О росте целых функций, представленных рядами Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛКЛДЕМЙЯ ЙЛУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕЛиТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

БАЛАШОВ ГУЛАМАЛИ ГУРБАНАЛИ оглы

О РОСТЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ РЯДАМИ ДИРИХЛЕ

(01. 01. 01 — Математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Б А К У — 1 902

Работа выполнена в Институте Математики и Механик; Академии Наук Азербайджанской Республики. Научные руководители:

— доктор физико-математических наук, член-корр. АН Азерб

Республики, профессор А. Д. ГАДЖИЕВ,

— кандидат физико-математических наук,

доцент Ф. Г. С АЛ И МО В. Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук,

профессор Д. И. МАМЕДХАНОВ, — кандидат физико-математических наук, к. ф. м. н, ст. н. с. И. А. АЛИЕВ.

Ведущее учреждение — Азербайджанский Инженерно

Строительный Университет.

Защита диссертации состоится «z^^T» <1 Jfy^^O^Á-1992 г. в I часов на заседании спещдаизировакйог совета К 004. 01. 01 по присуждению ученой степени к'анд! дата физико-математических наук при Институте Математик Академии Наук Азербайджана.

Адрес: 370602," г. Баку, ГСП-602, ул. Ф. Агаева-9, квартал 5ÜÍ С диссертацией можно ознакомиться в научной бп£ лнотеке Института Математики и Механики Академия Hay Азербайджана.

Автореферат разослан « ál, ^J^t^Úk- IM2 г

Ученин секретарь специализированного ссвста, доктор физико-математических наук,

профессор fti. X. ИЛЬЯ СО 3

'ГАГ. V ' '

.. -3.........•" "" 'ОВДАЯ^АКТШСТКЙС РАБОЖ" ' '" "" _

Актуальность теми: Таорня рядов Дирихле имеет, как известно, глубокие связи как с различными областям самой теории функций, так и с теорией чг.сел, теорией дп'Церенциальннх уравнений и другими разделами математики. Различны;.! аспектам этой теории и многочисленным ое приложениям были посвязэнн работы многих математиков, среди которых отметш.! А.О.Геяь^анда, А.Ф.Леонтьева, С.Мандельбройта, В.Беркитейна, ¡ЖА. Евграфова, С.К.Боса, И.И.Ибрагимова, Г.Валирона, Г.Л.Лунца, Л.И.Ронкина, Ю.Ритта, В.П.Громова, М.Н.Шеремета, А.Г.Аспитиа, Г.А.Орудяева, Ф.Г.Салимова п других. Этому же направлению посвящено большое число работ индийских математиков.

Диссертация посвящена изучению вопросов роста целых функций одной и многих переменных, предста&чэшшх рядами Дирихле о действительными показателями. Одной аз основных характеристик целых функций одного п многих комплексных переменных является порядок и тип роста изучаемой функции. Кроме указанных характеристик вводятся средние значения и исследуется их связь- с порядком и типом целой функции. Первые работы в этом направлении появились еще в начале нашего века. Однако, интенсивное изучение целых функпий началось лишь 25-30 лет тому назад и имеется очень обширная литература в этой области.

В монографиях Ф.Г.Салимова*' приведены исследования многих математиков по указанным вопросам и дан соответствующий список литературы.

I) Салиг.'ов Ф1Г. Ряды Дирихле - I. Издательство "|"«аариЗ>", Баку, К;89, 4Ш с.

*

В связи о вышеизложенным изучение порядка, типа а средних значений целых функций одной и многих пероызнных является одним . из актуальных вопросов современной математики;

В нао'яояцей диссертации изучаются вопросы роста а средних значений целых функций одной и многих переданных. Лсэтому диссертация состоит из введения и двух глав. В первой глава диссертации изучаются вопросы (Я) » » (.Р»1^) -порядка, (Л) ,

(¿-Д.) • (Р,^) - типа и средних значений целых функции одной переменной, представленных рядами Дирихле. Во второй же главе диссертации излагаются вопросы (Я) - порядка, (Я.) - типа и средних значений целых функций многих переменных, представленных кратныш рядами Дирихле.

^едь работы: Изучить поведение порядка, типа и средних значений целых функций одной и многих переменных, представленных соответственна рядами и кратными рядами Дирихле,-показателями которых являются возрастающие действительные числа,стремящиеся к бесконечности.-

• Методы исследования; ■ В диссертации использованы методы теории функций комплексного переменного, теории рядов, теории целых функций.

