональных чисел с ограниченной суммой неполных частных непрерывной дроби с минимальными остатками. В частности, доказана формула, выражающая значение этой функции в точке х через неполные частные представления х в виде непрерывной дроби с минимальными остатками.

Методы исследования

Доказательства асимптотических формул базируются на явных арифметических конструкциях, которые позволяют свести исходную задачу к нахождению числа целочисленных решений системы неравенств. Исследование функций распределения связано с детальным анализом расположения дробей Фарея.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Результаты, полученные в ней, представляют интерес для теории цепных дробей.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научно-исследовательских семинарах и международных конференциях.

• XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2008 г.)

• Семинар "Арифметика и Геометрия", руководители — профессор Н. Г. Мо-щевитин, д.ф.м.н. А. М. Райгородский, доцент О. Н. Герман (2008,2009 г.)

• "Научно-исследовательский семинар по теории чисел", руководители -чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко и профессор Н. Г. Мощевитин (2009 г.)

• Семинар "Модели и методы дискретной математики", руководители -профессор О. М. Касим-Заде (2009 г.)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 5-ти работах автора. Список этих работ приведен в конце автореферата [1-5].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. Текст диссертации изложен на 116 страницах. Список литературы включает 48 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении изложена краткая история исследуемого вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней доказываются простейшие свойства приведенных регулярных непрерывных дробей.

В первой главе также доказывается следующая лемма, позволяющая свести задачу нахождения суммы длин всех приведенных регулярных непрерывных дробей чисел а/Ь, где а, Ь 6 К, а ^ Ъ ^ Я, к нахождению числа решений системы неравенств.

Лемма 1 Пусть а — действительное число из интервала (0,1), Р, Р', <5 — натуральные и С} < . Тогда следующие два условия эквивалентны.

1. Р^Р/О1- последовательные подходящие дроби приведенной регулярной непрерывной дроби числа а, отличные от этого числа.

2. Р(3'-Р'(Э = 1иО< < 1.

Р-а<Э

Вторая глава

Во второй главе диссертации получена трехчленная асимптотическая формула со степенным понижением в остаточном члене для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби чисел а/Ь, где а, Ь е К, а ^ Ъ < Я, Д — действительное число, большее 2.

Напомним, что через 1(а/Ь) мы обозначаем длину приведенной регулярной непрерывной дроби, представляющей рациональное число а/Ь. Пусть

сумма длин приведенных регулярдных непрерывных дробей всех таких чи-

ПАТ(Г>\

сел а/Ь, что а < Ь ^ Д. Тогда Е{Щ ~ будет средней длиной.

[К\{[Щ +1]

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 1 Для действительного R—*oo справедлива следующая асимптотическая формула:

E(R) = С2 log2 R + Су log R + С0 + О (iT1 log5 R),

где

г- 1 г - 1 /Vv 3 С'(2Л

Со = СМ Г 4 С(2)~ \ 2у +-2?®-}

£(s) — дзета-функция Римана, 7 — константа Эйлера.

Можно также рассматривать сумму

bsiR

(«,Ч=1

длин приведенных регулярных непрерывных дробей только по взаимно простым числам а, 6, и, соответственно, среднюю длину таких дробей E*{R). Тогда каждая приведенная регулярная непрерывная дробь рационального числа, не превосходящего 1, со знаменателем, не превосходящим R, будет учтена ровно один раз.

Следствие 1 Для действительного R —+ оо справедлива следующая асимптотическая формула:

E*(R) = С2 log2 R + Ci log R + Co + О (R'1 log6 R), (5)

где

Г 1 Г - 1 3 9С'(2Л

1 Л 2 о 7 „С(2) Л 3\ 3(С'(2))2-С"(2)С(2)\

Третья глава

Третья глава диссертации посвящена исследованию предельной функции распределения последовательности множеств рациональных чисел, у которых сумма неполных частных приведенной регулярной непрерывной дроби

не превосходит некоторого числа, а также аналогичной функции, связанной с разложением в непрерывную дробь с минимальными остатками.

Напомним, что мы называем предельной функцией распределения последовательности Мп конечных подмножеств отрезка [0,1], такую функцию F(x), что

lim Fn(x) = F(x),

П—»ОО

где

Обозначим сумму ао + ai -f... + щ неполных частных разложения рационального числа х в приведенную регулярную непрерывную дробь (1) через £М(х), и определим множества Еп как

Hn = {х G Q, X € [0,1] : SN(aO < п + 2} .

