Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Иванков, Павел Леонидович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 511.361
Иванков Павел Леонидович
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ЗНАЧЕНИЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора
физико-математических
Москва - 2009
003468068
Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Матвеев Евгений Михайлович
доктор физико-математических наук, профессор Салихов Владислав Хасанович
доктор физико-математических наук, профессор Сорокин Владимир Николаевич
Ведущая организация:
Московский педагогический государственный университет
Защита диссертации состоится 15 мая 2009 г. в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: РФ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 1408.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан 15 апреля 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор
О.Иванов
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Рассмотрим обобщенный гипергеометрический ряд
со у , ,
„=0 х=1 °[Х)
где а(х) - (ж+а1)... (х+ат),Ь(х) = (ж+Д)... (х+Рт), а(х)Ь(х) ф О
при х = 1,2,3,____ Если г < т, то Е(г) — целая функция; при
г — т. степенной ряд (1) имеет конечный радиус сходимости. Функции, определяемые равенством (1), будем называть (обобщенными) гипергеометрическими функциями, а числа а\,... ,аг, А1 • ■ ■ > Рт — параметрами этих функций. В работах многих авторов изучаются вопросы линейной независимости значений функций вида (1) и их производных над различными полями алгебраических чисел (чаще всего над мнимым квадратичным полем), а также методы получения оценок снизу абсолютных величин однородных и неоднородных линейных форм от указанных значений. Рассмотрим постановку соответствующих задач в простейшей ситуации.
Пусть I — некоторое мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел; а(х) и Ъ(х) — многочлены из кольца 1[х]; ш^О — число из поля I. Требуется доказать линейную независимость над I чисел
^Игн,...,^-1^),
а также выяснить вопрос о возможной малости модуля линейной формы
т
Ло + ^^'И ¿=1
с коэффициентами из кольца целых чисел Ъ\ поля I в зависимости от величины Н — тах^Л^,..., \Нт\).
Первым шагом на пути к решению поставленных задач является построение линейной приближающей формы, имеющей высокий порядок нуля при г = 0. В рассматриваемом случае это означает, что требуется подобрать многочлены Ро(г), Р\(г),..., Рт(г) степеней не выше п так, чтобы функциональная форма
т
П(г) = + (2)
;=1
имела при г = 0 порядок нуля не меньше, чем
тп — е(п), (3)
и была бы отлична от тождественного нуля. Дополнительно требуется, чтобы коэффициенты многочленов удовлетворяли некоторым ограничениям. Выбор величины е(п) определяется возможностями метода, применяемого при построении функциональной формы Щг). При рациональных параметрах оц,..., аТ, (3\,..., /Зт такая форма может быть построена с помощью принципа Дирихле. Последующие рассуждения ведутся по схеме, предложенной К.Зи-гелем1 . В дальнейшем метод Зигеля был существенно усилен в работах А.Б.Шидловского. Обычно с помощью метода Зигеля доказывают алгебраическую независимость значений функций вида (1) и их производных и получают оценки мер алгебраической независимости соответствующих чисел. Приведем здесь следствие одной из теорем А.Б.Шидловского2.
Теорема I. Пусть функции
линейно независимы над полем параметры ах,...,аГ)
• • •, Ап рациональны, и пусть ш — ненулевое число из поля I. Тогда для любого нетривиального набора Но, = 1,... ,т, — целых чисел из указанного поля — выполняется неравенство
/io + X^i^'-V) j'=i
> , (4)
'Siegel C.L. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen //Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. KI - 1929-1930. - № 1. - S. 1-70.
2Shidlowskii A.B. On the estimates of the algebraic independence measures of the values of E-functions 1/3. Austral. Math. Soc. Ser. A. - 1979. - V. 27. - P. 385-407.
где
Н — max(3, \hj\,j = 1,..., га)
а положительная постоянная 7 зависит от
Заметим, что аналогичные следствия можно получить из результатов указанной работы и в более общей ситуации. При доказательстве теоремы I величина е(п) из (3) имеет порядок О (
Уточнить оценку (4) можно только за счет присутствующей в показателе степени величины Однако, осуществить такое
уточнение в присущей методу Зигеля общности не удаётся. Не удаётся также применить метод Зигеля в его классической форме для исследования арифметической природы значений функций вида (1) в случае, когда параметры этих функций не являются рациональными; причины последнего обстоятельства вскрыты в работе А.И.Галочкина 3.
В некоторых случаях линейную приближающую форму (2) можно построить эффективно. Такое построение применялось в работах Ч.Осгуда4, Н.И.Фельдмана0, А.И.Галочкина6'7, Е.М.Никишина8 и других.
Приведём здесь теорему, характерную для получаемых этим методом результатов.
Теорема II (А.И.Галочкин7) . Пусть — функция вида (1), Д,.. .,Рт — рациональные числа, а(х) = 1; и 1,... — попарно различные ненулевые числа из поля I. Тогда для любого нетривиального набора
3Галочкин А.И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу . Е-функций //Математические заметки. - 1981- - Т. 29, j\s 1. С. 3-14.
4Osgood Ch.F. Some theorems on diophantine approximation //Trans. Amer. Math. Soc. -1966. - V. 123, Nr 1. - P. 64-87.
5Фельдман Н.И. Оценки снизу для некоторых линейных форм //Вестник МГУ. - Сер. 1. Математика, механика. 1967. - № 2. - С. 63-72.
6Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций //Математические заметки. - 1970. - Т. S, № 1. - С. 19-28.
7Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I //Вестник МГУ. - Сер. 1. Математика, механика. - 1978. - № 6. - С. 25-32.
®Niki5in Е.М. Arithmetic properties of the Markov function for the Jacobi weight //Analysis Mathematica. - 1982. - V. 8. - P. 39-46.
h0,hkj,k = l,...,t,j = l,...,m,
— целых чисел из поля I
— выполняется неравенство
т
ло+^хх-^ы >н
-mt—
In In я
Ь=1 j=1
где Н = тах(3, к = 1,..., = 1,..., т), а положительная постоянная 7 зависит от Д,..., 0т, ,..., о^.
Эта теорема также может быть доказана с помощью эффективного построения пикейной приближающей формы для соответствующей совокупности функций. При эффективном построении приближающей формы К(г) её порядок нуля обычно оказывается максимально возможным, и е(п) в (3) на деле от п не зависит. Это приводит к уточнению оценки линейной формы: остаточный член порядка 0( 1/\/1п 1пН), присутствующий в показателе степени в правой части неравенства (4), заменяется в неравенстве (5) на 0(1/1п1п#). Отметим, что в последней теореме рассматривается совокупность значений функции (1) и её производных в нескольких точках мнимого квадратичного поля.
Если а(х) = 1, и Ъ(х) — А + х, то мы получим такую гипергеометрическую функцию:
Приведём пример теоремы, вытекающей из результатов работы Н.И.Фельдмана5, в которой варьируются параметры функции (6).
Теорема III. Пусть w — отличное от нуля рациональное число, а Ai,..., At суть различные по модулю 1 рациональные числа, не являющиеся целыми отрицательными. Тогда для любого нетривиального набора ho,hi,...,ht — целых рациональных чисел — выполняется неравенство
а 7 — положительная постоянная, зависящая от Ai,..., Аг и ш.
(6)
где
Н = max(|Ajfc|, k = l,...,t),
В ряде работ9' 10 были исследованы арифметические свойства значений производных по параметрам гипергеометрических функций. С помощью метода Зигеля была доказана алгебраическая независимость таких значений; эффективная конструкция линейных приближающих форм в этих работах не использовалась.
Рассмотрим ещё полилогарифмы, т.е. функции вида
Арифметические свойства значений таких функций изучались в нескольких работах11,12,13; наиболее общие результаты содержатся в работе О.Н.Василенко14, где с помощью эффективного построения линейной приближающей формы доказано, что числа
(0Jk\
А;, —) ,к = l,...,t,l = l,...,u,j = l,...,mi
линейно независимы, и получена оценка соответствующей линейной формы. При этом предполагается, что Ai,..., Au рациональны и удовлетворяют некоторым естественным ограничениям, а число q достаточно велико.
Вместо линейной приближающей формы (2) часто используют совместные приближения
ÄJ-(Z) = P(Z)F0-4(Z) + PJ-(Z)> j = 1,...,тп, (7)
где P(z),Pj(z) — многочлены, степени которых не превосходят
п, а отличные от тождественного нуля функции Rj(z) имеют при
z = О нуль порядка не меньше, чем
п , .
п Н---ein).
m
0Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 1967, № 2. - С. 55-62.
10МаЫег К. Application of а theorcm by A.B. Shidlovsky // Proc. Roy. Soc. Ser. A. - 1968. -V. 305. - P. 149-173.
llMaier W. Potenzreiben irrationalen Grenzwertes //J. reine ang. Math. - 1927. - H. 156. -S. 93 - 148.
