Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных в методе стохастического квантования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.248

ЩЕРБАКОВ Вадим Валерьевич

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В МЕТОДЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ

01.01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степенм кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор В. А. Малышев.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук /О. М. Кабанов,

доктор физико-математических наук А. Ю. Веретенников.

Ведущая организация — Институт математики АН ' УССР.

Защита диссертации состоится в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике Д 053.05.04 при МГУ по адресу: 119899, ГСП, Моеква, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан . . 19$Дг.

Ученый секретарь специализированного совета Д 05Lj.05.01 при МГУ, д. ф. м. н Т. П. ЛУКАШЕНКО

Подп. в печ. 18.12.9J Объем I п. л. Зак. 772 Тир. 100 Тидзгр'а'фря Шско&кбп) Лесотехкич'ескогб инс’риута '

‘ОШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕОТН

1 : Актальчосгь т-гтц. Известно, п?о в статпсттвокоЯ, ”^пгг:-

ко 'олгггтг.т яз сясс^бсн гзученхя гиббсовских состоят**? является полипоиде т кгкг преттол^-тггх распгеяелеягЗ слтча2тгх ттпопесаоп, являющихся ре^ерпят-г:: стптяг7тгтл-:’гтх н,!'5рЛэрогтпипльтт,гх у’тшяз-^ . -

Мвтоц стохастг’тесяого квантования, Ш5вгтло,»эня,г!! з работе

р\

Павпзп я By , я ос'ктря'т!! нч '!знос?но?.т соответствия ‘*<»жд7 статпстяческоЯ Фязяке!! г кзяятово?! евклязоз тэоряе!! яатя, есть яяаяогяяннЯ способ пс-дучэяая ввяоятпост,*”х мер, првдстзд-ляппях птттерос it 'явля’П'зггся осяов'пи объегсгся яэучсяяя в кяагь-товоЯ евклялово'Т теория ПОЛЯ. . .

"лея иетояа стохаст.-тзского квяятоваяяя заклхпается в тог.', чтобы мет>у, соответстзутгу’!» озкяядову пата яя R'1 с «яупкяяояз-лсг.т действия $(»?), янтерпретяровять как Л1пзар:та:ггася растзеде- . леяяч для слепуггчего стптаст"чесл-пго дя^ерегщяа.тъяого ураян-’- ■' няя в пасттгт проязвотпс:. . . . . /

r|^Kj '11 еИ -*• otvo(-L, x] . . /

t>.0 • ‘ гло- - это обоЛзетга?. в"яе?ляекпЯ прспесс яп J? * K+, т.е.

i) !.!::riwr A.F. Стог~ст:ггеское квггОговаятте в теетшг поля // УФ1Г, 1985, т.149, 7ШП.1, с. 3-14. - . ;

2.) Рс\л.(>»-1 G.jWa Л. Pcntaxixiicon- tluo'-ttj' vjiitioict

// Sci^tiAto- "S-iii. — ,V p. U23-M96. .

гауссозскпі процесс с чулег^м срецнг.: < YJ v = (-LA.'i') S (х -ч')

рух результату работа ГЬатн обобьет: гг разнята' на слг таЗ ре-

стохастичестах лаФТегеапа?»лышх утквпакиЯ, оскоаатпй на :;с-яолг.зоаа-гл:! гтстолои теер:;:! кластерных тзлсггсгптЛ, в этих работах "сслепепаяа сходимость катода стохастического ггааптоза- -пая п случао рс::,ото,Г!г:х систем езчлнлоиоЯ кваптопоЛ теории поля. В работе [7] таггэт впо^яке построена теория об;.’К.ггояэшг;т стохастотсекпх дп^лрентпадьннх уравнени? для грясемзнс'ппс' пропсе сов, что позволило осуществить метод стохастического квантования для случая ^агтп-полеЯ ка решетке. _ .

3 представление!! пносерт^тгт исследуется вопрос о сходи-гтеетп метода стохастического квактованття п случаа ксяхоетт»* ■ ыополеЧ бозонгггх л .уерглпоппнх годе!! евклидово!! язготоэоЯ тео- / тол поля. • • . • л ■

г.шоняг’х поле"’ в явпрерчвчом случае, бесконечном • оЙ*<гмз и с/ •’ ультоп^полотопим утгзаняем. . ■ , . ■■ •

пгатчатнх квантовых спсте:.т, я схема метода стохастического хза;:-тования для указанна случаев полностью осуществлена..

