Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



1,1 ,t ■ iHiSiMiii,*!. ¿.ium,i.iiiM'UA.

■ - Z iiUmuqpfi h(iiui|niCpml

УДК 517.W4

Ч.и.У.Ш'вЧЛ, ПЛЛ.И. (Ы l.'j.U'N'h

tl.irp.11'1.« НН-ЧЛ,««» ||.РИ. ¿иЛ.РЧЛИНГШ'М.Ь «MH4rll.4hM.W4K ЧШПШП.ЧИЛ/ 'lO.p'H- fM«3jl?IM7'i,SI>U|.(t'ni;l,II..S(l(41 ¿UII'IU'

apim/i, jUiiMHWii i^.'whiruni^.

<01.01.02 - 4-]i$hpbGg|mii НифиишутиШЬр) У) (i q M щ - и ш p Ь lii и иф l| ui l| ш I! qfimmpjniGGhp|i plct|iliu6n\fi qfiuitutyuiG шииф6шС() fiiujgiiujG ш1лЬПт|ипип|р|шС lllir|lluiqjip

1.-,, . l')')4

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.984

КАЗАРЯН АННА РАДМИРОВНА

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМИ НА ВСЕЙ ОСИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (01.01.02 - Дифференциальные уравнения) Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук ЕРЕВАН -1994

Работа выполнена в Ереванском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор И. Г. ХАЧАТРЯН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математ ических наук,

профессор А. О. Оганесян кандидат физико-математических наук,

доцент А. Г. Камалян Ведущая организация: Институт Математики HAH Республики Армения.

Защита диссертаци состоится *И" .........199j'r. в 15.00 i

заседании специализированного совета К 055.01.13по присуждению уч степени кандидата физико-математических наук.при ЕГУ по адрессу: 375049, Ереван, ул. Ал. Манукяна 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЕГУ.

Автореферат разослан 199зг.

Ученый секретарь ,^

специализированного совета V

кандидат физико-математических наук Т. Н. Арутюнян

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследовании. Рассматривается действующий в пространстве максимальный дифференциальный оператор (_ порядка т> 3, юрожденный дифференциальной операцией, применение которой к эу.чкциям у(х), х< оо, обозначается через уи(х) и определяется по эормуле

~ Г (к'" + Р, 12к (1чк

Ри(.х)^

^ V]!

Р.и+ГАТТ]|> (1)

Г т 1 Гт-! де / -мнимая единица, т„ = т1

, а рк(х) (-*>< х< «:. к=0, 1.....т-2)

суммируемые на всей вещественной оси комплекснозначные функции ¡ыражению (1) можно придать точный смысл, не требуя гладкости коэффи-иентов рк(х)). Исследуются некоторые вопросы относительно обратной зад--1и рассеяния для оператора!_ .

Актуальность темы. Начало исследований обратных задач спектраль-эй теории дифференциальных операторов связано с работой В. А. Амбар-/мяна (1929), относящейся к оператору Штурма - Пиувилля, т. е, диффе-знциальному оператору второго порядка. Систематическое исследование Зратных задач для операторов Штурма - Пиувилля и, в частности, обратной дачи квантовой теории рассеяния началось со второй половины 40-ых >дов. После основополагающих работ И. М. Гельфанда. Б. М. Левитана, . Г. Крейна и В. А. Марченко уже во второй половине 50-ых годов были ука-!ны основные методы решения этих задач. В настоящее время есть обшир-1я литература, посвященная обратной задаче рассеяния для операторов турма - Пиувилля, в том числе, обзорные статьи Л. Д. Фадеева, книги С. Аграновича и 8. А. Марченко, К. Шадана и П. Сабатье, Б. М. Левитана, ¡следование некоторых обратных задач для дифференциальных операто-в высших порядков начиналось е конце 50-ых годов, а в 70-ых внимание к м значительно возросло в связи с их примененимостью для интегрирова-я некоторых нелинейных уравнений математической физики. Стало акту-ьным также исследование обратной задачи рассеяния для дифференци-

альмых операторов высших порядков, г. е. задачи, имеющей некоторую ан логию с обратной задачей квантовой теории рассеяния. Однако, даже пост иовка такой задачи была связана с определенными трудностями и первь результаты в этом направлении появились лишь в начале 80-ых годов.

