О реализации метода граничных интегральных уравнений для прямых и обратных задач динамической теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

II \J VII

115 ОПТ 1385

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ------ ----------------

На правах рукописи УДК 539 .3

КОРЕЙСКИЙ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

О РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СРАВНЕНИЙ ДЛЯ

ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ' ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 — МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО

ТЕЛА.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1995г.

Работа выполнена на кафедре теорнн урругост^ механико-математического факультета Ростовского государственного университета.

Научный руководитель доктор (¿«¿«C0-JKam.ejuamu4eeitux наук, профессор

A.О. Вагульян

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор

J3.M. Александров

кандидат физпяо-матсмати\ееких иву«, етаршиЦ яаучнм< сотууЗхвш

B.В. Квлннчук

Ведущая организация Московский Государственный

универсцтет.

Защита диссертации состоится "/¿¿''Щ'УЯ 1995г.

в ^ % часов на заседает диссертационного ровета Д 063.52.07 по физико-математическим наукам в Росторсвом Государственном университете по адресу:

г.Ростов-щ-Дрну, ил.Р.Зорге 5, РГУ, механто-цатещти-ческий факультет, ауд.239

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул.Пушкинская Ц8).

Автореферат разослан " S " 1995г.

Ученый секретарь диссертационного codera

фк

ч

Н. В. Боев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность телш определяется бурным развитием метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) и его дискретного аналога метода граничного элемента (МГЭ) для численного решения краевых задач теории упругости и расширением области использования этих методов для новых классов проблем — геометрических обратных задач (ГОЗ).

Цель работы состоит в разработке эффективных подходов и созданию на их основе вычислительных алгоритмов решения следующих проблем: ,

1) расчет волнового поля в упругом полупространстве, которое содержит дефект в виде упругого включения или полости;

2) восстановление формы таких дефектов на основании информация о волновом поле на границе полупространства.

Рассмотрение этих задач ограничено двумерными постановками: случаем плоской деформации и антиплоской задачей теории упругости.

Методика исследования включала в себя-использование методов математической теории упругости, аппарата ТФКП, элементов дифференциальной геометрии, преобразования Фурье, обобщенных функций и теории потенциала, регуляризацию особых интегралов, метод стационарной фалы, метод решения некорректных задач, МГЭ, численные методы.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены интегральные представления волнового поля в упругом ортотропном полупространстве с цилиндрическим включением через'волновые поля па границе включения.

2. Развита техника расчета скачков особых интегралов с различными особенностями, возникающих при формулировке ГИУ прямых и обратных задач.

3. Сформулированы различные типы ГИУ к задаче о колебаниях полупространства с включением.

4. Впервые получены линеаризованные интегральпые представления полей смещения, соответствующие геометрически близким краевым задачам. Исследованы иредельные свойства линеаризованных операторов и сформулированы специальные ГИУ, связывающие ва-

риадии граничных нолей с вариацией формы границы дефекта.

5. Предложены алгоритмы решения прямых н обратных задач, сочетающие в себе основные идеи МГЭ и метод регуляризации.

6. Построен ряд асимптотических представлений волнового поля на границе полупространства, которые использованы при решении ГОЗ.

7. Проведен ряд численных экспериментов, демонстрирующих работоспособность предложенных алгоритмов решения ГОЗ.

Практическую ценность полученные результаты представляют в задачах сейсморазведки и дефектоскопии. Модель со свободной границей позволяет вводить в рассмотрение конкретные граничные источник и приемник и более реально описывать процесс съема данных в отличие от дифракционной постановки ГОЗ. Кроме того, в последние годы появилось направление — shape sensitivity analysis, в котором ставиться задача выяснения влияния малых изменений формы какой-либо граничной поверхности на волновые поля в среде. Сформулированные специальные ГИУ решают эту задачу.

