Об оценивании корреляционной матрицы гауссовских векторных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГ Б ОД

Кшвський ушверситет iMeHi Тараса Шевченка

На правах рукопису

ДЕМ'ЯНЕНКО ОЛЬГА ОЛЕГ1ВНА

02У УДК 519.21

ПРО ОЦ1НЮВАННЯ К0РЕЛЯЦ1ЙН01 МАТРИЦ1 ГАУСС1ВСЬКИХ ВЕКТОРНИХ ПОЛ1В.

01.01.05-TeopÍH ÜMOBipHocTeñ та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци' на здобуття вченого ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

KHÏB - 1994

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана на кафедр! вищоТ математики 1 КиТвськог пол1техшчного шституту.

Науковии KepiBHHK - доктор ф!зико-математичних наук,

професор БУЛДИГ1Н В.В.

Офщйн! опонентн - доктор ф^зико-математичних наук,

професор КОЗАЧЕНКО Ю

доктор ф1зико-математичних наук, IBAHOB О.В.

Пров"1Дна оргашзащя - ¡нстнтут математики HAH УкраТн

(м.КиТв)

"Г ^

Захист В1дбудеться " " Ъ<Ц)£УИ9\ 1995 р.в П i

на зас1данн! спещал13ованот ради f'Q. СИ - 01 • 2.1 при КиТвсько

университет! ¡MeHi Тараса Шевченка за адресою: КиТв-1

просп. Академша Глушкова, 6, мехашко-математичний факульт

3 дисертащею можна ознайомитися в 61блютещ ушверсите

Автореферат роз!слано "йЛ-" ЛМЯ01Р 1995 року.

Вчений секретар спещалЬованоТ ради

КУРЧЕНКО 0.0.

--1-

ЗАГАЛЬКА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуашисть теми. В. р1зких напрямсах статистичного анал1зу одкор1дних випадкових процзс1в та полю вахлпзу роль вщграэть задач! оцпдавання нешдомо! кореляц1йно1 функцп, або кореляшйно! матриц!, ягецр розглядаються векгоркозначя1 процесн та поля. Серед юнуючих сщнок треба вид ¡лит и е!.<п1-рищи корелограми» властивост! я: ж: досльджувалпсь у роботах Андерсона Т., Брьтлпщжера- Л., Дягпк1вса Г., Бекткуса Р. К1, 1ванова 0. Е , Леонеюса М. !£, Еулдмчна В.Е ,ДпХовичкого 0.0., Козаченка Ю. В., Стадтк А. I., Зайця 3. В. та 1ншкх''матеыати-глв. В осташи роки, почкнаючи з роб!т 1ванова О. В., ¡нтен-сявко проводились дос.'Пджшш пскмлтсшгавас Оужщональних властивостей корелогрзг.! гаусс 1-еських однор^дннх полш 1 при певиих ууовах доводились ' сильна слушпсть та ас'.'.мптотичиа исрмалыпсть у р1зн:!>: фунгац ональиих просторах. При цьому досзды/вались як схема одн1с! реал1зацп, таг. 1 схема де-кш-кох незагеюшх pca.it зац!й випадгазвого поля. Метод!!, -роз-роблет в роботах Бенткуса'Р. ¡0., Еулдигп?а В. В., Козачен-iia.EE ,■ Дихсвичного О. О. , Зайця Е В. , дозвоЬж: поставит

I

питания про можлквють шшмальних обмолень на спектралыи Ц1лыюст1 гаусс 1вс1,гахчП0Л1в, при яких оц1нга асимлтотично пормальш у р1зш:х ^у'нкцюнальпнх просторах, включаючл прост^ неперерпннх ФушсшЛ. Ця задача складае основу дисерта-щ ДноI роботи, яка в продовженням поперед»¡х дрсл1джень.

fe та роботи. При ушвах, близъких до необх1днгас, одержат функцюнадып граничш теорею1 для еш1рична! корелящй-lioï ыатрищ однорукого гауссивського векторного поля у схе-ui oj!uci afio кекл.чьгах пеаакеяншс peanisaiuil при зб1льшэнн1 oö" ему спостсра:-йнь. -

Мзтодика досглдасень. 3 дксертацп при розБ'язувашц га-дач викоркстовуються метода теорп семинваршглв, метода тэ?п cjqSkoí sQixaocïi випаисових продаст y фуиаио'кийяих просторах та к-этода теорп гау«с1есы«х та тередтй$'сс1с-. cbiax npoueciE.

