О решении одного класса модельных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с экстремальными свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАФИЗОВ ХАСАН МАДЖИДОВИЧ

»

%

О РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА МОДЕЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 2004

Работа выполнена на кафедре информатики Таджикского государственного национального университета

Научные руководители: доктор физ.-мат. наук, профессор

ЮНУСИ Махмадюсуф Камарзода

кандидат физ.-мат. наук, доцент ГАДОЗОДА Мирзомурод

Официальные оппоненты: академик АН РТ, доктор физ.-мат.

наук, профессор БОЙМАТОВ Камолиддин Хамроевич

кандидат физ.-мат. наук, доцент МУРТАЗОЕВ Домулло

Ведущая организация: Института сединка и предпринимательства Республика Таджикистан

Защита состоится «/£ ъ ^2004 г. в/^ часов на

заседании диссертационного совета. К.737.004.03 при Таджикском государственном национальном университете по адресу: 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект Рудаки, 17.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского государственного национального университета.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д. ф.-м.н., профессор Мустафокулов Р.

2004-4 29979

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных, к которым приводят многие задачи физики, экологии, экономики и ряда других отраслей естествознания, посвящено огромное множество работ. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка являются уравнения, для которых изучаются различные реальные задачи с начальными и краевыми условиями.

Уравнениям в частных производных первого порядка (например, уравнения переноса) и задачам, связанным с ними, посвящены многочисленные работы зарубежных и отечественных авторов. В них изучаются вопросы корректности соответствующих задач в конечномерных и бесконечномерных пространствах, рассматриваются и разрабатываются эффективные методы их решений.

В связи математизацией экономики, физики и общественных наук возникают новые постановки задач для дифференциальных уравнений. К этим задачам относятся так называемая задача с функциональными условиями. Для уравнения в частных производных первого порядка эти задачи были изучены в работах Вольтера ,Webb , Свирежева Ю.М и Логофета Д.О., Моисеева H.H., Юнуси М., и др. Отличительная черта этих задач заключается в том, что неизвестная функция в начальный момент времени является функционалом неизвестного решения. Кроме того, временной оператор

— в самом уравнении заменяется на смешанно-временной опера-dt

д д

тор типа - + __, где а - возрастное время. Причем,

Э t да предполагается, что t = а + const.

Одна из главных особенностей приложения дифференциальных уравнений к решению практических задач состоит в определении экстремального свойства рассмотренных уравнений по отношению к некоторым параметрам и коэффициентам, входящим в них. Такие уравнения с экстремальным свойством возникают при решении ряда задач моделирования и оптимального управления. При этом само исходное уравнение, описывающее состояние управляемого объекта, обладает экстремальным свойством. Мы будем говорить, что рассматриваемая система (объект) имеет экстре-

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА 1 С. Петербург

200 К

мальное свойство, если система будет функционировать лучшим образом по отношению к некоторым ее параметрам. Функционирование систем с экстремальным свойством были изучены в самых общих предположениях в работах М.Юнуси Согласно работам М.Юнуси, общее уравнение с экстремальным свойством, характе-ризирующее состояние некоторого объекта (система, процесс, субстанции и др.), имеет следующий вид:

1

1м = тах| V« АГ.иТ Г . 0)

аеА

где - некоторые заданные операторы, характеризирующие изменения состояния объекта с неизвестной плотностью распределения

и = и(.), А - |а _ .....ат): о < ау < 1, £а^ = 11>

Параметры могут характеризовать доли

наилучшего изменения общего состояния, образовывающиеся из суммы частных изменений объекта. Например, если мы будем рассматривать экономическую систему, то такими долями могут быть доли национального дохода, идущие на капиталовложения и различные отрасли потребления. Мы будем рассматривать частный

случай рассмотренного уравнения (1), а именно случай, когда ^ _ ^

Ь —а.-> У = X = —»

7 JдxJ дt

где аJ — й! (.х) - заданные функции своих аргументов. Тогда объектом изучения диссертационной работы будет уравнение, предложенное проф. М.Юнуси:

ди

э7

= шах

ае А

т

1«

а

Э и

Эх,

г > О, х = ......хт )е Е

т

Уравнение (2) будет исследоваться в различных случаях, когда Оу- являются константами, когда являются переменными функциями и в случае, когда коэффициенты aJ - нелинейные функции,

т.е. аj=aJ{u,X,i). Интересным на наш взгляд вопросом является

случай с сингулярными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит тео-1 ретический характер и может быть непосредственно применена к

решению многих практических задач. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при моделировании эколого-* экономических, физических процессов и других процессов естест-

вознания и обществоведения. С теоретической точки зрения ценность работы состоит в исследовании уравнений в частных производных первого порядка (типа переноса) с экстремальным свойством и определении класса возможных решений, а также различных постановок задач, связанных с ними.

Цель работы состоит в исследовании уравнений в частных производных первого порядка (переноса) с экстремальным свойством (2) в различных классах решений и получении явного вида решения в случае, когда коэффициенты являются постоянными, переменными и сингулярными. Отличительная черта данной работы состоит в сведении уравнения (2) к другому уравнению, характеризи-рующему законы сохранения динамических процессов, связанных с уравнением (2).

