О стохастических свойствах моделей Каги и Ренко

Спиряев, Максим Александрович

О стохастических свойствах моделей Каги и Ренко тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Спиряев, Максим Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О стохастических свойствах моделей Каги и Ренко»

Автореферат диссертации на тему "О стохастических свойствах моделей Каги и Ренко"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

005015532

На правах рукописи УДК 519.216

Спиряев Максим Александрович

О СТОХАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ МОДЕЛЕЙ КАГИ И РЕНКО

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2012

1 2 [;!АР 1Ш

005015532

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ширяев Альберт Николаевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Бутов Александр Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

Бурнаев Евгений Владимирович

Ведущая организация Центральный экономико-математический

институт РАН

Защита диссертации состоится «16 » марта 2012 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « 16 » февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

и-/?.

Сорокин В. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена вероятностному исследованию моделей Каги и Ренко. Модели и построения Каги и Ренко являются одними из методов технического анализа, под которым понимается прогнозирование будущего поведения цен, основываясь на статистическом анализе изменений цен в прошлом.

На сегодняшний день технический анализ включает в себя огромное количество методов и техник для прогнозирования цен, определения трендов и построения трейдинговых стратегий. Одним из наиболее известных методов технического анализа является техника японских свечей, описанный в работах Р. Бенсигпора1 и С. Нисона2'3,4, во многом благодаря наглядности и простоте для понимания, а также более эффективному распознаванию поворотов рынка по сравнению с традиционными индикаторами. Альтернативным японским свечам методом анализа поведения цен служат графики трехлинейного прорыва, а также графики Ренко и Каги, которые являются объектом исследования настоящей диссертации.

Ключевое отличие графиков Каги и Ренко от японских свечей заключается в том, что эти методы учитывают только изменения цен, игнорируя время. В отличие от японских свечей графики Каги и Ренко позволяют акцентировать внимание трейдера только на значительных колебаниях цен и не рассматривать "шумы", а также дают лучшее представление об общих тенденциях рынка. В отличии от используемого в классических методах анализа "римановского подхода" построения Каги и Ренко реализуют "лебеговский подход", когда за единицу отсчета времени принимается случайный период времени, за который изменение цены превышает некоторое заданное пороговое значение.

Происхождение методов Каги и Ренко связано с появившимися в Японии в 1870-х годах методами технического анализа, основанных на анализе колебаний цен. Впервые в литературе подробное описание методов Каги и Ренко, а также связанных с ними трейдинговых стратегий, было дано в книге С. Нисона2. Следующий шаг в этом направлении был сделан в работах C.B. Пастухова5,6,7, где приводится строгая математическая формализация

lBensignor R. New thinking in Technical Analysis: Trading models for the masters. Bloomberg Press, Princeton, 2000

2Nison S. Beyond candlesticks: new Japanese charting techniques revealed. Wiley, New York, 1994.

3Nison S. Japanese Candlestick Charting Techniques: A Contemporary Guide to the Ancient Investment Techniques of the Far East, New York Institute of Finance, New York, 1991.

4Nison S. The candlestick course Wiley, New Jersey, 2003.

5Пастухов C.B. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. ТВП, 49:2(2004), 297-316.

6 Пастухов C.B. Об Н-волатилъности в финансовой математике. Успехи мат. наук, 58:1 (2003), 191-192

7Пастухов C.B. О некоторых вероятностно'статистических методах в техническом анализе. Дис. канд. физ-мат. наук. Москва. 2004. 104 с.

построений Каги и Ренко, а также проводится статистический анализ соответствующих стратегий.

С построениями Каги и Ренко связаны трейдинговые стратегии, используемые на финансовых рынках. Основная идея стратегий Каги и Ренко состоит в том, что решения о продаже или покупке актива принимаются только в моменты смены тренда, которые, в свою очередь, определяются как моменты, когда отклонение цены от тренда превышает определенный порог. Этот подход позволяет акцентировать внимание инвестора только иа достаточно больших колебаниях цены. На каждом шаге инвестор продает разницу в начале и конце восходящего тренда и покупает разницу посредством короткой продажи между началом и концом нисходящего тренда, надеясь на то, что эта разница будет отрицательной. Таким образом, стратегии Каги и Ренко ориентированы на получение прибыли на разнице в цене в начале и конце тренда, сигналы к смене которых поступают в случайные моменты времени, определяемые в дальнейшем как моменты Каги и Ренко.

Целью диссертационной работы является исследование методов Каги и Ренко теоретического характера, разработка методики для численного и аналитического анализа вероятностных характеристик моментов и стратегий Каги и Ренко, вывод свойств стратегий Каги и Ренко для наиболее известных в финансовой математике моделей для процесса цены.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие результаты:

• Получены выражения для математических ожиданий прибыли стратегий Каги и Ренко, и проведен качественный анализ полученных ответов для классических моделей финансовой математики.

• Получены выражения для преобразований Лапласа для моментов времени Каги и Ренко, позволяющие обобщить выражения для ожидаемой прибыли на случай произвольного временного интервала.

• Получены явные выражения для конечномерных распределений процесса цены в моменты Каги и Ренко, позволяющие найти распределение прибыли стратегий Каги и Ренко.

Методы исследования. В работе используются традиционные методы теории вероятностей, математического анализа и теории случайных процессов (теория марковских процессов, предельные теоремы, преобразование Лапласа) .

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в финансовой математике, а также на практике при анализе доходности стратегий Каги и Ренко.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на научных семинарах и конференциях:

• Семинар "Случайные процессы и стохастический анализ и теория мартингалов" под руководством член-корр. РАН, проф. А.Н. Ширяева механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова, неоднократно в 2008- 2011гг.

• "Большой семинар кафедры теории вероятностей", рук. Ширяев А. Н., механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011 г.

• "Visions in Stochastics", международный симпозиум, Москва, МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, в том числе в 3 журналах, входящих в список ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 16 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 115 страниц. Список литературы включает в себя 23 наименования, включая 4 работы автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко говорится о происхождении и применении построений Каги и Ренко на практике, объясняется актуальность исследования этих методов инструментами теории вероятностей и теории случайных процессов. Приводится краткий обзор диссертации.

В Главе 1 дается определение моментов времени Каги и Ренко, а также определение соответствующих им стратегий, используемых на финансовых рынках. Дается строгая математическая формализация построений Каги и Ренко, основанная в работах С. Нисона8 и C.B. Пастухова9, дается опреде-

8Nison S. Beyond candlesticks: new Japanese charting techniques revealed. Wiley, New York, 1994.

9Пастухов C.B. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. Дис. канд. физ-мат. наук. Москва. 2004. 104 с.

ление моментов Каги и Ренко, а также приводятся определения связанных с ними стратегий Каги и Ренко.

В параграфе 1.1 дается индуктивное определение моментов Каги {кп)„> 0:

«о = inf {и ^ 0: supX — inf X > Я}

[0,u] [0,«]

- Если XKJJ = sup X

[0.«Ч>]

inf {и > кп ) : Хп — inf X ^ Н}, если п — четное

к = < 1к°~*'и]

п inf {и > n„-i: sup X — Хи > Я}, если п — нечетное

[Kn_,,tl]

- Если Хк.. = inf X

[0,ко]

inf {и ^ кп-1 : sup X — Хи~^ H), если в — четное = < [к"'"и]

inf {и ^ кп~\\ Хи — inf X ^ Я}, если « — нечетное

[л„_Ь«»1

где через X обозначен процесс с непрерывным временем, описывающий цену актива, а Я > 0 является заданным пороговым значением. Аналогичное определение приводится для случая дискретного времени.

