О регулярности обобщенных решений задач теории неньютоновских жидкостей и теории пластичности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЧО

^ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

с^ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. В.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи

ШИЛКИН Тимофей Николаевич

О РЕГУЛЯРНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ТЕОРИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ И ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1997

Работа выполнена в лаборатории математической физики С.-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук (ПОМИ РАН).

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Г.А. СЕРЕГИН (ПОМИ РАН)

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор С.И. РЕПИН (С.-Петербургский Гос. Технический Университет)

кандидат физ.-мат. наук, доцент С.И. ЧЕЛКАК (С.-Петербургский Гос. Электротехнический Университет)

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский Государственный Университет (математико-механический факультет)

Защита состоится 16 октября 1997 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.200.60.01 в С.-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии Наук (С.-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, комн. 311)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ. Автореферат разослан 12 сентября 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Г.А. Серегин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

.Диссертация посвящена исследованию гладкости обобщенных решений стационарных краевых задач деформационной теории пластичности и модифицированных уравнений Навье-Стокса для жидкостей с нелинейной вязкостью. Существование обобщенных решений в задачах теории жидкостей с нелинейной вязкостью (которые иногда называют обобщенными ньютоновскими жидкостями) было доказано в работе [6]. Разрешимость вари-ациогшых задач деформационной теории пластичности устанавливается на основе прямых методов вариационного исчисления (см., например, книгу [14] по многомерным вариационным задачам). Гладкость решений этих задач во внутренних подобластях была установлена в работах Г.А. Серегина, Ю. Фрезе и ряда других математиков. В диссертации устанавливается гладкость решений в подобластях, примыкающих к границе.

В работах Ч. Морри и позже в работах Ф. Альмгрена, Е. Ле Джорджи, Е. Джусти, М. Миранды, М. Джаквинты, Г. М о дики, И. Нэчаса, A.A. Архиповой и других математиков были разработаны различные методы изучения гладкости обобщенных решений обширных классов нелинейных эллиптических систем и вариационных задач в пространствах векторозначных функций. В конце 60-ых годов Де Джорджи и другими были построены примеры задач такого типа, для которых существуют обобщенные решения, не являющиеся всюду гладкими функциями. Эти примеры подтвердили, что частичная регулярность обобщенных решений, доказанная Ч. Морри для широкого класса эллиптических систем, отвечает существу дела.

Системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих малые деформации упруго-пластических тел в рамках деформационной теории пластичности или стационарное течение жидкостей с нелинейной вязкостью, не принадлежат классам эллиптических систем, изучавшимся Морри и др. Их исследование требует разработки дополнительных приемов.

Представляют также интерес задачи нелинейной теории упругости в рамках вариационных постановок Дж. Болла. По сути дела, единственным результатом в этой области является теорема существования решения с конечной энергией, доказанная Боллом в 1977 году. До сих пор не известно, удовлетво-

ряет ли минимайзер вариационных задач уравнениям Эйлера-Лагранжа. Не доказана даже сходимость метода конечных элементов. Поэтому любая информация о свойствах функций энергетического класса для функционалов нелинейной упругости представляется интересной.

Цель работы. Целью диссертации является:

1) Изучение граничной регулярности минимайзеров выпуклых вариационных задач, интегрант которых зависит от симметричной части градиента искомой функции и имеет степенной рост с показателем меньше двух.

2) Изучение граничной регулярности обобщенных решений краевых задач, описывающих стационарное течение обобщенных ньютоновских жидкостей в случае, когда диссипативный потенциал имеет квадратичный порядок роста.

3) Изучение граничной регулярности обобщенных решений двумерных краевых задач, описывающих медленное стационарное течение обобщенных ньютоновских жидкостей в случае, когда диссипативный потенциал имеет степенной рост, близкий к двум.

4) Изучение вопроса о возможности аппроксимации кусочно-линейного гомеоморфизма гладкими функциями с положительным якобианом.

