О спектральных характеристиках задач типа Штурма-Лиувилля с сильно сингулярными потенциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/■ (¡а •/ // ,л -- //

I/ / V," -

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Савина Елена Владимировна

О СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЗАДАЧ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С СИЛЬНО СИНГУЛЯРНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

Гехтман М.М.

-доктор физико-математических наук, профессор; Айгунов Г.А. -кандидат физико-математических

наук, доцент.

Махачкала 1999

ВВЕДЕНИЕ

Важную роль в математическом моделировании природных явлений играют решаемые модели. Они дают возможность понять основные черты явления. Это, в частности, модели, описывающие движение частиц в поле потенциала, сосредоточенного на некотором дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек - месте расположения «точечных источников».

В этих моделях можно явным образом определить резольвенты и такие связанные с ними математические и физические характеристики, как спектр, собственные функции, их асимптотическое поведение и разложение произвольных функций из Ь2 по спектру исследуемой задачи.

В зависимости от характера изучаемых взаимодействий для этих моделей используются самые разные названия (смотри библиографию в [8]), включающие такие термины, как «точечные взаимодействия», «потенциалы нулевого радиуса», «сильно сингулярные потенциалы», «дельта-взаимодействия», «псевдопотенциалы Ферми».

Наиболее важные применения эти модели находят в физике твердого тела, например, модель Кронига-Пенни, в атомной и ядерной физике - описание коротко действующих ядерных сил, низкоэнергетических эффектов.

Основные квантово-механические системы, подходящие под указанные выше модели, на физическом уровне строгости в одномерном случае задаются одночастичным многоцентровым гамильтонианом вида

#„/(*)= -/'(*)+ *(*)/(*)+ Та Ах - *,)/(*), (ОЛ)

/бУ

где через (-/'(■х) + ц(х)/) обозначен самосопряженный одномерный лапласиан в Ь2(К+) с областью определения Н2,2(Я+), 3 дискретное (конечное или счетное) подмножество в а1 - константа связи, приписанная точечному источнику, находящемуся в точке х, , а д(х - хг) - функция Дирака в точке х„ т.е., единичная мера, сосредоточенная в хг. Более того, в одномерном случае, в от-

личие от двумерного, оператор (- /" + <2/~)|с°°(л+и}> обладая четырехпарамет-

рическим семейством самосопряженных расширений в пространстве Ь2(1?), имеет дополнительные типы точечных взаимодействий, так называемые 5'-взаимодействия, которые будут описаны ниже.

Пусть q(x), р(х) - вещественные функции, определенные на интервале Оа; Ъ), р(х) > 0 (-оо <а<Ъ< +оо).

Рассмотрим спектральную задачу Штурма-Лиувилля для уравнения /[у] = -у"(х) + q(x)y(x) = Лр(х)у(х) (а<х< Ъ). (0.2)

Регулярный случай спектральной задачи Штурма-Лиувилля для уравнения (0.2), соответствующий q(x) е C(R ), р(х) е С (R ), изучен сравнительно давно и подробно изложен в монографиях [10], [11], [14], [30], [53], [56]. В то же время теоретической основой как регулярной, так и сингулярной спектральной задачи для уравнений (0.2) и уравнения

#/= Afl(xy, (0.3)

где Н/ задается формулой (0.1), является общая спектральная теория симметрических и самосопряженных расширений операторов в гильбертовом пространстве.

Но далеко не всегда эта теория позволяет дать ответ на ряд вопросов, касающихся спектральных характеристик. К ним в наибольшей степени относятся вопросы, связанные с исследованием спектра с сильно сингулярным потенциалом (т.е. в том случае, когда коэффициенты являются обобщенными функциями), исследованием асимптотики собственных функций, соответствующих дискретному спектру, а также с разложением произвольных функций из L2(R) по спектру исследуемого оператора.

В отечественной литературе вопросам спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов второго порядка посвящена монография Б.М.Левитана [34], где изложен иной метод обоснования теории, суть которого сводится к тому, что основные спектральные соотношения для сингу-

лярного случая получены предельным переходом соответствующих соотношений для регулярного случая.

