О суммируемости с весом решений разностных схем для дифференциальных уравнений четвертого и третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 и

2 и ЕВ 1993

МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСКИМ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРлСНОГО ЗШЕЕИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ам АЛЬ-ЫРАБИ

На правах руксякса .

Саханоз Нурлан Наур^збаеип

О СТК.-31РУЕШЯЯ С 53Ш1 РЕЁЙЕ2Й РАЗНССТЕ5К СХЕМ ДЛЯ ДЙС4ЕРЕНЦЦАЛЬШХ УРАЕШЕЛ ЧКГЕЗРТ0Г0 II ■ШЗТЫТО ПОРЩКА

01.01.02 - дафференцнииьш» .ураавнешя

АВТОРЕФВРА?

диссертации на соискание ученей степени кандидата ¡Хизико-математичасг-сп наук

АЛМА-АТА,1993

Работа выполнена в Казахском Ордена Трудового Красного ЗНа'ЙЭНИ ГОСуДВрСТЙОННОМ университете ИЫ.АЛЬ-Фйраои

Научные руководители: член-корреспондент ИАН ТК.дохтор Сизико-иатемвтическил; ш>ук, профессор В.С.Смагулов кандидат Свзако-ыатеметзггческих наук.с.н.с. БулаЗаев А.?

ОСыциалыше оппонентах член корреспондент АН КС .доктор Скзлко-штеыатичоскнх наук, профессор Ы.О.ОтелбЕев кандидат фпзахо-ыатомагичоскы., донэнт К.А.Шатенов

Водусая оргшкзацЕя:Новосаоирскйй государственная уштзрснтот

Зедкта состоится "_"_1993 года в "_"час.

на гасэданзи Регионального специализированного совета К. 058.01.17 по присуждению учоноЭ степа ни кандидата наук б Казахской государственном университете иы.Аль-Фар&Зн по адресу: 430012,г.Алма-Ата,ул.Касанчя,39/47.

С диссертацией иогзо ознакомиться в научной ояблЕС/теке КазГУ ем. Аль-Овраби.

Автореферат разослан"__1993г.

Ученей секретарь Регаонального специализированного совета,

кандидат Ста.-мат.наук,доцент А.А.Бддельбаев

ООцая характеристика работы.

Актуальность темы. Основным вопросом теории разностных, схем является изучение сходимости и порядка точности схемы,который сводится к изучении погрешности апроксимзцаи а устойчивости, тоесть к получению априорных оценок.Коэрцитивные оценки являются другим видом априорных оценок.Этому вопросу посвящены работы В.Б Андреева.Н.С.Бзхвалова,Е.Г.Дьяконова.Г.Е.Соболэвского, Н. Т.Данаева А.Т.Булабаева.з.гигвПэ.Сшнки ко&рцитивности.ваззш прл анализе вопроса о устойчивости разностных схем я вопроса сходимости решений разностных схем к решениям соотвэтствущих дифференциальных уравнений.Как показала работы Б.Муслкмова Ы.О.Отэл-боэва.Б.С.Смзилова.А.Т.Булабоева дискретный вариант усреднения М.О.Отвлбаэва являэтся эффектным инструментом при исследования вопросов о'разностных теоремах влозенкя,свойств разностные операторов и.т.п. В данной работе,используя различные вида дискретных усреднений исследованы вопросы накгшя коэрцитивных оценок для реаения некоторых разностых уравнеязй!.

Целщработн является изучение вопросов существования,единственности и наличие коэрцитивных оценок для решений некоторых разностных аналогов сингулярных краевых задач двучленных дифференциальных уравнений,как четного (четвертого),так и нечетного (третьего) порядков на равномерной сетке в 1р,1<р<».

Методика исследования.Метод примененный в данной дассертагати является разностным аналогом классических методов парачэтрккс К.Х.Бойматова.М.Отелбаэва я ?/.этода локализации М.Отелбаева,которые применяются при изучении вопроса о разделимости дифференциальных операторов (разностный метод построения функции Грина). Научная новизна состоит в нахоздония новых условий на кл-ссы потенциалов я весов, обеспечивающих, существование,единственность и суммируемость с весом решений з 1 некоторых краевых задач для

разностных аналогов двучленных дифференциальных уравнений как четного 'четвертого),так и нечетного (третьего) порядксв.кр-с®. Теоретическая и .практическая .ценность.Работа носит теоретический характер.Результаты диссертационной работы могут найти пргавне-ние при численном решении дкффэрвьцияльпих уравнений с переменными -^эффициэнтами,исследовании-вопросов устойчивости разностных сл..м,в спектральной теории матриц.