В параграфе 1.2 на основе приведенных ранее моментов Каги определяется понятие стратегии Каги. Определение дается через функцию 7(t), которая задает количество актива в портфеле инвестора в момент времени t ^ 0. Стратегия Каги на отрезке [0, км] задается следующим образом:

7Kagi(t) = rignpr* - Х0) £(-i)m+1i(i е К.-1, Km))

m=l

Таким образом, до момента ко инвестор не совершает никаких транзакций, в этот период определяется первоначальное направление тренда. Так, например, в случае восходящего первоначального тренда, когда Х^ > Хо, инвестор в момент времени ко покупает единицу актива. Момент К] является моментом смены тренда с восходящего на нисходящий, в этот момент инвестор продает имеющуюся у него единицу актива, а также совершает короткую продажу. Следовательно, в период времени между ki и «2 в портфеле инвестора будет минус одна единица актива, то есть 7Kagl(t) = —1, t € [ki, «2)- В момент времени к2 следующей смены тренда инвестор вновь переформировывает портфель так, чтобы в нем была одна единица актива, и так далее.

Прибыль от стратегии Каги па отрезке [0, им] имеет следующий вид: м м

= В-1)"1^«™ - + -

т=1 т=1

где события U и D определяют направление первоначального сигнала, подаваемого в момент времени

U = {ш <= П: ХКо = sup X)

[О,со]

D = {ш 6 Л: = inf X}

[О,к«]

В параграфе 1.3 дается индуктивное определение моментов Рен-ко [рп)п>о- Сначала задается последовательность моментов времени [рп)п^о-

ро = 0 ... рт= inf{u > pi\ | Хи - | > Я}

На следующем шаге определяется процесс X = {Xt)t$о, который является дискретизацией исходного процесса цены X:

Xt = Хгн, при t е [pi, Pi+i)

Моменты Репко (рп)п>о определяются как моменты Каги, построенные для процесса X. Аналогичное определение приводится для случая дискретного времени.

В параграфе 1.4 на основе приведенных ранее моментов Ренко определяется понятие стратегии Ренко. По аналогии со стратегий Каги под стратегией Ренко понимается правило, согласно которому сигналы на покупку или продажу подаются при смене тренда в моменты времени (р„)п^о- Графики Ренко обычно изображаются в виде последовательностей из возрастающих белых и убывающих черных блоков. Каждый блок соответствует периоду времени между двумя соседними моментами Ренко рп и рп+ь Белый блок соответствует случаю XPn < ХРп+1 и обозначает рост цены, черный блок соответствует случаю XPn > ХРп+1 и обозначает падение цены. Сигналы к покупке подаются тогда, когда последовательность из черных блоков сменяется белым, а сигнал к продаже подается, когда последовательность из белых блоков сменяется черным. В отличии от случая Каги, набор стратегий на основе построений Ренко ограничен, и, как правило, под стратегией Ренко всегда подразумевается описанное выше правило. Функция 7(t) в случае Ренко задается следующим образом:

nk°(t:) = Signio - Х0) £(-ir+1I(i е {pm-i,pm))

m=1

Прибыль инвестора от стратегии Ренко на интервале времени [О.рм] имеет

следующий вид:

yRenko = - Xp^)\V + -X^)lD

т=1

где события U и D имеют следующий вид:

U = {ю б П: Хл > Х0} D = {w € ft: <

В Главе 2 рассматриваются методы решения в общем случае, когда процесс цены представляет собой марковский процесс. Находятся основные вероятностные характеристики, связанные с процессом цены, необходимые для решения задачи поиска математического ожидания прибыли от стратегий Каги и Реико, а также задач поиска распределений моментов Каги и Ренко и конечномерных распределений процесса цены в эти моменты времени. В некоторых частных случаях указывается явный вид для преобразования Лапласа для моментов Каги и Ренко, а также явный вид для конечномерных распределений процесса цены в эти моменты времени.

В параграфе 2.1 рассматриваются основные методы исследования, связанные с построением Каги. Показывается, что задача сводится к исследованию свойств следующих моментов остановки:

7тах = inf{u >0: supX - Хи ^ Я}

[0,«1

Утт = inf{u ^ 0: Хи - inf X ^ Я}

Ко = т^-и > 0: вирХ — т£ X ^ Я}

[о,и] [М

В частности, приводятся рекуррентные соотношения для преобразования Лапласа для моментов Каги:

Если приведенные выше математические ожидания не зависят от начального положения х, то преобразование Лапласа для момента Каги кп можно записать в явном виде:

Ее~Хк" = Ее-Му(Ее-Л7—)^(Ee-Л7'^^iг^1+

+ Е е~Хк°1п(Е е-^Г^Ее-^™")^1

Ее'Ыи =

Ее'Хк"1в =

Ее Хк"-11(/ Ех^ е при нечетном п Ее_ЛКп"11у Б* 1е_>'7ш™, при четном п

Ее_Ак"-11д Ех«п ^е~Х1тт, при нечетном п Ее"**—Чд Ех^ 1е~А7т*х, при четном п

где [х] = min{n € Ъ : п > х}.

Для вычисления конечномерных распределений процесса X в моменты времени Каги Lm(XK(l¡ XK¡,... ,XKJ в дискретном случае ключевую роль играют следующие рекуррентные соотношения, которые непосредственно выводятся из определения моментов Каги:

- при нечетном пи ко > Хо, либо при четном п и ко < Хо:

Р{ХК„ = кп I ХКп^ = kn-itX^ = feo) = Р*..,^ = kn)

- при четном п и ко > Хо, либо при нечетном п и feo < Xq:

= кп | = кп-иХ* = feo) = Рк..1(Хтт1а = кп) Отсюда выводится полная формула для конечномерных распределений:

= ka,XK¡=k1,...,XKn = К) = Р(п)(Мь ...,кп) = í^l-i í^l

= Р<°%) П Pfe21+l(X7mi„ = fc21+2) П = > XQ)+

1=0 1=0 ÍT^I-i r^l

+ p(°)(fco) П = fc2í+2) П ЪЛХъь = k2M)I(k0 < Х0)

1=0 1=0

Аналогичным образом, выводится плотность конечномерных распределений процесса X в моменты времени Каги для непрерывного времени:

fxKm,XKm_l,...,XK(¡(Zm, 2m-l> • • • , ¿o) = ¿1, ■ • • , Zn) =

í^l-l f^l - о) Д fmm,z21+1(z2l+2) fj /max,z2,(¿2i+l)I(zO > +

!=0 !=0 f^l-1 f^l

+ П /max,ÍM+1(«2(+2) П /mm,2jl(221+l)I(2o < Xo) (1)

1=0 1=0 где функции /шах,20 и /m¡a,20 задают, соответственно, плотности величин ХУаы. и Х7тЫ при условии, что процесс X начинает движение из точки zq-

