О задаче Коши для переопределенных систем линейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Л < 911!

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи КОРОВИНА Мария Викторовна

УДК 517. 95

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЩМЛЬНИХ УРАВНЕНИЙ

COI. 01.0?. -дифференциальные уравнения и математическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

С/ У j

)

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Е.И.Моисеев

Официальные оппоненты:

доктор сризико-матеыатических наук, доцент В.Е.Шаталов кандидат физико-математических наук, доцент А.В.Самохин

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Защита состоится О " а*>р>РЛЭ 19а ^ г. в чао. 30 мин, на заседании Специализированного совета Д.053.05.37 при Московском государственной университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК М1У.

Автореферат разослан " ¿Г"

Ученый секретарь Специализированного совета профессор

Е. И. Моисеев

'' 'i ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА P ЛЕСТЬ!

¡.

r-P. 'f

ггця;"; Объектом проведенного в диссертации исслвлования являются "Переопределенные систеиг лянзЯннх дкф^еренцаалышх 7РазгааяЯ.

Прелгетом Есследованга является изучен::» начальных задач'задач Коли)для переопределенных слотом линейных дифференциальных уравнендГ: в пространстве голошей них фунгдгЛ.

Актуальность тет-и. Задача Кони для дкМереяцяалышх уравнении и слетел1: является классически:.! обьежтом теории дифференциальны уравнении. Однако, з то зре;.-л как лтя о Личных (определенных) слстем уравнений задача Котя детально зеелгдавалась в огромном количестве работ, изучение задачи Коли для переопределенных систем находятся в язстояцее зрс:.-л в начато пути. Это определяет ся.по-вид'и^от.у, двуул факторами. Первый связан с нетрадиционносгыз с точки зрения диф|срскцнальш:х уравнений предмета исследования ' (при этом заметим в скобках, что с точки зрения слеаспнх дисциплин, такях как дифференциальная госуетоия, теория псевдогрупп и т.п. переопределенные систсуы суть ебьлпдк объекты и их изучение является яасудной необходи?.!ость:о). Второй - в принципиальной разнице яоетаяовха задачи .для определенных л переопределенных систем. Действительно, зауэтк.*, что до сравнениэ с (кяассячесюй) задачей Коли для определенных систем при изучении задачи Коля в случае систем переопределенных возникает ряд дополнительных эффектов, связанных, во-первых, с яетривяальноегью постановки задачи Коти (начальные дашше Коли для переопределенных систем, в отличие от классической постановки задачи Коли :югут быть заданы на п"дугогообразип коразузрности боль:'::- единиты) и, во-вторых, с "S обхсдпуосты? согласования зхощаге даягэис затачи.

I/ О ляду. и? пеуног.гх ку ;д:г,Ч;к:л:ы:!гх тректагов, ссдер-^алих теорлг лоргсгтродглся:'!.-:: оно: :;:r¡Gр :::лнал;.:н:х ур.:з-лени.: ,двлдетеч книга Р.л. Гллгу; "..::;:е/;д;е ти;е,о;дн;и-опеоатсон о лсстолкнну;! \т?\::т.\:>д:а:.'л' , ,. .: Кгуг.а ,

ПЧ?.

Постановка задачи Коши для переопределенных систем детально обсуждается в тексте диссертации, а здесь ш заметим лишь, что в нашем случае носитель начальных данных является (во всяком случае, как правило) не подмногообразием коразмерности I, как это имеет место в классическом случае, а Флагом, то есть последовательностью вложенных многообразий.

Отметим.также, что при постановке задачи Коши в случае переопределенных систем возможны ситуации, нэгда в данных Коши задаются производные, которые определяется и из системы. Такие задачи называются переопределенными. Возможен случай, когда условия Коши недостаточны для обеспечения единственности решения задачи. Такие постановки называются недоопре деленными. Если данные, задаваеше в условиях Коши, являются минимальными в том смысле, что они обеспечивают единственность решения, но при выбрасывании каких-либо производных из условий Коши единственность решения теряется,то такие постановки задачи Коши будут называться правильными.

Вопрос о правильной постановке задачи Коши является нетривиальным, и цель работы как раз и состоит в описании правильных постановок задач для широкого класса переопределенных систем, доказательстве соответствующих теорем существования и единственности в классе голоморфных функций и изучении условий согласования.

