О собственных функциях операторов Эйлера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БЛЙЧОРОВА Фатима Хасаиовна

О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ ЭЙЛЕРА

Специальность: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Карачасвск 2014

005550604

Работа выполнена в

ФГБОУ ВПО "Карачаево-Черкесский гос;ударетпенпый университет им. У.Д. Алиева"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шабат Алексей Борисович

Официальные оппоненты:

Юмагулов Марат Гаязович, доктор ф]к; 11ко-матомат)гIеск 11х паук, профессор, ФГБОУ ВПО "Башкирский государственный у н и верситет, "завкафедрой дифференциальных уравнений; Муртазина Регина Димовна кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО "Уфимский государственный авиационный технический университет," доцент кафедры математики

Ведущая организация: ФГБУН Южный математический институт

Владикавказского научного центра РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания

Защита состоится 20 июня 2014 ища в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Учреждении российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомит.,ся в библиотеке Учреждения российской академии наук Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН и на сайте http://matem.anrb.rH/ni/diss.

Автореферат разослан "JL" ^UXUÂ-2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу па имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01, , г

кандидат физико-математичнеких паук C.B. Попеиов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются приложения аналитической теории дифференциальных уравнений к задаче о коммутирующих дифференциальных операторов, а также взаимосвязь задачи о коммутативных кольцах с модельными уравнениями современной математической физики.

Задача о коммутативных кольцах дифференциальных операторов находится на стыке анализа и алгебры. В модельном случае1, когда коммутирующие операторы Ли В порядков тип связаны операторным соотношением Лп = Вт, их общие собственные функции являются высшими аналогами функций Бесселя. Исследование свойств этих собственных функций в диссертации основано на функциональном уравнении2

где а(г) и Ь(г) многочлены от г с постоянными коэффициентами степеней т и п, соответственно, заменяющим операторное соотношение Ап = Вг'\ и теории преобразований Лапласа-Дарбу. В случае взаимно простых3 т и п : gcd(гп,п) = 1 собственные функции выражаются в элементарных функциях. Наибольший интерес представляет случай gcd(77г, и) > 1, соответствующий коммутативным кольцам ранга 2 и выше4. Полное решение функционального уравнения (1) при т = 4, п = 6 и решение па этой основе задачи об общей собственной функции коммутативных колец ранга 2 для операторов

является центральным в диссертации.

1 Burdmall J.L., Chaundy T.W. Commutative ordinary differential operators, II. The identity P'L — Q"1.// Proc. Roy. Soc. London.-1932. ser. A, №134.- P. 471-485.

2Шабат А.В., Эльканова З.С. О коммутирующих дифференциальных операторах.// Теоретическая математическая физика. 2010 - Т. 162. №3 - С. 334-344.

3Biirchnall J.L., Chaundy T.W. Commutative, ordinary differential operators, II. The identity Pn = Q"1.// Proc. Hoy. Soc. London.-1932. ser. A, №134,- P. 471-485.

Соколов В.В. Примеры коммутирующих колеи, дифференциальных операторов. // Функциональный аналга.-1978.-Т.12 №1. -С. 82-83.

4Мохов 0.11. О коммутативных подалгебрах алгебр Вейля, суеязанных с коммутирующими операторами произвольного ранга и рода.// Математические заметки.-2013. -Т.94 К"2.- С. 314-316.

Mironov А.Е. Periodic and rapid decay rank two self-adjoint commuting differential operators. // MathPH.-2013.-arXiv: 1302. 5735.[электронный ресурс]

a(z + n)b(z) = b(z + m)a(z):

(1)

Исследование аналитической природы собственных функций операторов Эйлера порядка три представляет собой развитие теории функций Бесселя и сводится к исследованию разрешимости дифференциального уравнения

ф"> + Ё1ф"+?1.ф' + Ё1ф = 1р. (3) X X1 хл

Одним из результатов диссертации является исследование вопроса о критериях разрешимости дифференциального уравнения (3) в элементарных функциях и его связи с коммутативными кольцами. В случае операторов Эйлера второго порядка соответствующий критерий эквивалентен известному критерию разрешимости уравнений Бесселя в элементарных функциях при получе-лых значениях индекса.

В качестве объединяющей, в рассматриваемой тематике, может служить идея известного алгебраиста И. Шура5 о расширении кольца диффернциаль-ных операторов и заменой многочленов от D = d/dx бесконечными формальными степенными рядами по степеням DРазвитая им, техника обращения с дробными степенями дифференциальных операторов широко используется в теории коммутативных колец дифференциальных операторов и имеет, далеко идущие, приложения в современной теории интегрируемых систем, включая г— функцию КП (Кадомцев-Петвиашвили)-иерархии6. Приложения формул И. Шура.к задаче об общих свойствах коэффициентов производящей функции КП-иерархии излагаются в третьей главе диссертации. Во второй главе формулы Шура используются при решении функционального уравнения (1) с т = 4, п = 6.

Целью работы является исследование взаимосвязи задачи о коммутативных кольцах с модельными уравнениями современной математической физики, а также приложения аналитической теории дифференциальных уравнений к задаче о коммутирующих диффренциальиых операторов.

Методы исследования. В диссертации применяются методы аналитической теории дифференциальных уравнений (теория Фукса)7, теории преобразо-

5Schur I. Übe г vertauschbare, lineare Differentialausdrucke. // Sitzungsber. Berliner Math. Gen.-1905.- Bd.4.-P. 2-8.

6Орлов А.Ю. Гипергеометрические функции как бесконечносалитонные тау-функции. // Теоретическая и математическая физика.-2006.-Т. 146.-№2. С. 220-250.

71псе E.L. Ordinary differential equations. Longman, Green and Co., London, 102G. P. 479-530.

ваний Дарбу-Лапласа, формулы И. Шура из теории дробных степеней дифференциальных операторов.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Исследован вопрос о критериях разрешимости дифференциального уравнения (3) в элементарных функциях и связи этого вопроса с коммутативными кольцами.

2. Показано, что задача об общей собственной функции коммутативного кольца ранга 2 сводится к уравнению Бесселя с произвольным индексом. Установлены, в частности, условия существования логарифмической особенности у общей собственной функции операторов из кольца.

3. Указан алгоритм, позволяющий за конечное число шагов найти точную формулу для вычисления коэффициентов формального ряда при любом п, где Ai = D -f aD-1 + fD~2 + gD~3 + hD~4 + ...

