О решении одного класса линейных уравнений параболического типа с функциональными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

кинистбрстбо образования рзспублики таджикистан

тадаинскяи государственный университет

Специализировашшй совот К 065.01.02

На правах рукописи уда 519.87.59

i

»

\ ЮСУФОВ АЛИ ТУРАЕШЧ

о решен®! одного класса лшешек ураишши параболического т1ша с фтнкщоналызьыз! условиями

01.01.02 -даффервтцюльнио уравнения

автореферат диссертации ка соисканио ученой степени кандидата физико-математических яаук

душанбе - 1905

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан и Таджикском государственном университете

Научный руководиголь-доктор физико-математических наук, профэссор М.К.ЮНУСИ

Официальные опгоненты-доктор физико-математических наук ДЖАНГИВЕКОВ Г.,

кандидат физико-математических наук, доцент ИСМАТОВ М.И.

Ведущая организация- Самарк а ндский государственный университет им. А.Навои

Защита состоится 1995г. В

часов на заседании специализированного совета К 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском госуниверситете (734025, г.Душанбе, проспект Рудаки, 17).

V дисрертациея можно ознакомиться в научной библиотеке■ Тадаикского госуниверситета.

Автореферат разослан " ^ " 1995г.

Ученый секретарь специализированного совета,

к.ф.-м.н., доцент ХОСАБЕКОВ О.Х.

8ш. /¿V. егяз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Как известно, многие задачи физики, механики и ряда других отраслей естествознания приводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка являются уравнения параболического типа, для которых изучаются различные задачи с краевыми и начальными условиями. Уравнениям параболического типа и задачам связанным с ниш, посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов. Сюда в первую очередь относятся книги: А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, С.Л.Соболева, Р.Куранта, О.А.Ладыкэнской,

Н.Н.Уральцевой, В.А.Солонникова, А.Фридаана, В.С.Владишрова, Б.П.Михайлова, Ж.Л.Лйонса и работы A.M.Ильина, А.С.Калашникова, О.А.Олейник, В.А.Солонникова, А.Ф.Фшп_лова, С.Н.Круккова и многих других.

В этих работах изучены корректности задач с начальными и краевыми условиями в конечномерных или бесконечномерных областях, получены ащзиорные оценки и формулы для представления решения, а также исследованы вопросы устойчивости стационарных решений, доказаны цринцип максимума и теоремы сравнения решений и других вопросов.

В связи с математизацией биологии и общественных наук возникли новые постановки задач для уравнения в частных производных. К этому относится так называемая задача с функциональными условиями. Для уравнения первого порядка линейные - задачи с функциональными условиями были изучены в работах Вольтерра В., Полуактова P.A., Webb O.P., Моисеева H.H., М.Шуси, G.D.Blasio.

Отметим, что термин задача с функциональными условиями был впервые введен в работах М.Шуси, в которых бало проведено наиболее полное исследование этих задач как для уравнения первого порядка, так и для уравнения второго порядка параболического типа. В этих работах рассматривается вопросы нахождения решения следущай задачи:

где

дЪвх Ы я 0<а<®# СКК^

Н(х,а,0) ■ ГГ0(х,а), ХеЗ, 0<а<®

оз

N(£,0,1;) = / й£ ,

. 0

а-

ап

|-р»|8 = ф

?( ), В( ), мо( ), <р( ), а, р, ) -заданные функции, у>о -

постоянные числа, (=1,2,.....п. Для задачи (I) в работах

М.Юнуси в случае а =0, СсЕ1, доказаны принцип максимума, теоремы сравнения, получены априорные оценки, выяснены условия образования нелинейных волн, а таю» для линейных задач (I) получены представления решения в виде рядов Фурье, коэффициенты которых являются решениями интегрального уравнения типа восстановления. В этих работах также изучены вопросы устойчивости нетривиального стационарного решения. Оставались не изученными эти вопросы в случае - третьей краевой задачи с , функциональными условиями и когда О-Е*. Для линейных неоднородных задач с функциональными условиями также не было получено представления решения.