Вопросам исследования спектра в сингулярном случае посвящены работы многих отечественных и зарубежных математиков [7], [10], [15], [21], [26], [27], [29], [35], [40] (смотри также библиографию в [8]). В некоторых из них изучены также вопросы разложения произвольных функций из Ь2(К) по спектру исследуемого оператора. Вопросам же асимптотического поведения собственных функций, соответствующих дискретному спектру, посвящены работы, в которых коэффициентами в уравнении являются обычные функции из различных классов. Литература по этим вопросам обширна. Отметим прежде всего классические работы Штурма [65] и Лиувилля [63], а также работу В.А.Стеклова [51].

Во всех этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнений (0.2) и (0.3) и при выполнении условия

было установлено:

1. Существует счетное множество собственных чисел Хп спектральной задачи

0 < т < р(х) < М

(0.4)

/[у] = -у" + д(х)у = Яр(х)у, а<х<Ь у{а) = у(Ь)= 0

(0.5)

ъ

§у2 (х)р{х)с1х = 1

а

с единственной предельной точкой на +со.

2. Все собственные числа вещественны и при п —» оо

/

71

(0.6)

'» ь

\а

У

3. Совокупность всех нормированных собственных функций равномерно по х и п ограничена, то есть

sup шах \уп (х, рJ < С0 < со. (0.7)

п а<х<Ь

В.А.Ильин и Н.Йо [25] показали, что если р(х) = 1, q{x) е L\(a,b), то для нормированных в L2(a,b) собственных функций любого самосопряженного расширения минимального оператора, порожденного дифференциальным выражением /[у], справедлива оценка (0.7).

В 1983 году М.М.Гехтманом, В.Я.Якубовым, Ю.Загировым [22] было установлено, что уже в классе непрерывных весовых функций формула (0.7) неверна, а имеет место неулучшаемая оценка

тах\уп{х,р)<С0-ЛпК (0.8)

а<х<Ь

Затем было выяснено [20], что оценку (0.8), вообще говоря, нельзя улучшить даже на произвольном компакте [a; J3] с (а; Ь), и что существует всюду плотное в С[а; ь\ множество весовых функций р(х), ассоциированные с которыми собственные функции уп(х, р) спектральной задачи (0.5) качественно отличаются от собственных функций, соответствующих гладким весовым функциям.

Отметим полученные в последнее время результаты В.Я.Якубова [61], Г.А.Айгунова [2]-[6], Я.Г.Бучаева [16], в которых получены оценки собственных функций в соответствующих классах, значительно ослабляющие условия на весовую функцию. Следует также отметить работу А.Д.Назарова [37], в которой весовая функция р(х) является уже обобщенной функцией, что обобщает результаты, полученные авторами ранее.

Настоящая диссертационная работа примыкает к указанному кругу вопросов.

Приступим к подробному изложению содержания диссертации, состоящей из введения и четырех глав.

Пусть ккт- фиксированные целые неотрицательные числа, к + т = п, а\, а% - вещественные не равные нулю числа,

О < х\ < х2 < ... < хк < оо и 0 < Ti < т2 < ... < тт < оо -два непересекающихся набора фиксированных чисел, q(x) > 0 - непрерывная на полуоси х > 0 функция, удовлетворяющая условию

\{x% + x2)dx«n. (0.9)

о

Положим Х\ = (хь х2, ..., хк), Х2 = (л:ь х2, ..., хт), X = Х\ и Х2. Перенумеруем точки множества X в порядке возрастания и будем обозначать их в дальнейшем x¿, i=l,2, ...,п.

В гильбертовом пространстве Z2(0, оо) определим множество D(n;q) условием:

D{n- q) = :У еН2,2(К+Х Х\ = 0 " / + Я(х)у е Ь2 (0,а>), j = xs, x¡ е Xi, x¡ = Ху, x¡ е Х2

В соотношении (0.10) под xs и понимаются точки, для которых выполняются, соответственно, условия:

\y'{xi + О) - y'(x¡ - О) = a¡y(xi)'

xs,

def

y'(xi+0) = y'(x¡ -0) = /(*,-) (0 щ

На множестве функций £>(и;д)в пространстве Ь2(0, оо) посредством дифференциального выражения 1{у\ из (0.2) определим оператор Н{п\ формулой Н{П;д)/{х) = 1[/\ /еВ(щЧ). (0.13)

В первой главе диссертационной работы получено уравнение для определения собственных значений оператора Н(п;д) и в этом направлении доказана следующая

Теорема 1.2.1. Собственными числами оператора Н(п;д), определенного соотношением (0.13), являются отрицательные корни уравнения Л„(Л) = 0, где функция А„(Л) определена формулой (1.2.6).

