О задачах с отходом от характеристики для уравнений гипереолического и смешанного типов с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КДЗАК.ТЫК, ЭЛ-ФАРАБК АТУНДШ MEMJIEKETTIK УНИВЕРСИТЕТ!

Колжазба к;ун;ында

IYMAH0BA JI933AÎ КЕЦЕС^ЗЫ

сазыаднк О ПЕР ATOP ЛАРДсЩ K0PPEKTI ТШЛУЛАРЫ МЕН ШЕШЕРШН, КЕЙБ1Р СПЕКТР ЛШ ЦАСИЕТТЕР1 2ШШ

01,01.02 - дифференциалдыц тенчеулер

Физика-математика гылымдэриньщ кандидаты• гылыми дережесше 1здену диссертациясыныц

АВТОРЕФЕРАТУ

АЛМАТЫ -

1992

. О 1

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ЛЛЬ-ФЛРАБИ

на правах рукописи

САЙЛАУБЕКОВ Нурлан Турсынбекович

О ЗАДАЧАХ С ОТХОДОМ ОТ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/ /

1-- (

Алма-Ата — 1991

Работа выполнена в Казахском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Аль-Фараби.

Научный руководитель: —

член-корреспондент АН Республики Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор Т. Ш. Кальменов.

Официальные оппоненты: — член-корреспондент АН ТуркССР,

доктор фпзнко-математнческнх наук, профессор М. М. Мередов;

— кандидат физико-математических наук, С. Керимкулов.

Ведущая организация:

1 [свсспбнрский гссудурс;венный университет.

Защита состоится « Ь » иКА/рТ^Л- 1/Г ч:!,.

на засечан::» Регионального специализированного совета К.058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алма-Ата, ул. Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ

Автореферат разослан « ^jf

1902

Ученый секретарь peí иопального Специализиросанного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

А. БЕДЕЛЬБАЕВ

, ., - i " s

"—"актуальность тени. а основе математически; моделей mhoihx явлении, имеющих место в жидкой среде, и таких явлений как сверхзвуковое и околозвуковое течение газов, а таку.о в основе ряда других моделей и проце соз механики

Г

ле<ат уравнения в частных производных второго порчдкм гиперболического и смешанного типов.

Задачи Гурса йдДарбу, вместе с задаче*! Азии и смешанной задачей являются основными локальными краевыми задачами для уравнений гиперболического типа с двумя независящими переменными. В теории уравнений в частных производных гиперболического типа краевые задачи с данными на всей границе области служат примером некорректно поставленных задач. Однако многие важные задачи безмоменткои теории оболочек, двпчение жидкости во вращающемся сосуде iipiиюдлт к задаче ¿¡ирихле для уравнения гиперболического типа. Задаче Дирихле были посвящены работы Дк. Адамара,

A. Губера, Д. Ьургина, Р. Дюфйина и Д*;она, содержащие ряд результатов по разрешимости и единственности соответствуя:)^ й неоднородной задачи.

^реди работ, посвя:денных методике постановки корректных граничных задач для гиперболического уравнения вто-|:(?i о пор.-г.цка во мое кесто занимают работы Л.,<1, Нахушева,

B.ri. i3paioBa, Т.ill. Кальиенова, Е.й. Моисеева.

После известных работ Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа на плоскости, новым зта.чол в разлитии теории краевых задач для уразке-ни»1 ci.'ei'.HHHoro типа явились работы М.А. Лаврентьева,

A.b. Бицадзе, Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, В.Н.Зрагова, М.МЛлередова к других.

В работах, посвященным уравнениям смешанного типа, были изучены в основном краевые задачи в смешанных областях, когда гиперболическая часть области ограничена характеристика:.«! уравнения.

Сравнительно пало работ посвящено выяснении постановки и доказательству корректности поставленных задач для уравнений смешанного типа в случае, когда носителями данных являются граница эллиптической части и некоторая нехарактеристическая дуга, отходящая внутрь характеристического треугольника в гиперболической ч'^сти области.

В работах A.B. Бицадзе и Ф.П. Франкля были впервые изучены задачи с данным на отходе от характеристики, в том частном случае, когда участок нехарактер;:стической дуги вначале совпадает с характеристикой, а затем отходит от нее внутрь характеристического треугольника. Задачи с отходом от характеристики исследованы также г? работах М. Проттера, К. ¡Лоравец, К. Фридр.оссл, ¡3.3. Ков-рижкина, А.П. Солдатова, Т.Ш. Кальменова и Б.У. Аубаки-рова.

цель данной работы. Постановка и исследование задач для' вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов в областя с нехарактеристическои границей.