Методика исследований. При изучении гладкости обобщенных решений краевых задач используется неявная схема исследования частичной регулярности решений нелинейных эллиптических систем и техника, основанная на применении.обратных неравенств Гельдера. Установлен ряд интегральных неравенств, представляющих собой явные оценки вторых производных решений рассматриваемых задач. Доказательство полной регулярности в некоторых двумерных задачах (в задаче о плоской деформации трнкой пластины и в задаче о плоско-параллельном течении жидкости с убывающей вязкостью) проводится при помощи "hole filling trick".

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для доказательства сходимостей и оценке погрешностей численных методов в задачах механики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на общегородском семинаре по математической физике в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, разбитых на параграфы, и двух приложений. Объем диссертации - 136 страниц в Т^Х'е. Список литературы содержит 86 наименований.

Краткое содержание работы

Во Введении дается общая характеристика задач, рассматриваемых в работе, приводится краткий исторический обзор, сформулированы основные результаты диссертации и приведен список обозначений. Мы будем использовать следующие обозначения:

М+ = {i el:¿>0),

М" - пространство вещественных симметричных матриц порядка п со скалярным произведением а : е — ffijCij, 4<т,е £ MJ,

Í2 - ограниченная область в ¡R" с границей класса С4, Br(x) - открытый шар с центром в точке х радиуса R, QR{x) = ttnBR{x)\

Z7(fi;M"), W^fi;®") - пространства Лебега и Соболева с нормами || • ||Г1п и || • ||(¡t),r,n соответственно;

о

- замыкание в гладких финитных в Í1

функций;

/ГХ(П) - подпространство соленоидальных полей из H^fijM"), Jlr(n) = j^nw^;®");

С'(П) - пространство функций, непрерывных по Гельдеру с показателем ц.

Кроме того, нам потребуется пространство Морри £2,Л(П):

/ех2'А(П)<*||/1к*.*(п) = { sup р~х [ |/|Wp<+oo

ren J . >

0<p<diara íí

В цервой главе рассматривается задача о плоской деформации тонких пластин из упруго-пластического материала со степенным упрочнением. В рамках деформационной теории пластичности эта задача приводится к задаче на нахождение минимума некоторого выпуклого вариационного функционала. Особенностью данной вариационной задачи является то, что ее ин-тегрант зависит от симметричной части градиента неизвестной функции. А именно, мы рассматриваем задачу следующего вида: для заданной функции

/еЬг'{С1;Жп), 1 < г < 2, г' = -Ц- (1)

г - 1

найти вектор-функцию и € И^Я;®") такую, что V« е

Здесь

'(«) = / ЫФ)) - / •

Г2

- функционал задачи, а д : М" —► Ж+ - ее интегрант, удовлетворяющий условиям

• д - функция класса С2 на М^,

• существуют положительные постоянные ^ и 1/1, такие, что

1/0(1 + ИГ2И2 ^ (0(т)х) : * < + М)г-2|х|2, (3)

для любых Т, X е

Известно (см., например, [14] и [8]), что задача (1) имеет единственное решение, а необходимое и достаточное условие экстремума имеет вид

У <г : е(1?)(/® = У / ■ Уйх, . (4)

п п

где

сг=^(фО). (5)

Основные результаты первой главы могут быть сформулированы в виде следующих утверждений:

Теорема 1.1. Предположим, что выполнены условия (1), (3) и

о

функция и Е удовлетворяет соотношениям (4), (5). То-

гда

(l + leHD^lVcrlGL2^).

Теорема 1.2. Предположим, что п = 2 и выполнены все условия теоремы 1.1. Пусть дополнительно

/GLr'"(i);K2)

с некоторым ц > 0. Тогда существует число v £ (0; 1) такое, что

е(и), а € С"(Й; М2).