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут иметь применения в развитии теории высших аналогов функций Весселя.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(Уфа, 2011г.);

• XIII Международная научно-практическая конференция "Естественные и математические науки в современном мире"(г. Новосибирск, 2013г.);

• XII Международная заочная научно-практическая конференция "Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии"(Москва, 2013 г.);

• Научный семинар "Интегрируемые системы "отдела математической физики Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН (Уфа, 2014 г.).

з

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 статей [1]-[6], в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК ([1], [2]).

Объем..-и. структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 108 страниц. Список литературы состоит из 7-2 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель, рассматривается элементы теории Фукса, формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается задача о собственных функциях

Аг!> = (4)

дифференциальных операторов Эйлера третьего порядка следующего вида

Лз(аьа2,аз) : А = e3t{Dt + ai)(Dt + a2)(Dt + а3), Qi 6 С, (5)

которые полуинвариантны относительно сдвига t —> t + const.

За счет этого сдвига, не ограничивая общности, полагаем в уравнении (4) Л = 1.

Как известно, операция сопряжения с экспонентой равносильна замене Dt —> Dt + const,

(А + а) о ekt = ekt(Dt + а + к).

Данная замена позволяет выбрать одно из значений а* равным 0, например, мы берем ai == 0. Тогда оператор (5) примет вид

Л3(0,а2,а3): А = e3tDt{Dt + а2)(А + <*з). (6)

Для оператора А второго порядка рассматривая задача сводится к уравнению Бесселя второго порядка.

В обозначениях нашей работы, это уравнение примет вид

[xDx - n)(xDx + п)ф = x2i>. (7)

При п — 0 собственную функцию ищем п виде

ф = 1п(х)!/гх(х) + 1рг(х), (8)

где (х), <р2{х)— аналитические в нуле функции вида

00 оо

V»! (*) = акхк' = 1 + 53 Ькхк■ к=1 к=1

Для нахождения решения уравнения (7) мы используем свойства оператора №)2

2 . хп 1п(ат) -> п2хп 1п(.т) + 2ю",

и коэффициенты функций (9) находятся из рекуррентных соотношений

1 ь - 1

12п - (2^а2"-2'

fan-2--а-2п-2

Т1

1 , 1^1 а2п~ (n!)222»' 2n _ (n!)223»^fc

и тогда собственная функция оператора Эйлера второго порядка примет вид

СО -| / ОО 71 -

В общем случае, оператор Эйлера второго порядка имеет 2 собственные функции, выражающихся в элементарных функциях, если выполняется условие

(0,а2) = (0, l)(mod 2).

Обобщением этого факта является следующее

Утверждение. Задача па собственные функции оператора третьего порядка (5) имеет три решения, выражающихся в элементарных функциях, а именно

п

j = 1,2,3

t=o

в том случае, если выполняется условие:

(0,а2,аз) = (0,1,2) (mod 3). (10)

Замена

х = Ох = е(А; А = —хПх (11)

приводит оператор (6) к следующему виду

А = \пх(хБх - а2)(хВх - а3)

и уравнение (4) сводится к уравнению (3). Пример 1.1. При «2 = 1, аз = 2

Л = е3'А(Д + 1)(Д + 2) = (е'Д)3 =

уравнение для собственных функций (4) сводится к уравнению

(е'А )Ч=Ъ\Ф ф"' = ф,

фундаментальной системой решений которого является

Фх=еФ2 = еах, ф3 = еЬх,

где а = —5(1 + ¿\/3), Ь = а.

Решение уравнения (3) будем искать в виде квазимногочлена

п

ф = ех^Скхк, Со ф 0. (12)

к~0

Одним из результатов работы является полный список операторов Эйлера третьего порядка, для которых выполняется условие (10) и имеющих собственные функции вида (12), где многочлен в правой части имеет степень 1,2 или 3.-Соответствующие им операторы преобразовния Дарбу Н также приведены в таблице:

Таблица 1.2.

№ А Я

(1) е3'А(А + 1)(А + 5) А + 2

(2) езгА(А + 2) (А + 4) А + 1

(3) е3'А(А + 1)(А + 8) (А + 2)(А + 5)

(4) езг А(А + 4)( А + 5) (Д + 1)(А + 2)

(5) езеА(А + 2)(А + 7) (А + 1)(А + 4)

(6) е3(А(А + 1)(А + 11) (А + 2) (А + 5) (А + 8)

(7) е3<А(А + 5)(А + 7) (А + 1)(А + 2)(А + 4)

(8) е3*А(А +4) (А + 8) (А + 1)(А + 2)(А + 5)

(9) е3'А(А + 2)(А + Ю) (А + 1)(А + 4)(А + 7)

Отметим, что порядок оператора Я определяет степень многочлена (12). Так, например, если порядок Я равен 1, то собственная функция имеет вид Ф = ех(С0 + С1Х), если равен 2, то Ф = ех(С0 + Схх + С2х2).

Для того, чтобы построить два других решения мы будем использовать правый оператор преобразования Дарбу Я, связывающий оператор А вида (5) и оператор А = (е'А)3 = £>3 из Примера 1.1. В работе8 показано, что такой оператор существует, если выполнено условие (10). Непосредственно можно проверить, что это условие выполнено для указанных выше случаев (1)-(9).

При этом

АоЯ = ЯоА=>Аф = ф при ■ф = Яф

и оператор Я переводит собственные функции оператора Л в собственные функции оператора А.

Пример 1.2. Найдем для оператора (1) А = + 1)(А + 5) из

Таблицы 1.2 собственные функции, используя оператор преобразования Я = А + 2 :

■Фх = Я.фх = (А + 2)ех = (-хИх + 2)е* = е*(2 - х), ф2 = Яф2 = (А + 2)ег" = (-хА + 2)е"х = еох(2 - га),

8Шабат А.Б., Эльканоаа З.С. и Урусова А.Б. Двусторонние, преобразования Дарбу. // Теоретическая математическая физика.- 2012.- Т. 173 №2,- С. 207-218.

и

Фз = яфз = {-xDx + 2)ей:1 = е"х(2 -

Аналогично находятся собственные функции для каждого из случаев (2)-(9).