► Научная новизна. Новыми являются следующие результаты:

-для уравнения в частных производных первого порядка (переноса) с экстремальным свойством (2) получено эквивалентное . уравнение, характеризирующее законы сохранения динамических

процессов;

-определены классы допустимых решений уравнения (2); -получено представление решений уравнения (2) для различных классов допустимых решений;

-исследовано уравнение (2) с сингулярными коэффициентами и определены его решения;

-проведены компьютерные эксперименты с уравнений в частных производных первого порядка с экстремальным свойством.

Методы исследования. Основными методами исследования являются современные методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, методы математического моделирования и компьютерных экспериментов на основе языка высокого уровня MathCAD.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры высшей математики Таджикского технического университета имени академика М.С. Осими, кафедры информатики Таджикского государственного национального университета, на объединенном научном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и функционального анализа, высшей математики, математического анализа 11 'НУ, ежегодных апрельских конференциях ТТУ и ТГНУ, на Международной конференции "Актуальные проблемы математики и ее приложения" в г. Худж&н-де (2003), на международной научно-практической конференции «16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования». (Душанбе, Таджикистан 27-28 сентября 2002г.), на третьей конференции молодых ученых и исследователей (выпуск Ъ\ (14 ноября 2003г.), г.Душанбе.,на шестой конференции молодых ученых, посвященной 80-летию г. Душанбе (18-19 июня 2004г.), г.Душанбе., на республиканской научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» (23-24 ноября 2004г.), г.Душанбе, 2004 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка использованной литературы, включающего 77 наименований. Объем работы составляет 72 страницы машинописного текста.

Обозначения. В главах диссертации использована двойная нумерация, причем первая цифра означает номер параграфа, а вторая номер формулы в этом параграфе. Ссылки на другую главу, например, делается так: формулы (2.1) из главы 2.

Содержание работы

Во введении обоснован* актуальность темы, приведен обзор работ по теме диссертации у кратко изложено содержание глав диссертации.

Первая глава посвящена вопросам построения и обоснования модельных уравнений с экстремальными свойствами на специальных классах возможных решений и представления решения этих уравнений.

Глава 1 состоит из шести параграфов. В первом из них даётся построение и обоснование модельного уравнения с экстремальным свойством типа (2) и доказывается эквивалентность этого уравнения с нелинейным дифференциальным уравнением типа

V»

,п>5, (3)

Основным результатом данного параграфа является следующая теорема

Теорема 1.1. Для того чтобы функция и = м(х;?) удовлетворяла уравнению (2), необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение (3).

В §1.2 рассматривается частный случай уравнения (1), т.е. уравнение с экстремальным свойством типа уравнений переноса (2):

[Ы-ф

1 ч Ъи

где а>(х)е С'{Ет ) (/ = 1 ,т), и соответствующее ему эквивалентное уравнение типа (3):

ди

(4)

Следуя работам М.Юнуси, для нахождения решения уравнения (4) зададим класс возможных решений:

-с. . (,-5=)

2.^- = Си, а} = С м, {¡ = \,т\

Э? 1 дxJ 1

Эг (5-£и)ЭХу 7

ш аху

где £С"=С> д,£,а .(■)-заданные константы и функции;

у=1 ;

<5,£,0,(л:)>О, £/"=/"• у=1 7

Определение. Первый тип класса возможных решений будем называть классом простых решений, второй-экспоненциальным, третий- логистическим, а четвертый и пятый-функциональным. Имеют место:

Утверяедение 1. Если функция и = какое - то решение уравнения (4), то любая функция <р — ф(и)е С1 также является решением уравнения (4).

Утверждение 2. Для любого общего решения (р = ф(и), где

и = и{х,{) какое-то решение уравнения (4), имеет место ^ _ ^ на

ди

д<р

классе простых решений (класс 1) и —— = <р на классе экспоненци-

ди

альных решений (класс 2).

В § 1.3 для уравнения типа

т

I

7=1

ди_

дXj

п

где т,п>\ - натуральные числа, получено следующее представление

"М=

С/+ ¿С,*; +и0 -в классе простых решений. М

«0ехр|а+£сЛ.|-

—в классе экспоненциальных решении.

а для более общего уравнения

X

;=1

_„ Эм

\п

дх

1 ^

■(■-и-

¿>1,

получено представление

ап+1 «слп+1

М0 Ч---(- 2,——, в классе простых решении.

£ + 1 ]=\ к +1

/ \ ап+1 д ы(х;^=<и0ехр<--+ —

к +1 >1 * + 1

в классе экспоненциальных решении.

§ 1.4 посвящен уравнению типа

(6)

где и> 1 -натуральное число, и(х;¿)-неизвестная функция, х € Ет , вуеС'(Е")ву>0.

Теорема 1.2. Пусть Ьи = = а ¡(х и

at 7 ах,

Ъи

ди

—— = шах Ы аеА

I

У=1

ди

дх.

