О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода в пространстве обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Соловьева Светлана Александровна

О ПРЯМЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА В ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01 01 01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗОэЭиои

003059080

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Соловьева Светлана Александровна

О ПРЯМЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА В ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01 01 01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Диссертация выполнена на кафедре математических методов в экономике филиала Казанского государственного университета имени В И Ульянова-Ленина в г Набережные Челны

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Габбасов Назим Салихович

Официальные оппоненты

— доктор физико-математических наук, профессор Мухлисов Фоат Габдуллович

— доктор физико-математических наук, профессор Плещинский Николай Борисович

Ведущая организация — Военно-воздушная инженерная академия

Защита состоится 31 мая 2007 г в 14 30 на заседании диссертационного совета К 212 081 07 при Казанском государственном университете им В И Ульянова-Ленина (420008, г Казань, ул Кремлевская, 18, юрпус 2, ауд 217)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан^ 7 апреля 2007г

Ученый секретарь диссертационного ученого совета кандидат физико-математических наук

им Н Е Жуковского, г Москва

доцент

Ю Р Агачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода (УТР) в классе обобщенных функций Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из цент ральиых обпастей математики и ее приложений К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го и 2-го родов, сингулярных интегральных уравнений Определенные итоги установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях А Ф Верланя и В С Сизиксва, В В Иванова, в специальных обзорных работах Б Г Габдулхаееа, 3 Пресдорфа, И К Лифанова и Е Е Тыртышникова, а также в монографиях С М Белоцерковского и И К Лифанова, Г М Вайникко, В Вольтерра, Б Г Габдул-хаева, Ф Д Гахова, В В Иванова, Л В Канторовича и Г П Акилоьа, Л В Канторовича и В И Крылова, М Л Краснова, И К Лифанова, АЮЛ>чки и Т Ф Лучка, С Г Михлина и X Л Смолицкого, Н И Мусхелишвили, 3 Пресдорфа, И И Привалова, Ф Дж Трикоми и др В то же время ряд задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц, а также теорий уравнений смешанного типа и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом приводят к УТР Обнаружилось, что часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к УТР, являются специальные пространства обобщенных функций типа I) или типа V Под И (соответственно V) понимается класс обобщенных функций, построенных при помощи функционала «дельта-функция Дирака» (соответственно «конечная часть интеграла по Адама-ру») Впервые в пространстве обобщенных функций УТР исследовалось Г Р Бартом и Р Л Варноком Их исследования были продолжены и развиты в работах В С Рогожина и С Н Расламбекова, Г Р Барта, Н Сукаванама, К Б Баратапиева, С Н Расламбекова Все эти работы посвящены теории Нетера

для соответствующих УТР в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций Подробный обзор имеющихся результатов и библиографию можно найти в монографии Н С Габбасова (2006 г) Исследуемые уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в пространствах обобщенных функций является актуальной задачей Первые результаты в этом направлении получены в работах Н С Габбасова, который исследовал УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений При этом по решению УТР в пространстве типа И получены в определенном смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения В статье В А Золотаревского (2003г) некоторые результаты Н С Габбасова (1990г) в частном случае пространства типа И перенесены на УТР в комплексной плоскости

Таким образом, в обсуждаемой области все еще остается много нерешенных задач В частности, вопрос о построении и обосновании методов прибчиженного решения общих УТР в пространстве типа V, по существу, до сих пор оставался открытым Данная диссертационная работа в определенной степени восполняет это г пробел

Цель работы - построение теории разрешимости УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V и теоретическое обоснование методов их приближенного решения в данном пространстве

В диссертации под теоретическим обоснованием понимается, следуя Л В Канторовичу, следующий круг задач а) доказательство существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений, б) доказательство схо-

димости приближенных решений к точному и определение скорости сходимости, в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных, г) исследование устойчивосги и обусловленности аппроксимирующих уравнений

Методика исследовании При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов используются теория операторов Нетера, теория приближения функций, общая теория приближенных методов анализа и методы функционального анализа При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на существенном использовании результатов и методики исследования, предложенных в упомянутой выше монографии научного руководителя

Научная новизна. В диссертации изучены свойства основных пространств, используемых в исследованиях Для УТР при общих предположениях относительно нулей коэффициента построена теория разрешимости в пространстве типа V (фредгольмовость, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода) На базе этих результатов дано теоретическое обоснование вычислительных схем на основе ряда классических прямых методов, предложены и обоснованы специальные прямые методы решения УТР в классе типа V Установлена оптимальность по порядку точности построенных «полиномиальных» и «сплайновых» методов решения изучаемых уравнений

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем ра?витии теории интегральных уравнений в пространствах обобщенных функций, а также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к решению такого рода уравнений

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации сообщались на Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и крае-

вые задачи» (Самара, 2005, 2006 гг), на международной Казанской летней школе - конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г), на молодежной школе - конференции «Лобачевские чтения -2005» (Казань), на итоговых научных конференциях Казанского университета и филиала Казанского университета в г Набережные Челны (2006, 2007) Основные результаты диссертации в целом докладывались и обсуждались в Набереж-ночелнинском государственном педагогическом институте на семинаре кафедры математического анализа (2006 г , руководитель - профессор Н С Габбасов), на семинаре кафедр математической физики и вычислительных технологий и моделирования факультета ВМиК МГУ (2006 г , руководители - проф И К Лифанов и проф Е В Захаров), на семинаре кафедры теории функций и приближений (2007 г , руководитель - проф Б Г Габдулхаев), на совместном заседании кафедр математических методов в экономике и математики и информатики филиала КГУ в г Набережные Челны (2007 г )

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и определение общего метода исследования, соответствующие результаты получены лично диссертантом

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 73 наименований

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Введение включает в себя обоснование актуальности темы исследования, обзор работ по теме диссертации и краткое изложение полученных автором результатов

Первая глава посвящена изучению свойств основных пространств, необходимых в датьнейших исследованиях и построению специальной теории приближения в этих пространствах

