Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных эллиптических и параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.ЛОМОПОСОВА

Мехапико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.957

НАСРУЛЛАЕВ АСАД ИБАД ОГЛЫ ( / £

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель —

Официальные оппоненты

Ведущая организация

академик РАД, профессор O.A. Олейник доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский кандидат физико-математических наук, научи, сотр. Г.А. Иосифьян Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

Защита состоится лл^О^хлтьСк., 1996г. в 16 час.

05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж)

Автореферат разослан »23 " /ССс^ия. 1996г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуются асимптотические свойства на бесконечности решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений с нелинейностью вида е". Уравнение

встречающееся в дифференциальной геометрии, в теории автоморф-ных функций, а так лее в ряде физических задач, было предметом изучения многих авторов. Одной из первых работ, посвященных изучению уравнения (1), является работа [1], где доказано, что в плоской области, ограниченной гладкой кривой, существует решение уравнения (1), принимающее на границе бесконечные значения. Аналогичный результат был получен в работе [2] в случае ограниченной трехмерной области. В работе [3] уравнение вида (1) было рассмотрено в связи с изучением поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, так как если первая квадратичная форма поверхности имеет вид

Далее, в работе [4] бьт.гто доказано, что положение равновесия заряженного газа в сосуде описывается с помощью уравнения (1). В частности, в случае идеального газа показано, что функция

1L. Bieberbach, Л« = е™ und die automorphen Punktionen, Math. Ann., Vol. 77, 1916, 173-212.

2H. Rademaclier, "Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik", edited by P. Frank and R.v. Mises, I., pp. 838845, Braunschweig, Vieweg, 1935.

3И.Н. Векуа, О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса, Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, 64 (1961), 5-8.

Аи = с".

(1)

ds2 =cu{dx2 + dyi): то ее гауссовая кривизна вычисляется формулой

К(х,у) = --^-Ди.

где р(х) — функция распределения плотности газа в сосуде, а, тп, ü, Т — постоянные, характеризующие данный газ, удовлетворяет уравнению (1).

В последние годы появился ряд работ, посвященных изучению уравнений типа (1). Например, в работе [5], которая обобщает результат, полученный в [1] и [2], уравнение

А и = р(х)еи (2)

рассматривается в ограниченной области Í2 С R". Здесь доказано, что если непрерывная функция р(х) удовлетворяет условию < < р(х) < к2 в П при некоторых кг,к2 — const > 0, то уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию и(х) —> ос при d(x) —> 0, d(x) — dist (х, 30), и это решение удовлетворяет оценке |u(x) — lnd~2(x)| < const.

Некоторые работы посвящены исследованию асимптотических свойств решений краевых задач для уравнений вида (1) в цилиндрических областях. В работе [6] получены асимптотики решений уравнения (1), удовлетворяющих на боковой поверхности цилиндра однородным граничным условиям Дирихле и Неймана. Эти результаты приведены при изложении §§ 2 и 4 диссертации. Также следует отметить работу [7], где исследованы асимптотические свойства решений эллиптического уравнения

•¿= i

в полу бесконечном цилиндре, удовлетворяющих на боковой поверхности однородному условию Неймана.

"J.B. Keller, The equilibrium of a charged gas in a container, J. Rational Mech. Anal., Vol. 5, No. 4, 1956, pp. 715-724.

5A.C. Lazer, P.J. McKenna, On a problem of Bieberbach and Rademacher, Nonlinear Anal., 21 (1993), no. 5, 327-325.

6B.A. Кондратьев, O.A. Олейник, Об асимптотике решений нелинейных эллиптических уравнений, УМН. 1993. Т. 48, вып. 4. С. 184-185.