П. Дейфт, К. То глей и Е. Трубовиц1 некоторым образом ввели ааннь рассеяния для указанного выше оператора I. порядка т=3 и при определе ных ограничениях на эти данные доказали единственность решения обра ной задачи рассеяния, а при более жестких ограничениях указали некоторь способ восстановления коэффициентов оператора I по данным рассеяния кроме того, полученные результаты применили для интегрирования нелине ного уравнения Буссинеска.

П. Кодри2 для оператора I порядка т=3 ввел те же данные рассеяна что и указанных выше авторы, но исходя из несколько иных соображений.

Р. Биле3 методом, указанным в работе П. Кодри, ввел данные рассе мия для оператора I. произвольного порядка т> 3 и при некоторых ограни ниях на них доказал единственность решения обратной задачи.

Для самосопряженных дифференциальных операторов высших поря ков, обладающих операторами преобразования, другую постановку обрати задачи рассеяния указал И. Г. Хачатрян, как в случае полуоси4, так и в случ всей оси5. Поставленные им обратные задачи решаются сведением еопрс к решению линейных интегральных уравнений относительно ядра операто преобразования, являющихся аналогами хорошо известных линейн

' P. Deift, С. Tomei, Е. Trubowitz. Inverse scattering and the Boussinesq equation, Comm. Pure Appl. Math., 35, N 5,1982, 567-623.

2 P. J. Caudrey. The inverse problem for a general N*N spectral equation, Physica, 6D N1, 1982, 51 „d.

3 R. Beais. The inverse problem for ordinary differential operators on the line, Amir, J. Math., 107, N2, 1985, 281-366.

4 И. Г, Хачатрян. Об одной обратной задаче, ДАН. АрмССР, 1930, т. 70, N 3 с. 160-166,

5 И. Г. Хачатрян. Об одной обратной задаче для дифференциальных операторов высших порядков на всей оси, Изв. АН. АрмССР, Матем., 18, N 5,1983, 3S5-402.

интегральных уравнений, указанных И. М. Гельфандом, Б. М. Левитаном и В. А. Марченко в случае операторов Штурма - Пиувилля. Введенные И. Г. Ха-чатряном данные рассеяния, в отличие от введенных Р. Билсом, являются спектральными характеристиками соответствующего дифференциального оператора.

Таким образом, в настоящее время для дифференциальных операторов высших порядков на всей оси существуют рее различные постановки обратной задачи рассеяния, и исследование связей между этими постановками является актуальной задачей.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является исследование связи между двумя различными постановками обратной задачи рассеяния для указанного выше оператора I. и, в частности, нахождение ответа на следующие три вопроса, возникающие в связи с поставленной Р. Билсом обратной задачей рассеяния.

Первый из них - вопрос корректности постановки обратной задачи в смысле согласуемости количества задаваемых и определяемых функций (на первый взгляд задача кажется переопределенной).

Матрица рассеяния Б(^) вводится при помощи определенных решений дифференциального уравнения

у1т|(х)=?™у(х), х< у>, (2)

где - комплексный параметр. Второй вопрос заключается в выяснении отношения этих решений к оператору 1_.

Матричная функция 5(Я) определена на множесгве, которое в случае нечетного порядка т не пересекается со спектром оператора I, а в четном случае лишь частично содержится в нем. Поэтому возникает третий вопрос о том, можно ли эту матрицу в каком-то смысле принять в качестве спектральной характеристик« оператора !..

Обшая методика исследования. В диссертации используются методы теории функций, в частности, аналитические продолжения функций; методы функционального анализа, в частности, спектрального анализа; методы теории дифференциальных уравнений; в частности, асимптотические методы.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации новые. И с-

следована структура введенной Р. Ьилсом матрицы рассеяния S{к) оператора L и, в частности, доказано, что в рассматриваемой им обратной задаче рассеяния есть согласование между числом задаваемых и числом опредепя-емых функций (тем самым дается положительный ответ на указанный выше первый вопрос).