В §1, сгседуя 3 Пресдорфу и В Б Дыбину, вводится класс V г= С{р1,р2,т,т) точечно «гладких» функций, изучаются некоторые его свойства В частности, доказаны теоремы о вложении банаховых пространств

Пусть С 5= С{1) - пространство непрерывных на 1 = [0,1] функций с обычной

шах - нормой и т е /V Через С(|'"! г С{т, /.,} обозначается класс функций

% е С, имеющих в точке /„ е(0,1) тейлоровскую производную g'"'(/„) порядка т

Пусть , - произвольно фиксированные попарно различные точки интервала (0,]) Каждой точке ставится в соответствие некоторое число т1 е О = 1,<7) Д алее, вводится в рассмотрение векторное пространство

где т = (гпу,тг, ,т?), г = - конечномерные наборы соответствующих

величин Пусть р) е /Г Через С{р,, 0} обозначается пространство функций £ е С, имеющих правые тейлоровские производные gl"(0) 0 = 1,[л]) в точке / = 0 , причем в случае р{ Ф [/->,] ([ ] - целая часть) существует конечный предел

Класс С{р2,1} (р2 бГ) вводится аналогично Наконец, образуется основное векторное пространство

У*С{р1,рг,т,т)шС{т,т} П С{?1,0} П С{р2,1}

(естественно считается, что С{0,0,0,г} 5= С ) По норме

,=1 М)

пространство У полно Здесь

№)(/) = «(0-2 ^УЧ',)«,(') /и«=Ф(0,

,-1

/=1 м)

И(«)е/"(1-ОлП(/-/у^'' фбС(7)> Ф(',) = 1ипФ(/) 0 = 1,9 + 2), *уе(0,1)

(у = 1, ц), = 0, = 1, - фундаментальные полиномы Эрмита степени

т~ 1 по узлам {/,},+2, т з ^/и,,з А, +1, = А, +1, (4 = 1,2),

В §2 рассматривается пространство X = , устанавливаются

некоторые его свойства, в частности, доказывается, что пространства Хи У являются взаимно союзными, а также приводится ряд необходимых определений и вспомогательных фактов

Обозначим через X семейство обобщенных функций *(/), определенных на основном пространстве У, вида

где Ге/, геС, ^к=Як-р1+1, с(, е Л-произвольные постоянные, а знак

«/*" Р » указывает на конечную часть интеграла по Адамару

В §3 строятся элементы специальной теории приближения в пространствах X и У Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса, исследуются вопросы о наилучшем «полиномиальном» приближении функций изХи У, поперечники по Колмогорову множеств в А' и У

Пусть = 5рап{1'}

1 ^и-1 /О '

■ наилучшее равномерное приближение функции g(t) полиномами из

а - и-й поперечник по Колмогорову множества Q в пространстве К

Имеет место

Теорема 1.3.5. Для произвольной функции хе X при любом пеМ существует элемент хп е Н™ наилучшего приближения, причем

Теорема 1.3 6. Для всякого множества ОсХ справедливо соотношение

В § 4 рассматривается вопрос о приближении функций из У при помощи специальных линейных «полиномиальных» операторов, приводятся их аппроксимативные свойства

Во второй главе излагаются результаты по теории разрешимости уравнений Фредгольма третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V Кроме того, на основе ряда классических прямых проекционных методов разрабатываются соответствующие вычислительные схемы и дается их теоретическое обоснование

§ 1 посвящен исследованию разрешимости уравнений третьего рода

Я

Е^рт(х) = Мг р\\х-хп\\х (х в X),

£„г+:,(х) = £,м(Шх)

А') = ¿„(ПУ(0,С) (и е Щ

(Ах)( 0 = (С/х)( 0 + (**)(<) = у(1),

О)

' 'г

где {Ux)(t) = x{t)u{t) = x{t)t*{\-ty>Y\(t-t,)'"', tel,

M о

Pi,р2 e Rt e (0,1), m e N (j = \,q), К и y - известные непрерывные функции, ах - искомый элемент Устанавливается фредгольмовость оператора Л при выполнении условий

КеС'»л"1(1г), КЧ',,*) sY (t- 0,mj-\, j=\,q + 2), (2)

даются необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения в виде требований ортогональности правой части всем решениям соответствующего однородного союзного уравнения

В дальнейшем при обосновании приближенных методов решения операторных уравнений существенную роль играет непрерывная обратимость соответствующих операторов В связи с этим в §2 даются достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода, определенного соотношением (1), и указывается метод отыскания точного решения УТР в пространстве X обобщенных функций

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены следующие условия

1) ядро удовлетворяет требованиям (2), yeY, 1

2) чиспо Я = — 1 не явчяется собственным значением ядра Т:К, '

г

3) система

,=0

где (Р = Е - KRT, R - разрешающий оператор ядра TtK, 'г

О J*i=>

имеет единственное решение {а "¡¿q''!*^

Тогда уравнение (1) при любом уе У имеет единственное обобщенное решение

х'(» = (RTy)(t) - f "f {RTQjXty+ SE^V" 0 ■(' -

t=() /=1 (=0

Следствие. При выпотении условий теоремы 2 2 1 оператор третьего рода А X —> Y непрерывно обратим

§ 3 содержит постановки задач обоснования и оптимизации прямых проекционных методов решения линейных операторных уравнений и ряд вспомогательных результатов из общей теории приближенных методов

В §4 дается обоснование вычислительных схем на основе классических методов моментов, коллокации и подобластей для приближенного решения УТР (1) в пространстве типа V в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа, предложенной Б Г Габдулхаевум

Пусть дано УТР (1), в котором ядро К удовлетворяет условиям (2), у е Y

Приближенное решение уравнения (1) ищется в виде и-1 </+2>л>-1

х„ с „/"■ а - о"2 с ■-1,) , (3)

£=0 ;=1 1=0

где неизвестные коэффициенты (к = 0,«-1) , cJt (i = 0,mJ-1, j = \,q + 2)

согласно методу моментов находятся из условий

1 __

\p{t)(Ax„-y){t)Tt{t)dt = Q (к = 0,и + /и — 1), (4)