Во второй главе рассматривается классификация коммутативных колец дифференциальных операторов Эйлера вида

А = eata(Dt), (14)

основанная на функциональном уравнении (1) и теории обратимых преобразований Дарбу. Эквивалентность функционального уравнения условиям коммутирования дифференциальных операторов Эйлера Л и В порядков т и п, соответственно, устанавливается с помощью замены (11). В случае, Korflagcd(?7i, п) = 1 доказывается эквивалентность, полученного в первой главе, критерия разрешимости в элементарных функциях и условия разрешимости уравнения (1). Основное внимание уделяется коммутативным кольцам ранга 2.

Сначала уточним некоторые факты, связанные с преобразованиями Дарбу, действующими в рассматриваемом классе операторов (14). Эти преобразования сводятся к сопряжению с оператором умножения на экспоненту

A = e~ktAaeki &S{D) = a(D + к), (15)

и перестановке одного из сомножителей

А = emt(Dt + £*!)■•■ (Dt + am) >—> A = (Dt + «,) о emt Ц(Д + ak). (16)

m

Будем называть системой корней дифференциального оператора A, orcL4 = т неупорядоченный набор чисел (aj,... ,orm) (см. формулу (16)) и говорить, что два оператора А и А порядка т имеют одинаковые системы корней, если выполнено условие

(аи... ,ат) = (5i, ...,ат) (mod т). (17)

В частности, («1,0:2, г*з) = (mod 3) Так как

(Dt + aj) о emt = emt(Dt + aj + m)

то преобразование Дарбу (16) не изменяет систему корней, при сравнении (17) по модулю целого числа тп, и мы получаем следующую теорему

Теорема 2.1. Два дифференциальных оператора А и Ä вида (14) и порядка т, связаны цепочкой преобразований Дарбу (15), (16) в том и только в том случае, если они имеют одинаковые системы корней, с точностью до сдвига.

Из этой теоремы, в частности, следует, что оператор Эйлера третьего порядка связан двусторонним преобразованием Дарбу с оператором (е'Д)3 в том и только в том случае, если в разложении

А = e3t(Dt + m)(Dt + a2)(Dt + n3)

корни au or2, a3 различны по модулю 3. Условие коммутирования пары дифференциальных операторов, полуинвариантных относительно группы сдвигов

Л = е"'ь ■ a(D). В = • b(D) (18)

за счет преобразования (15) сводится к функциональному уравнению

a(z + ß)b(z) =6(2 + п)а(г), а. ß е С, aß ^ 0, (19)

где а(г), b(z)~ многочлены с постоянными коэффициентами от формальной переменной г.

Уравнение (19) за счет растяжения, не ограничивая общности, можно переписать в виде (1).

В работе приводится полное решение уравнения (1) в случае многочленов 2 и 3 степени и, соответствующие им, коммутирующие дифференциальные операторы порядков 2 и 3.

Пример 2.1. Для того, чтобы найти многочлены a(z) и b(z) второй и третьей степени:

ф) = г2 + aiz + а-2, b(z) = z3 + blZ2 + b2z + b3,

удовлетворяющие уравнению (1), приравняем коэффициенты при одинаковых степенях г в левой и правой частях этого уравнения. Полагая а2 = 0, находим выражение коэффициентов многочлена b(z) третьей степени через аь Решая уравения

^(oi 4- 3)(-а? + За2 + tu - 3) = О, 9

находим

ai = ±1, ±3.

Случаи

ai = —3,ax = —1

■ сводятся сдвигом z->z + 3,z-^z + Ik случаям ai = 1, ax = 3 соответственно.

j bi = 6, b-2 = 8, b3 = 0, aj = 3 => < , (20)

|а(*)=ф + 3), b(z) = z(z + 2)(z + 4).

ibi=3, 62 = 2, Ь-з = 0,

ai_ ^ а(г) = 22 + г = ф + 1), ft(z) = г3 + 3z2 + 2z = ф + l)(z + 2).

^ (21)

Для случая дифференциальных операторов 4 и 6 порядков, необходимое и достаточное условие их коммутирования приводится к полиномиальному уравнению

a(z + 3)6(2) = a(z)b(z + 2) (22)

за счет растяжения независимой переменной с коэффициентом 2. Важную роль играет следующая простая лемма.

Лемма 2.1. Перемножение решений уравнения (1) для операторов 2 и 3 порядков приводит с точностью до сопряжений (т. е. преобразований Дарбу нулевого порядка) к следующему списку коммутирующих пар операторов порядков 4 и б:

euD(D + 2 ){D + a)(D + а + 2),

eGtD{D + 2 )(D + 4 ){D + a)(D + a + 2 )(D + a + 4),

' euD{D + 2 ){D + a){D + а + 6), eGtD{D + 2)(D + 4 )(D + <*)(£> + a + 4)(D + a + 8),

\bltD{D + 6)(D + a)(D + a + 6), I e6tD(D + 4){D + 8){D + a){D + a + 4){D + a + 8).

(Ax) (A2) (Аз)

В случае операторов четвертого и шестого порядков перестановочные многочлены имеют вид:

Р{г) = 24 + £11 г3 + о,2 г2 + а3г + а4, Р(г + 3) = г4 + Р1г3 + р2г2 + р3г + р4,

С}(г) =га + М5 + Ъ2г4 + Ь3г3 + Ь1г2 + ^ + ^ + = +

(0.0.23)

Замечание. Решения полиномиального уравнения (22), нормированные условиями а4 = Ьс = 0, зависят от дополнительного параметра I = а^

Р(*) = *2ВД + ?Р!(г) + Р0(г), ^(г) = ^(г) + А^) + + до(г).

При этом degP2 = 2, degQз = 3 и выполняется полиномиальное уравнение

Приравнивая далее коэффициенты при одинаковых степенях г, выразим сначала все коэффициенты 6,- через аь аг,а3 .(Сдвигом коэффициент а4 обращаем в ноль.)

6оР4 = о, Ьврз + Ь5Р4, = а35е, 6ер2 + ЪъРз + Ь^рд = а2дв + а3ц5 Р2 + Ьт + Ъ2 = д2 + 9Ю1 + а2, Рз + &1Р2 + г>2Р1 = 93 + 92«! + ^ а2 + а3.