Несомненный интерес представляет также изучение уравнения

Ли + к(х)е" = 0 при к(х) > 0. (3)"

Например, в работе [8] л'равнсние изучалось при к(т) = 2 в связи с задачей о тепловом самовоспламенении. В работе [9] получены необходимые условия существования решения у(х) уравнения (3) в пространстве Rn, указывающие характер поведения решения и(х) в окрестности бесконечности, а также необходимые условия существования решения в неограниченных областях с компактной границей. В случае ограниченных областей для уравнения (3) рассмотрена задача Дирихле и указаны необходимые условия существования решения этой задачи.

Цель работы — исследование асимптотических свойств решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений с нелинейностью вида е" в бесконечных областях.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории линейных и квазилинейных уравнений, с частными производными (различные варианты нрипципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, оценки Шаудера, теоремы сравнения, а также метод усреднения).

Научная новизна. 1. Для некоторых классов уравнений вида (1) исследованы асимптотические свойства решений краевых задач в иолубесконечном цилиндре.

2. Получены асимптотики на бесконечности решений краевых задач для уравнения (1) в плоском угле.

3. Получены необходимые условия существования решений задачи Неймана для уравнения (3) при к(х) = 1, указывающие характер поведения решений на бескопечпости.

7J.N. Flavin, R.J. Kriops, L.E. Payne, Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations on the half-cylinder, Z. Aiigew. Math. Phys., 43 (1992), no. 3, 405-421.

8И.М. Гельфанд, Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМЫ. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 87-!58.

9И. Каметака, O.A. Олейник, Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, Мат. сб., 1978. Т. 107. № 4. С. 572-600.

4. Получены асимптотики решений при í —* оо основных краевых задач для параболического уравнения и, = Ли — еи.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и электрогидродипамики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара И. Г. Петровского и Московского математического общества, на семинарах кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 7 параграфов и списка литературы, содержащего 26 наименований. Объем диссертации 95 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации и сформулированы основные результаты диссертации.

В § 1 доказана теорема существования в ограниченной области П С К", удовлетворяющей условию внешней сферы, единственного решения эллиптического уравнения

Е(ау(*К).,=е", (1)

¿0 = 1

удовлетворяющего однородному условию Дирихле па (¥Л. Этот результат является вспомогательным и используется в дальнейшем.

В §2 уравнение (1) рассматривается в полубесконечном цилиндре 5(0,оо) = {х:х' € ш, хп > 0} С К". Там получена асимптотика решений при хп —» оо, удовлетворяющих однородному условию Дирихле на боковой поверхности <т(0,оо) — {х: х' £ ди, хп > 0}. Здесь и — ограниченная в К"-1 область, имеющая достаточно гладкую границу, х' = (х1}... ,!„_,).

Итак, рассматривается краевая задача

п

(а°(х')«ч)г, = е" в 5(0, эс).

и — 0 на <т(0,оо),

(3)

где, коэффициенты а'}(х') не зависят от переменной хп, а"" -= const > 0, а''(х') € С1,а(й7), а € (0,1), aij(x') = aji(x') при всех i.j = 1,..., п, х' £ w, для коэффициентов а'} выполняется условие эллиптичности.

Согласно утверждению §1 задача (2), (3) имеет решение и0(х'), которое не зависит от х„. Для простоты будем предполагать, что anl(i') = 0,! = l,...,ii-l,B(i). При этих предположениях справедлива

ТЕОРЕМА 1. Если и(х) 6 C2(S(0,oo))nC(S(0,oo)) является

и(х) = иа(х') + О (с при х„ -+ ОС,

где и0(х') — решение задачи (2), (3), не зависящее от хп, и0(х') < 0 в и>, if-i(x') -- собственная функция задачи

соответствующая первому собственному значению Л1; (fi(x') > 0 в и, С,, А0 = const > 0.

Заметим, что в работе [G] задача (2), (3) рассмотрена в случае оператора Лапласа и Теорема 1 является обобщением результатов, полученных в [6] для решений задачи Дирихле.

решением задачи (2), (3), то либо

либо

ip = 0 на д ш.