-¿)бцая-мотодика~иссгаедования^ И с с лада еыые за дачи эквивалентно редуцируются к функциональным или к интег-ро-функциокалькым уравнениям, которые d сбою очередь -

к интегральным уравнениям ?редгольма II рода. Единственность решения следует либо из самого способа получения решения ( в случае вырождающегося гчшерболического уравнения ) , либо из принципа эистрег.ума (в с учае вырождающегося уравнения смешанного типа ) .

Научная новизна. а работе получены следующие новые результаты:

1. Доказано существование единственного регулярного решечпя задач типа Ддрбу и Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения.

2. Показано,что добавление младших членов в уравнении влияет на единственность решения задачи типа Дарбу.

3. доказана разрешимость задач и с косой дробной производной в классе Н*/ (&)•

4. доказана разрешимость задач М-Т (^типа Трикоми) и N -Т 13 классе

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях краевых задач для широкого класса дифференциальных уравнении в частных производных, а такко в изучении математических вопросов газовой динамики, теории бесконечно-малых изгибаний поверхностен, теории распространения волн.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные её части докладывались и обсуждались на городском научном оел шаре "функциональный анализ и его прило. ечия", руководи::.':м член-корре.юндентами АН Ресиуб-

лики Казахстан М. Отелбаевым, Т.¡Л. 1'лльыеновнм, профессором 1и. Смагуловым (;{авГУ ), 'на семинарах профессора Д.У. Умбетеанова ( Шл АН Казахстана ) , член-корреспондента АН Республики Казахстан К.А. Касымова (КазГУ), на конференции по нею'ассичесним уравнениям математической физики (г. Новосибирск ), на IX республиканской конференции по математике и механике (г. ллиа-Ата), на Х1У научной ме^вуаовской конференции факультета математических знаний " Математические модели" (г. Куйбышев ).

публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в рао'отах [[,<!].

Структура диссертации. Диссертационная рабоаа состоит кз введения,где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на девять параграфов и списка литературы. Нумерация :;)0р;,гул (утверждений) - длоЛная: первая цилра указывает параграф, вторая - номер формулы (утверждения) з нем.

КРАТКОЕ СЦЦКРЕАНИЕ Д1СС2РТАЦ!Ю.

Во введении дается краткий обзор исслэдонани;?,прл-мыкающий к ипучаеаой тематике, обосновывается актуальность темы и излагается содержание диссертации.

Глава 1. О задачах о отходом от характеристики для вырождающегося гиперболического уравнения.

В первом параграфе приводится постановка задачи тииа Дарбу и её решение;

Пусть -конечная область, ограниченная

отрезком АВ оси х с концами в точках А (О, 0) и В (1, 0), монотонной гладкой кривой АС : ч =

Г 1т+1

0<1<1, 'У(О) = о, *(()]"*"= 1.

т ^

причем ЗС + "^7+2.1-строго монотонно возрастает но Х- , расположённой внутри характеристического треугольника : 0 4 И)"4", НГ^ < 1

2. / ' \(т+1)/1 I

и характеристикой /30 : =

уравнения

п\

Ы и,х - % = 50м). (о.1)

^ > о

1:егулирным решением уравнения (ОЛ) в области Л о д(;м называть функцию и(х,

гк'ЧЙ),

' 1 {глл-г)

.> реальнейшем для удобства исследуемые задач'«! расс-и'пупиа^тся в характеристических координатах:

гп+4.

? - Н)

7 - *+ -¿п Н)г •

Задача М Найти регулярное в области реи-е-

ние уравнения (0.1 ), удовлетворяющее следующим условиям:

У| =0, (0.2)

т 4 1

производная дробного порядка от функции ^ ("5.

попеременной , ^ -- ш/гОп--!), Г(*)-гамма-Функция.

Теорема 1.1 Если -$(1,^)6(^(5), то существует единственное регулярное решение изадачи М.

Теорема 1.2 Если $ (х,^С1(51) и т < , то решение и Задачи Ы имеет непрерывные производные первого порядка в замкнутой области 5?. .

Доказательство теоремы 1.2 опирается на

Лемма 1.1 Если ) < С\й) и ™ < Л , то

\)(х) ^ С [.0,1] и имеет место оценка:

}'(х) = 0(1) (х-ХС*)) •

Пусть теперь V с В. - конечная область, ограниченная как и в случае задачи М, отрезком оси х, гладкой кривой I : ^ --И(х), 0íX{l, Ъ(о) ~ ЯСО = О, расположенной внутри характеристического треугольника, такой, что каждое семейстзс характеристик____

т+2

wtt

только один раз пересекает её, причем "X. + |í(x)| 1 строго монотонно возрастает по X .