о

где {Тк} - полная ортонормированная на I по весу p(t) = (t-t2)~vl 12 система смещенных полиномов Чебышева первого рода

Для вычислительной схемы (1), (3)-(4) верна следующая Теорема 2.4.3. Пусть уравнение (1) однозначно разрешимо в пространстве Y ipu любой правой части у eY, а функции h(t,s) = (T,T,K)(t,s) (по /),

g„(t) = {T¡Kt:{t,t|) О = 1,9 + 2), (Ту)(()еС(2""(1), причем А<1">(/,*) (по

^ равномерно относительно ,$), и (Ту)'2,")(1) е ОЬ Тогда при достаточ-

но больших п е N приближенные решения, определяемые из (3),(4), сугцеству-ют, единственны и сходятся по норме пространства X к точному решению х*(0 УТР (/) со скоростью

■■о

я 1п п}

Результаты §4 второй главы показывают, что при решении УТР на основе классических приближенных методов сходимость приближенных решений достигается путем ограничения исходных данных жесткими требованиями гладкости Это означает, что известные методы приводят к «плохой» скорости сходимости (в частности, по с-равнению со случаем уравнений второго рода) В этой связи в третьей главе ст роятся и обосновываются специальные прямые методы, имеющие преимуществе' перед классическими методами по улучшению скорости сходимости прибли» енных решений

В §1 предлагаются и обосновываются специальные «полиномиальные» методы

Пусть имеем уравнение (1), в котором исходные данные К ну таковы, что выполняются условия (2) и у е У Конечномерное приближение к решению

х" = Л~'у ищется в видг агрегата (3), где неизвестные коэффициенты с, = с,'"'

(к = 0,и-1), (1 = 0,т -1, / = 1,<у + 2) согласно обобщенному методу моментов (ОММ) находятся из системы линейных алгебраических уравнений

I _

\р(1 )(ТАх„ - Ту)(г) Тк (/)Л = 0 (£ = 0, и -1),

(5)

{Лх„-уГ^,) = 0 (| = 0,т,-1, ] = \,д + 2),

Для вычислительной схемы (1), (3), (5) верна следующая

Теорема 313 Пусть кегЛ = {0}, a h(l,s) = (TT,K)(t,s),

gJl{t) = (TlK),:\t,íJ) 0 = ^-1,7 = 1,^ + 2), (Ту)(1)еВ1 Гогда при п>п, приближенные решения х'„(1), определяемые из (3), (5), существуют, единственны и сходятся к точному решению дг*(0 УТР {I) с быстротой

х'-х'Лх =0\

J А ы>

Inn

Следствие Если h(t,i>) (по t), gp (t), (Ту)(/)еЯ; (0 < а < 1, г +1 е N), то в условиях теоремы 3 13 справедлива оценка

[ xl ~'х' I = О (n~r~" In п)

При pt = р2 = т] = 0 (у = 1, q) рассматриваемое УТР превращается в уравнение второго рода в С, а прямой проекционный метод (3), (5) - в известный метод моментов, причем Ту = у, Л = К Следовательно теорема 3 1 3 содержит в себе известные результаты по обоснованию метода моментов для уравнения второго рода

Аналогичные результаты получены для обобщенных методов коллокации и подобластей Основные результаты сформулированы в теоремах 3 1 1 и 3 1 5

В §2 предлагаются и обосновываются специальные «сплайновые» методы решения УТР в пространстве X, являющиеся в некотором смысле обобщением известных методов стайн-коллокации, сплайн-подобластей и метода подобластей на базе параболических сплайнов и обладающие существенным преимуществом перед ними в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений УТР (1)

В §3 устанавливается, что предложенные в диссертации специальные методы моментов, коллокации и подобластей оптимальны по порядку среди всех

«полиномиальных» проекционных методов, а обобщенные сплайн-методы - среди всех прямых проекционных методов решения УТР Приведем один из установленных результатов

Следуя Б Г Габдулхаеву, через КУ(Ф) обозначим оптимальную оценку погрешности всевозможных проекционных методов решения данного операторного уравнения на классе Ф Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых в X уравнений вида (I) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству УН'а = е Г|7£ е (г + 1 е Л) Пусть 3<2) = {Г„} -совокупность всех «полиномиальных» операторов Г„ У-> У„ , удовлетворяющих условию || Г„ || п'гсо(п~х) = о(1) (я—> со), отображающих У на подпространство )'и размерности п + т

Теорема 3 31 Пусть Ф = УНГШ Тогда

КдДФ)^ ЬДг № = п + т)

и этот оптимальный порядок реализует предложенный выше ОМП

Заключение. В работе получены следующие основные результаты

1 Установлены фредгольмовость и достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка

2 Предложены и обоснованы вычислительные алгоритмы на основе классических прямых методов решения исследуемых уравнений в пространстве обобщенных функций

3 Построены и обоснованы специальные «полиномиальные» и «епчайно-вые» методы решения изучаемых уравнений, имеющие преимущество перед

классическими методами по улучшению скорости сходимости приближенных решений

4 Решена задача оптимизации прямых проекционных методов решения уравнений третьего рода, при этом разработаны оптимальные по порядку точности методы решения этих уравнений

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Габбасо-ву Назиму Салиховичу за постановку задач и руководство работой Автор также выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Габдулхаеву Билсуру Габдулхаевичу за постоянное внимание к работе и участникам семинара кафедр математического моделирования и вычислительных методов и математической физики Московского государственного университета, особенно доктору физико-математических наук, профессору Лифанову Ивану Кузьмичу, за внимание к работе и полезные обсуждения

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Габбасов НС К теории разрешимости интегральных уравнений третьего рода /НС Габбасов, С А Соловьева // Тр Всерос научн конф «Мат моделирование и краевые задачи» - Самара, 2005 -43 - С 6872

2 Соловьева С А Элементы теории приближения в пространстве точечно «гладких» функций / С А Соловьева // Тез цокл международной школы-конф «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» -Казань, 2005 - С 146 -147

