О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными порядками и их приложения к решению краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЩИЩ ЭЛ-МРШ мздки ИШШШ1К УЛТЩ УНИВЕРСИТЕП

Копазба ^у^ында

ЩАТАЕЗА ПШР ^ОНЩАЩЗЫ

ЛАКС НОСЩАРШ ТОШУдаН КЕЙВ1Р ЭД1СТЕР1 БАЙЫНДА

01.01.02 -дифференцимдыц тендеудер

Физика- математика гылымдарыныц кандидата гылыми дэрехес1не 1эдену диссертациясыниц

АВТОРЕФЕРАТЫ

АЛМАТЫ - 1993

од

«ГИД

институт натенатнки имеет а В. Романовского

РГ6

1 и 111011 ВЗЗ

I н и»«» акадЕШ шк РЕСПЗШК» ЗЗБЕКМСШ

Ма пра&ах рукописи.

К0СИМ0В ХЗРСАшк НУРМАТОВИЧ

О ЗАКОНЕ КОМПОЗИЦИИ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

С РАЗЛИЧНЫМИ ПОРЯДКАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ

01.01.02 - ДиФ4еретшапыше уравнения

А В'ГОРЕФЕРАТ

диссертации на соискании ученой степени кандидата ♦нзнхокатенатическнх наук

Ташкеят-

1993

Работа выполнена в Вистатуте математики имени В. й. Романовского АН Республики Узбекистан.

академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор М. с. с:алакитдзило

доктор Физико-математических наук, профессор Б. В. Логинов

кандидат ♦изико-иатематкчески_ наук, доцент А- К. Уринохз

институт теоретической и прикладной мат<?м;-№ки АН Республики Ка: ахстан.

Завета диссертации состоится " __________ 1993 р.

в /V часов на заседании специализированного совета Д 0(5. 17.21 в Институте математики имени В. Я. Романовского АН Республики

Узбекистан яо адресу: 700143, г.Ташкент -из. уд. Ходхаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени а I. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан 'Ш1." _ЙЙ^^й^_____ __ 1993 г.

Научный руководитель -

официальные оппоненты -

Ведшая организация -

Ученый сегрета^ь

>вета

доктор »из. -кат. наук Ш/ 1/10^1 Ш. А. хашимов

социализированного совета , /

Лфч

^ /

ОЕДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория вырождающихся эллиптических а гиперболических уравнений, а такхе уравнений смешанного типа благодаря важным приложениям при решении шюгих вопросов прикладного характера в настоящее зреет развивается быстрыми темпами я стала одной из центральных проблем теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, А.В.Бяцадзе, Ф.И.Франиля, К.И.Бабенко. Имеется целый ряд работ отечественных и зарубек-ных ученых, в которых исследуются основные краевые задача и ставятся новые корректные задачи для уравнения гиперболического и смешанного типов.

Основная библиография по этим вопросам содержится з работах А.В.&цадзе, Л.Берса, М.С.Салахитдинова, й.Н.Смиряова, Т.Д.Джураева. '

Одним нз активно рвзвивагаяхся направлений в теории краевых задач для уравнений смешенного типа является теория нелокальных у краевых задач (задачи со смзозниеы) для раз-яичных уравнений сыеианиого типа. Следует отметать работы А.В.Бицадзе, А.А.Самарекого, М.С.Салехитдинова, Т.Д.Лжурае-ва, Ы.Ы.Смирнова, A.ti.Нехушева, А В.И.Врагова, Т.Ш.Калыге--нова, М.М.Ыередова и их учеников.

При исследовании локальных а нелокальных краевых задач для уравнений гиперболического н смешанного типов с одной и двумя линиями выроадешм возникает проблема изучения законов композиции двух и более операторов дробного шгтегро-

- 4 -

дифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля).

Исследованию кошозиции двух операторов интегродиф-ференцирования дробного порядка посвящены работа А.М.Наху-шева, М.С.Салахитдинова, С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И.Мари-чева, М.М.Смирнова, :.:.л.аа1£о, Е.й.Ьоуе , Н.Ковеч.

Законы композиции трех и более операторов дробного интегродифференшровангя и их приложения изучены сравнительно мало. Отметим только работы М.С.Салахитдинова, Б.Ислшова, О.А.Регшнэ, ^¡.A.5aigo.

Настоящая работа посвящена исследованию законов композиции трех операторов интегродифференцирования дробного порядка и их приложения к решении нелокальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов с двумя линиями вырождения.

Цель ..работы. Исследование вопросов существования и единственности решения нелокальных краевых задач для уравнений гиперболического типа, а также аналогов задачи Трико-ми для уравнений смешанного эллиптикс-гиперболического типа.

.Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается с помощь» принципов экстре"ума. При доказательстве существования решения краевых задач применяется теория линейных интегральных уравнений Вольте ррз и Фредгольма второго рода, теория сингулярных интегральных уравнений.

Научная новизна. В работе получены формулы, выраяаю-вде композиции трех операторов интегродифференцирования дробного порядка через операторы с 0 - функцией МеВера в ядре.

- 5 - '

Доказана однозначная разрешимость задачи со смещением, аналоги задачи Гурса для уравнения гиперболического типа. Для смешанного эллиптнко-гапербодического уравнения поставлены я изучены аналоги задача Трикош.

Практическая'и теоретическая значимость. Полученные в диссертаций результаты являются новыми я имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработка теории краевых задач для уравнений гиперболического я смешанного типов.

Апробация работы. Результаты диссертация докладывались на Объединенном семинаре отделов дифференциальная уравнений и язкдассических уравнений математической физики Института Матемятики гол. В.К.Романовского АН РУз, ка всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения к оптимальное управление" (г.Ашхабад, 1990 г.), на международной конференции "Дифференциальные- и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г.Самара,' 1992 г.), на конференциях молодых ученых г.Тадкен--та, посвящен-щх памяти В.И.Романовского (1990-92 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 5 работах, перечень которых приведен в концз автореферата.

Структура и объем диссертация. Работа состоит из введения, двух глаз, содеркгаь? 5 параграфов я библиографии- Общий объем работы 1С6 страниц маяинспиского текста. Библиография включает 5? наименований.

СОДЕРЖАШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, показане актуальность темы исследования и сформулированы осговные результаты диссертации.

Для удобства изложения введем некоторые известные понятия, использувдиеся на протяжении всей диссертации.

Пусть а ; & , С и - любые действительные постоянные, И. - целая часть £ .

Оператор ^х • <£

где ^(ас.) Ь).

Ос

<ь

£

О-Ос

4>(Х)

тр)

а_п\

Ч^ху

1<0, 'Ыо,

1>0

называется оператором.Римана-Лиувилля дробного порядка с началом в точке 0.. С > и с концами в точ-

хе

Оператор В

оэс

Ь ел е. * ь еЛ

I

ах

Ь с] I х

1>о

(х-а)

с с!

к+1

ах'

ах

называется обобщенным оператором дробного порядка с начелш в точка СХ ^ [_А , и с кондаки в точке Х£(А,В>)

Здесь I; $:) - гипергесазтряческая функция

Гаусса.

Первая глава состоит из трех параграфов. В § I глава I доказывается ряд лемм о свойствах операторов дробного пн-тегродифферэнцированЕЯ.

Пусть

где , (1- = 1,5) - действительные числа. Справедливы следугсне леияя

- 8 -

Л е и и а I . Если выполнены условия

1) ч>Сх) е I*(а,Ь), < а < 6 < ;

2) ^Л<0,

то почти всюду на ( (X • справедлива формула

сь

6

50

3-0-

зь

(2)

(К+1)

Лемма 2 . Пусть ^ (а:) ^ (й> и

1Ч>1Г , 1е <о .

Тогда почти всюду на ( & * & ) выполняется соотноше-

ние

Б'

30 2-0-

Уг,'3-

где - целая часть действительного числа £ -ь ¿¿-(-Е^- , Лемма 3 . Если выполнены условия

I) 14<- £ А,

2) ^Нх^еЦсиЬ) я Рс

ах

тс на

(сиЬ)

имеет место равенство

^ I _

и-а)

ах

Г 1-Й* Л-

х'

СС

(х-а)

ч-Ь-1

здесь

а.

М А ^ Д с, +-И

£

ьь \x-Q_

л 1 гс^о .с*

а.-ч-Ч —^---, е? ,

- ю -

' л'/.'

I <

г И-1) г^т^ р

¡С^-тйг | 0; + а - целая честь + Лемма- 4 . Пусть + ^ < Д

Тогда имеет место тождество

где

рьо /2-а

, о

• 1 I -ШМ^' л

ь.

ЬО / «-0.

Ь2> \ СС.Ч1

0 ДгДЛЛ

с12:

- II -

Второй параграф глаш I посвящен изучению нелокальных краевых задач для уравнения

hfw^H*0-

Пусть 'П. -конечная односвязиая область, ограниченная характеристиками

уравнения (6), выходящими из точек А (О, 0) , & С^ i> ^) л отрезком 3 прямой Ц г. 0 •

A í/q

здесь. Ър^пн*., ъ^-ин i,h.¿ = £)/\ m , ft aCOnst >0,

причем ? tt-

Задача I.I. Найти функции , обладаю-

щую следующими свойствами:

1) з),

Ч\ IV -rf .

u^ (х \ 0) dx

о

2) регулярное решение уравнения (&) в области ;