Научная новизна работы состоит в том, что в диссертация впервые

- дан критерий правильности постановки;

- найдены все правильные постановки задачи Коши для переопределенных систем;

- доказана однозначная разрешимость поставленных задач в классе голоморфных функций.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применения в общей теории дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геомэт-рии, других разделах математики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ в 1988 году, а также на семинаре по теории дифференциальных уравнений кафедры общей математики.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях, ссылки на которые приведены в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и списка литературы, содержащего 22 наименования.

С0ДЕР2АНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Пусть М - комплексно-аналитическое многообразие. Для произвольной точки т шогообразия Н через Оп{М) будем обозначать кольцо ростков голоморфных функций в точке т , а через уи,(т) - максимальный идеал кольца От (М) ростков функций, обращающихся в точке т в нуль.

Рассшт£им систему линейных дифференциальных уравнений

&С/п(иСл))) - /м. (I)

где и (¿с) - голоморфная вектор-функция ..., их(х))ш л - порядок системы, / (л ) - вектор столбец дайны £ , ^ (и (л)) - дает вектор-функции и (¿с) в точке т. , 5е : 7л—* Сл - линейный оператор, отобракащий пространство джетов порядка л в вектор голоморфных функций.Очевидно,что оператору ££ соответствует матрица размера ( £ " £ ) ,где 8 число мультииндексов с* = (<Яу, ... ,<я<л),1ы1*п. . Рассмотрим флаг, Я = (Ж/.....У3 ), то есть последовательность вложенных аналитических многообразий

Л± с ... с Жу .

Пусть задана последовательность целых чисел

_ у

* Рв ~ ■■■ «А * П-* . (2)

Каждой функции и ц {¿с), £ = I, ... , X. будет соответствовать своя последовательность типа (2). Обозначим такие последовательности через р' , ¿' = 1, ... ; соответственно.

Опроделение. Пространством джетов порядка {р'\ на с[а:аге называется фактор-пространство

где

У « У Л'£ У / • ■ ■ у ли ■

•¡Р Я Р*

Таким образом 7 = ( ^, ... . ) •

Подчиню.! венгер-фуккцию и {¿С) дополнительным условиям (данным Кошк) на флаге:

у, (з)

^ Л'

. р

где V - некоторый элемент из .

Задачу (I), О) мл будем называть задаче Р Код и на флага Л' . Первый шаг при исследовании переопределенных систем дифференцеальных уравнений состоит е изучении формальной разрешимости, то есть существования решения г виде формальных степенных рядов.

Для более точного описания понятия формальной разрешимости используется следущая термкнслогкк(см., нацршзр 2/ ).

Системой дифференциальных уравнений порядка т на расслоении £ называется замкнутое многесгво /?/л с 7т(£), где 7/г'(£) - пространство даетов сечений расслоения £. .

Сечение £ £ Г( 1/,Е) над некоторым отбытым мпа-ест-еом называется регенте г састсы; дефференциалькше уравнений Пт , если ¿т(5)е.Г(£,Ят)' " сечен=г. 5.

Пусть имеется дифференциальный оператор £>£ 2)£//{£, Г) , причем соответствукцсе отобралоние Рт {Л): У{£)-*/" такое, что д (5) {х) - Рт{1>) (¿т{3)) имеет постоянны.'? ранг. Тогда оператору 2) сопоставляется подрасслоение /се г Рт (2) ). Это подрасслоение называется диМеренцл-алыгым уравнением. соответствутхчта оператору I) .

Продолжением порядка & система дв®[«ронцяальнкх уравнений называется система (У т*л {£ ), соответствующая оператору /л Э .

ДпКсрскцпаль.чсе уравнение Я "называется регулярным, если оно л все его продолжения явля?тгся г.одрасслоенавя1. 3 дноеертацгя рассматриваются только регулярные уравнения.

Лз -леммы Пуанкаре следует, что хтя регулярных систем существует конечное число уечовкН согласования. 3 работе Херкаядера 4 доказывается теорема супрствованкя для систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициента:.".!! (без данных Копи) в пространстве раз непрерывно дифференцируемых комплекснозна-чнюс функций. :1з этей теореш следует существование формального решэяяя, то ость решения з в;н;е формального степеииого .-■яда. ?гх как условия согласования определяются дзйхреренци-аль.ткми операторами, ксто..:;е образуют :-ш1ечно-го^с:?.деш:ый модуль над кольцом всех многочленов, то число условий согласования конечно. Задача Коли: для случая переопределенных систем з пространстве бесконечно дифференцируемых функций -рассматривалась в работах а 5' .3 этих работах даншз Каш

2/ Quillen D. G. Forma] properties of overdoterrained systems of linear partial differential equations. Ph.D. thesis. - Harvard University., 1364

3/ Xepuaimep -I. BnesoHKe 3 Toopm iyniciniS Heckojilkex nepcT.-oHHiix. - 1,1.: Knp, 1968. - 273 c.