12Фельдман Н.И. Об одной линейной форме //Acta Arithm. - 1972. - XXXI. - С. 347-355.
13Никишин Е.М. Об иррациональности значений функций F(x,s) //Матем. сб. - 1979. -Т. 109(151), № 3. - С. 410-417.
14Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций //Диофантовы приближения. - Ч. 1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 10-16.
Замечание по поводу е{п), сделанное после (3) остаётся в силе и здесь. Во многих случаях использование совместных приближений даёт лучшие результаты. В работе Г.В.Чудновского 15 с помощью совместных приближений доказаны теоремы об арифметической природе значений функции ^(г) и её производных при а(х) ф 1.
Эффективные конструкции линейных приближающих форм (2) или совместных приближений (7) позволяют не только уточнить оценки соответствующих линейных форм, но также исследовать арифметические свойства значений функций вида (1) и их производных в случае иррациональных параметров. Первые результаты такого рода были получены в предположении 6(0) = 0 (так называемый однородный случай).
Теорема IV (А.И.Галочкин6) . Пусть Р(г) - функция вида (1), а(х) г 1,Ь(х) 6 1[аг],Ь(0) = ф 0 - число из поля\. Тогда для любого набора целых чисел ..., Дт из поля I выполняется неравенство
3=1
где Н — тах(3, \hj\jj — 1,... ,т), а у — положительная постоянная, зависящая от и и от параметров функции ^(г).
Привлечение теории делимости в полях алгебраических чисел позволило доказать аналогичные теоремы и для неоднородного случая; приведём здесь формулировку одного из таких результатов16.
Теорема V . Пусть а(х) = 1, а Д,...,/Зт — алгебраические числа степеней соответственно щ,..., хт, причем Ь(х) 6 1[аг],
15Chudnovsky G.W. Pade approximations to the generalized hypergeometric functions. I. //J. math, pures et appl. Ser. 9. - 58, № 4. - 1979. - P. 445-476.
16Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций //Сиб. матем. журнал. - Т. 17, № 6. - С. 1220-1235.
т
и пусть и> — ненулевое число из поля I. Тогда для любого е > О при любом наборе = 1,...,т, — целых чисел из поля I,
для которых
Н = = 1 ,...,т) > Н0(Ри... ,рт,ш,е),
выполняется неравенство
т ¿=1
В работе А.И.Галочкина17 для построения линейной приближающей формы предложен новый подход, в котором используется как принцип Дирихле, так и эффективная конструкция. Это позволило получить наиболее общие результаты об арифметической природе значений функций вида (1) с иррациональными параметрами при а(х) = 1.
При некоторых дополнительных ограничениях, наложенных на параметры функции Р(г), оценка (5) при допускает дальнейшее уточнение. Относящиеся сюда результаты содержатся в работах А.Н.Коробова18, А.И.Галочкина19 и А.Ю.Попова20. Полученные в указанных работах оценки линейных форм являются точными по высоте. Пример вычисления постоянных, входящих в такие оценки, содержится в работе20.
Приведенные результаты показывают, что актуальной является задача эффективного построения функциональной приближающей формы Щг), определяемой равенством (2), для случая а(х) ф 1. Указанное построение позволяет обобщить на такой случай теорему II, а также другие аналогичные результаты. Эффективные конструкции, в которых варьируются параметры функций, дают возможность обобщить теорему III в различных направлениях . В некоторых случаях возможно эффективное построение
17Галочюга А.И. О некотором аналоге метода Зигеля //Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. - 1986, № 2. - С. 30-34.
18Коробов А.Н. Оценки некоторых линейных форм //Вестник МГУ. Серия 1. Математика, , механика. - 1981, № 6. - С. 36-40.
19Галочкин А.И. О неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм //Математический сборник. - 1984. - Т. 124, № 3. - С. 416-430.
20Попов А.Ю. Приближения некоторых степеней числа е //Диофантовы приближения. Ч. 1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. - С. 77-85.
линейной приближающей формы и для функций, полученных из (1) дифференцированием по параметру. Это позволяет уточнить оценки линейных форм, вытекающие из результатов работ9'10. Актуальной является также задача обобщения теорем IV и V на случай а(х) ф. 1. Здесь можно применить упомянутую выше эффективную конструкцию линейной приближающей формы Я(г), а также обобщение некоторого аналога метода Зигеля из работы 17. В связи с работой19 отметим также актуальность задачи о вычислении констант, входящих в точные по высоте оценки, по аналогии с тем, как это сделано в20 для экспоненциальной функции.
Целью работы является изучение арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций. При этом в случае рациональных параметров основное внимание уделяется уточнению оценок соответствующих линейных форм; для точных по высоте оценок вычисляются константы, входящие в эти оценки. Для функций с иррациональными параметрами в первую очередь рассматриваются вопросы линейной независимости значений таких функций.
Методы исследования. Для доказательства большей части перечисленных ниже теорем применяется метод, основанный на эффективном построении функциональных приближающих форм. Этот метод, впервые использованный в классических работах Эрмита и Линдемана. позволяет получить наиболее точные оценки числовых линейных форм. Некоторые результаты о линейной независимости значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами получены с использованием одного из вариантов метода Зигеля. В этом случае функциональные приближающие формы строятся с помощью принципа Дирихле, что позволяет провести соответствующие исследования в большей общности.
Научная новизна. Новыми являются все основные результаты диссертации. Построены аппроксимации типа Паде для обобщенных гипергеометрических функций (1) и их производных в различных ситуациях (в нескольких точках, для варьируемых параметров, для функций, полученных дифференцированием по параметру). Указанные построения применены для уточнения оценок
линейных форм от значений соответствующих функций; в ряде случаев получены новые результаты о линейной независимости значений рассматриваемых функций. С помощью одного из вариантов метода Зигеля доказаны теоремы о линейной независимости значений функций (1) и их производных в случае иррациональных параметров и получены соответствующие количественные результаты. В некоторых случаях вычислены постоянные, входящие в неулучшаемые по высоте оценки линейных форм. Уточнены оценки неоднородных линейных форм от значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для теории трансцендентных чисел и могут быть использованы в других разделах математики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по теории чисел МГУ (неоднократно в 1984-2007 г.) и на заседаниях Всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", проходившей в сентябре 1989 г. в Минске; на Международной конференции "Трансцендентные числа" в Москве в сентябре 2000 г., а также на Международной конференции "Diophantme and analytic problems in number theory", посвященной 100-летию со дня рождения А.О.Гельфонда (Москва, январь-февраль 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[15]; совместных публикаций нет.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 123 страницах. Библиография включает 50 наименований.
Работа выполнена при поддержке Международного научного фонда, грант № MHS000, и Программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2007)", проект РНП 2.1.1.2381.
Содержание диссертации
Глава 1. Рациональные параметры
Перечислим теоремы, доказанные в первой главе диссертации. Рассмотрим вновь функцию
00 " / \ 1/=0 х=1 ^ '
где а(х) = (х + се1)...(х + аг), Ь(х) = (х + ... (х + /3,„); г^тп; а(х)Ь(х) ф 0 при х = 1,2,...; а^ — ^ф 0,1,2,..., 2 = 1,..., г, ^ = 1,..., т. Через I, как и выше, обозначим некоторое мнимое квадратичное поле (или поле рациональных чисел). В § 1 с помощью эффективной конструкции аппроксимаций Паде первого рода для функции Р(г) и ее производных в различных точках получены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть корни многочленов а(х) и Ъ(х) рациональны, г <т, о>1,..., ыг — попарно различные отличные от нуля числа из поля I, и пусть = = 1 ,...,т, — нетри-
виальный набор целых чисел из этого поля. Тогда выполняется неравенство
i т
йо + ЕЕ^0"1^) > Я-""-***, (8)
где
Н = тах(3, к = 1, ; = 1,...,т); константа 7 зависит от чисел и от параметров
функции Р(г).
Если 6(0) = 0, то можно получить оценку соответствующей однородной формы (более точную чем та, которая вытекает из (8)).
Теорема 2. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы, и пусть 6(0) = 0, т^ ^ 2. Тогда
í т
ЕЕ
к=1 ¿=1
где определяются так же, как и в теореме 1.
Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме условия г <т, и пусть г = т. Пусть, далее, натуральное число Л ^ 3 таково, что числа
АаиЩ} Auk, A/u)k; A[{uki - wk.£)
являются целыми в поле I,
О > max [\ai\,\Pj\,\uk\,-r-,,]---г, А ) ,
V М l^-w^l J
i = 1,..., г, j = 1,..., т, k, kh k2 = 1,..., t, h ф k2. Тогда для любого q — целого числа из поля I при |д| > В,
где С
> Я I» i,i-i» в , (9)
В = еСт2«(ш+<)П
абсолютная положительная постоянная, при любом нетривиальном наборе Ло; ^к] — целых чисел из поля I — при Н ^ Но(а{, Ду, шк, q) выполняется неравенство
Ь ш /
ло+ЕЕ^-Ч?
