Оценки скорости сходимости в законе больших чисел для регулярных методов суммирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. О методах суммирования случайных величин

§1.1. Регулярные методы суммирования

§ 1.2. Вспомогательные утверждения

ГЛАВА 2. Оценки скорости сходимости в законе больших чисел

§ 2.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов

§ 2.2. Критерий сходимости интегралов в терминах весовой функции и границы

§ 2.3. Достаточные условия сходимости интегралов

ГЛАВА 3. мптотичие задачи для р.м

§ 3.1. Асимптотика интегралов по малому параметру

§ 3.2. Равномерный вариант асимптотики по малому параметру ~

§ 3.3. Асимптотика среднего времени пребывания S(Z) за криволинейной границей

Известно значение классических задач теории суммирования независимых случайных величин (н.с.в.), занимающих центральное место в теории предельных теорем теории вероятностей. В последние годы в рамках этой проблематики образовалось направление изучающее с одной стороны взвешенные суммы, а с другой функционалы, представи-мые в виде взвешенных сумм вероятностей уклонений специфического вида.

Пусть Х1}Х2,. - последовательность н.с.в., и пусть {с/ДА), к = 1,2,. ; Л > 0} - некоторая последовательность функций (или в случае дискретности параметра Л - бесконечная матрица, обозначаемая (сп*.)).

Положим

Изучению предельного ( при п —*• ос) поведения S(n) посвящены работы [8], [50], [53], [54], [55] и др., в которых при определенных условиях на cnk и величины Хк установлен закон больших чисел (з.б.ч.), получены оценки скорости сходимости в з.б.ч.

Особенно тщательному исследованию подверглись регулярные методы суммирования. Подробное описание их приведено в §1.1. Здесь лишь отметим, что {cfc(A)} задает некий регулярный метод суммирования, если имеют место следующие условия:

3)^Cfc(A)—при А —> оо. к

В [66] для н.с.в. ограниченных случайной величиной X, удовлетворяющей условиям Е\Х\ < оо и ЕХ — ц доказано, что если (cnfc)

1)cfc(A) 0 при А —» оо (Vfc);

2)£|cfc(A)|<M (VA); к удовлетворяет условиям 1) -3) и при этом для некоторого у при п —► оо max \спк\ = 0(n-7), к тогда из условия Е\Х\1+1/у < оо вытекает усиленный з.б.ч. S(n) —► д п.н.) при п —> оо.Для слабого з.б.ч. необходимо и достаточно, чтобы max cnk —> 0 при п —> оо. к

Ранее этот результат был получен в [65] для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (н.о.р.с.в.).

Для конкретных методов суммирования эти результаты были существенно улучшены.

Пусть {Xfc} последовательность н.о.р.с.в. В [42] Чоу доказал эквивалентность методов суммирования Эйлера порядка 0 < р < 1 и Бо-реля. Бингхэм и Маеджима [41] установили эквивалентность этих методов с методами Валирона, Тейлора и др. Условие EXf < оо является для суммируемости {Хк} этими методами необходимым и достаточным.

Лай [60] показал эквивалентность метода Чезаро порядка г ^ 1 и метода Абеля при суммировании {Хк}. Необходимым и достаточным условием суммируемости {Xjt} является условие E\Xi \ < оо.

В этих же работах устанавлено, что при суммируемости каким-либо из указанных методов, суммы равны ЕХ\.

Позднее А.И. Мартикайнен [23] обобщил эти результаты на н.с.в.

С другой точки зрения рассматривается задача суммируемости последовательности н.о.р.с.в. В.Ф. Гапошкиным [5]. Здесь найдены необходимые и достаточные условия налагаемые на случайные величины, чтобы существовал какой-либо регулярный метод, суммирующий {Хк}.

В работах [5], [36], [44], [58], [72] изучались условия сходимости средних Рисса.

Закону повторного логарифма и его аналогам посвящены работы [3], [41], [61].

