Об одном методе приближенного нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОРТНОВ МИХАИЛ МИХАЙЛОВИЧ

Об одном методе приближенного нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико - математических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор Курина Галина Алексеевна

доктор физико-математических наук, доцент Семенов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация - Липецкий государственный технический универ ситет

Защита состоится 24 мая 2005 года в 15 час. 40 мин. на заседании диссер тационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном универ ситете, 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежской государственного университета.

Автореферат разослан " Л 2." апреля 2005 года.

Учёный секретарь диссертационного совета

Гликлих Ю.Е

JM0$~L/

UJfT

Актуальность темы. Теория нелинейных колебаний представляет собой весьма интенсивно развивающийся раздел качественной теории дифференциальных уравнений и прикладной математики. Это обусловлено, с одной стороны, важностью практического приложения теории краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники, с другой стороны - необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, непрерывной зависимости решения от данных задачи, а также построением эффективных методов их отыскания. Кроме того, в ряде случаев возможно использовать полученные результаты при рассмотрении краевых задач. Вопросом построения периодических решений занимались А. Пуанкаре, A.M. Ляпунов, Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, И.Г. Малкин, Е.А. Гребенников, А.М Самойленко, Дж. Хейл, JI. Чезари и другие ученые.

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний важно уметь точно или приближенно получать периодические решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. На данный момент существует несколько качественно различных подходов к изучению и построению периодических решений.

Одним из достаточно эффективных средств изучения нелинейных колебаний являются асимптотические методы нелинейной механики. Однако асимптотические методы не могут в полном объеме решить проблему изучения даже чисто гармонических колебаний. Поэтому для более полного исследования периодических решений дифференциальных уравнений многими авторами создаются и развиваются функционально-аналитические, численно-аналитические и численные методы и схемы.

Численно-аналитические и численные методы рассматриваемые, например, в работах Ю.А. Митропольского, A.M. Самойленко, Н.И. Ронто, Дж. Хейла, Л. Чезари, благодаря большим возможностям привлечения ЭВМ становятся в настоящее время универсальным средством выявления и приближенного построения периодических решений.

Профессор А.И. Перов в ряде работ высказал идею метода приближенного отыскания периодического решения в указанных выше условиях или близких к ним. Этот метод перекликается с различными методами других математиков: A.M. Самойленко , Н.М. Ронто, Л. Чезари, Дж. Хейл. Получение периодического приближения по этому методу состоит из двух шагов: решения элементарной задач нахождения периодической функции с нулевым средним значением по ее первой или р-ой производной и в на-

хождении решения системы (конечных) нелинейных уравнений (этот шаг значительно сложнее).

Исследования, включенные в данную диссертацию, выполнены в рамках проекта VZ-010-0 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Министерства образования и науки РФ и CRDE (США). Тема исследования напрямую связана с направлением исследования НИР кафедры нелинейных колебаний.

Цель работы. В данной работе рассматривается подход к отысканию периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической по времени правой частью, предложенный А.И. Перовым. Данный метод является логическим развитием таких широко известных методов исследования периодических решений, как методы Чезари-Хейла, A.M. Самойленко и других. Основной задачей является рассмотрение схемы метода и определение условий применимости данной схемы для поиска периодических решений.

Общая методика исследования. Рассматриваемый метод построения периодического решения системы дифференциальных уравнений состоит в построении периодических по времени вектор-функций, принадлежащих вполне определенному множеству, содержащему периодические решения данной системы. С этой целью строится соответствующий системе оператор, действующий в указанном множестве. Отметим, что получаемый оператор может быть выписан в явном виде лишь в частных случаях задачи. При исследовании оператора решаются задачи о существовании и единственности последовательности приближений для системы уравнений. Затем рассматриваются условия, при которых оператор является сжимающим на указанном множестве. В обосновании сходимости метода и в получении оценок в различных метриках важную роль играют неравенства Бора-Фавара и Виртингера. При обосновании сходимости метода для систем уравнений удобным оказался обобщенный принцип сжимающих отображений, сформулированный и доказанный А.И. Перовым еще в 1964 г

Научная новизна. В работе рассмотрен способ построения периодического решения систем неавтономных дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. Получены условия существования последовательности приближений и условия сходимости данной последовательности. Кроме того, полученные результаты могут рассматриваться как достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в рабо-

