Об одной задаче оптимального управления системами с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г Г Б ол 17 ОСИ О

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 51-7.977.56

АЛЫЕВ ХАШ ГАДЖИ оглы

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Б а к у - 1996

Работа выполнена б Азербайджанском Индустриальном Институте.

Научные руководители:

академик ан Азербайджана, доктор физико-математических наук, профессор Максудов о.г.

Кандидат физико-математических наук, доцент МАМЕДОВ А.Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Айда-заде K.P. доктор физико-математических наук, гл.н.с., Леонов К.Я.

Ведущая организация:

Механнко-математический факультет Бакинского государственного Университета им.М.а.Расул-заде.

Д 004.01.01 при ОФТМН АН и Министерстве образования Азербайджанской республики по адресу: 370602, г. Баку, ул. Ф.Ага-ева, 9, квартал 553.

С диссертацией можно ознокомитъея в библлиотеке ИММ АН Азербайджана.

Защита состоится

в

часов на заседании специализированного совета

Автореферат разослан

Ученый секретарь

специализированного совета

\

I ;

кандидат физико-математических наук

Р.А.БАЙРАМСВ

- 3 -

Общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ, в результате быстрого развития физических и технологических процессов возросла необходимость исследования задач управления для объектов, описываемых уравнениями в частных производных. К таким задачам относятся например, задачи тепло- и мааообмена, диффузии, гидродинамики и газодинамики, колебательных процессов и др. Задачи управления и регулирования такими процессами исследованы во многих работах. Из них отметим работы Бутковского А.Г., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Лионса Ж.Л., Лурье К.А., Сиразетдинова Т.К., Искендерова А.Д., Нарданова М.Д., Гасанова К.Г., Ахи-ева С.е., Ягубова h.a., Мансимова К.б., Мамедова А.Д., Кули-еваГ.Ф., в которых изучались различные вопросы управления систем с распределенными параметрами. Однако многие вопросы этой теории в общем случае еще не получили полного решения, прежде всего, из-за сложности этих задач и из-за разнообразности проблем, требующих различные подходы и методы. Среди таких задач отметим задачи управляемости и стабилизнруемости распределенных систем при различных вариантах управлений (распределенное, граничное, подвижное, точечное и т.д.) и их приближенное решение. Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых задач оптимального управления в процессах, описываемых линейными гиперболическими уравнениями с распределенным управлением и квадратичным критериями качествами. С этой точки зрения тему работы можно считать актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью является исследование задач оптимального управления для процессов, описываемых линейнь'.ли гиперболическими и параболическими уравнениями с распределенным управлениями, а именно:

- доказать существование решения краевой задачи и задачи оптимального управления;

- вывести необходимые условия оптимальности;

- предлогать способ построения приближенного оптимального управления.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений, математической теории оптимального управления и методы функционального анализа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Новыми в диссертации являются следующие результаты:

- выведены необходимее условия оптимальности управления;

- доказаны теоремы существования оптимального управления;

- предложены схемы постоения приближенного решения краевой задачи и оптимального управления.

теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты представляют теоретический и практический интерес. Они могут применены к решению конкретных задач управления в колебательных, диффузионных процессах, в процессах сорбции и десорбции.

АППРОБАЦИИ РАБОТЫ. Результаты работы доложены на VI-XI республиканских конференциях молодых ученых ИММ АН Азербайджанской республики (Баку 1985-1989 гг.), на конференциях профессорско-преподавательского состава Азербайджанского Индустриального института (Сумгаит, 1990-1996 гг.), на VI Всесоюзной Четаевской конференции (Казань, 1992г.), на республиканской конференции аспирантов и молодых ученых Азербайджанского Государственного Педагогического Университета (Баку, 1995г.), на семинарах кафедры "высшая математика" Азербайджанской Нефтяной Академии, (Баку, 1988-1990гг.), на семинаре кафедр "Математические методы теории управления", "Оптимизация и управление" БГУ им.М.А.Расулзаде (Баку, 1996Г,).

структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 127 страницах машинописного текста состоит из введения двух глав, состоящих из 11 параграфов и списка литературы, включающего 47 наименований.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[Ю], список которых приводится в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении, дается краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, излагается содержание диссертации и обосновывается актуальность решаемых в диссертации задач.