Множество работ написано по исследованию центральной предельной теоремы (ц.п.т.) и оценкам в ней. По-видимому первая работа в этом направлении принадлежит Герберу [51], в которой получена оценка в ц.п.т. для метода Абеля. Эта оценка затем была значительно улучшена в работах С.Х. Сираждинова и М.У. Гафурова [32], М.У. Гафурова [7]. Следует отметить также работы Т.А. Азларова и Б. Мередова [1], Б. Мередова [24], Вольфа [71]. В несколько обобщенном виде эти вопросы рассмотрены Эмбрехтсом и Маеджимой [48].

Вопросы умеренных уклонений затронуты в работе JT. Падитца и Ш. Шарахметова [27], в которой исследуются суммы с весами приводящими, в частности, к методу Абеля.

Суммированием слабо зависимых случайных величин занимались В.Ф. Гапошкин [4] и И.Ж. Юлдашев [39].

Для полноты обзора укажем на работы [23] и [25], где рассматривались вопросы суммирования н.с.в. в банаховых пространствах.

К перечисленным в обзоре работам примыкает и настоящая, круг рассматриваемых задач в которой, можно подразделить на следующие пункты:

- оценки скорости сходимости в з.б.ч. для регулярных методов суммирования в виде сходимости интегралов в терминах: а) моментов исходных случайных величин; б) весовой функции и границы;

- асимптотика интегралов по малому параметру и их равномерные в смысле исходного распределения) варианты.

Приведем основные результаты диссертации.

Материал главы 1 носит вспомогательный характер. В первом параграфе описаны регулярные методы суммирования. Определен класс Da, охватывающий широкий круг методов.

Во втором параграфе приведены известные формулы и утверждения, используемые в дальнейшем. Попутно доказана ц.п.т. для методов суммирования из Da и ее равномерный вариант, обобщающий теорему Парзена [64]. Получена оценка в ц.п.т., усиливающая перечисленные в обзоре.

Глава 2 посвящена оценкам скорости сходимости в законе больших чисел.

Пусть {ск(Л)} € D а, £ > 0, q > Ту, qt > 1. Обозначим

Сходимость такого интеграла трактуется как оценка скорости сходимости в з.б.ч. для 5(Л).

Пусть I = {к : Cfc(A) = П(А~а) при Л —► сю}.

Обозначения, характеризующие асимптотическое поведение функций, приведены в §2.1

Результатом параграфа 2.1 является

ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть Xi,X2,. - последовательность н.о.р.с.в. (cfc(A)} Е Da, кроме того, пусть при А —► оо к для 0 < t < 1. Для сходимости r(e,q,t) при любом в > 0 достаточно, чтобы E\Xi\l < оо и EX 1 = 0 в случае t ^ 1. оо 1

Эти условия и необходимы, если при Л —► ос card (/) = 0(Аа).

В частном случае (для метода суммирования средних арифметических) из этой теоремы следует известная теорема Баума - Каца [40]. В параграфе 2.2 доказан критерий сходимости интеграла оо х(/,Я) = J ^P(\\aS(\)\>b2H(\))d\, 1 в терминах весовой функции /(А) и границы Н{Л).

Пусть на [1,оо) заданы строго положительные неубывающие функции f(x) и удовлетворяющие условиям

Дх) т> /W ь р2(х) ' <р3(х) Обозначим

Я(А) = \а^2ср(Х), Н~1(х) - функция обратная к Н(х).

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть Х\, Х2, ■ ■ • - последовательность н.о.р.с.в., EX 1 = 0, EXl = 1, {са.(Л)} G Da, кроме того, я-Н^огдя-Ч^^ья-Ч!^!) < с».

Тогда условия а)х(/,Я)<оо; б) / °° равносильны.

В § 2.3. приведены достаточные условия сходимости интеграла оо я, <0 = J <р(\)Р (5(A) ^ бЯ(Л)Л~а) dA.

Результаты этого параграфа в отличие от других носят односто-роний характер.

В главе 3 найдены асимптотики по малому параметру интегралов, сходимость которых установлена во второй главе. Положим Tt(e) = т(е, 1, f), и обозначим

Ai= Л. 2Л, t>l, где Г(z) — гамма-функция.

Основным результатом § 3.1 является

ТЕОРЕМА 3.1.1 Пусть Xi,X2,. - последовательность н.о.р.с.в. и пусть EX 1 = 0, EXf = 1, {cfc(A)} Е Тогда справедливы соотношения

Ч г п(е) 2 eiO In | Of b) lime2(-f1Vt(e:) = i(2b|)*-1At y elo v 7 аЛ ^ при t > 1 и < oo.

