О совместных приближениях решениями эллиптических уравнений в пространствах обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.5

Воронцов Артём Михайлович

О СОВМЕСТНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ РЕШЕНИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЕННЫХФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Ъ.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор П.В.Парамонов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук С.П.Суетин. кандидат физико-математических наук, доцент К.Ю.Федоровский.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН

Защита диссертации состоится '43 11 .2004 г. в 16 часов 15

минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических:I наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория равномерных аппроксимаций голоморфными и гармоническими функциями - глубоко исследованная область комплексного анализа и теории потенциала, базовыми результатами которой являются теоремы Вейерштрасса, Рунге, Уолша-Лебега, Лаврентьева, Келдыша-Дени, Мергеляна, Витушкина. В работе А.Г.Ви-тушкинал, посвященной вопросам равномерного приближения функций рациональными дробями на компактах в С, был предложен локализа-ционный метод, который в дальнейшем получил распространение на задачи аппроксимации функций решениями (произвольных) однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами (ОЭУПК) на компактных множествах X в в нормах (топологиях) различных классов функций. В работах А.Г.О'Фаррелла'2"3', Т.Бэгби'4', Дж.Вердеры'5''6^7', П.В.Парамонова'8' и других авторов были получены аналоги известных емкостных критериев Витушкина для большинства задач аппроксимации функций решениями ОЭУПК на компактах в M.N в метриках пространств Lp, Lipa, С", ВМО, Wg. После того, как О'Фаррелл'9! доказал инвариантность (и непрерывность) оператора Витушкина в широком классе так называемых "конкретных банаховых пространств" - КБП (так О'Фаррелл назвал линейные подмногообразия в (Cq°)* = (Cq°(Rw))* со своими банаховыми нормами и определенным набором свойств), появился цикл работ, посвященных задачам аппроксимации (обобщенных) функций решениями ОЭУПК в нормах

лУА.Г.Витушкин. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений // Успехи ма-тем. наук, 1967, т.22, №6, с.141-199.

I2' A.G.O'Farrell. Hausdorff content and rational approximation in fractional Lipschitz norms // Trans. Amer. Math. Soc, 1977, V.228, p.187-206.

PI A.G.O'Farrell. Rational approximation in Lipschitz norms II // Proc. Royal. Irish Acad., 1979, V.79A, p4.104-114.

fl T.Bagby. Approximation in the mean by solution of elliptic equations // Trans. Amer. Math. Soc, 15984, V.281, p.761-1784.

fl J.Verdera. On C1 rational approximation // Proc. Amer. Math. Soc, 1986, V.97, p.621-625.

Iе! J.Verdera. BMO rational approximation and one-dimensional Hausdorff content // Trans. Amer. Math.

Soc, 1986, V.297, p.283-304.

I7! J.Verdera. Cm approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon-Zygmund operators // Duke Math. Journal, 1987, V.55, №1, p.157-187.

fl П.В.Парамонов. О гармонических аппроксимациях в Сл-норме // Матем. сб., 1990, т.181, №10, с. 1341-1365.

M A.G.O'Farrell. T-invariance // Proc. Roy. Irish Acad., 1992, V.92A, №2, p.185-203.

КБП на замкнутых множествах X в Их результатами стали "абстрактные" аналоги локализационной теоремы Бишопа, теорем Рунге, Рот, Нерсесяна, Аракеляна (см.!10''11!), а также ряд других утверждений,

важных в приложениях. Тем не менее, "абстрактных" аналогов емкостных критериев Витушкина для КБП получить не удалось: даже сам по себе емкостный подход в контексте общих КБП представляется весьма громоздким.

В указанных выше работах каждая из аппроксимационных задач посвящена приближениям в некоторой фиксированной норме, которая обладает определенными свойствами однородности и инвариантности. Ясно, что такие приближения не могут учитывать различные свойства гладкости приближаемых функций на разных подмножествах в X. Таким образом, весьма естественно возникает задача о совместной (одновременной) аппроксимации в нескольких (для начала в двух) различных нормах на (двух) разных компактах Xi и Х2, X = X1ÖX2. Этой тематике посвящен ряд работ, где соответствующие нормы или топологии являются классическими: равномерная, поточечно-ограниченная, липшицева (см., например, и цитируемые там работы).