В §1 первой главы приводится постановка основной задачи,

исследуемой в дальнейшем. А именно, ставится следующая задача: пусть процесс описывается системой

|| + А(Ь,х)у = Г(г,х)и(1), (1)

у(0,х) = ч>0(х), (2)

где А(г,х) с граничными условиями (3) порождает

самосопряженный оператор, <Ра(х) - заданная начальная функция,

"Г — / — управ ЛЯЮИ^аЛ фуНКЦНП, причем 3 КЛа***^ иппу^ткицу

управлений берется функции из удовлетворяющие усло-

u(t) е U = \u(t): |luft;il sil,

I L2(0,T) >

y(C,x,u) - состояние данной системы соответствующее u(t)eU.

Задача оптимального управления заключается в выборе управления u(i)&J, для которого соответствующее решение задачи (1)—(3) доставляет наименьшее возможное значение функционалу

г ;

J(U) =

fo(t,x,y(t,x;u))dxdt. (4)

о о

В §2 первой главы исследуются вопросы существования и единственности оптимального управления и выводятся необходимые условия оптимальности. Далее, необходимое условие оптимальности в задаче (1)-(4) сводится к интегро-градиент-нсму принципу максимума. В частности, эта задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения Фредгольма перзого рода и пока.-; ;но, что если это уравнение имеет решение, то это рекенке доставляет наименьшее значение функционалу (4).

Отметим, что существование оптимального управления с граничными упраглениями ранее было доказано Лионсом.

В частности в этом параграфе доказана следующая теорема.

теорема 1.1. Пусть линейное дифференциальное выражение ACt,x) и Функции ?(х), р (х) обладают следующими свойстзами: 1.1p,yew~j0,l) функция с—-aft. р, ф ) измерима на (0,7),

\a(t, v.i,)\ < сЦИНИ; 2.Существует такое число X, что

a(t,ip,ip) +Х|<р|г ^ а||(р||г,

а>0, Vipew^o.l), 4t€(C,T),

где |-| и II-|| означают нормы в LZ(0,1) и ы'г(0,1) соответственно, a a(t,ip,ф)=(А(г,х)<р,ф)L (0 и функции u(t), f(x)

и <Р0(х) удовлетворяют условиям a eu, f(x)eL^(o, 1 ), ipo(x)e еьг(о,1).

Тогда для каждого ие.и существует единственное решение y(t,x:u) € Ь2(.о,Т-Уг(0,1))

задачи (1)-(3).

В отличие от результатов Лионса, в §3 этой главы показано, что решение задачи оптимального управления определяется или как решение линейного интегрального уравнения вида

т

v(t) -

R(t,s )u(s)ds = О, (5)

о

или как решение нелинейного интегрального уравнения вида

г

v(t) -

R(t,s)и(s)ds

- = aft;. (6)

\\v(t) -

Rft,s;ufs;ds||

0

Приведем одну из доказанных теорем:

ТЕОРЕМА 1.3. Оптимальное управление и.(Ь), доставлющае минимальное значение функционалу (4) на решениях задачи (1)--(3) определяется решением уравнения

дгай 3(и) = О,

либо решением уравнения

дгай 3(и)

= Хи.

Цдгай 3(и)||

Отметим, что из результатов этого параграфа, как частный случай, следует теорема Куна-Таккера, когда оператор в уравнении имеет производную по Фреше.

В §4 этой главы исследована аппроксимация исходного

уравнения задачи оптимального управления.

Известно, что реализация задачи оптимального управления для общих видов оператора А(Ь,х) практически удается далеко не всегда. Поэтому целесообразно рассмотреть более удобный вариант оператора А(Ь,х) с дальнейшими упрощениями как смешанной, так и оптимальной задачи. Такое упрощение дает возможность адекватным способом определить приближенное решение поставленной задачи. Эта упрощение можно ввести по разному. Мы рассматриваем следующий вариант. Пусть

А(1,х) = Ао(х) + А^г.х),

где Ао(х) самосопряженный, положительно определенный оператор, А1(Ь,х) - сильно эллиптический оператор, удовлетворяющий условию:

Плес,*;!! « \\Ао(х)\|.