Из теоремы 3.1.1 для метода средних арифметических при t=2 получаем результат Хейди [56].

Аналогично теореме 3.1.1, можно доказать соотношение где s = ^2, при этом предпологается, что i^Xil* < оо.

В § 3.2 доказан равномерный вариант (в смысле исходного распределения) теоремы 3.1.1.

Пусть Ft - класс функций распределения F(x) = Р(Х ^ х), обладающих свойствами: оо оо = о, / = 1,

-оо оо lim sup / x2dF(x) =0, / \х\tdF(x) < ос. a->ooFGF J J а-юо FgF

Ы>а — oo

Обозначим оо

Т(П1 l где Pp - вероятностная мера, соответствующая функции распределения F(x).

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть {cjb(A)} 6 Da. Тогда верны соотношения a) lim sup е|0 Fe$2

In h a

6) lim sup е2'т^(е,д,t) 0; 0, О 2.

1° Fe Ft

В § 3.3 установлена точная асимптотика времени пребывания 5(A) за границей ±&2у(2 ■-f е)Х~а lnlnA с весовой функцией j In In Л. Пусть оо

Ае = J !^W/{|5(A)| ^ b2V(2 + £)A-«lnln(A)}dA. е

ТЕОРЕМА 3.3.1. Пусть Xi,X2,. - последовательность н.о.р.с.в. И пусть выполнены условия

ЕХ1 = 0, ЕХ\ = 1, ЕХ\ In (Xi j < оо, {cfc(A)} е А*.

Тогда при бг —► 0

В работе теоремы и формулы имеют самостоятельную нумерацию в каждом параграфе. При ссылках на теорему или формулу другого параграфа в рамках одной главы впереди указывается номер параграфа, затем номер теоремы или формулы. При ссылках же на формулу из другой главы, используется тройная нумерация: сначала указывается номер главы, затем номер параграфа и в последнюю очередь номер формулы. Буквой с, с индексом или без, обозначены положительные постоянные, не всегда одни и те же.

1. Аз ларов Т. А., Мередов Б. Некоторые оценки в теореме для суммирования случайных величин по Абелю.// Изв.АН УзССр. сер.физ-мат наук. - 1977. - N5. -с.7-15.

2. Бикялис А.Т. Асимптотические разложения для сумм независимых m-решетчатых случайных векторов //Лит.мат.сб. 1972. -т.12. -с.118-189.

3. Гапошкин В.Ф. Закон повторного логарифма для методов суммирования Чезаро и Абеля. Теория вероятн. и ее примен. // -1965. -т.10. N3.-с.449-459.

4. Гапошкин В.Ф. О суммировании последовательностей слабо зависимых случайных величин методами (С, а) // Тезисы IV Международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. -Вильнюс. 1985. -т.1. -с.153-154.

5. Гапошкин В.Ф. О суммировании последовательностей независимых случайных величин //Теория вероятн. и ее примен. 1988. -т.33. N1. -с.68-82.

6. Гассан А.А. Неравенства для рядов из вероятностей больших уклонений для сумм случайных величин. Автореф.дисс. на соиск.учен.степ.канд.физ-мат. наук., Ташкент, 1993 г.

7. Гафуров М.У. Некоторые замечания об остаточном члене в центральной предельной теореме // Изв. АН УзССР, сер.физмат, наук. 1974. N6. -с.3-11.

8. Гафуров М.У., Доев Ф.Х. О методах суммирования случайных величин //Тезисы V Международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. -Вильнюс.- 1989. -т. 111. -с.125.

9. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.:Гостехиздат, 1949. 251 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1514 с.

11. Доев Ф.Х. Об усиленном законе больших чисел для регулярных методов суммирования случайных величин //ДАН УзССР. -1988. -N12. -с.4-7.

12. Доев Ф.Х. О скорости сходимости в законе повторного логарифма для регулярных методов суммирования случайных величин //Деп. в ВИНИТИ. 5430 88 Деп. 1988. 13 с.