Предельную функцию распределения последовательности множеств Еп мы обозначали через

Сумму ао + а! + ... + щ неполных частных непрерывной дроби с минимальными остатками (4) рационального числа х обозначим через определим множества 2п как

2п = [х в Q,х е [0,1] : S[2](x) ^ п + l} .

Предельную функцию распределения последовательности множеств Zn мы обозначали через Fl^(x).

Нам потребуется определение последовательностей Штерна-Броко Тп\ Пусть — {f, {}• Далее, если Тп уже определено и

- {О = хо,п < п < ■ ■ ■ < 2лг(п),п = 1} ,

где xjtn = Pj,Jqj,n, (Pj,n, 4j,n) = 1, j = 0, • •., N(n), то положим

i+\ Qn+i,

где

Qn+l = {Xj~l,n Ф Zj.n, j = 1, • • •, N(n)} .

„ а с a + b , о с .. ,

здесь через -ф- обозначена медианта-; дробей - и- (fa, b) = (с, а) =

b а с+а b а

!)•

и

Опишем теперь индуктивное построение функции д\ из однопарамет-рического семейства сингулярных функций, рассмотренного Р. Ф. Тихим и Ж.Уитцем33.

Имея Л £ (0,1), положим

5А(0) = <7А(0/1) = 0, 5л(1) = 5А(1/1) = 1-

Пусть дх(х) определено для всех элементов х £ J-n, где Тп — n-ая последовательность Штерна-Броко. Определим дх{х) для х 6 Qn+i- Каждое х 6 Qn+i есть х — Xj-i,n Ф Xj,m гДе ^j-i.n и xj,n ~ последовательные элементы множества J-n, поэтому можно определить дх(х)

9\{xj-\,n © xjtn) = gx{xj-i,n) + (gx{xj,n) ~ 9\{xj-\,n)) A.

Одним из основных результатов третьей главы диссертации является следующая теорема.

Теорема 3 Функция дтг, где т2 = ^у^, т = ^тр^, совпадает с функцией распределения последовательности Е„, то есть

gr,{x) = F^{x), ®е [0,1].

Кроме того, в главе 3 показано, что при х £ [0,1/2] выполняется функциональное уравнение

Л

а также доказаны следующие теоремы.

Теорема 4 Справедлива следующая формула, выражающая значение F$(x), х € [0,1], через неполные частные разложения (4) числа х:

где

1 <»<j OOXj

R. F.Tichy, J.Uitz. An extension of Minkowski's singular function. Appl. Math. Lett., v. 8, 1995, pp. 39-46.

Л — единственный действительный корень уравнения

А3 - Л2 - Л - 1 = о,

ас — 1 /(Л — 1). Для рациональных х сумма в выражении для .Р'2'(:с) будет конечной.

Теорема 5 Если в точке х € (0,1) у функции существует произ-

водная, то либо (х) = 0, либо ^^ (х) = оо.

Из теоремы 5 следует, что функция .И2'(я), как и функции из семейства <7а, является сингулярной (т. е. Fl2J (х) существует и равна 0 почти всюду в смысле меры Лебега).

Благодарности

Автор выражает благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Н. Г. Мощевитину и д.ф.-м.н. А. В. Устинову за постановку задачи и помощь в работе. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой теории чисел чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко и всему коллективу кафедры теории чисел. Автор благодарит к.ф.-м.н. И.Д.Кана за постоянное внимание к работе. Данная диссертационная работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-00371-а).

Работы автора по теме диссертации

[1] Жабицкая Е. Н. Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби. - Матем. сб., т.200, №8, 2009, с. 79-110.

[2] Жабицкая Е. Н. On arithmetical nature of Tichy-Uitz's function. — Functio-nes et Approximate, Vol. 43.1 (2010), pp. 1-8.

[3] Жабицкая E. H. О непрерывных дробях с минимальными остатками. — Депонирована в ВИНИТИ, №47-В2010, 24 с.

[4] Жабицкая Е. Н. Асимптотическая формула для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби. — Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" [Электронный ресурс]. М.: Издательство МГУ; СП МЫСЛЬ, 2008, вып. 14, с. 13-14.

[5] Жабицкая Е. Н. Continued fractions with minimal remainders. — Uniform Distribution Theory, Vol.5(2010), no.2, pp. 55-78.