3 Соловьева С А Обобщенный метод коллокации для одного класса интегральных уравнений третьего рода / С А Соловьева // Тез докл мол научн школы-конф «Лобачевские чтения - 2005», Казань, 2005 -С 144-147

4 Соловьева С А Обобщенный метод подобластей для одного класса интегральных уравнений третьего рода / С А Соловьева // Тез докл итог научн конф филиала КГУ в г Наб Челны - Наб Челны, 2006 -С 88-90

5 Соловьева С А Обобщенный метод подобластей для одного класса интегральных уравнений третьего рода / С А Соловьева // Тр Всерос научн конф «Мат моделирование и краевые задачи» - Самара, 2006 -4 3 - С 209-212

6 Габбасов Н С Обобщенный метод моментов для одного класса интегральных уравнений третьего рода /НС Габбасов, С А Соловьева // Дифференц уравнения -2006 - Т 42 -№10 - С 1416-1423

7 Габбасов Н С О сплайн - методе решения интегральных уравнений третьего рода /НС Габбасов , С А Соловьева / Изв вузов Математика - 2007 - № 3 - С 3-11

***

Сдано в печать 20 04 07 г Заказ К-34, формат 60x90 1/16, тираж 100 экз объем 1 п л , бумага офсетная Отпечатано в ООО «Татполиграф» г Казань, ул Миславского, 9

Введение

Глава 1 СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ В НИХ

§1 Класс С{р{,рг\т,г} и его основные свойства

§2 Пространство V{px\p2\т,т} обобщенных функций

§ 3 Элементы теории приближения в пространствах

С{р];р2;т,т} и V{pi;p2;m,r}

§ 4 Аппроксимирующие операторы в пространстве С{рх\р2;т,т}

Глава 2 К ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО РОДА

§ 1 О разрешимости исследуемых уравнений

§ 2 Непрерывная обратимость интегрального оператора третьего рода

§ 3 Постановка задачи приближенного решения уравнений и вспомогательные результаты

§ 4 О классических прямых методах решения уравнений третьего рода

Глава 3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ

ФУНКЦИЙ

§ 1 «Полиномиальные» методы

§ 2 «Сплайновые» методы

§ 3 Оптимизация проекционных методов

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода (УТР) в классе обобщенных функций.

Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го и 2-го родов, сингулярных интегральных уравнений. Определенные итоги установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях [12, 37], в специальных обзорных работах [24, 44, 53], а также в монографиях [7, 11, 23, 25, 27, 36, 38, 39, 42, 43, 45, 47, 48, 52, 54, 68] и др. В то же время ряд задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см.,напр., [72,40], и библиографию к [72]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [8-10]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [55]) приводят к УТР. Обнаружилось, что часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к УТР, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается класс обобщенных функций, построенных при помощи функционала «дельта-функция Дирака» (соответственно «конечная часть интеграла по Адамару»). Впервые в пространстве обобщенных функций УТР исследовалось Г.Р.Бартом и Р.Л.Варноком [72]. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С.Н.Расламбекова [59-61], Г.Р.Барта [71], Н.Сукаванама [73], К.Б.Бараталиева [5], С.Н.Расламбекова [56, 57]. Все эти работы посвящены теории Нетера (см., напр., [27]) для соответствующих УТР в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор имеющихся результатов и библиографию можно найти в монографии Н.С.Габбасова [18]. Исследуемые уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в пространствах обобщенных функций является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах Н.С.Габбасова [14-18], который исследовал УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по решению УТР в пространстве типа D получены в определенном смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье В.А.Золотаревского [34] некоторые результаты Н.С.Габбасова (1990г.) в частном случае пространства типа D перенесены на УТР в комплексной плоскости.

Таким образом, в обсуждаемой области все еще остается много нерешенных задач. В частности, вопрос о построении и обосновании методов приближенного решения общих УТР в пространстве типа V, по существу, до сих пор оставался открытым. Данная диссертационная работа в определенной степени восполняет этот пробел.

Цель работы - построение теории разрешимости УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V и теоретическое обоснование методов их приближенного решения в данном пространстве.

В диссертации под теоретическим обоснованием понимается следующий круг задач: а) доказательство существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений; б) доказательство сходимости приближенных решений к точному и определение скорости сходимости; в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных; г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимирующих уравнений.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов используются теория операторов Нетера, теория приближения функций, вариант общей теории приближенных методов анализа, предложенный Б.Г.Габдулхаевым [23], и методы функционального анализа. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на существенном использовании результатов и методики исследования, предложенных в упомянутой выше монографии научного руководителя [18].

Научная новизна. В диссертации изучены свойства основных пространств, используемых в исследованиях. Для УТР при общих предположениях относительно нулей коэффициента построена теория разрешимости в пространстве типа V (фредгольмовость, алгоритм отыскания точного решения, достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода). На базе этих результатов дано теоретическое обоснование вычислительных схем на основе ряда классических прямых методов, предложены и обоснованы специальные прямые методы решения УТР в классе типа V. Установлена оптимальность по порядку точности построенных «полиномиальных» и «сплайновых» методов решения изучаемых уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в пространствах обобщенных функций, а также при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к решению такого рода уравнений.

Основные результаты диссертации изложены в работах [19-21,62-65]. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановка задач и определение общего метода исследования, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Краткое содержание диссертации. Работа состоит из трех глав, разделенных на 11 параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по главам.

Первая глава посвящена изучению свойств основных пространств, необходимых в дальнейших исследованиях и построению специальной теории приближения в этих пространствах.

В §1, следуя З.Пресдорфу [51] и В.Б.Дыбину [31], вводится класс Y = С{/?,;р2;т,т} точечно «гладких» функций; изучаются некоторые его свойства. В частности, доказаны теоремы о вложении банаховых пространств.

Пусть С — С(/) - пространство непрерывных на I = [0,1] функций с обычной max - нормой и те N. Через Cjm} =C{m;t0} обозначается класс функций g еС, имеющих в точке t0 е (0,1) тейлоровскую производную g{m](t0) порядка/я.

