Об одном классе обратных задач для параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Жидков, Евгений Николаевич
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ ' НАРОДОВ .
РГ 5 ОД
На правах рукописи
- 6 НИВ ¡385
Жидков Евгений Николаевич
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
С 01.01.02 - дифференциальные уравнения )
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико -математических наук
Москва - 1993
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского Государственного Технического Университета км. Н. Э. Баумана
Научный руководитель академик РАН, доктор фиэико - математических
наук, профессор, I А. Н. Тихонов!
Официальные оппоненты доктор фиэико - математических наук, профессор А. И. Прилепко, кандидат фиэико - математических наук, доцент Е. Б. Лакеев. Ведущая организация - Институт математического
моделирования РАН ащита диссертации состоится << 1995 года в 15 часов 30 минут,
заседании диссертационного совета К 053.22 23 в Российском иверситете дружбы народов по адресу: 117302, Москва, ул. Орджоникидзе, ауд. 485.
С диссертацией могко ознакомиться - в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо - Маклая, 6.
Автореферат разослан » ßui-fiäj 1995 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат физико - математических наук М. В. Драгнев.
' L'
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Современное развитие науки и техники
невозможно без построения и анализа математических моделей изучаемого явления. Большое количество таких моделей включает как важную составляющую так называемую обратную задачу. Она заключается в том, что мы принимаем некоторую гипотезу о структуре модели и, сравнивая экспериментальные данные с результатами обсчета модели, коке« сделать вывод об адекватности модели изучаемому явлению и определить неизвестные параметры модели.
Ваяиой особенностью обратных задач является их некорректность. Систематическое изучение некорректно поставленных задач началось с фундаментальных работ А. Н. Тихонова, в которых был сформулирован принцип устойчивого решения обратных задач на компактных множествах и предложен метод регуляризации для решения операторных уравнение I рода.
К некорректно поставленным задачам относятся многочисленные задачи обработки результатов эспериыента, обратные задачи математическое физики и т. д.
Современные методы решения некорректно поставленных задач созданы, в основном, трудами А. Н. Тихонова. М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и получили дальнейшее развитие в работах В. Я. Арсенина, А. Б. Бакушинского, В. В. Васина, В. А. Винокурова, Ю. Л. Гапоненко, А. В. Гончарского, А. С. Леонова, В. А. Морозова, В. Г. Романова, В. П. Тананы, А. Г. Яголы и др.
-г -
Обратные задачи для линейных параболических уравнений изучались Н. Я. Бе-энощенко, Б. М. Будаком, В. Г. Васильевым, В. Б., Гласко, А. Д. Кокендеровым, К. Г. Реэиицкой, А. И. Прилеп-ко, В. Г, Романовым и др.
Математическая постановка многих обратных задач состоит в следующем. Требуется оценить неизвестную функцию, которая либо является коэффициентом дифференциального уравнения, либо входит в краевые я начальные условия, по дополнительной информации о решении рассматриваемой задачи. Отличительной чертой обратной задачи, связанной с исследованием математических моделей' реальных процессов является то, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента.
Другим фактором, который необходимо учитывать при решении обратных задач такого типа, является наличие погрешности во входных данных. Поэтому принципиальное значение приобретает вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером таких данных и разработка устойчивых методов их решения.
В данной работе рассматриваются обратные задачи, возникающие при анализе моделей теплопереноса, диффузии. В силу сказанного выше, исследование этих обратных задач и разработка устойчивых методов их решения актуальны для дальнейшего развития методов математического моделирования к их применения.
Цель работы состоит в исследовакик обратных задач для параболических уравнений. Работа позволяет ввделить класс
уравнений, обеспечивающий единственность решения обратной задачи и ее устойчивость.
Научная новизна, теоретическое и прикладное значение.
Обратная задача теплопроводности лежит в основе многих математических моделей .реальных процессов. Для изучения этих процессов важное значение имеют методы определения характеристик среды ( например, коэффициента теплоемкости ), основанные на решения обратных задач в рамках рассматриваемой математической модели.