Доказано, что сопряженный к L оператор L* есть максимальный дифференциальный оператор в L2(-qo, со), порожденный сопряженной к (1) дифференциальной операцией, применение которой к функциям у(х) обозначается через yw'(x) и определяется по формуле, полученной из (1) заменой Рк(х) на рк(х). Отсюда, в частности, следует, что L,"=L и, значит, оператор L замкнутый, а в случае вещественных коэффициентов р^х) самосопряженный. Исследован спектр оператора L (вообще говоря, несамосопряженного) и для резольвенты выведено интегральное представление, где ядро выражается через решения уравнения (2J, которые используются при введении матрицы рассеяния S(k) оператора L (тем самым проясняется второй вопрос).

Указана связь между матрицами рассеяния оператора L, введенными в работах И. Г. Хачагряна и Р. Билса, показывающая, в частности, что третий вопрос в некоторых случаях имеет положительный ответ. Более того, эта связь показывает, что существующие в настоящее время две различные nor становки обратной задачи рассеяния для дифференциального оператора L не оторваны друг от друга и в некоторых вопросах дополняют друг друга.

Полученные результаты важны для дальнейшего развития теории обратных задач.

Апрабэцмя работы. Результаты диссертация докладывались на совместном семинаре при Проблемном совете по математике и механике HAH Армении и Математического общества Армении под руководством академика HAH Армении Н. У. Аракеляна, на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института Математики HAH Армении под руководством члена-корреспондента HAH Армении А. Б. Нерсесяна, а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ЕГУ под руководством профессора И. Г. Хачатряна

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах,

список которых приведен в конце реферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 77 листах машинописного текста, Библиография содержит 17 наименований работ.

2. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Вс еведении приведен краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации, а также краткое описание содержания диссертации.

Содержание_главы_1. Глава 1 состоит из двух параграфов. В первом из них, вспомогательном, доказана лемма 1.1, в которой утверждается возможность выбора фундаментальной системы решений уравнения (2), которые обладают определенной асимптотикой как при х-> « или х-> -<ю так и при |л|-> °о, и имеют некоторые аналитические свойства по параметру X. Лемма 1.1 существенно используется в $2, а также в главе 2.

При помощи лучей

= = ]=0,±1.....±(т-1), т, (3)

комплексную X - плоскость разобьем на 2т открытых секторов:

( тек гс(к +1)1

Пк = 1А.; X * О, — < аг§(А) < —--к к=0, 1, 2,.... т-1,

I т т ;

П_к = | А* Я* О, < аг8(/г) < - — к=0, 1, 2, „,, т-1.

I т т 1 V

т- т-1

Пусть Т = и П= и .

У=].щ к=1-ш

В §2 исследуется структура матрицы рассеяния оператора 1_, введенной Р. Билсом. Доказана лемма 1.2, в которой утверждается, что для каждого Хей\б, где 5 ей некоторое конечное или счетное множество, не имеющее предельных точек в ¿2, уравнение (2) имеет единственную фундаментальную систему решений ик(х,Х), к=0, 1, .... т-1, таких, что функции е",с>к^хик(х,Л) ограничены на всей оси (-*>,и |цп е~'с>к ^хик(х,Я)= 1, где

X—>'-С

, k=0,1.....m-1. (4)

Решения и„(хД) голоморфны по X. на открытом множестве Ü\G, а G есть множество их полюсов. Кроме того, для каждого ке7\а\ где G'с7 -некоторое ограниченное множество кулевой линейной меры Лебега такое, что множество б' и{0} замкнуто и содержит все предельные точки множества G, когда к' стремится к к, удовлетворяя указанным ниже неравенствам, существуют пределы:

jim uj,(хД') = и£(хД), аг§(/Я.'(ак)>аг^/>ойк) , k=0,1,...,т-1,

Jim U|c(xA')=uj7(x,X), arg(iA.'cak)<arig(/AOj.),k=0.1,...,m-1,

{считается, что argU^'w^) -> аг&гХж^) при X'-»X), причем каждая из систем

Uk (хД) и и^хД), к=0, 1.....m-1, является фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (2).

Тем самым возникает вполне определенная матрица

такая, что

и[(*Л)= £ Vх) ui (*А>. к=0.1.....m-1.