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование задач о совместной аппроксимации функций в нормах двух различных пространств (обобщенных) функций решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами. Для случая аппроксимации в произвольных КБП данная задача рассматривается впервые.

Методы исследования. В диссертации используются: методы теории обобщенных функций и локализационная техника Витушкина (в контексте работ, методы теории аппроксимации голоморфными функциями (рациональными дробями) на компактах в С в равномерной и С - нормах, ряд примеров, конструкций и методов оценивания,

(10] p.v.Paramonov and J.Verdera. Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of Euclidean space // Math. Scand., 1994, V.74, p.249-259.

11 А.Бовен и П.В.Парамонов. Аппроксимация мероморфными и целыми решениями эллиптических уравнений в банаховых пространствах распределений // Матем..сб., 1998, т.189, №4, с.481-502.

12 L.A.Rubel and A.Stray. Joint approximation in the unit disc // Journal of approximation theory, 1983, V.37, №1, p.44-50.

13 F.P.Gonzalez and A.Stray. Farrell and Mergelyan sets for H spaces // Michigan Math. Journal, 1989, V.36, p.379-386.

14 А.А.Даниелян. О некоторых задачах, возникающих из проблемы Рубеля об одновременной аппроксимации // Доклады РАН, 1995, т.341, №1, с.10-12.

связанных с теорией потенциала (в духе работ

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказана редукционная теорема (теорема 1.1) о совместной аппроксимации (индивидуальных) струй решениями эллиптических уравнений.

2. Получена редукционная теорема (теорема 1.2) для классов струй и ее следствия для аппроксимации голоморфными и гармоническими функциями в пространствах при всех т > 0.

3. Получен критерий совпадения пространств V{X) и Ly{X) в терминах VL - вместимости компакта X (теорема 2.1).

4. Установлены (точные по порядку величин) верхние и нижние оценки VL - вместимостей для широкого класса пространств V в метрических терминах соответствующих компактных множеств.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации относятся к теории аппроксимаций функций комплексного переменного и теории потенциала. В дальнейшем эти результаты могут быть полезны специалистам по теории функций, работающим в МГУ, С-ПГУ, МИАН, МИРЭА.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах:

- На семинаре "Многомерный комплексный анализ" под руководством академика РАН А.Г.Витушкина кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (в декабре 2003 года);

- На семинаре "Проблемы комплексного анализа" под руководством академика РАН А.А.Гончара и чл. корр. РАН Е.М.Чирки отдела комплексного анализа Математического института им. В.А.Стеклова РАН (в сентябре 2004 года);

- На семинаре "Теория приближений и граничные свойства функций" под руководством академика ВШ Е.П.Долженко кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического фа-

15 D.Khavinson. Annihilating measures of the algebra R(X) // J. Funct. Anal., 1984, V.58, p.175-193.

[lej x.Gamelin, D.Khavinson. The isoperimetric inequality and rational approximation // Amer. Math. Month., 1989, V.96, №, p.18-30.

17 D.Khavinson. Symmetry and uniform approximation by analytic functions // Proc. Amer. Math. Soc, 1987, V.101, Jf<a, p.475-483.

18 П.М.Готье, П.В.Парамонов. Аппроксимация гармоническими функциями в С'-норме и гармонический поперечник компактных множеств в Rn // Матем. заметки, 1993, т.53, №4, с.21-30.

3

культета МГУ (в ноябре 2003 года);

- На семинаре "Теория приближений аналитическими функциями" под руководством профессора П.В.Парамонова кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (неоднократно в период с 2000 по 2004 год).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 2-х работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 8 параграфов, и списка цитированной литературы. Общий объем текста - 58 страниц. Список литературы содержит 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор работ, близких к теме диссертации, формулируются основные задачи и кратко излагаются результаты работы.

Основной целью первой главы является получение "редукционной" теоремы (теоремы 1.1), сводящей задачу совместной аппроксимации в нормах двух КБП к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности (последние задачи считаются априори решенными). В качестве иллюстраций в главе 1 приводится ряд следствий теоремы 1.1, являющихся новыми даже для таких классических пространств аппроксимаций, как Приводятся примеры отсутствия совместной аппроксимации, указывающие на существенность ограничений, указанных в теореме 1.1.

Введем некоторые необходимые нам определения и понятия, впервые появившиеся в работах 19НПИ191.

