Об оценках меры линейной независимости значений некоторых аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

• • од

1 3 НОЯ В05

' Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511.36

ЗУДИ ЛИН Вадим Валентинович

Об оценках меры линейной независимости значений некоторых аналитических функций

Специальность 01.01.06 - математическая логика,

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор 10. В. Нестеренко

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор В.Х. Салихов

- кандидат физико-математических наук, доцент В.Г. Чирский

Ведущая организация - Институт математики АН Белоруси

Защита диссертации состоится " " ¿¡■гусгг 1995 г. в 1605ч

на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан " 7 " /гдг^угЛ- 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из направлений теории трансцендентных чисел является исследование поведения величины

l^o + + • ■• + fimfml, hj 6 Ъ, j ~ 0,l,...,m, (1)

для заданных действительных ,..., , т ^ 1, и ее оценка снизу в зависимости от

max {\hj\}.

В настоящее время известно несколько методов, позволяющих решать такую задачу при специальном выборе ..., £m. Примером этому служит метод, предложенный К. JL Зигелем в 1929г.1, в котором в качестве чисел ¿д,..., £т рассматриваются значения в рациональной точке а ^ О аналитических функций

оо

fi(z)=J2fi'»zV> /j>€Q, j = l,...,m, v GZ+ = {0,1,2,...}, f=0

(2)

составляющих в совокупности решение системы линейных дифференциальных уравнений

d

-j^yi = Qio + QijVj, ¿=l,...,m;

Z 3=1

Qij = Qij{z) e C{z), l = 1....,77i, j=0,...,m,

первого порядка. При этом коэффициенты функций (2) удовлетворяют некоторым дополнительным арифметическим условиям, определяющим классы Е- и в-функций. Указанный метод позволил А. Б. Шид-ловскому доказать критерий алгебраической независимости значений Е-функвдй2, а также вывести некоторые результаты для в-функций3. Метод Зигеля-Шидловского дает, кроме того, возможность получать

1См.: Siegel C.L. Über eiaige Anwendungen diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1929. № 1. P. 1-70.

2См.: Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.

3См., например; галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса // Матем. сб. 1974. Т. 95(137). № 3(11). С.396-417.

хорошие оценки снизу для величины (1), однако, из них следуют далеко не лучшие оценки снизу для рациональных приближений отдельно каждого из чисел £ 1,..., ■ Решение последней задачи и составляет содержание диссертации. Предпосылкой этому является дальнейшее развитие метода Зигеля-Шидловского, предложенное в 1984г. Г.В. Чуд-новским4 и получившее название метода "градуированных приближений Паде". Основным недостатком полученных в указанной статье результатов является жесткое ограничительное условие, накладываемое на систему (3). Кроме того, Г. В. Чудновскому не удалось корректно изложить важный этап аналитической конструкции. Поэтому настоящую диссертацию можно рассматривать как строгое обоснование метода "градуированных приближений Паде" для поставленной задачи и расширение области его применения в классах Е- и С-функций.

Цель работы. Целью работы является получение оценок снизу рациональных приближений значений Е- и С-функций в рациональной точке как в общем виде, так и в приложениях к конкретным гипергеометрическим функциям.

Методика исследований. При доказательстве основных результатов диссертации используются метод Зигеля-Шидловского и метод "градуированных приближений Паде".

Научная новизна. Доказашше теоремы 1-3 и следствия из них являются новыми результатами и получены автором самостоятельно. Оценки снизу рациональных приближений, полученные в теоремах 1 и 2 для Е-функций, являются неулучшаемыми по порядку в смысле метрической теории чисел; аналогичные оценки теоремы 3 для С-функций расширяют класс известных иррациональных чисел, являющихся значениями таких функций.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах кафедры теории чисел

4Cm.: Chtjdnovsky G. V. On some applications of diophantine approximations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1984. V. 81. March. P. 1926-1930.

механико-математического факультета МГУ (1993-95г.), на Конференции молодых ученых МГУ (1995г.), на Международной конференции по теории чисел (Воронеж, 1995г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], приведенных в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих семь параграфов, и списка литературы. Объем текста работы составляет 107 страниц. Список литературы включает 27 названий.

Во введении приводится краткий обзор результатов, связанных с развитием и применением метода Зигеля-Шидловского, определяются классы Е- и О-функций, формулируются основные результаты диссертации.

Определение 1. Функция

называется Е-функцией, если выполнены следующие условия:

1) /«, € О для V 6

2) для некоторой положительной константы С справедливо неравенство |/„| < С"+1 при V €

3) существует последовательность С N = Z+\{0} такая, что Уп/г, € Ъ, и = 0,1,..., п, п € М, и < Сп при п £ N.

Данное определение Е-функции несколько отличается от классического определения К. Л. Зигеля. Однако, все известные Е-функции (в смысле Зигеля) с рациональными коэффициентами рядов Тейлора, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений, удовлетворяют определению 1. В частности, это относится ко всем гипергеометрическим Е-функциям с рациональными параметрами.

Доказательства следующих ниже теорем 1, 2 и следствий из них составляют содержание первой главы диссертации.

Содержание работы

оо

ТЕОРЕМА 1. Пусть алгебраически независимые над С(г) Е-функции Д(.г),... ,/то(г), т ^ 2, составляют решение системы (3). Пусть, кроме того, а 6 (¡2 \ {0} - неособая точка этой системы. Тогда существует постоянная 7 = 7(/ь - • •, о) > 0 такая, что для всех д £ Ъ, ^ </*(/ь ■ • •, /гп;а), справедливы неравенства

лм-г

>|,|-!-7<l4!log|,|)-'"««>i ,= 1.....т>

каково бы ни было целое р.