.1=0

Матричная функция S(к) введена в работе Р. Билса и называется матрицей рассеяния дифференциального оператора L. В связи с этим отметим, что приведенное в диссертации доказательство леммы 1.2 значительно проще, чем доказательство аналогичного утверждения, данное Р. Бил сом. Кроме того, в ходе доказательства леммы 1.2 выводятся представления для решений uj (хД), которые позволяют выяснить структуру матрицы S(k). А именно, доказывается следующая теорема.

Т е о р е и а 1.1. Для матрицы рассеяния S(A.) дифференциального оператора L порядка m г 3 справедливы следующие утверждения:

1) Для любого Д е 7 \ G' и любого целого числа п (0£ п< ш-1) выполня-

отся равенства

Sfcj(Xion)=Skir(X), к, j=0,1.....m-1,

(5)

где к" и j' определяются из равенств пу^к«,, и ю^троп. Следовательно, матричная функция S(X) вполне определяется заданием ее значений лишь на произвольных двух лучах (3) номеров различной четности (в частности, на двух соседних лучах, или в случае нечетного т, на двух лучах, симметрично расположенных относительно вещественной оси).

2) Для каждого X е MG' выполняются равенства

Следовательно, для каждого Хе 7\б' матрица Б(Х) вполне определяется заданием ее элементов Э^Х) лишь для тех к и что кщ и Ая>к + Лю^ =о. Число этих элементов при нечетном т равно т-1, а при четном пт на сщном из произвольных двух соседних лучей (3) равно т-2, на другом равно т.

Из теоремы 1.1 следует, что задание матричной функции рассеяния в(Х) равносильно заданию 2т-2 комплексных функций на полупрямой или п>-1 комплексных функций на прямой, и,'значит, в обратной задаче рассеяния есть согласование между числом задаваемых и определяемых функций.

Доказывается теорема, из которой следует, что указанное выше согласование сохраняется также в случае вещественных коэффициентов ру(х), к=0,1.....т-2.

Теорема 1.2. В случае вещественных коэффициентов р^х), к=0, 1, ..., т-2, для любого X е 7\С' элементы матричной функции рассеяния в(Х) удовлетворяют соотношениям

где считается, что ЗтА)8^!) и 8ЛВ(Х)=Зпо(х), п=1,2,.... т-1, причем, кота т четно, системы соотношений (8), соответствующие случаям {ЭДи»*)» О и Яе<Хс)к)< О, совпадают и в силу равенств (5) могут быть записаны в виде

Sk,(X)=0, И, Xcek+XtOj#0, Skk(X)=1, RefXto^O,

Skk(X)=1+ S^X^X), Re(Xa>0> 0, Xcok+X«^ = 0.

(6) (7)

SnHnnA^cBjOk S4(X), k, Xn>k +Xoij =0,

(8)

^ИЛЬ^да. Не{Хюк)> 0, Ал>к+Ал>] = 0, (9

где к' и¡' определяются из равенств с%=-шк и юр-с^ . Для каждого Хе7\(, при нечетном т число соотношений (8) равно т-1, а при четном т=2п число соотношений <9) на одном из произвольных соседних лучей (3) равь гпо-1, на другом равно т0.

Содержание главы 2..В главе 2 исследуется спектр оператора 1 и дг резольвенты выводится интегральное представление, ядро которого выр; жается через решения ик(хД), к=0, 1, ..., т-1, дифференциального уравн* ния (2), указанные в лемме 1.2.

Доказывается, что область определения О оператора всюду плотна пространстве 1-(-со, <ю) и, следовательно, существует сопряженный оператс 1*. Пусть и* - максимальный дифференциальный оператор, порожденный 12(-оэ, ос) дифференциальной операцией, применение которой к функция у(х) обозначается через у[гл1*(х) и определяется формулой, полученной из (

заменой коэффициентов Рк(х) на рк(х). Ясно, что область определения оп ратора I.* также всюду плотна в 1.2(-оо, со) и существует сопряженный опер тор (1*)*• Доказывается теорема 2.1, из которой, в частности, следует, что Д1 некоторого невещественного числа ц существуют определенные на все пространстве 1_2(-°о, ю) ограниченные операторы (I - ц1)~1 и {Ь"- ц!)"1, приче {(I - ц1)~1)"=0-*- ц1)"1, где I - единичный оператор. Поэтому операторы I. и замкнуты, причем I.* =1-* и (Ь*)*=Ь, а в случае вещественных коэффициент«

рк(х), к=0, 1.....ш-2, оператор является самосопряженным. Формулиров!