Пусть (V, || • ||) - банахово пространство обобщенных функций (распределений) в!"с условиями = С V и V С (С$°)* = (Со°(Е^))*, причем оба указанные вложения непрерывны и V является топологическим С^-подмодулем в (Со0)*. Такие пространства V (следуя И) будем называть конкретными банаховыми пространствами (КБП). Для компактного множества X в М^ обозначим через /(X) замыкание в V линейного подмногообразия {/ € У|зирр / П X = 0}, где эирр/ -

l19'ABoivin, P.M.Gauthier and P.V.Paramonov. Approximation on closed sets by analytic or meroraorphic solutions of elliptic equations and applications // Canad. J. of Mathera., 2002, v.54, №5, p. 945-969.

4

носитель распределения /. Банахово пространство V(X) = V/I(X), наделенное факторнормой, рассматривается как наиболее естественное (типа Уитни) "сужение" V на X. Таким образом, ||/||х = inf{||/ + /о|||/о € 1{Х)} - норма элемента ("струи") f{X) = f + 1(Х) в V(X).

Для произвольного открытого множества D в R^ обозначим ViK{D) = {/ € (Co'(D)y\ftp е V для каждого <р € Cg°(£)} nVloc = ^(R").

Пусть С? - класс всех однородных дифференциальных эллиптических операторов в порядка г > 1с постоянными комплексными коэффициентами. Фиксируем L € С^ и пусть Ф - его (стандартное) фундаментальное решение. Определим локализационный оператор Витушкина, ассоциированный с L и функцией ip € Cq°, сверткой Vvf = Ф * (<pLf) , где / е (Со0)*.

Скажем, что действует инвариантно на V^, если отображение Vv : Vi ос —► Vioc непрерывно. В этом случае будем говорить, что (V, L) удовлетворяет, условию (I).

Пусть D - открытое множество в Назовем L-аналитическими в D все такие функции f в D, для которых Lf = 0 в D в классическом смысле; их класс будем обозначать через L[D). Для компактного множества X в Rn обозначим через Lv{X) замыкание в V(X) линейного подмногообразия L(X) струй f(x) £ V(X), каждая из которых имеет представителя / G V с условием Lf = 0 в некоторой (для каждого /

- своей) окрестности X. Иными словами, Ly(X) есть класс струй из V{X), допускающих приближение "Zr-аналитическими в окрестности X струями" с любой точностью в норме || • Неосновные аппроксимационные задачи (в контексте одной нормы) состоят в следующем:

- (проблема аппроксимации "индивидуальных струй") каковы условия на L, V, X и /(х) 6 V(X) необходимые и достаточные для того, чтобы f(x)eLv(X)?

- (проблема аппроксимации для "классов струй") каковы условия на L, V и X необходимые и достаточные для того, чтобы V(X) П L(X°) = Lv(X)?

Теперь перейдем к постановке задачи о совместных приближениях. Предположим, что даны два КБП, V\ и V¡, с нормами || • j|i и || • ||г соответственно. Пусть V¡¿ос Я Vi ,ioc, причем указанное вложение непрерывно. Тогда скажем, что Vi локально вложено в Vi, и будем писать

V2 Vi. Фиксируем произвольные непустые компакты Xi и Х2 в RN и обозначим X = Х\ U Х2, Xq = Xi П Х2. Всюду далее предполагается, что Xq ф 0, иначе задача совместной аппроксимации становится тривиальной. В качестве исходного пространства функций (струй), "имеющих различные условия гладкости" на Xi и на Х2, мы возьмем банахово пространство V\l2 = Vii2(Xi,X2) всех пар (Flt F2), F, в V3(X3) при s = 1,2, удовлетворяющих условию: сужения (в смысле Уитни в V\) струй F\ и i*2 на компакт Xq совпадают в Vi(Xo). Норму в \\>2 определим равенством ||(Fi, ^Fb) !11,2 = шах {Ц^Ц^}. В качестве пространства

46(1,2}

Z/1,2 = Lifl(Vi, V2, Xi, X2) "приближающих" элементов берется замыкание в Vi,2 множества всех пар ^ ^1,2, образованных сужениями jL-аналитических в окрестности X функций д на Х\ (в V{) и на Х2 (в V2) соответственно.

Задача о совместных приближениях L-аналитическими функциями на компактах в RN (для индивидуальных струй) состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на (Fi,F2) € Vi<2 (а также на L, V3, Х3 при 5 = 1,2), при которых (Ft, F2) 6 £1,2 .