Научная новизна щботн: В диссертации изучен рост целых функций одной и многих .^временных, представленных рядами Дирихле. Введены понятия порядка,'! типа и средних значений целых функций в зэеиоимости от коэффициентов разложения этих функций в ряд Дирихле и их максимума модуля. Получены формулы, связывающие указанные величины.

Практическая ценность! Результаты, полученные в диссертации пред^авлям определенный интерео в теории рядов Дирихле,

чрезвычайно важных в приложении анализа к тоории чисел, к теории ди.Ьрсренцлальш.'х урзякенкЛ и к спектрально:'! теории.

Апробация работы: Результата диссортагл." обсуждались на семинарах кафедры o6:!;eii математики AIE/ им. Н.Туси, кроме этого док-ладнЕа.пиоь на 2-oii научно-практичоскоЯ конференции молодых ученых по проблемам социально-экономического развития г.Баку в XI пятилетка и в перспективе и на ЛИ, IX n X республиканской конференциях молодых учейнх по математике и механике (K.XÎAH Лз.Респ) а такие на семпнаpax (руководитель селзшзра член-корр. АН Азерб. про]'. А.Д.Гадкиев) отдола математического анализа Института Математики н .Механики All Азербайджанской Республики.

Объем рлботщ Диссертационная работа состоит из введения, двух глав к списка литературы (69 наименовании). Работа излазана на 119 страницах машинного текста.

Публикация: Основные результате опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Пзре?деи теперь к кзлоясонив содержания диссертации. Отметим, что шке сохранена нумерация теорем, принятая в диссертации. Под рядом Дирихле понимается ряд вида

СОДЖАНЙЕ ДИССЕРТАЦИИ

CU- суть задашше, зообзз говоря, ксшлекспые числа; 2.t=(T+lt , где С и Т вещественные числа.

Известно, что если ряд (0.0.1) Сходится на комплексной

плоскости и

Ьмь -¿Л. -ф<+00 , (0.0.2)

И,-»» оо Лк '

то рад (0.0.1)Абсолютно сходится на комплексной плоскости. Сушу абсолютно сходящегося ряда (0.0.1) обозначим чарез и напишем

= ^ а*«*"*. (о.о.з)

Пусть |(2) - делая функция,представленная рядом Дирихле (0.0.3).

В данной работе изучаются целые функции, представленные рядом Дирихле (0.0.3).

Диссертация состоит из введения и двух глав. Во введении дается краткий обзор полученных результатов.. В первой главе изучаются указанные вопросы для целых функг ций одной переменной , а во второй главе для целых функций многих переменных.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов. В первом параграфе изучается взаимосвязь средних значений целых функций, представленных рядами Дирихле с (Л) - порядком и (&) - типом. ^

Впервые в 1928 году « РхЫ: 3. Е определил (К) - порядок ^ и -тип Т. целых функций £ Положим Мизй(<ЛI) = 1¿С)( ,

Г-*+во Г Л ;

- 7 -

Ш ¿^Ьл - Г'

(0.0.5)

Число jo называется (&) - порядком, л - ш1яним (R)- порядком; Т называется (R.)- типом, -6 ишг.ним (R.1) - типом цело.". ¡УНКШ1Л f

Qcua^ RK. определял среднее значение целой функции / следузд'.м образом:

ЗрС. О = ^ 57гЛ . (0.0.6)

-т

с~

wPy<p,f) = (0<0>7)

где . - целое число.

Впервые в 1915 году начал исследование средних

ькачеипй аналитических "¡ункш'.Л.

Если для целой о;ункшш £ представленной рядом (0.0.3)» (R) - порядок J=0 «то для таких чункцпЯ • (Л) - тип но мояэт быть определен. Для того, чтобы прзодолать эту .трудность определят () - порядок и киянлИ -порядок

следующим образом:

^ ¿Ujp; (0.0.8)

(ti-B.) - тип и нетнип (й-) - тип представляет в виде

fe = J+' (0.0.9)

•Во втором параграфе изучены также " Р°ст реаль-

ной части целой функции £ ( представленной рядом Дирихле (0.0.3) ПусЯ ь на вертикальной линии Ъ—С,

Г«г) = 4)= $ги?1 Мип-Я)!.

«. '£< 4 СО

Приведем некоторые результаты.

Теорема 1.2.5. Пусть £ - целая функция (Ь~Я.) - порядка и нижнего (Ь-К-) порядка X и 2) <+«*>,

тогда . .