При доказательстве теоремы 1.1 наибольшие трудности вызывает оценка вторых производных решения, содержащих хотя бы одну производную вдоль направлений, касательных к границе, через касательные производные е(и). В случае, когда функция g имеет квадратичный рост, соответствующая оценка вытекает из неравенства Корна.

Лля доказательства теоремы 1.2 использовано некое обобщение "hole filling trick", предложенное в работе [11] для исследования внутренней регулярности в случае функционалов, имеющих ¿logL-рост относительно тензора деформаций. Основные результаты главы 1 опубликованы в работе [1].

Во второй главе рассматривается краевая задача, описывающая стационарное течение обобщенной ньютоновской жидкости. Эта задача, по сравнению с задачами главы 1, имеет дополнительную трудность: решение ищется в классе соленоидальных полей. Мы рассматриваем задачу следующего вида:

— div <г + (Vu)u - f — Vp,

divtx = 0 в fi, (6)

и — 0 на сЮ.

Здесь рассматриваются только физические размерности п = 2,3. Неизвестными функциями являются поле скоростей и : Q —► К" и поле давлений р : Q —* R; / : i2 —* Мп- внешняя сила; тензор

напряжений сг связан с тензором скоростей деформаций е(и) = |(Vu + (Vu)T) определяющими соотношениями

• (7)

где д : MJ —* М+ - диссипативный потенциал, удовлетворяющий условиям:

• 9 ~ функция класса С2 на М?,

• существуют положительные постоянные ио и этакие, что

Vr,xe Щ (8)

В [6] доказало, что при выполнении условий (8) для любой внешней силы

(9)

о

существует по крайней мере одна пара функций и 6 J|(f2), р G L2{£1), являющаяся обобщенным решением задачи (6), т.е. удовлетворяющая интегральному тождеству

J{cr :e(v)-uku-vik}dx = J{f ■ v + p divv}dx, Vu € W](fi;Rn). n n

(10)

Основные результаты второй главы могут быть сформулированы в виде следующих утверждений:

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (8), (9), и функции и £

о

^г(^)' Р ^ удовлетворяют соотношениям (10). Тогда

и справедлива оценка

1М1(2),2,п + ||р||(1),2,П ^ С(П) ||/||2,о(1 + ||/Ы (И)

Теорема 2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.1 и предположим дополнительно, что

f£L2'n~ 2+2"l(Q;M") (12)

с некоторым fi\ G (0;1). Определим число Ц2 следующим образом: = min{/ii,2 — п = 2, 3. Тогда существует множество

П* С (относительно открытое 8 ¡1], такое, что для любого х$ £ О* и любого ц £ (О;/^) найдется р > 0, для которого

V« £ С"(П„(го); АС),

причем

Е = П \ П* С {аг0 6 О : Пт р'

/)-о

,2-п

J |У2и|2с/а: > 0}

П„(г„)

и (п — 1 )-мерная хаусдорфова мера множества £ равна нулю.

Прямым следствием теоремы 1.2 является следующая

Теорема 2.3. Пусть вполнены все условия теоремы 1.2 и п = 2. Тогда для любого р. (Е (0;^)

Требуемые в теореме 2.1 оценки выводятся при помощи надлежащего выбора пробной функции в тождестве (10). Для оценки касательных производных давления используется лемма о существовании пробной функции с заданной дивергенцией, доказанная в работе [7]. Близкий прием использован в работе [10] при выводе второго основного неравенства в задаче Стокса.

После того, как доказана теорема 2.1, мы "избавляемся" от конвективного члена в системе (6) путем введения новой внешней силы f — j — (\7ы)и. Условие (12) выполняется для / в силу теорем вложения С.Л. Соболева. Утверждения теорем 2.1 -2.2 справедливы для систем без конвективного члена при произвольных размерностях О. Для доказательства теоремы 2.2 использована неявная схема исследования частичной регулярности нелинейных эллиптических систем (терминологию см. [13]). Отметим также, что установлен следующий результат:

Теорема 2.4. Пусть выполнены все условия теоремы 2.1. Предположим дополнительно, что

Уме М?