/.

Цел- тботп. Целы1 р-.боти является исследование схода-''/ гости кдтодэ стохастического квяптоеплгл дчя бозоягагх :т $ер/.

о) 1)СтссЬ Э-АсСт1сг' е.>р«п^;сл |г-с $1ссйо^с ^счИсчЛ .

|аЧСо^ // 'ЗоиапоХ с;| <Нсх1с;И.».ЧссС -*0Г) 0; V. 5%.

ЛЛо-6, р {&*>- -{20?. ' ■

г':т--;"л нВес сспоате результаты- ллссергзчлл яз-ляптсл но2іс.и ?. полгчзЕїг авторе;.: самостоятельно. • .

В гпссеггап:::: лскаэанк огссяоискіггатьнгя схогдоость кетодч стохастического квактованлл дня Ч?ц - модели бозонного поля и -одело;! ? ер:.:;:-пслс? евклидово": квантово" те орли пмя в непрегізксм доконечно:! сбъ-т..:-г, с ультраїлолетоаїл.! урезан::":* і: глкзл* параметров при вза:::.:о".с'/.ств;:;і. Построена теорія стохас-• тлческ;:.: д~;ер?•::іпхть':х уравкеш.’- в частії::?: прс::звояг::;х для ггабеллаозюг ігрспессов.

.’■'•'‘то-ту япглвко:»ат:я. З работа развевается і: обещается на сдутй стохасгяескатс дп.т'Тер<ша::альтг-!Х утзіюнЛ*. в частках птоітнзог.ішх г'сгпіая техялка исаііелсі:а’:-:я эргодичности стохасти-чпс^гх угані-скл*, основанная на обьелпкеігли кд: сснческнх Формул замен:; ;:ег:: і?е~олов теорлл кластер-.’мх разлетек::':.

їїпглптрштя. Рабата носит тесрет::ч~-с'<:гм: характер. Полученное ре пул:-тати .могут использоваться 2 теорг.п стохаст:псск;:х д^Тфоренш’альнч’х уравнен::?. в частп-х пролзволпнх, в евклпловс?. кгантезе* тссг;::; поля.

Атнс^агіля .-;*ос<тгтап-аи. Сспсагага •г-зул'.тзти л^сс-зрт’-П^л готаазізатеет. на ?ас<”*ач;:ях сетокара по азделям стат::с"лческоП $гзикв я тоср:*.:: паля на :»с?.-:лате !.Т7, на копГсг.гіггда :.*аюипс учеіпле в '.(ТУ, на Зсессзззно" кп7чно? ігхоле ""етолн гуккцяопаль-НРГО.апаллаа в современной !.:ат:!,’а?:’’'сс:'.с’’. 5::?икс".

НуЛпгкапла. Сснгївішз результати* лт*.ссегт V!*,::; опубликовано в 3-х работах автора, сппсогг которігзс привечен з хогіле агторг-фератги Работ, каг-гсаяя:;?. в соавторство, пет.

Ста'/ктут и объем дис^етугагтин. Работа состоит на пп-?л?-яия, трээс глал, рззбптг.'Г на II параграфов л списка л:г:еочтута. содержащего 35 напменовпяп’1. 0б7.:г'* с^п" дяссвптатпя 1СЗ сто.

. СОДЕРИНИВ ДИССЕРТЛЦ'С!

Во ВЕЗДвНИЯ К^ВТКО Излагается 'Уя^тпесяяв ПТ'вЛПООЬ’ЛКЯ ?.!Э-тода стохастического квантования. ттается обзог! рез-дльтатсз, относящихся к теме диссертации, перечнсл.-тггся основная -результаты, описывается краткое ссдерт.'тяв диссе-отапнн по гла- . вам. .

В главе I исследуется метод стохастического кв'штовения

I

для(Ч4)-*, 'Ч -5- модели евклидов"1-? квантовой теории гголя с ультрафиолетов’.?' урезанием. .

