О распределении особенностей и скорости суммирования степенных рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л - ЬРЬ411ЪЬ ^ЬБициЪ яииишипиъ

1 и 0,1

2 НОЯ '007 УДК 517.53

Зил^шй ийт.2 4[ищ[и5[1р[1

ииэьшъизьъ сипеьгь ьзимьпкэзпм^ъьпь рискжиъ Ь4 цги-иигииъ итшгиозиъ иииьъ

1Гшийищ[илпф.|П1.йо и.01.01- (ЗшрЬйшт^ЦшЦшй шйи^И

3)ЬчЬ1^ш-15шрЬ13шт[11|ш1|шй q|^mnфJnLDGЬpfl рЫ|0ш6тф qf^Lлшl|шD шии-фбшОЬ Иш^ий Ш1пЬ0ш[ипип1.р]шй

иьаиичьр

ьпьаиъ-1997

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.53

Яврян Ануш Владимировна

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ И СКОРОСТИ СУММИРОВАНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

специальность 11.01.01- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН-1997

Работа выполнена на кафедре теории функций Ереванского государственного университета.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Мартиросян В.А.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Вагаршакян А.А.

Ведущая организация-

Институт математики им. В.А. Стеклова АН РФ

Научный руководитель-

академик НАН Республики Армения, доктор физико-математических наук, профессор Аракелян Н.У.

Защита диссертации состоится - - 1997г. в ^часов на заседании специализированного Совета 050 при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, Ереван, ул. Ал. Манукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

>/ V

Автореферат разослан - - _ 1997г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

Т.Н. Арутюнян

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Задачи об определении особенностей ряда и востановлении его аналитического продолжения, используя непосредственно коэффициенты ряда, стали рассматриваться под влиянием вейерштрассовского обоснования теории аналитических функций.

Известная работа Фабри" легла в основу большого цикла исследований вопросов локализации особенностей ряда на границе круга сходимости. Ряд результатов, обобщающих и уточняющих классические теоремы, были получены Н.У.Араке-1 ляном и В .Мартиросяном21 на основе юдхода, опирающегося на метод "функции коэффициентов". В связи с результатами Н.У.Аракеляна'31 об аналитическом продолжении степенного ряда в угловую область стало возможным применение этого подхода к исследованию не рассматриваемого ранее, как нам кажется, вопроса о наличии особенностей в заданной угловой области вне круга сходимости.

Одним из основных методов восстановления аналитического продолжения степенного ряда является его суммирование посредством бесконечных или полунепрерывных матриц суммирования. Этот метод, фактически, позволяет аппроксимировать продолжение ряда степенными рядами с вполне определенными коэффициентами. Для практического применения методов суммирования представляется важным исследовать скорость аппроксимации этими рядами, а также их частными суммами (полиномами). В этой связи оказывается удобным изучение класса полунепрерывных матриц, рассмотренного Н.У.Аракеляном31.

Таким образом, вопросы о распределении особенностей и скорости востановления ряда, рассматриваемые в диссертации, являются естественным продолжением и развитием указанной выше тематики.

1) Fabry Е., Sur les sériés de Taylor qui ont une infinité de points singuliers, Acta math. 22, 65-87 (1898)

2) Аракелян Н.У., Мартиросян B.A., Локализация особенностей степен-ных рядов на границце крыга сходимости, Изв. АН Арм. ССР, Математика, 1987, 22, №1, стр. 3-21.

3}

'Аракелян Н.У., Об эффективном аналитическом продолжении степенных рядов., Мат сборник, 5, 1984, стр. 24-44.

Цель работы. - Найти достаточные условия на коэффициенты степенного ряда, обеспечивающие существование его особенностей в заданной угловой области.

- Для векторнозначных рядов найти аналоги известных результатов об особенностях на границе круга сходимости.

- Изучить скорость суммирования степенных рядов с помощью бесконечных матриц определенного класса.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, функционального анализа.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты • диссертации 'вляются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в теории функций комплексного переменного, функциональном анализе и т. д.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по комплексному анализу в Институте математики HAH Армении, на кафедре теории функций ЕрГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех научных статьях

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации 59 страниц. Список литературы содержит 28 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Для произвольного множества Е а С обозначим через Е,Е°, дЕ,С\Е- его замыкание , внутренность, границу и дополнение в С.

Через N и R будем обозначать множество натуральных и вещественных чисел, соответсвенно.

В главе 1 исследуется вопрос о наличии особенностей

ряда

I/„Alimsup|/,,M • (l)

/¡=0 п—>оо

в пересечении внешности единичного круга с заданной угловой областью. Мы используем подход, примененный Н.У.Аракеляном и В.А.Мартиросяном при исследовании вопроса о существо-вании особенностей ряда (1) на заданной дуге единичной окруж-ности. Этот подход, основанный на методе

"функции коэффи-циентов", фактически сводит вопрос об особенностях ряда к изучению условий равновесия между ростом аналитической функции и количеством ее нулей.