Таким образом, изучаемый класс задач типа (I) является важным классом задач для уравнения в частных производных второго порядка.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть непооредстгюнно ирименвна к практике. Результаты, полученные в . работе, могут быть использованы при моделировании численности популяции биосообществ, медицине и в других областях естествознания. С теоретической точки зрения, ценность работы состоит в исследовании линейных однородных задач с функциональными .условиями в бесконечномерных областях.

Цель работа сост.ат в исследовании корректности третьей краевой (однородной и неоднородной) задачи с функциональными условиями типа (I), в конечномерных и бесконечномерных областях, в линейном, случае, т.е. в случае, когда +

+Х(Х,а^) и В(Л,а,1;) = ______—— ~

-Отличительная черта рассматриваемых в данной- работе

линейных задач типа (I)' от ранее исследованных заключается в том, что здесь изучаются представления решения в виде рядов Фурье в случае бесконечномерных областей и неоднородных правых частей.

Научная новизна. Новыми являются следующие результата: для линейных неоднородных интегро-дифференциальшх задач доказана теорема о представлении решений в вида рядов Фурье, где коэффициенты Сурье удовлетворяют интегральному уравнения типа восстановления;

получены априоршо оцэяки, из которых, в частности, следует корректность- постановки линейной задачи;

исследованы линейные интегро-дифференциальнке система для 3-ей краевой задачи;

изучены пространственно-одномерные задачи и задачи с функциональными условиями на плоскости. Доказаны существование и единственность классического решения.

Метода исследования, Основным методами исследования являются современные метода функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. " Это црзвдо всего пр:шцип максимума, теорема сравнения, метод рпрпорншс оценок, метод разделения переменных, метод преобразования фурьэ, принцип сжимающих отобрааекий и метод последовательных приближений.

Апробация работы. Основные- результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры Математического моделирования и оптимизации механико-математического факультета Тадаикского государственного университета (рук. профессор М.К.Шуси), на объединенном научном'семинаре отделов Математического моделирования" и "Математической экологии" Института матаыатики АН РТ (рук. академик АН РТ З.Д.Усмаиоз, кандидат физико-математических наук М.Юсупов), на атфвльских.конференциях Таджикского госуниверситета (Душанбе 1994г., 1995г.), на научном семинаре отдела "Вычислительной математики" Института математики АН РТ (рук. доктор физ.-мат. наук С.Джумаев), на научном семинаре "По уравнениям математической физики" механико-математического факультета ТГУ (рук. доцент Д.М.Куртазоаз, доц. Р.Абдурахмонов).

Публикации, основные результаты диссертации опубликоггкн в работах [! -э ], список которых приведен в конце автореферата.

ОСхвц и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, вклотаидего 55 наименований. Объем работы 95 страниц машинописного текста.

Каткое содержание работы ''

В диссертации использована двойная нумерация, причем, первая цифра означает номер параграфа и вторая- номер формулы в &тсм параграфе.

Первая глава посвящена исследованию так называемой задачи с функциональными условиями в ограниченной области.

• В первой главе рассматривается в области 0 = 5« [о, ®) * * [О, О < 1;к< со, где 5 = О + Б, о = {х = (з^.я,): О < х. < < \ , у- =1,2}, Б- граница области с, следующая линейная задача:

Ч&Х ЯеО, 0<а<®, О <

(2)

К(х,а,0}=Н „(х,а) , о<а<» ,

Жх,оД)=| (х,е,Ш£, ЯеС, оЦ<

¿да | а — +рк =0, дп в

1=»

дХ<

( Л.

I ах.

гл* = _ а .

•Чах 2ПГ да В,. а, в- гвдаяпые положительные числа, мо(-)- заданная неотрицательная функция, ?„(•>, во(-)- соответственно функции смертности и рождаемости некоторой изолированной популяции, N = Н(г,аД!- численность популяции в точка х возраста а в момент времени

В д&льнййеэм будем предполагать, что выполнены условия согласования граничк-а и начальных условий.