При zw и г9 равенство выполняется автоматически. Далее находим

3 2

2bi = 3üi + 6, 4Î>2 = 6а2 + 10 + 15ai + -а1( 16Ь3 = 48а2 + 40ai + 12а? + 24о3 + 12а2ах - а? 32Ь4 = - 4 + 24а3аг - За? + 72а2 + 72а3 + За? + 36а2а!~ —ба2а? + 12а2,

7 3 -

32Ь5 = 24а2 - 6а?а3 + Зо2а? - 6а10| + 24а3а2 + - " 2а*+

+12 + 96а3 - 9а? - 12a2ßi + 24aia3 - 6а2а? + -а4 + 12а|,

64b« = —а? - 36 - 6а?а3 + 3а2а? - ба^ + 24а3а2 + ^а?-16 z

_15а4а2 _ + бах - 76а2 + 72а3 - 24а3а2а! + 28а? + 9а^а?-

48 13

-24a2ai + 24а^ + 6а3а? - 4а32 - 28<ца3 + 37а2а? - —а\ - 44а2,

В силу Леммы об общем корне9 можно положить b6 =f p(ai,a2,a3) = 0. При этом

R{z) = P{z + 3)Q(z) - P(z)Q(z + 2) =*■ R{0) = 0, R(z) = zr{au a2, a3)

и уравнение (22) сводится к двум полиномиальным уравнениям для трех неизвестных ai = 2t, a2 = х, a3 = у. Привлекая Maple, получаем

6у2 - х3 + 6ух(1 - 2t) + х2 (9i2 - 3f - И) + х(т2 - 19 - 124--15t4 + 6t3) + 18у - Uyt + 12i3y - 6yt2 + 28t2 - 26t4 + 3i + 71° - 3t5--9 + 9i3 =0, ai = 2t, a2 = x, a3 = у 2yh2 - &y2x + 126xyi2 + löiV - 7lGx + 90:ryt - 14t3xy - 105tV+

+x4 + 210Л - 75t3y + 180x + 21x3t - 525£3x - 441y + 13yx2i-— 105f4y - 21 yx2 - 9x3t2 + 125t4x + 44Ш + 118x2 - 270t2 + 315yt2-—210xy - 100x2t2 - 42y2i - 60y2 + t5y + 20x3 + 17yi + 81 - 441t3 + 315i5+ +180Î4 - 45t6 - 63£7 + 147i5x - 289xt2 = 0.

вБайчорова Ф.Х., Эльканова З.С. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4-в. // Уфимский математический журнал.-2013.- Т. 5 №3 - С. 12-20.

Если искать решение системы алгебраических уравнений на коэффициенты сц многочлена Р(г) в виде многочленов от I степеней 1 и 2 при некоторых значениях параметра £, удается найти дополнительный список коммутирующих операторов порядков 4 и 6. При специально подобранных значений t решения сводятся к фпцкциям Бесселя целого порядка. Итак, положим 01=2£, а2=сль + с2.. а3 = с3£2 + + с5. В результате находим

сх = -10, с2 = -21, с3 = 0, с4 = 8, с5 = 20.

Решая систему, получим следующие значения £,аг,^ и соответствующие им многочлены Р(г) и (¿(г) :

№ £ й! ¡22 аз к ь2 ь3 к ъ5

1 -2 -4 -1 4 -3 -8 12 16 0

2 -3 -6 9 -4 -6 7 6 -8 0

3 -4 -8 19 -12 -9 25 -15 -26 24

4 -1 -2 -11 12 0 -20 0 64 0

5 -5 -10 29 -20 -12 46 -48 -47 60

6 -6 -12 39 -28 -15 70 -90 -71 105

№ Р{г)

1 z(z-l)(z~4)(z+l) г2(г — 2)(г — 4)(г + 2)(г + 1)

2 ф-4)(г-1)3

3 ф-1)(г-3)(г-4) г{г - 1)(г - 2)(г - 3)(г - 4)(г + 1) |

14 *(*-1)(* + 3)(г-4) г2(г + 4)(г-2)(г + 2)(г-4)

5 г(г-5)(г-1)(г-4) ф-1)(г-3)(2-4)(г-5)(л + 1)

6 г(г-1)(г-7)(г-4) z(z-5)(z-l)(z-7)(z-3)(z + l)

Переходя к операторам (операторы, получаемые за счет сдвига корня, сматриваются как эквивалентные), получим следующий список:

е44А(А + 6)(А + 8)(А + 14), е<"А(-А + 4)(А + 8)2(А + 12) (А + 16) е«А(А.+ 6)(А + 8)(# + 10), е«А(А + 4)(А + 8)2(А + 10) (А + 12) [с«А(А + 6)а(А + 8), [е«А(А + 4)(А + 6)(А + 8)2(А + 10) е4'А(А + 2)( А + 6)'(А + 8), е6(А(А + 2)(А + 4)(А + 6)(А + 8)(А + 10) е4'А(А + 2) (А + 8) (А + 10), е« А(А + 2)(А + 4)(А + 8)(А + Ю)(А + 12) е44А(А + 6)(А + 12)(А+14), еиА(А + 4) (А + 8) (А + 12) (А + 14) (А + 16)

Основной результат главы 2:

Теорема 2.2. Полиномиальные решения функционального уравнения (1) при тп — 4 и п = 6 сводятся к- следующему списку (см. Лемму 2.1):

Р1=г2(2 + 2)\ <гг = *а(* + 2)3(* + 4)2,

Р2 = г2(г + б)2, (32 = г2(2 + 4)2(2 + 8)2,

Р3 = г2(г + 2)(г + 6), Яз = г2(г + 2)(* + 4)2(г + 8).

Одно из приложений коммутирующих дифференциальных операторов связано с задачей об их общей собственной функции, которая находится при помощи цепочки преобразований Дарбу, приводящей операторы к каноническому виду

А = е3£А(А + 1)(А + 2) = (е'А)3-

Следствие. Решение задачи об общей собственной функции коммутативного кольца ранга 2 в случае операторов Эйлера записывается в терминах функций Бесселя с произвольными индексами.

(во

(В2) (Вз)

(ВО (В5) (Во)

В третьей главе рассматриваются приложения теории дробных степеней дифференциальных операторов к задаче об интегрируемых иерархиях. Указан алгоритм, позволяющий за конечное, независящее отп, число шагов вычислить любой коэффициент формального ряда А'{(П), где

Аг=0 + аО'1 + /£Г2 + дБ'3 + /гО~4 + ...