Для форммулировки результатов этой главы введем некоторые понятия и обозначения.

Определение 1. Для аналитического элемента

+00

!./>", (2)

«=0

с радиусом сходимости /?е(0,+о>) точку 2 = ге'1), /• е [Л,+оо), назс ем радиальной особой точк й в направлении 9, если р,.д (2) аналитически продолжается вдоль интервала [0,г), не допуская при этом аналитического продолжения на отрезок [0,г].

Аналогично определяется радиальная особенность в направлении 0 в точке со .

Далее, через А будем обозначать произвольную открытую угловую область с вершиной в точке 0.

Определение 2. Для элемента (2) скажем, что точка со-

особенность изнутри . если она является радиальной

особенностью по всем направлениям 9 , для которых е'° е а(а) .

Для пеЫ, Р а N и ц>1 положим Рпм = Р ел [я, ¡а/?] и введем обозначение

если Рп Ф 0 ; если же Рп ^ = 0 , то полагаем ^»(и.ц) = 0. Для элемента (1) положим

Пусть УЛ;=|/«|е'Ы" ' гДе выбраны так, что

|со„+1 - со п | < к. Для ц > 1 и п £ N введем обозначение * , „ СО . 1 — СО I.

Ле[/?,|.ш] К Для а е(0,л] положим

Ла = {<;;|а^<;|<а}.

В §1 главы 1, опираясь на теорему Н.У.Аракеляна, предоставляющую в терминах "функции коэффициентов" необходимые и достаточнные условия возможности аналитического продолжения элемента (1) в открытый угол вида

|с;;|аг«<; - < а|, а е(0,л], доказываются теоремы 1.1 и 1.2.

Для элемента (1) и (ЗеЛ обозначим через 2р множество

мест перемен знака последовательности . Для

по лдовательности вещественных чисел ап число р называется местом перемены знака, если либо ар_\ир <0, либо

ар_} =0, У = 1,2.....Л: -1. и ар_кар< 0.

Теорема 1.1. Пусть для элемента (1) последовательности пк е N , ид Т со, и е К удовлетворяют условию

1

НштГ

А—>00

Для ц > 1 положим

"к _

р > 0.

к -> оо 1 *

и пусть существует число X 6 (0,1] такое, что

Ц—>со " ^

Тогда ряд (1) будет иметь конечную радиальную особую точку внутри угла Д .

Для бесконечного множества ()а N положим

П—>00 /7 60

Теорема 1.2. Пусть для элемента (1) и бесконечного множества () а N

ШшпГ|/„|^ =р>0. (3)

/;—>оо

пед

Если для некоторого числа A. e(0,l] выполняется условие

IimsupiA.logf.1 - > 1 + , (4)

|i->co

то тогда ряд (1) имеет конечную радиальную особенность в углу А последствие 1. Пусть для элемента (1) последовательность *

Q а Р удовлетворяет условию (3) и верхняя плотность после-дователмюсти О равна 1.

Если для некоторого Oq е[0,2п] существует предел

f JQo»'k Hm ->0,

mkeQJm^

то для любого e>0 ряд (1) будет иметь конечную радиальную особенность в некотором направлении Э, ¡0 — Gq| с е .

Для бесконечного множества (JcN и элемента (1) положим

■^о(М-) = liminfS • (и,ц)

я-» со '

Xq(\i) = liminf —-.

^ (i—>оо log JLi

Следствие 2 (о лакунах). Пусть для элемента (1) после*

довательность QczP удовлетворяет условию (3). Если существует число X e(0,l] такое, что

IimsupjMogn-.S'gin)^ l + ilogl,

Ц—>со

то тогда ряд (1) будет иметь конечную радиальную особенность в любом открытом углу Д раствора 2п\ .

Следствие 3 (о лакунах). Пусть для элемента (1) последовательность Q такова, что Л. = Л-q < 1. Тогда в произвольном

углу Л раствора больше 2пк элемент (1) имеет конечную радиальную особенность.

В §2 главы 2 доказывается теорема, из которой можно получить утверждения об особенностях ряда в заммкнутой угловой области, включая точку со.

Теорема 1.3. Пусть для элемента (1) последовательность

Qc. Р удовлетворяет условию (3) и для некоторого числа

X e(0.l] выполнено условие

lim sup (x.log(j.-F*(n,|j.)) > 1 + , (5)

«60/

где Qt = {j . Тогда, либо ряд (1) имеет конечнную

радиальную особенность в , либо его аналитическое

продол-жение в Д^ не ограничено.