*=1 ¿=1 4 4
где Н определяется, как в теореме 1.
Поскольку при |д| —> сю показатель степени в правой части (9) стремится к —пй, то последней теореме можно придать следующий вид.
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3, и пусть е — произвольное положительное число. Тогда существует q0 = qQ(ai, такое, что при любом целом q, > до из
поля I для любого нетривиального набора Но, Ьц — целых чисел из поля ¡1 — выполняется неравенство
г т / ч
¿=1 3=1 \ у /
где Н определяется, как в теореме 1, Н ^ Но(а-{,
Теорема 5. Заменим условие г < т теоремы 2 наг = т; прочие условия оставим без изменения. Числа й и Л определим, как в теореме 3. Тогда для целого числа д из поля I при > В, где
В = ес™2*(т+*№
С — абсолютная положительная постоянная, при любом наборе ^у — целых чисел из поля I — выполняется неравенство
I ш / \ ,
ЦУ1 т1> 1п|,|-1пВ
т
4=1 ;=1 х 5
>
где Н определяется, как в теореме 1, Н ^ Но(а{,¡3^,и>к,я)-
Результаты § 2 получены с помощью эффективной конструкции аппроксимаций Паде для гипергеометрических функций и их производных с различными параметрами.
Предположим, что для а(х) и Ь(х) выполнены все условия, указанные перед формулировкой первой теоремы.
Теорема 6. Пусть корни многочленов а(х) и Ь(ее), а также 6, А1,..., А4 — рациональные числа, причем 5 ^ Ъ; А/с! - А/ь £ кг ф к2, к2 = 1,..., (х + Ак + 5)(ж + Ак) Ф 0 при х = 1,2,3,...; к = 1,..., € I, и ф 0. Пусть, далее,
ад = ¿,»11 (Ш)
А* - /3,- ф 0,1,2,..., 1 + г < ш;
00 У / \
а» — А* ^ 0,1,2,..., г < т + 1;
а* - А*, АЛ + 5 - $ ф 0,1,2,..., г < т;
1/=0 1=1 ' 12
±А* - /3,^ 0,1,2,..., Хк1 ± Хк2,2\к# 2, г + 2 < тп;
00 V , V
± А* ^ 0,1,2,..., А^ ± А*,, 2А* £ г < т + 2.
Безде г = 1,..., г, = 1,..., т, к, к\, к2 = 1,... к\ ф к^. Тогда для соответствующей функции (обозначаемой ниже через ^(я)^ и для любого нетривиального набора /го, Лу — целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, Н ^ 3, выполняется неравенство
'«о+ЕЁ^Г'н
*=1 з=1
где число и равно степени многочлена, стоящего в знаменателе под знаком произведения в правой части равенства, определяющего функцию ^(г); 7 — положительная постоянная, зависящая от аг,(3],и), а для функции (12) также и от 5.
Для всех функций (10) — (14) можно сформулировать и доказать аналог последней теоремы для однородного случая. Приведём в виде примера соответствующий результат для функций (10).
Теорема 7. Пусть для функции (10) выполнены все условия теоремы 6. Дополнительно потребуем, чтобы выполнялось равенство 6(0) = 0 и чтобы было пй ^ 2. Тогда для любого нетривиального набора Ъ,^, к = 1,..., 3 — 1,..., тп, — целых чисел из поля I — выполняется неравенство
I т *= 1 3=1
где положительная постоянная 7 зависит от параметров функции (10) и от числа ш.
Отметим, что если в последней теореме а(х) = 1, то в случае функций (11) и (14) нет необходимости требовать, чтобы корни
> гн,
многочлена Ь(х) были рациональными числами; достаточно ограничиться условием Ь(х) £ 1[ж]. Ввиду отсутствия в доказательстве принципиально новых моментов, это доказательство в диссертации не приводится. Если в правых частях (10) — (14) под знаком произведения степень числителя равна степени знаменателя, то для таких функций справедливы аналоги теорем 3 - 5 (в последнем случае при выполнении условия однородности). В диссертации приводится (без доказательства) лишь аналог теоремы 4:
Теорема 8. Пусть для функции (10) вместо условия 1 + г < т выполняется равенство 1 + г — т, и пусть г — произвольное положительное число. Тогда существует до = ^о(огг-, уЗ^-, Л^, е) такое, что при любом целом д, ]д| > до из поля I для любого нетривиального набора Ь®, Иц — целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н — при Н ^ и>, А^, е, д) выполняется
неравенство
Поскольку две последние теоремы приводятся без доказательств, они не включаются в число основных результатов диссертации.
В § 3 эффективная конструкция аппроксимаций Паде второго рода строится для гипергеометрических функций с различными параметрами. Эта конструкция применяется затем для доказательства теоремы 9.
Теорема 9. I.Пусть г < т; корни многочленов а(х) и Ь(х), а также числа А, Ах,..., А( рациональны, (ж+А)(а;+А1) • • ■ (я+А^ ф 0 при х = 1,2,3,...; А*, - А)с2 кгф к2, к1у к2 = 1,..., t, ш ф О, ш £ I, и пусть выполнены указанные перед формулировкой теоремы 1 ограничения на параметры функции (1). Если
\k~Pj, А*-А, а,—А = 1,. ,.,г, У = 1,. ..,га, к = 1,.. £ I,
и) ф 0, то для любого нетривиального набора = 1,..., то,
к = 1,..., I, I = 1,..., тп + 1 — целых чисел из поля I — выполняется неравенство
т I т+1
йо + + £ £ Л^'-1'^)
¿=1
к=1 /=1
> Я "
где и = т + 1), а 7 — положительная постоянная, зависящая от а{, ¡3], Х,и> и от поля I;
Я - тах(3,\hj\jj ~ 1,... ,т, |/1Ы|, & = 1,... I - 1,... ,т + 1). 2. Утверждение теоремы останется в силе, если
где Л, \к, а* - Хк, А - ^ 2, /г = 1,..., г = 1,..., г.
Пусть ра (г) — гипергеометрическая функция (6), и пусть
дЫ*) М , . п
5А
¡/=1
А + 1 + " ' + А + г//А + г
' 2=1
где А — дробное рациональное число.
Теорема 10. Если £ — ненулевое число из поля I, —
нетривиальный набор целых чисел из указанного поля, и
Н = тах(3, |Л-11, |Л2|),
то выполняется неравенство
Ь + + Ь
дМО
дХ
> Н-
где положительная постоянная 7 зависит от А и
Последняя теорема также доказывается с помощью эффективной конструкции аппроксимаций Паде - на этот раз для функций
Ы*) и
Глава 2. Иррациональные параметры
В § 1 эффективное построение линейных приближающих форм, применяемое для доказательства теорем первой главы, используется для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами.
Пусть, как и выше, I — мнимое квадратичное поле Ах и Лг — иррациональные числа из этого поля, разность которых есть дробное рациональное число. Рассмотрим функции
00 V 1
„=0 х~\ °к{-Х>
где Ьк(х) — (х + А(;)6(гс) € 1[ж] — многочлен степени га, старший коэффициент которого равен 1; 6(0) = 0; к = 1,2; = 1 ,...,т.
Теорема 11. Пусть £ — отличное от нуля число из поля I; Ьк],к = 1,2; j = 1,...,т, — целые числа из этого поля,
Н = тах(|Л^|).
Тогда для любого положительного е найдется Но такое, что при Н ^ Но выполняется неравенство
2
>Н
1—4т—е
¿=1 Л = 1
В §2 с помощью одного из вариантов метода Зигеля доказываются следующие теоремы.
Пусть ак(х),Ьк{х),Ь(х) — многочлены, коэффициенты при старших степенях которых равны единице. Степени этих многочленов равны соответственно г>*, и* ив, причём
Ь{х) = (а; + Ах)... (а; + Аи),
где Ах,..., \и — алгебраические числа степеней соответственно ..., х„, а число г определено равенством
= (15)
II ' к..
и *г~! X,
«=1
Пусть, далее, ак{х)Ък(х)Ъ(х) ф 0 при х = 1,2,3,... ;
к=0
Fkjk(z) = z^j-Fkjk-i(z),jk = 2,... ,тк,тк = и + ик, к = 1,... ,t.
Теорема 12. Если функции 1, Fkjt(z), к = 1,..., i; jk = 1,..., тк, линейно независимы над C(z); b(x) G £ I, корни многочле-
нов ak(x) и bk(x) рациональны, vk ^ uk,vk < mk,uk — vk = d не зависит* очп /с, Je — 1,..., то для любого е > 0 и для любого нетривиального набора ho, hkjk, k = 1,..., t, jk — 1,..., mk, - целых чисел из поля I - при H = maxO^-J, k = 1,..., t, jk = 1,..., mk) > > Hq{Fi{z), ..., Ft[z), I, e) выполняется неравенство
t mt
ло+ЕЕ^аф
k=i jt=i
m(u+d)+nr
> 77 u+d-uT
где m = 77ii + ... + mt.