теоремы удобно привести здесь с несущественным изменением.

Т е о р е м а 2.1. Пусть а - спектр дифференциального оператора и п рядка т, а о0=[0, а>) при четном т и с0=(-да, оо) при нечетном т. Тогда стос а, множество «г^аЦ) конечно или счетно и ограничено, причем оно состоит I собственных значений оператора I. и его предельные.точки принадлежат с Кроме того, если Ц4=а), то мисло ц является собственным значением опер тора 1Л Для ст резольвента - оператора и является инте

альмым оператором, причем Хт является регулярной точкой оператора L" резольвента r|=(L#- Xml)~1 также является интегральным оператором. Яда R(x,t;A) и R*(x,t;x), -«к х, t< да, интегральных операторов Rj. и R^ удовлет-

эряют равенству к"{хлЛ}= Я^хЛ). Кроме того, для значений к таких что,

е и [аг«>_| < ядро Я(хД;Х.) выражается через решения ик(х,Х), к=0,

,..., т-1, дифференциального уравнения (2), указанные в лемме 1. 2, и ана-огичные решения ук(х,Х), к=0, 1, .... лп-1, сопряженного к (2) дифференци-

льного уравнения у'т|*(х)= А^х) следующим образом: в случае 0<агдХ<—

/mÄroMR(x,t;X) =

- ¿cokuk(x,Ä.)vra_k(t,X), t < х,

k=0 m-1

Х«>к"к(хД) Vra_k(t,X) , t > X,

k=nii+l

Де mj =

m-1

L 2

и vm(t,X)=Vo(t,X),.a в случае -—<argX<0

/тХ R(x,t;X) =

m -—

¿]«вкик(х,Я) vra_t(t,X), t < x,

k=i

^tokut(x,X)vin_|i(t,X), täx,

k=m<,+l

Ив «о =['j] . <»т=юо и um(x,X)=u0(x,X).

Указываются также формулы, явно выражающие ук(х,А) через ик(х,А).

Содержание главы 3. В главе 3 выясняется связь между двумя раз-1ичными постановками обратных задач рассеяния для оператора !. порядка п> 3, одна из которых указана И. Г. Хачатряном, а другая Р. Билсом.

И. Г. Хачатряном матрица рассеяния введена для самосопряженного гифференциального оператора I. в предположении, что для всех X, удовлет-зоряющих условиям 1тХ> О, X* 0, дифференциальное уравнение (2) имеет решение у+(х,Х), -оо< х< «>, которое обладает асимптотикой

у"(хД) = е'"(1 + о(1)), х—>со, (10

голоморфно по Я на открытой верхней полуплоскости и непрерывно на зам» нутой верхней полуплоскости без нуля. На непрерывном спектре <т0 оператс ра I. вводится определенная эрмитова неотрицательная матрица

Н(Я.)»(НЧ(Л,))™^0, Лесо\{0}, in,, =

I, 2 J

которая также называется матрицей рассеяния оператора L и естественны) образом возникает, если нормированные обобщенные собственные функци оператора L, соответствующие непрерывному спектру, выразить через реше ния y^x./toj (к> 0) или у'(х,}л\) (Л< 0), k=0, 1,*...,то, дифференциальног уравнения (2), где числа определяются по формуле (4).

В случае нечетного порядка m матрица Н(А) определена и непрерывн на множестве (-<», <»)V{0} и, более того, вполне определяется своими элемег тами НмА), к=1, 2, ..., Шо- В случае четного m матрица Н(л) определена непрерывна на полуоси (0, «о) и вполне определяется своими элементам

Honiy(*-). (*). НМ(Х), к=1,2.....то -1.

С.помощью указанного выше решения у*(хД), рассмотренные лемме 1.2 решения и0(хД) и и*(хД) представляются в виде

и0(хД)=у+(хД)+ £ а5(Х)у+(хДм5), /. е Gu'OJ, Im А= 0, (11;

seMjf.)