В настоящей работе исследуются обратные задачи для параболического уравнения в случае, когда источник, имещий вид дельта - функции и точка измерения находятся в разных местах. Впервые получена теорема единственности для такого случая. Построено множество корректности. Все результаты строго доказаны.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры Прикладной математики МГТ/, кафедры Математической физики факультета ВМК МГУ, кафедры Дифференциальных уравнений и функционального анализа УДН, на Всесоюзной конференциях по некорректно поставленным задачам С Фрунзе, 1979 г. ), на Всесоюзной школе - семинаре 'Теория и методы решения некорректно поставленных задач" С Самарканд, 1983
г. ) и на 2-й Международной Научно - Технической конфе-
\
реиции "Актуальные проблемы фундаментальных наук", С Москва, 1994 г.
Публикации. По результатам работы опубликованы 7 работ.
Структура и od-.ек диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Объем диссертации 87 страниц. Библиография содержит 26 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении сформулированы цели и задачи исследования,
кратко изложено современное состояние вопроса и место настоящего исследования в круге подобных задач. В главе I формулируется прямая задача и доказывается
существование и единственность ее решения.
Рассматривается следующая задача для параболического уравнения с кусочно - постоянным коэффициентом теплоемкости. ■ Пусть на полупрямой х Z. О задана система чисел О = h < h < ... < h <оо.
0 1 n
Для удобства будем считать, что he+i= оо.
Зададим на полупрямой х 2 О функцию сС х ) :
сС х ) = ct = const при х е I h t, h 1+i), i = 0,1.....a.
Величины ct равномерно ограничены, О < A £ S В < +oo,
с * с 1 1 ♦!
Пусть функция uC х , L ) является решением следующей задачи:
а
сС х ) utC х , t ) = uxx - г u при х > О, х * ht, t > О,
- 5 -
С 1.1 ) uC х . О > = 5С х - С ). С е < \ .
ц^С О , t ) = О, и -> О при х -> оо,
С и 1 = С их 1 = О при х = ht.
у - const Z 0. Начально© условие в С 1.1 ) понимается в смысле: оо
j и( х. 0 > fC х ). dx = f( С )
для любой функции f, непрерывной в точке Под символом С u 1 понимается
[ u J = uC х +■ 0, t 3 - uC х - 0, t ). Доказывается
Теорема. Задача С 1.1 ) имеет единственное решение. Доказательство проводится для офаза Лапласа решения задача С 1.1 )
«о
UC х. р ) = J uC х. t ) охрС - р L Э dt.
о
Функция U удовлетворяет системе уравнений
- a* U = - с 6С х - С ) при х > 0, х * h, , dx" k 4 Г i
С 1.2 ) U'C 0 , р ) = а , и -> О при х -> 00, Г U 1 * С U' 1. = 0 , U'C с + о. р > - U'C С ~ о. р > » cfc.
Здесь а* » с р + г* . Под
с^ = Л с, р + у*
понимается та ветвь 4~г , для которой <1~Т~ = 1. Точхаан ветвления для функций о4 являются р = - у* / с4 ,
поэтому, в области Ке р > - у" ✓ с аналитичны. Все функ-
ции рассматриваются в области Ие р > - у" / В.
Итак, система С 1,2 ) при Ее р > - у* / В совместна и имеет единственное решение. Функция и аналитична по р в
области 5?е р > - В при фиксированном х к при действительных р > - г*/ В функция и действительна.
В с илу взаимнооднозначного соответствия иев.ду функцией -оригиналом и и ее образом Лапласа I/, система С 1.1 ) также совместна и имеет единственно© решение. В главе 2 рассматривается обратная задача.
Пусть нам известно решение задачи С 1. 1 ) как функция времени в точке х , иС х , I ) а ¡е( I
Под обратной задачей Судей понимать следусцую; Зная функцию рС £ ), а также ( и у требуется восстановить функции сС х ) и и( х , 1 ), если известно, что и является решением задачи вила С 1. 1 >.
Доказательство проводилось для II - Лапласова изображения функции иС х , 4 ). Формулировка обратной задачи для У:
Требуется восстановить пару функций сС х 3 и 1УС х , р ) при условии, что они удовлетворяют следующей системе:
2.1) - с? и = - с. р ¿C х - С ) при х > 0, х = Л. , dx* , 1
У'С О , р ) = О , У -> О при х -) 00,
[ У 1 = [ У ] = 0 ,
УС С + 0, р 3 - УС С " 0. Р ) = - ск,
УС хо , р) = í С р),
где
«С р ) = J í&C í > ехрС - р t ) dU.