Теорема 13. Пусть функции Fkjt(z), к — 1,..., t, jk — 1, - ■ ■, тк, из предыдущей теоремы линейно независимы над С (г), прочие условия этой теоремы оставим без изменения; дополнительно потребуем, чтобы выполнялись соотношения ик > 0, Ьк(0) = О, т = т\ + ... + mt ^ 2. Тогда для любого нетривиального набора hkji — целых чисел из поля I — и для любого е > 0 при достаточно большом Н,
Н — max(\hkjk\,k = 1 ,...,t, jk= l,...,mk),
выполняется неравенство
t тк
ЕЕ^аш к=1 jt=1
^ ц-Цтп-1)(и+с1)+ит)1(и+с1-ит)-с
Теорема 14. Пусть ак(х),Ьк(х) — многочлены, все корни которых рациональны, а коэффициенты при старших степенях равны единице; deg ak(x) = vk, deg bk(x) = uk, uk-vk = rk^ 0,
к = 1,..., е?1,..., с^ — такие делители соответственно чисел 7*1,..., г*, что Л = не зависит от к (если гк ф 0, то можно, например, положить (4 = тк). Пусть далее, Ь(х) — (х + Д)... ... (х + /Зи) — многочлен с коэффициентами из некоторого мнимого квадратичного поля I, /?1, ...,Д, — алгебраические числа степеней соответственно х\,..., ни, число т определено равенством (15). Предположим, чтоик < тд- = ирассмотрим при А; = функции
линейно независимы над С(г), то для любого е > 0 и для любого нетривиального набора /го, — целых чисел из поля I — при Н = тах > Щ^^г),!, е) выполняется неравенство
где т = т\ + ... + т^
Если в этой теореме положить = ... — г^, ¿1 = ... = с^ = 1, то получится теорема 12.
Теорема 15. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы, ак(х) = 1, ¿>¿(0) = 0, А: = 1,..., Относительно функций
предположим, что они линейно независимы над С(г). Тогда для любого нетривиального набора — целых чисел из поля I — при Н = тах ^ 3 выполняется неравенство
где 7 > 0 — постоянная, зависящая от параметров функций Рк(г) и от поля I; т — Ш1 -¡-... + тг.
где и)к — числа из поля I. Если функции
1, ^(г), к = 1,...,*; ^ = 0,1,...,т,-1
Глава 3. Уточнение оценок
В § 1 рассматриваются две теоремы, в которых вычислены константы, входящие в неулучшаемые по высоте оценки линейных форм. Предположим, что А — число из поля I отличное от — 1, —2,...; в ф 0 — такое целое число из I, что в\ 6 Ъ\\
1
^ в11 х(х + А)
V=0 х=1 ;
; Л(*) = /(г); /2(*) = вг/'О*).
Теорема 16. Пусть а = 1 /с, с £ 2ц, с ф 0. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Неравенств о
/2(а)
ЛИ
<
1 1п1п |д| \вс\' \q\4n\q\
имеет бесконечно много решений в целых числах р и д из поля I. 2.При любом положительном е неравенство
ЛИ
<
ш
— £
1п 1п |д|
может иметь лишь конечное число решений в целых числах р и д из поля I.
Пусть
х + а с(х + /3)
где а — положительное рациональное число, причем числа аи2а не являются целыми; /3 = 2а + 1. Пусть, далее, а £ М, аа £ М, Ъ — отличное от нуля целое число из некоторого мнимого квадратичного поля I;
А,{г) = А2(г) = гА'(г), 6 = ¿1 [ , 6 =
С — С\С2-
Теорема 17. Неравенство
+ < С(Я 1пЯ)-11п1пЯ, Я = тах(|Л1|,|/12|),
(16)
имеет бесконечно много решений в целых числах Кг из поля I, а неравенство, получающееся из (16) заменой С на С — е, при любом положительном е может иметь лишь конечное число таких решений.
В § 2 доказывается теорема, в которой уточняется оценка неоднородной линейной формы из работы А.И.Галочкина21.
Пусть, как обычно, I - мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел; к = 1, и ф(х) - многочлены из
кольца 1[х], коэффициенты при старших степенях которых равны единице; дк(х) = ф^х^х) ф 0 при х = 1, 2, 3,... ;а>ь ..., щ -ненулевые числа из поля I. Рассмотрим при к = 1,..., 4 функции
Предположим, что степени многочленов фк{х) равны:
¿щфх(х) = ... = йщф^х) = ни
степень многочлена ф(х) обозначим через и, и пусть т — и + щ.
Теорема 18. Если все корни многочленов фк{х) рациональны, щ > 0, и функции
21Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. -1979, № 1. - С. 26-30.
1, ^(г), & = !,...,<, у = 1,... ,т,
линейно независимы над С(г), то для любого е > 0 щи любом нетривиальном наборе целых чисел из поля I
Ло, к = ] = \
при всех достаточно больших значениях Н,
Н = тах(|Л;у|, к = 1,... з = 1,.. . ,то),
выполняется неравенство
( т
Ь=1
>Я"
где в — тЬ + «/г^.
Основные публикации по теме диссертации (из официального Перечня ВАК)
1. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций //Математический сборник. - 1991. -Т. 182. - № 2. - С. 283-302.
2. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера с иррациональным параметром //Математические заметки. - 1991. - Т. 49, Вып. 2,- С. 55-63.
3. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами //Математические заметки. - 1992. - Т. 52, Вып. 6. - С. 25-31.
4. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами //Сибирский математический журнал. - 1993. - Т. 34, № 5. -
С. 53-62.
5. Иванков П.Л. Об оценках мер линейной независимости некоторых чисел //Математические заметки. - 1994. Т. 55, Вып. 3. -С. 59-67.
6. Иванков П. JI. О приближении значений некоторых функций. // Вестник МГУ. Серия 1. - Математика, механика. - 1994. -А- 4. - С. 12-15.
7. Иванков П.Л. О линейной независимости некоторых чисел // Математические заметки. - Т. 62, Вып. 3. - 1997. - С. 383-390.
8. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая //Математические заметки - 2002. - Т. 71, Вып. 3. - С. 390-397.
9. Иванков П.Л. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм //Математические заметки. - 2005. - Т. 77, Вып. 4. - С. 515-521.
(прочие публикации)
10. Иванков П.Л. Об оценках некоторых линейных форм // Известия вузов. Математика. - 1993. - № 2. - С. 38-45.
11. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций //Фундаментальная и прикладная математика. -1995. - Т. 1, Вып. 1. - С. 191-206.
12. Иванков П.Л. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм //Известия вузов. Математика. - № 1. - 2000. -С. 31-36.
13. Иванков П.Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами //Фундаментальная и прикладная математика. - 2005. - Т. 11, вып. 6. - С. 65-72.
14. Иванков П.Л. О значениях некоторых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами //Известия вузов. Математика. - 2007. - № 7. - С. 48 - 52.
15. Иванков П.Л. О дифференцировании гипергеометрической функции по параметру //International Scientific Conference "Diophantine and analytic problems in number theory" dedicated to the lOOth birthday of A.O.Gelfond (1906-1968). Abstracts. -Moscow, 2007. - P. 18.
Подписано к печати 31.03.09. Заказ №236 Объем 1,1 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 263-62-01
1. Рациональные параметры 24
1.1. Различные точки.24
1.2. Различные параметры.50
1.3. Некоторые дополнения.57
2. Иррациональные параметры 67
2.1. Эффективные методы.67
2.2. Аналог метода Зигеля .74
3. Уточнение оценок 98
3.1. Однородные формы.98
3.2. Неоднородные формы.111 д ^
Актуальность темы. Рассмотрим обобщенный гипергеометрический ряд
ОО V / Ч Щ - (1) г/=0 х=1 ^ ' где а(х) = (х+аг). (х+аг), Ь(ж) = (ж+А). (х+рт),а(х)Ь(х) Ф 0 при х = 1,2,3,---- Если г < т, то Р{х) — целая функция; при г = т степенной ряд (1) имеет конечный радиус сходимости. Функции, определяемые равенством (1), будем называть (обобщенными) гипергеометрическими функциями, а числа ., аГ7 — параметрами этих функций. В работах многих авторов изучаются вопросы линейной независимости значений функций вида (1) и их производных над различными полями алгебраических чисел (чаще всего над мнимым квадратичным полем), а также методы получения оценок снизу абсолютных величин однородных и неоднородных линейных форм от указанных значений. Рассмотрим постановку соответствующих задач в простейшей ситуации.
Пусть I — некоторое мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел; а{х) и Ъ{х) — многочлены из кольца Е[а;]; и) ф 0 — число из поля Е. Требуется доказать линейную независимость над I чисел
1,^(0;),^). (2) а также выяснить вопрос о возможной малости модуля линейной формы ш
3=1 с коэффициентами из кольца целых чисел поля I в зависимости от величины Н = тах(|/&1|,., |/гт|).