Елукова гюв;эда. При y»mí ютегроввоэт! у ksmjjüti гтеат mrpm» спегсградьпих :цхьноотей ectehobxíko а) у схем! osKiei регшз,ад i:

- асимлсоткчву вориалыпсть окпиенчои^рши: рогпод1д1в еш1,-рично1 коредздйяо! шгуиц1;

- агяуптотнчку воркгшцсть емшрэткн иср>гхяц!йао! !.атр:щ1 у cpocTopi вэкгориозначниг luxer рсвгкх за ЛеЗггом у р-оч? стугх-iu ç-укиий ' С р ^ 1);

- аскшзтачну нордалыисгь дэклаис ипгегральких Фятацснамв ciд ещнка Kopauuyflaoi матриц!;

ö) у ortoni ;«?к1льгох кс.чазепппс pía, _ *

- ciinuy ох/ашеть îï'íij^.irriü'.'iiHj'y з cKinveiaüiiíp-î;.!;: ооспод1л1в omvjci не ai дою i i ■> oí уахриц!-

0 !.-:bt/ олуппеть л.^м-лг'.',;::^ ~ CLU:.:, •

до:.»*' KüiJí.'íiüUílHOi Мс-.трищ у ru.tCepioLCHy spc^oj s-ca-драпиио lflTerpoiHHi; фуищШ з ïamo на ьоьо.г/ глракгтрлч-ному простор1.

- При дадаткових еит{. лШшх обьгежанвях остановлено асиыпто-

- тячну нормалыи сть емиркчно! корехятйш! матрищ у про-етор! векгориозначнюс .иеперериих Функц1й. Теоретична та прачгэтиа шншеть робота. Голсвним чипом результата дисертац1йно1 робота маэть теоретичний хароотер 1 !,!ожуть бути заетосовеа1 в стат;:ст;щ1 випадкових процесс при рсзв'язузакн! задач, поз'язаних з асимпготшшоа поведпжою емлричиих сц1ко;с корэлящйно1 иатрти векторнозначлпх ггус- .

с1есью!х иол1в 1 поауяовсо'асгаягготичио-точних нзд1&ш1х 1е-

тервгшв як для об!«шю1,.хак 1 'необшяйног-' парамегрично! июотми спостерожнь.

Акробата роботе 1 публшщ. Основщ реэультати дисер— тсхди допев1дались иа науками семшарах 8 теорп Пиоэ1р-цостсй 1 теор! 1 вгладкових произспв йнвського псшгехшчно-го и:спгт;ту та на туково-молодютт шзягарэдшл ЮТ5*с-рокш I 1 мэн 1 Лкадэшка ЦП. Кравчук» .(1932 р.) я опублпюван! в роботах [1-3].

. Структура та ой' сч роботк. Сгеерташя складаеться о сступу та двох розд1л1в. цо розб::т1 на одшадцять параграф в. Загадь ни?. об* ш робот;! - № .стр. шшшопису. Б1блюграф1я В1 нючае 6 наЛменувань. , ,

. . ЗШСТ РОВОТЯ. ,

У вступ! наведено- етксл'Д огляд досМдягнь, пов'язштх э темою дисертаци, а т&кох вжяадено основн1 результат!! роботи.

?озд!л перша присвячено досл1дженню ошык;: корэлзц1йно1 матриц*. • ¡ ауоо1вського векторного пощ в схем! одш е[ реал1-заци. Досл1дкено- точков! властшюсп те! сцтки, а такод доведено и асиштотичну нормальнють у р1аних фушщюиальних просторах.'Встановлеко такоя. аекштотичну нормальтсть дея-

- А -

ких 1нтегральккх'функцюнал1в В1д оцшки невиомо! корелший-но1 матриц!.

У 61 приведено ряд допомютих твердтань, ср необх1дн1 для подальшого викладення матер1злу.

У в г: розглядаегься оцшка корелятйно! матриц! ; .

,однор!дного цеитроваиого стохазт/чно неперервного векторного гаусс1ьеького подл X(£) =-(X)), iвS.'r'7 ¿€Н, :

Вводиться у рог.гляд_ емгпричнз корелщШиа матриц;?

1 лег)

ПСТ)-Со,ТЛп\ Т>о. Ця ыатрицд г, незеуненою мингав матриц! Ё>(и.) } и в у схем; од(пе! регшеацп.