Рассмотрим семейство вероятностных мер |^л\ где “* ,

'IV!- кус! в К'* с периодическими гранили'лтя уело?:!".::’, лзлягь пяхея гиббсовской перестройке* следутсого айда ■

э^пЧ-^ГМсМг;1 ■

2„ = £М(),(_-4 5»40.1»]>о

гле ус.оСА'>- гауссовская'мера с нулевсм средним и ков.-.рил'пте'!

<г)

(Л

скобками < >0 обозначено среднее пп мере Р-ю .

Известно, что ггпи достаточно кадм”-Л С-’МЗ!?СТВ0 Г*Зр|^1^Л'^ допускает кластерное раалстспйв п азЬ” |^*'сто’т.т,":я птзп Л'1"(К к НОКС?ОРОп ЕеГЮЯТЧОСТНО'Д квре • 2 СМТ.’СЛО ■ слабо’1 сходимости

КСП*ЧП0”СТ>Н1ЯС р?.спр?.п.ел"н:!й. ' ■

Цоль І-оґ: г~'їГгіі оосто::т і; то", чтобы показать рязагоант-

ность кега Jit ?"<т некоторого стохастического гггї^еронцпаль-

п^го уг-^п-тешш гс получить се как пробельное распределение лля ЗТОГО УГ'1ВЙЄ5ЯЯ. •

Урэзнеи:''?:’. Лаккорэпа лля «еря jW. назовс:.: стохастическое

.гк^греппяальное уравнение п часттос прспз.чспп-'У. слелутаего

’ ;

экп'»: ! '

(*)

21 > хс-АГ1,-U.o.>>0

C-і

. ^

к rra обобяенш.’?* згнерогскт:^ процесс на |Я* х (R ,

т.п. гауссовс?:;!.’ процесс с кулос:Ч! среди::?; я коварчатае": .

<^ £>С<Л^2»С?,ч\ > “ U л £(х-у\

г*о § (/) - сельте-Ьиксл на . .

Прйт/еяеяае оператора О.^1. вгсае? Ьоль сгязячгяная, юга в тер\*?,вгх евклгцогЪЯ кзсртовоі! теорп'! поля, *<т1ьтра4Г-:олетоЕого

.yp-jSHH-H, Qy}tCS ПІ о” оперг-зяз Й ЛЗИЙСУ случае СОСТОИТ В том,

что ~-оазсс a*'2 - г.то евачівЛ пронесе з тог.: с*г:сле,

что < Се6/-Ь(4,^'г> С ^ . ?.то лллзат з:!г:;іі::я про\>»сва w(l,x)= » ЄЛ/Ч(ІЛ) 3 ,pc*?.vx точках за“".сй,ч,,:я я. соотвстстваичо, яртеоаг.т к взгздчеиж' сноса ураяяоняя Іам-евока. Указанное улэтрглзодк'оясе урезание в^бр-знс в тэко-.: виде .из сообсз-сн;:й ®вкіпгісо?л:х улобстр. .

Ураякеядо Лянкгзркз лля мори JA ягвет сильное делподшное гезек-чз, ойлчспп.'З' епрвяелсктма сгоЯс’*:;3!(п ~!!т‘ігр::г7'".'ости.

- Г -

это следует из результатов пабот.': Гог-иіи.^ ^ , где лзучлллсв уравнения парзболтееггого тлпл с полпяо: патанов гєлпгіє.ітостьп в сносе п со сглахенкгг.г взнеровсхг.' процессом V/ * іЛ вдда

' ^OC^WMldA}

R

где Х[Л " КЛКПЯ-ЛіїбО !у!!НШЯ ПЗ ПГССТГЛНСТРЗ Шварт S(K ).

Коночнообъо.,-!н.'г,г:: аппрокся’/апиямя к уразаскпп Ла»г*евеяа для r/ерь’ JU, назовем семеЯстзо урявнзня.'! следующего вязз ' ^с‘Ч^»ССл-м^{АХі.*^ХйА^л^,х))сіііЄлШ*’(і(х)

?,слЧ°^ = ^САЧ*' 00

х^Л-Г-ь,1,У','>1^л,Ь’С>

Л, т* •> о ;- тя re, что ~ т»икіо,№ л(4|Х).с в» (<,*/- п~п<.>

роэск::1! сглт^пн:.’' пропесс на {R*. * С-Ь, іЛ*'1 , г^оЛ-C-l>,L.) - яу<5

в с nfipno^nnocKrv.T! грзгпч!"-"''.! условлт"!, А - • оператор Лап-’

ласа з L* (М. Процесс VJ^ (l, vO vp.tho ггоезстлзлть з в::де: '

vjc*4mW іҐ *21 еУ*о.~Р:/2 \0 (t.p')

где Л (4,р) - неззвзспгжс для разных ?сче:« рей S'7 опномзр-; їшо станїїлртіпгч вмне^опскпе отогреет?, .