Первым шагом на пути к решению поставленных задач является построение линейной приближающей формы, имеющей высокий порядок нуля при z = 0. В рассматриваемом случае это означает, что требуется подобрать многочлены Pq(z), Pi(z),.: Pm{z) степеней не выше п так, чтобы функциональная форма m + (з)
3=1 имела при z = 0 порядок нуля не меньше, чем тп — е(п), (4) и была бы отлична от тождественного нуля. Дополнительно требуется, чтобы коэффициенты многочленов удовлетворяли некоторым ограничениям. Выбор величины е(п) определяется возможностями метода, применяемого при построении функциональной формы R(z). При рациональных параметрах ai,., аг, (3\,., (Зт такая форма может быть построена с помощью принципа Дирихле. Последующие рассуждения ведутся по схеме, предложенной К.Зи-гелем в [1]. В дальнейшем метод Зигеля был существенно усилен в работах А.Б.Шидловского; изложение этого метода можно найти в книгах [2, 3]. Обычно с помощью метода Зигеля доказывают алгебраическую независимость значений функций вида (1) и их производных и получают оценки мер алгебраической независимости соответствующих чисел. Приведем здесь следствие одной из теорем А.Б.Шидловского из работы [4]; см. также [3, с. 414, теорема 2].
Теорема I. Пусть функции линейно независимы над полем I(z), параметры ai,.,ar, Pi, - • •, /Зт рациональны, и пусть и — ненулевое число из поля I. Тогда для любого нетривиального набора ho,hj,j = 1 — целых чисел из указанного поля — выполняется неравенство
5) m ho + J^hjF^iu) H m— где
Н — тах(3, э = 1,., т), а положительная постоянная 7 зависит от щ^Р^^оо.
Заметим, что аналогичные следствия можно получить из теорем работы [4] и в более общей ситуации. При доказательстве теоремы I величина е{п) из (4) имеет порядок . Уточнить оценку (5) можно только за счет присутствующей в показателе степени величины н - Однако, осуществить такое уточнение в присущей методу Зигеля общности не удаётся. Не удаётся также применить метод Зигеля в его классической форме для исследования арифметической природы значений функций вида (1) в случае, когда параметры этих функций не являются рациональными; причины последнего обстоятельства вскрыты в работе А.И.Галочкина [5].
В некоторых случаях линейную приближающую форму (3) можно построить эффективно. Такое построение применялось в различных работах; см., например, [6] - [11]. Следующая теорема из работы [8] характерна для получаемых этим методом результатов.
Теорема II. Пусть Р(г) — функция вида (1), ., (Зт — рациональные числа, а{х) = 1; и •— отличное от нуля число из мнимого квадратичного поля I, и пусть /г-о, Ь^з = 1,. ,т, — нетривиальный набор целых чисел из указанного поля. Тогда выполняется неравенство т
До +
3=1 (6) где
Н = тах(3, \hj\J = 1,. ,га), а положительная постоянная 7 зависит от ßi,., ßm, cü.
При эффективном построении приближающей формы R(z) её порядок нуля обычно оказывается максимально возможным, и е(п) в (4) на деле от п не зависит. Это приводит к уточнению оценки линейной формы: остаточный член порядка 0(l/vmln Н), присутствующий в показателе степени в правой части неравенства (5), заменяется в неравенстве (6) на 0(l/lnlnii).
Приведём ещё одну теорему, являющуюся обобщением теоремы II.
Теорема III. Пусть F(z) — функция вида (1), ßi,. ,ßm — рациональные числа, а(х) = 1; cji, ., Ut — попарно различные ненулевые числа из поля I. Тогда для любого нетривиального набора h0,hkj,k = 1,. ,t, j = 1,. ,m, — целых чисел из поля I — выполняется неравенство t т k=1 1 где Н = тах(3, \hkj\-, к = 1,., t,] = 1,. , т), а положительная постоянная 7 зависит от /3\,. ., ¡Зт, .,
Эта теорема так же, как и теорема И, может быть доказана с помощью эффективного построения линейной приближающей формы для соответствующей совокупности функций. Отметим, что в последней теореме рассматривается совокупность значений функции (1) и её производных в нескольких точках мнимого квадратичного поля.
Если а(х) = 1, и Ь(х) = А + х, то мы получим такую гипергеометрическую функцию (см. [3, глава 5, § 2, с. 189]):
ОО V 1
1/=0 х—1
Приведём пример теоремы, вытекающей из результатов работы [7], в которой варьируются параметры функции <р\(г).
Теорема IV. Пусть ш — ненулевое рациональное число, а Лх,., Лг суть различные по модулю 1 рациональные числа, отличные от отрицательных целых. Тогда для любого нетривиаль Н 1 Ь1п(Я+2,) (8) кого набора /го, /¿1,., /г^ — целых рациональных чисел — выполняется неравенство го + ^Нк(рхк{и) к=1 где
Н = тах(|Лл;|, к = 1,. ,£), а 7 — положительная постоянная, зависящая от Х\,., Аг иш.
В ряде работ были исследованы арифметические свойства значений производных по параметрам гипергеометрических функций. С помощью метода Зигеля была доказана алгебраическая независимость таких значений; см. [22, 23], а также [3, глава 7, § 3]. Эффективная конструкция линейных приближающих форм в этих работах не использовалась.
Рассмотрим ещё полилогарифмы, т.е. функции вида
00 и + ху
Такие функции изучались во многих работах; в [12] рассмотрены функции 1/2(0,2) и доказана иррациональность их значений в достаточно малых рациональных точках; в [13] исследованы функции
В работе [14] рассмотрены функции
Наиболее общие результаты получены в работе [15], где с помощью эффективного построения линейной приближающей формы доказано, что числа
1, ^А г, ^^ = = = линейно независимы, и получена оценка соответствующей линейной формы. При этом предполагается, что Ах,., Хи рациональны и удовлетворяют некоторым естественным ограничениям, а число q достаточно велико.
Вместо линейной приближающей формы (3) часто используют совместные приближения
Rj{z) = P(z)FU-V(z) + Pj(z), j = 1,. ,m, (9) где P{z),Pj(z) — многочлены, степени которых не превосходят п, а отличные от тождественного нуля функции Rj(z) имеют при z = 0 нуль порядка не меньше, чем ть п-\---ein). m
Замечание по поводу е(п), сделанное после (4) остаётся в силе и здесь. Во многих случаях использование совместных приближений даёт лучшие результаты. В работе Г.В.Чудновского [24] с помощью совместных приближений доказаны теоремы об арифметической природе значений функции F(z) и её производных при а(х) ф 1.
Эффективные конструкции линейных приближающих форм (3) или совместных приближений (9) позволяют не только уточнить оценки соответствующих линейных форм, но также исследовать арифметические свойства значений функций вида (1) и их производных в случае иррациональных параметров. Первые результаты такого рода были получены в предположении 6(0) = 0 (так называемый однородный случай).
Теорема V. Пусть P(z) - функция вида (1), а(х) = 1, Ъ(х) £ 1[ж], 6(0) = 0 0 - число из поля I. Тогда для любого набора целых чисел /ii,., hm из поля I выполняется неравенство т
Е м*'-1^)
3=1 где Н = max(3, \hj\,j = 1,. ,т), а 7 — положительная постоянная, зависящая от ш и от параметров функции F(z).
Привлечение теории делимости в полях алгебраических чисел позволило получить аналогичные результаты и для неоднородного случая (т.е. при 6(0) ф 0); см. по этому поводу работы [16, 17]. Приведём здесь формулировку одного из результатов работы [16]. Н
1—т—
In In н
10)
Теорема VI. Пусть а(х) = 1, а ¡3\, — алгебраические числа степеней соответственно . ., причем 6(х) Е 1[ж], т
I
Г = 1
Е-' (И) т * щ з=1 и пусть и — ненулевое число из поля I. Тогда для любого е > О при любом наборе /го, ^^ = 1,., га, — целых чисел из поля I, для которых
Н = тах(|/^|,7 = 1,. ,т) > Я0(/?ь . .,/Зт,ш,е), выполняется неравенство т
3=1 Н 1-г
В работе [18] для построения линейной приближающей формы предложен новый подход, в котором используется как принцип Дирихле, так и эффективная конструкция. Это позволило получить наиболее общие результаты об арифметической природе значений функций вида (1) с иррациональными параметрами при а(х) = 1.
Теорема VII. Пусть а(х) = 1, ¿¿(ж) — многочлены, старшие коэффициенты которых равны единице, с^б^ж) = . = degbt(x) = и, deg Ь(х) — и,т = и V ^ 1.