Ясно, что простейшими необходимыми условиями для последнего включения будет принадлежность элемента (Fi, F2) пространству

wia = W1i2(L,V1} V2,XuX2) = {(FUF2) e V1i2\F3 e Lv,(Xs),s = 1,2}

или (более слабое необходимое условие) пространству

#1,2 = Нг,2(Ь, Vu v2, Хг,Х2) = {(Fu F2) 6 Vlt2\F3 £ L(X°a), 5 = 1,2}.

Поэтому вполне естественно возникают две следующие аппроксимаци-онные задачи (задачи совместной аппроксимации для классов струй):

- Для каких L, Vs, X, (s = 1,2) справедливо равенство = L\t2 ?

- Для каких L, V3, Xs (s— 1,2) имеет место Щ<2 = L1)2 ?

Иными словами: для каких L, VSt Х3, при s = 1,2, простейшие необходимые условия приближаемости одновременно являются достаточными сразу для всех (F\, F2) € V\>2 ?

Скажем, что пара компактов {Х\, Х2) удовлетворяет условию (К), если (Xi \ Х2)° П Х2 = 0 (т.е. компакты Yi2 = (Xi \ Х2)° и Х2 отделены друг от друга "коридором", в котором Х\ является нигде не плотным). Пара компактов (Xi,X2) удовлетворяет условию (ПК) (Vi-приближа-

емость в "коридоре"), если существует компакт Yi, С Х\ \ Х2, такой,

б

что для каждого х £ Xi \ (Y\ U Х2) найдется 5Х > 0 с условием (1) LVl(B(x, 6Х) П = П Xi).

Отметим, что условие (ПК) есть условие аппроксимации в одной норме

- II • |[i- Это условие отдельно изучается в главе 2 в терминах введенной в диссертации функции множеств - вместимости.

Основной результат первой главы дает частичный ответ (достаточные условия) как к первой задаче совместной аппроксимации для классов струй, так и к соответствующей задаче для индивидуальных струй.

Теорема 1.1. Пусть Vi и Vi - КБП, причем (Vi ,L) удовлетворяет

¡ос

условию (I) и Vi<—> Vi- Если пара компактов (Х\,Xi) удовлетворяет условию (ПК), то Wii2 = ¿1,2-

Во второй задаче совместной аппроксимации для классов струй при дополнительном условии (К) получен исчерпывающий ответ:

Теорема 1.2. Пусть Vi и Vi - КБП, причем (Vi,L) удовлетворяет

условию (I) uVVi. Пусть пара компактов (Х\, Xi) удовлетворяет условию (К). Тогда НХл2 = L\ti если и только если одновременно выполнены следующие условия:

1. LV2(X2) = V2(X2) П L(X$);

2.LVl(Yi2) = Vi(Yii)nL(Y{2);

S. Условие (ПК) справедливо при Yx — Y\2.

Приведем одно следствие теоремы 1.2. Фиксируем N > 2 и L = Д

- оператор Лапласа (г = 2) или N = 2aL = d- оператор Коши-Римана (г = 1). Фиксируем также mi и т2, удовлетворяющие условию О < mi < m2. Положим Ц. = BCmi(RN) и V2 = BCm'(RN) (смЯ) и рассмотрим вторую задачу о совместных приближениях для классов функций в пространствах Vx и V2 для выбранного L. Из емкостных критериев, полученных в работах MWIPINI21! и непосредственно из теоремы 1.2 вытекает следующее

Следствие. При условии (К) следующие утверждения эквивалентны:

20 J.Deny. Systemes totaux de functions harmoniques // Ann. Inst. Fourier, 1949, V.I, p.103-113.

21 J.Mateu, J.Orobitg. Lipschitz approximation by harmonic functions and some applications to spectral synthesis // Indiana Univ. Math. Journal, 1990, V.39, p.703-736.

7

(i) Для всякой пары (Fi, F2) б Я1|2 и любого е > 0 найдется функция /, гармоническая (голоморфная при L = д) в некоторой окрестности компакта X такая, что ||(Fj — /, F2 — /)|[i,2 < е;

(ii) 1. В случае ттн < ni2 < г: найдутся р > 1 и А > Q такие, что для всякого открытого круга В(х, 5) с условием В(х, S) ПХ2 = 0 выполняется

(2) а™'(В(х, S)\X°) < Aa?(B(x,pô)\Xi),

и для всякого открытого круга В(х, 6) имеет место

а?(В(х, ô) \ Х°2) < Act?(B(x,pö) \ Х2). 2. В случае mi < г < ГП2." выполнено (2) и Х% = Х^.