Построена резольвента оператора Н(к,т;д), определенного в гильбертовом пространстве Ь2(0,ю) на множестве функций

у 6 я2'2 (г \ х\ Яо) = о, 1[у] € Ь2 (0,+оо) у{х] + °) = у{х] -°):= Я*/=

0(к,т,д) = \ + о)- у'(х} - о) = а ]у(х] ), у = 1 ,к

М

у'{Х] + о) = у'{х] - о) = у(ху } У = к +1 ,к + т

(0.14)

у(ху + о)- у(ху - о) = а,у(ху )у = к + 1,к + т Показано, что оператор Н(к, т; д) самосопряжен и доказана следующая

Теорема 1.4.1. Спектр оператора Н{к,т\д) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с множеством [0, оо), и не более чем к+т отрицательных собственных чисел.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрен другой подход к построению резольвенты оператора Н(к,т;д), основанный на методе, разработанном Вейлем, для чего построена функция Вейля, с помощью которой получены два линеино независимых решения задачи и Ф(хД), где

Л) е Ь2 (0, оо), ф(0, Л,) = 0, ф(0, х) £ Ь2 (0;+оо). С помощью полученных решений построена резольвента оператора Н(к,т;д).

В этом направлении доказана следующая

Теорема 2.1.1. Резольвента оператора Й(к, т; д) имеет вид

1

V =

(0.15)

где Д/1) е Ь2(0, оо), а функция (7(х, X) определена соотношением Х)ф(х, А),? > х.

в(х,Г,А) =

(0.16)

Построено спектральное семейство операторов Е(А) и доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Пусть к + т = п, ^х) £ С0(-оо; +оо), тогда справедлива формула

(£(А)/,/) =

0, о е А п (- оо; 0), Я Ф

20(сг) - +со~

, / ф(х, сг) ГФ(/, а е А п [0; + оо)

. А(о-) о

где 4, с к, Г, А, <2(сг), А(сг) определены в главе 2.

(2.2.32)

Теорема 2.2.2. Спектр оператора Н{к,т\ц) (к + т = п) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с полуосью [0; +оо), причем кратность спектра равна единице, и дискретной компоненты, которая содержит разве лишь конечное множество отрицательных чисел 4 е Г; при этом оператор Й(к,т;д) полу ограничен снизу.

Теорема 2.3.2. Пусть /(х) е /,2(0; +оо). Тогда справедливо равенство Парсева-ля-Стеклова:

и/И2= I / (°-18>

/*еДпГ Я- дп[0;+°о) ¿4°")

В третьей главе диссертационной работы подробно исследована дискретная компонента спектра оператора Й{к, т;0) в случае к + т — 2, причем показано, что спектр локализован, и исследована локализация спектра в зависимости от х, и а( (/ = 1,2).

Пусть к = 2, т - 0, то есть, рассмотрим оператор

+ (а13(х - х1) + а23(х - х2 ))у, у(о) = 0. В этом случае уравнение для определения собственных чисел принимает вид

^2,0 4^1' "^2 ) =

(0.19)

= (№ + ах(рх }р2 (хх )) ■■ ¡¿V + а2<рх (х2 )ср2 (х2)) - ах(р\ ) • а2(р2 (х2) = 0,

где <рх(х,Л)= <р2(х,Л)=-^=$тт[Лх. (0.20)

Подставляя эти выражения в (0.20), после несложных преобразований и подстановки

4л = ¿у, 5 > 0 получим уравнение для определения собственных чисел:

452 +2+а0) + а,а0 =

412/12 , (0.21) = ахе~1ях' (25 + а2) + а2е~Ъх2 (28-а^ + а^е'2^2'^

Справедлива следующая

Теорема 3.2.1. Спектр оператора Й(2,0;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, со), и не более, чем двух отрицательных собственных чисел А, и Л2. Если выполнены условия

1) ах < 0, а2 < 0;

2) Ы <

1

а,

X1 X

1

4'

J 1 ?

то собственных чисел ровно два и они находятся в интервалах

а.

(а.+а,)2] { (ах+а2) и

16

у

v

16

«2. 4

\

если I «11 < | а21 или в интервалах

С 2 а.

(а1 + а2)

2 \

4 16

\

если | а\ | > | а2

и

(«1 +^2)2 16

а.

