О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.54

Куликова Ольга Викторовна

О ВЗАИМНЫХ КОММУТАНТАХ НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП В

ГРУППАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

<Р -

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. Ю. Ольшанский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. С. Губа

кандидат физико-математических наук Р. В. Михайлов

Ведущая организация: Ивановский государственный

университет

Защита диссертации состоится 16 июня 2006 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

¿cx>6A

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы, связанные с изучением свойств групп, заданных своими копредставлениями, являются одними из основных в теории групп. Так, в настоящее время уделяется большое внимание исследованию зависимостей между соотношениями в копредставлении (yl|i?i, Д2), в котором множество определяющих соотношений разделено на непересекающиеся подмножества. Фактор-группа iViDJV^/fJVx, N2] является естественной мерой сократимости между множествами R\ и i?2, где через Ni и N2 обозначены нормальные замыкания в свободной группе с алфавитом А множеств Ri и i?2, соответственно. Множества соотношений i?i и R2, для которых Ni П N2 = [Ni} N2], (такие множества называются независимыми) и их свойства изучались P.C. Лин-доном1, М.А. Гутиеррезом и Дж.Г. Ратклиффом2, Дж. Хубшманном3, Н.Д. Гильбертом4 и др.

Мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах по модулю их коммутанта также является следующий результат Гутиерреза-Ратклиффа. Пусть связный двумерный комплекс К представим как объединение двух подкомплексов К = Ki U К2 так, что К\ П есть в точности одномерный остов комплекса К. Тогда имеет место следующая точная последовательность ni(K)~модулей2 (см. также статью С.В. Матвеева5):

О чЫКг)) ® г2(тг2(*2)) тг2(К) -> ^^ 0, (1)

где ¿ь ¿2 - гомоморфизмы гомотопических модулей, индуцированные вложением комплексов, Л^ := кег{7Тх(/Сх ПК2) -» щ{К})}, ] == 1,2. Коядро в последовательности (1) есть в точности Р/Л^Л^-модуль , где .Р = щ{К\ П К2). Таким образом, изучение некоторых вопросов об

Lyndon, Dependence and independence in free groups, 3. Reine Angew Math. 210, 1962,

148-174.

2M.A. Gutiérrez, J-G. Ratcliffe, On the second homotopy group, Quart. J Math. Oxford (2) 32, 1981, 45-55.

Huebschmann, Asphericai ¿-complexes and an unsettled problem of J.H. C. Whitehead, Math. Алл. 258 1981, 17-37.

Gilbert, Identities between sets of relations, Journal of Pure and Applied Algebra 83 (1993), pp. 263-276.

Матвеев, О структуре второй гомотопической группы, Записки научных семинаров Ленинградского Отделения Математического Института им. В.А.Стеклова, Исследования по топологии, Т.143, 1985,147-155.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

ОЭ 200б>кт

описании гомотопических свойств двумерных комплексов через свойства собственных подкомплексов естественным образом сводится к изучению модулей Да. Типичным применением последовательности (1) является теоретико-групповая переформулировка гипотезы асферичности Уайтхеда, данная В.А. Богли6.

Гипотеза асферичности Уайтхеда7 утверждает, что любой связный подкомплекс асферичного двумерного клеточного комплекса асферичен. Этой гипотезе уделяется огромное внимание (смотри, например, работы6,8,9'10'11 и ссылки, данные в этих работах). Гипотеза асферичности Уайтхеда остается недоказанной даже в случае комплексов с конечным числом клеток.

Например, в работе М.А. Гутиерреза и Дж.Г. Ратклиффа2 гипотеза асферичности Уайтхеда переформулирована следующим образом: если любое определяющее соотношение копредставления (А|Л) является независимым, то любое определяющее соотношение его любого подко-представления является независимым. При этом определяющее соотношение называется независимым, если множество, состоящее только из этого соотношения, и множество, содержащее все остальные соотношения копредставления, являются независимыми.

Используя свойства последовательности (1) в сочетании с гомологическими методами, Р.В. Михайлов в работах12,13 показал, что препятствия к конечной гипотезе Уайтхеда при условии гипотезы Андрюса-Кертиса лежат в трансфинитных факторах групп типа .РДЛ^, N2). Также в упомянутых работах построены группы типа Р/[Ы\, ЛГ2] с длинными производными рядами.

sw. А. Bogley, J. H С. Whitehead's asphericity question, Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory, London Math. Soc. Lecture Note Set., 197, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1993), 309-334.

7J.H.C. Whitehead, On adding relations to homotopy groups, Ann Math, 42, 1941, 409-428. Brandenberg and M. Dyer, On J.H.C. Whitehead's aspherical question I, Comment. Math.

Helvetia, 56 (1981), 431-446.

"j. Brandenberg, M. Dyer and R. Strebel, On J.H.C. Whitehead's aspherical question II, in. Low-dimensional Topology (S.L.Lomonaco, ed.), Contemporaty Mathematics, 20 (1983), 65-78.

I0J. Howie,Some remarks on a problem of J.H.C. Whitehead , Toplogy, 22,1983, 475-485.

llj. Huebschmann, Aspherical ¿-complexes and an unsettled problem of J.H.C. Whitehead, Math. Ann. 268 1981, 17-37.

12P.B. Михайлов, О нилъпотентной и разрешимой аппроксимируемости групп, Мат. Сб. 196

(2005), 109-126.

1^Р.В. Михайлов, Точные действия групп и асферичные комплексы, Труды МИАН, 262

(2006), 184-193.

Другой мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах по модулю их коммутанта является следующий результат Р. Брауна. Пусть Р - некоторая группа, N\, N2 -нормальные подгруппы в Р. Рассмотрим следующий универсальный гомотопический квадрат:

К(р, 1) K(P/N2,1)

| (2) К{Р/ИЪ1) —► X,

где K(G, 1) - классифицирующее пространство группы G, а гь г2 индуцированы эпиморфизмами Р —> P/Ni,i = 1,2. Гомотопическую амальгаму X, заданную диаграммой (2), будем обозначать через MptNlt^2. Тогда, по теореме Зейферта-ван Кампена (Theorem 2.114) имеем

Tri(MP<NuNl) ~ P/NiNi.

Второй гомотопический модуль амальгамы есть15:

n2(MPtNuNl) = (3)

Этот результат Р. Брауна, в частности, позволяет дать гомотопическую интерпретацию ядер свободных центральных расширений групп.

Интерпретация групп типа ¡^^ в гомотопических терминах приводит также к простому построению некоторых точных последовательностей. Пусть G - группа, N\,N2- нормальные подгруппы в G, Р = NiN2. Следующая точная последовательность была получена в работе15 как часть последовательности Майера-Виеториса для универсального квадрата (2):

н2(Р) -> Н2(Р/т) ф H2(P/N2) ->

Я,(Р) H^P/Ni) ф Hi(P/N2) 0. (4)

Все члены последовательности (4) являются модулями над групповым кольцом Z[G/P] в случае, когда действие индуцируется сопряжением в группе G.