Апробация роботы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: " Современные проблемы механики сплошных сред" (Ростов-на-Дону,1995г.), " Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995 г.); на семинаре кафедры акустики МГУ и на семинарах кафедры теории упругости РГУ. Кроме того, два доклада по материалам работы были включены в программы работы международных конференций (ВЕМ-17, Madison, USA, July, 1995 и Acoustical Imaging, Firenze, Italy, September, 1995).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах (1-7), список которых приводятся в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (включающих в себя 14 параграфов), заключения, списка литературы (состоящего из 145 наименований), объемом 114 страниц. В приложение вьшесены 26 рисунков и 12 таблиц. Диссертация набрана в издательской системе Ш},^.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

__ Глава 1 иосвящена реализации МГЭ для прямых задач (ПЗ).

В §1.1 формулируется основная краевая задача, описывающая установившиеся колебания упругого анизотропного полупространства х3 < 0, содержащего включение или полость. Источник колебаний моделируется распределенной нагрузкой р*е~ш", приложенной к границе полупространства. Все величины, относящиеся к внешней среде У("> помечены верхним индексом "О", к среде включения — верхним индексом "1".

После отделения временного множителя е-1"' основная краевая задача описывается уравцениями движения

V • <т<т) + = 0, хеИт>, т = 0,1, (1)

определяющими соотношениями

„(т) _ с(т) 0 уи(т)( х £ т = 0,1, (2)

граничным условием па границе ши .упространства

п а(°) = { 0,' ^Л «з = 0, п= (0,0,1), (3)

и условиями сопряжения на границе дефекта

и(0) _ р(0) _ х е ду( 1)- для ВКЛЮЧениЯ(

р(0) = 0, 16 для полости, (4)

а замыкают постановку задачи условия излучепия, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения, а — тензор напряжений, и — вектор перемещений, р = п-а — вектор напряжений, п - вектор внешней нормали к с — тензор упругих постояииых, р илотиасть, Л носитель р*.

Рассматриваются частные случаи краевой задачи (1)-(4), когда выполнены нижеследующие три условия: 1) граница дефекта — цилиндр с образующей параллельной оси х^-, 2) р* не изменяется вдоль 3) полупространство и включепие ортотропны и оси ортотропии параллельны координатным осям. Тогда основная краевая задача распадается на две несвязанные задачи: А) случай плоской деформации; В) антинлоскую задачу теории упругости. Выделяется также,

и С) — частный случай случая В), когда среды изотропны. В последней ситуации (1) и (2) переходят в скалярные уравнения Гельмголь-ца относительно второй компоненты вектора перемещений. В дальнейшем положим П(т) — сечение V(m> плоскостью 212:3, а I - dft(1) — простой гладкий контур.

В §1.2 вводятся специальные фундаментальные решения (ФР) краевой задачи (1)-(4), которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Е т — 0,1,

E(m) = c(m)0VU(m)> X,(€f(m), Ш = 0,1,

и граничному условию

п -2:^ = 0, х3 = О, п = (0,0,1).

р(о) — полупространство х3 < 0, a F^1' — пространство. ег — вектор декартового базиса, ¿(х,£) — многомерная дельта-функция Дирака. При помощи преобразования Фурье и условий излучения построены интегральные представления для ФР. В случае С) ФР имеют аналитические представления через функции Хавкеля первого рода нулевого порядка.

В §1.3 строятся интегральные представления полей смещений в полупространстве через значения векторов смещений и напряжений на границе дефекта. Для включения это классические формулы Сомильяны

u(rl^)=-S^(u,ptUI, ( е П(1), (5)

S<m>|u,p,/,i] = l(Pim)(*M • u(x) - UW(I,0 • p(x))dlx

p(m)(x,0 = n(x) - E(rm»(x,0, U = u<°> = u('), p = p(°> = p<'>, x G i, в силу (4). В случае С) (5) переходят в формулу Гельмгольца-Кирхгофа.

Для интегральных представлений полей смещений во внешней среде ыолучен следующий результат:

Векторное поле, определяемое интегральным представлением

u<%) = s<;'>|u,P,i,fl + «r(0. *efi<°\ (6)

удовлетворяет уравнениям (1)-р) ЯАЯ случае.» А) (г = 1,3) н В) (г = 2) н условиям ичлучгния. и" — поле в однородной среде.