Подписано в печать 30,Ж. (О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж {00 экз. Заказ 3{

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

1 Свойства приведенных регулярных непрерывных дробей

1.1 Свойства подходящих дробей.

1.2 Лемма, характеризующая пару подходящих дробей

1.3 О числе решений системы.

2 Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Теорема 1. Формулировка и начало доказательства

2.3 Случай

2.4 Случай

2.5 Случай

2.6 Случай

2.7 Случай

2.8 Завершение доказательства.

3 О множествах рациональных чисел с ограниченной суммой неполных частных

3.1 Последовательности Штерна-Броко.

3.2 Сингулярные функции Денжуа-Тихого-Уитца

3.3 Функция Минковского.

3.4 Общий вид формулы Салема.

3.5 Теорема 3.

3.6 Вспомогательные результаты.

3.7 Доказательство теоремы 3.

3.8 Непрерывные дроби с минимальными остатками.

3.9 Определение и свойства последовательности множеств Zn

3.10 Предельная функция распределения последовательности Zn.

3.11 Доказательство теоремы 4.

3.12 Сингулярность функции FW(x).

Одним из инструментов исследования в теории диофантовых приближений является аппарат непрерывных дробей. Статистические свойства разложения действительных чисел в непрерывные дроби исследовались еще Гауссом. В первой половине XX века этим вопросом занимались Кузьмин [7, 8], Хинчин [18, 19], Леви [30] и некоторые другие математики. Систематическое изложение теории цепных дробей есть, например, в книгах Перрона [34] и Хинчина [17].

Статистические свойства конечных цепных дробей исследовали Локс [31] и Хейльброн [27].

В последнее время к этим вопросам вновь проявился интерес. Здесь следует отметить ряд работ Быковского [4], Авдеевой [1, 3], Быковского и Авдеевой [2], Устинова [10, 11, 12, 13, 14].

Настоящая диссертация, в основном, посвящена исследованию статистических свойств конечных приведенных регулярных непрерывных дробей. Приведенной регулярной непрерывной дробью (ein reduziert-regalmaessiger Kettenbruch [34]) называется выражение следующего вида: t0]ti,t2, . . •. •) = ¿о----> (1) 4 где все tn — целые, Ьп ^ 2 при п ^ 1. Всякое действительное число г единственным образом представляется в виде приведенной регулярной непрерывной дроби (¿о; ¿ь ¿2,.,£;,■••)> где ¿о = ГГ1 (верхняя целая часть г), ¿п > 2 при п ^ 1 (такие дроби рассматривались Перроном [34, Глава I], а также Финкелыпнейном [15]). Для рационального числа г представление в виде (1) конечно и однозначно определено. Пусть г = (¿о; ¿1, ¿2, ■ • • Длину I приведенной регулярной непрерывной дроби, представляющей рациональное число г, обозначим через 1(г).

Диссертация состоит из трех глав. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней доказываются простейшие свойства приведенных регулярных непрерывных дробей. Отметим, что множество подходящих дробей приведенной регулярной непрерывной дроби числа г совпадает со множеством всех подходящих и промежуточных дробей обычной непрерывной дроби числа г, не меньших этого числа (т. е. с множеством всех целых точек, лежащих на верхнем полигоне Клейна).

В первой главе также доказывается лемма, позволяющая свести задачу нахождения суммы длин всех приведенных регулярных непрерывных дробей чисел а/Ь, где а, 6 £ М, а ^ Ь ^ к нахождению числа решений системы неравенств.

Во второй главе диссертации получена трехчленная асимптотика со степенным понижением в остаточном члене для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби чисел а/Ь, где а, Ъ € М, а ^ Ъ ^ /2, Я — действительное число, большее 2.

Обозначим через N(11) сумму ^^ ^^ / (а/6) длин всех таких 5 2 ТУ Я ^ дробей, тогда Е(К) = Гр1/Гг>1 , будет средней длиной. 1)

Длина обычной непрерывной дроби в(а/Ь) числа а/6 есть число шагов в классическом алгоритме Евклида, примененном к числам а и Ъ. Этот алгоритм использует деление с остатком: а = + г, дбй, 0 ^ г < 6.

Аналогично можно рассматривать длину приведенной регулярной непрерывной дроби 1{а/Ь) числа а/Ъ как число шагов в алгоритме Евклида с «делением по избытку», т. е. а = Ьд + г, д € — Ь < г < 0.