Задача Ы-Д Найти регулярное в области решение u(x,ij) уравнения (O.l) ,удовле ворлющее условиям (0.2 ) и

Разрешимость задачи М-Д доказываете« аналогично случаи задачи М.

lio втором параграфе рассматривается вопрос о влиянии младших членов на единственность решения задачи М. Рассмотрим уравнение

чХ* + = . (о.ч)

где c¿ = -(4n + 5), h.-неотрицательное целое число.

пусть Q, - конечная область, ограниченная отрезком АВ, Скх<А ,монотонной гладкой кривой АС : .расположенной внутри характеристического треугольника и характеристикой ВС : х + 1 уравнения (0.4)

Задача Мы Найти реыение U (ос,у) е ,) ACXñ,N

v-AUb)D С(?Т,) , удовлетворяющее условиям:

V\

U| - О , X) a(?,<l)\ =0. 1аь *г 1 ас

Используя регулярное решение задачи Кош для уравнения (и.4) , показывается существование нетривиального

решения задачи

В § 3 для уравнения (. 0.1 ) рассмотрена задача в случае, когда краевые условия задаш вдоль всей границы ойласти

Пусть 2 с Я1 - конечная область, определенная в й 1, только будем предполагать, что крнвач у = - "б'(х) такова, что Х - [ »строго мопотонно возрас-

тает по Ос .

Задача N На,1ти регулярное в области й решение и(х3^) уравнения ( 0.1 ) , удовлетворяющее условиям :

а

1 - о,

ивиьс

д Г иСс. 1) |

где =

Теорет 3.1 Если то существует

единственное регулярное решение задачи

N

Уеотема 3.2 Если и т<2, то

регулярное решение и. С^^) ■ задачи № имеет непрерывные производные первого порядка в замкнутой области й . В § 4 рассмотрена задача с косой дробней произвэд-

ной.

Через обозначим пространство и.л. Ссоолс;м со скалярным произведением (.•>')£ и Н0Р:>10" И ' ИI • \ЛУ.°( 55) _= д (й)-и -через —^ ь---частило б л? с у л ~

2. г <■ , „

для которой ОС + Ч"^) > с >

Обозначим НГСЭ) - весовое нр.-стре.нстзо гуш.-ц!".:':,

принадлежащих f] W^ (9t) с нормой:

¡H.,.* " f (i р^л^О^^С-ЙК^г^'И!,

fiv^l^^h-.ff.

^адача К^. Найти решение U(x,y) уравнения (O.ij , удовлетворяющего условиям:

U. I = 0, -IАВ

U 1 I Ас

1-Э _

a, !U С Ч Ас) , lal + UHo, а*0.

чеорема 4.1 цусть Cl(p) > &(о) и >!(°) И. Тогда для любой правой части f (х,^) €• /[^(Ф) существует единственное решение задачи M L . Это решение принадлежит классу Нк ($) для всех k>-i и удовлетворяет неравенству: ,, „ „ „ '

< е ни..

Теорема 4.2 Пусть Х(о)<1. Тогда для любой правой части f (Si) существует единственное решение

задачи Mj^ . Это решение принадлежит классу Нч (S2) для всех к таких, что:

- 1 < к <• - 1 + } +

:: удоБлз-;'яоряет неравенству:

Ы1 se llfll

^imi!/^

Б пятом парагтафе в ооласти Q , определенной в § 3,рассматривается

Задача N¡ Найти реиение уравнения (O.l) ,

удовлетворяющее условиям:

UI = о,

lABUbC '

Л'*

• Г Р

а, I е С АС.), (а\ + 161 + о, & *о.

Теорема 5.1 Пусть С1(о)<Е(о) и \(о) = 1 , тогда для любой правой части (х.^о/ДС) существует единственное решение задачи . ото решение принадлежит классу Ц и удовлетворяет неравенству:

« с НИ. •

IU

"í-l.w

Теорема 5. id Пусть А, (о) < 1. Тогда для любои правой части t Lx (ft) существует единственное решение задачи N А . ото решение принадлежит классу Ик ^ (Si) для всех к :

и удовлетворяет неравенству:

Глава 11. О задачах с отходом от характеристики

для уравнения ^п^ (х,^).

Шестой параграф посвящен постновке задачи М-Т и исследованию единственности её решения.

Лусть $7 с К. - конечная область, ограниченная при

а д

О нор;.1а:п.ныы контуром (о : (х-^-) + ^^ = 4-, оканчивающимся в точках А(о>°) 1 Е> (.1, О), а при ц < О - монотонной гладкой кривой Л С : у - ~ 1

О<t<i< !Г(о)=0,

2. Г 1 1

вдоль которой X + строго монотонно воз-

растает по располотенной внутри характеристического треугольника и характеристикой ЗС :

уравнения

т

Ы т>0. (0.6)

с; дальнейшем ¿ллиптичсскум часть смешанной области Я обозначим через 5?, , а гиперболическую

Обобщенным решением уравнения (.0.6) в области 52 ч;-ыьазтея . ун"ция ) , удовлетворяющая условиям:

е ССЙ) О еыСЯгиАс) , >

и удовлетворяет уравнению (О.б) ; д.гд любого 0<х<1 существует

до.(:х:,ч)/Т>у = 0(зе)

4. л области г.р'здетавима в виде:

* t,

где \)(х) определяется из условия 3, а Т(х) = U-C0^0)»

- m /a(m+i) .