13. Доев Ф.Х. О регулярных методах суммирования случайных величин // Изв.АН УзССР. Сер.физ-мат.наук.- 1989. -N1. -с.9-15.

14. Доев Ф.Х. О методах суммирования случайных величин. //Проблемы математического анализа. Изд.СОГУ, 1995.-с.21-22.

15. Доев Ф.Х. Оценки в законах больших чисел для регулярных методов суммирования // Владикавказский математический журнал.- 2000. т.2, N3. - с.13-27.

16. Доев Ф.Х. Об одном классе регулярных методов суммирования случайных величин // Тезисы докладов научной конференции "Актуальные проблемы теории вероятностей и дифференциальных уравнений". Фергана. 2001. с. 41-42.

17. Кахан Ж-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973. 302 с.

18. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей //М.: Физматгиз, 1960.

19. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 720 с.

20. Лаврик А.Ф. О главном члене проблемы делителей и степенном ряде дзета-функции Римана в окрестности ее полюса //Труды МИАН СССР. -1976. -т.142. -с.165-173.

21. Мартикайнен А.И. О регулярных методах суммирования случайных слагаемых //Теория вероятн. и ее примен. -1985. -т.30, N1. -с.10-18.

22. Мередов Б. Оценки в предельной теореме для суммирования сл-чайных величин по Абелю. -В сб.: Пред.теор. и мат.стат. Ташкент: ФАН, 1976, с.71-81.

23. Микош Т., Норвайша Р. Предельные теоремы для методов суммирования независимых случайных величин, I, II //Лит.мат.сб. -1987. -т.27, N1. -с.12-155; 1987. т.27, N2. -с.303-326.

24. Нагаев А.В. Замечания по поводу закона больших чисел в Rd, d ^ 1 //Тезисы III советско-японского симпозиума по теории вероятностей и математической статистике. -Ташкент: ФАН, 1975. -с.118-120.

25. Падитц Л., Шарахметов Ш. Вероятности умеренных уклонений для взвешенных сумм // ДАН УзССР. 1987. - №5. - с.15-17.

26. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987. 317 с.

27. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы иряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 799 с.

28. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

29. Сираждинов С.Х., Гафуров М.У. Замечания к одной предельной теореме //Случайные процессы и статистические выводы. Вып.З. -Ташкент: ФАН, 1973. -с.170-172.

30. Сираждинов С.Х., Гафуров М.У. Метод рядов в граничных задачах для случайных блужданий. Ташкент: ФАН, 1987. 140 с.

31. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

32. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, -т.1. -М.: Мир, 1984. 528 с.

33. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.2. -М.: Наука, 1970. 800 с.

34. Хрущева И.В. О скорости сходимости в законе больших чисел для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. // Теор.вероятн. и мат. статист. -1977. -N17. -с.141-153.

35. Харди Г. Расходящиеся ряды. -М.: ИЛ, 1951. 504 с.

36. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, -1980. 575 с.

37. Юлдашев И.Ж. Некоторые граничные задачи для случайных блужданий, порожденных зависимыми случайными величинами. Дисс. на соиск.учен.степ.канд.физ-мат. наук. Ташкент. 1989. 106 с.

38. Baum L.E., Katz М. Convergence rates in the of large numbers. //Trans.Amer.Math.Soc. -1965. -v.120, N1. -p.108-123.

39. Bingham N.H., Maejima M. Summability Methods and Almost Sure Convergence //Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. -1985. -Bd.68, N3. -s.383-392.

40. Chow Y.S. Delayed Sums and Borel Summability of independent, in-dentically distributed random variables //Bull.Inst.Math. Acad.Sinica. -1973. -v. 1. -p.207-220.

41. Chow Y.S., Lai T.L. Limiting Behavior of weighted sums of independent randon variables //Ann. Probab. -1973. -v.l, n5. -p.810-824.

42. Chow Y.S., Teicher H. Almost certein summability of independent identically distribution random variables //Ann. Math. Stat.-1971.-v.42., N1.- p.401-404.

43. Darling D.A., Robbins H. Iterated Logarithm inegualities //Proc. Nat. Acad. Sei. USA.-1967.-v.57.-p.1188-1192.

44. Davis J.A. Convergence rates for probabilities of moderate deviations// Ann. Math. Stat.-1968.-V.39.,N6.-p.2016-2028.