Пусть tvt2,.,tq- произвольно фиксированные попарно различные точки интервала (0,1). Каждой точке tj ставится в соответствие некоторое число rrij е N (у = 1, q). Далее, вводится в рассмотрение векторное пространство где m = {mvm2,.,mq), r = {tvt2,.,tq) - конечномерные наборы соответствующих величин. Пусть рх е R+. Через С{рх; 0} обозначается пространство функций geC, имеющих правые тейлоровские производные g{,}(0) (i = 1, [рх]) в точке t = 0, причем в случае рх Ф [pj ([•] - целая часть) существует конечный предел

Класс С{р2; 1} (p2eR+) вводится аналогично. Наконец, образуется основное векторное пространство 9 о

Y^C{pvp2,m,T} = C{m,T} f| С{А;0} f| С{р2,1} естественно считается, что С{0;0,0,г} = С). По норме q+2 mr 1 j=\ i=0 пространство Y полно. Здесь

7+2 т-\

СTg)(tg(0-£ !u{t)^t\ j=1 /=0 и(О = **(1-0АЦ('-'у)"'' феС(7)' Ф(^) = МФ(0С/ = и + 2); tj e(0,1)

О = 1> #)> = 0, t 2 = 1, - фундаментальные полиномы Эрмита степени

7+2 т-1 по узлам {f, }f+2, m = ]Гrrij,тд+1 тд+2 = Х2 +1, = ) i=1

В §2 рассматривается пространство X = V{px\р2;т,т}, устанавливаются некоторые его свойства, в частности, доказано, что пространствами Yявляются взаимно союзными, а также приводится ряд необходимых определений и вспомогательных фактов.

Обозначим через X семейство обобщенных функций x(t), определенных на основном пространстве Y, вида где t el, zeC, [лк = Хк - рк +1, ср е R - произвольные постоянные, а знак

F.P.» указывает на конечную часть интеграла по Адамару.

В §3 строятся элементы специальной теории приближения в пространствах X и Y. Доказываются аналоги теоремы Вейерштрасса, исследуются вопросы о наилучшем «полиномиальном» приближении функций из X и Y, поперечники по Колмогорову множеств в XnY.

EnA(g) - наилучшее равномерное приближение функции g(t) полиномами к = 1,2), Л(р) = [р] -(1 + sign([р] - р)). q+2 m-1 со мо+1 £ fjpa" a -t)»(t- о)-'-1, j=1 /=0

Пусть Нпх = span{t'}"0~\ HFJm = Я ®span- F.P. из Нп-Х>

Klmix) = inf J| x-x„ I (xgX), a dn(Q,H)- n-й поперечник по Колмогорову множества Q в пространстве К. Имеет место

Теорема 1.3.5. Для произвольной функции хеХпри любом neN существует элемент хп е HFnfm наилучшего приближения, причем

E:+Pm(x) = Enl(TUx).

Теорема 1.3.6. Для всякого множества Q с X справедливо соотношение dn+m(Q>X) = dn(TU(Q),С) (neN). В § 4 рассматривается вопрос о приближении функций из Y при помощи специальных линейных «полиномиальных» операторов, приводятся их аппроксимативные свойства.

Во второй главе излагаются результаты по теории разрешимости уравнений Фредгольма третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V. Кроме того, на основе ряда классических прямых проекционных методов разрабатываются соответствующие вычислительные схемы и дается их теоретическое обоснование.

§ 1 посвящен исследованию разрешимости уравнений третьего рода

Ax)(t) = (Ux)(t) + (Kx)(t) = y(t), (0.1) я ' где (Ux)(t) = x(t)u(t) = x(t)tp> (1 - t)PlПС - tjT' > (£*)(0 = j=1 0 t € /; pv p2 e R+, tjE (0,1), mj e N (j = 1, q); К-ay- известные непрерывные функции, a x - искомый элемент. Устанавливается фредгольмовость оператора Л при выполнении условий: к е С{АЛЙ(/2); K{?a,tj), K\\tps) eY (i = 0^1, j = (0.2) даются необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородного уравнения в виде требований ортогональности правой части всем решениям соответствующего однородного союзного уравнения.

В дальнейшем при обосновании приближенных методов решения операторных уравнений существенную роль играет непрерывная обратимость соответствующих операторов. В связи с этим в §2 даются достаточные условия непрерывной обратимости оператора третьего рода, определенного соотношением (0.1), и указывается метод отыскания точного решения УТР в пространстве Xобобщенных функций.

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) ядро K(t,s) интегрального оператора в уравнении (0.1) удовлетворяет требованиям (0.2), yeY;

2) число X = -1 не является собственным значением ядра TtK;

3) система

7+2 ™у-1

YZafl{9Qfi){\tk)^y){\tk) (1 = 0,тк -1, k = \,q + 2), j=\ /=о где ff =E-KRT, R - разрешающий оператор ядра TtK, QJt(/) =

1 <7+2 (t-tJ)Mr"1rj(t)+ j>(l-s^K^sXs-tjY^ds, = Y\(t-tk)mt, имеет

0 j*k=1 единственное решение {a* J "Ц1]^ ■

Тогда уравнение (0.1) при любом yeY имеет единственное обобщенное решение

7+2™-\ q+2 x\t) = (RTy)(t) - ^a^RTQ^t) + (1 - 0* (/ ~ ^

7=1 /=0 j=1 ;=0

Следствие. При выполнении условий теоремы 2.2.1 оператор третьего рода А: X Y непрерывно обратим.

§ 3 содержит постановки задач обоснования и оптимизации прямых и проекционных методов решения линейных операторных уравнений и ряд вспомогательных результатов из общей теории приближенных методов.

В §4 дается обоснование вычислительных схем на основе классических методов моментов, коллокации и подобластей для приближенного решения УТР (0.1) в пространстве типа V в смысле общей теории приближенных методов функционального анализа, предложенной Б.Г.Габдулхаевым.