Пусть, далее, сих, — числа из поля 1,Ь(х) 6 все корни многочленов Ьк(х) рациональны, а Ь(х) = (х + Ах) ■ • • (х + А^), где . ,Хи — алгебраические числа степеней соответственно XI,., хи, и пусть и ^ 00 V и 1 1 т т к;' А Ък(х)Ых)' г=1 г/=0 х=1 к\ ; \ '
Предположим, что функции линейно независимы над Тогда для любого положительного числа е выполняется неравенство где ho, hkj — произвольный нетривиальный набор целых чисел из
Н = maxfl/ijyl, к = 1,. ,t, j = 1,. ,m) > Но(е,Ьк(х),Ъ{х),шк). Если Н ^ 3, и 6(0) — 0; то где положительная постоянная 7 не зависит от Н.
При некоторых дополнительных ограничениях, наложенных на параметры функции F(z), оценка (6) допускает дальнейшее уточнение. Относящиеся сюда результаты содержатся в работах [19] - [21]. Приведем здесь в сокращенном виде основную теорему работы [20].
Теорема VIII. Пусть Xj = c¿j + i¡3j, j = 1,., s — числа из I, отличные от — 1, — 2,.;0 ф а Е Ъ\ — такое число, что a\j е Zi, j = 1,. ., s; поля I
Пусть, далее, 0 ф b е Zj, hk Е Zj, тах(|/^|, k = 0,1,., s) = H, Ф(ж) = Ж-5(1ПЖ)-5(1-а)(1П1пж)5(г-д) где числа А и г зависят, от Лх,., Л8. Тогда существуют положительные постоянные С\ и Со , зависящие от а, 6, Ах,., Л5, такие что
1) для любой линейной формы вида (12) при любом Н ^ 3
2) существует бесконечно много форм (12); для которых
Определения входящих в оценки величин Лиг см. в [20]. В некоторых случаях константы С\ и С2 могут быть вычислены. Пример такого вычисления содержится в [21].
Приведенные результаты показывают, что актуальной является задача эффективного построения функциональной приближающей формы Щг), определяемой равенством (3), для случая а{х) ф 1. Указанное построение позволяет обобщить на такой случай теоремы II и III, а также другие аналогичные результаты. Эффективные конструкции, в которых варьируются параметры функций, дают возможность обобщить аналог теоремы IV в различных направлениях . В некоторых случаях возможно эффективное построение линейной приближающей формы и для функций, полученных из (1) дифференцированием по параметру. Это позволяет уточнить оценки линейных форм, вытекающие из результатов работ [22] и [23]. Актуальной является также задача обобщения теорем V - VII на случай а(х) ф 1. Здесь можно применить упомянутую выше эффективную конструкцию линейной приближающей формы Щг), а также обобщение некоторого аналога метода Зигеля из работы [18]. В связи с работой [20] отметим также актуальность задачи о вычислении констант С\ и С2 из теоремы VIII по аналогии с тем, как это сделано в [21] для экспоненциальной функции.
Содержание диссертации. Перечислим теоремы, доказанные в диссертации. Рассмотрим вновь функцию
Д| > СгФ(Н);
Я\ < С2Ф(#). где а(ж) = (ж+ <21). (ж+ аг), Ь(х) = (х + /?х). (х + /Зт); г ^ тп] а{х)Ъ{х) ф 0 при х = 1, 2,.; аг — ф 0,1, 2,., % — 1,., г, у = 1,., т. Через I, как и выше, обозначим некоторое мнимое квадратичное попе (или поле рациональных чисел).
Теорема 1. Пусть корни многочленов а(х) и Ъ{х) рациональны, г < т, <¿1,., — попарно различные отличные от нуля числа из поля I, и пусть /го, /г^-, к = 1,., ] = 1,., т, — нетривиальный набор целых чисел из этого поля. Тогда выполняется неравенство то к=1 3=1 #
13) где
Н = тах(3, & = 1,., .7 = 1,. ,т); константа 7 зависит от чисел . и от параметров функции Р(х).
Если 6(0) = 0, то можно получить оценку соответствующей однородной формы (более точную чем та, которая вытекает из (13)).
Теорема 2. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы, и пусть 6(0) = 0, тЬ ^ 2. Тогда т
ЕЕ^'^М к=1 3=1 н
1—тЬ— 7
1п 1п Я 5 где /г^-, Я, 7 определяются так же, как и в теореме 1.
Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме условия г <т, и пусть г = т. Пусть, далее, натуральное число Л > 3 таково, что числа
Ла,-, Щ, являются целыми в поле 2,
О ^ тах ( |огг-|,\f3jl где икУ - и)к2 г = 1, • • • = 1,. ,т, к,кък2 = 1,. кг ф к2. Тогда для любого д — целого числа из поля I при |д| > В,
С — абсолютная положительная постоянная, при любом нетривиальном наборе /го, — целых чисел из поля I — при Н ^ Но(а(, ¡3^, сик, д) выполняется неравенство т / \ йо+ЕЕ"«^-4 (т) к=1 .7=1 \ Ч / Н
-1,
1п|д|-1пВ
14) где Н определяется, как в теореме 1.
Поскольку при |д| —»■ сю показатель степени в правой части (14) стремится к —тЬ, то последней теореме можно придать следующий вид.
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3, и пусть £ — произвольное положительное число. Тогда существует Яо — Р], ^к, е) такое, что при любом целом д, |д| > до из поля I для любого нетривиального набора /г^- — целых чисел из поля I — выполняется неравенство т у ч йо+ЕЕ^-ЧТ) к=1 з=1 4 4 7 где Н определяется, как в теореме 1, Н ^ До(<*г> Р31 шк, £■> Я)
Теорема 5. Заменим условие г < т теоремы 2 наг = т; прочие условия оставим без изменения. Числа О, и А определим, как в теореме 3. Тогда для целого числа д из поля I при |д| > В, где
В еСш2«(т+г)П Н тЬ—е
С — абсолютная положительная постоянная, при любом наборе ^кз — целых чисел из поля I — выполняется неравенство
Ь т / ч
ЕЕ^'Ч?) к=1 ¿=1 \ у / где Н определяется, как в теореме 1, Н ^ /Зу, д).
Предположим, что для а (ж) и выполнены все условия, указанные перед формулировкой первой теоремы.
Теорема 6. Пусть корни многочленов а(х) и Ъ{х), а также 6, — рациональные числа, причем 5 ф. Z;
А^ - Ак2 фЪ,кхф к2, к1у к2 = 1, -., (х + \к + <5)(ж + А*) ф 0 гари х = 1, 2, 3,.; к = 1,., и Е I, ш ф 0. Пусть, далее, оо 0
А/с — Д 0,1, 2,., 1 + г < га;
ОО и / о») а» - А* ^ 0,1, 2,., г < т + 1;
3 +^Ж®) ' (17) а,- - А*,, + 5 - Д- ^ 0,1, 2,., г < га; оо
И)
0 х—\
Хк -^ф 0,1,2,., А^ ± А*2, 2А* 0 й, г + 2 < га; оо и , ч а,- ± ^ 0,1, 2,., А^ ± Хк2,2\к фЪ, г < т + 2.
Везде г — 1,., г, .7 = 1,., т, к, к\, к2 = 1,. к\ ф к2. Тогда для соответствующей функции (обозначаемой ниже через Рк(г)) и для любого нетривиального набора /¿о, — целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, Н ^ 3, выполняется неравенство к=1 з=1 Н
-иЬ
1п1пЯ
20) где число и равно степени многочлена, стоящего в знаменателе под знаком произведения в правой части равенства, определяющего функцию -Рй(-г); 7 — положительная постоянная, зависящая от аг-, ш, Л^, а для функции (17) также и от 6.
Для всех функций (15) — (19) молено сформулировать и доказать аналог последней теоремы для однородного случая. Приведём в виде примера соответствующий результат для функций (15).
Теорема 7. Пусть для функции (15) выполнены все условия теоремы 6. Дополнительно потребуем, чтобы выполнялось равенство 6(0) = 0 и чтобы было тЬ ^ 2. Тогда для любого нетривиального набора к = . ^ = 1,. — целых чисел из поля I — выполняется неравенство
Ь т
ЕЕ^^г'м к=1 з=1 Н где положительная постоянная у зависит от параметров функции (15) и от числа ш.
Отметим, что если в последней теореме а{х) = 1, то в случае функций (16) и (19) нет необходимости требовать, чтобы корни многочлена Ъ{х) были рациональными числами; достаточно ограничиться условием Ъ{х) £ 1[ж]. Если в правых частях (15) — (19) под знаком произведения степень числителя равна степени знаменателя, то для таких функций справедливы аналоги теорем 3 - 5 (в последнем случае при выполнении условия однородности). Чтобы не вводить громоздких обозначений, приведем здесь лишь аналог теоремы 4 для той же функции (15).