Определение. Под ревонием задачи (2) будем понимать непрерывную функцию имевдую непрерывные произволе

ёя ¿ы д*ъ

"Ж' ¿а' дх^ ДГ{г'

,г и удоклетворякцкз уранкенкв-в-условиям-*г)т~

В первом параграфе рассмотрим задачу (2) при Р0= Ро(а),В0= В0(а), о < а < со и когда :г(2г,а,-ь)= о, т.е. однородной задачи. Сформулируем основной результат §1. -Теорэыа 1. Пусть 'выполнены следующие условия: а} функции ро(.), В0(.), ко{.) определены и непрерывны по совокупности переменных, = сопвЪО, П^ = оопз1;>0. 0) |Рв1 5 £0, !30! < ьо, |ио| < №, где г0, ьо.№ - оопвЪО. в) Функция Мо=Но (.г, а), 1еС, о < а < со, имеет обобщенные произ-

якь дао д2::<> аг№> Зэйэ

и-они ограничены

водные

за зх( за ах{ дх^хг в& ах1дхг ПО а, О < а < аз, С=1,2. Г) ПВоП^.о.^

Тогда решение задачи (2) представляется в следующем виде:

а п г „

к'5"5 -.ъи

(3)

(=11% 2В{

у ь ь ' »1

ч

• х 1Гп аг

ц 1 2 оов—ооз—2-1

"г I, Ъ

-24

г» п » 1 1 2

х.е С, 0 < г, < 0 < а < ш,

где

(4)

1 2

1=1

%<г>1

ч

Здесь является решением интегрального урав-

< г

нения типа восстановления:

со

»г Л «г 1 г

где

„ (а)=В (а) езгр

I - I

V, а

Ы™ С

Замечание 1. В случае, когда ? {&,*.), 30~ Во (&,!■), то в

в

представлении (3) функция Р0 будет зависеть от а

в уравнении (4-) функция во также будет зависеть от 1;. В §2 первой главы оначала рассматривается задача (1) при а = О, р =» 1 И когда ?0= Рй(а), В0= В0(а).

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда решение неоднородной задачи (2) представляется в следущем виде:

а а

' 7, а * У,х{

г ».»/в _ »1,

—" + 1 -1

J , ¿В, , 2

(5) N(x,a,t)=e°

Ы Ы 2Di

" 1 1 К » (t-a> 0 4 1 Bln-i—L~

a1,1,

+ J [Jg (xt. J^.a.X;. X^,a',t) dl; 4 1; da-,

œ в -X „ (a-a- ) i v v л « »

\ \ e M

где G (xt. x2.a,x;. x^,a-)=--- J J

ЬЛ n4=» na=a

x* x г. x' kî;

Sln-sln—i-i- sin-aia—,

b. К \ ь,

/Vе 2 3£ * .-...«Л......

Ш

(G) ^ n (t).[Bn „ СО Ц„ „ (t-£)d£,

J â г t t

о

f Г Д V/S lai

B„n (а)-Эв(а> J - 4". I

51 l ; Î=. 4D£ J

PâiîSHSïiîis s. В случае, когда ?o= ?0{a,t). Be= B0(s,t), го з

лредстввямнаи {3} функция P будет аашсеть от (Ç, Ç+t-a>, a

a ур«ц*но»«у.а (4) фунххдад ---"

(Я) пря

ООО

(V)

а - 1, р

20

I

Тоороаэ з. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и (7), тогда решение задачи (2) представляется в виде:

а « 1 1

г г, а

Г р0сс>ле - 2 —2 -лл

{ ■ ¿к Щ ¿л 2В(

(8) « ш со

-А. _ а

та х

Яп Х_

I I К. е 006-1^1- +

п = п =* 1 я

„ ъ. ь,

а * *

1 а

ii i

со ш -V _ (а-а-) _ 4 г г « ■ * Л - а-х

4 2 2 в оо а-—— оое-

ь ь

»* п. =1 п.«=»

я Я

я ООС- 003-

я ^х-, Х-, а*, а+т) * * * »

* йх- йа-, х«3, 05а<®, 05 1;<*.,

а х к

^1,11." 2 I г I. п ,п ¡1,1.9......