Maseey, Algebraic topology: An introduction, Harcourt, Brace and World, Inc., New York,

1967.

Brown, Coproducts of crossed P-modules: applications to second homotopy groups and to the homology of groups, Topology, 23, (1984), 337-345.

Пусть F - свободная группа, а М и N - нормальные подгруппы в F. Вызывает интерес естественный вопрос: при каких условиях факторгруппа F/[M, N] задается конечным числом определяющих соотношений?

Случай М = N уже рассматривался ранее. Например, из теоремы 5.3 работы A.JI. Шмелькина16 следует, что если F - конечно порожденная свободная группа, а N - нормальное замыкание конечного множества слов в F, то F/[N, TV] задается конечным числом определяющих соотношений тогда и только тогда, когда N имеет конечный индекс в F.

В статье Дж. Абарбанеля и Ш. Россета17 содержится лемма о том, что если М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной группе F, и группа MN - конечного индекса в F, тогда [М, 7V] является нормальным замыканием конечного множества элементов.

Условие нормальной конечной порожденное™ подгрупп М и N в этой лемме Дж. Абарбанеля и Ш. Россета является существенным. Так, в работе17 авторы, ссылаясь на работы18'19, приводят некоторые примеры, когда группа [F, TV] конечно порождена и когда бесконечно порождена как нормальная подгруппа в зависимости от группы N, не порождаемой как нормальная подгруппа никаким конечным множеством.

Также в работе17 (и20) рассматривается случай, когда индекс группы MN в F бесконечен, и показано, что в этом случае группа F/[M, iV] не задается конечным числом определяющих соотношений, если группы М и N не являются единичными и исключительными. При этом группы М, N называются исключительными, если выполнены следующие 3 условия (считают, не ограничивая общности, что М С 71 (MN),N С 7„(MN), где п - максимальное такое число):

1) F/MN не имеет нетривиальных нильпотентных образов без кручения такой же мощности, что и F/MN;

2) N С 7„+i(F);

3) in{MN)/N'yn+i{MN) не конечно порождена.

Шмелькин, Сплетения и многообразия групп, Известия АН СССР, сер мат., 1965, 29:1, 149-170.

17J. Abarbanel and S. Rosset, The Schur multiplier of F/[R,S], J. Pure Appl. Algebra, 2005, 198, 1-8.

18H . Abels, An Example of a Finitely Presented Solvable Group, Homological Group Theory, London Mathematical Society Lecture Notes Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1979, vol. 36, pp.205-211.

^J.R-J. Groves, Finitely presented centre-by-metabelian groups, J. London Math.Soc , 1978,18(2), 65-69.

2°G. Baumslag, R. Strebel and W. Thomson, On the mutttplicator of F/-ycH, J. Pure Appl. Algebra, 1980, 16, 121-132.

Оставался открытым вопрос: является ли конечность индекса группы МТУ в свободной группе Р необходимым условием для того, чтобы группа Р/[М, ТУ] могла быть задана конечным числом определяющих соотношений для неединичных нормальных подгрупп М и N7 В диссертации дается ответ на этот вопрос.

Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является изучение свойств взаимных коммутантов нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе, нахождение условий равенства пересечения двух нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе с их взаимным коммутантом и нахождение критериев для конечной определенности фактор-группы свободной группы по взаимному коммутанту двух нормальных подгрупп.

Научная новизна. В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие.

1. Исследован вопрос о совпадении пересечения двух нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе с их взаимным коммутантом. В геометрических терминах, так называемых картинок, получен критерий, при выполнении которого эти группы совпадают друг с другом. Также получен ряд следствий этого общего критерия.

2. При условии (относительной) асферичности фактор-группы О/Йц изучены взаимный коммутант вида [ТУд, С?] и строение центральной подгруппы С?] в центральном расширении С] группы С?/ЛГд для произвольной группы С, затем полученные результаты применены к гиперболическим группам <2.

Основные методы исследования. В диссертации используются методы и результаты теории групп: геометрические методы теории групп, свойства нильпотентных групп и вербальных сплетений и свойства гиперболических групп.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы как в теории групп, при изучении вопросов о зависимостях между множествами определяющих соотношений, так и в алгебраической топологии.

б

Апробация результатов. Основные результаты работы неоднократно докладывались на следующих семинарах МГУ им. М.В. Ломоносова: "Научно-исследовательский семинар по алгебре", семинар "Теория групп"под руководством профессоров Шмелькина А.Л., Ольшанского А.Ю. и доцента Клячко А.А.; а также на "Topology & Group Theory Seminar "университета Vanderbilt (Нэшвилл, США, 2004 г.), а также на следующих конференциях:

(1) Международная алгебраическая конференции, посвященная 250-летию Московского Университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, МГУ, Москва, 26 мая - 2 июня 2004 г.

(2) Международная алгебраическая конференция, К 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина, Екатеринбург, Россия, 29 августа - 3 сентября 2005 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех частей и списка литературы, который включает 43 наименований. Полный объем диссертации - 93 страницы.

Краткое содержание работы

Первая часть диссертации посвящена исследованию условий, при которых в свободной группе взаимный коммутант двух нормальных подгрупп равен их пересечению.

Пусть R\viR2- симметризованные множества циклически приведенных слов из свободной группы F — F{A) с алфавитом A, a Ni (соотв., N2) - нормальное замыкание множества Ri (соотв., R2) в F.

Определение 1.2. Будем говорить, что копредстпавление G — (А \ R1 U Я2) является слабо {Ri, R2)-отделимым (соотв., слабо (R2, Ri)-отделимым) или удовлетворяет условию слабой (R\, R2)-отделимости (соотв., слабой (R2, Ri)-отделимости), если в любой приведенной сферической картинке Р, содержащей одновременно Ri-вершины и R2-вершины, найдется простой замкнутый путь у, разделяющий сферу на два диска и удовлетворяющий следующим трем условиям:

1) оба эти диска содержат вершины;

2) Lab{7) € [М.ЛУ/

3) если один ш дисков содержит только Яг-вершины (соотв., только Яг-вершины), то другой диск содержит только Я2-вершины (соотв., только Яг-вершины).

Теорема 1.1. Копредставление С? = (А \ Яг и Д2) является слабо (Яг, Яг)-отделимым (аналогично, слабо (Я2, Яг)-отделимым) тогда и только тогда, когда ЛГг п N2 = [Л^х, N2] в свободной группе Р = Р(А).

Далее приводится ряд следствий из этой теоремы. В частности, получается уже известный результат (смотри теорему 1 в работе2) о том, что если копредставление (А | Яг, Яг) является асферическим (например, оно удовлетворяет условиям малых сокращений С(р)&Т(д), где

I 1/р + 1/д = 1/2), тогда выполняется равенство Л^ П N2 — [М, N2] ■

Также из теоремы 1.1 легко следует теорема Линдона (теорема 2.4 в работе1).