о 1
Доказательство проводилось в два этапа. В первом параграфе доказана теорема едннствошэста решения обратной задачи для случая хо = 0.
Для задача С 2.1 ) вводится фундаментальная система реве-кпй Ut и Ув как непрерывно дифференцируемые решения краевых задач
С 2.2 3 У" - а" У = О, i i
С 2.3 ) УС 0 , р ) = 1,
УС h 3-е У С h 3=0,
i a а » а
С 2.4 ) У" - а" У =0,
ft S
Í 2,3) УаС 0 , р 3 =.1,
УС h ) + а У С h ) = 0.
a в mam
Обозначив «л вронскиан функций , можно выписать решение прямой задачи С 2.1 3. 4
£2.8) и -
где
иг С ( ) V С х ) при х < иа С х ) V С С 3 при х 2 (,
с.
УС х ) = -*- £ ¿/'С 0 ) и С х ) - и'С О ) и С х > ]
1 а а I
«УС 0 )
а
Предполагается, что решение обратной задачи не единственно
и существует функция а е с, такая, что решения задач вида
С 2.1 ) для функций сг и с совпадают в точке х^ = 0.
Для доказательства невозможности этого исследуются свойства решений задачи С 2.1 3. Для чего доказываются следующие лемш С 1 - решение задачи С 2.1 ) при с * сг, ск =
= сС С ), а, » о( (
Лемма 1. Для выполнения равенства
ис о ) = гс 0 )
необходимо, чтобы
с* " °1 •
причем это не означает,что к = 1.
Лемма 2. Пусть функция Г непрерывно - дифференцируема на полупрямой С 0, +оо ). Пусть Г" на каждом интервале ( , ) непрерывна, ограниченна и имеет односторонние пределы в точках ^ . Пусть функция Г удовлеторяет системе
Г" - а* Г > 0 при х > хо, ГС х ) < 0, ГС оо ) » 0.
- 9 -
Тогда яря х > хя Г < 0.
Функцию и можно представить в виде
ия = ехрГ - / АС I ) с11 ]. о
где АС х ) непрерьшна при х 2 О и дифференцируема при каждом х е С Л , Л ). А является непрерывным решением задачи Коши
А' = А* - а*.
С 2.7) АС Л ) = а .
в №
Яэмма 3. Решение задачи С 2.7 ) существует, единственно и
пра р -> + оо а фиксированном х е I ^, ) функция А
имеет аскеттотаху
С 2.8 ) А я а. [ 1 + ОС ехрС 2 а С х - Н, ) ) ). 1 г 1 1
Следствие. Производная (/ < О при достаточно" большом р.
С помоаыз этих лемм доказывается основная теорема §1. Теорема 2. Если а /3, то г( 0 ) % У( 0 ). В предположении неединственности решения обратной задачи показывается, что главный член асимптотики разности V- 2 при р -> +оо отличен от 0 и, следовательно, предположение теоремы ошибочно.
Во втором параграфе терема единствености перносится на случай общего расположения точки измерения. Вначале с помощью формулы Ляурнлля функция и выражалась
через функцию 1/а. Это позволяет выразить решение задачи
С 2.1 ) в виде
cv и С x ) и С С )
с г. s ) и = -¿—2-SL-L-
О )
г
. 1 - 1/'( 0 ) J dt / £/°С I )
го а
при х < С.
1 - 1/:с О ) I dt / t£C t Э
при х 2 (.
Так же как и в §1 доказывается Лемма 4. Для выполнения равенства ( 2.10 ) UC х ) = ZC х }
с о
необходимо, woOii cfc = с , причем это не означает, что я - I.
После этого можно доказать основную теорему §2 Теорема 2. Есги а( х D Ш 01 х ). то УС хо 3 U ZC хо 3.
В главе 3 доказывалась некорректность поставленной обратной задачи и строилось множество корректности для нее.
Система С 2.1 3 задает нелинейное отображение 4 множества функций С » < сС х ) 3 в множество $ . ■ < t 5 » - uC х , t ) 3.
о
Ha множестве С можно ввести метрику следующим образом. Пусть функция ы удовлетворяет соотношениям uC х 3 е С1 О, 00 3 n Ltl 0, 00 3, 0 < «С х ) S И.