Таким образом, величина Е(Я) является математическим ожиданием числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», примененного к числам а и Ь, меняющимся в пределах

Вопрос о поведении средней длины для обычных непрерывных дробей был впервые исследован Хейльбронном в работе [27]. Он выделил главный член асимптотики для средней длины, где усреднение ведется по числителям: щ £ = 1оёа+° 0°ё41оё <0 ■

Статистикам конечных непрерывных дробей посвящены также работы Локса [31], Кнута [29], Попова [9]. Позднее Портер [35] для того же среднего получил асимптотическую формулу с двумя значащими членами: с?<0 = 1 где е — любое положительное и число

1 2 носит название константы Портера.

При усреднении по числителям и знаменателям вероятностными и эргодическими методами ряд результатов был получен Диксоном [22], Хенсли [23], Балле и Балади [41]. В 2000 году Балле [39] была доказана, асимптотическая формула для средней длины со степенным понижением в остаточном члене. Последний результат в этой области принадлежит Устинову [10], который получил асимптотическую формулу с лучшим, чем можно получить из результата Портера, понижением в остаточном члене:

Что же касается приведенных регулярных непрерывных дробей, то в 2003 году Балле, исследуя статистические свойства различных видов алгоритмов Евклида в работе [40], с использованием вероятностных и эргодических методов получила, в частности, главный член асимптотической формулы для математического ожидания числа шагов алгоритма Евклида с «делением по избытку», а следовательно, и для средней длины приведенной регулярной непрерывной дроби.

В настоящей диссертационной работе на основе подхода, предложенного Устиновым в работе [12], получен более сильный результат, чем у Балле [40, Теорема 5]. £ зШ = ^ 1о6 я+В + О (Л-11оЕ6 Я) , где 7

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 1. Для действительного Я —> сю справедлива следующая асимптотическая формула: дзета-функция Римапа, 7 — константа Эйлера. Можно также рассматривать сумму длин приведенных регулярных непрерывных дробей только по взаимно простым числам а, Ь, и, соответственно, среднюю длину таких дробей Е*(Я). Тогда каждая приведенная регулярная непрерывная дробь рационального числа, не превосходящего 1, со знаменателем, не превосходящим Я, будет учтена ровно один раз.

Е{В) = С21оё2 Я + Сг 1оё Я + С0 + О (Я'11оё5 Я) где 8

Следствие 1. Для действительного R —» оо справедлива следующая асимптотическая формула:

Е*(R) = С2 log2 R + C1 log R + Cq + O (R~l log6 R) , (2) где

С - 1 Г - 1 (Vv 3 9С'(2Л

Cl " 02) I 7 " 2 2 cWy ' с(2) I27 ~37+г2?й" 127 V +-?(2)-)

Третья глава диссертации посвящена исследованию предельной функции распределения последовательности множеств рациональных чисел, у которых сумма неполных частных приведенной регулярной непрерывной дроби не превосходит фиксированного числа, а также аналогичной функции, связанной с разложением в непрерывную дробь «с минимальными остатками».

Остановимся подробнее на сравнении различных видов алгоритмов Евклида. Обычный алгоритм Евклида, примененный к числам а и Ь, приводит к разложению действительного числа х в непрерывную дробь классического вида: х = [а0; аь а2,. . ., а8,.] = а0 Ч----, (3) ах Н-а2 + . . + а, + ■ • • где ао 6 Ъ, а, 6 N при Для ж 6 представление в виде (3) является конечным, и, для однозначности разложения рационального числа, будем считать, что последнее неполное частное а8 ^ 2. 9

Если обозначить сумму ао + а\ + . + as неполных частных разложения (3) числа х через S^\a(b) и.положить

Тп ■■= {х е Q,ж 6 [0,1] : S[%г) < П + l} , то окажется, что множества Тп — это так называемые последовательности Штерна-Броко.

Назовем F{x) предельной функцией распределения последовательности Мп конечных подмножеств отрезка [0,1], если lim Fn(x) = F(x), п—»oo

Предельная функция распределения последовательности JFn, совпадает с известной функцией Минковского введенной Г. Минковским [32]. Свойства функции ?(х) подробно исследуются в работах [21], [42], [43], а также [28].

Алгоритм Евклида с делением «по избытку» приводит к разложению действительного числа х в приведенную регулярную непрерывную дробь (1). Обозначим сумму clq + cli -К. неполных частных разложения (1) рационального числа х через и введем множества

Hn = [х е Q, Ж G [0,1] : SM(x) < п + 2} , аналогичные множествам Тп. Предельную функцию распределения последовательности множеств обозначим через .рШ(ж).