те результаты относятся к теории нелинейных колебаний. Рассмотренный метод может быть использован в прикладных задачах при поиске периодических решений. Кроме того, в прикладных задачах могут быть полезны легко проверяемые достаточные условия существования периодических решений.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы."(Воронеж, 26-30 мая 2003 г.); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г.); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХГ/" (Воронеж, 39 мая 2003 г.); Воронежской зимней математической школе - 2004 (Воронеж, 24-29 января 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12], список которых приведен в конце автореферата. В совместной работе [1] соискателю принадлежит проработка деталей доказательства скорости сходимости метода. В совместной публикации [2] соискателю принадлежит обоснование условий применимости и скорости сходимости метода, а Л.А. Поляковой разработана реализация вычислительного алгоритма.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих девятнадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации 137 страниц. Библиографический список содержит 66 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследований и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

В первой главе, которая носит вводный характер, ставится задача об отыскании периодических решений и проведен краткий обзор широко известных методов исследования периодических решений, изучение и анализ которых привело к появлению данного метода.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

Вторая глава работы посвящена задаче поиска периодических решений для скалярного дифференциального уравнения первого порядка. В параграфе 2.1 ставится задача поиска периодического решения метода для скалярных уравнений первого порядка, вводятся обозначения и при-

водятся вспомогательные утверждения. Рассматривается уравнение вида

агЧ«) = /(*.*(<)), (2.1.1)

где £ € К - время, х{£) € К, функция / : К х К —> Ж непрерывна по совокупности переменных и известно и> > 0 - период данной функции по переменной Ь: / (4, х) = f(t + ш, х). Требуется найти функции х({), являющиеся решением уравнения (2.1.1) и периодические с периодом ш-ж (г) = х(Ь + и>).

Определяется периодическая функция Грина, которая может быть представлена в виде ряда Фурье

, 1 зт нЫ 2тг „ „„.

й7 (2ЛЛЗ)

<!=1

или комплексного ряда Фурье

кф О

В параграфе 2.2 приведена схема метода для скалярных дифференциальных уравнений первого порядка.

В параграфе 2.3 приведены основные теоремы об условиях применимости и условиях сходимости метода. С этой целью в пространстве Ьг[0, ш] определим множество П*

П, = |ж(*) е 1*10,0/] ^/(«,«(«)) Аз = о| ; (2.3.18)

и метрику на данном множестве

( " \ ^ р(х,у)~{ [ш-у(*))2] • (2.3.19)

Нетрудно показать, что П, является полным метрическим пространством Определим оператор А : П» —>• П»:

Ы

Ax(t) = ux(t) + сх, ux{t) = / G(t — s)f(s, x(s)) ds,

ы 0 (2.3.20)

где Сх - корень уравнения f f{s, ux(s) + cx) ds = 0,

о

который используется при построении приближений.

Доказательство сходимости метода проводится с доказательство сходимости предлагаемой схемы построения периодических решений проводится с помощью принципа сжимающих отображений. С этой целью потребуем выполнения для правой часть уравнения (2.1.1) условия Липшица снизу

Цх-у\< | f(t, х) - f(t, у)\, I > 0; (2.3.11)

и условия Липшица

\f(t,x)-f(t,y)\<L\x-y\. (2.3.12)

Найдены константы сжатия оператора А на рассматриваемом пространстве и показано, что построенные приближения сходятся не только в пространстве Ьг[0,и>], но и в С[0, и>], то есть равномерно.

Параграф 2.4 посвящен рассмотрению важного, на наш взгляд, случая, когда правая часть дифференциального уравнения обладает свойствами симметрии, за счет которых можно отказаться от условия (2.3.11).

В главе 3 рассматривается применение метода для поиска периодических решений скалярного дифференциального уравнения р-го порядка. Приведена задача о поиске периодических решений, схема построения последовательности периодических функций. В параграфе 3.3 приведены теоремы о применимости и сходимости метода. В параграфе 3.4 показано, как результаты параграфа 3.3 могут быть использованы при обосновании существования периодических решений. Параграф 3.5 посвящен рассмотрению случая, когда правая часть дифференциального уравнения обладает свойствами симметрии, за счет которых можно существенно упростить условия сходимости метода.

В четвертой главе рассматривается применение метода для поиска периодических решений систем дифференциальных уравнений первого порядка Приведена задача о поиске периодических решений, схема построения последовательности периодических функций. В параграфе 4.3 приведены теоремы о применимости и сходимости метода. В параграфе 4.4 рассмотрен вопрос о реализации вычислительного процесса для получения последовательности функции в аналитическом виде.

Глава 5 посвящена наиболее общему случаю - поиску периодических решений систем дифференциальных уравнений р-го порядка. В параграфе 5.1 сформулирована рассматриваемая задача. Рассматривается систе-

ма, записанная в векторном виде

х

(5.1.1)

где р, п натуральные, Ь 6 М - время, х 6 М" - пространственные переменные, векторная функция £ : Ж х Кпхр —> К" непрерывна по совокупности переменных и «-периодическая по переменной I. Требуется найти векторную функцию х(£), являющуюся решением уравнения (5.1.1) и периодическую с периодом ш: х (¿) = х {Ь + ш).