Теорема 8. Пусть для функции (15) вместо условия 1 + г < т выполняется равенство 1 + г = т, и пусть е — произвольное положительное число. Тогда существует до — й^г,^^!^^) такое, что при любом целом д, |д| > до из поля I для любого нетривиального набора /го, ^/у — целых чисел из поля Е; по модулю не превосходящих Н — при Н ^ Яо(а^, Ае, д) выполняется неравенство тп /
I--1 О—1 \ к=1 ¿=1 и Я, я
Теорема 9. 1.Пусть г < т\ корни многочленов а{х) и Ъ(х), а также числа А, Ах,., Xt рациональны, (ж+А^ж+Ах) • • • (ж+Аг) ф О при х = 1, 2,3,.; Хк1 - \к2 кг ф к2, къ к2 = 1,., t, ш ф О, ш £ I, и пусть выполнены указанные перед формулировкой теоремы 1 ограничения на параметры функции (1). Если со а(х)(х + Хк) ^ 6(ж)(ж + А) ' и=0 х=1 х ' 4 ' ад = ХУП k-pji Хк-Х, оц—Х £ й, г = 1,., г, у = 1,., т, к = 1,., ш е I, и ф 0, то для любого нетривиального набора /г^-, Нк1^ = 1,., т, /с = 1,., / = 1,., т + 1 — целых чисел из поля I — выполняется неравенство т г ?тг+1 ко+е^'^н+Е Е лн^'н j=l к=1 1=1 (21) где и = ш + + 1), а 7 — положительная постоянная, зависящая от А&, А, а; и от поля I;
Я = тах(3, = 1,. • - ,т, |/гы|, & = 1, - • • Л / = 1,. ,т+ 1).
2. Утверждение теоремы останется в силе, если а(х)(х + А) ^о Л Ь{х)(х + \к)> где А, Хк1 щ - Хк, X - ^ Ъ, к = 1,., г = 1,., г. оо
Пусть — гипергеометрическая функция (7), и пусть и=1 4 ' Х=1 где Л — дробное рациональное число.
Теорема 10. Если £ — ненулевое число из поля I, — нетривиальный набор целых чисел из указанного поля, и
Н = шах(3, |Ъ>21)) то выполняется неравенство
ТТ — 22 н , ал где положительная постоянная 7 зависит от А и
Эффективное построение линейных приближающих форм, применяемое для доказательства сформулированных выше теорем, позволяет во многих случаях исследовать арифметическую природу значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Рассмотрим одну из теорем такого рода.
Пусть, как и выше, I — мнимое квадратичное поле А1 и А2 — иррациональные числа из этого поля, разность которых есть дробное рациональное число. Рассмотрим функции
00 V
23) г/=0 х=1 к ' где Ь/г(гс) = (х + Ак)Ь(х) £ 1[ж] — многочлен степени т, старший коэффициент которого равен 1; 6(0) = 0; к = 1, 2; 3 — 1,., га.
Теорема 11. Пусть £ — отличное от нуля число из поля I; к — 1,2; 3 = 1,., т, -— целые числа из этого поля,
Н = тах(|^-|).
Тогда для любого положительного е найдется Но такое, что при Н ^ На выполняется неравенство
2 т к=1 н
1—4т—£
Пусть ак(х), Ьк{х), Ь(х) — многочлены, коэффициенты при старших степенях которых равны единице. Степени этих многочленов равны соответственно Ук:ик и и, причём
Ь(х) = (ж + Л1).(ж + Лу), (24) где Ах,., Хи — алгебраические числа степеней соответственно XI,., >си, а число т определено равенством
1 1
1 = 1
Пусть, далее, ак(х)Ък{х)Ъ{х) ф 0 при х = 1, 2, 3,.; оо V / ч 2,., тк, тк = и+ ик, к = 1,.,
Теорема 12 . Если функции 1, -^¿,.(2), к = 1, ^ = 1,., ш^, линейно независимы над С(^); &(ж) 6 £ I, корни многочленов ак(х) и Ьк(х) рациональны, ук ^ ик,ик < тк,ик — ук = (1 не зависит от к, /с == 1,., то Элл любого £ > 0 и для любого нетривиального набора к0: к = 1,., ^ = 1,., тк, - целых чисел из поля Я - при Н = тах(|/г^Л |, А; = 1,., ук = 1,., т&) > > ., Я, е) выполняется неравенство t тк m(u+d)+ur u+d—ur ho + 2-*,2shkjkFkjk{i) к=1jft=l где т = т\ + .mt
Теорема 13. Пусть функции Fkjk(z), k = 1,., jk = 1,., тк, из предыдущей теоремы линейно независимы над C(z), прочие условия этой теоремы оставим без изменения; дополнительно потребуем, чтобы выполнялись соотношения ик > 0, &&(0) = О, т — mi + . + mt ^ 2. Тогда для любого нетривиального набора hkjk — целых чисел из поля Я — и для любого £ > 0 при достаточно большом Н,
Н = max(|/ifc;-J, k = l,.,t, jk = 1,. . выполняется неравенство г тк н-«771-1^^^к=1 Зк=1
Теорема 14. Пусть ак(х),Ьк(х) — многочлены, все корни которых рациональны, а коэффициенты при старших степенях равны единице; с^ак(х) = ук, deg Ьк(х) = ик, щ - ук = гк ^ О, А; = 1,., Ц с?1,., ^ — такие делители соответственно чисел 7*1,., Г£, что А = гк/с1к не зависит от к (если гк ф 0, то можно, например, положить в,к — гк). Пусть далее, Ъ(х) = (х + ¡3\) . . . (х + 0и) — многочлен с коэффициентами из некоторого мнимого квадратичного поля I, Д,.,/?« — алгебраические числа степеней соответственно >с\,., хи, число г определено равенством (25). Предположим, чтоик < тк = ик+с1ки, и рассмотрим при к = функции линейно независимы над С(^), то для любого е > 0 и для любого нетривиального набора Но, — целых чисел из поля I — при Н = тах |/г/уд.| > Но(Ек(г),1,е) выполняется неравенство где т — т\ + . + ть.
Если в этой теореме положить ак(х) = 1, щ = . = щ, й\ = . = = 1, то получится первое утверждение теоремы из работы [18], а если г>1 = . = с?1 = . = ^ = 1, то получится теорема 12.
26) где шк — числа из поля Я. Если функции
1, к = 1,.,1- й = 0,1,.,т*-1, (27)
Теорема 15. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы, ak(x) = 1, bk(0) = 0, к = 1,. Относительно функций
Flh\z), к = 1,. ,t, Зк = о, 1,. - ,771* - 1, предположим, что они линейно независимы над С(^). Тогда для любого нетривиального набора htjk ■— целых чисел из поля I — при H = max\hkjk\ ^ 3 выполняется неравенство t тк-1 £ к=1 зн=0 где 7 > 0 — постоянная, зависящая от параметров функций Рк{г) и от поля I; т = т\ + . + т{,
Теорема 15 обобщает второе утверждение теоремы из [18]. Пусть Л — число из поля I отличное от —1, —2,.; 0 ф 0 — такое целое число из I, что в\ 6 Ъ\\
02и IX ф + X) h{z) = f{z)] f2(z) = 9zf'(z). (28)
Теорема 16. Пусть а = 1 /с, с £ с ф 0. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Неравенство
2(0?) Р ЛМ q
1 In In вс\ I?|4n|g|
29) имеет бесконечно много решений в целых числах р и q из поля I. 2.При любом положительном е неравенство
2(0?) Р ZiH q
- £
In In |g|
30) вс\ -) |9[Чп|д| может иметь лишь конечное число решений в целых числах р и q из поля I.
В работах [19] и [20] получены точные по высоте оценки однородных линейных форм от значений функций вида (1) и их производных. В указанных работах предполагается, что а(х) = 1.
От последнего ограничения в некоторых случаях можно отказаться.
Пусть оо и
1/=0 х=1 4 ' где а — положительное рациональное число, причем числа а и 2а не являются целыми; /3 = 2а + 1. Пусть, далее, а Е Н, аа Е М, Ь — отличное от нуля целое число из некоторого мнимого квадратичного поля I;
Аг(г) = А(г), А2(г) = гА'{г), & = Аг , 6 = А2 ;
Ci г(/з + 1) p-k ехр
С2 = Т (а+ 1)2^ ехр
2 а?Ь
31)
Г(/3 + 3-з)
Теорема 17. Неравенство
1Л1& + Л2&1 < С(Я1пЯ)-11пЬЯ, (34)
Я = max(|/ii|, |/г2|), имеет бесконечно много решений в целых числах hi, h2 из поля а неравенство, получающееся из (34) заменой С на С —г, при любом положительном е может иметь лишь конечное число таких решений.
Пусть, как обычно, II - мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел; к = 1 и ф(х) - многочлены из кольца П[ж], коэффициенты при старших степенях которых равны единице; дк(х) = фк(х)ф(х) ф 0 при х = 1, 2, 3,.; ., ut -ненулевые числа из поля I. Рассмотрим при к = 1,., t функции
00
0 Х=1 >
Предположим, что степени многочленов фк{х) равны: с1е^фг(х) = . = degфt(x) = иц степень многочлена ф{х) обозначим через и, и пусть т = и + щ.