€

Формулы (5) и (6) сводят поставленные в §1.1 краевые задачи к поиску граничных полей и и р. Для их расчета формулируются ГИУ путем осуществления предельного перехода при -+ у е / (£<т) е о<т)). В силу сингулярной особенности ядер интегралов предельные значения выражаются через особые интегралы и их скачки.

§1.4 посвящен техпике расчета скачков особых интегралов, которые возникают при формулировке ГИУ различных типов.

В §1.5 формулируются ГИУ, решающие ИЗ

'!«гЫ= 8№[и)Р,*,у] + иГ(у),

Н (7)

-пг(у) = -в^/и.Р.'.уЬ г/е*

В случае А) (г = 1,3), в случав В) (г = 2). Интегралы в (7) понимаются в смысле главного значения по Коши. В случал дефекта типа полость достаточно в верхнем уравнении (7) положить р = 0, при этом нижнее уравнение использовать нет необходимости.

В §1.6 производится дискретизация ГИУ на основе МГЭ и формулируются системы линейных алгебраических уравнений — дискретных аналогов ГИУ при различных типах аппроксимаций. В случае С) показано, как унифицировать процедуру формирования матрицы системы путем интегрирования массива интегралов, что во много раз сокращает время счета программы.

§1.7 посвящен численным экспериментам расчета волнового поля на грапице полупространства в ближней к дефекту зоне в случае С). Среды моделировались константами реальных материалов. На рис.1 изображены диаграммы сходимости действительной и мнимой частей (а и б, соответственно) рассеянного поля (/ = » - м") в выбранной точке на границе полупространства к ближней к дефекту зоне в зависимости от числа граничных элементов N. Дефект представлял собой эллиптическое стальное включение. Внешпяя среда — ¡ияюмшшй. а» = 6400рад/с. Видна стабилизация получаемых зна чений с увеличением N.

Глава 2 посвящена ГОЗ о восстановлении формы границ ы дефек га в упругом полупространстве па основе информации о волновом поле смещения на границе полупространства.

В §2.1 формулируется краевая задача обратная но отиошеппю к краевой задаче (1)-<4). Для этого »водится дополнительное гранич-

ное условие

и<°>=Г, (х,,0)еГ1. (8)

С использованием (6) при { = С € Гь (8) и (7) ГОЗ сведена к следующей нелинейной системе интегро-дифференциальных уравнений ОТПОСИТСЛ1.НО и, р и уравнении формы I

/>(0 = 8^(и,Р.'.С] + иГ(0. , 1Вг(у) = 8?)[и,р ,1,у] + (9)

1«г(у) = -8<1>(и.р.Ы уе1, сет,

В случае А) г = 1,3, ] = хз — любое непустое подмножество множества {1,3}, а в случае В) г = } = 2.

Метод решения (9) основан на использовании априорной информации о форме и месторасположении искомого контура I, которая выражается заданием коптура I. При этом требуется, что бы I мог быть задан в локальной системе координат, связанной с ( посредством формулы

X = X + 1/(£)п(х), х 6 I, хе1 (10)

где п — вектор внешней нормали к I. Поиск 1>(х) и составляет в этом случав цель ГОЗ.

В этом же параграфе формулируется линеаризованная ГОЗ, Для этого рассматривается краевая задача (1)-(4) для дефекта с формой границы I. Все величины относящиеся к этой задаче помечаются волной. Вводятся вариации граничных полей формулами

¿¡и(х) = и(х) - ц(х),йр(х) = р(х)./(х) - р(х),

X = X + VП, X 6 X 6 /,

где 3 — якобиан преобразование элемента длины дуги I в элемент длины дуги I. Если взаиморасположение контуров I и I таково, что поиск и, ¿и и <5р есть линейная проблема с точностью до малых высших порядков, то такая задача называется линеаризованной ГОЗ.