Пусть дано УТР (0.1), в котором ядро К удовлетворяет условиям (0.2), у е Y. Приближенное решение уравнения (0.1) ищется в виде

-1 9+2 «у 1 - 2>/ + X (1 - ф (t - (0.3)

0 у=1 1=0 где неизвестные коэффициенты ск = с}л) (k = 0,n-\), cjt (i = 0,njj -1, j = \,q + 2) согласно методу моментов находятся из условий: 1

J'p(t)(Ахп -y)(t)Tk(t)dt = 0 (k = 0,n + m-1), (0.4) о где {Tk) - полная ортонормированная на I по весу p{t) = (t- t2)~V2 /2 система смещенных полиномов Чебышева первого рода.

Для вычислительной схемы (0.1), (0.3)-(0.4) верна следующая Теорема 2.4.3. Пусть уравнение (0.1) однозначно разрешимо в пространстве Y при любой правой части у е Y; а функции h{t,s) = {TsTtK)(t,s) по t), gji(t) = {TtK){;](t,tJ){i = mj-\J = \,q + 2), (Ty)(t)eCi2m\l), причем h(2m){t,s) {по tравномерно относительно s), gftm){t) и (Ту){2т)(t) е DL. Тогда при достаточно больших п& N приближенные решения, определяемые из (0.3),(0.4), существуют, единственны и сходятся по норме пространства X к точному решению x\t) УТР (0.1) со скоростью х -х„ 0 q+2">j-\ }=1 (=0

2т1пиК

Результаты §4 второй главы показывают, что при решении УТР на основе классических приближенных методов сходимость приближенных решений достигается путем ограничения исходных данных жесткими требованиями гладкости. Это означает, что известные методы приводят к «плохой» скорости сходимости (в частности, по сравнению со случаем уравнений второго рода). В этой связи в третьей главе на основе идей и результатов гл.4 [18] строятся и обосновываются специальные прямые методы, имеющие преимущество перед классическими методами по улучшению скорости сходимости приближенных решений

В § 1 предлагаются и обосновываются специальные «полиномиальные» методы.

Пусть имеем уравнение (0.1), в котором исходные данные К и у таковы, что выполняются условия (0.2) и уеУ. Конечномерное приближение к решению х* = А'1 у ищется в виде агрегата (0.3), где неизвестные коэффициенты ск = с[п) (k = 0,n-Y),cjj(/' = 0,тj -1, j = \,q+ 2) согласно обобщенному методу моментов (ОММ) находятся из системы линейных алгебраических уравнений 1 p{t) СТАхп - Ty)(t) Тк (0 dt = 0 (к = 0^1);

0.5)

Ахп - y){i) (tj) = 0 (i = 0, mj -1, j = l,q + 2),

Для вычислительной схемы (0.1), (0.3), (0.5) верна следующая Теорема 3.1.3. Пусть кегЛ = {0}, a h{t,s) = {TsT,K){t,s), gjXO^WfitJ.) (i = mJ-l,j = l,q + 2), (Ty)(t)eDL. Тогда при п>щ приближенные решения x*n(t), определяемые из (0.3), (0.5), существуют, единственны и сходятся к точному решению x*(t) УТР (0.1) с быстротой х -х„ 0\ q+2 тГ\

К-М + ЪЦЕпМ^ + ЕЛТу) /=о

1пи

Следствие. Если h(t,s) (по t),gJt,(f), (7»(0 e Hra (0<a<l,r + leJV), mo в условиях теоремы 3.1.3 справедлива оценка

- 0(пг~а \пп). *

При рх = р2= ntj = 0 (у = 1, q) рассматриваемое УТР превращается в уравнение второго рода в С, а прямой проекционный метод (0.3), (0.5) - в известный метод моментов, причем Ту = у, h = К. Следовательно, теорема 3.1.3 содержит в себе известные результаты по обоснованию метода моментов для уравнения второго рода.

Аналогичные результаты получены для обобщенных методов коллокации и подобластей. Основные результаты сформулированы в теоремах 3.1.1 и 3.1.5.

В §2 предлагаются и обосновываются специальные «сплайновые» методы решения УТР в пространстве X, являющиеся в некотором смысле обобщением известных методов сплайн-коллокации, сплайн-подобластей и метода подобластей на базе параболических сплайнов и обладающие существенным преимуществом перед ними в смысле улучшения скорости сходимости приближенных решений УТР (0.1).

В §3 устанавливается, что предложенные в диссертации специальные методы моментов, коллокации и подобластей оптимальны по порядку среди всех «полиномиальных» проекционных методов, а обобщенные сплайн-методы - среди всех прямых проекционных методов решения УТР. Приведем один из установленных результатов.

Следуя Б.Г.Габдулхаеву [23, гл.1], через УК{Ф) обозначим оптимальную оценку погрешности всевозможных проекционных методов решения данного операторного уравнения на классе Ф. Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых в X уравнений вида (0.1) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству YHr(0 ={g zY\Tg е Нгш} (г +1 е N). Пусть = {Гп} совокупность всех «полиномиальных» операторов Г :Y —>■ Yn, удовлетворяющих условию J) Гл I п~га?(п~') = о(1) (и -»со), отображающих Y на подпространство Yn размерности п + т.

Теорема 3.3.1. Пусть Ф = YHra. Тогда

УИ(Ф) N'rco(N~]) \nN (N = n + m) и этот оптимальный порядок реализует предложенный выше ОММ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Установлены фредгольмовость и достаточные условия непрерывной обратимости оператора уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка.

2. Предложены и обоснованы вычислительные алгоритмы на основе классических прямых методов решения исследуемых уравнений в пространстве обобщенных функций.

3. Построены и обоснованы специальные «полиномиальные» и «сплайновые» методы решения изучаемых уравнений, имеющие преимущество перед классическими методами по улучшению скорости сходимости приближенных решений.

4. Решена задача оптимизации прямых и проекционных методов решения уравнений третьего рода, при этом разработаны оптимальные по порядку точности методы решения этих уравнений.

Отдельные результаты диссертации сообщались на Всероссийских научных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005, 2006 гг.), на международной Казанской летней школе -конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.), на молодежной школе - конференции «Лобачевские чтения - 2005» (Казань), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и филиала Казанского государственного университета в г. Набережные Челны (2006, 2007). Основные результаты диссертации в целом докладывались и обсуждались в Набережночелнинском государственном педагогическом институте на семинаре кафедры математического анализа (2006 г., руководитель - профессор Н.С.Габбасов), на семинаре кафедр математической физики и вычислительных технологий и моделирования факультета ВМиК МГУ (2006 г., руководители - проф.