•i/ Spenser D. C. Overde te rrn i ned syster.s of linear partial differential equations // Bull, of Alter. Math. Soc . - 1969. - v. 75, N 2. pp. 17 5-233.

5/ Ouillerr.in V. Some algebraic result concerning the <-■ hi.rac t e ri s t i cr. of overdetenilinpd partial equations // Amer. ;. Math. - 1905. - V. 24. - pp. 231.

задаются на одном подоногообразии. Предлагается процедура, при помощи которой последовательно на единицу уменьшая коразмерность подшогообразия, на котором задаются условия Ко-ши, строится решение задачи переходя с меньшего многообразия на большее. При этом на каадом шаге решается классическая задача, то есть задача с данными Коши на многообразии коразмерности I. Для этой процедуры построены некоторые дифференциальные операторы, которые позволяют "стыковать" задачи на разных многообразиях. Вопрос о существовании таких операторов является открытым. При постановке задачи Коши для переопределенной системы линейных дифференциальных уравнений возникают дополнительные условия согласования, которые отличны от условий согласования системы. Возникает естественный вопрос о конечности числа условий согласования задачи Коши.

Предположим, что система (I) является формально разрешимой. Задача (I), (3) в этом случае редуцируется к задаче:

- о.

(4)

Далее, джет V] на фдаге^л' может^быть.очевидно, представлен набором ддетов (... , , заданных на многообразиях, образующих флаг.

Возникает вопрос, при каких условиях полученная задача Коши разрешима.

Теорема. На каадом многообразии , £ = 1, ... , 3 , существует такая конечная система дифференциальных операторов ,¿ = 1,2, ... ; / = 1, 2.....Л , что условия ...

являются необходимыми и достаточными для формальной разрешимости задачи (4).

В § 2 главы 4 эта теорема обобщается на случай систем с голоюрфными коэффициентами.

Очевидно, задача Коши (4) с произвольными данными Коши-может быть сведена к задаче Коши с нулевыми данными

• /у ,

(5)

(и'Ш) - О;

Здесь, разумеется, предполагается, что система уравнений, входящая в задачу (5), удовлетворяет условиям формальной разрешимости.

Введем конечномерное фактор-пространство:

.....Ох,(м) /

.....* /'

Рассмотрим проекции 61 :

уЛ & у Л-*.....А

Обозначим: & = $1'\легЯ , где ~ сужение оператора

5е на ядро проекции Ж .

Мы будем рассматривать три возможных случая:

1. ^ является изомэрфизмом.

2. является моноюрфизмом.

3. & является эпиморфизмом. _

Если в постановке задачи Коши на флаге оператор является моноюрфизмом, но не изоморфизмом, то такая постановка является переопределенной. Аналогично, если оператор является эпиморфизмом, но не изомэрфизмом, то такая задача является недоопределенной.

Наибольший интерес представляют собой постановки задачи Коши на флаге, для которых оператор в? является изомэрфизмом. Такие постановки являются в некотором сшсле оптимальными поскольку производные функции и (л:) определяются либо из условий Коши, либо из системы. Таким образом, если в постановке задачи Коши на флаге оператор 5е является изоморфизмом , то такие постановки являются правильными.

Для правильных и переопределенных постановок задач Кощи на флаге справедлива следующая теорема

Теорема^ Пусть задача (5) разрешай в нормальных рядах, Тогда если & является мономорфизмом (изоморфизмом), то существует голоморфное решение ото:: задачи в некоторой окрестности начала координат.

Замечание. Радиус сходимости ряда, соответствующего ранению системы, зависит только от размерности системы, размерности пространства, коэффициентов систем и радиусов сходимости правых чаете:': и данных лоши.

Я выратаю глубокую благодарность Ъ.А.плышу, Е.И.Моисееву и Б.Ю.Стернину за помощь в постановке задачи и постоянное внимание на протяжении всей работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Коровина М.В. Задача Коши для переопределенных систем линейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. - 1589. -Т. 309, !' I. - С. 31 - 34.

2. Коровина М.В. Некоторые результата, касающиеся задачи Копи для переопределенных систем линейных дифференциальных уравнений // Дифяеренц. уравнения. - 1990. - Т.26, й I. -С. 75 - 85.