и^(хД) = у"(хД«к)+ £ bks(>.)v+ (хД<о5), XeT\C-, lm(Xcok)>0, (12)

Mj^ (/а ) I

t^(x,X) = y+(x,Ä.wk)+ £ _cks(A)y+(x,Xcos). ). е T\G\ irn(Xmk)>0, (13)

где о - expi/— , a множества (X* 0) целых чисел определень; по фен V 4т/

муле

Mk(X)={s; 0< з< т-1, Im (/.ws-/.<»k)> 0}, k=0,1,..., т-1. Матричная функция рассеяния S(k) рассматривается лишь на луча

'ш0 и 'т,,+ь т. е. в случае четного m - на лучах arg л= 0 и arg >.=—-, а в случа

нечетного m - на лучах arg /. =-— и arg л- ......

2т 2т

Для выяснения связей между S(X) и Н(/,) доказываются две леммы, где вещественность коэффициентов рк(х) уравнения (2) не предполагается.

Лемма 3.1. Пусть для каждого X* 0, lmX> 0, решение диффе-

ренциального уравнения (2), обладающее асимптотикой (10), может быть выбрано так, что функция у'(хД) при каждом х голоморфна по X на открытой верхней полуплоскости и непрерывна на замкнутой верхней полуплоскости без нуля. Рассмотрим следующие элементы матрицы рассеяния S(X):

Sk.m1+i-kW. *-s/rao\G', k=1,2.....m„ .Ref^O, (14)

Sk,m.-k(^). ле/п,э+|\0', k=0,1,..., m,, Re(?uok)* 0, (15)

где tn| =j -—-- j. В случае нечетного m рассмотрим также коэффициенты

bmo,s_,a), c0s(A), Ä6/mn+1\G', s=1.2,....m„ (16)

в представлениях (12) и (13) решений и* (х Д) и щ(к,Х), X е /mo+i \ G1, а в случае четного m - коэффициенты

bcW, сто3(Я), л.е/п,()\б\ s=1,2,..,m„ (17)

в представлениях (12) и (13) решений uj {хД) и и„0(хЛ) Xe/mn\G'. Тогда коэффициенты (16) и (17) определяются однозначно по элементам (14) или (15) матрицы рассеяния S(X). Обратно, функции (14) и (15) определяются однозначно по коэффициентам (16) или (17). Кроме того, определение указанных коэффициентов или элементов матрицы рассеяния S(X) может быть осуществлено при помощи последовательного определения коэффициентов bks(A) и ск5(Х) в представлениях (12) и (13) всех решений и£(хД), Яе {/mo^mo+iAö'. 1т(Ящк)> 0, используя при этом аналитическое продолжение функций, а также равенства (6), (7) и

Skl(Ä)=-bkJ(A) (Re (Xcok)< 0), Ski(X)=ckj(X) (Re(Xmk)>0),

ckv(A)=bkv(X)Skk(X)+-biv(/.)Skl(X) (Re-(Xtok)* 0, Im (Хо^-Хык)* 0), где число j удовлетворяет равенству Хш^ + Xtoj = 0.

Лемма 3.2. Пусть выполняется условие леммы 3.1. Тогда в случае нечетного т в представлении (11) коэффициенты

а3(Х) (Х> 0, Хе б), ат_3(Х) (Х< 0, А.«б), э=1, 2.....т0, (18)

определяются однозначно по элементам (14) и (15) матрицы рассеяния Обратно, функции (14) и (15) определяются однозначно по коэффициентам (18). В случае четного т коэффициенты

ЬП1о.5-1^). Со,(Х), Хё1т0\О', 8=1,2.....т0, (19)

в разложениях (.12) и (13) и^,0(х,л) и ио(х,Х), Хе/|П|)\0', определяются

однозначно по элементам (14), (15), 5ош0 М и 5Шоо(Х), Хе/т \б' матрицы

рассеяния Б(Х). Обратно, указанные элементы матричной функции рассеяния определяются однозначно по коэффициентам (19).

С помощью указанных лемм доказывается следующая теорема.