Е.В.Захаров и проф. И.К.Лифанов), на семинаре кафедры теории функций и приближений (2007 г., руководитель - проф. Б.Г.Габдулхаев), на совместном заседании кафедр математических методов в экономике и математики и информатики (2007 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Габбасову Назиму Салиховичу за постановку задач и руководство работой. Автор также выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Габдулхаеву Билсуру Габдулхаевичу за постоянное внимание к работе и участникам семинара кафедр математической физики и математического моделирования и вычислительных методов Московского государственного университета, особенно доктору физико-математических наук, профессору Лифанову Ивану Кузьмичу, за внимание к работе и полезные обсуждения.

105

1. Агачев Ю.Р. О сходимости метода сплайн - подобластей для интегральных уравнений / Ю.Р.Агачев // Изв. вузов. Математика. - 1981. -№6.-С. 3-10.

2. Агачев Ю.Р. Сплайновые приближения решений интегральных и дифференциальных уравнений: дис. . канд. физ.-мат. наук. / Ю.Р.Агачев ; Казан, гос. ун-т. Казань, 1987. - 144 с.

3. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж.Адамар. М.: Наука, 1978. - 352 с.

4. Алберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж.Алберг, Э.Ниль-сон, Дж.Уолш. М.: Мир, 1972. - 316 с.

5. Бараталиев К.Б. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода / К.Б.Бараталиев // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1985. - Вып. 18. - С. 31-39.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов М.: Наука, 1973. -631 с.

7. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С.М.Белоцерковский, И.К.Лифанов. М.: Наука, 1985. -254 с.

8. Бжихатлов Х.Г. Об одном интегральном уравнении третьего рода / Х.Г.Бжихатлов // Изв. АН Уз. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. - №2. -С. 18-23.

9. Бжихатлов Х.Г. Об одной смешанной краевой задаче для уравнения параболо гиперболического типа / Х.Г.Бжихатлов // Сб. науч. работ аспирантов. - Нальчик, 1971. - Вып.З. - С. 7-9.

10. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче со смещением / Х.Г.Бжихатлов // Дифференц. уравнения. 1973. - Т.9. -№1. - С.162-165.

11. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений, Г.М.Вайникко Тарту: Изд-во Тартуского ун-та, 1970. - 192 с.

12. Верлань А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф.Верлань, В.С.Сизиков. Киев: Наукова думка, 1986. - 544 с.

13. Вольтера В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В.Вольтерра. М.: Наука, 1982. - 304 с.

14. Габбасов Н.С. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода / Н.С.Габбасов // Дифференц. уравнения. 1996.- Т. 32. - № 9. -С. 1192-1201.

15. Габбасов Н.С. Методы решения одного класса интегральных уравнений третьего рода / Н.С.Габбасов // Изв. вузов. Математика. 1996. -№ 5. - С. 19-28.

16. Габбасов Н.С. Оптимальный метод решения интегральных уравнений третьего рода / Н.С.Габбасов // Докл. РАН. 1998. - Т. 362. - № 1.1. С. 12-15.

17. Габбасов Н.С. Оптимальный метод решения линейного интегрального уравнения с ядром, имеющим неподвижные особенности / Н.С.Габбасов //Изв. вузов. Математика. 2001. - № 5. - С. 12-20.

18. Габбасов Н.С. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщенных функций / Н.С.Габбасов. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2006. 176 с.

19. Габбасов Н.С. К теории разрешимости интегральных уравнений третьего рода / Н.С.Габбасов, С.А.Соловьева // Тр. Всерос. научн. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи». Самара, 2005. - Ч.З. - С. 6872.

20. Габбасов Н.С. Обобщенный метод моментов для одного класса интегральных уравнений третьего рода / Н.С.Габбасов, С.А.Соловьева // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42. - № 10. - С. 1416-1423.

21. Габбасов Н.С. О сплайн методе решения интегральных уравнений третьего рода / Н.С.Габбасов, С.А.Соловьева // Изв. вузов. Математика. - 2007. -№ 3 - С. 3-11.

22. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы приближенных методов / Б.Г.Габдулхаев // Функ. анализ и теория функций. Казань, 1968. -Вып. 5. - С. 20-29.

23. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б.Г.Габдулхаев. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - 232 с.

24. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро -дифференциальных уравнений / Б.Г.Габдулхаев // Итоги науки и техники. Математический анализ. М., 1980. - Т. 18. - С. 251-307.

25. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода / Б.Г.Габдулхаев. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - 288 с.

26. Габдулхаев Б.Г. О полигональном методе решения интегральных уравнений со слабой особенностью / Б.Г.Габдулхаев, П.Н.Душков // При-лож. функ. анализа к приближенным вычислениям. Казань, 1974. -С. 37-57.

27. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д.Гахов. 3-е изд., дополн. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

28. Гончаров B.JI. Теория интерполирования и приближения функций / В.Л.Гончаров М.: Гостехиздат, 1954. - 328 с.

29. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций / И.К.Дауга-вет. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 184 с.

30. Дудучава Р.В. О теоремах Нетера для сингулярных интегральных уравнений в пространствах гельдеровых функций с весом / Р.В.Дудучава // Тр. симпоз. по механ. сплошн. среды и родствен, пробл. анализа.- Тбилиси, 1973. Т.1. - С. 89-102.

31. Дыбин В.Б. Нормализация сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае / В.Б.Дыбин // Матем. анализ и его прилож. -Ростов-на- Дону, 1974. Т.6. - С. 45-61.

32. Ермолаева Л.Б. Аппроксимативные свойства полиномиальных операторов и решение интегральных и интегро дифференциальных уравнений методом подобластей: дис. канд. физ.-мат. наук / Л.Б.Ермолаева; Казан, гос. ун-т. - Казань, 1987. - 154 с.