Во второй части результаты первой части обобщаются на пары нормальных подгрупп произвольной группы.

Пусть Н - некоторая группа, заданная копредставлением {А\0). Обозначим через N нормальное замыкание множества О в свободной группе Р с алфавитом А. Рассмотрим два множества элементов Яг, Я2 С Н

* такие, что ?г ф в Я для любых гх е Ях, гг € Яг и < € Я. Обозначим через N1 нормальное замыкание множества Я в Я, где г = 1,2. Пусть Ф : F —> Н - канонический гомоморфизм. Каждый элемент

* г € Я» поднимается в свободную группу Р до некоторого приведенного слова г. Обозначим через Я, наименьшее симметризованное множество, содержащее {г|г б Я*}, где г = 1,2.

Определение 2.2. Пусть Яг и Яг - два множества слов в алфавите А. Будем говорить, что копредставление (9 = {А | Ях и Яг и О) является слабо (Ях, Я2)о-отделимым или удовлетворяет условию слабой (Яг, Я2)о-отделимости, если в любой (относительно) приведенной сферической картинке Р, содержащей как Яг-вершины, так и Я2-вершины, найдется простой замкнутый путь 7, делящий сферу на два диска так, что выполняются следующие условия:

1) оба диска содержат Я-вершины;

2) ЬаЬ(Т)е[^х,7\Г2].^;

3) если один из дисков не содержит Яг-вершин, то другой не содержит Яг-вершин.

Теорема 2.1. Копредставление G = {А | R\ U R2 U О) является слабо (Ri, R2)о-отделимым тогда и только тогда, когда Ñi П Ñ2 = [M, Ñ2] в группе H — (А\0).

В частности, показано, что если копредставление {А | R\, R2,0) (относительно) асферично (определение относительной асферичности дано в §5), то равенство выполняется для Ri (г = 1,2), равного образу множества Ri в группе Н.

Например, этот результат можно применить в случае, когда группа Я =< А\0 > - гиперболическая группа, a R\ U R2 удовлетворяют С(е, /х, Л, с, р)— условию малых сокращений (определение дается в параграфе §7), введенному А.Ю. Ольшанским21 для построения индуктивных пределов гиперболических групп с предписанными свойствами. Также этот результат можно применить к относительным копредстав-лениям, рассматриваемым В.А. Богли и С.Дж. Прайдом22.

В третьей части диссертации получены следующие результаты.

Пусть теперь G - некоторая группа, заданная копредставлением {А\0). Через Ф обозначим канонический гомоморфизм из свободной группы F = F (А) на группу G с ядром N. И пусть группа G\ задана копредставлением {А\0 U R), где R - некоторое симметризованное множество циклически приведенных слов в F. Тогда G\ — G/Ñu, где Nr - образ нормального замыкания Nr множества ^ в F при гомоморфизме Ф. Обозначим через H фактор-группу G/[Ñr, G}. При этом группа H является центральным расширением группы G\ по своей центральной подгруппе ÑR/[ÑR,G].

Возьмем произвольно слово г из подмножества определяющих соотношений R. Все определяющие соотношения из R, которые сопряжены с г в группе G, образуют подмножество в R, которое назовем классом сопряженности относительно группы G или кратко относительным классом сопряженности с представителем г. Множество R разбивается на непересекающиеся относительные классы сопряженности следующим образом: R = (Ц RT) LI(U¿ Rî u где Rf - относительный класс сопряженности, в котором представитель сопряжен в G с обратным к себе словом, R+ - относительный класс сопряженности, в котором представитель не сопряжен в G с обратным к себе словом, а

21A.Yu. Ol'shanskii, On residualing homomorphisms and G-subgroups of hyperbolic groups, International Jornal of Algebra and Computation, vol. 3, no. 4, 365-409, 1993.

Bogley and S J. Pride, Calculating Generators of Кг, Two-dimensional Homotopy Theory and Combinatorial Group Theory, London Math. Soc. Lec Notes Ser , vol. 197 ( ser. П ), 1993

R{ = (R+) г. В каждом относительном классе сопряженности можно выбрать и зафиксировать по представителю (обозначим их соответственно r+ r;,rf]) так, чтобы rt+r~ = 1 в F.

Теорема 3.1. Пусть дано (относительно) асферическое копредстав-ление (14) группы Gi — G/Nr. Тогда

(г) следующие условия для слова х G NrN эквивалентны:

а)xe[F,NR]N;

б) в записи о П Skr^lsk 1, представляющей слово х в F (где о G О, rk е R,sk £ F), сумма показателей при всех г € R^ равна нулю для каждого R^ С R, а сумма показателей при всех г G

/о\ ¡2)

Rit является четной для каждого R^' С R;

(ii) Nr/[Nr, G\ ~ NrN/[Nr, F]N является абелевой группой, пред-ставимой в виде В ф В%, где В свободно порождается множеством элементов {6*}, являющихся образами представителей {rf}, a B<i порождается множеством элементов {б,-2'1} второго порядка, являющихся образами представителей {г®} (т.е. В^ - прямое произведение подгрупп (Ь^) второго порядка).

Теорему 3.1 можно применить в случае, когда G =< А\0 > - гиперболическая группа, а множество R удовлетворяют С(е,ц,Х,с,р)— условию малых сокращений над гиперболическими группами, введенному А.Ю. Ольшанским21 для изучения фактор-групп гиперболических групп. Например, получаются следующие утверждения.

Предложение 3.1. Пусть G — О) ~ гиперболическая группа, и симметризованное копредставление G\ -- (А\0 U R) является (относительно) асферическим. Тогда

(а) если множество относительных классов сопряженности {Д^} С R не пусто, то фактор-группа G/[Nu, G] является элементарной гиперболической тогда и только тогда, когда = 1, #{i2Î?^} < оо, a G\ - конечная, в других случаях она не является гиперболической;

(б) если множество относительных классов сопряженности {jR^} С R пусто, а число классов С R бесконечно, то G/[Nr,G\ не является гиперболической;

(в) если множество относительных классов сопряженности {/2^} С R пусто, а число классов {Я^2^} С R конечно, то G/[Nr,G] - гиперболическая тогда и только тогда, когда G\ - гиперболическая.

Предложение 3.2. Пусть (7 - гиперболическая группа и А > 0. Тогда существует р,о > О такое, что для всех ц 6 (0, /хо] « с ^ 0 существуют е ^ 0 и р > 0 такие, что если симметризованное множество Я в (14) удовлетворяет С(е, ц, А, с, р)—условию, то элемент х имеет конечный порядок в Н = (7] тогда и только тогда, когда либо

х (Е ¿?2> либо х = в /Г, где Ь € Л ~ произвольный элемент из

Н, а элемент у имеет конечный порядок в С или принадлежит централизатору С<?(г) С С? элемента г £ Л® <?лл некоторого Д,-2' с Д.