, тогда на классе простых и экспо-

ненциальных решений (класс 1 и 2) уравнение (6), имеет следующее представление

т

4

м *

-в классе простых решений

т 1

и(х1,х2,...хт,1)=<и0ех${&+ X Cj |

А '¿«у«)

- в классе экспоненциальных решении

Более того, для уравнения вида

ГЭмТ Л

[ъ) м

' ь, ди Л

(7)

где к Ф 0; а] > 0; ау * 1 (/' = 1, да) имеет место представление

1 т

М0 + С/ + Т I

-кх ■ \-а. 1

г=1 1па,

^ —у

-в классе простых решений;

Ид ехр-

1 т а+т г

к ¡=[ 1п а

7

(8)

-в классе экспоненциальных решений, где константа и0 > 0 является произвольной и ее определим так, чтобы имело место

и(0,0,...Д0)=ио (9)

Теорема 1.3. Пусть постоянные С и Су (/ = 1, т) являются решет

нием уравнения ^ С" = С" , тогда решение уравнение (7) на клас-м

се простых и экспоненциальных решений представляется в виде (8). Причем, эти решения с условием (9) являются единственными. Рассмотрим теперь уравнение вида

Л Эк 4

' ЭьГ

Л * 0, а, ау. > 0; а * 1, 1 (/' = 1 ,т), тогда с учетом (9) имеем представления

м(х], Х2,.--, хт,{) —

А: | 1п а >1 1па,

1пау

мо ехРТ1 к

- в классе простых решений;

1п а

I

у=1

1па,

-в классе экспоненциальных решении.

В §1.6 изучена переопределенная система дифференциальных уравнений, которая определяет класс возможных решений для уравнения вида

(д и

дt

т

= 1

7=1

-1 Эи

Сначала рассмотрим два последних уравнения из переопределенной системы класса простых решений

Эи ду

(10)

= в(х,у)

Известно, что решение этой системы представляется в виде

х у

и(х,у)=и0 + 7 а(£,у0№ + \в{х,1)Щ *о У0

С практической точки зрения, очень важным являются случаи экспоненциального (а2 — 0 и в2 = 0) и логистического (а, = 0

и в1 = О) класса решений, когда

а(х,у)=а1(х,у)и-а2(хуу)и2 в(х,у)= в1(х,у^-в2(х,уУ

В этом случае система (10) является нелинейной системой дифференциальных уравнений первого порядка

^ = а1(х,у^-а2(х,у)и2 ^ = в1(х,у)и-в2(х,у)и2

(П)

Введя замену переменной У = —, получаем переопределен-

и

ную систему линейных уравнений в частных производных первого порядка, решение которой, нетрудно заметить, представляется в виде

х. , ч . х

у„е

+ / X.

.УоУ*

у

-^в^лУц

У - ¡вх&ЯУЧ

уп

1

Отсюда, так как V =—, то имеем:

и

У . . х

*0

(12)

Имеет место следующая

Теорема 1.4. Если выполнены условия совместности

да, дв, да, дв9 __,ч

-,-1- - —1, —2.+а~в, = + в,а. > переопределенная система (11)

ду ах ду * 1 дх г 1

при условии и(х0,у0)=и0 имеет единственное решение и оно

представляется в виде (12).

Вторая глава посвящена исследованию дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с экстремаль-

ными свойствами в случае, когда коэффициенты являются сингулярными.

В первом параграфе этой главы рассматривается уравнение

вида

Ь) { дх)

( Эи)

V у

(13)

Для нахождения решений уравнения (13) введем две вспомогательные системы уравнений:

ди ди ди

ы=с> хТх=с"уъ = С1

и

Э и ди ди

— = Си, х— = С,и, у— = С2и, дг дх ду

где С, С, и С2 являются решением уравнения С,2 + = С2.

Тогда решение уравнения (13) представляется в виде

/ { \С2 У

и{х,у^) =

и0 +0 + Ы

X

х0

Уд

( \С\ Г X

ис

V и /

-в классе простых решении

\Сг

ехр Сг -

У [Уо)

— в классе экспоненциальных решении

Отсюда, если С; = —С2 = С0 > 0, х0 = у0, при х > 0, у > 0 будем иметь

и0+л/2С0?+1п

г \

X

[У)

-в классе простых решений

и.

с

Х ехр(л/2С0г)-

-в классе экспоненциальных решении

Далее, переходя к параметрическому уравнению х = Ф1 У = <РгС*)» где Ф]00 —> 0 (у = 1,2) при .у —» 0, имеем

ы0+ЛС0/,

и0ехр(>/2С0г).

>> —»0

Совершенно аналогично, для уравнения

1ш1 «(*,>>,*)= »0

где Л > 1 -заданное число, при х > х0 > 0, у > у0 > 0, имеем

«о+а+-г^т(*о*+1 - х~м)+ (уо -у~м)-

л — 1 К — 1

^ ^ - в классе простых решений

— в классе экспоненциальных решений Так как С, С, и С2 произвольное решение уравнения С2 + С2 = С2, то положим

с, = С2 = Уо~1, С = + тогда при

х > х0 > 0, у > > 0, получаем

u{x,y,t) =

ч*-1

/ \*-1 У о

кУ /

«о ехР

у-1 ( . Л*

Уо_

,у >

Отсюда, при х —» jc0 —» 0, ^ —> —» О, имеем: lim

д: —> 0 0

jv —> о

В §2.2 рассматривается уравнение

'ди* т

н

А: Эм

Xi

1 dxj

где к> 1 и т>2. Исследование проводится точно также, как в случае т = 2, т.е. имеем: при к = 1,

( V7у

• ехр С/ -

u(xux2,...,xm,t)=-

"оП

У=1|

iL

Л,

\ 1

■ в классе простых решении,

и0 + Ct + In

п

и

(

*L

А

— в классе экспоненциальных решении

откуда

д:1—Ю

м0+л/2С0Г, м0 ехр(л/2С0?)