Теорема 18. Если все корни многочленов фк{х) рациональны, и\ > 0, и функции
1, к = у = 1,.,т, (35) линейно независимы над С(^), то для любого е > 0 при любом нетривиальном наборе целых чисел из поля I г0, Лдз, & = 1,., ^ = 1,. ., га, (36) при всех достаточно больших значениях Н,
Н = тах(|/г^|, к = 1,., = 1,., т), (37) выполняется неравенство Н~в~£, (38) t т '(1)
А;=1 ¿=1 где 0 = т£ + и/иь
В работе [18] получена аналогичная оценка, но с заменой в показателе степени величины 0 на д\ = (тЬ + т)/(1 — т), где т V хх,., ■— степени алгебраических чисел, являющихся корнями многочлена ф(х). Если и > 0 и все корни многочлена ф(х) иррациональны, то для т справедлива оценка снизу г ^ и/{2т). Пользуясь этим неравенством и тем обстоятельством, что в\ возрастает с увеличением т, нетрудно проверить, что если £ ^ 2 или их ^ 2, то
01 > в, (39) а это означает, что в указанных случаях оценка (38) точнее оценки, полученной в работе [18]. При Ь = и\ — 1 неравенство (39) выполняется, если кроме иррациональности всех корней многочлена ф{рс) потребовать дополнительно, чтобы среди них имелись алгебраические числа степени не меньше 3. В этом случае
2т 6га' и справедливость неравенства (39) проверяется непосредственно.
Методы исследования. Для доказательства большей части перечисленных выше теорем применяется метод, основанный на эффективном построении функциональных приближающих форм. Этот метод, впервые использованный в классических работах Ш.Эрмита и Ф.Линдемана, позволяет получить наиболее точные оценки числовых линейных форм. Некоторые результаты о линейной независимости значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами получены с использованием одного из вариантов метода Зигеля. В этом случае функциональные приближающие формы строятся с помощью принципа Дирихле, что позволяет провести соответствующие исследования в большей общности.
Научная новизна. Новыми являются все основные результаты диссертации. Построены аппроксимации типа Паде для обобщенных гипергеометрических функций (1) и их производных в различных ситуациях (в нескольких точках, для варьируемых параметров, для функций, полученных дифференцированием по параметру). Указанные построения применены для уточнения оценок линейных форм от значений соответствующих функций; в ряде случаев получены новые результаты о линейной независимости значений рассматриваемых функций. С помощью одного из вариантов метода Зигеля доказаны теоремы о линейной независимости значений функций (1) и их производных в случае иррациональных параметров и получены соответствующие количественные результаты. В некоторых случаях вычислены постоянные, входящие в неулучшаемые по высоте оценки линейных форм. Уточнены оценки неоднородных линейных форм от значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для теории трансцендентных чисел и могут быть использованы в других разделах математики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по теории чисел МГУ и Всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", проходившей в сентябре 1989 г. в Минске, на Международной конференции "Трансцендентные числа" в Москве в сентябре 2000 г., а также на Международной конференции "Diophantine and analytic problems in number theory", посвященной 100-летию со дня рождения А.О.Гельфонда (Москва, январь-февраль 2007).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36] - [50]; совместных публикаций нет.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 123 страницах. Библиография включает 50 наименований.
1. Siegel G.L. Uber einige Anwendungen diophantischer Approximationen //Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl.- 1929-1930. - № 1. - S. 1-70.
2. Шидловский А.Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.- 264 с.
3. Шидловский A.B. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.- 448 с.
4. Shidlowskii A.B. On the estimates of the algebraic independence measures of the values of E-functions //J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1979. - V. 27. - P. 385-407.
5. Галочкин А.И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций //Математические заметки. 1981. - Т. 29, № 1. С. 3-14.
6. Osgood Ch.F. Some theorems on diophantine approximation //Trans. Amer. Math. Soc. 1966. - V. 123, № 1. - P. 64-87.
7. Фельдман H.И. Оценки снизу для некоторых линейных форм //Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967. - № 2. - С. 63-72.
8. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций //Математические заметки. 1970. - Т. 8, № 1. - С. 19-28.
9. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами //Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. I. - 1978. -№ 6. - С. 25-32.
10. Cudnovsky G.W. The inverse scattering problem and applications to arithmetic and transcendental numbers //Lecture Notes Physics. 1980, № 120. - P. 25-48.
11. Nikisin E.M. Arithmetic properties of the Markov function for the Jacobi weight //Analysis Mathematica. 1982. - V. 8. - P. 39-46.
12. Maier W. Potenzreihen irrationalen Grenzwertes //J. reine ang. Math. 1927. - H. 156. - S. 93 - 148.
13. Фельдман Н.И. Об одной линейной форме //Acta Arithm. -1972. XXXI. - С. 347-355.
14. Никишин Е.М. Об иррациональности значений функций F{x, s) //Матем. сб. 1979. - Т. 109(151), № 3. - С. 410-417.
15. Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций //Диофантовы приближения. Ч. 1. - М.: Изд-во МГУ, 1985. — С. 10-16.
16. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций //Сиб. матем. журнал. Т. 17, № 6. - С. 1220-1235.
17. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1979, № 1. - С. 26-30.
18. Галочкин А.И. О некотором аналоге метода Зигеля //Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1986, № 2. - С. 30-34.
19. Коробов А.Н. Оценки некоторых линейных форм //Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1981, № 6. - С. 3640.
20. Галочкин А.И. О неулучшаемых по высоте оценках некоторых линейных форм //Математический сборник. 1984. - Т. 124, № 3. - С. 416-430.
21. Попов А.Ю. Приближения некоторых степеней числа е //Дио-фантовы приближения. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1985.С. 77-85.
22. Белогривов И.И. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1967, № 2. - С. 55-62.
23. Mahler К. Application of a theorem by А.В. Shidlovsky // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1968. - V. 305. - P. 149-173.
24. Chudnovsky G.W. Pade approximations to the generalized hypergeometric functions. I. //J. math, pures et appl. Ser. 9. -58, № 4. 1979. - P. 445-476.
25. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1. -М.: "Наука", 1967.-488 с.
26. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: "Высшая школа", 1981. - 688 с.
27. Прахар К. Распределение простых чисел.-М.: Мир, 1967. -512 с.
28. Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта.- М.: Изд-во МГУ, 1982.-312 с.
29. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms// New Advances in Transcendence theory. Cambridge, New Rochell, Melbourne, Sydney, 1988. P. 207 - 215.
30. Chudnovsky D.V. Chudnovsky G.V. Applications of Pade approximation to Diophantine inequalities in values of G-function // Lect. Notes in Math. 1985. V. 1135. - P. 9 - 51.
31. Галочкин А.И. Об арифметических свойствах значений G-функций //Тезисы докладов Всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел". Минск, 1989. -С. 34.
32. Фельдман Н.И. Приближения алгебраических чисел. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 200 с.
33. Галочкин А.И. Об аппроксимации параметров некоторых гипергеометрических функций //Математические заметки -1975. Т. 17, № 1. - С. 103 - 112.
34. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 504 с.
35. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 148 с.
36. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций //Математический сборник. 1991.- Т. 182. № 2. - С. 283-302.
37. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера с иррациональным параметром //Математические заметки. 1991. - Т. 49, Вып. 2 - С. 55-63.
38. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с различными параметрами //Математические заметки. 1992. - Т. 52, Вып. 6. - С. 25-31.
39. Иванков П.Л. Об оценках некоторых линейных форм // Известия вузов. Математика. 1993. - № 2. - С. 38-45.
40. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами //Сибирский математический журнал. 1993. - Т. 34,5. С. 53-62.
41. Иванков П.Л. Об оценках мер линейной независимости некоторых чисел //Математические заметки. 1994. Т. 55, Вып. 3. - С. 59-67.
42. Иванков П.Л. О приближении значений некоторых функций. // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. - 1994. -№ 4. - С. 12-15.
43. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций //Фундаментальная и прикладная математика.- 1995. Т. 1, Вып. 1. - С. 191-206.
44. Иванков П.Jl. О линейной независимости некоторых чисел // Математические заметки. Т. 62, Вып. 3. - 1997. - С. 383-390.
45. Иванков П.Л. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм //Известия вузов. Математика. № 1. - 2000. - С. 31-36.
46. Иванков П.Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая //Математические заметки. -2002. Т. 71, Вып. 3. - С. 390-397.
47. Иванков П.Л. Уточнение оценок некоторых неоднородных линейных форм //Математические заметки. 2005. - Т. 77, Вып. 4. - С. 515-521.
48. Иванков П.Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами //Фундаментальная и прикладная математика. 2005. - Т. 11, вып. 6. -С. 65-72.
49. Иванков П.Л. О значениях некоторых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами //Известия вузов. Математика. 2007. - № 7. - С. 48 - 52.