При доказательстве сходимости используется понятие обобщенной фуш ции Грина периодической задачи Сгр(<). Функцию <7Р(£) можно задать соотношением

где х = 27г/о/.

При обосновании сходимости метода используются следующие обозначения:

При доказательстве утверждений используются неравенства, связывающие функцию с нулевым средним и ее производную у-го порядка. При доказательстве сходимости метода используются неравенства, связывающие норму функции с нулевым средним и ее производной некоторого порядка в указанных пространствах. Это неравенство Виртингера

или в вещественной форме

при четных р, при нечетных р.

(5.1.10)

и неравенство Бора-Фавара

(5 1.11)

Здесь х = 27г/ш, Ку - константы Фавара, имеющие вид

В параграфе 5.2 приведена схема построения периодических приближений. Как показано, периодические решения уравнения (5.1.1). если они существуют, принадлежат множеству

П,= |х(£) еЦ[0,ш} £г(з,х(з),х!(а),...,х(р-1)(8))<Ь = о|. (5.2.1)

С целью нахождения периодического решения предлагается проводить построение последовательности периодических приближений таким образом, чтобы все приближения принадлежали множеству П,. Попытаемся построить нулевое приближение в виде

хо(«) = и0(*) + с0, (5.2.2)

где ио(£) - осново нулевого приближения, в качестве данной функции возьмем произвольную ы-периодическую векторную функцию (можно взять постоянный вектор). Вектор-константу со попытаемся выбрать таким образом, чтобы хо(^) принадлежало П», то есть попытаемся найти со как решение системы числовых уравнений

ы

У í (в, !*>(«) + Со,(в), ■ ■ •,¿3 = 0. (5.2.3)

о

Предположим, что система уравнений имеет решения и найдено одно из них - со- Тогда построим хо(£) по формуле (5.2.2). Очевидно, что по построению хо€П,и является периодической функцией.

Теперь предположим, что нам известно приближение х,(<) € П«, являющееся о;-периодической векторной функцией Будем искать следующее приближение в виде

х,+1(<) = и,+г(<) + с,+1. (5.2.4)

Функцию и,+1(£) будем искать как периодическое решение системы дифференциальных уравнений

и«(<) = £ *"(<), • • ■ .^(О) • (5.2.5)

Так как хг еП„ то приведенная здесь примитивная система дифференциальных уравнений имеет ^-периодические решения. Для упрощения дальнейшего рассмотрения определим и1+1(г) как периодическое решение с нулевым средним

ш

и,+1(*) = У («,*,(«),... .х?"4^)) ¿а. (5.2.6)

Далее попытаемся определить постоянную с,+1 таким образом, чтобы ж,-ц(< принадлежало П*, то есть будем искать вектор-решение с,+1 системы уравнений

Ш

! { (а, и,+1(в) + с+1, и'ш(з),..., и^) Ла = 0. (5.2.7) о

Предположим, что данное уравнение разрешимо и мы определили с,+1. Тогда построим х,+1 по формуле (5.2.4). Очевидно, что по построению еП, и является ш-периодической функцией

Условия, когда возможно построить последовательность периодических функций, и условия сходимости данной последовательности к периодическому решению уравнения (5.1.1) приведены в параграфе 5.3. В формулировках использованы обозначения

п

(х>у)в = Их11я = (х> х)Е2 ■

¿=1

Теорема 5.3.2 Пусть задана система уравнений (5.1.1) с непрерывной, и>-периодической правой частью. Пусть, кроме того, функция f такова, что существует самосопряженная положительно определенная ма? рица А (А > 0;А* = А, и самосопряженная матрица 3 (3* — 3), такие, что для любых £ € [0, и>], гг,..., х, у 6 Ж" выполнено

(А(х - у, у - у)Е <

< х, гь гъ ..., гр_1) - у, ги г2,..., ир_х), 3(х-у))Е.

(5.3.10)

Тогда по формулам (5.2.2)-(5 2.7) для указанной системы дифференциальных уравнений для фиксированной непрерывной и-периодической функции ио(£) может быть единственным образом построена последовательность ш-периодических векторных функций х,(<). Если же при этом функция ? удовлетворяет условию Липшица по совокупности пространственных переменных, то есть существуют такие константы Ьо, Ь\, Ь2, ■ ■ ■ х, что для любых < € М, хо, х1; хг, • • хр_уо, Ух, У2, • • V Ур-1 € К" выполнено

р-1

к=0

(5 3 11)

и выполнено

0=1*

"i

М2 /Р~1 \ Р~1

(5.3.13)