хт-*>

при к > 1,

— в классе простых решении, С,

.„ехра+Ё-^^Г-^Г]-

— в классе экспоненциальных решений,

откуда, если С, = (- 1)у (ху )*"' , следует

§2.3 посвящен исследованию уравнения

(11=

где

Эи ^

+

дх ] ду J '

Эи

(14)

(х,у,1)е в = {х,у,1):(х,у)е Я;* > о} Я = х > 0; у > О},

г = ^х2 +у2 , а а{х,у),в{х,у)е С7(я) в классе простых решений. Пусть Э и

Э/

= с,

а(х,у) дх г

Эи

Л

ду

Эи

где С,2 + С2 = С2, тогда используя условие совместности

д_ ду

(а{х,уУ|_ Э (в(х,у)Л ^ г ) Ьх\ г )

имеем общее решение уравнения (14) в виде

ф

У0^х2+Г}2

где мо = м(*о».Уо>0)-значение решения уравнения (14) в точке

(*0>У0>°)-

Предпологая существование интегралов

1) ¡^ЦЬЫ^^оМ,

У Ф,п)-в(хо>Уо)

«I

-¿Т1 = у1(х,у)

при хд —» 0 и у о —> 0, нетрудно видеть, что представление (17) перепишется в следующем виде

и(х,у,/)= ы0 + О + 1п

х + ^[х2 +у1

Ч + л/*о + Уо

а0С1

У + л1

>х2+у2

\в0С2

(18)

п—г

^ Уо + Vх + Уо , где а0=а(х0,у0), в0 =в(дсо>3'о) Лх>у)=^(х)+п(х>у)-регулярная функция в области л: > > д>о и при

*0 -*0> УО

Таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть функции а(х,у), в(х,у)е С/(р) и удовлетворяют условию (16), а функция является регуляр-

ной в области х > хо,у > уо и при дгд —> 0, >>о —» 0, тогда регулярное решение уравнения (14) на классе (15) представляется в виде (18), которое определено во всех точках замкнутой области й . Причем, это решение при условии м(^о,>'о»0) = Ио» где

заданное число, является единственным.

В §2.4 рассматривается уравнение (14) в классе экспоненциальных решений. Положим

Эк _ эГ

' (.9)

а{х,у) Эх г

Ъи _ —- = С2и,

в(х,у) ду

где С\ +Сз = С2, тогда, используя условие совместности переопределенной системы (19)

(20)

получаем общее и{х,у^)щи0ехр

решения уравнения (14) на классе (19) в виде

* 4Ш

а+с{ \

*0

2 2 +У0

■(¿Г]

(21)

где ио-значение решение в точке (хо^о»®)- Рассуждая как в §2.3, представление (21) перепишем в следующем виде

+У2о

Итак, справедлива следующая

+у1

+Уо

Теорема 2.2. Пусть функции а(х,у), в удовлетворяют условию (20), а у(х,у) является регулярной функций в области х> Х(),у>. уо и при Хд —> 0, уд —» 0, тогда регулярное решение уравнения (14) на классе (19) представляется в виде (22), которые определено во всех точках области <7 . Причем это решение при условии Мд = м(хд,>>д,0), где Ио"заданное число,

является единственым.

В §2.5 рассматривается компютерная интерпретация решения уравнения с экстремальными свойствами для двух классов (простых и экспоненциальных) со следующими данными: ид = \,т = 2; = 3,С2 = 4,С = 5,

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Хафизов Х.М. Об исследовании решения одного нелинейного дифференциального уравнения. //Материалы международной научно -практической конференции «16 сессия Шурой Оли республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования» (27-28 сентября 2002 г.), ТТУ им. акад М.С. Осими, г. Душанбе, 2002г., с. 192-193.

2. Хафизов Х.М. О решении одного нелинейного дифференциального уравнения. //Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения» (г. Худжанд, 29 - 31 мая 2003 г.), г.Худжанд, 2003г., с.79-81.

3. Хафизов Х.М. О решении одного класса нелинейных уравнений в частных производных 1-го порядка. //Маводи конфронси Ш-юми илмии олимон ва мухдккикони чавон (барориши 3) (Материалы третьей научной конференции молодых ученых (вып.З)), (14 ноября 2003г.), ДЦМТ- Душанбе-2003с.,с.32-34.

4. Хафизов Х.М., М.Гадозода., М.Юнуси. Об одном нелинейном уравнений в частных производных 1-го порядка. //Маводи конфронси Ш-юми илмии олимон ва мухдккдкони чавон (барориши 3) (Материалы третьей научной конференции молодых ученых (вып.З)), (14 ноября 2003), ДДМТ.Душанбе-2003с.,с.35-36.

5. Хафизов Х.М., М.Гадозода., М.Юнуси. Об одном нелинейном уравнений в частных производных первого порядка с вырождением. //Вестник Нац.Университета, (Серия естественных наук)., №4, Душанбе, 2004г., с. 14-18.

6. Хафизов Х.М. Об одном дифференциальном уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами. /Материалы шестой конференции молодых ученых, посвященной 80-летию г.Душанбе, (18-19 июня 2004г.), г.Душанбе., 2004г.