Лая випуення асимптотишшх властиьостей оцппои Е^АО, М- € Я при Т-*<*» розгляиуто .вкпакков! ноля _

де т - С^к - еПо), и е С ■

Кореляшйна матрица випадкового матричного поля мае зигляд

Г Оаб.с^) пг

я

де

Caê.cJ) CcJ)

К W,*0-Mï J.V*) Y„ Cu„J =

= V. сег°ст)u г- u*}+•иЛ-1чУ>31f"), '

' Ri

m . ЛСГ)

/

ÍaB) - 1

i'*«»-*!.

' о ? твЛсл-ДЗ ,

(Г)

, m.PS СД) -шра Лебега мно.тазш Лс^Я. ■

—/ \ m •

Якпо корелящйн! функцп полл X(t),t£R. ¡'нтегровш

у квадрат1, тобто г'

е>(м) в LjCRT1) , . л,а) <лпг К ' Cat,ut) = K ' Cu-i иг)=

Т--» оО I '

0 , (О.С) C6JL Cad") (êc) >ч .

Сe>-líf)b С.Т+М,.-ил-ььс.^a¿) В'(«r-u-í))^-'

Qm

-Ti , __„г

Надгии вваязсться, щр для поля.

iCHye матркця

спектральних сальностей • !

_ (_аО -, ¿ m

H ■■CAO].»-!

Лема 2.3. Ее хай в13сокуеться умова

.. • ' (г)

тод1 • kv . (ц.4., : •

« Gsr/Vj^ С<г*р Со*сх, u0 det Fl^'cV) -

R» •

• • . . ^Caé.cd) " '' .

- б -

F_ C^V

' .(ДО „СаЛ')

.(р&.сЛ

o <s=o <46.Q T CV> "Tipo

Розглянеуо матричне випадкоье вишрне сепараоельне' цеитрозане raycciacLKe поле YO-O % <-'- G R™ s коредящflucti матрицею

Г -i- m

[К W-i.UiJ , "-л.и^еЯ .

У-53 доведено таке ТЕердаевня. Теорема 3.1. Натай виконуегься уыова (2). Тод! для будь-якюс

пу/í-, и.^...)ип.вр!п~-1 <\„, 6« e^i,,

*V,L Н С ñ Y^iutf -M с П Y^U.)] .

T-9 00

oùKpet<a,Bci CKi¡i40i!íi0í.npHi розподии ьсдричасго випадкового

поля (tO, Li t R £С1гаот1ся при Т —» до е1дпое1д-

них ск!нче;шо;лрких розшдшв поля Y (и) , Uê.R .

*У § л встацовлено аеиштотагану водояымсть емирячно! корелящйно! матриц! у простор! вектариозиачних штегрогших за Лобегом' у р-о«у отупейt СуикцШ L pCflvU), .R*"

ïecpsia 4.1. Ьехаи виконуегься умова (2). Тод! ДМ1 будь-якнх

J.

17 >0 • р £ С £ ', ) мають мюцо твердмення: ' 1) Y £ LptrilV) , uafo» напевно (м. и. );

2) Ц,Сп<У),£еД "•»•:

3) ^лабо зб!гаеться при Т—* 150 до У у простор1

С '

СГЩ/) , Я 3 , тобто для будь-якого Ь р -неперервного функщоналу ■ ; •

рошмяиуго вишриу функцио

С^Са.гс), иес^, хбр/) таку. чо Для будь-яких ¡-С , X 6 Я4

\ дОцх) 1 ^ сЫехр{у иос1|\ ,

ле о < у< СгСиГл1)"^,

- „<£<0 хзь) М~> ч

Л - *цр ■ «£ V, 11 -Г X, и , И г, О ;

Крш того, не кап; для будь-якого Я/-? О

иЛГКУ) Ронгляиеыо фунедюиали виду

г^Л.

Теорема 5:1. Нехай викснуегься кумова (2). Тод!

- в -

у§б доводиться асшттотична нсршлыисть :еашричког

■■ .. ' я}

корелящйног катрищ , и. 6 Й у простор! неперервних

■ ■' го £ ■

векториозначшгх функий... С С С 0,173 , К ) } Т/>0. Розглядаеться псевдометрика

, --.:, : от 2. 41 '

л, в« £■-.;.к

Нехай Н ......(<£) — ентротя ьшохинн С0,13 в!дноско

псездоиотркки (и-*,^?.). • •

Виконуегься каотупна теореиа. '/.