ее
Интеграл |/Cx)/w(x)dx сходится для fix)*
» ОС ехрС - fc Xs ). Тогда метрику в С определим как
pf*C с*, са 3 = |°wC х 3 t с1 - с® ]* dx,
где с'. с' € С.
На !.шодботв0 $ введен метрику L [ 0, 00 ):
р*( у 3 = | С р - у <±х.
Показывается, что оператор А является непрерывным. Затем приводится пример, показывающий, :э задача С 2.1 3 является некорректно поставленной. Л именно, функции с
сС х ) *
!! ОТ.
аС х )-
сд при 0 < х cf при х > h
СГ0 При 0 < х < я, со при с i х < h, ct при х £ h.
где 0 < е < h, а с = с т I с -с I
О О 'О I '
значительно отличаются а метрике L
] иС х ) dx 1
» /а
ра( с, а ) » С со - с, )a.
.В тс а зрэн« соответствующие решения прямых задач в тот:з х отличаются мало
о
рС , рг 3 < Const с> 4
Такяэ нетрудно видеть, что малые вариации функция р вы-водт за продели области допустимых решений.
На миоеэство функций С = { с( х ) } вводится множество корректности К. В качестве К борется подмножество функций С, удовлэтворяхшх ограничениям: 1) количество слоев и фиксировано;
2) задано И > 0 такое, что И < И для всех функций /С;
П
3) заданы положительные ^ и т?, такие что
I С1 " С1 ♦, I * I ' ♦ , I *
Для практического решения обратной задачи минимизируется функционал
0 0
Л а ] = / С С & I ) - Ч< I ) ]* Л.
о
где ** = иС х^, I ), а и - решение задачи С 2.1 ) при сС х ) = стС х ).
Очевидно, что J £ 0.
Показывается, что < сп } - минимизирующая последовательность для функционала J сходится к некоторой функции с*, которая является квазирешением поставленной обратной задачи. В заключении сформулированы основные результаты работы.
1) Получена теорема единственности для решения прямой задачи.
Для этого прямая задача для параболического уравнения с помощью преобразования Лапласа сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, для которого строится явное решение.
2) Для обратной задачи доказывается теорема единственности восстановления коэффициента.
Для этого доказывается рад вспомогательных лемм и получается асимптотика решения прямой задачи для разности двух рашений, откуда следует ее единственность.
3) Показана некорректность поставленной обратной задачи п построено множество корректности для нее. Отсяда следует сходимость приближенных решений к точному решению при уточнении исходных данных.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
1. Жидков Е. Н. О восстановлении коэффициента теплоемкости 7араболического уравнения.//Матем. методы в прикл. задачах.
I • МВТУ, 1979, С. 43 - 50.
2. Жидков Е. Н. 0 единственности восстановления коэффициента параболического уравнеия // Тез" докл. Всесюз. конф. по [экорректно поставленным задачам, 19-23 .сент. 1979 г. -■рунзе, 1979. - Ш с.
3. Жидков Е. Н. Ой одной обратной задаче // Тез. докл. Все-оюэ. школы - семинара 'Теория и методы рещэния некорректно оставленных задач", 23 сент. - 6 акт. 1983 г. - Новосибирск, 983. - 257 с.
4. Жидков Е.Н. Доказательство единственности решения одной Зратяой задачи // Ж. вьггесл. матеы. и матем. физ. - 1993..- Т. 3, N 10.
5. Жлдков Е.Н. Теорема единственности- решения одной обрат-зй задачи / МГТУ им. Н. Э. Баумана. - М., 1994, - 10 с. -
>п. в ВИНИТИ, N 1890 - В94,
6. Ш&коъ Е. Н. 0 корректности одной обратной задачи / МГГУ 1. Н. Э. Баумана. - М., 1994, - 11 с. - Лея. в ВИНИТИ, N 2198 14.
7. Жидков Е. Н. О единственности восстановления теплофизичвс-ких параметров среды. //Груды 2-ой международной научно -тэхкической конференции "Актуальные проблемы фундаментальны? наук", С Россия, Москва,24 - 28 января 1994 г. ). / Под ред. Федорова И. Б. , Колесникова К. С. , Карпова А. 0. М.: Техносфера - Икформ, 1994,- Т. 1., Ч. 1. - С. 103 - 103.