В §3 изучается поведение на бесконечности решений краевой задачи

Аи — а(х)е" = 0 в 5(0,00), (4)

и = 0 на сг(0,оо), (5)

где а(х) Е С1 (5(0, оо)) — положительная функция.

Пусть и>! — ограниченная гладкая область в К"-1, строго содержащая и, fa — первое собственное значение задачи

Аф + цф = 0 в (6)

^ = 0 на дшг. (7)

Основным результатом § 3 является

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция а(х) при некоторых Х,С,а0 — = const > 0 удовлетворяет условиям

Од-З _

— < а(®) < Се^*'*" в S(X, оо), (8)

а(х) > а0 в 5(0, X), (9)

где ц{ — первое собственное значение задачи (6), (7). Тогда, если

и{х) 6 С2(5(0,оо))пС(5(0, оо)) является решением задачи (4), (5), то

и{х) = -С2<р,(х')е^х" +h(x) в 5(0, оо), где С2 = const > 0, cpi (х') — собственная функция задачи

Aip + Ay? = 0 в w, ip — 0 на дш,

соответствующая первому собственному значению Aj, f\(x') > 0 в ш, h(x) < 0 и h(x) = при хп —> оо. Если а(х), удовлетво-

ряющая условиям (8), (9), ограничена, то h(x) также ограничена в 5(0, оо).

Как уже отмечалось, в работе [6] была получена асимптотика

на бескопечпости решений краевой задачи

Ли — е" = 0 в 5(0, оо), (10)

Он

— =0 на ст(0, оо), (И)

где h = мх, Vi. v = (¡а ,... ,ип_1,0) — единичный вектор внешней нормали на £г(0,оо). В [6] доказано, что если и(х) Е 6 C'2(S(0, ос)) П С'(5(0,ос)) является решением задачи (10). (И); то либо

и(х) = — 2\пхп + о(1пхп) при хп —> оо,

либо

и(х) — -С3хп +о(хп) при хп —v оо, С3 = const > 0.

В §4 доказаны теоремы об асимптотике решений задачи (10),

(11), угвеждения которых можпо сформулировать г> виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 3. Если м(х) <Е С2(5(0, оо)) П С1(Що,"со)) является решением задачи (10), (11), то либо

и{х) = -21пж„ + 1п2 + 0(ln_e:z„) при —► оо, (12)

либо

и{х) — —С4 хп + 0(1) при х„ —► оо, (13)

где е.С4 = const > 0.

Эта теорема уточняет асимптотику решений задачи (10), (11), полученную в [6]. В §4 также приведены примеры решений задачи (10), (И), имеющие вид, соответственно, (12) и (13).

Далее, в §4 доказана теорема, также характеризующая поведение решений задачи (10), (11).

ТЕОРЕМА 4. Пусть и(х) е С2(5(0, со))ПС" (5(0^ ос)) является решением задачи (10), (11) и

U(xn) = А / и(х) dx', w(f) = {х:х€ 5(0, оо), хп = *}. |ш| J

w(r„)

Тогда

|u(x) — Z7(x„)| < С5е~ах" в 5(0,оо),

где С5, а = const >0, а не зависит от и(х). В § 5 уравнение

Ли - е" = 0 (14)

рассмотрено в плоской области Ка(1,оо) = {(zi,х2): |х| > 1, [xj < < ах2}, о = const > 0. Предполагается, что решения уравнения (14) удовлетворяет либо граничному условию Дирихле:

и — 0 при |а\\=ах2, \х\ > 1, (15)

либо граничному условию Неймана:

ди

——= 0 при х1=ах2, |а:| > 1, (16)

С/1/\

ди

-х— = 0 при хх = —ах2, |ж| > 1, (17)

OV2

где ци^ — единичные векторы внешней нормали на соответствующих сторонах угла Ка{ 1, оо).

Доказаны следующие теоремы об асимптотике решений этих задач.