1 а 1«! V Л * *

п (^-является решешем интегрального уравнения типа восста-1 8 новления:

> з ^ А! 1 I

о

Г а

ВпЛ(а)=В0(а) ехр. | |ро(Е>4£ -Д

V, а

- X а

Для того чтобы установить корректность поставленных задач (2) в

§3 доказываются следующие теоремы

Теорема 4. Пусть выполняются следующие условия:

а )функцни Р0 (•), во (•) ,No (•) определены и Еепрэрывш по совокупности лерменных. Кроме того Po(a,t)<0, B0(a,t)> о

б) Yj, oonat > о

со аз

в) 0< гсах Г В (a,t)da<1,0< min Г B„(a,t)cLa<1

(x.t)J (x.t) J

о о

Г) Nc(Х,&)> О , Jsü, о < а < ю Тогда справедливы оценки:

(9) H(x,a,t)> 0 для всех (tf,a,t)eQ=3x[0,» )х [O.t^],

00) iihiic(q) i ll».llc(B«£0,e)>

Tsopeua s. Пусть выполнены все условия теоремы 4, и кроме того, . пусть N{- решение задачи (2) , соответствующее начальным ■

ФУНКЦИЯМ Н^ , i-1,3.

Тогда справедливо неравенство

(11) min { 0 , minAN? minANl \ < 1 <х,а) (x.t) 1а=о '

< AN < пах 10, maxAN°, maxAH } 1 (х,а) (хЛ) г

из которого следует:

1) если ¿¡if= N^(x,a)- (х, а) > о, , то

AN = ^(¡r.a.t)- Nx(T,a,t) > О В Q.

2) l|AN||0(Q)< l!^IIcC5lt[o.M))

Б параграфе 4 исследована решение линейных систем с функциональными условиями, т.е. рассмотрим задачу (2) при f (a?,a,t)- о.

0

О V

о 1 о

о о

'{т.

о. и

и'

о о

о о

V

.......

....... и-)

ГМ-> .......

вл->.......

Сначала рассмотрим случай, когда

(12) ро(а^)=?0(а) , Вв(а,*ь Вс(а).

Теорана е. Пусть выполняются условия теоремы 1 и (12), тогда решение задачи (2) представляется в виде:

(13) Н(х,а,1;)= • г(а) У / (а) цп Чи-а) *

* Ь.Ь ' ____» » < г

x 000-—— ооо--- бру(х),

Т» ь

1 а

где

1€3| 0< 4 < 0< а <«,

2 = г (а) является решением следующей задачи:

ей

За

= Р0(а) г , г(о)= I,

Г1 (а) У( й(а)= , Й^Ы й(а)= ^ , {= 1,2.

Вп „(а)-1 2

е о

о о

-Г а

в п*па

ejjyw«

ylifi

i-1 2Dii e ' u 0

I

v<x.

rt

J=12Di-

0 0.....

Ш

- H„ „(*>• Г ВП .

i z J i г i 2 о

• В (a)= В (a)Z(a>E^ n(a), 0 < а < ш

12 i i

Заазчавиа а. Если F0= ?o(a,t), BQ= Bo(a,t), тогда решение задачи (2) представляется в следувдем виде: ••

со ^

N(x,a,t)= -4— . Z(a,t-a) S Е„ n(a) u „(t-a) *

j-y —-Г-» п n 1 n n

\nael

4 2 12

где-

2 - :

da

к OOS-- OOS—— Вру(х),

V V •

X € 5, 0 < t < tk, О < а < £0,

является решением слэдувдей задачи:

= ?(ад+и Z(i.t) . z| - I.

«а»о

оо

К «<*>« I В» n«'t)H„ n (t-£)45 .