В параграфе 2.2 рассматриваются основные методы исследования, связанные с построением Ренко. Вводится_определение процесса Xd, который является дискретной версией процесса X, используемого при построении моментов Ренко: _ _

X¡¡, = X?.=xa+X*-H

Процесс Xd является случайным блужданием с вероятностями положитель-

ного и отрицательного скачка на каждом шаге, имеющими следующий вид: р{к) = Р Хо+кн{ХТк =ха + {к + 1 )Н) д{к) = РХа+кя{Хп = хо + (к - 1 )Н)

где к - текущее положение процесса Xä, а момент времени т^ определяется как момент первого выхода траектории процесса X на границу отрезка [хо + (к — 1)#, хо + (к - 1)Я]. Для процесса Xd рассматривается пороговое значение Hd — 1 и строится последовательность (р„)п>о моментов Каги, которая при данном пороговом значении совпадает с последовательностью моментов Ренко. Формулы перехода между моментами Ренко для процесса X и построенной последовательностью случайных моментов [ffynho задается следующим образом:

Рп = пл. i=i

= = хо + X^i ■ Н

Прибыль инвестора от стратегии Ренко в новых обозначениях имеет следующий вид:

Vi, = sign(ХЛ4)Н - Xfcj

m=l

Таким образом, показано, что конструкция Ренко для процессов с дискретным и непрерывным временем сводится к построению Каги для случайного блуждания с вероятностями успеха и неудачи р{к) и q{k).

В Главе 3 рассматриваются свойства метода Каги на примере конкретных моделей для процесса цены, используемых в финансовой математике. Для случая дискретного времени приводятся решения в явном виде для модели со случайным блужданием и биномиальной модели. Для непрерывного времени приводится способ решения в случае, когда процесс цены является однородным диффузионным процессом, дается явный вид решения для случая броуновского движения, а также качественное исследование стратегии Каги для случая геометрического броуновского движения.

В параграфе 3.1.1 для случайного блуждания X — {Хп)п^о:

Хп = $>, Ptö = 1) = Р, Р(? = -1) = q t=l

доказываются свойства, связанные с первым моментом выхода процесса X из заданного интервала, величинами "падения" и "размаха", соответственно. Основные результаты приведены в леммах 3.1, 3.2 и 3.3. В частности, получен

явный вид преобразований Лапласа для моментов остановки 7шах, 7Шщ и ко, а также приведено распределение вероятностей процесса X в эти моменты времени. Отсюда с использованием изложенных в Главе 1 методов решения задач, связанных с построением Каги, в явном виде выводятся преобразования Лапласа для моментов {кп)п^о, математические ожидания моментов Каги, а также конечномерные распределения процесса цены в эти моменты времени. Ожидаемая прибыль от стратегии Каги при и = p|q ф 1 имеет вид:

ГМ-Г

Ри +

~(р- Q)S,

где v = p/q,

Ри = > 0) = = к) = £

PD)-

М- 1

Ри +

н ¡уЯ+к+1 _ иН+1

-{-vH-v

Я+i

к=1 -1

к=1

(1 - 1/*)(1 - I/H+1)

PD = < о) = £ Р(ХК0 = fc) =

■ Я-t+l

+ ¡/Я+i _ vh + уЯ-t

А--Я „Я+1

А-1

(1 - ¡/Я)(1 -

-Я

Sm[n —

Я-

,я _ „Я+1

р — q \ 1 — и ) р - q V v" — и'

В мартипгалыюм случае г/ = 1 ожидаемая прибыль равна нулю. В частности, на интервале с четным числом моментов Каги [0, kin] имеем:

-1/2Я+1 + (2я + 1)^+1 - (2Я + + 1

EV2JV = N-

,я(1 _„)

Эта величина является положительной при любом и ф 1, что приводит к тому, что ожидаемая прибыль па бесконечном временном интервале равна бесконечности, если рынок является направленным (р Ф q).

В параграфе 3.1.2 для геометрического случайного блуждания X:

Xn = X0al-° ,

Р(6 = 1)=р, P(i= -1)

доказываются две леммы, связанные величинами падения и размаха , соответственно. Изучение свойств момента первого выхода процесса X из заданного интервала, очевидным образом сводятся к уже полученным ранее вероятностным характеристикам момента первого выхода для случайного блуждания. Вместо фиксированного порогового значения Я рассматривается фиксированное процентное пороговое значение о и плавающее пороговое

значение Нп:

Нп = аХп — аХо а^

В Лемме 3.4 выводятся преобразования Лапласа, математические ожидания моментов 7тах и 7тщ, а также задается распределение величин ХУтт и ХУт.т. В Лемме 3.5 изложены основные результаты, касающиеся свойств момента ко для процесса X. В том числе приводится явный вид распределения величины Х^. Из Леммы 3.5 выводятся математические ожидания ЕХ^Тц и ЕХ^Тв, необходимые для вычисления ожидаемой прибыли от стратегии Каги. Используя строго марковское свойство процесса X и его мультипликативную структуру, показывается, что имеет место следующее представление для распределений процесса X в моменты времени Каги:

Гтп/21 ((т-1)/2]

ХКт1и = хка I и П П к=1 к=1 [го/21 [(т-1)/2]

Х^о^Х^Ъ П ^

к=1

где [ж] = тт{п е 1 : п > ж}, а величины (£тах)*;>1 и образуют

серии из независимых одинаково распределенных величии, независимые друг от друга и от ХК<1, распределение которых задается следующим образом:

где

Я+ = Н- =

'loga(l + аа)1 1

Ч1 - а/а,

Из этого представления выводится полная формула для ожидаемой прибыли от стратегии Каги:

rKagi _ ^ v 1JtD_ „1 -(PQlM^_ _

ev^ = езд | (р - V-fzjQ--p(Q ~ Ц \:PQ—) +

1-РЯ ^ ' 1 -РЯ

где величины Р и Ц являются математическими ожиданиями величин Х1т% и Х^, соответственно, в предположении, что процесс X начинает движение

из точки 1:

+а[-я+д1

Q = EtX7min =

1 - oi-W/a

В параграфе 3.2.1 выводятся свойства моментов Каги для однородного диффузионного процесса X, задаваемого уравнением:

бiXt = li{Xt)dt + *(Xt)dBt, t> О

где {Bt)t20 ~ стандартное броуновское движение, а функции fi(x) и сг(х) > О удовлетворяют условию Липшица. В леммах 3.7 и 3.8 выводятся преобразования Лапласа для моментов остановки 7max, 7min и ко, а также приводятся выражения для функций распределения величин sup Xs, inf Xs и X^.

s s ill.»