J \.=о

где Мз,т\ - модуль наибольшего собственного значения 3 и модуль наименьшего собственного значения А соответственно. При выполнении данных условий последовательность периодических функций х^) равномерно сходится к ш-периодическому решения системы (5.1.1), причем справедлива оценка для функций последовательности и их первых р — 1 производных

( К - X*

\

XL - X"

х„ - X"

< Q"(E - Q)

-X

( ||xi - Хо||2 \ l|xi-xG||2

1)

ЛР-i)

< GQ (Е - Q)

-i

,(р-1) „(Р-1) 'i — хп

(5.3.13)

г)

( l|xi - х0||о \

о/

Millo

,(р-1) ,>-1)

Хо

(5.3.14)

о/

где неравенства следует понимать как покомпонентные, Q - постоянная р х р -матрица

Q = DL, (5.3.15)

М = со1(Х~р и1'? ... х-1) (5.3.16)

L=(£o Li ... Vi). (5-317)

D = col (у*"2? + ¿g (LM)2 x1-? ... х-1), (5.3.18)

G =

/

Ь, - числа Вернулли,

(5.3.19)

Е- единичная р х р-матрица.

При доказательстве данной теоремы, которую естественно назвать глобальной теоремой о применимости и сходимости метода, используются неравенство Виртингера и обобщенный принцип сжимающих отображений

Сформулированы и локальные теоремы о применимости и сходимости метода

Теорема 5.3.3 Пусть задана система уравнений вида (5.1.1) с и)-периодической по времени правой частью. В том случае, если функция f(t,x,xr,...) непрерывна по совокупности переменных, известно некоторое решение Со системы уравнений

U1 /

f (s, Со, 0,0,..., 0) ds = О,

(5.3.34)

для которого можно указать такие константы Ьо, Ь\,... ,ЬР и матрицы А(А > О, А* = А) и = Л), а также вектор Ло = ( -йод, ■ ■ Яа<р) 6 Мр, что для любых £ € [0,ш], х,у € 5(со, йод),

е 5(0,ад, z2 е 5(0,ад,..., е 5(0,ад

S(a,b) = {peEnHla-pHE<b}cMn; выполнены условия (5.8.10)-(5.3.11),

( LQMJ

а —

V

тА

+ 1 LD0 < 1,

Во > (Е - Оо)_1иа ||Г(■, с0,0,0,..., 0)||0,

где и2 определено формулой

/

U2 =

Е +

\

(Mj/тЛ \ ( н~рКр \ О ь Л-гКр^

\ 0 / А к^К,

(5.3.35)

(5.3.36)

(5.3.37)

(5 3.33)

В таком случае возможно, если в качестве нулевого приближения взята функция Хо(£) = Со, построить последовательность периодических функций по формулам (5 2.2)-(5.2.7) и построенная последовательность х,(<) сходится к ш-периодическому решению х*(£) системы (5.1.1). Справедлива оценка

( К-х'Но \

II*; - х Но

Цх^-ХЧр-!)!! , II Но/

< Qo"(E - Qo) lb ||f(-, Со, О,..., О) ji0 , (5.3.38)

где

Qo

Е +

\

тл

О О

\ о /

D0L,

(5.3.39)

/

Do = col (к PKP и1 pKp-i ... >с xKi), Kj - константы Фавара,

Теорема б.ЗЛПустъ задана система уравнений вида (5.1.1) с ш-периодической по времени правой частью. В том случае, если функция f (t, х, х', ..., х^-1') непрерывна по совокупности переменных, известно некоторое решение Со системы уравнений

и

j f(s, Cq, 0,0,... ,0) ds = О,

(5.3.40)

для которого можно указать такие константы Lq, L\,..., Lp, матрицы А(А > О, А* = А) и J(J* = J) и вектор R = ( Къ Д2, -.., Rp) € Rp, что для любых t € [0,ui},x, у € 5(со, Ri)

z! е 5(0, R2), z2 е 5(0, Дз), • ■ •, zp-! G 5(0, Rp) (5.3.41)

5(а, 6) = {р € R"| (|а — р||£ < 6} С К";

выполнены условия (5.3.10)-(5.3.11),

\

И-ZР +

771

3 \t=0

р-1

£

i=l

R > (G(E - Q)-1Ui + Ua) ||f (•, c0,0,0,..., O)||0 ,

где U2 определена формулой (5.S.S3),

fy/x-2P+(LMMj/mAy¿\

Ui =

(5.3.42)

(5.3.43)

(5.3.32)

/

В таком случае возможно, если в качестве нулевого приближения, взята векторная функция Хо(£) = Со, построить последовательность периодических функций по формулам (5.2.2)-(5.£.7). Построенная последовательность хг(2) сходится к ш-периодическому решению х*(£) системы (5.1.1)

и справедливы оценки для функций последовательности и их первых р— 1 производных

( 1|Хп-Х*||2

К-х'*||2

- х^) / К - х% \

\

J

< Qn(E - Q)_1Ui I|f(., Co, 0,..., 0)||2 , (5.3.28)

k^-x

о

Ap-i)

< GQ (E - Q)_1U2 ||f(-, Co, 0,..., O)[j0 , (5.3.29)

о/

где неравенства следует понимать как покомпонентные.