Эти коэффициенты степеней определяются рекуррентно. Если необходимо найти коэффициенты с фиксированным номером j, то нужно вычислить и все коэффициенты с меньшими номерами, игнорируя, при этом, коэффициенты с номерами к > ), используя общую формулу с биномиальными коэффициентами

а/?-1 - ахО-г + а1Х0~3 + ... п = -1 а£>-2 - 2ахБ-3 + 3аххО~* + п = -2 - 3ах£>-4 + 6аххО~5 + ... п = -3

Лемма 3.1. Пусть о^(гг) коэффициенты с номерами ] формальных рядов Ап. Тогда линейная часть определяется формулой

°П ° а = 12 ^ ) Ок{а)Бп-к = <

Л" ~ 0»+„В£>"-2+ В'Оп~3+ В'^-Ч. ..В = а2+аф~ЧаА0-Ч... . и

а2(п) = 7Ш2, оз(»0 = паз + (^Ц ъ(п) = па, + + +

а5(т») = па-й + ф«4 + (з) «з + а™ + а2 [2а3 + (п - 3)а'2].

В работе И. Шура 1905 г. обобщены формулы, связывающие старшие коэффициенты коммутирующих операторов и доказано, что при заданном Л порядка п, коэффициенты операторов с ним коммутирующих можно найти алгебраически, решая уравнение

Л" = Л.

Теорема 3.1.(Шура) Для заданного формального ряда А = а0От+а1О'""1+ ... порядка т > 0 с гладкими коэффициентами а}(х) существует единственный10 псевдо-дифференциальный ряд А! порядка ог^Л^ = 1 такой, что А? =

10с точностью до умножения на корень т-оЯ степени из единицы

А. При этом, любой формальный ряд В, удовлетворяющий коммутационному соотношению [В, А] = В А - АВ = 0, представим в виде ряда по степеням Ах

с постоянными• коэффициентами.

Автор выражает благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Шабату Алексею Борисовичу за предложенную тему исследований, постоянное внимание, неоценимую помощь и поддержку в процессе работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Байчорова Ф.Х., Эльканова З.С. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4^6// Уфимский математический журнал. - 2013. - Т.5. - №3. - С.12 - 19.

2. Байчорова Ф.Х. Об аналогах функций Бесселя третьего порядка // Уфимский математический журнал. - 2014.-Т. 6. - №1. - С. 12- 17.

3. Байчорова Ф.Х., Яикбаева А.К. Формула И. Шура и уравнения П. Лак-са // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании"; Сборник трудов. Том 1. Математика.- Уфа: БашГУ, 2011.- С. 29-34.

4. Байчорова Ф.Х. Об уравнении Бесселя третьего порядка // XII Международная заочная научно-практическая конференция "Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии". Сборник статей. Москва, Изд. "Международный центр науки и образования",- 2013. - №12(12). - С.7 -11.

5. Байчорова Ф.Х. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков 4 и 6 Ц XIII Международная научно-практическая конференция "Естественные и математические науки в современном мире". Сборник статей. Новосибирск, Изд. "СибАК". - 2013. -№12(12). - С.14 -17.

6. Байчорова Ф.Х. Формула И. Шура и уравнения П. Лакса // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Тезисы докладов. Уфа. РИЦ БашГУ. -2011. - С. 219.

Байчорова Фатима Хасаповна

О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ ЭЙЛЕРА

Специалт.иость: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 21.04.2014. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100 экз.

Издательство Карачаево-Черкесского государственного университета им. У.Д. Алиева 369202, г. Карачаевск, ул. Ленина, 29.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д.

Алиева»

На правах рукописи

Байчорова Фатима Хасановна

О СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ ЭЙЛЕРА

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.Б. Шабат

Карачаевск - 2014

Оглавление

Введение 4

§1. Теория Фукса....................................................6

§2. Преобразования Дарбу..........................................12

§3. Коммутативные кольца........................................18

§4. Операторная пара Диксмье......................................26

1 Уравнения Бесселя третьего порядка. 30

§1. Собственные функции............................................37

§2. Условия обрыва..................................................42

§3. Задача об общей собственной функции........................48

2 Коммутативные кольца ранга 2. 51

§1. Приведение операторов к каноническому виду..............55

§2. Коммутирующие дифференциальные операторы порядков

4 и 6................................................................62

3 Приложения теории дробных степеней дифференциальных операторов. 72

§1. Формулы Шура..................................................73

§2. Централизатор....................................................79

§3. Эволюционные дифференцирования..........................85

§4. Симметрии............................ 90

§5. Уравнения типа КдФ...................... 94

Литература 99

Введение

Актуальность темы. Взаимосвязь теории коммутативных колец дифференциальных операторов и аналитической теории дифференциальных уравнений представляет интерес с различных точек зрения. Несмотря на значительные успехи и обнаруженные новые приложения первой из этих теорий, связь коммутативных колец с аналитическими вопросами дифференциальных уравнений использует в основном вторую часть классического учебника Айнса [1]. Тематика появившихся недавно монографий [2], [3] тяготеет в сторону аналитической теории и не охватывает интересующие нас приложения. В диссертации взаимосвязь между этими двумя теориями исследуется на примере задачи о собственных функциях операторов следующего вида

Здесь а(О) и Ь(О) многочлены с постоянными коэффициентами от I) = (1)1, ...,£>*), а а: и (3 произвольные векторы в N. Собственные функции этих операторов при N = 1 являются обобщением функций Бесселя, а условие коммутирования операторов (0.1) записывается в виде довольно простого функционального уравнения

А = еа'х -а(Л), В = е?'х-Ъ(р).

(0.1)

а

(И + /3)Ъ{Б) = а(И)Ь[р + а); а, /3 е См

(0.2)

на многочлены a(D) и b(D). Например, при N = 2 условием коммутирования операторов

А = exP(Dx, Dy), В = eyQ(Dx, Dy),

где Р и Q многочлены с постоянными коэффициентами от Dx = Dy = г] является алгебраическое соотношение (см. [4], [5]):

В одномерном случае операторы (0.1) мы называем операторами Эйлера. Их удобно записывать в следующем факторизованном виде

А = ent{Dt + ai)(Dt + а2) ■ • • (Dt + ап), а3 6 С. (0.3)

Основные результаты, развиваемые в теории Главах 1, 2, формулируются в виде сравнения по модулю целого числа п, равного порядку оператора А, двух неупорядоченных наборов чисел

(аь ..., а„) = (ft, ...,рп) (mod п). (0.4)

Это условие позволяет связать цепочкой преобразований Дарбу оператор (0.3) с другим оператором порядка п такого же вида:

B^ent(Dt + ^)...(Dt + pn). (0.5)

Перед тем как изложить основные, используемые в диссертации, факты из современной теории преобразований Дарбу, мы хотим кратко напомнить, следуя [1], §§15 — 16, теорию Фукса регулярных особых точек линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