М?)

/б:2+Е1(0;Г).

Тогда существует е 6 (0;£;[) такое, что

и Е И^+Д^ИГ).

Дальнейшие результаты получены для потенциалов, введенных в работе [12] и имеющих вид

9(т) = \\т\> + д0(\т\), (13)

где до - функция класса С2, удовлетворяющая условиям

(1.14а)

a(t) := sup ,-Ц I ^(¿) - iS{,(s) -, 0 при t 0. (г 142)

3>1 о |1 — I I s

В ВТом случае имеет место следующая

Теорема 2.5. Пусть выполнены условия (8), (12). Тогда для всякого обобщенного решения краевой задачи (6) с диссипативным потенциалом, удовлетворяющим условиям (13), (14^), к = 1,2, имеет место включение

е(и) eL°°(fi;MÇ).

Доказательство теоремы 2.5 проводится по схеме, предложенной в работе [9] для доказательства локальной ограниченности девиатора е(и) (см. также [12]). Эта схема требует получения вблизи границы оценок типа оценок Кампанато для решений линейной задачи. Основные результаты главы 2 опубликованы в работе [2].

В третьей главе рассматривается двумерная задача о медленном стационарном течении обобщенной ньютоновской жидкости в случае, когда диссипативный потенциал имеет степенной порядок роста, меньший двух. Эта задача имеет вид

— div а = f — Vp,

divu = û в fi, (15)

и = 0 на ôfi.

и тензор напряжений а связан с тензором скоростей деформаций е(и) определяющими соотношениями (7). В этой главе мы предполагаем, что

ffW = 0o(M). Vre M2. (16)

где функция ¡7o : М —+ R+ удовлетворяет условиям

• 9о - функция класса С2 на М, <70(0) = О,

• существуют положительные постоянные Lq и L\ такие, что

£о(1 + Ог-2^!?О(*КМ1 + ')г-2. VÍ > 0 (17)

с некоторым 1 < г < 2.

• О^^-да, Vi >0

Условиям (17) удовлетворяет, например, функция

!7o(í) = (l + í2)r/2.

К сожалению, рассуждения, проводимые в главе 1 при исследовании граничной регулярности краевых задач, не включавших давления, оказываются неприменимыми к краевым задачам вида (15). Тем не менее, естественно ожидать, что поведение обобщенной ньютоновской жидкости в случае, когда ее дисси-пативный потенциал близок к квадратичному, мало отличается от поведения решений задач, рассмотренных в главе 2.

Известно (см. [5], [14]), что при выполнении условий (17) для любой внешней силы

/eLr'(ñ¡K2), г' = —^ (18)

о ,

существует единственная пара функций и £ Jj;(í2), р £ /7 (fi), fnp dx = 0, являющаяся обобщенным решением задачи (15), т.е. удовлетворяющая вариационному тождеству

J а : e(v)dx = J{f -v + р div v}dx, Vu G H-^fijlL2). (19) n íí

Перейдем к изложению основных результатов третьей главы. Обозначим через. 8qQ открытый прямолинейный участок границы dQ области ÍÍ. Пусть область fi0 С Í! такова, что Оо П Ш С Положим

L2 = sup[(l+02-4^-«]

i>o t

Теорема 3.1. Пусть п — 2, выполнены условия (17), (18) и функции

о ,

и 6 J1r(fy, Р £ удовлетворяют соотношениям (19). Предпо-

ложим дополнительно, что

г)ф+(Ь2/Ь0)2 >0

Тогда

а е И^(П0;К2), р&ТКЦП0) (1 + |ф)|)г_2|Уе(и)| е Ь2{П0).