7. Хафизов Х.М., Гадозода М. Об одном дифференциальном уравнений в частных производных первого порядка. //Материалы республиканской научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке», посвященной юбилею 80-легия Министерства образования Республики Таджикистан и города Душанбе, (23-24 ноября 2004г.), г.Душанбе, 2004г.

Подписано в печать 12.11.2004г. Заказ № 171. Формат 60x84 ,/16. Тираж 100 экз.1 усл. печ.

Издательство «Хумо», г. Душанбе, ул. Бохтар, 3

f

"I

РНБ Русский фонд

2004-4 29979

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ.

§1.1. Построение модельных уравнений с экстремальными свойствами и их обоснование.

§ 1.2. Определение класса возможных решений.

§ 1.3. Простые и экспоненциальные решения.

§ 1.4. Уравнение в частных производных первого порядка с переменными коэффициентами.

§ 1.5. Переопределенная система, связанная с простым, экспоненциальным и логистическим классом решений. f*

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ

СВОЙСТВАМИ.

§ 2.1. Простейшие уравнения с сингулярными коэффициентами.

§ 2.2. Простейшие уравнения с т независимыми переменными и вырождением.

§ 2.3. Вырожденное уравнение с общими коэффициентами на плоскости.

§ 2.4. Экспоненциальное решения вырожденных уравнений.

§ 2.5. Компьютерное решение задачи.

Актуальность работы. Как известно, многие задачи физики, математики, экологии, экономики и ряда других отраслей естествознания приводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Среди них следует отметить в первую очередь книги и статьи: Петровского И.Г. [1], Тихонова А.Н и Самарского А.А. [2], Соболева C.JI. [3,4], Ладыженской О.А. [5], Ладыженской О.А и Уральцевой Н.Н. [6], Ладыженской О.А., Солонникова В.А. и Уральцева Н.Н. [7], Фридмана А. [8], Лионса Ж.Л. [9], Владимирова B.C. [10], Михайлова В.П. [11], Куранта Р. [12], Михлина С.Г. [13,14], АдамараЖ. [15], Арсенина В.Я. [16], Бицадзе А.В. [17,18], Годунова С.К. [19], Миранда К. [20], Стеклова В.А. [21], Смирнова В.И. [22], Филиппова А.Ф. [27], Ильина A.M., Калашникова А.С. и Олейника О.А. [28], Дж. Хейла [29], Кошлакова Н.С., Глинера Э.Б. и Смирнова М.М. [30], Арамановича И.Г. и Левина В.И. [31], Смирнова М.М. [32,33], Ильина В.А. [34], Несиса Е.И. [35] и многих других авторов. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка являются уравнения в частных производных первого порядка, для которых изучаются различные реальные задачи с начальными и краевыми условиями. Уравнениям в частных производных первого порядка (например, уравнение переноса) и задачам, связанным с ними, посвящены многочисленные работы, в частности, книги и статьи: Годунова С.К. [19], Петровского И.Г. [1], Смирнова В.И. [22], Куранта Р. [12], Карташева А.П. и Рождественского Б.Л. [36] и др.

В этих работах изучаются вопросы корректности соответствующих задач в конечномерных и бесконечномерных пространствах, рассматриваются и разрабатываются эффективные методы их решений. Уравнения с частными производными первого порядка от одной неизвестной функции наиболее полно рассматриваются в работе [1]. Основным фактом теории этих уравнений является то, что нахождение всех их решений сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной работе описано это сведение. Сначала рассматривается почти линейное уравнения типа tak(xvx2,.,xn)^ + b(xl,x1,.,xn,u)= 0 (1) дхк

При этом допускается, что искомая функция и входит в b(x 1 ,Xlf.,Xn, ll) не линейно. Пусть коэффициенты <2к (л^, Х2 Хп ) имеют в рассматриваемой области G пространства непрерывные частные производные 1-го порядка по всем их аргументам, и пусть в этой области X ак >0. Относительно , и ) будем к-1 предполагать, что эта функция определена при | U когда точка xl,x1,.)xri>) находится в области G и имеет по всем своим аргументам непрерывные первые производные. Сделанные относительно b(xl,xl,.,xn,u) предположения выполняются, в частности, в том случае, когда b{xl,xl,.,xn,и) есть линейная функция от и (в этом случае уравнение (1) называется почти линейным) с коэффициентами, которые имеют непрерывные первые производные по всем хк. Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений: = 1,2,., И. (2) v m=l

В силу сделанных относительно ак предположений правые части этих уравнений имеют непрерывные производные по всем хк. Поэтому через каждую точку области G проходит одна и только одна интегральная линия этой системы (S есть параметр, равный длине дуги интегральной линии). Эти линии называются характеристиками уравнения (1). Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются следующим образом. Из предыдущего изложения следует, что система, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений (2) и уравнения du b + . = = О, (3) ds ^jaf+. + a2n определяет в пространстве (л^л^,.,хп,и) семейство интегральных линий, из которых состоят интегральные поверхности U = и(х1,.,хп>) уравнения (1) (.v рассматривается как параметр). Аналогично рассматривается квазилинейное уравнении вида

1 ох.

