О суммировании арифметических функций по позиционированнным последовательностям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 00

- 1 ГШ 1993

РОССИЙСКАЯ АКАДЕШЯ НАУК ШЕИАШЕОШ иНСТЛВТ В.л.СШШШ

На правах рукопиои УДК 611

8ШШЯН Карапет Мкртичавич

О СУШРОВАШ АРИФШШЕСШ ОУНКЩ,; ПО ПОЗЩШН1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ

OI.OI.Od - натеиатичаская логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физако-иатеиагическюс наук

Москва 1992

Работа выполнена в Ыатечатичеокои институте РАН ш. В.А.Стеклова

Официальные оппоненты; доктор физика-ыатвматичеоких на)к,

С. Ы. Воронив

Ведущая организация: Цосковский педагогический гооударотвеннм

«

универоитет ии.В.Я.Ленина.

ааоедании опециаливированного совета Д 002.38.02 при Цатемати-чеоюы институте РАН ии.В.А.Стеклова по адресу: Москва, ул.Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакоыитьоя в библиотеке иатеиати-чеокого института ии.В.А.Стеклова.

О о

Автореферат разослан " *.! 993г.

профессор Н.И.Феладман кандидат фиаико-матеиатичесних щук С.А.Гриценко

Научный руководитель: доктор 4изико-иа?виатичвоких наук

часов на

Ученый секретарь спецсоввта доктор ф.-и.н.

г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕИЮША РАБОИ

АКТУАЛЬНОСТЬ В современной теории чисел ездяоо место запишет суммирование арифметических функций.

Пусть зсарактерическая Функция прогресоки

КХвйбглосЬ^) , т.е.

~ [о, еолз «.-¿аОилзс!™.). , В 1968 году А.О.Гольфоад [I] доказал следующую теорзиу о усу, что

I I, еола ,

С 4 0(Х%) ,

ОО О«

V

В дпсоертационлой работе рассматривается задача о суммировании арифметических функций:

ЪЫ - чиоло делателей числа Л , и 'Ч-О) - чиоло представлений натурального числа Т1 в виде оушш двух квадратов по позиционгам мнохботвам ^о п

Рассматривается таосе задача о чиоло решений л-ш=1,

уравнения, кетда п., т б , 1*0,1-ЦЕЛЬ Р. ЛТЫ. Получить асимптотичеокую формулу оо отспепшга понижением в проблеме делзтелзй дяя олучая, когда сумяровягсге распространяется па так называемые "позицношше последовательности" натуральных чисел. Эти последовательности определяется

чзрез представление чисел в позиционной системе исчисления. Агшлогичные результаты получены в диссертационной работе и для среднего значена от некоторых других ариЗметичеоких фуящий, распространении на таких последовательностях.

МЕТОД ШОЯЗДОВАНШ. В работе применяется метод болшого решета, где основную роль играет следу кдзя оценка (леьвга 9):

НАУЧ11АЯ НОВИЗНА. Результаты, доказываемые в диссертации, являются ноыш;. Диссертационная работа является законченным научным исследованием.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут бить использованы при чтении специальных курсов по теории чисел.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в центральной печати. Описок работ пригоден в конце автореферата (ом. [й] и [б]).

АПР0БАЩ1Я РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по аналитической теории, чисел в МГУ ем. М.В.Ломоносова под руководством профессора А.А.Карацубы к на международной конференции по теории чисел, посвященной 100-лети» И.М.Виноградова в Москве.

ОБШ И СТРУКТУРА РАБОШ. Диссертация изложена на страницах машинописного текста, разбитых на пять параграфов. Список литературы из 6 наименований.

ССШЕРЕАНИЕ РАБОШ. В параграфах'3 и 4 доказываются следующее утверждения (теоремы I и 2).