Полученные результаты используются для решения задач о распределении приращений процесса X между двумя соседними моментами Каги. Метод решения задач, связанных с "падением" и "размахом", основан на дискретизации непрерывных траекторий процесса X, позволяющей свести данные задачи к решению задач о выходе процесса X из заданного интервала. В частности, из леммах 3.7 и 3.8 следует, что

fmax,xa{x) — ехр

х+Н

4>{у, so)

-dy

хо I <fi(z,xo)dz у-И

ip{x + Я, До)

х+Н '

f tp(z,x0)dz

х ^ хо - Я

fmin,x о (ж) = ехр

¿0 -/

<р(у,х- Н)

s У+Я

1-я / (p(z,x — H)dz

f <p(z,x — H)dz

x-H

x ^ хо + Я

fxA*) =

<fi(x - Я, Хо - Я)

f <p(z,x0-H}iz

7, Хо < X < Жо + Я

f tp(z,xa-H)dz )

-и J

«о

|р(х + Н,х)-^-Х0 - Я ^ X < ха

I I <p{z,x)i2

где fmax,x0 ~ плотность распределения процесса X в момент "fmax в предположении, что X начинает движение га точки хо, через fmin,x0 - плотность распределения процесса X в момент -уm{n, fxx - плотность распределения

величины ХКо . Функция tp задается следующим образом: <р(х,у) = ехр

Тогда плотность конечномерного распределения процесса X в моменты Каги задается с помощью (1). Отсюда интегрированием можно вывести выражение для ожидаемой прибыли от стратегии Каги. Полученный результат, хотя и выводится в явном виде, достаточно сложен для качественного анализа и интерпретации стратегии Каги. Поэтому оставшаяся часть данной главы посвящена анализу поведения стратегии Каги на примере двух частных случаев рассматриваемой модели: случаю броуновского движения и геометрического броуновского движения.

В параграфе 3.2.2 исследуются свойства моментов Каги для стандартного броуновского движения со сносом:

Xt = fj.t + аВи не К, а > О Основной результат приведен в Теореме 3.1:

Теорема. Для произвольного порогового значения Я > 0 и броуновского движения со сносом X справедливы следующие свойства: При четном m ^ 2:

РЦХ^ - > 0) < х) = PDI(x > 0) + PVP(Cmin < х)

Р{{Х,^ - Х^ЛЦХъ < 0) ^ х) = РоЦх * 0) + PDP(Cmax < х) При нечетном т ^ 2:

Р((Х^ - Х^ЦХ^ > 0) < х) = РоЦх 2 0) + РаР((max < х) - < 0) ^ х) = Ру/(х > 0) + ЗДС™ < i)

гс>е Ри = Р(ХКо >0), PD = Р^ < 0). Л также: При Ц ф 0:

1<ш(Я - Сшь) = (l - expf-2/гЯ/а2)) Law(H + Cmax) = Ехр - l)

При /j. = 0:

£аш(Я - Cmm) = ¿аад(Я + Ста«) = j^j Доказательство Теоремы 3.1 проводится путем предельного перехода от

случайного блуждания [1/Л]

¡=1

t_-\t/dt}dt <Й

Р(6 = ±1) = •

■ ± ц-^сй ~2а

к броуновскому движению X. В леммах 3.9 и 3.10 приводится обоснование сходимости моментов Каги для дискретного процесса Х^ к их непрерывным аналогам. Леммы 3.11, 3.12 и 3.13 являются аналогами лемм о моменте выхода на границу интервала, величинах "падения" и "размаха" для случайного блуждания и также доказываются путем пределыюго перехода. В частности, получены следующие результаты для броуновского движения X:

Р(0 < < а:) =

_ехр(2А.х/ст2)-1-2/и/<;2 т < И ппи // =к Г)

{ехр(2/Я//гг2)-1)(1 -ехр(-2/Я//*т2))' х ^ п ' ПРИ И Т О

, х ^ Я, при Ц = 0

вхр(-2(№/|т:г)-1+2)11/02

I _ехр^ — ¿¡IX/а-__-4- П

Р(-Х Х^ < 0) = { (ехр(2/1Я/ст2) -1) (1 -ехр( -2/хЯ/<г2))1 Ж ^ " > ПРИ М Т "

{ х ^ Я, при ^ = 0

Г ехр(2дН/ггг)-1-2;1Д/^2 , „

_ ^ (ехр(2/Я//г*2)-1)(1—ехр(—2/Я//<т2))' ПРИ /У' ^ и

1/2, при ^ = 0

ехр(-2;Я//<72)-1+2дЯ/(Т2 , п

(ехр(2^Я/о2)-1)(1-ехр(-2/1Я/£г2))' ПРИ ^ Г= и

1/2, при /1 = 0

Из Теоремы 3.1 выводится полная формула для ожидаемой прибыли от стратегии Каги

Ра = Р(ХКо > 0) Рп = < 0) =

2^/с \

ехр(-2 дЯ/а2) + 2 цН/а'

М_ 2 -1

Рг/

М- 1

М-1

2ц/сг2

В частности на отрезке с четным числом моментов Каги [О,«^] прибыль имеет вид:

. бшЬ (2цН/а2) - 21Ш/а2

р,/а2

Эта величина всегда положительна при ¡1 ф 0. Как и в случае со случайным блужданием, стратегия Каги приносит положительную ожидаемую прибыль на направленых рынках.

В параграфе 3.2.3 рассматривается другой частный случай изложенных в параграфе 3.2.1 результатов. Для геометрического броуновского движения X:

¿Х1 - рХ, ¡И + аХ{ йВ{, О 0

выводятся вероятностные характеристики моментов Каги. В рамках данной модели процесс цены является ограниченным снизу, и из-за фиксированного порогового значения возникает ситуация, когда моменты Каги не определены. Показано, что при 0 = 1 — > 0 и го < Я вероятности -Рг0(Ттах — оо) и •Рг0(7тт = оо) отличны от нуля. Это означает, что с ненулевой вероятностью построение Каги оборвется на некотором моменте кп, и, следовательно, стратегия Каги не определена полностью. Рассматриваются следующие способы разрешения этой ситуации:

1. [Условие отражения]. Вычисляется условное распределение прибыли от стратегии Каги при условии, что все моменты 7тах)7шш конечны.

2. [Условие разорения]. Если для некоторой траектории процесса X определены моменты «0,..., «т, а момент кт+1 не определен, то это интерпретируется как разорение эмитента актива. Цена актива после момента кт полагается равной нулю.

В связи с этим выводятся два вида плотности величин Х1та1> и Х,т1п:

Кроме того, для момента остановки «о = шф ^ 0: St~lt ^ Я} из параграфа

(2)

где

3.2.1 следует, что

Г ¿Л(*-Д) Л(д)-Л(хо) ппя _ < т < т I и

f — J rfi (Л(х -Л(1-Я))2' ПРИ Х° ^ * ^ Х° + ^

¿Я(*+Я) Д*о)-Д(*) ПОИ Хп - Н < X < Хп I (¡1 (Л(х+Я)-Л(х)}2' ПРИ Л ^ Х ^ 10

Тогда конечномерные распределения {ХКт,..., Х^) по формуле (1), где в качестве плотностей /т;п и /тах используются функции (2) для условия отражения, и (3) для условия разорения. Отсюда можно численно получить математические ожидания приращений цены между соседними моментами Каги:

EiX^-X^Jh, E(XKm-XKmJID, 1 и математическое ожидание прибыли от стратегии Каги: м м

Е vfr = £иг+1 - +В-1)"^*«- -

m=l 1

В Главе 4 рассматриваются свойства метода Ренко на примере моделей для процесса цены, используемых в третьей главе. Для случая дискретного времени все ответы приводятся в явном виде. Для случая непрерывного времени приводится способ решения в случае, когда процесс цены является однородным диффузионным процессом, дается явный вид решения для случая броуновского движения, а также качественное исследование стратегии Ренко для случая геометрического броуновского движения.