В частности, эти результаты применимы к фактор-группе <7/[</т, (7], где ^ - элемент бесконечного порядка гиперболической группы С7, а т - достаточно большое число (зависящее от д). При этом в качестве Ят берется множество циклических перестановок слов и;±т, где и) - кратчайшее слово в алфавите А, представляющее элемент д. Тогда N^/[N1^, О] - либо бесконечная циклическая группа (<=> Е(д) = Е+(д), где Е(д) - элементарная подгруппа элемента д, т.е. Е(д) — {х е С7|Э£ = к(х) > 0 : хдкх~1 = д±к}, Е+{д) = {х € С|3к = к(х) > 0 : хдкх~1 = дк} ), либо циклическая группа второго порядка (<==>■ Е(д) ф Е+(д)). По предложению 3.1 имеем

(а) если Е(д) = Е+(д), то Я = С/[N¡^,01 является элементарной тогда и только тогда, когда вх = СУЛ^, - конечная, в других случаях она не является гиперболической;

(б) если Е(д) ф Е+(д), то Н - гиперболическая группа тогда и только тогда, когда (?1 - гиперболическая группа.

К фактор-группе (7/[зт, О] также применимо предложение 3.2. В частности, если Е(д) = Е+(д), то элемент х имеет конечный порядок в Я = О/^Дп,, С] тогда и только тогда, когда х сопряжен в Я с элементом конечного порядка в <7.

В четвертой части диссертации рассматривается следующий вопрос: является ли конечность индекса группы МИ в свободной группе ^ необходимым условием для того, чтобы группа Р/[М, /V] была задана конечным множеством определяющих соотношений для неединичных нормальных подгрупп М и N7 Как показывает следующая теорема, полученная в совместной работе с А.Ю. Ольшанским, ответ на этот вопрос - положительный.

Теорема 4.1. Пусть F - свободная группа, а М и N - неединичные нормальные подгруппы в F. Предположим, что группа MN имеет бесконечный индекс в F. Тогда взаимный коммутант [М, TV] не является нормальным замыканием никакого конечного множества элементов.

Таким образом, в случае, когда М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной свободной группе F, лемма Дж.Абарбанеля и Ш.Россета17 и теорема 4.1 дают следующее утверждение:

Теорема 4.2. Если М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной свободной группе F, то [М, iV] является нормальным замыканием конечного множества элементов тогда и только тогда, когда группа MN имеет конечный индекс в F.

Также из теоремы 4.1 следует, что если F - свободная группа бесконечного ранга, а М и N - неединичные нормальные подгруппы в F, тогда взаимный коммутант [М, jV] не является нормальным замыканием никакого конечного множества элементов.

Отметим также, что в четвертой части диссертации доказываются аналогичные утверждения для группы F/ ^У?]-

Благодарности. Автор глубоко благодарна своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору А.Ю. Ольшанскому за постановку задач и обсуждение методов их решения. Также автор очень признательна доктору физико-математических наук, профессору A.JI. Шмелькину за постоянное внимание к работе.

Автор хотела бы поблагодарить кандидата физико-математических наук, доцента A.A. Клячко, кандидата физико-математических наук Д.В. Осина и М.В. Милентьеву за полезные обсуждения во время подготовки этой работы и кандидата физико-математических наук А. Мина-сяна за ценные замечания. Также автор очень признательна профессору Дж.Г. Ратклиффу, который предоставил автору много статей, связанных с изучаемыми в диссертации вопросами и применяемыми методами.

Работы автора по теме диссертации

(1) О.В. Куликова, Об относительно асферических копредставле-ниях и их центральных расширениях, Фундаментальная и Прикладная Математика, часть 3, том 11 выпуск 2, 2005, 115-125.

(2) О. V. Kulikova, On intersections of normal subgroups in free groups, Algebra and discrete mathematics, Number 1, 36-67, 2003.

(3) O.V. Kulikova, On intersections of normal subgroups in groups, Algebra and discrete mathematics, Number 4, 32-47, 2004.

(4) O.V. Kulikova, On intersections of normal subgroups in groups, Международная алгебраическая конференция, К 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина, Екатеринбург, Россия, 29 августа - 3 сентября 2005 г., Тезисы докладов, Издательство Уральского университета, Екатеринбург, 2005, 8990.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. _ Подписано в печать ¿О. . 06

Формат 60 х 90 I /16 . Усл. печ. л. 0}$

Тираж 100 экз. Заказ /£

Y-Y S3/

m 1521

!

Введение.

Часть 1. О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в свободных группах.

1. Основные определения. Связь между определениями.

2. Формулировка теоремы 1.1. Следствия из теоремы 1.1.

3. Доказательство теоремы 1.1.

3.1. Дополнительные определения.

3.2. Доказательство теоремы 1.1 по модулю предложений 1.1 и 1.2.

3.3. Некоторые допустимые преобразования. Вспомогательные леммы.

3.4. Доказательство предложения 1.1.

3.5. Доказательство предложения 1.2.

4. Некоторые примеры для случая свободной группы и следствия для случая свободных произведений.

4.1. Частный случай пересечения более, чем двух нормальных подгрупп в свободной группе.

4.2. Некоторые примеры.

4.3. Некоторые следствия для случая свободных произведений.

Часть 2. О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в произвольных группах

5. Определения. Связь между определениями.

6. Формулировка теорем и следствий.

7. Некоторые приложения.

8. Доказательство теоремы 2.2.

8.1. Дополнительные определения.

8.2. Доказательство теоремы 2.2 по модулю предложений 2.1 и 2.2.

8.3. Описание допустимых преобразований. Вспомогательные леммы.

8.4. Доказательство предложения 2.1.

8.5. Доказательство предложения 2.2.

Часть 3. Об относительно асферических копредставлениях и их центральных расширениях.

9. Соотношения во взаимном коммутанте [Nr, G). Строение факторгруппы Nr/[Nr,G\.

10. Применение.

Часть 4. О конечной определенности группы F/[M, N].

11. Формулировки результатов о группе F/[M, N].

12. Доказательства результатов для группы F/[M, N].

13. О конечной определенности группы F/ П^Р^ь Nj]. 8G

Вопросы, связанные с изучением свойств групп, заданных своими непредставлениями, являются одними из основных в теории групп. Так, в настоящее время уделяется большое внимание исследованию зависимостей между соотношениями в копредставлении (A\R\,R2), в котором множество определяющих соотношений разделено на непересекающиеся подмножества. Факторгруппа iVi П A^/fiVi, N2] является естественной мерой сократимости между множествами R\ и R2, где через iVi и N2 обозначены нормальные замыкания в свободной группе с алфавитом А множеств R\ и R2, соответственно. Множества соотношений R\ и R2, для которых N1ON2 = [iVi, N2], (такие множества называются независимыми) и их свойства изучались Р.С.Линдоном в [26], М.А.Гутиеррезом и Дж.Г.Ратклиффом в [17], Дж.Хубшманном в [21], Н.Д.Гильбертом в [14] и др.

Мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах по модулю их коммутанта также является следующий результат Гутиерреза-Ратклиффа. Пусть связный 2-комилекс К представим как объединение двух подкомплексов К = К\ U К2 так, что К\ П К2 есть в точности 1-скелет комплекса К. Тогда имеет место следующая точная последовательность 7Г1(^)-модулей [17] (см. также статью [29]):

О гхМДГО) е г2(7Г2(К2)) -> тг2(К) -> ^^ 0, (1) где г*1,22 гомоморфизмы гомотопических модулей, индуцированные вложением комплексов, Nj := кег^^хП-Кг) —> j = 1,2. Коядро в последовательности (1) есть в точности F/Л^Л^-модуль щщ, где F — it\(Ki П К2). Таким образом, изучение некоторых вопросов об описании гомотопических свойств 2-комплексов через свойства собственных подкомплексов естественным образом сводится к изучению модулей ру^^р Типичным применением последовательности (1) является теоретико-групповая переформулировка гипотезы асферичности Уайтхеда, данная В.А.Богли [5].

Гипотеза асферичности Уайтхеда [39] утверждает, что любой связный подкомплекс асферичного двумерного клеточного комплекса асферичен. Этой гипотезе уделяется огромное внимание (смотри, к примеру, [8], [9], [18], [21], [5] и ссылки, данные в этих работах).

Например, в работе М.А.Гутиерреза и Дж.Г.Ратклиффа [17] гипотеза асферичности Уайтхеда переформулирована следующим образом: если любое определяющее соотношение конредставления (Л|Д) является независимым, то любое определяющее соотношение любого подкопредставления является независимым. При этом определяющее соотношение называется независимым, если множество, состоящее только из этого соотношения, и множество, содержащее все остальные соотношения копредставления, являются независимыми.

Гипотеза асферичности Уайтхеда остается недоказанной даже в случае комплексов с конечным числом клеток. Наиболее интересный случай, для которого гипотеза Уайтхеда не доказана, - это случай трехклеточного стягиваемого комплекса. Последовательность (1) появляется в данном направлении следующим образом. Пусть сбалансированное копредставление тривиальной группы. Хорошо известно, что сбалансированное копредставление тривиальной группы асферично (в смысле, что 7Г2 (К) = 0, где К - его двумерный комплекс) и соответствующий стандартный двумерный комплекс, построенный по (2) (с одной 0-мерной клеткой, тремя 1-мерными клетками и тремя 2-мерными), является стягиваемым. Важным случаем гипотезы Уайтхеда является утверждение об асферичности копредставления, полученного из (2) удалением одного соотношения:

Обозначим через R\ и R2 нормальные замыкания слов г\ и в свободной группе с базисом х\, Х2, х3. Классическая теорема Коккрофта [24] утверждает, что подкомплексы стягиваемых двумерных комплексов, содержащие ровно одну двумерную клетку, являются асферическими. Последовательность (1) теперь влечет эквивалентность следующих утверждений:

1) копредставление (3) асферично (в смысле, что тг2(К') = 0, где К' - его двумерный комплекс);

2) имеет место равенство Rif] R2 = R2].

Используя свойства последовательности (1) в сочетании с гомологическими методами, Р.В.Михайлов в работах [30], [31] показал, что препятствия к конечной гипотезе Уайтхеда при условии гипотезы Андрюеа-Кертиса лежат в трансфинитных факторах групп типа F/[N\, Л^]. Также в упомянутых работах построены группы типа F/[N\, N2] с длинными производными рядами.

Другой мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах но модулю их коммутанта является следующий хг,х2,х3 | ri,r2,r3)

2) xi,x2jx3 I rbr2).

3) результат Р.Брауна. Пусть Р - некоторая группа, Ni,N2 - нормальные подгруппы в Р. Рассмотрим следующий универсальный гомотопический квадрат:

К(Р, 1) k(p/n2,1) ii[ j (4) k(p/nu 1) -► x, где K(G, 1) - классифицирующее пространство группы G, а 21,22 индуцированы эпиморфизмами Р —> P/Ni,i = 1,2. Гомотопическую амальгаму X, заданную диаграммой (4), будем обозначать через Mf>jvbjv2- Тогда, по теореме Зейферта-ван Кампена (Theorem 2.1 [28]) имеем

7Г1 {MPjNuN2) ~ P/MiV2.

Второй гомотопический модуль амальгамы есть [10]:

NiHN2 , ч

7Г2(Mp,Nl,N2) = • (5)

Этот результат Р.Брауна, в частности, позволяет дать гомотопическую интерпретацию ядер свободных центральных расширений групп. Пусть F -свободная группа, R - нормальная подгруппа в F. Рассмотрим классифицирующее пространство K(F/R, 1) группы F/R, 1-мерный остов которого построен в соответствии с выбором некоторого базиса в свободной группе F. Далее, заклеим все 1-мерные клетки 1-мерного остова K(F/R, 1) 2-мерными дисками. Полученный клеточный комплекс обозначим K(F/R, 1). Тогда (5) есть просто изоморфизм абелевых групп: tt2(K(F/R, 1 ))~R/[F,R].

Интерпретация групп типа щрщ в гомотопических терминах приводит к простому построению некоторых точных последовательностей. Пусть G -группа, iVi, N2 - нормальные подгруппы в G, Р = N\N2. Следующая точная последовательность была получена в [10] как часть последовательности Майера-Виеториса для универсального квадрата (4): л2(Р) -> Я2(РМ) 0 H2(P/N2) jgg i(p) hi(p/ni) e h1(p/n2) 0. (6)

Все члены последовательности (6) являются модулями над групповым кольцом h[G/P\ в случае, когда действие индуцируется сопряжением в группе G. Легко видеть также, что все гомоморфизмы из (б) являются G/P-гомоморфизмами, следовательно, последовательность (6) представляет собой точную последовательность 2£[С?/Р]-модулей. В простейшем случае G = Р, (6) оказывается просто точной последовательностью абелевых групп.

Основной целью данной диссертационной работы является изучение свойств взаимных коммутантов нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе и нахождение критериев для конечной определенности фактор-группы свободной группы по взаимному коммутанту двух нормальных подгрупп.

В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие.

1. Исследован вопрос о совпадении пересечения двух нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе с их взаимным коммутантом. В геометрических терминах, так называемых картинок, получен критерий, при выполнении которого эти группы совпадают друг с другом. Также получен ряд следствий этого общего критерия.

2. При условии (относительной) асферичности фактор-группы G/Nr изучены взаимный коммутант вида [iVj?, G] и строение центральной подгруппы Nr/[Nr, G] в центральном расширении G/[Nr, G] группы G/Nr для произвольной группы G, затем полученные результаты применены к гиперболическим группам G.

В работе используются методы и результаты теории групп.