Справедливы олодупчЯе асшптотлчеокпе

(I)

О

Ч № --Ц *м < 0(^к) (А)

где

Как н доказательство теорег.и А.О.Гельфонда, доказательотго тео-' реш I 2 2 основывается ка ацешсах трпгонометрнчеокоа суммы

В доказательстве теоремы А.О.Гельфодда основным иаотрумеятом является с л едущее неравенство

Неравенство (4) являетоя нетрлвгалыюЗ оценкой Чебшиевояой нормы функции • Доказательство теоремы I и 2 основывается пп

нетривиальных оценках нормы 3 М (лемма 9).

I

) * X , .:< <5>

о

где

Применение стандартной техники большого реиета (см. [2], [з]) позволяет пз оценки (4) и (5) получить нетривиальные оцегцэд

остатков в формулах (2) и (3).

В § 5 раоометриваотоя оледупаая бинарная аадача

П-УЛ.,1, tvíftl; VA £ íij J ¿jJ -ОД , yu;vw < X. с*)

Пуоть r.j(x)- чиоло решений уравнения (•* ) Справедливы следующие асимптотические $о;ыула (теорема 3)

M* -f + Oßjx) .

СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОШОл ЛЕ.:.Ч (леша 9).

Справедлива оценка i

Jft » J t 5^)U<¿ < ¿â0f

гдо 9 - ^ "íí-t<г.

Из форлулы Эйлера имеем предотавхенле ХЦгШ. ' %

а 0 к*

Разбивая интервал [о, jf| по подинтервалам вида jjL л = О, I, 2, 3, Т. - примет вид:

ъ ty m

й i

нлз * 2 4-3

10,3 Тв = /Га*1} [ КЛс) П «

31 ^ ,

где = ¡йъТ^-М^Ц.

з-о

Заметим, что прямеяенлв парасопотез Копи дао? сцояку:

I о®

Для К.(х) при х<?Со. 11 лоят^отоя оценка Х,9<1 а поэтому

х

Повторяя это раосуздонне раз, пслучаотоя, что

т ДО

•I * а

■ . а

т.е. требование лемма 9.

США АОШ&ШШШ 1Е0ТЗШ

I. Имеем

* К ^¿Х

гае

* »

Для используетея следующая формула

1 . ' Л ЗГ- тг-О- я

где 0 или I (ом. [4] стр.59).

Поэтому, чтобы получить асимптотическую форлулу для *

надо оценить ^ ^

' а -с ' '

где ¿у; ^о, ■

1'х 7 ^«х

Иопользуя леммы А.О.Гельфонда (4), Голлахера (см. £з"], отр.14) и леыг>7 9,для (^(Х) получается следующая оценка

ясх)« х^/л;

где

2. По такой ке схеме доказывается для (х). Здеоь попользуется следующее представление функции <Х,(н) (Л.Эйлор)

где Г I, если »11 гА);

Т^И® { -I, еолз мое!4 )/

О, еслигк.2 С>(м1(2-).

3. Для доказательства теоремы 3 выводится следующая формула 12 = +

Поэтому, например

00

+

' и, < X

¿Ц 6 60 - Ш

£ X

Внрагая глубок?» йлагпдарасзть аро$еооору С.М.Ворояану за ас-испь в глоой работу.

ЛИТЕРАТУРА

[l] СсЩолЛ /1.0. Su.Г Ы <jui Otd Ja

propriétés additi№ e-i Uotuifki

1983. .

13] Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. M. Мир. 1974.

14) Виноградов U.U. Основы теории чиоел. М. Наука 1981.',

Публикации по теме диссертации [s] Эмкнян K.M. 0 проблема делителей Дирихле в некоторых последовательностях натуральных чисел. Изв. Акад. Наук COUP (сер. мат.) I9SI, том 55, №3, отр. 680-666. [ б]. Эшиш K.M. О представлении чисел о заданными свойствами двоичного разложения суммами двух квадрьтов - Труда ЫИРАН нм.В.А.Стеклова 1992 г. том 201.