В частности, отсюда следует, что в Д^и {со] ряд имеет

ра-диальную особенность в некотором направлении 8,|0|< лА,.

Следствие 1. Пусть для элемента (1) и последовательности QczP выполнено условие (3) и пусть существует число X e(0,l], такое что

So SUP (Mogn-S,.(n.n))>l + Ilogi.

«S,

Тогда, если ряд (1) не имеет конечной радиальной особенности в некотором углу А раствора 2пХ, то его аналитическое продолжение в А не ограничено.

Следствие 2. Пусть для элемента (1) последовательность

Q={,]k} ¡°=i удовлетворяет условию (3) и существует

последователь-ность р./. Too, такая, что

, . S ,{пк,к)

lim inf-= х < 1.

k-+co logn^.

Тогда, при т>0, ряд (1) в любом замкнутом углу А раствора 2тгс либо имеет конечную радиальную особенность, либо оо

является особенностью изнутри А. Если же т-0, то ряд (1) имеет радиальную особенность (конечную или в точке оо) в произвольном направлении.

Приводимый в конце §2 пример степенного ряда показывает, что теорема 1.2 теряет силу, если условие (4) заменить более слабым условием (5).

В главе 2 приводятся аналоги известной теоремы Фабри об отношении для степенных рядов с коэффициентами из некоторой банаховой алгебры А (с единицей). Для их формулировки введем некоторые обозначения. Для элемента а е А положим ст(а) - спектр элемента а ;

г(о) - спектральный радиус элемента а . Обозначим через G(A) множество обратимых элементов алгебры А .

Теорема 2.1. Пусть {an}^Qc:A, a¡aj — ajd¡, для

z,ye/Vu{0}, и ап—>а при н-»+оо. Тогда ряд

+f S^n (6)

^ лЛ+1 4 '

п=О Л

сходится при X Ф О , если г(а) - 0. Если же г{а) > 0 и

\а„ - о|| < r(a), п е N и {О} , то радиус сходимости ряда (6) равен г (а) , причем

н II1

h m\\ala2...an\\n =г(а). (7)

Л—>00

При г(а) Ф 0 все точки "к е а (а), |Х| = г(а) являются особыми точками ряда (7).

Теорема 2.2. Пусть üjeG(A), • = я-о,-, для

i,j е N u {О}, Qxa N - последовательность плотности А , Q2=N\Qx и

lim ak =ехр(b¡), / = 1,2, AeQ

а: = exp(Abl + (1 - А)Ь2). Тогда: 1) радиус сходимости ряда (6) равен г (а) и выполняется соотношение (7).

2) Если /-(с/)ехр(Ю0) еа(а), то ряд (6) имеет особую точку вида г(а)схр(/0), такую что

|0-ео|<2ЛД(1-Д), где L= sup |lm(z, -z2)\.

:k&s(bk)

Пусть теперь fn e X, где X -некоторое комплексное банаховое пространство. Полагая /п=0 для /7 — —1,-2,..., обозначим для т,п е {0j

I

¿'"(ЛЬ S(-0kcifn.k.

n=0

Теорема 2.3. Пусть

il ii1 limsup|/„||" = 1,

/i—>œ

ряд

+O0

2>'7„ (8)

n = 0

расходится при z= 1, и для некоторого m eNu {о}

Д'"(/„)->0, и-»«.

Тогда точка 1 будет особой точкой ряда (8).

Отметим, что результаты главы 2 получены совместно с Н.У.Аракеляном.

Далее, Q будет обозначать произвольную а-звездную область относительно точки a eQ. Множество элементов 00

£ fn (- - а)" ■ I' - а\ < ra = min k - а\ •

допускающих однозначное аналитическое продолжение в Q, будем обозначать через На (Q), указывая тем самым на способ

задания функ-ций из //(Q). Последовательность комплексных чисел |с„(со)}™_0, зависящую от параметра со el, где I-некоторое множество с предельной точкой со0, назовем матрицей суммирования эффективной для Ht,(Q), если ряд

Q,/00:= 2>„ (<■»/„ (--«)"

л=0

сходится в Q и

lim Cw/(z) = /(.)

et) -> м о

локально равномерно в Q.

Следующая теорема Н.У.Аракеляна, указывает на один довольно простой и общий способ задания таких матриц. Для а е R положим

п<* = Req > а Imq] .

Теорема А. Пусть функция ф е Я(П„) ограничена в

каждой угловой области А, А с П^ и {О} ,

/Ц0) = lim —J- = —0° , (9)

.X—>+00 X

и существует предел

ф(0) = lim ф(^) = 1 .