Теорема бЛ.БахаП виконуегься умова (2) 1 .'-'■■■■

Л Нг-ррСе) .

0+ ^ ' Т0Д1 для Судь-якого Т7">0

1) V 6 СССо,иЛт,ЯС) ,,;

2) слабо 8б1гасться при до ^ у простор 1

"неперервнкх функц1й, тобто для будь-якого С ССодГГ я' неперервного Функцюналу -

При доведенш теоремл б: 1•використано таке'гвердження. ■

Лэма 6. 2. НехаЯ С*-* > — псевдомэтричний компакт,

^ 5 £ — С1м'я за параметром о{ неперер-вних каЯхэ напевно в'/падкових пол!в. Нехая виконуються так! уыови:

. 1) ютують та!С1 а>0 } 6 > ОС« > О 1 для кожого сК ' юнуе така псевдометрика ка 2> . -о для Судь-

яких "X с (о, хЛ , 8 ^ £ 5

РО (5>2.СО 1 > £ а-оср{-6

2) псевдометрика , 8 ) ~ 2ар С* , , £, 3 6 8 оОмохйна на § 1 неперервна в!дносно псевдомгтрпки

3) 1С

Сип. sup 5 Н «<( $,<5)си = 0, и.--»о с*' О '

Т0Д1 для будь-якого Й. > О

<>М *,ир Р $ &1Ф 1 2Го( <£) - 'Ж.Л) 1 > - о.

9С.&,ЬКД

У первюму роздш угагалышоться результат« сдермая! в роботах Шшета 0.11, Еулдипна ЕЕ , ?айцл ЕЕ

У ро;;Д1Л: другому доол1двдегься оцшка кореляцШгсп матриц! гаусс1веького в^ггорного поля у схем! д<зк1лькох неаа-Л'зляих роатзацт. Ботап^злеяо точмов! властжостг ц!е! ощн-ки, а також досл1дгеко 1! сильцу слуошсть й асимптотичну нор-мальн!сть у простор! квадратично штегрсвних функц1й з вагою на всьому парамзтричному простор!. .

У §7 рогглядаэться оц!нка нев!до«о! ксреляц!йно1 матриц! у'схем! дек!лькох незалежних реал!зац!й та поля, пов'язан! з

me» оцткою. Нехай - сднор1дке центроваке

стохастичко неперерзке вскторца гаусс таьке полз. Но хай (X ^(i), t £ R*"") , к» A ,,..^1 - неоалемп коп i i цього поля. Роаглядаегься ошнка вев1®>ью* »дарелящййб* ' «егркш у схем! дешлыюх реад1защй

Д ч , п. в N) - г.осл1довн1сть обмойсюж Сорелевськлх мяо-тан в R"1" таких, вр прямуюгь до ыескютекпост! срл п.-»со

Y.H i ч *

за Ван Ховом CAtr~i,'c'0,ri->o0). Вводиться у розгллд ¡¿атриця . центроваких i норьювшшх, пол!в

до

Кореляшйну матршуо випадкового ¡¿атричного поля YruCtc), U.&R.

позначено.. • . •

Г , Саб, С«!) ftv

LК CU.1,uoj ^(С J=1 , it,.U, еR ,

до ^Wo-H^uOY^U)-- ^ С ¿Ir) e>tWcWt-u¿)+ Ьа«>иг) Лд^Ж.

R"1

Ятаэ коредяцШн фуняш поля X(t) г иггегровш

у квадрат», тод! при' А?°° , п.—»оо 1

' _.Ca«,cJir (at,У. ч

kW- К =• К . Cu-i,иг.).

V. .. -Н-

У §8 доведено наступив твердкення. Теорема 6.1. Для будь-яккх - u. € Я

.Pitó«.

П.-*» оо

тсбто оцшка

сильно слукна. О bctelhobjk'iio УМОВД ЭбШЮСИ ск1нч8!ш0!ЛРИ1Х рсзпо-Д1ДШ ПОЛЯ При П.-»с« ДО СК1Л'1еК0ОМ1рНИХ

,рогггод1л!Е поля Y'^V-"» , USR^V ?oapei<\ 9.1. Шхэй вжсзнуегься уьова (1). Bexaft

зосацдапсш цекхроишщх i норшьачих г.ектор;шх пшв, по-Судовзних за 'ийорси мкомш {Дм. , ,г£ N^j , де Д^—Ь»^ к-у со . ?о,ц «¡riri'K'nioMtpai розпсд1ли влпздкозях гошз

гб.гакься прк а—» «о до в1л1031длкх ск1нч<2йн0-

wlpirtir. розпсд\Л1Б поли Y('n)0-0 , К. £ R п".