Это уравнение линейно относительно производных от и, но не относительно самого и. Предполагается, что а1(х\,.хп,и) и b(xx,.xn,u) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой области

2Л. „ „Кп „ известно пространства (х^.хп,и) и что YjCfi {х^.хп,и)> 0 Пусть 1 какое ни будь решение этого уравнения, имеющее непрерывные первые частные производные и рассматривается вспомогательная система обыкновенных дифференциальных уравнений dxi ai >• • -хп ■> и(х\ ?"-"*т?)) ; — 1 9 и ,-—---— ,1 — L,п ) где s-некоторой параметр, равный длине дуги проекции интегральной линии на плоскость и- 0. Подстановим это решени u{xv.:>xn) в уравнение (4) и разделим обе части полученного тождества на

JX Я j (-^i ,---,-xn,u(xl,.,X/J))) тогда получим тождество aXxy.^u) du [ b{xv.,xn,u) ^dudxt [ b(xv.,xn,u) dxt ds Jz^(xv.xn,u) du [ b(xx,.,xn,u) ds ^ZaJ(x1,.,xn,u) at du

Следовательно, и в случае, когда а зависит от U т=- можно д/Z^2 представить как производную от U по некоторому направлению, но теперь это направление зависит не только от Х13., Хп, но и от и .

Задача Коши для уравнения (4) формулируется так же, как и для уравнения (1): требуется найти такое решение уравнения (4), которое на некоторой {п — 1)-мерной поверхности S пространства (xi3.,xn) принимает заданные значения. Более общая постановка: через заданную в пространстве (хх,.,хп,и) (п — 1)-мерную поверхность S требуется провести п -мерную интегральную поверхность уравнения (4).

В работе [1] рассматриваются вопросы расширения понятия решения задачи Коши, чтобы оно существовало при меньших требованиях гладкости на f и коэффициенты уравнения и при этом имела место теорема единственности.

В связи с этим во многих работах по уравнениям в частных производных вводится и обосновывается понятие обобщенного решения для задачи Коши. Обобщенным решением задачи Коши для уравнения (1) или (4) называется функция которая в точках непрерывности удовлетворяет при t = О условию Коши и для которого выполняется некоторое специально полученное интегральное тождество [37,38].

Тенденция математизации экономики, физики и общественных наук порождает новые постановки задач для дифференциальных уравнений. К этим задачам относятся так называемая задача с функциональными условиями. Для уравнения в частных производных первого порядка эти задачи были изучены в работах Вольтера В. [39], Webb G.r. [40], Свирежова Ю.М и Логофета Д.О. [41], Моисеева Н.Н. [42], Busenberg S. [43], Brokate М. [44], Юнуси М. [45-58], и других. Отличительная черта этих задач заключается в том, что неизвестная функция в начальный момент времени является функционалом неизвестного решения. Кроме того, временной д оператор ^ в самом уравнении заменяется на смешанно-временной д д оператор типа Q f + Q а ' ГДе авозРастное время. Причем, предполагается, что t = a+COftSl.

Исследование корректности интегро-дифференциальных систем, связанных со стационарной численностью популяций модельных биосистем удовлетворяет условиям: cs л \ +— N = F(N,a,t), 0<а<оо5 0 < t < tk9 dt да J

N (а, 0)= N0(a), 0 < а < со, N(0,0= lB{N{£,t\ t)d0 < t < tk, и в стационарном случае уравнению dM da F(M,a),0 < а < оо, М(0)= JВ(М (§),№, (7) где M = (Ml.Mm), М = М(а)~ стационарная численность возраста а , 0 < а < оо, .FQ, в(-)- т-мерные вектор-функции, характеризующие смертность» и «рождаемость» в биосистеме, являются непрерывными и ограниченными функциями. Под решением этой задачи понимается непрерывная функция М = М(а), 0 < а <оо, которая имеет непрерывную производную и удовлетворяет условиям (7). Для линейной задачи (7) т.е. dM аа

- F0 (а)М+а(а\ 0 < а < оо,

00 где F0(•), BQ(^) — mxm- матрицы, а, р-т - мерные векторы, место единственное ограниченное решение имеет

М(а)=Х(а} - в)'1 р+

L о

В работе [59] доказана следующая теорема.

Теорема Неоднородная система (7) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда соответствующая однородная система не имеет ненулевых решений.

Аналогичные результаты имеют место в случае нелинейной задачи при условиях a) F(M, а) = F(M,а)М + а(а), |F(-)| < F0 (а),

В(М, а)=в(м, а)М+j3Q {а)

0<а<оо, VM: 0<М<оо,

ВЙ<В0{а), где F0 (а), В0 (а)- матрицы порядка т, а — т-мерная векторная функция. В упомянутых работах исследованы также вопросы устойчивости стационарного решения. Показано, что если выполняются условия а) F(;)=F{N,a,t)N, |F(-|<Fo(a,0.