¡1. Теория Фукса

Рассмотрим линейное однородное уравнение

dnw

. .dn lw . .dw . .

dxn Г + ••• +Pn^)Tz+pn{x)W = 0,

(0.6)

коэффициенты которого аналитичны в проколотой окрестности нуля. Согласно теории Фукса точка х = 0 является регулярной особой точкой уравнения (0.6) в том и только в том случае, если выполнено условие

рг{х) = ^-Рг(х), г = 1,2,3...,п, хг

где функции Рг (^-аналитические в нуле. Характер поведения решений в этом случае определяется собственными значениями Sj, j = 1, 2,..., n матрицы, связывающей две матрицы Вронского

W

(

w\

W1

W2

Wc>

Wn

\

\wi

n—1 л,,П-1

wn

w,

n-1 n

(0.7)

/

до и после обхода особой точки х — 0. Эти собственные значения я/с, к — 1,2,... ,п не зависят от конкретного выбора фундаментальной системы решений гиг, и>2,..., и]п рассматриваемого уравнения и их проще всего найти при помощи оператора Эйлера

ai пп-1 , а2 пп-2 , , ап n _ А а. е с

dx1 3 '

А = Dn + -Dn~l + + ... + —, D =

< - ■ (0-8)

коэффициенты которого а^ ■= Pj(0) задают главную часть соответствующих коэффициентов уравнения (0.6). Ядро кег А дифференциального оператора (0.8), в случае общего положения состоит из хак, к ~ 1,..., п и = ак-

Важную роль в дальнейшем играет следующее утверждение Лемма 0.1 (ср. [3]) Замена независимой переменной

х = -е"', Вх = е* А, Д = -хВх (0.9)

переводит оператор (0.3) порядка п с "корнями" оц, г = 1,...,п, в оператор Эйлера (0.8) следующего вида:

А = хВх - ах)... (хИх - ап). (0.10)

сс

Частным случаем этой леммы является формула

[^хО^хОх - 1)(з:Дс - 2)... [хОх - п + 1).

(0.11)

Отметим еще, что

1х7 —

(0.12)

ж7(1па;)т -» х^ [7(1пж)т + тОпя;)™-1] . Пример 0.1. В случае общего положения в окрестности регулярной особой точки х = 0 линейное дифференциальное уравнение третьего порядка:

т РгЫ) н Р2{х) ' Рз(х) п и) + -А^ги + -А^Ю = 0 (0.13)

/у» /->■» ¿и /Т10 '

«АУ ОУ

имеет три решения следующего вида

ф = ж®(с0 + С1Ж + с2ж2 + ...) = 0, с0 ^ 0, (0.14)

которые образуют фундаментальную систему. Дифференцируя ряд (0.14) получаем

ф' = зсих3-1 + {з + 1)С1х5 + (з + 2)с2Х3+1 + .. . + (з + к)скх3+к~1 + ... (0.15)

ф" = (в - 1 )зс0х8~2 + ф + 1)сю;5~1 + (й + 1)^ + 2)с2х3 + ... +

+(з + к) (б Л-к - 1)скх3+к-2 + .... (0.16)

ф"' = (5_2)(5-1)3с0а;5-3+(5-1)з(5+1)с1а;5-2+5(5+1)(5+2)с2а:^1 + ... +

+(5 + к - 2 )(5 + к- 1)(й + к)скх*+к+ ... (0.17)

Так как Р\{х), Рз(х)~ функции, голоморфные в окрестности точки х = 0, то коэффициенты уравнения (0.13) разлагаются в степенные ряды

Рх(ж) = «о + + .. - + акхк + ..., (0.18)

Р2(ж) = Д, + № 4-... + /Зкхк + ..., (0.19)

ЛгМ = 70 + 71Я + • • • + 1кХк + ■ • ■ • (0.20)

Подставляя разложения (0.15)-(0.20), в рассматриваемое уравнение:

Л'" + ж2Рх(я;)ги" + жР2(ж)и/ + Р3(ж)ги = 0, (0.21)

и выписывая коэффициенты при соответствующих степенях х, мы получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов

С0,С1, . . .

/

с0[(5 - 1 )(й - 2)б + а0(в - 1)в + /Зов + то] = О,

С\[(в - + 1) + аоф + 1) + /За(5 + 1) + 7о] + со^в - 1)в+

+/315 + 71) = 0,

<

с*[(в + к - 2)(в + к - 1)(в + А;) + а0(я + к - 1)(з + к) + /30(в + к) + 7о] +

+сА;_1[а1(5 + к — 2)(б + к- 1) + /^(я + к - 1) + 71] + ... + +со[ак(Б - + (Зкв + 7к] = 0.

которое определяет величину показателя 5 в разложении (0.14). Нетрудно проверить, что эти корни определяют факторизацию (0.3) соответствующего оператора Эйлера (0.8). Как уже говорилось, этому же кубическому уравнению удовлетворяют собственные числа матрицы, связывающей две матрицы Вронского (до и после обхода особой точки).

Пример 0.2. Рассмотрим уравнение Бесселя целого порядка, которое в наших обозначениях примет вид

(0.22)

Так как со ф 0, то получаем кубическое уравнение

(5 - 2)(5 - 1)5 + 0:0(5 - 1)5 + Д,* + 70 = 0,

(0.23)

(жДе — п){хОх + п)ф = х2ф.

(0.24)

При п = 0 одно решения будем искать вида

со

Л=1

где а2п = а второе - в виде

ф2 = 1п(ж)у?1(ж) + <р2(х)

где (р\(х),(р2{х)— аналитические в нуле функции.

Сначала найдем функцию (ж) при логарифме. Пусть (ж) = 1 + ак%к- Из формулы

(:хВх)2 : хп 1п(ж) п2хп 1п(ж) + 2пхп

находим, что коэффициенты с нечетными номерами равны нулю, а с четными удовлетворяют рекуррентному соотношению 1

а2гс = ~Гг) ^2гг—2- (0-25)

(2 п)г

Откуда,

1

&2 п

(п!)2(2)2п" Для члена без логарифма, положим

00

у2(х) = 1 + ^Ъкхк. к=1

Из формулы

{хИх)2 : хп п2хп аналогично получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов Ь^ :

ь 1

Ч п

, 1

02п-2--«271-2

П

(2п)2 тГт-л\ ' (0'26)

Это неоднородное уравнение совпадает с дифференциальным неоднородным уравнением первого порядка у + д(х)у = д(х), методом решения которого является метод вариации произвольной постоянной.