Наконец, алгоритм Евклида, в котором при делении выбирается минимальный по модулю остаток:

Ь ь а — bq + г, ~2<г^2' ^

1U приводит к разложению в непрерывную дробь с минимальными остатками х

- £I о; —5 ■ • • 5 — 5 • • а\ щ а0 Ч--, (5) 2 ах Н-I а2 + . + щ + . где а0 е = ± 1 и а^ ^ 2, а^ + £-,-+1 > 2 при ^ ^ 1. В этой дроби присутствуют как знаки «+», так и «-». Такие дроби имеются в книге О. Перрона [34], а также в работе Ригера [33]. Для х € (0? представление в виде (5) является конечным, и, для однозначности этого представления, в случае когда последнее неполное частное щ — 2 полагаем е/ = 1.

Устинов в работе [11] доказал следующие асимптотические формулы для средней длины дроби с минимальными остатками: о1б) = 1 где 1'{а/Ъ) — число неполных частных в разложении (5) числа а/Ь, <р = а Сз, С а — некоторые указанные постоянные.

Сумму ао + а\ + . + а\ неполных частных дроби (5) рационального числа х обозначим через ¿^(я) и рассмотрим последовательность множеств {х е О, х € [0,1] : 5[21(х) < п + 1} .

Предельную функцию распределения последовательности множеств 2п обозначим через

11

В 1938 году Денжуа в работе [21] ввел в рассмотрение функции к(х, а), а 6 (0,1), х € [0, оо), обобщающие функцию Мин-ковского ?(х). А 1995 году, в работе [38] Тихий и Уитц рассмотрели однопараметрическое семейство сингулярных функций дх, А £ (0,1), аналогичных функциям к(х,а) (определение функций к(х, о;), д\ приведено на с. 74). Для х е [0,1] функции к(х,а) и дх связаны соотношением к(х, а) = 1 - (1 - а)д^а(х).

Функция ?(х) является членом семейства дх(х) с А = 1/2. Одним из основных результатов третьей главы диссертации является следующая теорема.

Теорема 3. Функция дт2, где г2 = т = совпадает с функцией распределения последовательности то есть хе [0,1].

Что же касается функции .р[21(.т), то она не является членом семейства дх{х), но обладает похожими свойствами. В главе 3 показано, что при х £ [0,1/2] выполняется функциональное уравнение а также доказаны следующие теоремы.

Теорема 4. Справедлива следующая формула, выраэюающая значение Е^{х); х € [0,1], через неполные частные разложения (5) числа х:

12 где

Ез = П (-*)> =

Л — единственный действительный корень уравнения

А3 - Л2 - Л - 1 = О, ас — 1 / (Л — 1). Для рациональных х сумма в выражении для будет конечной.

Теорема 5. Если в точке х € (0,1) у функции существует производная, то либо .РИ (х) — 0, либо (х) — оо.

Из теоремы 5 следует, что функция как и функции из семейства д\, является сингулярной (т. е. (х) существует и равна 0 почти всюду в смысле меры Лебега).

Автор выражает благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. А. В. Устинову и д.ф.-м.н., профессору Н. Г. Мо-щевитину за постановку задачи и помощь в работе. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой теории чисел чл.-корр. РАН Ю. В. Нестеренко и всему коллективу кафедры теории чисел. Автор благодарит к.ф.-м.н. И. Д. Кана за постоянное внимание к работе. Данная диссертационная работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-00371-а).

13

1. М. О. Авдеева. Распределение неполных частных в конечных цепных дробях. — Владивосток : ИПМ ДВО РАН, 2000, с. 19.

2. М.О.Авдеева, В., А. Быковский. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса-Кузьмина. — Препринт ДВО РАН №08, Дальнаука, Владивосток, 2002.

3. М. О. Авдеева. О статистиках неполных частных конечных цепных дробей. — Функц. анализ и его прил. т. 38, Я2 2, 2004, с. 1-11.

4. В. А. Быковский. Оценка дисперсии длин конечных непрерывных дробей. ФПМ, t. И, №6, 2005, с. 15-26.

5. Галочкин А. П., Нестереико Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.

6. А. А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М., Наука, 1983.

7. Р. О. Кузьмин. Об одной задаче Гаусса. ДАН ССР, 1928, с. 375-380.