B(;) = B(N,a,t)N, \Щ<В0(а,1),

ОО ОО hQ = max jflFjafa < oo, max \\B0\dae^ < qQ < oo, ' 0 ' 0

- - хдВ , ч б) h= В <qx< oo, £ = maxj —-X(£ ooN ax dF v r as ^ n • n 1 = — X, X n = 1, —> 0, q = const > 0,i = 0,1,.,

8a 8N a=0 3N 4' то исходная нелинейная задача имеет единственное решение, и система первого приближения для нелинейной задачи для стационарного решения имеет вид

Yd дЛ и F0 (а)и, 0 < а < оо, dt да J и(а,О) = и0 (а), 0 < а < оо, u(0,t) = ]B0(£)u(£,t)d£, 0<t, где:

Fq (я) = ^ I N=M(a)> Во (а) = ^ aw1™™- - dN и0 {а) = N0 (а) - М(а), 0 < а < оо.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция u(a, t) = X{a)id(t - а), где Х(а) является решением задачи ИХ х(о)=/, аа при любой функции JU = JLl(t) G С1 удовлетворяет первому уравнению системы первого приближения. Подстановка функции U = u(ci, t)r в уравнение рождаемости (3-ое условие) и введение обозначения в(а)= В0(а)х(а) для определения функции /Л = /л(^), дает систему интегральных уравнений типа восстановления \B(a)ju(t - a)da о

Решение данной системы обычно ищется в виде // if) — се ^ 5 где С -постоянный ненулевой вектор, д- неизвестный параметр. Тогда имеем с( I-] В(аУ3а da] = О V о J

Так как С Ф О (С > 0), т.е. ищется ненулевое решение, то определитель последней системы должен равняться нулю, т.е.

Таким образом, рассматриваемое решение представляется в виде Y.C e6,t, где (^-являются корнями последнего j=o характеристического уравнения.

Заметим, что матрица В = J B{a)da называется популяционной о матрицей потенциалов, а число h = биологическим потенциалом биосообщества и вопрос устойчивости нетривиального решения сводится к вопросу h < 1 (или h > 1).

Одним из главных особенностей приложения дифференциальных уравнений к решению практических задач состоит в определении экстремального свойства рассмотренных уравнений по отношению к некоторым параметрам и коэффициентам, входящим в них. Такие уравнения с экстремальным свойством возникают при решении ряда задач моделирования и оптимального управления. При этом само исходное уравнение, описывающее состояние управляемого объекта, обладает экстремальным свойством. Мы будем говорить, что рассматриваемая система (объект) имеет экстремальное свойство, если система будет функционировать наилучшим образом по отношению к некоторым ее параметрам. Функционирование систем с экстремальным свойством было изучено в самых общих предположениях в работах Юнуси М. [60-66].

Согласно работам Юнуси М, общее уравнение с экстремальным свойством характеризирующее состояние некоторого объекта (системы, процесса, субстанции и др.) имеет следующий вид [67-69]: 1

Lu = max f,a (L и J f , (8) aeA {J=i J где L,Lj- некоторые заданные операторы, характеризирующие изменения состояние объекта с неизвестной плотностью распределения U и(.), А = \а = (аг.ат): 0 < а} < 1, Zа/-* = l|, п> s4s> 1, 2. Параметры ОС} могут характеризовать доли наилучшего изменения общего состояния, образовывающиеся из суммы частных изменений объекта. Например, если мы будем рассматривать экономическую систему, то такими долями могут быть доли национального дохода, идущие на капиталовложения и различные отрасли потребления. Мы будем рассматривать частный случай рассмотренного уравнения- (8), а именно случай, когда д

L, =а,—, /' = \,т, L

J Jdx/ д dt' где a j = a j (^с)-заданные функции своих аргументов. Тогда объектом изучения диссертационной работы будет уравнение предложенное проф. Юнуси: ди = шах<; dt аеА г т

На. j=i а ди

J дх j /

9)

-т

0, x = .Е'

Заметим, что уравнение (9) будет исследоваться в различных случаях, когда Clj -является константами, когда а} -является переменными функциями и в случае, когда коэффициенты а} -нелинейные функции. Интересным на наш взгляд вопросом является случай с сингулярными коэффициентами. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретической характер и может быть непосредственно применена к решению многих практических задач. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при моделировании эколого-экономических, физических процессов и других процессов, изучаемых в естествознании и обществоведении. С теоретической точки зрения, ценность работы состоит в исследовании уравнения в частных производных первого порядка (типа переноса) с экстремальным свойством и определении класса возможных решений, а также различных постановок задач, связанных с ним. Цель работы состоит в исследовании уравнения в частных производных первого порядка (типа переноса) с экстремальным свойством (9) в различных классах решений и получении явного вида решения в случае, когда коэффициенты являются постоянными, переменными и сингулярными. Отличительная черта данной работы состоит в сведении уравнения (9) к другому уравнению, характеризирующему законы сохранения динамических процессов, связанных с уравнением (9). Научная новизна. Новыми являются следующие результаты:

-для уравнения в частных производных первого порядка (переноса) с экстремальным свойством получено эквивалентное уравнение, характеризирующее законы сохранения динамических процессов, связанных с уравнением (9);

-определение классов допустимых решений уравнения (9); -получение решения уравнения (9) для различных классов допустимых решений; 1

-исследование уравнения (9) с сингулярными коэффициентами и определение его решений;

-проведены компьютерное эксперименты с уравнений в частных-; производных первого порядка с экстремальным свойством. Методы исследования. Основными методами исследования являются современные методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, методы математического* моделирования и компьютерных экспериментов на основе языка высокого уровня MathCAD.