В §2.2 сформулированы специальные ГИУ, решающие линеаризованную ГОЗ._______________________

/;(С)-й|%) = Sf)[¿U,¿p,/,Cl+Wf)hй,p,й]

- ^(уНу)) = Б^[6и,6рХу} + \\М[и,й,р,1,у]

1(биг(у)-^-(уМу)) = -S(r^)[¿u>«^p)/1y)-W(r^V,G,P,^У],

(И)

Сети уй1

С^Ы) = -р^'и^Ч*,*)- «(*) + н<тЧ*,0 • -......Н^^а^-Е^.О,

в — единичный касательный вектор к контуру. Сначала решается ПЗ с известной формой границы I и рассчитываются граничные поля и, р, —, при х 6

Г и й\0) при с е

Т\. После этого (11)

оз оп '

представляет собой линейную систему интегральных уравнений относительно <5и, ¿р и и. Верхние уравнения в (11) — интегральные уравнения с гладкими ядрами, что является следствием некорректности исходной обратной проблемы. Остальные уравнения в (11) сингулярны.

В §2.3 предложена схема дискретизации специальных ГИУ на основе МГЭ, которая согласована с дискретной схемой для ПЗ.

Для решения алгебраических систем—дискретных аналогов (11) использовались различные численные методы для решения некорректных задач. Наилучшим образом себя зарекомендовал метод Пейджа-Саундерса. Всс численные эксперименты, описапные в §2.4 проведены с использованием этого метода.

Для решения нелинейпой обратной проблемы предложен итерационный процесс последовательных приближений. Начиная с начального приближения строится рекуррентная последовательность

контуров ^Л1),..., которые "стягиваются" к искомой форме, если № выбрано удачно. Переход от № к /(р+1) осуществляется путем решения линеаризованной ГОЗ на № и использовании уравнения (10).

В §2.4 описаны численные эксперименты, демонстрирующие работоспособность алгоритма решения ГОЗ, описанного выше. При этом физический эксперимент заменялся численным, который моделировал ПЗ. Эксперименты были проведены в широком диапазоне изменения частоты, глубины залегания дефекта, различных соотношений констант материалов внешней среды и включения и др. величин. Исследовались случаи, когда искомая граница и начальное приближение были концентрическими окружностями, неконцентрическими окружностями, пачальпое приближение — окружность, а искомая форма — эллипсы с различными эксцентриситетами и углами поворота вокруг своего центра, начальное приближение — окружность, а искомая форма — овалы Кассини.

В таблице на пересечении строки и столбца стоит погрешность текущей итерации в процентах. Первый столбец соответствует начальному приближению, второй столбец — первому приближению и т.д. Строки таблицы — отдельные численные эксперименты, проведенные для различных значений параметра где № — волновое число в полупространстве, а 4 — диаметр дефекта. Дефект моделировался полостью, начальное приближение и искомая форма представляют собой концентрические окружности.

Таблица

кщ 0 1 2 3

0.01 28.2 13.4 9.3 7.8

0.1 28.2 10.1 8.1 7.9

1.0 28.2 9.7 3.0 2.2

2.0 28.2 8.1 4.4 2.1

3.0 28.2 4.9 4.4 5.0

Из приведенных в таблице результатов видно, что хуже всего процесс восстановления идет и области низких частот. С ростом частоты сходимрсть итерационного процесса ускоряется.

21

27

У

Рис. la

il

Однако, при = 2 это сопровождается усилением тенденции неравномерного восстановления по периметру дефекта. При > 3 уменьшить погрешность начального приближения не удается. Это связано прежде всего с необходимостью увеличивать число граничных элементов с ростом частоты. Отметим, что наилучшие результаты наблюдаются в области длин волн близких, но не превышающих диаметр дефекта.

На рис.2-3 демонстрируется процесс восстановления более сложных форм. На них изображены начальное приближение и форма, полученная после пяти итераций (пунктирные линии) и искомая форма (сплошная линия) для эксперимента проведенного с полостным дефектом при = 1 с использованием 69 граничных элементов. 7*1 = (0,10). Результаты получены обработкой волновых полей от двух разнесенных источников, расположенных на концах отрезка наблюдения 1\.

Как видно из рисунков, предложенный метод решения ГОЗ способен восстанавливать не только выпуклые, но и слабо вогнутые участки Гранины дефекта. Вместе с тем наличие протяженной области тени (рис^) не позволяет целиком восстанавливать искомую границу, однако "освещенная" часть восстанавливается хорошо.

Глава 3 посвящена использованию асимптотических методов при решении НЗ в случае С) и основанном иа приближенных представлениях методе решения ГОЗ.