наряду с задачей

|| + А(1,х)у = ¡(1,х)и(1), (7)

у(о,х) = ч>0(х),

А»» = у и., -

рассмотрим задачу

|| + Ао(х)у = ¡(х)и(г), (а)

у(о,х) = <Р0(х),

= У\„, =

Устанавливается связь между решениями этих задач. Показано., что решение задачи (3) является приближенным решением задачи (7) и сильно сходится к ее точному решению. А именно, доказана теорема

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть А(С,х)=Ай(х)+Аг(ь,х), где л ("^^-положительно определенный симметричный оператор, а (С,х.)-сильно эллиптический оператор, такой, что

Цл0(-*Л| » \\А1(1,х)\\.

кроме того, пусть у решение задачи (1)-(3), а у решение задачи (9)-(10), где

<р(1,х) < а

?(тд)<1г + Ъ(г,х), а>0, (9)

о

о

't,x)dx < a

. r . at t-~C)

b(x,x)e dx

dx +

jdx,

flOJ

О 0 0-

то верно следующее неравенство

lly-yj

LZ(0,1)

ЦД ixKt-тЛ! ЬС т)e dx

b(t).

где

0

1

b(t) = lU/t,*;«

НуСТ,ЛГЛ|

dr.

L2(0,1)

В пятом параграфе первой главы рассматривается аналогичная задача при дополнительном предположении, что f(t,x)-u(t) имеет вид f(t,x) = f(x)-u(t), где f(x) заданный элемент гильбертова пространства. Сначало доказывается теорема о представлении решения задачи (1)-(3). А именкэ

ТЕОРЕМА 1.5. Предположим, что Л - линейный, симметричный, положительно определенный оператор, заданный на всюду плотном множестве w'2(q), u(t )<zL2(0,T ), f(x)€L2(0,l). Тогда

Po(x)zL2(0,1) существует одна и только одна

для заданного

функция Y(t,u), OstsТ такая, что для каждого zeD(A") функция [Y(t,u),z] абсолютно непрерывна и

= [Y(t,u),A'z] + [f-u(t),z]

почти всюду на (0,Т)

lim [Y(t ,u),z] = [<р , z], zeD(A'). t->o 0

Более того, эта функция представляется формулой

г

Y(t,u) = T(t )ip0 +

Т(t-s)f-u(s)ds.

где Т(ь) - сильно непрерывная полугруппа для которого А является инфинитезимальным порождающим оператором.

Предполагая, что функционал (4) является квадратичным,

т.е.

¿(в) = \\у(Т,и) -Yi\\H + elluftJII' и преобразуя его к виду (при помощи теоремы 1.5.)

тт

J(u)=I(u)-2

v(t)u(t)dt +

R(t,s)u(t)u(s)dtds+a

u2(t)dt, (12)

0 00 0 доказывается следующая теорема

ТЕОРЕМА 1.6. Функционал, определенный по формуле (12) является слабо полунепрерывным снизу на множестве допустимых управлений.

Далее, используя полученные результаты, найдено достаточное успппиР; обеспечивающее единственность оптимального управления (теорема 1.7).

В шестом параграфе рассматривается следующая задача: найти минимум функционала

J(u) =

{[y(t,x)-yo(x)] + [/(т,х)-уг(х)] |

Лdx (13)

на решениях системы

0 = ^(41)+ *

у(0,х)=<р(х), y't(0,x)=tlt(x), (15)

y(t,0)=u(t), y(t,l)=0, (16)

где f(x), <р(х), $(х) заданные гладкие функции, u(t) управляющее воздействие. За класс допустимых управлений, как и выше, берем множество

и = |u(t)eL^(o,т), ||uft;|| S ij.

Доказана

TECPHMA 1.3. Существует хотя бы одно управляющее воздействие u(t>, которое доставляет наименьшее возможное значение функционалу (13) при решениях задачи (14)-(16).