Апробаиия работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры высшей математики Таджикского Технического Университета имени акад. М.С.Осими, кафедры информатики Таджикского государственного национального Университета, объединенном научном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и функционального анализа, высшей математики и математического анализа ТГНУ, ежегодных апрельских конференциях ТТУ имени акад. М.С.Осими. и ТГНУ, на Международной конференции "Актуальные проблемы математики и ее приложения", посвященной 10-летию Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики, г. Худжанде, 29-31 мая 2003 г., на международной научно-практической конференции «16 сесия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования» ) 27-28сентября сентября 2002г., г. Душанбе, на третьей конференции молодых ученых и молодых специалистов (выпуск 3), 14-ноября 2003 г., г. Душанбе, на шестой конференции молодых ученых, посвященной 80-летию г. Душанбе 18-19 июня 2004, на республиканской научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке», посвященной юбилеям -80-летиям Министерства образования Республики Таджикистан и города Душанбе, 23-24 ноября 2004 г., в г. Душанбе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [70-76].

Обозначения. В главах диссертации использована двойная нумерация, причем первая цифра означает номер параграфа, а вторая номер формулы в этом параграфе. Ссылки на другую главу, например, делается так: формулы (2.1) из главы 2.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена вопросам построения и обоснования модельных уравнений с экстремальными свойствами на специальных классах возможных решений и представления решения этих уравнений.

1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений.-М.".Наука, 1970. -279с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А . Уравнение математической физики,-М.,Наука, * 1972.-736с.

3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.-М.: ГИТТЛ,1954.-444с.

4. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа вматематической физике.-Л,:Изд-во ЛГУ. 1950

5. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-:Наука,1973

6. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравненияэллиптического типа. М:Наука, 1973.-576с.

7. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралцева Н.Н. Линейные иквазилинейные уравнения параболического типа, М,Наука, 1967

8. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.-М.: МИР, 1968.-423с.

9. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.Мир, 1972

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.-М:,Наука, 1988.512с.

11. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных,М.: Наука, 1976.-391с.

12. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.: Мир 1964. -830 с.

13. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва.1977. -431с.

14. Михлин С.Г. Курс математической физики. Москва, 1968. 575с.

15. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частнымипроизводными гиперболического типа. Москва. 1978. -351с.

16. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения испециальные функции. Москва. 1966. -367с.

17. Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле дляэллиптических уравнений с частными производными. // Успехи матем.наук,1948,т.3,№6 с.211-212

18. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.М.:Наука.-1981.-448с.

19. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М:,Наука 1971.-416с.

20. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.-М. Мир, 1957.

21. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. -М.: Наука,1983.-432с.

22. Смирнов В.И. Курс высшей математики Том IV часть вторая,Москва1981.-550с. 23. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям ссингулярными коэффициентами.-Душанбе,Дониш, -1963,-183с.

23. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений вчастных производных с двумя неизвестными функциями., изд. Дониш, Душанбе, 1986.-116 с.

24. Михайлов Л.Г. Дифференциальные уравнения с сингулярнымикоэффициентами. Труды Межд. Науч. Конф. по диффер. и интеграл, урав. с сингул.коэффициентами, Душанбе, 2003г., с.4-8.

25. Михайлов Л.Г. Переопределенные системы дифференциальныхуравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами. Труды Межд. Науч. Конф. по дифер. и интеграл, урав. с сингул. коэффициентами, Душанбе, 2003г., с.96-99.

26. Филиппов А.Ф. Об условиях существования решений квазилинейногопараболического уравнения, ДАН СССР, т. 141, №3 (1961), с.568-570

27. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнениявторого порядка параболического типа.-УМН, 1962,17,3,3-146.

28. Хейл Дж., Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984.-421с.

29. Кошлаков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частныхпроизводных математической физики. -М.: Высш.шк., 1970, -710с.

30. Араманович И.Г и Левин. В. И. Уравнения математической физики.Москва 1964,288с.

31. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболическиеуравнения. -М.: Наука, 1966. -292с.

32. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. -М.:Наука, 1970.-295с.

33. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического ипараболического уравнений, УМН, 15, вып. 2(92), 1960, с. 97-154.

34. Несис Е.И. Методы математической физики. -М.Т977. -199с.

35. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальныеуравнения и основы вариационного исчисления. -М.:Наука, 1986.-272с.

36. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физики. -М.:Наука, 1979, -320с.

37. Маслов В.П. Операторные методы.-М.: Наука 1973. -543с.

38. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.-М:Наука, 1976.-286с.

39. Webb GX. Teory of nonlinear age dependent population dynamics. MarcelDekker, Jnc. N.Y., 1985.-312p.

40. Свирежов Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ.-М.: Наука, 1978.-352с

41. Моисеев Н.Н. Модели экологии и эволюции .-Математика, кибернетика,1983, № 10.-30С.

42. Busenberg S., Iannelli, Nonlinear diffusion in age-structured populationdynamics-J.Math. Biology, 1987,№33, p.425-440.

43. Brokate M. Pontryagin's principle for control problems in age-populationdynamics-J.Math. Biology, 1985, №23, p.71-101

44. М.Юнуси. Оптимальное управление в некоторых процессахтепломассопереноса.-Д.:Дониш, 1987г.,132с.

45. М.Юнуси. Решение одного класса интегро-дифференциальных задач и