. Уравнение (.4)_ в конечном объеме тзз Л = О назозе*.! лпне*-пиг-г уравнением. Начально-; условие .для ликерного урлвт’яня swte-рем в виде гауссовского трл*телттпо!»но-л!пагдянт«о?о ПОЛЯ ^ (А на А . Соответству**",ая ?тарз |*<£А'эядазтся ковапаяпей

cSA(»W ^ И VP* СсЫ

регг1 N.

о) DiX-гсп^С.і tic-itvtсаг рап.а£с£иі зіесАахЦе сІіЦ<.и>іійх£ ЄЯ на. -ІісгіЗ ц; іЛІї acidiUvo. cc(vitcL псічї. on $.сі» \R+: а-хлум-СоСЬесС. 'S^C’clta-jUccjucttvtj.Jab'On //(bmvn. It’atfv PlvjV W2?; (03, н p.fit-StiS,

&Л*) - су^онг.е на некоторо": :штегр;:руе:.:оЛ функция. Для урав-нснля прл А> О ииСерсх начальное условие в в.-лс гиббсовской персстроЯ-к:; .меры :

л (*) 2Л = -^ (г*! ) >

где Ро(0 -• огранпчешш* снизу пслпно:.!.

Длл ураэгтенз! (^) справедлива теорзма супесгзсвакпя ;; единственности непрерванного с;;;;ького ро,:е::,,.я, которая-следует г.з результатов р7*о?ц [?}. Ь’слк Р-^с пределе игл решений ,

урадкен;:’1. ■ а линейного соответственно в ”о:лапт времен:: Т , то он? снята;::; {ср^улей Гигсаноза: ’ •

- 6*р (- > И1 г 3М ^ ^ ~ •

1 V л о .

Сорила (б) гнзодлгел -акадег/.чне то:.у кап ото делается в кенечно-иерис.: случая с гепальзеэанпеа £аята существования емьного'ре-секяя ураяненгя . . . .

’'сасин.гуя пэзйст!!уп теорему о саяосопрятйепност:: зезмудения георатора ггаерскг^ащо;': пслугр-усг. , доказанное и параграф 1.4 7тз815*лс.чл: о свойствах :.:ср:: Т^О в параграфе 1.1 получено,

что полугруппа Тъ - осотаетстЕум^'.я резон;:» уравнэшш , является саизсолрл.тенноЗ в пространстве откуда стандартно

выводится инвариантность меры для уравнения (к^ .

Единственность инвариантной мери следует из теореми Перро’ на-5робенпуса.

Основные результати первоі: глави сХ-ормулпрованп в параграфе 1.1 в виде теорем 1.1.2 і; І.І.З. -

Теорема 1.1.2. Пусть \>0 - достаточно мало, тогда мера ^ является инвариантно:’ для уравнения .

Теог>е:.т-ч І.І.З. Пусть У>0 - достаточно кало, Со(')е^(Й где - пространство Сварца, Ри (.* ^ выбран так, что и.унк-

цня Роф- !‘і ограничена снизу. Тогда семейство мер Тє.^ )Л-иь,1^ Дє/ідопускает кластерное разложение я сходится к мере при Т-э *», сми-сле слабоЗ сходимости

конечномерных распределен:!.", причем сходимость по Т экспоненциальная, с оценками равномерными по 1-і.

В параграфе 1.2 пр;шедеки и доказаны свойства решения линейного уравнения в конечном объеме. .

. Обозначим - частные производное по

от " Р2:зен::-7 линейного уравнения, понимаемые в средне-

квапратическом смисле. Пусть А о. - набор точек лз множества [-Ц 1«У * [О, ^ удовлетворяли:": следуэдему условна: для т.г.бкх двух точек а СЧі5^ яз данного набора выполняется нера-

венство І^-уІ^сцІ-Ь-з'^О-^О. Пусть Сц(^,3,- ковариа-ц:-л решения линейного уравнения в конечном объеме. Справедливо следуг^ее утверждение.