Теорема 1.2.6 . Пусть у - целая функция ) -порядка

■(¿^¿ч-со • - типа Т* . ниянего -типа

и , тогда

В третьей параграфе первой главы изучаются порядок и тип целой функции,зависящих от двух параметров. Это связано с тем, что целая функция- представленная рядом Дирихле, имеющая бесконечный или нулевой порядок, ^ожна классифицироваться с использованием ненулевых а конечных изменений роста, поскольку в таких случаях определение типа невозможно и таким образом нельзя иолучать информацию об их скоростях роста,' если ограничиваться вышеупомянутыми определениями порядка и типа целой функции. Учитывая сказанное приходится вводить новые определения порядка и типа целой функции ^

Пусть р и такие целыэ числа, что р*<},Н?о-

Б 1966-67 годах • изучил ряд Дирихло нулевого

и бесконечного порядка, для которого

Стмотим, что определение ЙлА-сЬ^ Л'^-порядка целой функции не различает скоростей роста целого ряда Дприхле.для которого р(р)=о а р(Р-0 ~ + оо . г Подобии,1 г,а образом (^хк*го<м ф.Х при изучении целого ряда Дирихле нулевого порядка опускает ванные подклассы. Чтобы восполнить этот пробел полагают

Заметим, что еслд Р + ( , то о^ (5(р,Ч<) . а

если , то р(Р>'\') • Кромо если

^РО?*)^« • то №'>?■) 03 дая Р^Р.

для и =Н . для ,- .

Говорят, что целая функция, представленная рядом Дирихле (0.0.3), имеет пару показателей (Р,<У) ( р>, ^+ 4 <) если £ ^^(Л'Л) п являйся ненулевым

конечны:.^ числа.'.* где §-{ , есля р = и 4>~=о , если

Если целая функция $ имеет пару локазателей (р,^) , т° р(Р.Я') называется (Р, - порядком функции £ Величина

(0.0.11)

называется нюн^ы (Р,"^) - порядком функции £

Целая функция ^ . определяемая рядом (0.0.3) и имеющая - порядок относится к .(Р,^)

- типу Т(рд) и нижнему (.р,^) - типу , если

Т= ; , (0.0.12)

• » .

где , если р_ а $=0 » если Р + < .

Положим

Р СР-11

(0.0.14)

где в (1М е^).

/• , если р >£¡,+ 1;

Р,<0=< ц-ы. , если р ;Э'0Л5)

1, , если

(0.0.16)

где , при (РЛ)в(г»0 • Л"-0 в оотальннх олучаях.

Относительно наследования целых функций,имеющих (?,%) рост,приведем следующие результаты.

Теорема 1.3.5.' Пусть (0.0.3) является целой функцией -порядка {>(Р,<Ю , (Р,^) -типа и

нижнего (РЛ) - типа "1(Р(<У) (о ± ^^ ¿ + , Тогда при условии (0.0.2) верны следующие равенства

Теорема 1.3.6. Пусть (0,0.3) является целой функцией (рд) - порядка р.^^-юоЗ , - тыа Т1РМ

и нижнего (РЛ^ - типа ¿(Р^) » тогда при И-о , ¿(2,1), с •

01

верны равенства

Теорема 1.3.11, Пусть /СиЛ есть уи-ая производная целой функции £ , Если при п.=7, .то имеет конечный (Р, <{/) - - порядок и

В четвертом параграфе первой-главы-изучается взаимосвязь квадратично-средних значений целых функций а их роотом,зависящим от пары показателей. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.4.5. ^ Если- / - целая функция, пмеквдая кбньчмЛ • (Р,^) порядок, то при 5) = о и С~* + оо

Теорема ,1,4,,.6_,, Пусть / целая функция порядка

и ниянего - порядка А(р,^),

(РЛ) ~ типа Т(РЛ) и нижнего (р, (¡,) - типа

4:(р,, тогда при + 1 И Ъ-о

& ДР,«» ;

~ А(в^),

. _ ;

Теорема 1.4.10 При .

есть выпуклая пункция по отношению к

(№?)***&*>■

Теорема 1,4.11, Если ряд- (0.0.3) абсолютно сходится для всех конечных 3 . то Ьм-Ъп^^) является выпуклой функцией по с- при . с- > . Положим

К К(Р,*> ЙЛк^ . (0.0.17:

= = --■ -

Теотома 1.4.12. Если | - функция (Р, Ч,) - порядка

и нижнего (Р,^)- порядка , то при Ъ^00,

= » =* Мм •

Теорема 1.4.13 Пусть ^ является целой функцией (Р,^) -порядка и нижнего (Р.^) - порядка X (Р,^) . тог-

да пра 5&< + оо и

•

Теорема 1.4.20. Пусть ^ - целая функция (Р,^) - порядка |ЧР><\0 ( + , - типа Т(Р,*) и нижнего (Р»1') ~ типа ^(Р,^) » тогда при <£> д

Вторая глава диссертации посвящена.изучению роста целых^ункций шюгих комплексных переменных. Она состоит из двух параграфов.