<;->0

Тогда бесконечная матрица

С = (ф(сы1))"0,ю>0,а>0=0. (Ю)

эффективна для

В §1 главе 3 устанавливается связь между скоростью суммирования матрицами (10) и поведением функции при

z-> 0.

Теорема 3.1. Пусть функция ограниченная в

каж-дой угловой области Д,АсП°и{0}, удовлетворяет условию (9) и

|9(/)-l|<C0expj-^logPyj,/G(0,l], где у e(0,l],ß>0,p>0,C0 > 0-постоянные.

Тогда, если О,- произвольная а-звезда с центром а, то для любого компакта /¿'с£2 существует ц>0, такое что для любого / еЯДО)

У [I

|С(1)/(:г)-/(-)!< Л/ехр

-цсо ,+у 1оё1+у М, геК, (12)

где <й е (0,1) и постоянная М зависит лишь от / и К . Обратно, имеет место

Теорема 3.2. Пусть ф удовлетворяет условиям теоремы А и С1, произвольная а-звезда с центром аеП. Если для

/ е//а(р), удовлетворяющего условию

1нтппГ|/„|" >0,

и некоторого невырожденного континуума К с О при некоторых у.> 0,р > 0 выполнено условие (12), то тогда у<1 и функция ф удов-летворяет условию (11).

Далее, отмечается относительно слабая скорость суммирования некоторыми классическими методами

суммирования (метод Миттаг-Леффлера, Линделефа).

В §2 главы 3 рассматривается аппроксимация функций из На(р) полиномами вида

А = 0

Теорема 3.3. Пусть функция удовлетворяет

условиям теоремы 3.1 и пусть

|ф(/)|<С, ехр(-^(/)), / > 1,

где (/-неубывающая на [1,+°°)функция, ¿/(/)-»+ со и </(/) = о(/) при / —> +оо , а С\ - положительная константа.

Тогда для любой функции / е На (О) и любого компакта К а О. существует V > 0 и С > 0 , такие, что для всех п > с](п)

У Р

шах

г е А'

к= О

< Сехр

1+у

со,.

1ой 1+7 -Ь

ел

,(13)

где ю„ =

, а константа А > 0 зависит лишь от компакта

К.

Замечание. В теореме 3.3 (О п могут быть выбраны также независимо от компакта К, а именно (13) выполняется, если взять

Так, для любого р > 0 при подходящем выборе функции

В заключение выражаю глубокую признательность моему научному руководителю академику HAH РА, профессору Н.У.Аракеляну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Получены явные условия на коэффициенты степенного ряда (в терминах их модулей и аргументов), обеспечивающие наличие радиальных особенностей в заданной угловой области.

2. Для векторнозначных степенных рядов получены аналоги теоремы Фабри об отношении.

3. Для определенного класса полунепрерывных матриц дается оценка скорости суммироввания степенных рядов, а также соответствующей полиномиальной аппроксимации в а-спиральных звездах.

1. Н.У.Аракелян, А.В.Яврян, Векторнозначные аналоги теоремы

Фабри об отношении, Изв. HAH Армении, Математика, т.ЗО, №4, стр.87-91,1995.

2. А.В.Яврян, О скорости суммирования степенных рядов вне

круга сходимости, Изв. HAH Армении, Математика, т.ЗО, №4,стр.92-99, 1995.

3. А.В.Яврян, О распределении радиальных особенностей сте-

пенного ряда, Деп. в Арм. НИИНТИ, с. 17, №4, 1997.

Ф можно достичь сходимости порядка

Основные результаты.

Публикации по теме диссертации.

Д-4~чъ

:üqr|r)mlimmmqm!]b r)mph|ümLniip rjijfmpmligmpbmd gmrLjnmuimhimpmq piudqliinnm g^fmlmililhn -ъ rjrnr) nqhn?r)i} gmfdiubmilm gmpilmpiub ijdqcîdmZ gijfmgmçijinnm 1 piutidm dmpmq ijnmlj iJfimZuUu tjüqgßijdinmp mmqligögmmni|h £

'.dqgbulmgm ijpqduqd lmfdqdmüq|i gmíé-iuJqdinUmq ijijddmcg gq ргтфбпилп dmpmq iJdqddmZ gilfmgmpijuinm dqpdmduunhjq]-» z

:ögiuidiuimliunri i|dqggiuídiui|h|mbq i]^fml)|imiimZ piudhudijin gijfmgiuih|gm pmfiin gq piujiuqmlrim ¡JguUu '(Jiuilqggi^Uqui ijdqgingqpiubdm ^ i|dqgliutiup iJUqgßi^mpdub) mil]! ildqrjô^mçdub i]3ümZ gijfmgmpijinnm dqggmpfmlri mfmqmßmd gq pmjißminn Ч

Л-1иФиФЛП

И