В параграфе 4.1.1 рассматриваются вопросы, связанные с распределением моментов Ренко для модели со случайным блужданием. В явном виде выводятся формулы для конечномерных распределений {ХРт,..., Х^), преобразований Лапласа для моментов {рп)п^о и математического ожидания прибыли от стратегии Ренко. Для случайного блуждания X = {Хл)п^о, определенного в параграфе 3.1.1, показывается, что соответствующий ему процесс X* также является случайным блужданием с вероятностями успеха и неудачи на каждом шаге р{к) и ?(&):

Vй 1

= гт^'д{к) = "=р/(!

Таким образом, изучение случая Ренко для случайного блуждания сводится к уже полученным результатам для случая Каги и случайного блуждания Xй с пороговым значением Нл = 1. В частности, ожидаемая прибыль имеет следующий вид:

<я - 1 , ...

Рс/ +

Е Vßenko = Я

Vй+ 1

М- 1

- Я

и" - 1, ин + 1' 15

ч-

"М- 1

Ри +

Ро

Vй 1

5Шах = " + 1 , -V +1, Ри = —---5 , Р0 = „

I -г I/ X ~т~ "

В параграфе 4.1.2 для определенного в Главе 3 геометрического случайного блуждания X:

Хп = Х0Р(6 = 1)=р, Р(С=-1)=д

рассматривается построение моментов Ренко для изменяющегося во времени порогового знаечения Нп, определяемого по правилу:

Яп = «Хд,

В качестве процесса X" рассматривается дискретное случайное блуждание с шагом Нп\ _

Хрп — Хп

Показывается, что на п-м шаге процесс X11 совершает скачок, равный ±Нп, с вероятностями р(0) и 5(0), соответственно:

1 - (9/р)11о8»(1-а)]

Р(0) = 9(0) =

(9/р)По£а(1+«)1 - (9/р)1^а(1-а)] (9/р)П«*.(1+а)1 _ 1

(д/р)1 '06.(1+а)1 _ (д/р)11<*а(1-аМ

По аналогии со случаем Каги показывается, что распределение Хл в моменты времени Ренко обладают следующим свойством:

[т/21 [т/2]

> х0) 4 > х0) П ^ П £1 к=1 к= 1 Гт/21 [т/2)

< хо) 4 < х0) п П к=1 к=1

где [У) = тш{п € Ъ : п > х}, Э, ВвЛИЧИНЫ (£тадг

и Образуют

серии из независимых одинаково распределенных величин, независимые друг от друга и от Лу, распределение которых задается следующим образом:

= (1 - «)(1 + «)') = ВД^ = (1 - «)(1 + а)к), к > 0

= (1 + «)(1 - «)') = = (1 + а)(1 - а)*), к > 0

Отсюда выводится математическое ожидание этих величии и математическое

ожидание прибыли от стратегии Репко:

где

P-FX* ~ Я[т'а)

n_pyi _ р(0)(1 +«)

0 - - 1 -g(0)(l-n)

В параграфе 4.2.1 для процесса цены допускающего стохастический дифференциал:

dXt = <Й + a{Xt) dBt, i ^ 0

рассматривается свойства построения Ренко. Процесс Xd является случайным блужданием с вероятностями успеха и неудачи на каждом шаге р{к) и q(k), где к - текущее положение траектории Xd:

хо+кН , 1ц+()!+1)Н

ЛОТ «я /

р{к) = J <р(х,ха + (к - l)H)dx / j <р{х,хо + (к - l)H)dx

х0+(к-1)Н ' ха+(к-1)Н

х„+(к+1)Я , ха+(к+ 1)Я

q(k) = J ip(x,Zo + (k-l)H)dx / j <p(x,Xo + (fc - l)H)dx

T„-U-ff ' «j-íl-mr

10+*Я ' ю+(1!-1)Я

где функция (/> определена ранее в параграфе 3.2.1. Обобщая полученное в Главе 2 выражение для конечномерных распределений случайного блуждания в моменты времени Каги, получаем:

Р(ХЛ = + го Я, ю + ГпЯ) = = го,... = г„) =

= р(0) Д Ртт,гг,+1(ГИ+2) П Ртах,г,, (г21+1)1(го = 1) + ;=о 1=о

+ 9(0) П Ртах,гзш(г21+2) П Рп»т,г31(Г2г+1)1(Го = 1=0 1=0

к+1-п

Ртах,п(к) = Рп(^4„ = к) = П К" + 1 ~ Ы^ + 1)

1=1 П-&+1

РттАк) = =к)= Д ?("-' + 1)Р(* - 1)

1=1

Ожидаемая прибыль от стратегии Ренко в данном случае сводится к вычислению математических ожиданий приращений процесса Ха между двумя моментами /•/, которые, в свою очередь, имеют следующий вид:

оо оо Г^Т2]

= И (Гт -Гт-1)р(0) Д Ртт,г2Ш{г21+2) Д Ртих,г21{г21+0

П=-оо гт=-оо 1=0 ¿=0

оо оо

= 53 "' 53 (Г™ _ Гт-1)?(0) П Ртм,г2,+1(г2г+2) Д Ртт,г21(Г21+1)

Г1 = -ос гт=-оо ¡=0 1=0

В параграфе 4.2.2 для броуновского движения со сносом показано, что соответствующий этому случаю процесс

X* является бернуллиевским случайным блужданием с вероятностями успеха на каждом шаге р ид:

ехр(2/;,Я/<т2

^ ехр(2//Я/ст2) + 1' 9 ' ехр(2^Я/ст2) + 1 Следовательно, случай Ренко для броуновского движения сводится к случаю Каги для случайного блуждания. В частности, ожидаемая прибыль на интервале [0,рт] имеет вид:

р т^епко _ тт ехр(2/хЯ/<т2) - 1 ЕУм ~ ехр(2/гЯ/<т2) +1

Ри +

М - 1

где

Ри =

_ ^ ехр(2МЯ/а2) - 1 ехр(2^Я/ст2) +1 т1п

ехр(2/гЯДт2)

А/- 1

Ъ -

Ра

1 + ехр(2^Я/с2)' " 1 + ехр(2рЯ/<т2) ■?тах = ехр(2А1 Я/а2) 4-1, 5тЬ = ехр(-2рЯ/сг2) + 1

Кроме того, поскольку lim Е — со для случайного блуждания Xd в

п-*оо

несимметричном случае, то

JV-юо J 1,0, при ß = 0

Случай Реико для геометрического броуновского движения рассматривается в параграфе 4.2.3. В качестве дискретной версии процесса цены Хл рассматривается дискретный процесс, который начинает движение в точке Хо и на каждом шаге совершает скачки, равные ±Н. Показано, что вероятности положительного и отрицательного скачков, р(к) и д(/с), при условии, что текущее положение процесса хо + кН, имеют следующий вид:

Я{х0 + кН) - R{x0 + (к - 1)Н)

р(к) = #) =

R(x0 + (к + 1 )Н) - R{xо + (к - 1 )Н) R(xо + (к + 1 )Я) - R(x0 + кН)

R(xо + (к+ I)#) - R(x0 + (к - 1)Н) где функция R = R(x) задается следующим образом:

х", при

1 1п(х), при 0 = 0

Как и в случае Каги, для некоторых траекторий исходного процесса цепы X, образующих множество положительной меры, последовательность моментов Ренко {(>п)п2о определена, поскольку возможно поглощение процесса Хл на границе хо + Пт(Д где

Г при^к

В связи с этим рассматриваются три различных случая:

1. [Условие отражения]. При вычислении математического ожидания и распределения прибыли от стратегии Ренко на интервале [0, рм\ можно предполагать, что все моменты определены, то есть рассматривать условное распределение прибыли при условии, что процесс X и, соответственно, Х1* не поглощаются до того, как наступит момент рм- В этом случае граница хо + пт;„Я играет роль отражающего экрана для процесса Хл, а вероятность успеха в этой точке р{птт) равна единице при любом в.