IS J 1 2 t I

О

Вл n{a,t)= B0(a,t)Z(a»t-a)i£ n(a), 0 < а < в , ■ 1 * 1 2 О £ t < tk

n(a), Bjjy(x)- определяэтся_кшс__в_теор9М9-б^

Во второй главе исследуется решения линейных: задач с функциональными условиями в неограниченных областях. В параграфе 1 второй главы рассматривается в области о <а < ю , o<t<tk , -ш < х < +<а следующая задача:

" öN ÖN ан azN

— + — + V — • F0(a,t)N + D — , dt д& dx aar

N(J,a,0) = N Сг,а), o< a<m,

(14)

,0,t) - J B0ce.t) H{x.£,t) dg, o<tstK,

ГДв P0= P0(a), B0= Be(a).

Получено представление решения задачи (14) в следующем вида:

а

Г Y а VX --- —

J 4D 2В

^ о

(15) N(z,a,t)=

1

2/ тШа •

4D 2D .

я

(лчг' )*

к J их- ,t-a) в 4Da dx- ,

где f(x,t)- решением интегрального, уравнения типа восстановления: '

\г

(16) f(X,t)= J В(£) J f(X-X.t-g) е 4D£ dX.dC,

О -и

а

J4(i>«

V 2 а 4Э"

BU)= ^гг; В0(а)

Ванечанне 4. В случае, когда Ро= ?0(a,t), В0= Bo(a,t), то в

представлении (15) функция ?0 будет зависеть от g-t-t-a), а

е уравнении (16) функция во также будет зависеть от t.

В параграфе 2 обосновано интегральное уравнение типе восстановления, лолучонное в 51 второй главы,

В параграфе 3 рассматривается в области

-ш < X¡ < +т , j=1,2 , О < а < as, 0 < t < tk

следувдая задача:

ín т * ая * ém

- + r + Г = ?-<a't)N + 2Di ^ •

(17)

ах д& jti «j

i-.

N(x,a,0) = N„(x,a), 0 < а < a> ,

N(X.O.t) = J B0(5,t) N(x,£,t) <i£ , O < t < t.

k'

где Ро= .^(а), Вс= В0(а).

Сформулируем основной результат настоящего параграфа. Теорема 7. Пусть функция Г(х;,х^,1;) является решением интегрального уравнения типа восстановления:

I 00 со

(18) Кх.^Д)* | В(£) | | -

О -0) "СО

1М*

где

* в d\dXad£ + ¡P^.x^.t) ,

IM*

Ш 09 S

jK"/

q>(x,.*,.t)= J BC|) f J r^-^.x^.t-E) e = dA^d?,

« -oo -в) -

rC • ^ 1

заданные

непрерывные функции по совокупности переменных и

П Ф II с < Ф0 , <р0» оомгё > О ,

N В II с < со , С0= оош^ > О

к

Тогда решение задачи (17) представляется в виде:

а 3 V *а

Г ?„(£)<!£-У

1 : . (19) Л(л?,аД) ----

4Еа/ 0113г

«У^ (х-х-)* (х-^)'

¿1 лт» со со * • ■ - i i — 1

/«*'/ г Г а 4П,а

&Х-Л £(Х;,Х^,1;-а) в 1

В заключение автор выранает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору Сиз.-мат. наук, профессору Ч.Шуся за постановку задачи, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следрзцах работах:

1. Юсуфов А.Т., Ейуси М.К. О решении'одной линейной неоднородной задачи с функциональными условиями. -Вестник ТГУ, 1894г., ю, с.9-13

2. Юнуси М.К., Юсуфов А.Т. Представление решения одной линейкой задача с функциональными начальными условиями и краешми условиями 3-го рода.-Известия АН Республики Таджикистан, отд. физ.-мат., хим. и техн. наук, 1994г., НЗ-4

3. Юсуфов А.Т. Принцип максимума для линейных штегро-даффэрен-циальшх задач с функциональными начальными условиями.-Тозисы докладов апрельской научно-теоретической конфьр&нцтш проф.-преподавательского состава.-Душанбе, ТГУ, 1994г., с.33