Общее решение уравнения (0.26) равно частному решению однородного уравнения (0.25), умноженного на постоянную С.

Согласно метода вариации произвольной постоянной, решение уравнения (0.26) будем искать в виде:

¿>2п = Я2п ■ С2п, (0.27)

10

где С2п~ неизвестная функция переменной п.

Подставляя (0.27) и &2п-2 = а2п-2 • С2п-2 в уравнение (0.26)

«2п • С2п

(2 п

1 1 1

2^-2 ■ С2п-2 - ~Щ2а1п-2

или, учитывая (0.25)

<3-2п • С2П — &2п • С2п-2--<¿2п

п

С-2п = С2п-2--,

п

где с2п_2 = со - ПРИ п 00 > с2п с + 1п(п), где с =

0,577216...— так называемая постоянная Эйлера1.

Итак,

1

Пп

7г!)2(2)

и

Ф

00

£

2 п

1

гг 1 Л=1 .

1

(„1)2(2)2* ^ к

п

Е1

Т'

П > 1

(п!)222гг'

-ж

2п

1

ж

2гг

тг=2

к=2

_п=О

(ср. [1], стр. 544).

Определение 0.1. ([2],с. 231.) Регулярная особая точка х — 0 называется нерезонансной, если

- ^ £ г, V г, э

Замечание 0.1. Общий ответ в задаче об операторах Эйлера (0.3) порядка п, собственные функции которых демонстрируют логарифмическое поведение формулируется, по-видимому, в терминах кратности корней сравнений типа (0.4) по модулю целого числа п. Соответствующие дифференциальные уравнения можно было бы назвать высшими аналогами уравнений Бесселя с целым показателем.

1Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 25

§2. Преобразования Дарбу

Пусть (и]1,и)2, ■ •■, и)п) обозначает определитель матрицы Вронского (0.7). В основе излагаемой теории преобразований лежит следующая теорема Теорема 0.1. Пусть А - дифференциальный оператор п— го порядка с единичным старшим коэффициентом и функции </?1,..., образуют базис в кег А. Тогда

Л = (£-/„)...(/)-/!), Л = £>1п<Р1, /З. = тп ^-^з) •>1

(0.28)

Доказательство. Формула

= Мф

(<Ри-,<Рп)

определяет действие на функцию ф некоторого линейного дифференциального оператора М порядка п с единичным старшим коэффициентом. Очевидно, что М(ф) = 0 при совпадении функции ф с одной из функций ..., <рп, и, следовательно, эти функции образуют базис в кег М. Рассматривая оператор А — А — М, который имеет меньший порядок, мы приходим к выводу, что А = М. Далее нужно воспользоваться следующей леммой Дарбу:

Лемма 0.2. Для вронскиана < ф\,... :фт > -с1е!= 1,...,т от произвольных т > 2 гладких функций Фз{х) имеет место следующая формула

УЧ

<Фи...,Фт>=Ф1 < Ф2, ...,'0т>, Фj = Ф - / = £>1(^1.

(0.29)

Доказательство леммы. Разложив определители < ф\,..., фт > и

уЧ -Л,

т > по элементам последнего столбца и, учитывая, что фт — (В — /)(фт) мы получаем два выражения в виде дифференциального оператора порядка т — 1, действующего на функцию фт:

Л(фт) = (ао^""1 + + ■ ■ ■ + От-Жфт) И

Л(фгп) = (а0Вт~2 + а!Л—3 + • • • + ат_2)(Я - ¡)(фт)

Легко видеть, что нуль-пространства кег А и кегА содержат функции -01,..., фт-1 и, следовательно, совпадают. Остается заметить, что необходимое нам равенство ао = ф\ао эквивалентно доказательству формулы

✓ч /Ч

(0.29): < ф\,..., фт-1 >=< ф\ф2, ■ - •, Фт-1 >? но с заменой т на т — 1. Для завершения доказательства можно сослаться на индукцию по т,

т.к. при т = 2 мы имеем < ф\^ф2 >= Ф1Ф2 — Ф2Ф1 — Ф\(В — ЛФ2 — Ф\Ф2-►

Представление оператора А в виде

А = а0(В - /п)(В - /„_!)... (В - /0 (0.30)

называется его факторизацией. Грубо говоря интересующие нас преобразования заключаются в перестановке сомножителей в факторизационной формуле (0.30)

А = (В-/1)А(В-/1)~1 (П-^В-^В-^) • ■ • (Я-/2). (0.31) Пример 0.3. Классический пример применения такого рода преоб-

разования связан с именем Дирака:

(0.32)

ядру этого оператора. С другой стороны в силу (0.32):

<рп+1 = {Б - х)(рп, А(рп = \прп А(рп+1 = (Л„ - 2)рп+1. (0.33)

Первая из этой цепочки формул определяет, таким образом, серию собственных значений и собственных функций оператора А.

Аналогично, из двух различных факторизаций оператора (0.3) второго порядка получаем

и, таким образом, эта композиция преобразований переводит оператор Ап в операторы Лп_ 1 и Ап+1, в зависимости от порядка сомножителей в факторизации оператора Ап. Отметим еще, что Лемма 0.1 позволяет переписывать приведенные операторные соотношения в терминах соответствующих операторов Эйлера, используя формулы

ть

А + п = п — хБХ) Их--= еь о (А + п).

(А - п)е2'(А + п) = е2*(А + 2 - п)(А + п) (А + п)е2<(А - п) = е2'(А + 2 + п)(А - га).

Дополнительное преобразование дает

е4 о А* о = е2'

(А-п + 1)(А + п-1) (Д + га+1)(Д-га-1)

ж

Вторая из этих формул "объясняет" необходимость дополнительной подкрутки для операторов А*.

Задача о факторизации (0.30) эквивалентна построению базиса в пространстве кег А и частным случаем Теоремы 0.1. является следующее утверждение:

Теорема 0.2. Дифференциальный оператор А порядка п > 0 делится справа на оператор первого порядка А\ = И — / в том и только в том случае, если / = у? е кег А.