8. Р. О. Кузьмин. К метрической теории непрерывных дробей. — Ученые записки ЛГУ, сер. матем. наук, вып. 15, 1948, с. 163-173.111

9. В.Н.Попов. Асимптотика суммы сумм элементов непрерывных дробей чисел вида а/р. — Аналитическая теория чисел и теория функций. 2, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 91, Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л., 1979, с. 81-93

10. А.В.Устинов. Асимптотическое поведение первого и второго м.оментов для числа шагов в алгоритме Евклида. — Известия РАН, т. 72, №5, 2008, с. 86-216.

11. А.В.Устинов. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором минимального по модулю остатка. — Матем. заметки, т. 85, №1, 2009, с. 153-156.

12. А. В. Устинов. О статистических свойствах конечных цепных дробей. — Труды по теории чисел, Зап. научн. сем. ПОМИ, 322, ПОМИ, СПб., 2005, с. 186-211.

13. А. В. Устинов. О статистиках Гаусса-Кузьмина для конечных цепных дробей. — Фунд. и прикл. математика, т. 11, 2005, с. 195-208.

14. А.В.Устинов. Вычисление дисперсии в одной задаче из теории цепных дробей. — Мат. сборник, т. 198, № 6, 2007, с. 139-158.

15. Ю. Ю. Финкелынтейн. Полигоны Клейна и приведенные регулярные непрерывные дроби. — Успехи мат. наук, 1993, т. 48, Вып. 3, с. 205-206.

16. А. Я. Хинчин. Избранные труды по теории чисел. — М., МЦНМО, 2006.

17. А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М., Наука, 1978.112

18. A. H. Xhhhhh. Metrische Kettenbruechproblem. — Compos. Math. 1935, Bd. 1, pp. 361-382

19. A. R. Xhhhhh. Zur metrischen Kettenbruechtheorie. — Compos. Math. 1936, Bd.3, №2, pp. 276-285

20. J.C.Alexander, D. B.Zagier. The entropy of certain infitely convolved Bernoulli measures. — J. London Math. Soc., v. 44, 1991, pp. 121-134.

21. A. Denjoy. Sur une fonction reele de Minkowski. — J. Math. Pures Appl. v. 17, 1938, pp. 105-151.

22. J. D. Dixon. The number of steps in the Euclidean algorithm. — J. Number Theory, v. 2, 1970, pp. 414-422.

23. D. Hensley. The Number of Steps in the Euclidean Algorithm. — J. of Number Theory, v. 49, 1994, pp. 142-182.

24. S. R. Finch. Mathematical constants. ~ Encyclopedia Math. Appl., 94, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

25. J. P. Graber, P. Kirschenhofer, R. F. Tichy. Combinatorial and arithmetical properties of linear numeration systems. — Combinatorica v. 22, №2, 2002, pp. 245-267.

26. G.H.Hardy, E.M.Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — Oxford University Press, Oxford, 1980.

27. H. Heilbronn. On the average length of a class of finite continued fractions. — in Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, pp. 89-96.

28. B.Vallee. A unifying framework for the analysis of a class of Euclidean algorithms. — Proceedings of LATIN'2000, Lecture Notes in Computer Science 1776, Springer, pp. 343-354.

29. B. Vallee. Dynamical analysis of a class of Euclidean algorithms. — Theoretical computer science, v. 297, 2003, pp. 447-486.

30. B.Vallee, V. Baladi. Euclidean algorithms are gaussian. — J. Number Theory, v. 110, 2005, pp. 331-386.

31. P. Viader, J.Paradis, L. Bibiloni. A new light of Minkowski's ?(x) function. — J. Number Theory., v. 73, 1998, pp. 212 -227.

32. P. Viader, J. Paradis, L. Bibiloni. The derivative of Minkowski's ?(x) function. — J. Math. Anal, and Appl. v. 253, 2001, pp.107 125.Работы автора по теме диссертации:

33. Жабицкая Е. Н. Средняя длина приведенной регулярной непрерывной дроби. — Матем. сб., т. 200, №8, 2009, с. 79-110.

34. Жабицкая Е. Н. On arithmetical nature of Tichy-Uitz's function. — Functiones et Approximate, Vol. 43.1 (2010), pp. 1-8.

35. Жабицкая E. H. О непрерывных дробях с минимальными остатками. — Депонирована в ВИНИТИ, №47-В2010, 24 с.