В доказательствах основных результатов трех первых частей диссертации используется такой геометрический метод теории групп, как техника картинок. Картинки - это двойственный объект к диаграммам ван Кампена [22]. Впервые их ввел в теорию групп С.Рурке [36]. Техника картинок в настоящее время хорошо развита и активно применяется для решения всевозможных задач теории групп и родственных ей вопросов в топологии (см., например, [11], [12], [13], [21]; [7], [14], [35]; [6], [19], [20]; [3]).

Доказательство основного результата последней четвертой части опирается на свойства вербальных сплетений, которые были введены А.Л.Шмелькиным в [38].

Также используются свойства нилыютентных и гиперболических групп.

Ниже дается краткий обзор полученных результатов.

Первая часть диссертации посвящена исследованию условий, при которых в свободной группе взаимный коммутант двух нормальных подгрупп равен их пересечению.

Пусть R\ и i?2 ~ симметризованные множества циклически приведенных слов из свободной группы F = F(A) с алфавитом A, a iVi (соотв., ЛГ2) -нормальное замыкание множества R\ (соотв., R2) в F. Определение 1.2. Будем говорить, что копредставлспис G = (А | i^U-fi^) является слабо (R\, R2)-отделимым (соотв., слабо (R2, Ri)-отделимым) или удовлетворяет условию слабой (R\, R2)-отделимости (соотв., слабой (i?2, R\)~ отделимости), если в любой приведенной сферической картинке Р, содержащей одновременно Ri-вершины и R2-eepuiuuu, найдется простой замкнутый путь 7, разделяющий сферу на два диска и удовлетворяющий следующим трем условиям:

1) оба эти диска содержат вершины;

2) Lab(j) е [NhN2];

3) если один из дисков содержит только Ri-вершины (соотв., только R2-eepuiwibi), то другой диск содероюит только R2~ecpmunbi (соотв., только Ri-вершины).

Теорема 1.1. Копредставление G = (А | R\ U R2) является слабо (Ri,R2)-отделимым тогда и только тогда, когда N\ П N2 = [N\, N2] в свободной группе F = F{A). (Аналогично в случае слабой (R2, R\)-отделимости.)

В частности, как следствие из теоремы 1.1, получается уже известный результат (смотри теорему 1 в [17]) о том, что если копредставление (А | R\, R2) является асферическим (например, оно удовлетворяет условиям малых сокращений C(p)8zT(q), где 1 /р + 1/q = 1/2), тогда выполняется равенство N\ П N2 = [N\,N2]. Также из теоремы 1.1 легко следует теорема Линдона (теорема 2.4 [26]).

Во второй части результаты первой части обобщаются на пары нормальных подгрупп произвольной группы.

Пусть Н - некоторая группа, заданная копредставлением {А\0). Обозначим через N нормальное замыкание множества О в свободной группе F с алфавитом А. Рассмотрим два множества элементов Ri,R.2 С Н такие, что ?\ ф tf2lt~l в Н для любых п G R\, Г2 G R2 и t 6 Н. Обозначим через Ni нормальное замыкание множества Ri в Н, где i = 1,2. Пусть Ф : F —> Н - канонический гомоморфизм. Каждый элемент f € Ri поднимается в свободную группу F до некоторого приведенного слова г. Обозначим через Ri наименьшее симметризованное множество, содержащее {r|f G Ri}, где г = 1, 2. Определение 2.2. Пусть R\ и R2 - два множества слов в алфавите А. Будем говорить, что копредставление G — (А \ R\ U R2 U О) является слабо (jRi, R2)о-отделимым или удовлетворяет условию слабой (Ri,R2)o~ отделимости, если в любой (относительно) приведенной сферической картинке Р, содеро!сащей как Ri-вершины, так и R2-eepmuiibi, найдется простой замкнутый путь 7, делящий сферу на два диска так, что выполняются следующие условия:

1) оба диска содержат R-вершины;

2) Lab(j) 6 [N\, N2] • N;

3) если один из дисков не содержит R2~eepuiun, то другой не содержит Ri-вершин.

Теорема 2.1. Копредставлепие G = (A \ R\ U R2 U О) является слабо (Ri, R2)о-отделимым тогда и только тогда, когда П N2 = [iVi, -/V2] в группе Н = (А\0).

В частности, показано, что если копредставление (А | R\,R2, О) (относительно) асферично (определение относительной асферичности будет дано в §5), то равенство выполняется для R{ (г = 1,2), равного образу множества Ri в группе Н.

Например, этот результат можно применить в случае, когда Н =< А\0 > - гиперболическая группа, a R\ (J R2 удовлетворяют С(е, //, Л, с, р)— условию малых сокращений (определение дается в параграфе §7), введенному А.Ю. Ольшанским в [33] для построения индуктивных пределов гиперболических групп с предписанными свойствами. Также этот результат можно применить к относительным копредставлениям, рассматриваемым В.А. Богли и С.Дж. Прайдом в [б].

В третьей части диссертации получены следующие результаты.

Пусть теперь G - некоторая группа, заданная копредставлением (А\0). Через Ф обозначим канонический гомоморфизм из свободной группы F = F(A) на группу G с ядром N. И пусть группа G\ задана копредставлением (A\OUR), где R - некоторое симметризованное множество циклически приведенных слов в F. Тогда G1 = G/Nr, где Nr - образ нормального замыкания Nr множества R в F при гомоморфизме Ф. Обозначим через Н факторгруппу G/[Nr,G]. При этом группа Н является центральным расширением группы G\ по своей центральной подгруппе Nr/[Nr,G].

Возьмем произвольно слово г из подмножества определяющих соотношений R. Все определяющие соотношения из R, которые сопряжены с г в группе G, образуют подмножество в R, которое назовем классом сопряо/сенности относительно группы G или, кратко, относительным классом сопряженности с представителем г. Множество R разбивается на непересекающиеся относительные классы сопряженности следующим образом: R = (Ц,- R^) ||(||- Rf U Яг~), где R^p - относительный класс сопряженности, в котором представитель сопряжен в G с обратным к себе словом, R* - относительный класс сопряженности, в котором представитель не сопряжен в G с обратным к себе словом, a R[ = В каждом относительном классе сопряженности можно выбрать и зафиксировать по представителю (обозначим их соответственно г?> гг7' rf}) так> чт°бы г+гГ = 1 в F.

Теорема 3.1. Пусть дано (относительно) асферическое копредставлепие (А\0 U R) группы Gi = G/Nr. Тогда г) следующие условия для слова х Е NrN эквивалентны: а) х Е [F, Nr]N; б) в записи oYlskr^s^1, представляющей слово х в F (где о Е О, г к Е R, Sk Е F), сумма показателей при всех г Е R* равна нулю для каждого R^ С R, а сумма показателей при всех г Е F^ является четной для каждого С R; гг) Nr/[Nr, G] ~ NrN/[Nr, F]N является абелевой группой, представляющейся в виде В 0 В2, где В свободно порождается множеством элементов {Ь*}, являющихся образами представителей {г/*}, а В2 порождается множеством элементов Щ } второго порядка, являющихся образами представителей {гг-2^} (т.е. В2 - прямое произведение подгрупп (&f>) второго порядка).