Первый параграф второй главы посвящен изложению результатов о квадратично - среднем значении целях функций шюгих переменных представленных кратными рядами Дирихле.

Пусть - целая функция многих переменных Лредставлена

кратным рядим Дирихле, т.о. ,

, (0.0.18)

где . - суть заданные; вообще говоря, комплексные чигда.

Предположим,' чтЪ

А- 1/и.ИЦ»

= 2)«:*«,. , (0.0.19)

Предположим, что ряд (0.0.18) сходится абсолютно при всех р

конечных (ВбС.

Садимое определил (Я) - порядок и (Я) - тип целых сТункций многих переменных следующим образом:

(0.0.20)

_с<кР**с*> (0.0.21)

Положим

где Т = ПТ;, -Г-Г,;ГР]. № *

где - , V<г] =С°; •• • - [о;<гР],

В выражениях (0.0.24) и (0.0.25) интегралы являются кратными.

Приведем некоторые результаты.установленные в первом параг-

рафа второй главы."

Теорема 2.1.2 Пусть ряд (0.0.18) сходится абсолютно для. всех конечных (2-) . Пуоть о + есть (А) - порядок, а . (Я.) - тип целой функции £

Тогда при' +со

Ьг р,

СнИе0"« Л '

/а

а

и* ««к» || е?£Г|1 ~ и ХА**?*-,

при = о

где

"¡¡аТнгю СмКе II ^ . к™-*« IIе.' а ■ ъ '

Второй параграф второй главы посвящен изученир (Я) - порядка и ЧЯ) -типа целой функции, представленной 'кратным рядом Дирихле.

Приведем некоторые результаты,полученные в этом параграфа.-

Лемма 2,2,1. Для того.чтобы ряд (0.0,18) сходки сл абс.олигг-но во воем пространстве,необходимо и доотаточно, чтобы при условии

Ьул .

имело меото равенство

ИИ«-»'« /(Л(10||

Наряду с рядом (0.0.18) будем рассматривать систему.

£«> * ( кч.г,...^) : (0.0.32)

целых функций многих комплексных переменных.

Теорема 2.2.4. Пусть { р. С^-ХТ) - целые функ-

ции соответственно (Я.) - порядка р , £ п шпнего (Я) - порядка Л . Ак • Тогда, если при

• 'ЬЬЪ&я.....*>,{) п (

то . 7

7 О1« П А®4»

ПЛ. .

Тебрема 2.2.9 Пусть { а (К = С&) - иелие фушс- ■ ции (В-) - порядка р . Если при , °гк + , ,

то соответственно дня (К*). - типов Т . Т< ' и нилгаи - типов -Ь , -Ьк; при 2> = 0 справедливы неравен-

ства

КМ *««

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность моим научным

руководителям член-корр. АН Азербайджана, д.ф.м.н., проф.

А.Д.Гаддиеву и к.ф.м.н., доценту Ф.Г.Салимову за постановку задач

и за постоянное внимание' к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах: ' :

I® Балашов Г.Г.; Салимов Ф.Г. О порядке и тиле целых функций многих комплексных переменных, опрзделяёшх кратными рядами Дирихле. 2-ая научно - практическая конференция молодых ученых по проблемам социально-экономического развития г.Баку з ■XI пятилетке и в перспективе."Элм", г.Баку,.1983 г.

2- Балашов Г.Г.,Салимов ¿.Г.: О среднем квадратичном значении"

целых функций, представленных кратными рядами Дирихле. "Материалы УШ Респуб. конферва, молодых ученых по математике и механике"., "Элм", г.Баку, 1988 г.

3. Балапов Г.Г. Некоторые теоремы для (А) - порядков и (Д.) -

типов целых функций, представленных кратными рядами Дирихле. "Маяориалы IX Респуб. конфор. молодых ученых пб математике и механике1;, "Злм", г.Баку, 1989, с. 58-60.

4. Балашов Г.Г. Некоторые теорэла) для (Я) - порядков и (А.) -типов целых функций, представленных кратными' рядами Дирихле. "Материалах респуб. конференции молодых ученых ло матзгтзти-ка и механике';, " Элм", г.Баку, 1991, с. 48-49.