£§10 рсзглшл" еопаребедьняИ пльбвртовий прост ip

L, CR^ О, ¡ = i с : й1 I ^ q» 0;fu>i U. * ос)

3 верною

Г ---- S n\uj da < о« .

О"1 i

ií;Í .л. •

pjoia ísiMu.i ; i-5/""—* (O)-T ненерервка та штегров-

Ьико'-уси.-ся Haci7¡"»'b теорема.

Tsctma to.i- o n."^ - С&л\мЛ,и<11<. }- вшкщкоиа! одешэт простору L., ( cpj i

- 12 -(аО 1«

тобто оц!кка 0> (1.0 7 Ц_€ К. сильно слукна у простор!

и с(*т,сО.

У §11 встановлено, ср поля I л. > X е вшадко-' " вш.м елемект&'.'д простору , 1 доведено асимптотичну ,

нор/.(альн!Оть оц!шси иев1даю1 кореляц!йно! матриц! у схем! декьчькох незалежних ■ реалюатй в пльбертовому. простор1

-.-л;;

л/.И.

Теорема 11.1. Нгхай виконуеться умова (2) 1 Д —-» <00/п.-»«5. Тод! для будь-яко! вагово! фуНКЦП 9/. {ч'^СО^гсю) фуккцп . розпод!лу ви..здкового елементу ^^^ слабо зб1гаатьса до . фунгаий рогпод!лу випадксвого елементу х при °°

у простор 1 СК- ,

У другому розд1Л1 узагальнюкпься результат« отриман1 в роботах Зайда для вклада/ • ,

Основе! полоиеика дисертацп опубл1коваи1 в наступних роботах: '■.'•. ""•■

1. Булдыгии В. Р. , Демьяненко О.О. Точечные свойства оценок совместной корреляционной функции гауссовских полей //Стохастические уравнения и граничнъ!е теоремы.-Сб. ;ш-та математики АН Украины, 1991. -С. £3-35.

П. Демьяненко 0.0. Некоторые неравенства сравнения для полей, порохденых оценкой Ь ^ для совместной корреляционной функции однородных гауссовских случайных нолей. I Научко-мэлодежная международная конференция имени Академи-1са а Кравчука "Теоретические и прикладные аспестЫ кзтеиа-тнет". Тезисы докладов. Киев, 1592. С. 37-38. 3. Булдиг!н ЕЕ. Дем'яненко 0.0. Асимптотична нормальнють , оц1нгл сушено! кореляц!йно! функци в фуккцюнальни'х просторах // Допов1Д1 Академ!! наук Укра1ни. -1Э93. -Н1. -С. 32-37.

Демьяненко О.О. Об оценивании корреляционной матрицы гауссовских векторных полей. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский университет. Киев. 1994.

В работе исследованы точечные свойства различных оценок корреляционной матрицы гауссовских векторных полей. Доказаны асимптотическая нормальность оценки корреляционной функции в схеме одной реализации в гильбертовом пространстве и пространстве непрерывных функций; асимптотическая нормальность некоторых интегральных функционалов от оценки корреляционной матрицы.

Доказана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность оценки корреляционной функции в схеме нескольких независимых реализаций в гильбертовом пространстве.

Demyanenko О.О. About estimation of correlative matrix of Gauss vector fields.Manuscript.Tesis for a degree of Candidat of Sciences (Physics and Mathematics), speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kiev University. Kiev. 1994.

The dissertation investigates diferend Gauss vector fields correlative matrix point characteristics. The asymptotic normality of the estimation of correlative function in the scheme one realization of Gilbert space and in space of uninterrupted functions and asymptotic normality of some integral functional based on estimation of correlative matrix is proved. The strong justification and asymptotic normality of estimation of correlative function in the scheme of several realization in Gilbert space is proved.

Krtf-ovcg; oco&x'. корелдщ/Ука матриад, асимптотиннъ нормзльнл'сп^ сшьнс\ слуаун/'сп-, срункц/'онмьний прссп'р.