1ЛЛ. Существует а и ОгЛ^І , такие, что для любого набора А а., для лжЗоЗ сикспрованной точки.

л.у.ест место неравенство:

7 ІСи^-І.Цх-Уо^

СМ]?1- •

(_ч,0 £-А<і

причем а и 0І не зависят от Ь .

Данная лежа играет очень ванную роль и доказательстве основних утверждении.

Далее в 5 1.2 приводится серил утверждений о свойствах релхния уравнения (її), которое су?.плируг.тся теоремой 1.2.4.

Теосс:.та 1.2.4. Решения уравнений 0/), уравнении в конечно;.; объеме, сходятся к решению уравнения (3\ в смисле слабой сходимости конечномерных распределений.

5 1.2 приводятся доказательства основних утверждений глави I, которые основаны на использовании методов теории кластерных разло:;;еи;;л., Сфорслулировано несколько лег-гл, в кото- ' рьгх полотні: кластерішв разложения для ерздних вида <Л^,(^М^ЛЛ>гДО^|х)- решение уравнения (М~ одна или конечний набор аналитических н ограниченных'в полосе ^гсС4*: функцій, и доказываются кластерные оценки.

Доказательство дапн:::с лег/.м приводятся в параграфе 1.4. Кластерные разложения получается г«етодогл иитериоляции гауссс-вих ;.:ер, известии:.: из классических работ Глшлма и Даа£фе •. При получении кластерной оценки в ах: шел отличие:.! от работ Г'?], [83 является то, что в силу непрерывности объема, после преобразования стохастических интегралов в формуле Гирсанова по формуле К'хОг в показателе экспоненты (б") появляются полином;; от

ю) Гллль; д., Дкауі’О А. Ліантовая -бпзика. Подход с точки зрения континуальных интегралов // р" 1984.

кёскольких nspe:.:sKH:;x. Зто обстоятельство приводит к чеобхо-

їїггтостіі патсгрптав"ть по в.ероятностно'1 ;.:сро к пг>'т это--: суисст-

вепнч сэо^ства гэхснпя л::нс'г:;ого уэтзпін::я, ’іочпзаг'пто в л<г>

г.;з 1.2.1, когопке о^еспе’пвт'т "пота нсз?в"с;;:!ость" Tvr;rc-

^.'гопгтоп е::”" АЛ 1 і — і,--. ^ ^ . г-13 Aj_- богслм-

с:г:о •гно'^сїв-а нз R , ) - ,л<зп:пи,’о л:’Ч‘Г-!»ого ус’нпоичя,

UmM - яостлточгто у^а^чны-э дг/гг от ттпуг'» TO’ficu гп [-ЦЬУ*< R+.

с*

В Г7Г*20 2, ПГіГ‘?РГ>''’?в 2. Г ЯНОг"ТОГ ГТ>‘?СС'’Д^Сі2Я ГУ1Г?*Пт W>» с обтпг^гк:::':: VJ;(l,)^ ^1(1,*^ , *Кн, С-1,И. Сп^о^о.я:^.: rirt

WS- !?"”ЄТ)03СК'ї9 СГЛа~ГЛПСЄ :'ПЛП'!?ЄС'ГОгтГГ*^ < > *,

т,ОуОСпПСгСОО 1\ВП'Г’.СОСТОЯГГ"0 , ?Л7:Т,!тО 1 С~ОТ^Г-’,,т-'* O'^T^jpO

<w;(4.,'Y\» - ^w^(4,x)>w = о

7ІЛЯ „ЇВЙ'ТХ ^ 1 ■^■>•’■'1 ІЛ- Г:

<w- (t.nWj °^р

і , я

г.г: Л?:б"':; (1,]=г;х ^ гтэ .К(Л - «'yaor* -:”5

ягостгапстяа ІКваг'м SOR*), т"хая, что 'X (») ан^.’—тчех!- '-гг^г

б:"7’!» ггголо.тге''.'! и нчкотэтг/э ПО.'о'У | £ <£ Ді^і |lm 2 і ^ Q, ї .

Я?