Теорема 3.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.1 и предположим дополнительно, что

/ е ЬГ-'»°(П;Ш2), Яо>0,

Тогда существует число и 6 (0; 1) такое, что

е(и), аеС(П0;М2,),

Доказательство теоремы 3.2 снова проводится по схеме, предложенной в работе [11]. Результаты главы 3 опубликованы в работе [3].

В Приложении А1 изучаются свойства функций энергетического класса для вариационных функционалов нелинейной упругости. Вариационные задачи нелинейной упругости ставятся на множестве

С = {г; £ И^ф;®") : <1е1; Уи > 0 п.в. в П, г; = и0на<5П},

где но - заданный гомеоморфизм. Для доказательства сходимости метода конечных элементов в таких задачах необходимо исследовать вопрос об аппроксимации кусочно-линейного гомеоморфизма гладкими функциями с положительным якобианом. С этой целью обычно используют усреднение функций по Соболеву. Назовем порядком узла триангуляции число сходящихся в узле ребер. Установлено, что при усреднении кусочно-линейного гомеоморфизма на ребрах триангуляции и в узлах 3-го и 4-го порядка якобиан остается положительным. Однако в узлах 5-го порядка и выше, знак якобиана может меняться. Эти результаты опубликованы в работе [4].

В Приложение А2 вынесено доказательство основной леммы из [11] для точек, принадлежащих границе области, а также приведены необходимые сведения о логарифмическом признаке непрерывности функций на плоскости.

Работы автора по теме диссертации

[1]. Г. А. Серегин, Т. Н. Шилкип Регулярность минимайзеров некоторых вариационных задач теории пластичности. — Зап. научн. сем. ПОМИ 243 (1997), 270-298.

[2]. Т. Н. Шилкин Регулярность вплоть до границы решении краевых задач теории обобщенных ньютоновских жидкостей. — Проблемы мат. анализа 16 (1997), 239-265.

[3]. Т. Н. Шилкин О граничной регулярности решений одной краевой задачи теории обобщенных ньютоновских жидкостей. — Проблемы мат. анализа 17 (принята к публикации).

[4]. Г. А. Серегин, Т. Н. Шилкин Некоторые замечания о сглаживании кусочно-линейных гомеоморфизмов. — Зап. научн. сем. ПОМИ 221 (1995), 235-242.

Цитированная литература

[5]. О. А. Ладыженская Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой экшдкости. М, Наука, 1970.

[6]. О. А. Ладыженская О новых уравнениях для описания движений вязких HecotcuMaeM ых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач. — Труды МИАН 102 (1967), 85-104.

[7]. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, О некоторых краевых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Стокса. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 59 (1976), 81-116.

[8]. П. П. Мосолов, В. П. Мясников, О корректности краевых задач в механике сплошных сред. — матем. сб. 88 вып. 2 (1972), 256-287.

[9]. Г.А. Серегин, Локальная оценка максимума модуля девиатора тензора деформации в упруго-пластическом теле с линейным упрочнением. — Зап. научн. сем. ЛОМИ 200 (1992), 167-176.

[10]. В.А. Солонников, В.Е. Щадилов Об одной краевой задаче для стационарной системы Навье-Стокса. — Труды МИАН 125 (1973), 196-210.

[11]. J. Frehse, G. A. Seregin, Regularity for Solutions оf Variational Problems in the Dejormation Theory of Plasticity with Logarithmic Hardering. Preprint no. 421, SFB256, Bonn, 1995 (принята к публикации в Труды С.-Петребургского Мат. общества 5).

[12]. М. Fuchs, G. Seregin, Some remarks on non-Newtonian fluids including non-convex perturbations of the Bingham and Powell-Eyring model for viscoplastic fluids. Preprint no 436, SFB256 Bonn, 1995 (to appear in M3AC).

[13]. M. Giaquinta Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems. Princeton, NJ, Princeton Univ. Press, 1983.

[14]. Ch.B. Morrey Multiple integrals in the calculus of variations. Heidelberg, New-York, Springer Verlag, 1966.