- А -

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались к оОсуиалясь Н8 научно-теоротичоскоы семинаре "Числошш методы механики оплошной среды" под руководством профессора '¿.С.Сна -гулова (Алаа-Ата,КазГУЛЭ90,1992),на научно-теоретическом наре под руководством профессора Д.У.Умбетжанова (Алма-Ата, АН РК 1992) на научно-теоретическом семинаре под руководством члена-корреспондента АН ПС К.К.Касымова,(Алма-Ата.КьзГУ.1993) на научно-теоретическом семинаре под руководством члена-корреспондента АН РК Ы.О.Отелбаваа (Караганда. 1993),на научно-теоретическом семинаро под руководством зав.лаб."мат.анализа" ИТПЫ АН 1"К к.ф.м.н Р.О.Ойнаровл(Алма-Ата, 1992).

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в рябо-тах [1-41.

Структура и обьем роботы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы общим обьемом 120 стр.Список литературы включает 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. "Диссертационная работа состоит из введения, двух . глав и списка литературы.

Во введении кратко изложены основные результаты диссертации. Первая глава состоит из введения и вести параграфе в, б которых иссле.г7':".~я разностный аналог сингулярной краевой задачи для двучлен1::,го дифференциального уравнения четвертого порядка на равномерной сетке. Во введении дается постановке задачи, вводится оператор:

(Ь,+ХЕ)у - --, + (а+Х )у , с областью определения

^ " (2ЬГ

Р(1)=|у: У € К4 , (2. ), 11е -г=0, 1-0,1,2,:

1 *',1ос 1-1-я. г?ы«-

где здесь и дал-:>е приняты обозначения у^утг.). 2 множество действительных чисел

множество векторов 7=iy„,n€Z> таето, что £ |yniPh<®. 0<h^1),

п я-<9 *

W4 mhcsoctbo векторов y = {y , ne?) такнз, что

p

h*

h ♦ s |yj«b < ».

потенциальный Еектср q={qn,nç2') такой, что для лгбсго nçZ. 3 первом параграфа вводятся следугвЕэ вектора :

I-4P р ¿р

n*(ii,A.)=mln

J?0:(2J+1) ' (а +А.) Ь. если (о

V { I )

эсли (q^+MiT^I (2п*+1 )h веди

[(оп+>.) Ь.]1_4р если

(2)

и исследуются априорные свойства.

Определение 1.1. Пусть потенциальный вектор q=(q^(h), ne?) > 1. Будем говорить q ç йр(е), если найдутся постоянные e>Q, то>0 таете, что при neZ и Х>Хо>0, где \о - достаточно большое число и для лгбого h€(0,1J выполняются неравенства :

(S* !4„-^-(<V,-Mifh>P < -^i" +p если n*=0

* 4 T 1 "

n»iii»iein >»« -Л p — о

(S . (Ml h)p « —d, " если

••-Mll'Zîln 1-» X

Доказывается лемма 1.3, что при ea$st выполняется вклгчение = ^p(si). В салу этого включения далее изучаем случай

0< s < 0,5.

В §2 изучается конструкция н свойства функции Грина G^ m(q) краевой задачи

аУ

W

ч\ « i

11а--= О

Ы-о (2П/1

U1.

1=0.1,2,3

(3)

где q > 1 - const Рассмотрим однородное уравнение;

A4yn + 16q4n*y„ - 0

Решение однородного уравнения идем в виде y^V Сундвментальная система репениа уравнения (5) выписывается в виде:

(4)

(5)

К- (q'h'-*qh/1*/ Ua/ha +УUq'b4) сос2г*р

(q'hVqh/'+/1 J- ■n/nqV +/ l+q^) elr^i^

V*. * n ■(q'h'-qhSи/ 1-qV J- iVuqV

(q V-qh/!+/ WqV J- 1+/ HqV

(6)

Отыэтик некоторые свойства Фундаментальной системы; Dp, >1 2) Pi €(0.1)

Сцравод.-зеы слэдупзе соотноаення для 1=1,2,3,4 Леь»в 2.1.