В параграфе 5.4 приведены несколько примеров, иллюстрирующих применение рассмотренной схемы поиска периодических решений.

Результаты, приведенные в главе 5 являются наиболее общими, из них, изменяя порядок и размерность систем уравнений, могут быть получены основные теоремы, приведенные в главах 2-3.

Автор глубоко признателен профессору А.И. Перову за постоянное внимание и советы.

Список публикаций по теме диссертации

1. К условию сходимости метода A.M. Самойленко / А И. Перов, С А Олейникова, Л.Ю. Дикарева, М.М. Портнов // Вестник ВГУ , Сер. Физика, математика. - 2001. - Вып. 1. - С. 111-119.

2. Полякова JLA. Об одном методе отыскания периодических решений дифференциальных уравнений / JI.A. Полякова, М.М. Портнов // Математика. Образование Экология. Тендерные проблемы. Материалы международной конференции. Воронеж 26-30 мая 2003г.- М • Прогресс-Традиция, 2003 - Т.1 - С. 58-59.

3. Портнов М.М. О условиях сходимости метода А.М Самойленко / М.М. Портнов // Современные методы в теории краевых задач. Тезисы докладов. - Воронеж, 2002. - С. 123.

4. Портнов М.М К условию сходимости метода A.M. Самойленко для уравнений второго порядка / ММ. Портнов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов - Воронеж, 2003. - С. 189-190.

5. Портнов М.М Об одном методе отыскания периодических решений / М.М. Портнов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. - Воронеж, 2003. - С. 188-189.

6 Портнов М.М. Об условиях сходимости одного метода отыскания периодических решений /М.М. Портнов // Современные методы теории краевых задач Тезисы докладов. - Воронеж, 2003. - С. 118-119.

7. Портнов М.М. О применении метода A.M. Самойленко к исследованию уравнений высших порядков /М.М. Портнов // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. - Воронеж, 2003. - Вып 3

- С. 54-67.

' 8 Портнов М.М. Об одном методе построения приближенных периодических решений / М.М. Портнов // Вестник факультета ПММ. - Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 108-124.

9. Портнов М.М. О применении одного метода поиска периодических решений к системам дифференциальных уравнений первого порядка / М.М. Портнов // Воронежская зимняя математическая школа-2004 -Воронеж, 2004. - С. 91-92.

10. Портнов М.М. О предложенном А.И. Перовым методе поиска периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / М.М. Портнов // Воронежская зимняя математическая школа-2004

- Воронеж, 2004. - С. 92-93.

11. Портнов М.М. Об одном методе приближенного построения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений р-го порядка / М.М. Портнов // Вестник ВГУ, Сер. Физика, математика.

- 2004. - Вып. 1. - С. 139-145.

I

12 Портнов М.М. Об одном подходе к построению периодических решений систем дифференциальных уравнений / М.М. Портнов; ВГУ -Воронеж, 2004. - 30с. - Деп. в ВИНИТИ. 06.08.2004, № 1374-В2004.

Заказ N<>/.92 от 13-4 2005г Тираж /Я^экз Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

0/.0/-Û/.O3

РНБ Русский фонд

2005-4 42301

19 ШЖ

У

Введение.

Общая характеристика работы.

Краткое содержания работы

1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Обзор некоторых методов решения задачи.

2 Скалярные уравнения первого порядка.

2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

2.2 Схема метода.

2.3 Применение и сходимость метода для скалярных уравнений первого порядка в общем случае.

2.4 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью

Л особого вида.

I 3 Скалярные уравнения произвольного порядка.

3.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

3.2 Схема метода для уравнений р-то порядка. ч 3.3 Сходимость метода в общем случае. 3.4 К вопросу о существовании периодических решений.

3.5 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью особого вида.

4 Системы уравнений первого порядка.

4.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

4.2 Схема метода для систем уравнений первого порядка.

4.3 Основные теоремы о применении и сходимости метода. . 86 „ 4.4 О практической реализации метода.

5 Системы дифференциальных уравнений произвольного порядка.

5.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

5.2 Схема метода для уравнений р-го порядка.

5.3 Сходимость метода в общем случае.