Определения и свойства емкостей а? при L — Д или L = д и m € [О, г) можно найти в работах'1"2!'7"8^20'-'22!. Отметим, что для нецелых m указанные емкости имеют простое метрическое описание: они сравнимы с нижними обхватами по Хаусдорфу порядка m 4- N — г. Емкости ад и с*д полуаддитивны и имеют метрическое описание более сложного характера'22'.

Теоремы 1.1 и 1.2 сводят задачу совместной аппроксимации в двух "абстрактных" нормах к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности. В связи с этим возникает естественный вопрос о получении аналогов емкостных критериев А.Г.Витушкина для произвольного КБП (с одной нормой). Однако оказывается, что в таком контексте понятие емкости весьма громоздко и затруднительно в применении. Более предпочтительным, на наш взгляд, является изучение и использование другой, глобальной характеристики компактов в которой посвящена глава 2.

Во второй главе диссертации определяется и исследуется специальные функции множеств - так называемые вместимости компактных множеств в тесно связанные с задачами аппроксимации решениями ОЭУПК (в частности, с условием (ПК) в теореме 1.1). Приводятся двусторонние оценки вместимостей в терминах различных метрических характеристик соответствующих компактов.

22 X.Tolsa. The semiadditivity of continuous analytic capacity and the inner boundary conjecture // Amer. J. Math., 2004, V.126, p.523-567.

Через УоЦЕ1) будем обозначать меру Лебега ограниченного борелев-ского множества Е в М-". Для компактного множества Е через Re обозначим радиус минимального замкнутого шара в R^, содержащего Е. В случае, если Е - компакт с кусочно-гладкой границей дЕ, под S(E) будем понимать поверхностную (N — 1)-мерную меру Лебега дЕ в R^.

Пусть N > 2, V - КБП вК"с нормой || • ||, L 6 С,. Для компакта К в R^ и 5 6 {0,1} рассмотрим классы

T"L{K) - {/ 6 V\ Lf — sb (зависящей от/) окрестности компакта К }.

Фиксируем какой-либо элемент /i из По определению, VL - вме-

стимостью компакта К назовем величину

*vl{K) = infiHA - /II | / 6 ?L(K)}.

Теорема 2.1. Пусть C°°{RN) плотно в Via- и [V, L) удовлетворяет условию (I). Тогда для любого компакта К в M.N следующие утверждения эквивалентны:

(i) Xvl(K) = 0;

(ii) V(K) = LV(K).

Здесь необходимо отметить, что для пары (Vi,L), удовлетворяющей условиям теоремы 2.1, в условии (ПК) равенство (1) можно заменить на равенство Xvil(B(x, 8х) DXi) = 0.

Пусть тп > 0 и т = [т] + ц, где [т] - целая часть т, а ц € [0,1) -дробная часть т. Для V = ВСт = BCm(RN) и фиксированного L £ С*?, введем специальное обозначение Ат(К) = Abc™l{K) и определим функцию множества Ат (так называемую CmL - вместимость или, короче, Ст - вместимость) как "однородную порядка [т]" составляющую функции Хт. Теорема 2.1 стимулирует определенный интерес к получению верхних и нижних оценок величин Avx(/C)> которые становятся "количественными характеристиками" возможности (V, L) - аппроксимации. Во второй главе получены такие оценки для А.т(К) при m € [0,г), выраженные в терминах метрических свойств компакта К. Теорема 2.2. Пусть К - компакт в , N > 2. Тогда 1. Если г < N и т е [0, г), то

где С\ € (0, +оо) не зависит от К.

9

2. Если г > N, то предыдущая оценка остается верной при т 6 [г — N + 1, г), а при т € [0, г — N + 1) имеет место оценка

Ьп(К) < с2пТ^+1-[т\увд^,

где Сг € (О, +оо) не зависит от К.

При получении оценок Ат(К) снизу возникла потребность распространить понятие площади поверхности (периметра) Б (К) с компактов с кусочно-гладкой границей на произвольные компакты в Обозначим через в^К) "обобщенный" периметр К.