(2h)

qk(qh + / 1+qVjlp, Г0(1) 1-1,2; k-1,3

(2й) а'У:

^ = qk(qh - V/Uq2hI)|pirO(1) 1=3,/; К=1,:

•-- - <ДО<1)

(2b)1

ГЛ9 £fc при K=1 означает A.

1=1,2,3,4

- 7 -

11а основании ленда 2.1 до лаем вывод:

Я =

у;

К

к ау!

у:

211 2Ь 2Ь 2П

Л У„

<2Ъ)* (2И>* (2И)а

д'у1 " п Л Уп

= гд5^«^-"-^)"2 (7)

обозначены положительны»

(211)* (211)" (2д)3 (2Ь)а где здесь и далее через

константы, не зависящие от Ь,п,£ Д.Обозначим , 3=1,2; 7*=

. Для решения задачи (3)-(4-) введем слэдугаггэ функцкз:

и1 т и* т 7* 14 7» т

да1 т V Л71 т <

211 2Ь 211

А* и* т Агиг т А*7* т Дг7* т

(2Ю1 (2И)" (211)" (2И):

и1 п и1 г> 71 Л 7* Г»

(3)

.С. ■ ;

г-Е 7квк к=. п га

Е и1А

П I

Ч1

п т

если теп

если ®>п

Здэс:. И - Вронскиан (7), А^, В* - соответственно алгебраические дополнения элементов и^, т^ в определителе (3).

Справедлива сдедувдая ллылга 2.2. При лвОых ш€-Г г.£Ц1аввдл1ви неравенства:

сах

Л*С ((|) Л'С (а)

яг» 1 Г» »'

1

» Л/ - »|г>-«»|»1

» "У-, 7 « 1 " I •» __

< -г— где 8-0,3

Ч

где шашй индекс в зашей ¿* означает здесь и далее взятие е-ой разности по данной переменной. . Додаа 2.3. Для любой фунхции 1£р<® решение задача

(0.5)—(0-6) существует единственно и зад.адгея формулой:

♦со

у. - 2 с „ (4)1.11

«чг-СО *

Пусть ч » {с^,пе2} е £,(е), о<е*о,5. Е 53 строим специальное покрытие множества 2 отрезками

<1! )к-1

Е это« покрути; задали* пачки = у и^ ,

где = (21+1)3 к=0,1.2... 1 > 0 - натуральное число, подлехасее выбору.

I

Обозначим й = й + £ 1(1 (X) - <1 (X))

П П ** Г> Г»

\ V

Для дальнейшего ваше лемма 3.1.

Для каждого фиксированного натурального 1?Ю сувэствует Хо 1) такое, что при всех Х>Хо(1) выполняется неравенства: .

5

гч

— < -— 4 с£, > 1 К=0,х1,±2...

причем а* 1 при \ -» «о (1 - фиксированно).

Пусть 3 =

а. (*>

.8а» Ь

■ ЕА)

Построим последовательность "пробных" векторов ф слэдупята образом:

п

ФЧ

о

(К1+1))'

(3+1)* ((23-1-1)1)* + ---

4Г

1

1-

^а+п3

((3-1)(3+1-1))а 434

если п<п~ -23

если п=п~-23+1,К1<3 'к

если п=п~-3+1,К1<3-1

если пеЛ.,,

если. П=П++1+1 ,СХ1<3-2 'к

если п=п*+3+1 ,СК1^М

если пЗп* +23 'к

1 Л I1!1 ,-г

Нетрудно заметить, что А <рп , 1=1.4

Лзммз 3.2 Кратность пересечения носителей ф равна двум.

О

Введем функции 1„Д И)' к«0,±1.±2

IV

-

1 если пеЛ^ О если п^Л^

Ниже потребуются оператора Н^,

м

п. л

? Ф^сГ с «С Ы)Хп\ь)Ъ (10)

к ■ -СО т~~са *

1-. ГС . т(й (\))

Д к п п.

^±0 \ -к» 'к

* ' к »-СО (¿П) •>»-!