гассмотрим следующий класс обобщенных решений уравнения (О.б) : Решение уравнешя (0.6) принадлежит классу Rt, если U^c,ij)e R, в области

Здесь R, - класс обобщенных решений Задачи Коши, введенный ¡С.И. Бабенко.

Задача М-Т ь области SI найти решение U-fx^y^ уравнения (0,6) , удовлетворяющее условиям;

• (0.7)

Известный принцип экстремума A.B. Бицадзе применительно к задаче 1.1-Т формулируется следующим образом:

Леша 6.2 Полаителышп максимум я отрицательный минимум решения 6 R 1^ушвнения;___

--\ Гт

Ы 'ЧИ^гО, (0.9)

удовлетворяющего условию (0.6 ) , достиг«'»!-ve.« лись на <о .

Из принципа экстремума, непосредственно, следует единственность решения задачи М-Т.

В § ? доказывается существование решения задачи 1л-Т. Доказательство существования решения сводится к решению сингулярного интегрального уравнения относительно функции 'О(х), разрешимость которого следует из единственности решения задачи М-Т.

д _ о,е>

Теорема 7.1 Если {(х^бССаДОСС^иЯОПС ОД.

С<*и<2 и Функция =-й(х) удовлетворяет условиям:

х'(о)*1 ; 3 £>о : | < ,

то в области существует единственное решение урав-

нения (О.б) , принадлежащее классу Я., и удовлетворяющее условиям (.0.?) , (О.з).

а §§ рассмотрена

Задача N -Т В области ^ найти решение уравнения (О.б), Удовлетворяющее условиям (.0.7) и

£>?, "См)|АС (о.ю)

а I — о .

1 ьс

Кдинственность решения задачи N -Т следует из принципа экстремума:

"Лем-^а о. 1 положительный максимум и отрицательный минимум решения е й, задачи Ы-Т для уравнения (0.9), удовлетворяющего условиям (_0.10), (О.Н) достигается лиеь на С5 .

Теорема 9.1 Коли £ С (9.)П С (Л,иЙг)П С''"(О,). СКУу\.<2. и функция ^ = " я (.х) удовлетворяет

I (ОС-1 I

условиям: ; -тгг!<00

I X1 I

то в области й существует единственное решение уравнении (О.б) , принадлежащее классу и удовлетворяющее условиям (0.7) , (ОлО) , (_0.ll).

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

Сайлаубеков И.Т.. О краевых задачах с отходом от характеристики для вырождающегося гиперболического уравнения // "Дифференциальные уравнения, функциональный анализ и его приложения", сборник научных трудов КазГУ ш. С.М. Кирова.- Алма-Ата, 1989.-о. 58-60.

Сайлаубеков Н.Т. О краевых задачах с отходом от характеристики для уравнения и1Х+%- г(л>ч)

// "Исследования .по дг-эдеренциольныы уравнениям и их приложения", тематический сборник научных трудов КазПИ им. Абая.- Алма-Ата, 1969.- с. 12-17.

I

2

Л\АЗМ¥НДАЛ1А. Бул жумыста тураксыз гиперболалык жзне аралас тект1 тецдсулср ушш характеристикадан тайкыган сызыктагы есептердщ корректшп карастырылган. Алдымеи тураксыз гиперболалык тендеуге шецпм1 айкын турде табылатын есеп ойлап табылган. Осыган уксастэси-мен тураксыз гиперболалык тецдеу ушш барлык шекарасында шарттар койылган есептмт коррекп болатыны керсетьчген. Шекарада берктген туннды багытына жэне тецдеудщ ю'1Ш мушелерше байланысты есеп корректен! езгерш отыратыны байкал^н. Эр1 карай, осы есептер кемспмен аралас те1Ш тецдеулерге коррекп есептер койылган жэне олардын, кор-рект1 болатын кластары керсетиген. Бул жумыста непзшен есеп фупк-ционалдык тецдеулерге экелппп, шешЫмдшп сыгымдауыш операторлар кемеп'мсн кэрселлген.

Формат бум. 60x84716. Объем 1 и. л. Зак. 179 29.01.92 г. Тир. 100 Отпечатано на ротапринте в типографии Госплана КазССР. ул. Мира, 115.