Теорема 2.3. Пусть р 6 [0,1), и € (0,1]. Пусть К - компакт в Е^, причем < оо и Уо 1(К) > 0. Тогда при т = г - 1 + ц имеем

где С € (0, +оо) зависит лишь от Ь.

Теорема 2.4. Пусть К - непустой компакт в Ж1*, причем К = ~К°. Тогда при т 6 [0, г) справедлива оценка

М*) > Су^щ 1(Ш(х,дК)у-Мс1х, к

где С 6 (0, +оо) не зависит от К.

Отметим, что следствиями приведенных выше оценок являются аналоги теоремы Гартогса-Розенталя, точные по порядку величин аналоги изопериметрических неравенств, а также некоторые оценки величин АVI {К) для V и Ь общего вида.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Петра Владимировича Парамонова за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

[1] А.М.Воронцов, О совместных приближениях в банаховых пространствах обобщенных функций // Матем. заметки 2003, т.73, №2, с.179-194.

[2] А.М.Воронцов, Некоторые оценки Совместимости компактных множеств в М^ // Матем. заметки 2004, т.75, №6, с.803-817.

ю

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М В. Ломоносова Подписано в печать 21.09.04

Формат 60 х 90 1 /16 . Усл. печ. л 0,75

Тираж 100 экз. Эаказ.37

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20 02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. А М. Ляпунова.

Введение.

Глава 1. Редукция в задаче совместной аппроксимации

§1.1. Предварительные сведения.

§1.2. Формулировка и доказательство теоремы 1.1 (основной теоремы о редукции) и ее следствий.

§1.3. Примеры применения теорем 1.1 и 1.2 и пример отсутствия совместных приближений.

§1.4. Совместные приближения полиномиальными решениями ОЭУПК.

Глава 2. Оценки yL-вместимости компактов в IR^

§2.1. Формулировка и доказательство теоремы 2.1. (о нулевой VL-вместимости).

§2.2. Оценки Совместимости компактов в M.N (формулировки теорем 2.2-2.4).

§2.3. Доказательства теорем 2.2 - 2.4.

§2.4. Некоторые примеры применения теорем 2.2-2.4.

Теория равномерных аппроксимаций голоморфными и гармоническими функциями - глубоко исследованная область комплексного анализа и теории потенциала, базовыми результатами которой являются теоремы Вейерштрас-са (см. [1], Гл.8, §2.2), Рунге [2], Уолша-Лебега (см. [3], с.56), Лаврентьева (см. [3], с.70), Келдыша-Дени ( [4], [5]), Мергеляна [6], Витушкина [7]. В работе А.Г. Витушкина [7], посвященной вопросам равномерного приближения функций рациональными дробями на компактах в С, был предложен локали-зационный метод, который в дальнейшем получил распространение на задачи аппроксимации функций решениями (произвольных) однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами (ОЭУПК) на компактных множествах X в 1SLN в нормах (топологиях) различных классов функций. В работах А.Г. О'Фаррелла ( [8], [9]), Т. Бэгби [10], Дж. Вер-деры ( [11], [12], [13]), П.В. Парамонова [14] и других авторов (см. [15], [16] и обзор литературы в этих работах) были получены аналоги известных емкостных критериев Витушкина для большинства задач аппроксимации функций решениями ОЭУПК на компактах в M.N в метриках пространств Lp, Lipa, Ст, ВМО, Wg. После того, как А.Г. О'Фаррелл [17] доказал инвариантность (и непрерывность) оператора Витушкина в широком классе так называемых "конкретных банаховых пространств" - КБП (так О'Фаррелл назвал линейные подмногообразия в (Cq°)* = (Cq°(M.n))* со своими банаховыми нормами и определенным набором свойств, см. §1.1 далее), появился цикл работ, посвященных задачам аппроксимации (обобщенных) функций решениями ОЭУПК в нормах КБП на замкнутых множествах X в R^. Их результатами стали "абстрактные"аналоги локализационной теоремы Бишопа, теорем Рунге, Рот, Нерсесяна, Аракеляна (см. [18], [19]), а также ряд других утверждений, важных в приложениях. В частности, были получены новые интересные результаты о граничных свойствах решений общих ОЭУПК (см. [20], [21]). Тем не менее, "абстрактных"аналогов емкостных критериев Витушкина для КБП получить не удалось: даже сам но себе емкостный подход в контексте общих КБП представляется весьма громоздким.