Если выполнены условия

4) аха2 <0;

5)-х\(Х\ -х2а2> 1;

то собственное число одно.

Рассмотрим оператор

#(1,1;0)>> = -у" + ахд(х -х1)у + аг8'(х - х2 )>>,у(о) = 0. Уравнение для определения собственных чисел имеет вид ( л/Я = ¡я, я > 0):

2а,

( т! (

Б + 5 + —

V 2) V а2)

= ахе~гщ (а^ + 2) + а^е-2**2 (а, - 2 Справедлива следующая

(0.22)

v

Теорема 3.3.1. Спектр оператора #(1,1;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, оо), и не более, чем двух отрицательных собственных чисел Яи Я2.

Если выполнены условия:

1) ах <0,а2< 0;

2) х\ I а\ I > 1;

3) аха2< 4,

то собственных чисел ровно 2. Если выполнены условия

4) ах > 0,а2 < 0;

5) \аха2\ <4,

то собственное число одно.

Рассмотрим оператор

Й(0,2;0)у = -у" + ~х1)у + а2д'(х - х2 )у, у(о) = 0. Как и выше, уравнение для определения собственных чисел приводится к виду (-ч/Я = /5,5 > 0):

аха2

( 2^1 с 21

5 +- 5 + —

V а\) v а2)

(0.23)

= -а^е'2щ + 2) + а^е1™2 (а^ - 2) + а^ Справедлива следующая

Теорема 3.4.1. Спектр оператора Й(0,2;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, <х>) и не более, чем двух отрицательных собственных чисел. Если выполнено условие

1)«1<0, а2<0,

то собственных чисел ровно два. Если выполнены условия

2) ах > 0, а2 < 0,

3) > \сс2\,

то собственное число ровно одно. Рассмотрим оператор

#'(l,l;0) = -у" + cz¡Sr(x - хх )у + а2д(х - х2 )у.

Как и выше, получим следующее уравнение для определения собственных чисел оператора 7/'(l,l;0) (л/Х = is, s > 0): Í2 + a,s\ls + а0) =

(0 24)

= -axselsXx (2s + a2)+ a2elsXl (2 - a^) - axa2sels{x2~xx\ Справедлива следующая

Теорема 3.5.1. Спектр оператора Я'(1,1;0) состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью [0, <х>) и не более чем двух отрицательных собственных чисел Х\ и Л2. Если выполнены условия

1) ах < 0, а2 < 0;

2) а2(а\ +х2) <-1,

то собственных чисел ровно два. Если выполнены условия

3) ах > 0, а2 < 0,

4) | а2 | («i + х2) > 1,

5) ах | а2 | > 4,

то собственное число ровно одно.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена вопросу асимптотического поведения собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций.

Обозначим через С+[о;1] множество функций р(х), непрерывных на [0;1] и удовлетворяющих условию (0.4), а через УНа - множество функций из С+[0;1], пред ставимых в виде

/х) = /г(х) + у(х), (0.25)

где к(х) € На, На- класс Гельдера, у(х) е V, V- класс функций ограниченной вариации:

Ша={/(х]/(х) = к(х) + ^х\НеНа^еУ (0.26)

Рассмотрим краевую задачу

-у"(х) = Л

р

Я4 0 < х < 1, (0.27)

(=1

3<0)=J<1) = 0, (0.28)

jp(x)y2(x)^ = l. (0.29)

о

В соотношениях (0.27)-(0.29) <5(х) - функция Дирака, Д - произвольные вещественные числа, 0 = х0 < X! < ... < хр < Xp+i = 1.

Для решения спектральной задачи (0.27)-(0.29) справедлива

Теорема 4.1.2. Пусть Дх) е VHa, ДА) -> оо при Я -> оо, тогда

1. iimMi4=0

равномерно пох е [0; 1]; 2. для любого шара S(pо, £) {е > 0) из существует весовая функция Дх, ро, s) е Н{а, A)nS(p0, s) такая, что

lim-;—— > Ап.

, 1 -a U

к~*° Я ~

На защиту выносятся следующие научные положения. Изучены спектральные характеристики одного класса дифференциальных уравнений Штурма-Лиувилля, коэффициентами которых являются обобщенные функции и в этом направлении

1. Доказано, что оператор Й(к,т;д) самосопряжен. Построена резольвента

и показано, что оператор Й(к,т;д) ограничен снизу.