5.4 Примеры, иллюстрирующие применение метода.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теория нелинейных колебаний представляет собой весьма интенсивно развивающийся раздел качественной теории дифференциальных уравнений и прикладной математики. Это обусловлено, с одной стороны, важностью практического приложения теории краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники [8, 16, 58], с другой стороны - необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, непрерывной зависимости решения от данных задачи, а также построением эффективных методов их отыскания. Кроме того, теория периодических решений является частью теории краевых задач, что в ряде случаев позволяет использовать полученные результаты при рассмотрении краевых задач. Вопросом построения периодических решений занимались А. Пуанкаре, A.M. Ляпунов, Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, И.Г. Малкин, Е.А. Гребенников, A.M. Самойленко, Дж. Хейл, JI. Чезари и другие ученые.

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний важно уметь точно или приближенно получать периодические решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. На данный момент существует несколько качественно различных подходов к изучению и построению периодических решений.

Одним из достаточно эффективных средств изучения нелинейных колебаний являются асимптотические методы нелинейной механики, разработанные в фундаментальных трудах [26, 5, 28, 29], в дальнейшем развитые их учениками и последователями. Однако асимптотические методы не могут в полном объеме решить проблему изучения даже чисто гармонических колебаний. Поэтому для более полного исследования периодических решений дифференциальных уравнений многими авторами создаются и развиваются функционально-аналитические, численно-аналитические и численные методы и схемы.

Функционально-аналитические методы [1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 31, 32, 36, 42] широко используют топологические понятия и представляют удобный инструмент качественного исследования периодических решений, позволяя решать вопросы о существовании, числе и устойчивости периодических решений.

Численно-аналитические и численные методы [10, 30, 54, 55, 56, 63, 57, 64, 65] благодаря большим возможностям привлечения ЭВМ становятся в настоящее время универсальным средством выявления и приближенного построения периодических решений.

В работе [59] приведены различные условия типа дефинитной и индефинитной монотонности, гарантирующие существование и единственность периодического решения. Профессор А.И. Перов [39, 40] в ряде работ высказал идею метода приближенного отыскания периодического решения в указанных выше условиях или близких к ним. Этот метод перекликается с различными методами других математиков: А.М. Самойленко, Н.М. Ронто, Л. Чезари, Дж. Хейл. Получение периодического приближения по этому методу состоит из двух шагов: решения элементарной задач нахождения периодической функции с нулевым средним значением по ее первой или рой производной и в нахождении решения системы (конечных) нелинейных уравнений (этот шаг значительно сложнее).

Исследования, включенные в данную диссертацию, выполнены в рамках проекта \^-010-0 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Министерства образования и науки РФ и ОБШЕ (США). Тема исследования напрямую связана с направлением исследования НИР кафедры нелинейных колебаний.

Цель работы. В данной работе рассматривается предложенный А.И. Перовым [39, 40] подход к отысканию периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической по времени правой частью. Данный метод является логическим развитием таких широко известных методов исследования периодических решений, как методы Чезари-Хейла, A.M. Самойленко и других. Основной задачей является рассмотрение схемы метода и определение условий применимости данной схемы для поиска периодических решений.

Общая методика исследования. Рассматриваемый метод построения периодического решения системы дифференциальных уравнений состоит в построении периодических по времени вектор-функций, принадлежащих вполне определенному множеству, содержащему периодические решения данной системы. С этой целью строится соответствующий системе оператор, действующий в указанном множестве. Отметим, что получаемый оператор может быть выписан в явном виде лишь в частных случаях задачи. При исследовании оператора решаются задачи о существовании и единственности последовательности приближений для системы уравнений. Затем рассматриваются условия, при которых оператор является сжимающим на указанном множестве. В обосновании сходимости метода и в получении оценок в различных метриках важную роль играют неравенства Бора-Фавара и Виртингера [61]. При обосновании сходимости метода для систем уравнений удобным оказался обобщенный принцип сжимающих отображений, сформулированный и доказанный А.И. Перовым еще в 1964 г. [34].

Научная новизна. В работе рассмотрен способ построения периодического решения систем неавтономных дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. Получены условия существования последовательности приближений и условия сходимости данной последовательности. Кроме того, полученные результаты могут рассматриваться как достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты относятся к теории нелинейных колебаний. Рассмотренный метод может быть использован в прикладных задачах при поиске периодических решений. Кроме того, в прикладных задачах могут быть полезны легко проверяемые достаточные условия существования периодических решений.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на заседаниях научного семинара кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета (руководитель - профессор Перов А.И.), на международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы."(Воронеж, 26-30 мая 2003 г.) [43]. Также результаты послужили основой для докладов на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 26 января - 2 февраля 2003 г.) [46], Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-Х1У" (Воронеж, 3-9 мая 2003 г.) [47], Воронежской зимней математической школы - 2004 (Воронеж, 24-29 января 2004 г.) [50, 51].