1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты №0001-00618 и №04-01-00720) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект НШ-2040.2003.1).

В указанных выше работах каждая из аппроксимационных задач посвящена приближениям в некоторой фиксированной норме, которая обладает определенными свойствами однородности и инвариантности. Ясно, что такие приближения не могут учитывать различные свойства гладкости приближаемых функций на разных подмножествах в X. Таким образом, весьма естественно возникает задача о совместной (одновременной) аппроксимации в нескольких (для начала в двух) различных нормах на (двух) разных компактах Х\ и Х2, X = X1UX2. Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22], [23], [24] и цитируемые там работы), где соответствующие нормы или топологии являются классическими: равномерная, поточечно-ограниченная, липшицева. В контексте аппроксимации в произвольных КБП данная задача рассматривается впервые. В принципе, возможен целый ряд различных постановок этой задачи. Наиболее естественным на наш взгляд является уитниевский подход, развитый в контексте иабстрактных"аппроксимаций в одной норме в работах [18], [19], [21].

Основной целью первой главы является получение "редукционной" теоремы (теоремы 1.1), сводящей задачу совместной аппроксимации в нормах двух КБП к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности (последние задачи считаются априори решенными). Главная трудность здесь состоит в том, что соответствующий локализационный оператор Витушки-па, играющий существенную роль в таких задачах, как правило оказывается не инвариантным в естественным образом возникающих пространствах аппроксимации. В связи с этим локализационная теорема получена при некоторых ограничениях на множества Х\ и Х2 (X = Х\ U Х2), на которых осуществляется аппроксимация. Аналогичные ограничения возникают уже в простейших случаях равномерной рациональной аппроксимации (см. [25]), когда приближения исследуются на объединении двух компактов, на каждом из которых нужная аппроксимация имеет место. В качестве иллюстраций в главе 1 приводится ряд следствий теоремы 1.1, являющихся новыми даже для таких классических пространств аппроксимаций, как Cm(RN). Приводятся также примеры отсутствия совместной аппроксимации, указывающие на существенность ограничений, указанных в теореме 1.1.

Вторая глава посвящена исследованиям специальных функций множеств -так называемых вместимостей компактных множеств в R^, тесно связанных с задачами аппроксимации решениями ОЭУПК (в частности, с условием

ПК) в теореме 1.1). Приводятся двусторонние оценки вместимостей в терминах различных метрических характеристик соответствующих компактов.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М. "Наука". 1976.

2. С. Runge, Zur theorie der eindeutigen analytischen funktionen, Acta Math. 1885. V.6. p.228-244.

3. Т. Гамелин, Равномерные алгебры, M. "Мир". 1973.

4. М. В. Келдыш, О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, УМН. 1941. №8. с.171-231.

5. J. Deny, Systemes totaux de functions harmoniques, Ann. Inst. Fourier. 1949. V.l. p.103-113.

6. С. H. Мергелян, Равномерное приближение функций комплексного переменного, Успехи матем. наук. 1952. т.7. №2(48). с.31-122.

7. А. Г. Витушкин, Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений, Успехи матем. наук. 1967. т.22. №6. с. 141-199.

8. A. G. O'Farrell, Hausdorff content and rational approximation in fractional Lipschitz norms, Trans. Amer. Math. Soc. 1977. V.228. p. 187-206.

9. A. G. O'Farrell, Rational approximation in Lipschitz norms II, Proc. Royal. Irish Acad. 1979. V.79A. p.104-114.

10. T. Bagby, Approximation in the mean by solution of elliptic equations, Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V.281. p.761-784.

11. J. Verdera, On Cm rational approximation, Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V.97. p.621-625.

12. J. Verdera, BMO rational approximation and one-dimensional Hausdorff content, Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V.297. p.283-304.

13. J. Verdera, Cm approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon-Zygmund operators, Duke Math. Journal. 1987. V.55. №1. p.157-187.

14. П. В. Парамонов, О гармонических аппроксимациях в С1-норме, Матем. сб. 1990. т. 181. №10. с.1341-1365.

15. Дж. Вердера, М. С. Мельников, П. В. Парамонов, С1-аппроксимация и продолжение субгармонических функций, Матем. сб. 2001. т.192. №4. с.37-58.