2. [Условие разорения]. Если процесс

Хл поглощается до того, как наступает момент рм, то это можно интерпретировать как разорение эмитента актива, цена которого описывается процессом X. В этом случае можно считать цену после момента поглощения равной нулю. Прибыль

инвестора в этом случае имеет вид:

VgT*° = £(-l)m+1Bign(^ - х„)(Х& - X^J (4)

m=l

где М - номер последнего момента Ренко перед разорением. То есть р{пты) = 1 — qA, где qA - вероятность того, что геометрическое броуновское движение X, выходя из точки xq + пт*„Я, не достигнет уровня xq -f (nmin + 1)Н. При отрицательном сносе, эта вероятность ненулевая и равна:

А = (^0 + (nmin + 1 )Н)в - (х0 + ПтЫН)в q {х0 + (пЫп + 1)НУ

3. [Варьирование Н]. Полагается, что трейдер в моменты времени pi, J>2,. .. адаптирует пороговое значение Я в зависимости от цены актива в эти моменты времени. На практике Я обычно выбирается равным доле в процентах от начальной цены. Поэтому естественно предполагать, что в моменты времени pi, когда цена актива принимает некоторое значение Хр0 трейдер выбирает пороговое значение Я; равным аХгде а € (0,1) играет роль мультипликативного порогового значения. Таким образом, вместо одного значения Я имеем набор различных пороговых значений Я; для каждого из периодов [pj-i,pi].

В первом и втором случаях, ожидаемая прибыль и конечномерные распределения процесса X в моменты времени (р„)определяются через вероятности Pmax,n{k) и Pmin,n{k), как это показано в параграфе 4.2.1:

k+1-n

Ртах,п(к) = = к)= Д p(n + l- l)q(k + 1)

1=1 n-fc+l

Pmrn.nW = Pn(Xi =к)= TT q(n-l+ 1 )P(k - 1)

'min Л.

1=1

где вероятности р(к) и q{k) определены выше с учетом ограничений в точке Timin- В случае изменяющимся во времени пороговым значением про-

цесс Xd представляет собой случайное блуждание по биномиальному дереву:

Xdn = (1 ± a)Xdn_x с вероятностями успеха и неудачи на кажом шаге:

G(1 + а) - G( 1 - а)

G( 1 -ha)- ¿7(1 - а)

св~\ при 0^1

1 Цж), при 0 — \

Поэтому дальнейшие рассуждения повторяют аналогичные вычисления для случая Ренко с биномиальной моделью.

Рис. 1: Математическое ожидание прибыли от стратегии Ренко. Условие отражения

При отрицательных 0 < — 1, когда цена X имеет положительный тренд, стратегия Ренко в среднем является прибыльной. Стратегия Ренко более эффективна на продолжительных трендах, то есть когда моменту смены тренда предшествует продолжительный рост или падение. Математическое ожидание Е у%епк° становится сильно отрицательным при больших Н и положительном 0. Это объясняется условием отражения: при больших положительных в цена X и процесс Xй быстро падают к нулю, при этом процесс X?, достигая границы хо + пт{пН, отражается от нее. Данная ситуация называется боковым трендом, и является наиболее неблагоприятной для использования стратегии Ренко. Эффект от возникновения бокового тренда из-за отражения ослабевает, если трейдер выбирает пороговое значение Н малым: ожидаемая прибыль положительна или близка к нулю при всех значениях в. Это объясняется тем, что при малых Н последний момент остановки Ренко рАм наступает раньше, чем цена достигает уровня хо + пт1ПН.

Рис. 2: Математическое ожидание прибыли от стратегии Ренко. Условие разорения

Во втором случае стратегия Ренко является выгодной как при больших отрицательных, так и при больших положительных значениях 9, при которых для цены X характерны долгие тренды.

Рис. 3: Математическое ожидание прибыли от стратегии Ренко. Варьирование Н

Стратегия Ренко с мультипликативным пороговым значением дает наилучший результат при отрицательных в, то есть тогда, когда для цены характерны продолжительные возрастающие тренды. Это общее для всех трех случаев свойство стратегии Ренко. Кроме того, при отрицательных 0 наибольший эффект дают стратегии с большим пороговым значением а. Это связано с тем, что при большом а стратегия Ренко позволяет улавливать более длинные возрастающие тренды и получить большую прибыль из разницы цены в начале и в конце тренда. При положительных в ожидаемая прибыль падает к нулю. При этом прибыль вновь начинает расти по мере удаления 0 от нуля. Это связано с тем, что стратегия Ренко посредством коротких продаж в периоды падения цены позволяет получать прибыль от длинных нисходящих трендов, которые имеют место при в 0. Несмотря на то, что для таких значений 0 трейдер получает положительную прибыль, ее размер намного меньше, чем при в -С 0, поскольку разница в цене актива между началом и концом тренда мала.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему учителю и научному руководителю академику РАН, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи, неоценимую помощь и интерес к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для случайного блуждания. ТВП, 56:2(2011), 279-300.

2. Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для броуновского движения. Вести. Моск. ун-та, серия 1, Мат. Мех. №2 (2012), 28-33.

3. Спиряев М.А. Свойства моментов Каги и Ренко для однородных диффузионных процессов. Матем. заметки, 91:2 (2012), 270-284.

4. Спиряев М.А. О некоторых свойствах стратегий Каги и Ренко для модели Влзка-Шоулза. Обозрение прикл. и промышл. матем, 18:5 (2011), 693-710.