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати печатных работах. Из них семь - тезисы докладов на научных конференциях [43, 44, 45, 46, 47, 50, 51] и пять - статьи [38, 48, 49, 52, 53].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих девятнадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации 137 страниц. Библиографический список содержит 66 наименований.

Заключение.

В данной работе рассмотрен предложенный А.И. Перовым метод поиска периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод является численно-аналитическим методом последовательных приближений. Показано отличие схемы предложенного способа построения приближений от схем широко известных аналогичных методов.

В работе исследуется применение метода к уравнениям и системам, разрешенным относительно старшей производной. Отдельно рассмотрены случаи скалярных уравнений первого порядка, скалярных уравнений более высоких порядков, систем первого порядка и систем произвольного порядка. Для каждого из этих случаев приведена схема построения последовательности периодических приближений, получены достаточные условия, при которых возможно применять схему построения последовательности периодических функций и условия, при которых построенная последовательность является равномерно сходящейся к решению периодической задачи. Показано, как приведенные в данной работе утверждения могут рассматриваться как теоремы существования периодических решений. С целью иллюстрации предложенного метода приведено несколько примеров применения метода при поиске периодических решения широко известных видов обыкновенных дифференциальных уравнений.

В качестве возможных направлений дальнейшего исследования можно указать рассмотрение метода для систем обыкновенных дифференциальных уравнений более сложного вида и модификацию метода с целью поиска решений краевых задач.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1974. - 431 с.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1975. - 240 с.

3. Ахиезер Н.И. Элементы теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Наука, 1965. - 407 с.

4. Бсллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М. : Наука, 1976. - 352 с.

5. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М. : Физматгиз, 1963. - 503 с.

6. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ / Б.З. Вулих. М. : Наука, 1967. - 416 с.

7. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б.З. Вулих. М. : ГИФМЛит, 1961. - 408 с.

8. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний / В.Д. Горяченко. М. : Высш. шк., 2001. - 395 с.

9. Говорухин В.Н. Введение в Maple / В.Н. Говурхин, В.Г. Цибулин. М. : Мир, 1997. - 208 с.

10. Гребенников Е.А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е.А. Гребенников, Ю.А. Рябов. М. : Наука, 1971. - 432 с.

11. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Деми-дович, И.А. Марон. М. : Наука, 1966. - 664 с.

12. Жук В.В. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации / В.В. Жук, Г.И. Натансон. J1. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. - 188 с.

13. КалиткинН.Н. Численные методы/Н.Н. Калиткин. М. : Наука, 1978.- 512 с.

14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М. : Наука, 1976. - 576 с.

15. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М. : ИЛ, 1958. - 476 с.

16. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. М. : Наука, 1968. - 500 с.

17. Красносельский М.А. К теории периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений М.А. Красносельский // "УМН".- 1966. 21, №3 - С. 53-74 .

18. Красносельский, М.А. О применении методов нелинейного функци-* опального анализа в задачах о периодических решениях уравненийнелинейной механики / М.А. Красносельский // "ДАН СССР", 1956. -Т. 111, №2 - С. 283-286.

19. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М. : Наука, 1966. - 332 с.

20. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, А.И. Перов // "Труды Междунар. симпозиума по нелин. колеб.". 1963. - 2 - С. 202-211.

21. Красносельский М.А.06 одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский,

22. A.И. Перов // "ДАН СССР". 1958. - 123, № - С. 235-238.

23. Красносельский М.А. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин // "ДАН СССР". 1964. - Т.156, №5 - С. 1022-1024.

24. Красносельский М.А. О вычислении вращений вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский, В.В. Стрыгин "ДАН СССР", 1963. 152, №3 - С. 540-543.

25. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том I. / В.И. Крылов,

26. B.В. Бобков ,П.И. Монастырный. М : Наука, 1976. - 304 с.

27. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. / В.И. Крылов, В.В. Бобков ,П.И. Монастырный. М: Наука, 1976. - 400 с.

28. Крылов Н.М. Новые методы нелинейной механики / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов. Киев : ГТТИ, 1934. - 364 с.

29. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

30. Митропольский Ю.А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1966. - 305 с.

31. Митропольский Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний / Ю.А. Митропольский. М. : Наука, 1964. - 431 с.

32. Митропольский Ю.А. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием / Ю.А. Митропольский, Д.И. Мартынюк. Киев : Изд-во Киевского ун-та, 1969. - 309 с.

33. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. М. : Наука, 1975. - 274 с.

34. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний / Ю.И. Неймарк. М. : Наука, 1972. - 471 с.

35. Ортега Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем ура-вений со многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. М. : Мир, 1975. - 560 с.