16. J. Verdera, Removability, capacity and approximation, Complex Potential Theory. NATO ASI Series. Kluwer Academic Publ. Dordrecht. 1994. p.419-473.

17. A. G. O'Farrell, T-invariance, Proc. Roy. Irish Acad. 1992. V.92A. №. p.185-203.

18. P. V. Paramonov and J. Verdera, Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of Euclidean space, Math. Scand. 1994. V.T4. p.249-259.

19. А. Бовен и П. В. Парамонов, Аппроксимация мероморфными и целыми решениями эллиптических уравнений в банаховых пространствах распределений, Матем. сб. 1998. т. 189. №4. с.481-502.

20. A. Boivin, P. V. Paramonov, On radial limit functions for entire solutions of second order elliptic equations in R2, Publications Matematiques. 1998. V.42. p.509-519.

21. A. Boivin, P. M. Gauthier and P. V. Paramonov, Approximation on closed sets by analytic or meromorphic solutions of elliptic equations and applications, Canad. J. of Mathem. 2002. v.54. №5. p. 945-969.

22. Lee A. Rubel and Arne Stray, Joint approximation in the unit disc, Journal of approximation theory. 1983. V.37. №1. p.44-50.

23. Fernando P. Gonzalez and Arne Stray, Farrell and Mergelyan sets for Hp spaces, Michigan Math. Journal. 1989. V.36. p.379-386.

24. А. А. Даниелян, О некоторых задачах, возникающих из проблемы Рубеля об одновременной аппроксимации, Доклады РАН. 1995. т.341. №1. с.10-12.

25. А. М. Davie and В. К. Oksendal, Rational approximation on the union of sets, Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V.29. №. p.581-584.

26. D. Khavinson, Annihilating measures of the algebra R(X), J. Funct. Anal. 1984. V.58. p.175-193.

27. T. Gamelin, D. Khavinson, The isoperimetric inequality and rational approximation, Amer. Math. Month. 1989. V.96. №1. p.18-30.

28. D. Khavinson, Symmetry and uniform approximation by analytic functions, Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V.101. №3. p.475-483.

29. H. Alexander, Projections of polynomial hulls by analytic functions, J. Funct. Anal. 1973. V.13. №3. p.13-19.

30. D. Khavinson, On uniform approximation by harmonic functions, Michigan Math. Journal 1987. V.34. p.465-473.

31. П. M. Готье, П. В. Парамонов, Аппроксимация гармоническими функциями в С1-норме и гармонический С1-поперечник компактных мноэюеств в Rn, Матем. заметки 1993. т.53. №4. с.21-30.56

32. Ю. А. Горохов, Аппроксимация гармоническими функциями в Ст-норме и гармоническая Ст-вместимость компактных множеств в Rn, Матем. заметки 1997. т.62. №3. с.372-382.

33. Т. Husain, The open mapping and closed graph theorems in topological vector spaces, London. Oxford Univ. Press. 1965.

34. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics, V. I. New York. Academic Press. 1972.

35. И. M. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М. "Мир". 1973.

36. A. G. O'Farrell, The order of a symmetric concrete space, Proc. Roy. Irish Acad. 1988. V.88 A. №1. p.39-48.

37. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, М. "Мир". 1986. в 4-х т. т.1.

38. JI. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, М. "Мир". 1986. в 4-х т. т.2.

39. В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, М. "Наука". 1976.

40. J. Mateu, J. Orobitg, Lipschitz approximation by harmonic functions and some applications to spectral synthesis, Indiana Univ. Math. Journal. 1990. V.39. p.703-736.

41. P. Mattila, Geometry of sets and measures in euclidean spaces, Cambridge Univ. Press. 1995.

42. П. В. Парамонов, Некоторые новые критерии равномерной приближае-мости функций рациональными дробями, Матем. сб. 1995. т. 186. №9. с.97-112.

43. П. В. Парамонов, Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R™, Матем. сб. 1993. т.184. №2. с.105-128.

44. К. Ю. Федоровский, О равномерных приближениях функций п-аналитическими полиномами на спрямляемых контурах в С, Матем. зам. 1996. т.59. №4. 604-610.

45. X. X. Кармона, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, О равномерной аппроксимации полианалитическими многочленами и задаче Дирихле для бианалитических функций, Матем. сб. 2002. т. 193. №10. с.75-98.

46. В. М Weinstock, Uniform approximation by solutions of elliptic equations, Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V.41. №2. p.513-517.