2. Проведено качественное исследование природы спектра оператора Й{к,т\д). В частности доказано, что спектр оператора состоит из абсолютно непрерывной части, совпадающей с полуосью X > 0, и не более чем п отрицательных собственных чисел (к + т = п).

3. В случае к + т = 2и^ = 0 спектр оператора Й(к, т; д) локализован в зависимости от чисел аь х, (/ = 1,2).

4. Получены разложения произвольной функции из Ь2(0;+оо) по спектру исследуемого оператора.

5. Исследовано асимптотическое поведение собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для некоторых классов обобщенных весовых функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по спектральной теории в МГУ им. М.В.Ломоносова, ДГУ, докладывались на двух научных конференциях и опубликованы в работах [44]-[50].

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОПЕРАТОРА H{n;q) НА ПОЛУОСИ.

§ 1. Постановка задачи.

Пусть кит- фиксированные целые неотрицательные числа, к + т -п, ai, а2,..., сса - вещественные не равные нулю числа,

О < х\ < х2 < ... < xk < оо и 0 < Т\ < т2 < ... < тт < со -два непересекающихся набора фиксированных чисел, q(x) > 0 - непрерывная на полуоси х>0 функция, удовлетворяющая условию

}^(x)(l + x2)rf*<oo. (Ы.1)

о

Положим Х\ = (хь х2, ..., х^, Х2 = (хь х2, ..., хт), X = u Х2. Перенумеруем точки множества X в порядке возрастания и будем обозначать их в дальнейшем х„ / = 1, 2, ..., п.

Определение 1.1.1. Назовем точку х0 ^-точкой для функции если в этой точке выполнены условия:

у(хо + 0) = у(х0 - 0) = у(х0); у'(х0 + О)-у'(х0 - 0) = ау(х0);

<2^0- заданное вещественное число.

Будем писать в этом случае х0 = xs.

Определение 1.1.2. Назовем точку х0 £-точкой для функции у(х), если в этой точке выполнены условия:

у(х0 + 0)~у(х0 -0) = ау'(хо); а Ф О - заданное вещественное число.

Будем писать в этом случае х0 = xs,.

В гильбертовом пространстве L2(0, со) определим множество D(n;q) следующим образом:

D(n- q) = \У^ :у е Н2Л (R+ Х Х Ь*0) = 0 " у" + G 12 в00*! \x¡ = xs,i = 1,2 ,...,k,Xj = = 1,2 ,...,m,k + m = и

На множестве функций D{n\q)в пространстве L2(0, oo) посредством дифференциального выражения

{Hflx)=-f"{x)+q{x)f(x) определим оператор Н(п\ q) формулой

H{n;q)f = Hf,feD(mq). Пусть Л - произвольное (вообще говоря, комплексное) число. Рассмотрим уравнение

(Ну\х) = Лу(х),х * Xj(j = 1,2,..., л) (1.1.4)

Определение 1.1.3. Обобщенным решением уравнения (1.1.4) будем называть функцию _у0(*)> удовлетворяющую следующим условиям:

- У о М + Ф)Уо М = Лу0 (х\х * xj = 12,..., п\ (1.1.5)

У0(ху +0)=у^-0)=у0(Х]\ ^ ^

У0 + Уо - °)= а/Уо (■х] )>если х) = **;

Уо {XJ + 0) = {*j - О)^ {xJ \

Уо (*/ +0)~ У о - °) = а;Уо {xj \ если х, = х8..

Определение 1.1.4. Пусть при некотором Ло существует функция у0(х, Ло) Ф 0, уо(х, Ло) е такая, что

я)Уо (*, К )=ЛоУо (х> Ло)

Назовем Ло собственным значением оператора Н(п; ц), ауо(х, Ло)

- соответствующей ему собственной функцией.

В главе I будет получено уравнение для определения собственных значений оператора Н{п\ д) и изучена дискретная компонента спектра оператора Н{пв частном случае, когда хьх2, хк являются (5-точками, а х^+ь хк+2, ..., хк+т - ¿>-точками (к + т = п).

§2. Получение уравнения для определения собственных чисел

оператора Н(п;д).

Рассмотрим оператор Н(п;д), определенный в §1.

Как известно [55], уравнение

-у"+д(х)у = Лу (0 < �