Т е о р е м а 3.1. Пусть коэффициенты рк(х), к=0,1, ..., т-2, дифференциального уравнения (2) вещественны и выполняется условие леммы 3.1. Тогда матрицы рассеяния Э(Х) и Н(Х) самосопряженного оператора I. однозначно, определяют друг друга. При этом в случае нечетного т имеют место равенства

Нк0(Х)=ак(Х), (Х>0), Нк0(Х)=ат_к(Х), (Х<0), к=1,2.....т0,

где ак(Х) - коэффициенты (18) в представлении (11) решения и0(х,Х) уравнения (2). А в случае четного т при Х> 0 имеют место равенства

Но™^ Ьто0(Х)= с0то(Х) = -8тоо(Х)= ^(Х),

Нкто(Х)=Ьток(Х), Нк0(Х)=с0к(Х), к=1, 2.....то-1,

где ЬШок(Х) и с^Х) - коэффициенты (19) в представлениях (12) и (13) решений "п,0и ио(х,Х) уравнения (2).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. А. Р. Казарян, И. Г. Хачатрян. Исследование структуры матрицы рассеяния дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами. Доклады HAH Армении, Математика.

2. А. Р. Казарян, И. Г. Хачатрян. Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами. /, Известия HAH Армении, Матем., т. 29, N 5,1994.

3. А. Р. Казарян, И. Г. Хачатрян. Об обратной задаче рассеяния для дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей оси коэффициентами. II, Известия HAH Армении, Матем., т. 30, N 1,1995.

1. UanhGui(ununipjm.GnuJ r|Jiuiuipl(i|mtf tC шпц|1ш1(шй npnj fiuipgbp, npnGp i|b-puipbpijnul tG uulpnri? uiniuGgpfi ilpui fiiuGputqmiluiptiiJi q.npöiul(tigGtpml m> 3 ljuipql' r\}i$bpbGg}iuii L oujhpmuinp}i Rurtfiup gpiTmG fim'qiurpxipä (uGi}p|iG:

\)Ьр1|Ш1ти'и L ои)Ърш1Лпр|) fiunjiup 1|шй Рш1|шцшр2 }uGrjp)i bpljm miupph r]pi)ui6p_Cbp. npnGglig iihl|p r^pijbj t I'. 9-. tnui^uunpjujGJi ^nr)il}ig, iljmup" ik Р]ци|1:

U,LnbGui|ununip;wG R|iiIGuiI|luG Сщштш1|й t qinGb[ fyuiujbp )uGr^pfi iujt). bpl| iniupphp J]igU. Ii, JuxuGmi^Tipmpuxp uquip^uipuiGti npn2 fiuipgkp, l|uiu(4iuö

ГК В)1]и)1 l|nrpJfig rvpijuiö fuürjpji fifcui:

UuibGujfunumpjmGmii uwiugi[iuö Ы2 fitinUjiui luprjjmGgGbpti.

1. ¿,buiiuqnuii|iu5 t L 0iqhpuiuinp(i fimiiuip O. PJnuJi ljnr\üfig Ghptfniäijuiö gpiluiG S(A) ihuinpjigji I|ummg4m5pp U, iluiuGualnpuipmp, gnijg t трфл&, np fiuuluaqiuinum-JuuiG gpüiuG ЯшЦшт^шрЙ |uCr|pmiI l(ui КипТшйицйЪдфцдтиэдтий uipi|ni\ ;}>mGl|g}miGhp}i

2. ¿,himjiqnim|uid t L ou)bpiuuinp|i uu|bl)inpp U nhqriii|bGin|i fiunluip шршш&фий t fiGinhqpiu[ Gbpljiujuignul, npji l^ripfiqG шртшЯшцп^тй t fiiuiiuitquiwiuuJumG Tvfi^hpUGgfimi fim^muiupiIiuG uijG imönul Kipfi ilfijngmJ, npnGp осцпшс^прй^пп! hG gpiIuiG S(A)iIiuirpfig]i GbptfniötfuiG qnpämtf:

3. Puiguifruijimluib bG Ijumjhp L oujbpuminpji gptfuiG S(X) \!muip}ig|i U h. Ч-. tuw£UiinpjiuGti ljnr]tfhg GUpiIniötluiö gptfiuG H(X) tfiuinpfigf) ilfigli, tfuiuGuiijnpiupuip, grnjg t uipijiuö, np S(k) U H(A) liwuipfigGbpß lifiiupdhßnphG npn2niiJ bG lifiiljuiGg:

1ЫГФПФПМГ