Б последнем, седьмом параграае этой главы изучается задача об оптимальности управлении малых колебаний газа г неограниченной цилиндрической трубке. Здесь задача оптимального управления сводится к определен:;'/) уппавляюшего воздействия u(t) из множества допустимых '.правлений

Г___________ „ .. .„ >

..СО,Г)

и - 4U(t teLJo.T). ! : и (' t ,)|| < 11,

" L (о.T) >

- 10 -

доставляющее наименьшее возможное значение функционалу

я

е(и) = I г ¡а\у(т,г) - У! + aw'jt.r) - У 1 +

о

, 2

аз]у'г(Т,г) - У2] (17)

где о^го, аг>0, аз>0, Уо(г), У ¡(г), Уг(г) - заданные функции из класса Ьг(0,Я). Эта задача является обобщеннием задачи "перевод колебания в желаемое состояние".

вторая глава работы, состоящая из 4-х параграфов, посвящена изучению приближенного решения смешанной задачи и задачи оптимального управления в процессах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа.

в первом параграфе второй главы применяя метод моментов в гильбертовом пространстве построено приближенное решение задачи.

§£ + Ао(х)у = Г(х)-и(Ь), (18)

у(0,х,и) = у0(х), (19)

где у0(х) заданный элемент из Ьг(0,1).

Для этого, наряду с задачей (10), (11) рассматривается следующая задача

Аоя-ас- + у»(1>х) = л'^ихтг). (20)

У т(0,х,и) = У"о(х), (21)

где матричный оператор Аоопределяется как решение проблемы моментов в гильбертовом пространстве Ьг(0,1)

гк*1(х) = Ао*2к(х)' *=0'2.....т~1'- (т22)>

е г (х) = а г (х),

гп т От т-1

г(х), 2 (х),... (х) - линейно независимая система в под-

V * Я!- 1

пространстве Н^ пространства Ьг(0,1). Доказана

ТЕОРЕМА 2.1. Для каждого управления и(с)еи последовательность решений {у (Ь.х)} задачи (20)-(21) сильно сходится

к решению у(х.,х) задачи (18)-(19) равномерно по г в 1*г(С,1).

Во втором параграфе второй главы построено приближенное оптимальное управление, с помощью полученных результатов в первом параграфе этой главы. Здесь рассматривается функционал

Зш(и) = 1!ул,('1:'и) ~ухн +

т

где У^СС,*,ц.(-приближенное решение задачи (18), (19). Так как У^(ь,х,и) сильно сходится к У(г,и), в пространстве Н, тогда для любого управления и(С _)€£/, ¿^(и) сильно сходится к J(u), при т—и». Поэтому естественно "приближенным оптимальным управлением" называть управление и^(Ь)€и, доставляющее наименьшее значение функционалу Для получения

приближенного оптимального управления получена два типа

уравнения и приведены схемы решения этих уравнений, а также доказана сходимость приближенных управлений и к опти-

мальному управлению.

Кроме того, рассмотрен вопрос о том, какими из полученных двух уравнений определяется "приближенное оптимальное управление"

В параграфе 3 этой главы рассматривается задача о построении приближенного решения краевых и оптимизационных задач для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа в конкретном гильбертовом пространстве. Рассмотрен также конкретный пример, где "приближенное оптимальное управление" найдено в явном виде.

Последний, четвертый параграф второй главы, вообще говоря, носит иллюстративный характер. В нем рассматривается задача управления, связанная с распространением тепла в стержне.

При этом температурное состояние стержня описывается уравнением

2

= + Б1гтх-и(1),

с ах

-1 < х < 1, (23)

с начальными и граничными условиями:

у(х,о) = о;

у(-1Л) = у(1,г) = о. ' (24)

- 12 -

Задача оптимального управления для систем (23), (24) при

заключается в том, что из множества допустимых управлений

и = {и(1)€Ьг(0,Т), ||и(СЛ|£1|

найти такое, чтобы соответствующее решение задачи (18), (19) доставляло наименьшее возможное значение функционалу

Л(и) = |у(х,Т;и)-Уо(х)] бх.

где У (х) = 31ппх.

В этом случае оператор Л, порожденный дифференциальным выражением

I, • у = - —— •

1+хг а*2

и граничными, условиями

Г(-1,г) = Г(1,г) = о

является положительно определенным оператором.