Отметим, что ход рассуждений в доказательстве этого результата аналогичен ходу рассуждений в доказательстве результата, приведенного в §31 [32J для случая свободной группы.

Теорему 3.1 можно применить в случае, когда G =< А\0 > - гиперболическая группа, а множество R удовлетворяют С(е, /i, Л, с, р)— условию малых сокращений над гиперболическими группами, введенному А.Ю.Ольшанским в [33] для изучения фактор-групп гиперболических групп. Например, получаются следующие утверждения.

Предложение 3.1. Пусть G = (А|0) - гиперболическая группа, и сим-метризовапное копредставлепие G\ = (A\OUR) является (относительно) асферическим. Тогда а) если множество относительных классов сопряэюенности {R+ } С R не пусто, то фактор-группа G/[Nr, G] является элементарной гиперболической тогда и только тогда, когда = < оо; a G\ - конечная, в других случаях она не является гиперболической; б) если множество относительных классов сопряо/сеппости {i^} С R пусто, а число классов

С R бесконечно, то G/[Nr, G] не является гиперболической; в) если множество относительных классов сопряженности {-R^} С R

0\ — пусто, а число классов С R конечно, то G/[Nr, G] - гиперболическая тогда и только тогда, когда G\ - гиперболическая.

Предложение 3.2. Пусть G - гиперболическая группа и А > 0. Тогда существует цо > 0 такое, что для всех р £ (0, ро] и с^ 0 существуют £ ^ О и р > 0 такие, что если симметризованное множество R в (1G) удовлетворяет С(£, р, А, с, р) —условию, то элемент х имеет конечный порядок в Н - G/[Nr,G] тогда и только тогда, когда либо х 6 В2, либо х = hyh~lb в Н, где b G В2, h - произвольный элемент из Н, элемент у - конечного порядка в G или припадлеэюит централизатору Со {г) С G элемента г 6 R^

2) для некоторого R{ С R.

В частности, эти результаты можно применить к фактор-группе G/[gm, G], где g - элемент бесконечного порядка гиперболической группы G,am - достаточно большое число (зависящее от д). При этом в качестве Rm берется множество циклических перестановок слов w±m, где w - кратчайшее слово в алфавите А, представляющее элемент д. Тогда NRm/[Njim,G] - либо бесконечная циклическая группа Е(д) = Е+(д), где Е(д) - элементарная подгруппа элемента <7, т.е. Е(д) = {х G G\3k = k(x) > 0 : xgkx~l = g±k}, E+(g) = {x 6 G\3k = k(x) > 0 : xgkx~x = gk} ), либо циклическая группа второго порядка Е{д) ф Е+(д)). По предложению 3.1 имеем а) если Е(д) = Е+(д), то Н = G/[Njim, G] является элементарной тогда и только тогда, когда G\ = G/Nnm - конечная, в других случаях она не является гиперболической; б) если Е(д) ф Е+(д), то Н - гиперболическая группа тогда и только тогда, когда Gi - гиперболическая группа.

К фактор-группе G/[gm, G] также применимо предложение 3.2. В частности, если Е(д) = Е+(д), то элемент х имеет конечный порядок в Н = G/[Njim, G] тогда и только тогда, когда х сопряжен в Н с элементом конечного порядка в G.

В четвертой части диссертации рассматривается следующий вопрос.

Пусть F - свободная группа, а М и N - нормальные подгруппы в F. При каких условиях фактор-группа F/[M, iV] задается конечным числом определяющих соотношений? Или иначе: при каких условиях взаимный коммутант [М, N] является нормальным замыканием конечного множества элементов?

Случай М = N уже рассматривался ранее. Например, из теоремы 5.3 работы А.Л.Шмелькина [38] следует, что если F - конечно порожденная свободная группа, а N - нормальное замыкание конечного множества слов в F, то F/[N, iV] задается конечным числом определяющих соотношений тогда и только тогда, когда N имеет конечный индекс в F.

В статье Дж.Абарбанеля и Ш.Россета [1] содержится лемма о том, что если М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной группе F, и группа MN - конечного индекса в F, тогда [М, N] является нормальным замыканием конечного множества элементов.

Условие нормальной конечной порожденное™ подгрупп М и N в этой лемме Дж.Абарбанеля и Ш.Россета является существенным. Так, в работе [1] авторы, ссылаясь на работы [2] и [15], приводят некоторые примеры, когда группа [F, iV] конечно порождена и когда бесконечно порождена как нормальная подгруппа в зависимости от группы N, не порождаемой как нормальная подгруппа никаким конечным множеством.

Также в работе [1] (и [4]) рассматривается случай, когда индекс группы MN в F бесконечен, и показано, что в этом случае группа F/[M,N] не задается конечным числом определяющих соотношений, если группы М и N не являются единичными и исключительными. При этом группы М, N называются исключительными, если выполнены следующие 3 условия (считают, не ограничивая общности, что М С ji(MN),N С 7n(MN), где п - максимальное такое число):

1) F/MN не имеет нетривиальных нильпотентных образов без кручения такой же мощности, что и F/MN\

2) N С 7„+1(F);

3) 7n(MN)/Njn+i(MN) не конечно порождена.

Оставался открытым вопрос: является ли конечность индекса группы MN в свободной группе F необходимым условием для конечной определенности группы F/[M, iV] для неединичных нормальных подгрупп М и N? Как показывает следующая теорема, полученная в совместной работе [25] с А.Ю. Ольшанским, ответ на этот вопрос - положительный.

Теорема 4.1. Пусть F - свободная группа, а М и N - пеедипичпые нормальные подгруппы в F. Предполоэюим, что группа MN имеет бесконечный индекс в F. Тогда взаимный коммутант [М, iV] не является нормальным замыканием никакого конечного множества элементов.

Таким образом, в случае, когда М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной свободной группе F, лемма Дж. Абар-банеля и Ш. Россета [1] и теорема 4.1 дают следующее утверждение: Теорема 4.2. Если М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной свободной группе F, то [М, N] является нормальным замыканием конечного множества элементов тогда и только тогда, когда группа MN имеет конечный индекс в F.

Также из теоремы 4.1 следует, что если F - свободная группа бесконечного ранга, а М и N - неединичные нормальные подгруппы в F, тогда взаимный коммутант [М, N] не является нормальным замыканием никакого конечного множества элементов.

Отмстим, что аналогичные утверждения верны и для группы F/ Nj],

Результаты диссертации могут быть использованы как в теории групп, при изучении вопросов о зависимостях между множествами определяющих соотношений, так и в алгебраической топологии.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Теория групп"и "Научно-исследовательском семинаре по алгебре "кафедры высшей алгебры МГУ, на семинаре "Topology & Group Theory 8етшаг"университета Vanderbilt (Нэшвилл, США, 2004 г.), а также на следующих конференциях:

1) Международная алгебраическая конференции, посвященная 250-летию Московского Университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, МГУ, Москва, 26 мая - 2 июня 2004 г.