ТЕОРЕМА 5 (задача Неймана). Пусть и(х) Е 6 С2(Ка(1, оа))ПС1(А'а(1, оо)) является решением задачи (14), (16), (17). Тогда либо

и(х) = —21x1 |xj — 21nln|a:| + 1п2 +о(1) при |х|ос, (18)

либо

и(х) = -Се Ь |ж| + O(l) при |z| -*оо, Се= const > 0. (19)

Здесь же приведены примеры решений задачи (14), (16), (17), имеющие вид (18) или (19).

ТЕОРЕМА 6 (задача Дирихле). Пусть и(х) е £ С2(Ка(1, оо)) П С{Ка(1, ос)) является решением задачи (14), (15). Тогда

1) и(х) < 0 в ^(Т,^), где Т = const >1 и не зависит от и{х).

2) и(х) не ограничена при \х\ —+ оо.

3) если а < 1, то

и(х) = С7р{х)\х\ч+h(x)\x\2+0{\х\"') при |х| —> сэо,

где q = 7r(2arctg а)"', С7 = const > 0, р{х) и h(x) —- ограниченные и отрицательные в Ка (1, оо) функции. В § 6 изучаются решения уравнения

Au + е" = 0 в 5(0, оо), (20)

удовлетворяющие граничному условию

ди

-—=0 на (TÎO.oo). (21)

au

Здесь получены необходимые условия существования решения задачи (20), (21), указывающие характер поведения решения и(х). а также его средней функции

Доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 7. Не существует решения и(х) задачи (20), (21)

из класса С2 (5(0, ос)) П С1 (5(0, ос)), удовлетворяющего условиям

1 + б2

minи(х',хп) > m(xn) = In———, х„>Нг,

при некоторых Ru8 = const > 0.

9

ТЕОРЕМА 8. Не существует решения и(х) задачи (20), (21) из класса С2 (5(0, оо)) П С1 (5(0, сю)), удовлетворяющего условию

min u(x',xn) > —o;lnzn, хп > Я2

при некоторых Д2,а = const > 0, а < 1.

ТЕОРЕМА 9. Пусть G С2(S(0, oo^nC1 (S(0, оо)) является решением уравнения (20) в 5(0, оо) и удовлетворяет граничному условию

— > 0 на спО, оо). ov

Тогда

U(xn) < Бгх„ + В2

при некоторых ВиВ2 = const, J3, <0.

В § 7 рассматриваются краевые задачи для параболического уравнения щ = Ды—е". Получены асимптотики решений краевых задач при f —► оо.

Пусть S(0,оо) = {(x,t):x 6 fl, i > 0} С где П — ограниченная гладкая область в R", ff(0,оо) = Oil х (0, оо). Рассмотрим задачу

ut=A и-е в 5(0, оо), (22)

и — 0 на <т(0,оо). (23)

Имеет место

ТЕОРЕМА 10. Если и(х) £ Сад (5(0, оо)) П С(5(0, оо)) является решением задачи (22), (23), то

u(x,t) = и0(х) +0(е-7') при i —> оо,

где и0 (х) — решение задачи

&v — е" = 0 в Q, v — 0 на dCl,

7 = const > 0.

Теперь рассмотрим уравнение (22) с граничным условием

— = 0 на <т(0, ос), (24)

где V — (vx-v-t,..., fTl,0) — направление внешней нормали на ît((), ос). Доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 11. Если и(х,1) 6 С2Л (S(0, оо))ПСг (Щ то)) является решением задачи (22), (24), то

и{х, t) = — lni + О^'1) при i —> сю.

Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю академику РАН, профессору O.A. Олейник за постановку задач и постоянный интерес к работе.

ПУБЛИКАЦИИ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. А.И. Насруллаев. Об асимптотике решений задачи Неймана, для уравнения Au — аи = 0 в полубесконечном цилиндре, УМН. 1995. Т. 50, вып. 3. С. 161-162.

2. А.И. Насруллаев, Об асимптотике решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка. — Москва, МГУ, 1995. /Рукопись ден. в ВИНИТИ 14.11.95, X 3014-В95/.