к-ю (2Ь)1" " —00 (211)*

\

где г=0.4; в=0,4; з^, гп=гп пеЛ^

'к

©(М^ГКК^^зГ)^^, где 0 либо О, либо 1.

Основой для последущего исследования является: Леша 3.3 Норма оператора допускает оценку

I-« 4-1-1- «Хр

I кг..,г,й II < а. "«.>«2 ¡ГП|РЬ)

р р ..] i_^

«♦I Э.з.

где _П^=и ип, ып=[п-[2еп ],п+[гвп ]].

В §§ 3-4 на основе получонанх оценок операторов доказывается включение Я(М^) с 0(1) и основное тождество (лемма 4.3).

Леша 4.3 Существуют числа 1 я XQ такие, что при \>X0(s) для всех 1 € имеет место тоадвство:

* K+vWr. -

причем ГГ|Х „г < 0.5. '

Р г

Основным результатом этого параграфа являетсяî

Теорема 4.1 Пусть q=(qr>, € JCp(e), 0<е«0,5. Существует

число Х0(е) такое, что при всех пшот место формула

(представления резольвенты а.Отелбаева):

В 55 доказывается следупаая основная теорема этой главы. Теорема 5.1 Пусть г € lp, q^Cq^.neZ) е £р(е). 0< е «0,5.

А*

Тогда гои всех Г«Ï оператор г( )-(Ь+Ш~*, е=0,3

р (2Ь)

ограничен в тогда и только тогда, когда s(q,r)<=>.

1

А-т----р 1/р

Здесь n(q,r) « вир йп *(*)(£ frj h)

I—

Следсгвие 5.1. Пусть q € £р(е), 0< es 0,5. Тогда при всег к/ка (£) выполняется оценка козрцитаьностп (12'), т.е. ого-

рэтор \ разделим. j(12,)

Теорема 5.1, полученная в §5, имеет характер обоего признака и для приложений могут быть конкретизированы вплоть до условий, вырахекных в терминах непосредственной исходной потенциальной функции, лороадзхсей функцию q = {qiti€2}.

Положкм оп(Ь)=я(1Л)=я(г), тогда имеем в §6 достаточные условия разделимости оператора Ь, Бырзженные в терминах коэффициента дШ.

Теорема 6.1 Пусть фунхция q( ) удовлетворяет условиям (12)—(13)

)>1 (12) 1Ч(гН1(1)1<ЗДа(х)|х-1;|Р если ^-^[^вах^.—г;} (13)

Л}(х) 7 > 1 0 < р <1

Тогда для любой правой части уравнение (0.1)

имеет единственное решение у € 1>(Ь), причем выполняется априорная оценка.

Вторая глава состоит из введения и пяти параграфов. Здесь исследуется двучленное дифференциальное уравнение третьего порядка па равномерной сетке, вводится оператор: *

(ЬЛЕ)у =-- + (о +>.)у с областью определения

(211)* " .

^ У : У- € ^.Юо«». = ° 1=0И'2 ^

где здесь и далее приняты обозначения у =у(пЬ), а =q(nh),

Л3"-

Ь Шп

Веедем следующие определения: Определение 2.1.

п*(Ь,Х)=т1л 1

J>0: (23+1)' ' (^иГь'если^Ш* <1

, (Н)

О есыта^+МЬ >1

й (Ь.Х)=

<1

(2п*+1)Ь если (с^+Ш <1

Р — -з (15)

((с^+Х) ПГ "" если >1

Определение 2.2. Пусть 1 < ч € Будем говорить, что

е>0, если найдутся постоянные е>0 и т>0 такие, что при всех и Х^Хо>0, где Х0 - достаточно большое

число, и для любого Ьс(0,1 ] выполняются неравенства:

»1 ■ - • | р - I а -»- - ^

<Е • Ч^-'Ч^Н<р если п =0

•»♦«л-* \

♦ « *С I

-в р - й» -

(Е . Ю* < —Л, р если п

1-1 X

На рспросы, приводимые в главе 2, отвечают нихе приводимые результат.'. Их доказательства вполне аналогичны доказательствам 5.1,5.2,6.1 и поэтому опудакы, а разница в построении функции Грина и "пробных" Функций приведена в данной главе. Поэтому перейдем к результатам главы 2.