В §3.1 формулируются ГИУ относительно добавок к эталонному полю, которые эффективно использовать для слабых рассеивателей, когда константы включения и внешней среды близки.

Построена лучевая формула для рассеянного волновою ноля на границе полупространства для слабого рассеивагсля

¿(Ci.ii) = 0-А)(£+(Сь 6)+£-(С|.Са)).

!*<(, ЛЛ - ехР^Д* * я/4)]

а+ = тга(р, + р3), аГ = тах^ + р2) Р1 = |*-С1|, _Рз = — Сз|,

С1 = (СьО) и Сг = (Сг.О) — координаты источника и приемника на границы полупространства. Знаки + и - соответствуют паре стационарных точек в областях "света" и "тени". Щ — радиус кривизны

í в соответствующей стационарной точке, а Я,л — радиус кривизны эллипса, касающегося ^ в стационарной точке, фокусы ..оторого (1 и

с».

В этом же параграфе получены лучевые формулы на основе физической теории дифракции Кирхгофа. Показано, что они дополпяют (12).

В §3.2 разработан алгоритм восстановления "освещенного" участка границы /. С использованием фазовой характеристики лучевого приближения задача сведена к чисто геометрической проблеме о восстановлении огибающей к семейству эллипсов.

В §3.3 описан численный эксперимент восстановления "освещенной" части /. Даны рекомендации по выбору простых и информативных режимов сканирования. Проведено сравнение рассеяпного поля на границе полупространства полученного на основе МГЭ и согласно лучевой формуле.

Основные результаты.

1. Получспы интегральные представления волнового поля в упругом ортотропиом полупрострапстве с цилиндрическим включением через волновые поля на границе включения.

2. Развита техника расчета скачков особых интегралов с различными особенностями, возникающих при формулировке ГИУ прямых и обратных задач.

3. Сформулированы различные типы ГИУ к задаче о колебаниях полупространства с включением.

4. Впервые получены линеаризованные интегральные представления полей смещения, соответствующие геометрически близким краевым задачам. Исследованы предельные свойства линеаризованных операторов и сформулированы специальные ГИУ связывающие вариации граничных полей с вариацией формы границы дефекта.

5. Предложспы алгоритмы решения прямых и обратных задач, сочетающие в себе основные идеи МГЭ и метод регуляризации.

6. Построен ряд асимптотических представлений волнового поля на границе полупространства, которые использованы при решении ГОЗ.

7. Проведен ряд численных экспериментов, демонстрирующих работоспособность предложенных алгоритмов решения ГОЗ.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю проф. А.О.Ватулънну за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦ ИИ.

1 .Ватулъян А.О., Корейский С.А. Об учете влияния свободной грат ницы при расчете акустического ноля в среде с приповерхностным дефектом. //Дефектоскопия. -1993. -Х»3. -С.19-21.

2.Ватулъян А.О,, Корейский С.А. О восстановлении формы цилиндрического дефекта в полулрострацстве.//Дефектоскоция.-1993.-Х»5.-

С.30-34.

3.Ватулъян А.О., Корейский С.А. Об определении формы включения в упругом полупространстве по известному волновому полю на его границе. //Дефектоскопия. -1994. -К«2. -С.64-70.

4.Ватулъян А.О., Корейский С.А. О реализации метода граничных интегральных уравнений в геометрической обратной задаче для упругой среды.//Деп. в ВИНИТИ,12.05.94, №1189-В94.

5. Ватулъян А.О., Корейский С.А. Об одном подходе к решению геометрических обратных проблем теории упругости. // Тез. докл. конф. "Современные проблемы механики сплошных сред." Ростов н/Д.- 1995. -С.8-9.

6.Ватулъян А.О., Корейский С.А. Метод линеаризации в обратной задаче для среды со свободной границей. // Акустич.ж. - 1995. -41Д«3. - С.395-399.

7.Корейский С.А. Линеаризация граничных интегральных уравнений в обратных задачах дифракции для среды со свободной границей. // Тез. докл. конф. "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики". - Воро-неж:ВГУ, 1995., С.130.