3) удовлетворяет условиям

u (ос,0) -ТСх) , Х£ 3 , (7:

с О

где и £-1 - действительные постоянные; С (Ос), (^(Х) и

9 Л " -ТР

Ю^ХУ- заданные функции; В(СС)=|^ — ] - I • ~

аффикс точки пересечения характеристики уравнения (6), выходящей из точки (^»О) £ 3 с характеристикой АС . Имеет место

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия

2) с^сх^о, Ухе а^х),

( целая часть — ^ ). Тогда задача 1.1 в области

однозначно разрешима. Задача 1.2 . Определить функцию 11 (СС,^) 00 следующими свойствами- Т) С. (Л.)-, 2)

регулярное решение уравнения (6) в области £1. ;

3) Ц. , ^ ) удовлетворяет условиям

СЛ

= \)(х) , ос е

где ^(Х) > С1^ЭС) и (_ЭС) - известные функции.

Справедлива следующая

Теорема 1.2 . Если выполнены условия

т) , Ц ? шах | ^> ¿1

2) с^съ^о.УъеЗ, а.,(х), Вг(х)еС(5)пС2(а);

3) Хх) еСЧЗ) и функция ^ ("ЗС.) ■ монет обращаться в бесконечность порядка меньше (_ 1— (-" на концах интервала ^ , то существует единственное'рейекие задачи 1.2.

Замечание 1.1 . Задачи 1.1 и 1.2 яри ( = 1,2) сводятся к задаче Царбу, которая текке будет однозначно разрешима.

Третий параграф главы I посвящен изучению аналога задачи Гурса для уравнения

Ы^^Г^1^0' »ии-^ои^ >0 <и\

Пусть конечная односвязная область плоскости

переменных ( 31,4^ ► ограниченная при Ч >0 харак-

пп<1; 1 о, 1 р Л а теристикамя (Л.,' 7Г ЗС. - ~гч —У »

1 ^ р а

АС / : 7Г —Ц^—Ь., а при Ч<0 хапактеристиками ~ 1 у Р сТ (1

0Сг:^- АС,: =

уравнения (II), где 1р=т+1, .причем ¡Ц > Я •

Задача 1.3 . На?ти регулярное в области Л ре-леяие иДХ^) уравнения (II), удовлетворяющее

краевым условиям

где и - действительные числа; (X) и ^ (%■) ^ ^ —- заданные функции. Имеет место

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия

аг)

и _ + 2

èjC^l)^^- и функция èj (ОС) могет обращаться в

бесконечность порядка не выше ( 1-2.jJ)/(£«-2оО на концах интервала 3 •

Тогда существует единственное решение задачи 1.3 Задача 1.4. Требуется найти регулярное в области П. решение U.(X»^j) уравнения (II), удовлетворяющее краевым условиям

^охН^0'^!^ û)+dj{*), ос £0,

где и , - заданные функции.

Справедлива следующая

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия

г) CjC^+til^O, Vxc 5, С^(ас)еС1( 3), d^ (зс)еСг(3)

- 15 -

и функция с!^ (X) , = 2.) в точках Х = 0 . X =а1 может обращаться в бесконечность порядка не выше Тогда эада'.з 1.4 однозначно разрешима. Замечание 1.2. Задачи 1.3 и 1.4 при О_^(а)=0 и С.^ • —4.Д) сводятся к задаче £урса.

Вторая глава, состоящая из двух параграфов посвящен^ постановке л исследованию нелокальных краевых задач для уравнения

ц^+х^Иэд-О, т,п. =СопзЬ

Пусть Л- - конечная оцносвязная область плоскости переменных ограниченная при Х>0 • ^ >0 гладкой кривой с£ с концам АсЛ^О), В>(0»И4) отрезком оси и при ЭС^О » ^ ^ 0 характеристиками

уравнения (14). где 1Л<| = И + Лгр •

Введем обрзнгчения

I г Эг^Л Г Р

у]- ■ т]

3*1 главы И изучается задача Т^ для уравнения (14). Задача Т^ . Нейти регулярное в области Л. решение ЩЗС,1|) уравнения (14), удовлетворяющее краевым условиям

u 0)4,(01),хеХ

где Е-о. ^-г. - действительные числа; ^(Х,^) ,

и - заданные функции, причем

a t(x) е с с з ) п счз ( з )

и функция

не концах интервала может обращаться в бесконечность

порядка меньше { I-1 / (L-loi.) ■

Теорема 2.1 . Если d1(x)>0, —g-"

то задача имеет не более одного решения-

Единственность решения задачи Ч^ доказана с помощью аналоге принципа экстремума А.В.Бицадзе. а существование решения методом интегральных уравчений.