<4 Из формулы

п п— 1

А = ^,ч(х)]У = ВВ = / = (106^ (0.34)

о о

следует, что А(</?) = 0, т.к. (£) — /)(<£>) = 0. Замена искомой функции у = у приводит нас к оператору А с нулевым последним коэффициентом ап = 0. Делимость полученного многочлена на И эквивалентна делимости исходного оператора на I) — /. ►

Обобщением приведенного выше Примера 0.3 является

Лемма 0.3. Пусть А = В о (Г) — факторизованный оператор и Л= (£>-Л)о£. Тогда

Аф = \ф, ф=(П-/г)ф-+ Аф = Хф Аф = Xф, ф = Вф Аф = Хф

Доказательство. Имеем

А = (№ - /х) о Б) ф = ((£> - Л) о В о (Л - /1)) ф =

= ((£> - /0 о А)ф = Х(0-Ыф = Хф

Аналогично проверяется вторая из выше приведенных импликаций. ►

Идея использовать перестановку сомножителей в формуле (0.28) при классификации дифференциальных операторов произвольного порядка приводит к следующему определению [б]:

Определение 0.2. Дифференциальный оператор В называется оператором преобразования В : А —» Л, если в кольце дифференциальных многочленов выполняется уравнение

Определение 0.3. Будем говорить, что операторы А и Ао порядка т > 1 связаны двусторонним преобразованием Дарбу (или ДПД), если существуют два дифференциальных оператора Т и Я ненулевого порядка такие, что

Операторы Т и Я называются соответственно, левым и правым операторами Дарбу по отношению к оператору А. Порядком ДПД называется сумма т' = огй огй Т порядков Т и Я. Двустороннее преобразование Дарбу называется вырожденным, если его порядок га' < тп = оп! А.

Из формулы (0.35) находим, что

ТоАоН = АпоТЯ = Т11оАо ЯоАс\оТ = Ао ЯТ = КГ о А

В • А = А • В.

ТоА = А0оТ, АоЯ = ЯоА0.

(0.35)

и, следовательно,

тя е С(А0), ят е С(А)

(0.36)

где централизатор С (А) обозначает кольцо дифференциальных операторов, коммутирующих с оператором А:

С (А) = {А1 : [А\ А] = А' о А - А о А' = 0} . (0.37)

Если кольцо С (Л) содержит элементы, отличные от многочленов по степеням А с постоянными коэффициентами, централизатор называется нетривиальным. Нас интересуют случаи, когда нетривиальны оба централизатора С(Ао) и С {А). Пример 0.4.

А = е®+ 5) = Дга(6>) = В2--В, Я = (Д + 1)(А + 3)

ж

= к2ф, ф = (^ЯЧЗЬ+З)^**, / - ^ = 1 1 1

ж2 — За; + 3 ' о; + а ее + а'

ж а;2 (а; + а)2 (х + о;)2 Оператор после сопряжения принимает вид

о х2 = В2 - - -——.г^ - -—а + а = -3, аа = 3. аг аг (х + а)"1 (ж 4- а)1

Все 4 особых точки уравнения Аф = Хф являются регулярными. Коммутирующих операторов порядка 3 нет. Минимальный порядок в централизаторе этого оператора равен 5.

Отметим, завершая этот раздел, что сопряжение с оператором умножения на функцию а(х) определяется похожей формулой:

А -> А = а"1 • А о а = еаА о е_а, а = а{х) = е""а(х). (0.38)

Легко видеть, что операция сопряжения обратима и коммутирует с преобразованиями Дарбу.

§3. Коммутативные кольца

Умножение в кольце дифференциальных операторов общего вида

А = ^ ааВ\ В = ЪрВ\ Ва = В*1 - ■ • Ваы"

определяется формулами Лейбница, которые позволяют менять местами операторы дифференцирования и умножения:

(чу)' = и'у + иу' -—гВа о £ = ]Г Л^Шт^ =

а ! ~—' 7 ! р !

+7=а

(0.39)

В частности,

Ваое*х = е^А+^Г '"" + « = Й,.. .Ы € М). (0.40)

Из формулы (0.39) следует также, что

[«2аВ<*, ЬрВ?} = аа(В + д)а(Ьр)В0 - Ь/з(В + д)Р(аа)Ва =

n

= ]Г (чаад^Ьр) - А-Ь/ф(а„)) Ва+^ + ...

¿=1

Здесь = (...,0,1,0,...) обозначает вектор с 1 на j—oм месте, а многоточие- дифференциальный оператор, порядок которого не превосходит |о;|+|/3|—2. Собирая старшие члены в коммутаторе, мы убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Коммутатор дифференциальных операторов А и В порядков т и п является оператором порядка не выше п + т — 1 и в главной части соответствующего многочлена от В степени п + т — 1 мы имеем:

[Л, В}0 = [А0, В0}0 = А\-В1- В\ • А°х. (0.41)

В последней формуле функции А°(х,£) и В°(х,£):

а°(х,о = £ ^ = Е (о-42)

получены заменой И = (В\,..., Ду) на £ = (£1, • • • а нижние

индексы используются для обозначения частных производных. Формула (0.41) показывает (ср. [7], [4]), что главная часть коммутатора [А, В] совпадает со скобкой Пуассона многочленов

и В .

Очевидно, что равенство этого выражения нулю является необходимым условием равенства нулю коммутутатора [А, В] — 0 рассматриваемых операторов.

Пример 0.5. При N = 1 формула Лейбница дает

АВ = (ооТТЧахГР-Ч... НЬ0£>т+&1£>т-1+. = с*£>п+т-*, В =

к> 0

где со = ао&о и с\ = аф\ + а\Ьо + паоЬ^х. Поэтому

и, В] - ао&о т^Ц Вп+т~1 + 0{Вп+т~2)

\ »о ао )

и операторы А = аоБ71 + ... и В = 6о^т + • • ■ коммутируют в главном, тогда и только тогда, когда существует функция /(ж) такая, что

а0(ж) = С1/П(ж), Ъ0(х) = с2/т(гс), ц е К.

При N — 1 теория коммутативных колец дифференциальных операторов восходит к работе И. Шура, 1905 года, в которой была обобщена формула, связывающая старшие коэффициенты коммутирующих операторов и доказано, что при заданном операторе А порядка п, коэффициенты операторов с ним коммутирующих, можно найти алгебраически. Достаточно для этого, не решая дифференциальных уравнений,

научиться решать алгебраическое уравнение

Л? = Д А! = г^В + г0 + пГГ1 + г21Г2 + ... . (0.43)

Полезно отметить, что две формулы

Вх о а = аВх + ах и £>п£>т = Вп+т (0.44)

однозначно определяют ассоциативное умножение как в кольце дифференциальных операторов, так и в его расширении, с