Подписано в печать: 14.02.2012 Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 46 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Страстной бульвар, д. 6, стр. 1 (495) 978-43-34; www.reglet.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Спиряев, Максим Александрович, Москва

61 12-1/578

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет кафедра теории вероятностей

на правах рукописи УДК 519.216

Спиряев Максим Александрович

О СТОХАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ МОДЕЛЕЙ КАГИ И РЕНКО

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель академик РАН,

доктор физико-математических наук, профессор

Ширяев Альберт Николаевич

Москва 2011

Содержание

Введение 3

1 Основные определения 8

1.1 Построение Каги......................................................8

1.2 Стратегия Каги ............................11

1.3 Построение Ренко ..........................13

1.4 Стратегия Ренко ...........................15

2 Методология исследования 17

2.1 Метод Каги ..............................17

2.2 Метод Ренко . ............................21

3 Метод Каги 24

3.1 Дискретное время ..........................24

3.1.1 Случайное блуждание....................24

3.1.2 Биномиальная модель....................39

3.2 Непрерывное время .........................48

3.2.1 Однородные диффузионные процессы...........48

3.2.2 Броуновское движение....................62

3.2.3 Геометрическое броуновское движение...........76

4 Метод Ренко 83

4.1 Дискретное время . . . .......................83

4.1.1 Случайное блуждание...........................83

4.1.2 Биномиальная модель....................87

4.2 Непрерывное время .........................91

4.2.1 Однородные диффузионные процессы............92

4.2.2 Броуновское движение ....................95

4.2.3 Геометрическое броуновское движение ...........97

Список литературы 113

Введение

Первое использование методов технического анализа для исследования поведения цен относится к началу XVII века. Впервые метод, известный сейчас как метод японских свечей (Japanese Candlestick Charts), был применен в Японии для анализа фьючерсов на поставку риса (см [19, гл. 2]). Становление технического анализа в конце XIX века в европейских странах и США принято связывать с именем Чарльза Доу, одного из создателей индекса Доу-Джонса. Изложенные им в ряде статей идеи позднее получили название Теории Доу и легли в основу современного технического анализа. Бурное развитие технического анализа пришлось на конец XX века, связанное прежде всего с развитием вычислительной техники. Появление компьютерных пакетов и программ, реализующих методы технического анализа, существенно упростили их использование, повысив эффективность обработки поступающей на рынок информации и позволив использовать более сложные по сравнению с традиционными методы, такие как, например, построения Каги с изменяющимся пороговым значением, исследование которого затрагивается в настоящей диссертации. Появление японских методов, таких как японские свечи и графики трехлинейного прорыва, Ренко и Каги, в западном техническом анализе связано с работами Стива Нисона в 1990-х годах (см. [19], [20], [21]).

На сегодняшний день технический анализ включает в себя огромное количество методов и техник для прогнозирования цен, определения трендов и построения трейдинговых стратегий. Одним из наиболее известных методов технического анализа является техника японских свечей (см. [15],[19]), во многом благодаря наглядности и простоте для понимания, а также более эффективному распознаванию поворотов рынка по сравнению с традиционными индикаторами. Альтернативным японским свечам методом анализа поведе-

ния цен служат графики трехлинейного прорыва, а также графики Ренко и Каги, которые являются объектом исследования настоящей диссертации.

Происхождение методов Каги и Ренко связано с появившимися в Японии в 1870-х годах методами технического анализа, основанных на анализе колебаний цен. Впервые в литературе подробное описание методов Каги и Ренко, а также связанных с ними трейдинговых стратегий, было дано в книге Нисона (см. [19]). Следующий шаг в этом направлении был сделан в работах Пастухова (см. [4], [5] и [6]), где приводится строгая математическая формализация построений Каги и Ренко, а также проводится статистический анализ соответствующих стратегий.

С моделями Каги и Ренко связаны трейдинговые стратегии, исследование которых является центральной задачей, рассматриваемой в настоящей диссертации. Основная идея стратегий Каги и Ренко состоит в том, что решения о продаже или покупке актива принимаются только в моменты смены тренда (далее определяемые как моменты Каги и Ренко), которые, в свою очередь, определяются как моменты, когда отклонение цены от тренда превышает определенный порог. Этот подход позволяет акцентировать внимание инвестора только на достаточно больших колебаниях цены. Стратегии Каги и Ренко ориентированы на получение прибыли на разнице в цене в начале и конце тренда, сигналы к смене которых поступают в моменты Каги и Ренко. Иными словами, на каждом шаге инвестор продает разницу в начале и конце восходящего тренда и покупает разницу посредством короткой продажи между началом и концом нисходящего тренда, надеясь на то, что эта разница будет отрицательной.

Основной критикой технического анализа в целом и рассматриваемых в настоящей работе методов Каги и Ренко в частности является их слабая теоретическая обоснованность. Поэтому главной целью настоящей диссертации является исследование данных методов теоретического характера. В рабо-

те с помощью методов теории вероятностей дается теоретическое обоснование прибыльности стратегий Каги и Ренко на примере наиболее известных в финансовой математике моделях. Основным критерием, по которому тестируются стратегии, является математическое ожидание прибыли на некотором временном интервале. Кроме того, в работе приводятся выражения для конечномерных распределений процесса цены в моменты принятия решений (моменты Каги и Ренко), позволяющие вывести закон распределения прибыли, преобразование Лапласа для моментов Каги и Ренко, а также общая методология исследования данных методов для произвольной модели для процесса цены.

В диссертации получены следующие основные результаты:

Все основные результаты работы являются новыми. Также в настоящей работе детально исследованы вопросы, касающиеся величин "размаха" и "падения" для наиболее известных в финансовой математике дискретных и непрерывных случайных процессов. В разных вариантах эти результаты частично были получены ранее (см. [14], [12], [18], [17]), некоторые результаты являются новыми.

Отличительной особенностью полученных результатов является то, что, несмотря на несколько отличные подходы к построению сигналов о смене тренда и трейдинговых стратегий, качественно методы Каги и Ренко приводят к одному и тому же результату. Изучение свойств моментов Каги связано со свойствами процесса supX — X, где X является процессом цены, в то время как построение Ренко основывается на модуле процесса цены Связь между этими процессами была установлена в известной Теореме Леви о совместном распределении (sup В—В, sup В) (см. [23], [1]), которая в рамках рассматриваемых в данной работе гауссовских моделей объясняет полученную связь между методами Каги и Ренко. Кроме того, в явном виде установлена

зависимость прибыли от стратегий Каги и Ренко от степени "направленности" рынка, и в явном виде продемонстрировано, что стратегии Каги и Ренко являются прибыльными на рынках, для которых характерны продолжительные восходящие или нисходящие тренды.

По теме диссертации автором опубликовано четыре работы. Результаты работы докладывались автором на научных семинарах и конференциях:

• "Visions in Stochastics", международный симпозиум, Москва, МИ АН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Во введении кратко говорится о происхождении и применении построений Каги и Ренко на практике, объясняется актуальность исследования этих методов инструментами теории вероятностей и теории случайных процессов. Приводится краткий обзор диссертации. В первой главе дается определение моментов времени Каги и Ренко, а также определение соответствующих им стратегий, используемых на финансовых рынках. Дается строгая математическая формализация построений Каги и Ренко. Формулируются основные задачи и цели исследования. Во второй главе рассматриваются методы решения в общем случае, когда процесс цены представляет собой марковский процесс. Находятся основные вероятностные характеристики, связанные с процессом цены, необходимые для решения задачи поиска математического ожидания прибыли от стратегий Каги и Ренко, а также задач поиска распределений моментов Каги и Ренко и конечномерных распределений процесса цены в эти моменты времени. В некоторых частных случаях указывается явный вид для преобразования Лапласа для моментов Каги и Ренко, а также явный вид для конечномерных распределений процесса цены в эти моменты времени. В третьей главе рассматриваются свойства метода Каги на примере конкретных моделей для процесса цены, используемых в финансовой математике. Для случая дискретного времени приводятся решения в явном виде для модели со случайным блужданием и биномиальной модели. Для непрерывного

времени приводится способ решения в случае, когда процесс цены является однородным диффузионным процессом, дается явный вид решения для случая броуновского движения, а также качественное исследование стратегии Каги для случая геометрического броуновского движения. В четвертой главе рассматриваются свойства метода Ренко на примере моделей для процесса цены, используемых в третьей главе. Для случая дискретного времени все ответы приводятся в явном виде. Для случая непрерывного времени приводится способ решения в случае, когда процесс цены является однородным диффузионным процессом, дается явный вид решения для случая броуновского движения, а также качественное исследование стратегии Ренко для случая геометрического броуновского движения.