45. Eicer F. Central limit Theorems for families of sequences of random variables //Ann. Math. Stat.-1963.-v.345., N2.-p.439-446.

46. Embrechts P., Maejima M. The Central limit theorem for summability Methods of I.I.D. Random Variables //Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. -1984. -Bd.68, N2.- s.191-204.

47. Erdos P. On a therem of Hsu and Robbins //Ann.Math.Stat. -1949. -v.20, N2. -p.286-291.

48. Franck W.E., Hanson D.L. Some resalts giving rates of converegence in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables //Trans. Amer. Math. Soc. -1966. -v. 124. -p.347-359.

49. Gerber H. The discounted central limit theorem and its Berry -Esseen analogue //Ann.Math.Stats. -1971. -v.42. -p.389-392.

50. Gut A. Complete convergence and Cesaro Summation for i.i.d random variables //Probab.Theory Relat.Filds. -1993. -v.97. -p.169-178.

51. Hanson D.L., Koopmans L.H. On the convergens rate of the law ollarge numbers for linear combinations of independent random variables //Ann.Math.Stat. -1965. -v.36. -p.559-564.

52. Hanson D.L., Wright F.T. Some more results on rates of convergense in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables //Trans.Amer.Math.Soc. -1969. -v. 141. -p.443-464.

53. Hanson D.L., Wright F.T. Some convergence results for waighted sums of independent random variables // Z. Wahrscheinlichkeitsthe-orie verw. Geb.-1971. -Bd.19. -s.81-89.

54. Heyde C.C. A supplement to the strong law of large numbers //J. Appl. Probab. -1975. -v.12, N1. -p.173-175.

55. Hsu P.L., Robbins H. Complete convergence and the law of large numbers //Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. -1947. -v.33, N2. -p.25-31.

56. Jamison В., Orey S. , Pruitt W. Convergence of weighted averages of independent random variables //Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw.Geb.-1965. -Bd.4, N1. -s.40-44.

57. Katz M. The probality in the tail of a distribution //Ann.Math.Stat. -1963. -v.34, N1. -p.312-318.

58. Lai T.L. Summability methods for independent, identically distributed random variables //Proc.Amer. Math.Soc. -1974. -v.45, N2. -p.253-261.

59. Lai T.L. Limit theorems for delayed sums //Ann.Probab. -1974. -v.2, N3. -p.432-440.

60. Maejima M. Some limit theorems for summability methods of i.i.d. random variables //Lect.Notes in Math. -1987. -1233. -p.57-68.

61. Nagaev S.V. Large deviations of sums of independent random variables //Ann.Probab. -1979. -v.7, N5. -p.745-789.

62. Parzen E. On uniform convergence of families of sequences of randomveriables //Univ. Califor. Pupl. Stat. -1954. -p.23-54.

63. Pruitt W.E. Summability of Independen Random Veriables // Y. Math. Mech. -1966. -v.15. -p.769-776.

64. Rohatgi V.K. On convergence rates in the law of large numbers for weighted sums of independent random veriables // Proc. Amer. Math. Soc. -1969. -v.20. -p.570-574.

65. Rohatgi V.K. Convergence of weighted sums of independent random veriables //Proc.Cambridge Phil.Soc. -1971. -v.69. -p.305-309.

66. Spitzer F. A combinatorial lemma and its applications to probability theory //Trans. Amer. Math. Soc. 1956. -v. 82, N2. -p. 323-339.

67. Slivka Y., Severo N.C. On the strong law of large numbers //Proc. Amer.Math.Soc. -1970. -v.24, N4. -p.729-734.

68. Sztencel R. On Boundednes and convergence of some Banach space valued random series //Probab. Math. Statist. -1981. -v.2, N1. -p.83-88.

69. Wolf W. Eine Bemerkung zur Berry Essen -Ungleichung fur " Abelsche Summer" //Wiss. Z. der TU Dresden. -1982. -b.31.- s.215-217.

70. Wright F.T., Piatt R.D., Robertson T. A strong law for weighted averages of independent, identically distributed random variables with arbitary heave tails //Ann.Probab. -1977. -v.5, N4. -p.586-590.