Теорема 5.1. Пусть г € 1р, € Кр(б). 0<еЗ),5,

Тогда для любом вектора 1 «1р уравнение (13') имеет единствен-

Л'

л ______

ное решение у€Р(Ь). Причем операторы г( )-^(1^+ХЕГ*, в=0,3

(211)

к

•■<->/г л Р -

ограничен в U. если m(q,r)»eup d (М( £ . |rj h) <"

Теорема 6.2. Пуоть q*Ap(«), r»Zp. Еолн операторы

л«

Г( )—2-(L+хЕ) . s-073 ограничены в Î , то m(q,r)<®.

(2h)* r Следствие 5.1. Пусть q«Kp(«),*>0. Тогда при для любой

правой части i«î . Уравнение (12') шэет едатотьонно« рбшэнка

уео(Ь), причем выполняется оценка (12'), т.е. osapaîop Iy

разделим.

Терема G.I. Пусть q( ) удовлетворяют условиям;

q( Об)

есЛи |x-ti£carChe,—(1?)

Ц ( X J )

r> 1 ОсуЭ 1 (18)

Тогда для любой правой чаота fçl^, 1s:p<«» уравнение (I?) ик^ат

единственное ресеже y<;0(L),причем имеет моете оценка (12').

Дале» приводим примеры что q(t)«t**1, q(t)-е'*' удовлетворяют

условиям (16)-(18)

Основные результаты диссэртацли опубликованы в работах

I.Оаханов Н.Н.Булабаев А.Т О необходимых условиях суммируемости с восон рэшвния разностного уравнения четвертого порядка.Рукопись доп.в ВИНИТИ 17.XI.1992.11 327I-B92 20с

З.Саханов h.H ВулаЗаев А.Т О существовании решения раэноетых

уравнений четвертого порядка.Рукопись деп.а ВИНИТИ I7.lt.I9Ô2 Il 327I-B92 48о

3. Саханов Н.Н.Смагулов Ш.С.Булайаев А.Т О суммируемости С вдоом решения двучленного дифференциального уравнения четвертого порядка ко равномерной сеткв.Рукошюь ДвП.в КаэНШИ КИ 23.12.1992.N 3954-К92 65с

4.Саканэв Н.Н,ЯЯМНМВК_0 сукеяфуемости о ееоом реаешя двучленного с.-Ийрлнциадьного уравнения третьего порядка на равномерной сетке.Рукопись деп.в КазНИШШ 23.12.1992.N 3954-КЭ2

ыазыунцамасы

¡ул вукнотр аея1мн1я бор балуй зона аалгыздыгп, оспаноа б!ргэ Иркьапггм «горда (1<р<») кон1от1г1нде куп (тэртХпз!) гм~э так упХлз!) болотын ек! мушэл! дк{т1врвнцнаддцк тэндэудХн сянгулярлы йкт1к 9соптвр1н1я еЯрмалы тэр1зд! аош1мд9р1 алинада. .

Диссврпцкялнх яумыс кХрХсподен, ек1- бол1маэп зэпэ алшо ^зХмкои турвгиа эдоСиэгтордон аяздлгоп.

МГПОП .КОНТАКТ» МСХП Км. МО чгкиУ;

¡дад РЕСПУШКАСННЬК, БШМ МЙНВС7РЛ1Г1

ЕНБЕК ЦУЗНЛ ТУ ОРДЕНД1 АЛь-ГАРАЗ! АШНДАП1 К^АЗАЦ М2ЫЛЕКЕГТШ УКИВ5РС1ГГЕГ1

флжаэба чу.ынча

С&ханов НуРл&н лаурызбай улы

Ж&Ш К5НЕ ТбРТДШ РЕГГ1 даКЕРЕВД'ЛВДК Тй1ДЕУЛЕРД1Ь^АЙРГ.ЩГг; СХВДШ /ШБЕС1/ ШШУ1НШ, САЛЩГЫ К£СЩфЛАРЫ ТУРАЛЫ

01.01.02 - ди^ферснциалли» тевдеулер

Физика - математика гылычдаркныц кандидаты гылкмл дэрежесхне тздену лиссертациясынщ •АВТОРЕФЕРАТЫ

ММАТЫ, 1993