А'1 определяется как решение следующего уравнения

г - 1 эгг . . Ъ -г = - - • - = а(х),

1+Х ахг

при условиях

2(-1) = г(1) = О, где ч(х) - произвольная функция из области значения оператога л.

Для. задачи распространения тепла в неоднородном стержне

найдено приближенное оптимальное управление, доставляющее

минимальное значение функционалу

1

Л(и) =

ах.

и 5;

Показана, что функция, доставляющая наименьшее значение функционалу ¡25) будет р'ешением либо уравнения (5),либо урс.ч-нения (6).

Используя проблему моментов в гильбертовом пространстве ¡¡□строено приближенное решение Г (с.х) поставленной задачи л дана оценка погрешности.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить

глубокую благодарность научным руководителям академику АН Азербайджана Максудову Ф.Г. и кандидату физико-математическйх наук Мамедову А.Д. за постановку задачи, постоянное внимание к работе и обсуждение полученных результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алыев X.Г. Об одной задаче по быстродействию системами с распределенными параметрами. Материалы - IX республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. Баку. 1989. С.140-143.

2. Алыев X.Г. об одном приближенном способе для задач оптимального подвижного управления для систем с распределенными параметрами. Материалы XI республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. Баку. 1994. с.28-29.

3. Алыев X.Г. об одном приближенном решении оптимального управления. Материалы республиканской конференции аспирантов и молодых ученых. Азербайджанский Государственный Педого-гический Университет. Баку. 1995. с.17-18. '

4. Мамедов А.Д., Алыев Х.Г. задача оптимального" управления системами с распределенными параметрами, материалы V республиканской конференции по математике. Баку. 1985. с.192--194.

5. Мамедов А.Д., Алыев Х.Г. Минимизация кинетической энергии колебания подвешанной нити. Материалы VII республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. Баку. 1986. с.181-184.

6. Мамедов А.Д., Алыев Х.Г. Оптимальное управление радиальными колебаниями газа в цилиндрической трубке, известия ВУЗ-ов. Математика. 1987. # 4. с.250-264.

7. Мамедов А.Д., Алыев Х.Г. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. Материалы VIII республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. Баку. 1988. С.137-140.

8. Мамедов А.Д., Алиев Х.Г. Об одном приближенном решении оптимального управления, материалы VIII республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. Баку. 1988. с.130-134.

9. Мамедов А.Д., Алыев Х.Г. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. Материалы VIII республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. Баку. 1988. С.141-145.

10.Мамедов А.Д., Алыев Х.Г. Об одной задаче управления движением космического аппарата. Тезисы докладов VI Всесоюзной Четаевской конференции. Казань. 1992. с.235-239.

1ШЛАНМЫШ ПАРАМЕТРЛИ СИСТЕМЛЭР Y4YK БИР ОПТИМАЛ ИДАРЭ масэлэси ЬАГГЫНДА

X у л а с о

Диссертаси^ ишинда хусуси терэмэли параболик тип дифе-ренсиал тонликлэ твсвир олунан системлэрин оптимал идара олунмасы мэсолеси тадгиг олунур.

Оптималлыг критери]асы олараг квадратик функсионал кэ-турулур.

звволчо умуми шокилда, еллиптик оператор учун горлан мосаленин ьаллинин варлыгы ва ]еканэли.|и тадгиг олунур. Сонра исв операторун хусуси ьалы учун оптимал идараедичинин "таг-риби" те',)ини масаласи тадгиг едилир. "Тагриби оптимал идараедичинин" дегиг ьалло .¡ыгылма сур'эти кестврилмаклв, тагриби ьаллин тапылма гадасы верилир. Таклиф олунан усул конкрет мисалларла нума.)ищ етдирилир.

ON A CONTROL PROBLEM FOR SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETER

Summary

In this dissertation the control problems for systems described by parabolic partial differential equation are studied.

A quadratic functional is chosed as optimality criterion.

At first existence and uniqueness theorems for elliptic equation in general form have been proved.Then for particular case the question of approximate solution of control problem is investigated.

The speed of aspiration of the approximate solutions to exact one is established. The method for finding these approximate solution has been proposed. This method is illustrated by concrete examples.