36. Перов А.И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений . А.И. Перов // в сб. "Приближенные методы решения дифференциальных уравнений", Вып. 2 Киев : Наукова думка , 1964. - С. 115-134.

37. Перов А.И. Периодические колебания / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1973. - 50 с.

38. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов. Воронеж: ВГУ, 1981. - 196 с.

39. Перов А.И. Периодическая функция Грина и многочлены Бернулли / А.И. Перов // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000. т. 4, №1-2. -Самара, 2000. - С. 199 - 213.

40. К условию сходимости метода A.M. Самойленко / А.И. Перов и др. // Вестник ВГУ , Сер. Физика, математика. 2001. - Вып. 1. - С. 111119.

41. Перов А.И. Об одном методе приближенного отыскания периодических решений систем нелинейных диференциальных уравнений / А.И. Перов // Вестник факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 4. - С. 89-97.

42. Перов А.И. Об одном методе приблио!сенного нахождения периодических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений / А.И. Перов // Доклады РАН, 2003. т. 392, №1. - С. 12-16.

43. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М. : Наука, 1964 - 272 с.

44. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В.А. Плисс. -M.;J1. : Наука, 1964. 368 с.

45. Портнов М.М. О условиях сходимости метода A.M. Самойленко / М.М. Портнов // Современные методы в теории краевых задач. Тезисы докладов. Воронеж, 2002. - С. 123.

46. Портнов М.М. К условию сходимости метода A.M. Самойленко для уравнений второго порядка / М.М. Портнов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2003. - С. 189-190.

47. Портнов М.М. Об одном методе отыскания периодических решений / М.М. Портнов // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2003. - С. 188-189.

48. Портнов М.М. Об условиях сходимости одного метода отыскания периодических решений I М.М. Портнов // Современные методы теории краевых залач. Тезисы докладов. Воронеж, 2003. - С. 118-119.

49. Портнов М.М. О применении метода A.M. Самойленко к исследованию уравнений высших порядков / М.М. Портнов // Сборник работ студентов и аспирантов факультета ПММ. Воронеж, 2003. - Вып. 3.- С. 54-67.

50. Портнов М.М. Об одном методе построения приближенных периодических решений / М.М. Портнов // Вестник факультета ПММ. -Воронеж, 2003. Вып. 4. - С. 108-124.

51. Портнов М.М. О применении одного метода поиска периодических решений к системам дифференциальных уравнений первого порядка / М.М. Портнов // Воронежская зимняя математическая школа-2004- Воронеж, 2004. С. 91-92.

52. Портнов М.М. О предложенном А.И. Перовым методе поиска периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений / М.М. Портнов // Воронежская зимняя математическая школа-2004- Воронеж, 2004. С. 92-93.

53. Портнов М.М. Об одном методе приближенного построения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений р-го порядка / М.М. Портнов // Вестник ВГУ, Сер. Физика, математика.- 2004. Вып. 1. - С. 139-145.

54. Портнов М.М. Об одном подходе к построению периодических решений систем дифференциальных уравнений / М.М. Портнов; ВГУ -Воронеж, 2004. 30с. - Деп. в ВИНИТИ. 06.08.2004, № 1374-В2004.

55. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений. I. / A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1965. т. 17, №4. - С. 82-93.

56. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем дифференциальных уравнений. II. /A.M. Самойленко // Укр. мат. журн., 1966. т. 18, №2. - С. 50-59.

57. Самойленко A.M. Численно-аналитические методы исследования периодических решений / A.M. Самойленко, Н.И. Ронто. Киев : Вища школа, 1976. - 180 с.

58. Синицкий JI.A. Методы аналитической механики в теории электрических цепей / JI.A. Синицкий. Львов : Вища школа, 1978. - 138 с.

59. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М. : ИЛ, 1953. - 256 с.

60. Трубников Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-нейностями / Ю.В. Трубников, А.И. Перов. Минск : Наука и техника, 1986. - 199 с.

61. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем / E.H. Розенвассер. М. : Наука, 1969. - 576 с.

62. Харди Г.Г. Неравенства / Г.Г. Харди, Д.Е. Литтльвуд, Г. Полиа. М. : ГИИЛ, - 1948. - 456 с.

63. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. : Мир, - 1970. - 720 с.

64. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. / Дж. Хейл. М. : Мир, 1966. - 234 с.

65. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М. : ГИ-ИЛ, 1964. - 480 с.

66. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами / И.З. Штокало. Киев : Изд-во АН УССР, 1960. - 78 с.

67. Ronto М. Numerical-Analitic Methods in the Theory of Boundary-Value Problems / M. Ronto, A.M. Samoilenko. New-York : World Scientific Publishing, 2001. - 456 c.