На алгебпэ W©» once*» ллястся xavc£oi>*a ."сс1."",'г-Т'Т'''-

Л'*Я ТС.ТОЛСГТЯ 'f ПОСГеПСТЗОЧ С’.’СТ'Т.Т ПОЛуОС’! -I jr-fG'SjS К

t1'-»T\*'*'vr т ЧТО ПО ^"Y^OTiVGL 54 (Л огггптт^^^ог'р - СЛ^рТУ Н^П”* Л'^П’^’7- C'i'r ■

(^\-= і Л.ЯЯ л^ого \eWL

Fncc?nTf'.^?e?c.«? 3ayvxa!::.'e алгебр:* W**» в гелолстіг: 'ЇҐ vo~

. / ТОуО0 О^ОІГї-Т-ІЛОТСЯ Та!{ Y2. В £.?J!*!Oft ТОПОЛОГИИ ОПр?Г»?ЛЯГ/ГСЯ'‘СГГ?—

>г?стіг?рс:<т!є яктвгр-т^ги ::ат' гг^одолл: с'г^г'^з^тпта їхктв гс?льу.ых су}?'. И ЗЗТЄМ ? ОГГП’ї'ГО-ТОГГ-Гв Гр^ССМа^ОВУХ С.ту-З^н.-Х ттопсс-

соз.

■ - IT -

Гг'эс'Т'ячо!”’** случаин,т:' топессом называется пабоп эло--п-тов Ui,...,h \ ™ ■.

что: .

1) YjMViC-bO

ТЛЯ ЛГЙ'-'Х in, (4-1 к), (5,‘j') £ !R+ к PC*

2) S^, v>= Чч (i+s,*) л

TTJLT ЛТ?бПХ *

r:”° St, -t£ О - сет?ство т.н. гоггомор* лаков сшз”га, Ф" -л"бо ф» , либо Ц) .

Т?П ОСГОЕе ТОПОЛТ’ЛН t оггоепеляется сголпмость в мпог.ест-пе случгкянт iroorreccon.

В § 2.2 постпоепо режепие аналога- стохастического тг^е-гс шпального уравнения в чястпттс производя* *г слегукг,эго вппа

cliK «.,*) = (C&-^i)^L(^v)-P(.^l^)^lx))ctt4 ci4(-t,x)

din M= (t.xv Pd

rne Pi, P^ - нечетное '|ЛО',спт!! грасскаполо* алгвбрч с обра-

зутаржя $i(l,*),L=Ay.^(t•"■ ■ "алгебры в точке").

Ремонте постпоспо гятпш: последоватолъктге птпЛтегсяп'*. Пол отег-т сттестеепно используется спецч*'.1кз оценок :.го::е:гаоз от реетенпя линейного уравнения, т.е. уо-зененпя с PL= Р^ — О.

В параграфе 2.3’ локазт/вается единственность систсмм кор-

реЛЯЦИОНПИХ ЛуКГ'ЦЧ”, СООТВЭТСТНУРЩПХ СТОХаСТаЧОСКОМУ ДГ'^ерС!!-.

гшалыгому уравнения, т.с. ^ункцпГг виъа '•

<1 и-ё^КоЛФс 'PiC^,l{ifci)^W 1 ^ •

Для этого получена цепочка тоавпеич", коточоЧ упозлетвоояет

семейство коррэляц'зошшх tymonrt. Полуденная система утавнент’й

трактуется кэк скупое опетлтотгаэ': уравнение тлі? Кппкву^а -Ззльпбупга в банаховом пр0сгр?.."с”-;с систем куплей вила , Ті’ О^Ъ--.КаЛ , і^О,

^и»<ч€$м а».Ає * й-і,.,., с не пре рив нілі.::: компонентами її норглоГ: , .

Н11г^45и£ Лр^ар^|,'^--РГА,,)>

і>о а.,»,. и

У1?! , А/= "І.

* С45»

При подходящем виборе ^ уравнеш'.е ::.\:еет единственное решение в указанном пространстве. -

В параграфе 2.4 получен аналог ?.ор;.:улц Гирсанова, теорема 2.4.1, позволяйся езодять вычисление ко^реляционгих 'Тунк-цпП, соотвстствуь^'.х пєГіЄн::» колоночного уравнения с нелнне:’.-''' ностьп в спосе вида ЛЛ(х')Рс 1^, у)(<;,у]«М (у-)Р^ (ДФ і » гдо А - финитная гладкая функцій, У?0 .