2) Международная алгебраическая конференция, К 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина, Екатеринбург, Россия, 29 августа - 3 сентября 2005 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40]—[43].

Диссертация состоит из введения, четырех частей, разбитых на параграфы, и списка литературы из 43 наименований.

1. J. Abarbanel and S. Rosset, The Schur multiplier of F/R, 5], J. Pure Appl. Algebra, 2005, 198, 1-8.

2. H. Abels, An Example of a Finitely Presented Solvable Group, Homological Group Theory, London Mathematical Society Lecture Notes Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1979, vol. 36, pp.205-211.

3. J.M. Alonso, W.A. Bogley, R.M. Burton, S.J. Pride and X. Wang, Second order dehn functions of groups, Quart. J. Math. Oxford (2), 49, (1998), pp. 1-30.

4. G. Baumslag, R. Strebel and W. Thomson, On the multiplicator of FfrcR, J. Pure Appl. Algebra, 1980, 16, 121-132.

5. W. Bogley, J. H. C. Whitehead's asphericity question, Two-dimensional homotopy and combinatorial group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 197, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (1993), 309-334.

6. W.A. Bogley and S.J. Pride, Aspherical relative presentations, Proc. Edinburgh Math. Soc., vol. 35 ( ser. II ), part 1, 1-40, 1992.

7. W.A. Bogley and S.J. Pride, Calculating Generators of 7Г2, Two-dimensional Homotopy Theory and Combinatorial Group Theory, London Math. Soc. Lec. Notes Ser., vol. 197 ( ser. II ), 1993.

8. J. Brandenberg and M. Dyer, On J.H.C. Whitehead's aspherical question I, Comment. Math. Helvetici, 56 (1981), 431-446.

9. J. Brandenberg, M. Dyer and R. Strebel, On J.H.C. Whitehead's aspherical question II, in: Low-dimensional Topology (S.L.Lomonaco, ed.), Contemporaty Mathematics, 20 (1983), 65-78.

10. R. Brown, Coproducts of crossed P-modules: applications to second homotopy groups and to the homology of groups, Topology, 23, (1984), 337345.

11. R. Brown and J. Huebschmann, Identities among relations, in: Low-dimensional Topology (R.Brown and T.L.Thickstun, eds.), LMS Lecture Note Series, 48 (1982), 153-202.

12. D.J. Collins and J. Huebschmann, Spherical diagrams and identities among relations, Math. Ann., 261 1982, 155-183.

13. R. Fenn, Techniques of geometric topology, London Mathematical Society Lecture Notes Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1983, vol. 57.

14. N.D. Gilbert, Identities between sets of relations, Journal of Pure and Applied Algebra 83 (1993), pp. 263-276.

15. J.R.J. Groves, Finitely presented centre-by-rnetabelian groups, J. London Math.Soc., 1978, 18(2), 65-69.

16. M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in Group Theory, ed. S.M.Gersten, M.S.R.T. Pub.8, Springer, 75-263, 1987.

17. M.A. Gutierrez, J.G. Ratcliffe, On the second homotopy group, Quart. J. Math. Oxford (2) 32, 1981, 45-55.

18. J. Howie, Some remarks on a problem of J.H.C. Whitehead , Toplogy, 22, 1983, 475-485.

19. J. Howie, The quotient of a free product of groups by a single high-powered relator. I. Pictures. Fifth and higher powers, Proc. London Math. Soc. (3), 59 (1989), 507-540.

20. J. Howie and V. Metaftsis, On the asphericity of length five relative group presentations, Proc. London Math. Soc. (3), 82 (2001), 173-194.

21. J. Huebschmann, Aspherical 2-complexes and an unsettled problem of J.H.C. Whitehead, Math. Ann. 258 1981, 17-37.

22. E.R. van Kampen, On some lemmas in the theory of groups, Amer. J. Math., vol. 18, 1933, pp.268-273.

23. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков, Основы теории групп, Москва "Наука", Главная редакция физ-мат. литературы, 1982.

24. W. Cockcroft, On two-dimensional aspherical complexes, Proc. London Math. Soc. (3), 4 (1954), 375-384.

25. O.B. Куликова, А.Ю. Ольшанский, О конечной определенности группы F/M,N], Вести. Моск. ун-та Сер.1, Математика, Механика, принята в печать.

26. R.S. Lyndon, Dependence and independence in free groups, J. Reine Angew. Math. 210, 1962, 148-174.

27. R.S. Lyndon, P.E. Schupp, Combinatorial group theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1977.

28. W. Massey, Algebraic topology: An introduction, Harcourt, Brace and World, Inc., New York, 1967.

29. C.B. Матвеев, О структуре второй гомотопической группы, Записки научных семинаров Ленинградского Отделения Математического Института им. В.А.Стеклова, Исследования но топологии, Т. 143, 1985, 147-155.

30. Р.В. Михайлов, О пилъпотентной и разрешимой аппроксимируемости групп, Мат. Сб. 196 (2005), 109-126.

31. Р.В. Михайлов, Точные действия групп и асферичные комплексы, Труды МИАН, 252 (2006), 184-193.

32. А.Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Москва, "Наука", 1989.

33. A.Yu. Ol'shanskii, On residualing homomorphisms and G-subgroups of hyperbolic groups, International Jornal of Algebra and Computation, vol. 3, no. 4, 365-409, 1993.

34. А.Ю. Ольшанский, SQ-универсальность гиперболических групп, Математический сборник, том 186 N8, 119-133, 1995.

35. S.J. Pride, Identities among relations of group presentations, in: E. Ghys et al., eds., Proceedings of the Workshop on Group Theory from a Geometrical Viewpoint (World Scientific Publishing, Singapore, 1991) 687-717.

36. C.P. Rourke, Presentations and the trivial group, Topology of low dimensional manifolds (ed. R.Fenn), Lecture Notes in Mathematics 722 (Springer, Berlin, 1979), pp. 134-143.

37. X. Нейман, Многообразия групп, Москва, "Мир", 1969.

38. A.JI. Шмелькин, Сплетения и многообразия групп, Известия АН СССР, сер. мат., 1965, 29:1, 149-170.

39. J.H.C. Whitehead, On adding relations to homotopy groups, Ann. Math, 42, 1941, 409-428.Публикации автора по теме диссертации.

40. О.В. Куликова, Об относительно асферических копредставлениях и их центральных расширениях, Фундаментальная и Прикладная Математика, часть 3, том 11 выпуск 2, 2005, 115-125.

41. O.V. Kulikova, On intersections of normal subgroups in free groups, Algebra and discrete mathematics, Number 1,36-67, 2003.

42. O.V. Kulikova, On intersections of normal subgroups in groups, Algebra and discrete mathematics, Number 4, 32-47, 2004.