В § 2 главы П изучена задача Т^ для уравнения (14). Задача • Требуется определить регулярное в области решение уравнения (14), обладающее всеми

условиями задачи Т^ , кроме (16),которое заменяется условием

и № схД сх, (х), ос в о, ^

где (Х^С^Л и - известные функции; "Е.£ и £2. ~ '

-17" - - а,

действительные числа, причем & (х), 0.(Л)Г)С (3),

Основным результатом второго параграфа является доказательство существования и единственности решения задачи Т2.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю признательность научному руководителю, академику АН РУз Махмуду Сэлахитдиновичу Салахитдинозу за постановку задач, постоянное внимание и канд.физ.-мат. наук, докторанту Бозору Исломовичу Исломову за ценные советы, данные прз выполнении настоящей работы.

Основные результаты Диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Косимов Х.Н. Нелокальные краевые задачи для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области //Доклады АН У"ССР. 1990. Л 7. С. 3-5.

2. Исломов Б., Косимов Х.Н. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения гиперболического типа с двумя линиями вырождения //Доклады АН УзССР, 1991. »12. С. 3-5.

3. Косимов Х.Н. О двух нелокальных краевых задачах для гиперболического уравнения зарождающегося внутри области // Дифф..уравнения и оп-имальное управление. Тез.докл.Всесоюзной конференции. Алхабад, 4-6 октября 1990. Ашхабад: ылым. 1990. С.70-72.

4. Салахитдинов М.С., Исломов Б., Косимоз Х.Н. Некоторые свойства операторов пробного интегродифференцировзкия с различными порядками и их приложения к решению краевых задач // Доклады АН РУз, 1ЭЭ2. » 2. С. 3-5.

5. Исломов Б., Косимов Х.Н. О некоторых нелокальных краевых задачах для уравнения смешанного типа с дгумя линиями вырождения //Доклады АН РУз, 1993. $ I. С. 3-5.

- 18 -

, ТУШ КАСР ТАРЭДШ ИНТ1ГР0ДИ'»ЕР2Н1Ш ОПЕРАЩМР КСЬИОЗЖМЯСШМНГ ЩШШЯТЛАРИ .ВА УДАРНИНГ ГШШРБОЛИК ШЕА АРАЛА1Я ТИПДАГИ ТШШ'АШ УЧУН ЧЕГАРАБИИ МАСАЛАЛАР ШШШТА ТАЕШШРИ

Гипербодик Bö зралаз тиадаги■тенглэмалар учун докал ва ноло-квл чегаравий ма-селаларни урганишда каср тартиблк интегроди±4е-ренгдаал операторлар композициясининг к^нундятлари мухим ааузыият-га эга будадв.

Диссертадаянинг биринчи бобида каср тартибли интегроди|$е-рекциал операторлар композициясининг цатор хосселарв ва уларнинг гиперболик типдаги тенгламзлар учун коррект.масалалар чуйи™га х^ыда. уларки ечилиишга тадби^ари урганилган.

Иккинчи бобида элдиптика-гиперболик типдаги.тенглаыа учун иккита нолокаЛ чегэравий.масала урганилган.' Бу масалалар ечиыи-нинг ягоналиги максимум принципа асосид: иеботланада. Чегаравий масалалар ечиминкнг- ыавхудлиги сингуляр интеграл тенгдамалар ва иккинчи.тур &рздгсльы интеграл те'нглаыалари казариясидаь $ойдала-яиб курсагалган.

.Кчссертацияда сдинган некижалар гипербодик ва арадаш типдаги тенгламалар учун чегаравий масалалар каззриясида яудланалили ыумкин.'.'■■

- Id -

c:: the us' cf cc&positioi; of the operators ikt2gro3Ift£:-.e;:tiatic!; g? various peactionai, ORiiKs ITS AnucAnc:.s ?>. solvi:;g OF BCUKDAkY VALUE- &'BLEY.5 FOB. EUIiKf-OLlC i'JXED Ix PIS JKUA7ifi:;S

At the investigation of local and r.onloeal boundary value problems for hyperbolic and nixed types equations with one and two lires of degeneracy the problem of studying of coapocition laws for fractional integroiifferer.tiation operstcre eriees.

The first chapter of the thesis devoted to the investigation of composition laws for fractional integrodlfferen-ticatirn operators and their applications to the solving of nonlocal boundary value problems for hyperbolic eguationa.

In the E-jcond chapter two nonlocal boundary value problems for elliptic-iyperbolic type equation are posed and investigated. The uniqueness of solution of considering problems is proved with the aid of extremum principle. For. the proving of existence theorems of the Volterro ond Fxedholn linear integral equations theory end singular integral equations theory are applied.

The obtained results Qre new and have the theoretical character.

They can be used for the further development of the theory of boundary value problem for hyperbolic and nixed types equations.