Глава 1

Основные определения

В настоящей главе даются определения построений Каги и Ренко для случайных процессов с дискретным и непрерывным временем. Как уже отмечалось ранее, методы Каги и Ренко и связанные с ними построения описывались в работах [19, гл. 7, 8], а также в [6]. В данной главе приводится математическая формализация построений Каги и Ренко, основанная в работах [19] и [6], дается определение моментов Каги и Ренко, а также приводятся определения связанных с ними стратегий Каги и Ренко.

В дальнейшем, под случайным процессом X будем понимать процесс, описывающий цену актива. Если специально не оговаривается, будем всегда считать, что процесс X задан на некотором вероятностном пространстве (О, Р) с согласованной фильтрацией {Т^гет- Для случая дискретного времени будем полагать Т = Ми{0}, для случая непрерывного времени Т = М+. Также будем считать, что положение процесса X в начальный момент времени £ = О является детерминированной известной величиной.

1.1 Построение Каги

Для процесса с дискретным временем (Хп)п^о и некоторого фиксированного порогового значения Н > О определим последовательность моментов времени о- Величину определим как первый момент времени, когда размах процесса X превышает величину Я:

ко — шт{1! ^ 0: тахХ^ — ^ Н} (1.1)

к^и к^и

В связи с моментом Ко рассмотрим два случая:

11 = {и; £ О: ХКо — тахХ/;}

И = Е £1: ХКо — ттХ/г}

к^ко

Из определения kq следует, что множества U и D являются взаимоисключающими событиями. Моменты времени кп для п ^ 1 зададим следующим образом:

- Если ХКо — maxXfc

к^к о

min{w ^ кп-\: Хи — min Xk ^ Н], если п — четное

_ Kn-i^k^u

Kfl. -" \

minju ^ кп-1: max Х^ — Xu ^ Н}, если п — нечетное Если = min Xk

k^Ko

min{ti ^ Kn-i: max Xk — Xu ^ H}, если n — четное

rbfl. - \

mm{u ^ кп-1: — min Xk ^ Я}, если n — нечетное

Моменты (кп)п^о будем называть моментами Каги. Как следует из этого определения, моменты Каги характеризуются моментами времени, когда падение или рост цены превышает порог Я, после которого колебание цены считается значительным для инвестора и интерпретируется как моменты смены направления тренда. Приведенное выше определение с учетом (1.2) можно переписать в следующем виде:

Кп ~ Кп— 1 "Ь 7тах

({Xk, к >

+ 7тт({^ь к ^ ftn-i})!о, п — нечетное «п = «n-l + 7min(№> k ^ ^n-l})I)7 +7max({-^/c, к ^ K,n_i})ID, П - ЧвТНОе

(1.3)

Здесь 1и и /р — 1 — Ijj являются индикаторами событий U ж D, соответственно, a 7min и 7тах являются функционалами над последовательностями вида ж = и задаются следующим образом:

7шах(ж) = шп{п ^ 0: max^fc — хп ^ Я}

к^ть

7mm(ж) ~ rninjn ^ 0: хп — minx ^ Я}

к^п

Для процесса с непрерывным временем (Х^)^о и порогового значения Я последовательность моментов Каги («п)п^о определяется аналогично:

Ко = min{w ^ 0: supX - inf X ^ Я} (1.4)

[0, u] [М

- Если X,

«о

Если X,

«о

Кп. -

sup X

[О,Ко]

inf{w ^ кп-1: Хи — inf X ^ Я}, если п — четное

[Kn-l.w]

inf {и ^ кп-1- sup X — Хи ^ Я}, если п — нечетное

[кп-1,и]

inf X

[О, /со]

inf{w ^ кп-1: sup X — Хи ^ Я}, если п — четное [л„_Ь и]

inf {и ^ Acn-i: Хи — inf Л" ^ Я}, если п — нечетное

[Кп-^И]

Это определение также может быть переписано в рекуррентном виде:

Кп = «п-1 +7тах({^> 1 ^ «п-1})1!/ + 7тт(№> * ^ ГП - НечетНОв

Кп = К„-1+7тт(№. * > «п-1»1£А +7тах(№> * ^ Ш - Четное

(1.5)

где события и и И определяются аналогично дискретному случаю:

= {со е О: = sup X} [о,«о]

£> - {о/ G О: = inf X}

[О,ко]

(1.6)

В случае непрерывного времени 7тах и 7т1п являются функционалами на пространстве С[0, оо) и задаются следующим образом:

7max(^) = inf{i ^ sup Ж - x(t) ^ Я}

[0,i]

7тт(ж) = inf{i ^ 0: x(t) — inf ж ^ Я}

[0,i]

(1.7)

Рекуррентные записи определений моментов Каги (1.3) и (1.5) являются более наглядными для последующих вычислений, поскольку, как будет показано далее, они позволяют разбить задачу о распределении процесса цены в моменты времени (кп)п-^о и ожидаемой прибыли от стратегии Каги на более простые задачи.

Рис. 1.1: Моменты Каги

1.2 Стратегия Каги

Под стратегией Каги будем понимать решающее правило, описанное в работах [4] и [6]. Пусть 7(£) задает количество актива, цена которого описывается процессом X, в портфеле инвестора в момент времени £ ^ О, тогда стратегия Каги на отрезке [0, км] задается следующим образом:

У^Ф - sign(X)t0 - Хо) ]Г(-1)т+11(* е К-1, Кт))

т—1

Таким образом, до момента ко инвестор не совершает никаких транзакций, в этот период определяется первоначальное направление тренда. Так, например, в случае восходящего первоначального тренда, когда ХКо > инвестор в момент времени «о покупает единицу актива. Момент является моментом смены тренда с восходящего на нисходящий, в этот момент инвестор продает имеющуюся у него единицу актива, а также совершает короткую продажу. Следовательно, в период времени между и в портфеле инвестора будет минус одна единица актива, то есть ^Кадг (I) — — 1, £ £ [ас1; В момент времени к,2 следующей смены тренда инвестор вновь переформировывает портфель так, чтобы в нем была одна единица актива, и так далее.

В рамках настоящей работы для простоты вычислений будем полагать процентную ставку для долга и депозита, а также транзакционные издерж-

ки, равными нулю. Данная мера позволяет не загромождать вычисления, при этом качественно не влияет на полученные результаты. Тем не менее, все полученные утверждения очевидным образом могут быть обобщены на случай ненулевой процентной ставки и транзакционных издержек. Учитывая эти замечания, из приведенного выше решающег