33. Ефимов Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия / Н.В.Ефимов, Э.Р.Розендорн. М.: Наука, 1970. - 528 с.

34. Золотаревский А.В. О приближенном решении интегральных уравнений третьего рода в комплексной плоскости / А.В.Золотаревский // Тр. междунар. симп. «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Харьков - Херсон. - 2003. - С. 136-140.

35. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко. М.: Наука, 1980. - 352 с.

36. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В.В.Иванов. -Киев: Наукова думка, 1968. 287 с.

37. Иванов В.В. Методы вычисления на ЭВМ. Справочное пособие / В.В.Иванов. Киев: Наукова думка, 1986. - 584 с.

38. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В.Канторович, Г.П.Аки-лов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

39. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В.Канторович, В.И.Крылов. М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

40. Кейз К.М. Линейная теория переноса / К.М.Кейз, П.Ф.Цвайфель. М.: Мир, 1972. - 384 с.

41. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. М.: Наука, 1981. - 544 с.

42. Краснов М.Л. Интегральные уравнения / М.Л.Краснов. М.: Наука, 1975. - 303 с.

43. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И.К.Лифанов. М.: ТОО «Янус», 1995. 520 с.

44. Лифанов И.К. Теплицева матрицы и интегральные уравнения / И.К.Лифанов, Е.Е.Тыртышников // Вычисл. процессы и системы. -1990. -Вып.7. С. 94-278.

45. Лучка А.Ю. Возникновение и развитие прямых методов математической физики / А.Ю.Лучка, Т.Ф.Лучка. Киев: Наукова думка, 1985. -240 с.

46. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1965. - 521 с.

47. Михлин С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г.Михлин, Х.Л.Смолицкий. М.: Наука, 1965.-383 с.

48. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И.Мус-хелишвили. М.: Наука, 1968. - 512 с.

49. Нагих В.В. Оценка нормы некоторого полиномиального оператора в пространстве непрерывных функций / В.В.Нагих // Методы вычислений. Л., 1976.- Вып. 10. - С. 99-102.

50. Натансон И.П. Конструктивная теория функций / И.П.Натансон. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 688 с.

51. Пресдорф 3. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном числе точек / З.Пресдорф // Матем. исследования. Кишинев, 1972. - Т.7. - Вып.1. - С. 116-132.

52. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. / З.Пресдорф. М.: Мир, 1979-493 с.

53. Пресдорф 3. Линейные интегральные уравнения / З.Пресдорф // Итоги науки и техники. Современные проблемы матем. Фунд. направления. М., 1988.-Т. 27.-С. 8-130.

54. Привалов И.И. Интегральные уравнения / И.И.Привалов. М.: ОНТИ, 1935.-237 с.

55. Расламбеков С.Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в классах обобщенных функций / С.Н.Расламбеков //Изв. вузов. Математика. 1983. - №10. - С.51-56.

56. Расламбеков С.Н. Линейные интегральные уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим нуль любого порядка, в пространствах обобщенных функций / С.Н.Расламбеков // Изв. вузов. Математика. -1986. -№11. -С. 41-44.

57. Расламбеков С.Н. Теория линейных интегральных уравнений третьего рода в классах обобщенных функций и других функциональных пространствах: дисс. . канд. физ.-мат. наук. / С.Н.Расламбеков; Ростовский гос. ун-т. Ростов-на-Дону, 1987.- 99 с.

58. Рогожин B.C. Теория операторов Нетера / В.С.Рогожин. 2-е изд., доп.-Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1982. - 99 с.

59. Рогожин B.C. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода / В.С.Рогожин, С.Н.Расламбеков // Дифференц. уравнения. 1978. -Т. 14. - №9.-С. 1678-1686.

60. Рогожин B.C. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций / В.С.Рогожин, С.Н.Расламбеков // Изв. вузов. Математика. 1979. -№1.-С. 61-69.

61. Рогожин B.C. К теории интегральных уравнений третьего рода / В.С.Рогожин, С.Н.Расламбеков // Изв. вузов. Математика . 1986. -№4.- С. 77-79.

62. Соловьева С.А. Элементы теории приближения в пространстве точечно «гладких» функций / С.А.Соловьева // Тез. докл. международной шко-лы-конф. «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань, 2005. - С. 146-147.

63. Соловьева С.А. Обобщенный метод коллокации для одного класса интегральных уравнений третьего рода / С.А.Соловьева // Тез. докл. мол. научн. школы-конф. «Лобачевские чтения 2005», Казань, 2005.1. С. 144-147.

64. Соловьева С.А. Обобщенный метод подобластей для одного класса интегральных уравнений третьего рода / С.А.Соловьева // Тез. докл. итог, научн. конф. филиала КГУ в г. Наб. Челны. Наб. Челны, 2006.1. С. 88-90.

65. Соловьева С.А. Обобщенный метод подобластей для одного класса интегральных уравнений третьего рода / С.А.Соловьева // Тр. Всерос. научн. конф. «Мат. моделирование и краевые задачи». Самара, 2006. -Ч.З.- С. 209-212.

66. Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин. М.: Наука, 1976. - 248 с.

67. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. / В.М.Тихомиров М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. - 304 с.

68. Трикоми Ф. Дж. Интегральные уравнения / Ф.Дж.Трикоми. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 299 с.

69. Чеботарев Г.Н. Операторы Нетера. / Г.Н.Чеботарев Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1984.- 47 с.

70. Эдварде Р. Функциональный анализ / Р.Эдвардс. М.: Мир, 1969. -1071 с.

71. Bart G.R. Three theorems on third kind linear integral equations / G.R.Bart // J. Math. Anal, and Appl -1981. - V. 79. № 1. - P. 48-57.

72. Bart G.R. Linear integral equations of the third kind / G.R.Bart, R.L.War-nock // SIAM J. Math. Anal. - 1973. - V. 4.- P. 609-622.

73. Sukavanam N.A. Fredholm-type theory for third kind linear integral equations / N.A.Sukavanam // J. Math. Anal, and Appl. - 1984. - V. 100, № 2. -P. 478-485.