5сла и. у' ^ “ некоторый моном от решения кз-

лпкеПного уразкеїпія, то формула Гпрсаяова означает, что

*£ (-] ^(’І^І^ГОгі'.’иїї,(:д'і4 РД$М(&;(:х]иу

З А . О Л

-«•X4 77 \1 і СйЛ(*)Ри(Л(^Н$<*)Л(Л Рі (^ХіхІсЬоС*

■1-І о л

Ь - ;:нтегральпиЛ оператор с ядром СГц,(іі-2^ = ^ЗС(х-ч).І (г-У)°^У і я ряд г.о семппкглрапнтам с.-.слптся пр:і достаточно малых Х7О.

- ІЗ -

В главо" 3,' параграф 3.1, вводится уравнение Лаат-евена ’

ц>*

для квазисостояння <■ > у на грассмановоЛ алгебре ,'с образущи:лл С=4,...,И. Квазпсостояние <

определяется как предел гиббсовских перестроек слецупцего вида:

* р'^р('>^к(^ии,^)Ы^>о г;1

где < ^о- некоторое гауссовское квазпсостояние, ковариационная функция которого удовлетворяет семейству экспоненциального убывания, четный елемент алгебри с образупц:;:.ст

последовательность финптгшх гладких гТулкци’і, сходящаяся к тождественно!'; единице при К-* о» .

Далее доказывается инвариантность указанного квазисос- ' тояния относительно соответствующего уравнения Лшшэеону .

В § 3.2 доказнваптся оценки моментов и семиинвариантов отрешения линейного гауссова уравнения. Оценки для мочзнтов-имеют слону: іціпі вид: .

И '

I < лл(+ и,кХ..^іиК(Зс.^а)... А

~ ^ибзі ^т> *]/ ('г'

ГЦЗ ' •

скъі &Г,х), (?.р-

и || • ІІ - евклидова норма в 0^ . • •

' Метол яолучви/л опенок ссяозз.я на "лчях Гш»оняэкого ” Купя^нена, я лрг'зняотся з сл’/чао наличия зр-згіошюго параметра п непрерывного оЗъе:.:а, ранее этот метод ггртгаяялся в работа [7І.

ГТсл^че:-':!^ стіс-нлл обеспо''’и:>аг.'т зкспсненц'га.пыгу»! схоли-.’•ооть к стагаояаркалу кзэзнсоотоянтге.

Автот) глубока пт-лзнчтглен свот.-у нчуччому рУКОВОДНТО.”» "О*'?оту 'т''!п:,.л0-”ат0”пт".ческ::х ivy у., гп:ог,:ссг,'пу Мтлютпу Ва-Г.”'У Л-'^кст-’^^п^чу за псс7а"02гг/ "адат,а, анпманне ;т болп""/:. помочь в работе. •

■ гпгел:!кац!С!’ по тг!Я л,кс?:?тлци:!

1. Сзгс'г-гсп S.H. 0кспон2ни;!а."ь:!тя сход::;:сстъ дл,: столастд-

!

чсск’": урт.-;:!С:Г.:Г: ”~о з части-::: про^звслпих во всем нго-ст”:і;:с7і'? .// 2 сб. Iу:::'!». :: стохіст. ан.-ут. я ях пр:іло~л-гпл. Пел рая.- П. .Т. Ульянова, Б.В.Гн^лояхо - М."зд-во .‘Ті’, In?I, с. 84-87.

2. Полбах':: З.В. Схсдаї-'ость 5гом:::нг:х кзазлсостсл-

ЯпГ:, ' гос^лен!;:;'С ураянеклл-.::! >’Ггс із чпетшгх паопза^лнах для грассг-пко2”Ч г!гси<!сссг // Рукопись леи. в в:ігі::ТИ 27. II. 91, Д42Є-Б9Г. 25 с.

3 S-tboJ.afco*.1 V V. <?K')CiU'. о-оХ Ccaucu^ai. с,( 4.^2 S-v />a.5>Uc. рал-ІСлб. с^ліаЛСои9 -ito

t. Дь rpcxcQ. // Геіісіа, ()їоЯ(и:'то-{.і.са. fovaitCcct,