Следствие 1. Пусть Е-функция ¡(г), удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

Ату{т) + ■■■ + А1У' + А0у = В, т > 2, Ау = Аз(г) еС[г], ;=0,1,...)тп, В = В (г) € С[г],

порядка т и алгебраически независима над С(г) со своими производными ¡'{г),...,^т~1\г)\ рациональная точка а такова, что аАт(а) ф 0. Тогда существует постоянная 7 = а) > 0 такая, что для всех <7 € Ъ, |д| ^ </*(/; а), справедливо неравенство

>1з1

-2—y(Iogiog|Q|)-1/("1 + 1)

каково бы ни было целое р.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть 1,1 - неотрицательные целые числа, £ нечетно, 1+1 > 1 и параметры Ах,... ,Xt+l;P^,...,6 <0\{ —1, —2,...} функции

1/=0

где

(Ai + !)„■■• (At+г + 1)к\t

{ß)o = 1, {ß)v=ß(ß + l)--(ß + v-l), v — 1,2,...,

удовлетворяют следующим условиям:

1) Aj — ßj ^ Z для всех i = 1,..., t 4-1, j — 1,..., l\

2) не существует общего делителя d > 1 чисел t,l такого, что

(Ai + 1 fd,..., А t+i + 1/d) ~ (Ai,..., At+i), (ßl + l/d,...,ßi + l/d)~(ßi,...,ßl)

(запись (/}[,...,Р'т) ~ (Рг, • ■ ■,Рт) означает, что для некоторой перестановки а : {1,..., т} -> {1,... ,т}, отличной от тождественной, при всех э = 1 ,...,т выполнено — € Ъ). Тогда для любого {0} существует постоянная 7 = 7(Аь..., А^; /Зг, ...,/Зг, а) > 0 такая, что для всех q 6 2, |</| ^ д«(А1,...,А /?!,...а), справедливо неравенство

каково бы ни было целое р.

В случае £ = 0 условие следствия 2 можно упростить.

Следствие 3. Пусть целое Ь > 1 нечетно или £ = 2 и параметры Ль -.. е <0> \ {-1,-2,...} функции

не удовлетворяют следующему условию: числа t\i,... ,tXt являются целыми и образуют полную систему вычетов по modi.

Тогда для любого а € Q \ {0} существует постоянная 7 = 7(Ai, ..., At; а) >0 такая, что для всех q g Z, ^ g*(Ai,..., At; а), справедливо неравенство

каково бы ни было целое р.

Теорема 2. Пусть Е-функции ¡■¿(г) составляют решение системы

и линейно независимы над С(г) с единицей-, а € <0> \ {0} - неособая точка этой системы. Тогда существует постоянная 7 =

/(с) _ Е > |9|-2-7(logloS|g|)-1/('+! + l)i

/(Q) _ Р > |9|-2-7(l°glog|.j|r'/(,+l);

■^yi = Qio + QiiVi +Qi2V2, 1 = 1,2; Qlj=Qlj{z)€C{z), 1= 1,2, j = 0,1,2,

d

7(/ь/г;о:) > 0 такая, что для всех ц £ Ъ, |дг| ^ (/»(/ъ/г;«), справедливы неравенства

>

каково бы ни было целое р.

В случае т = 2 справедлив аналог следствия 1 из теоремы 1, в котором полностью отсутствует условие независимости функции f(z) и ее производной.

Следствие 1. Пусть Е-функция f(z) является решениель дифференциального уравнения

А2(г)у" + Ai(z)j/' + A0(z)y = B(z), А2,А1,А0,В € C[z],

и а € Q, аЛ2(а) ^ 0. Тогда существует постоянная j = j(f;a) > О такая, что для любых целыхр, q, \q\ ^ ([*{}', а), либо f(a) — p/q либо

' > kl-2_T(1°slogl?irl/3-

В двух следующих утверждениях полностью решается вопрос об оценке снизу рациональных приближений значений гипергеометрических Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям второго порядка.

Следствие 2. Пусть

(-1Г

i/=0

(А+ !)„(/*+ 1), \2

2v

GQ\ {-1,-2,...},

и а £ <0>\{0}. Тогда существует постоянная 7 = 7(\,(1;а) > 0 такая, что для всех ц € Ъ, |</| ^ <7*(А,/г, о:), справедливо неравенство

W«) - -

>

|^|-2-7(Ioglog|q|)-1/3;

каково бы ни было целое р.

Следствие 3. Пусть

^м « £ (лЛм^!)/^ Л,М е 0 \ {-1, -2,...},

и а 6 {0}. Тогда существует постоянная 7 = 7(А,/г,/3;а) > 0 такая, что для всехд Е Ъ, |д] ^ (/»(А,/х,/3;а), справедливо неравенство

' > 1^-2—/(к^ЬеЫГ1^

каково бы ни было целое р.

Основные результаты первой главы формулируются в виде двух отдельных теорем по следующей причине: в случае тп — 2 условие, накладываемое на функции fi(z),..., /ш(г), является более слабым, чем в случае произвольного m íí 2, что дает возможность указать более сильные следствия. Этим обстоятельством не удается столь явно воспользоваться применительно к классу G-функций, поэтому основные результаты второй главы излагаются в виде отдельных пунктов следующей ниже теоремы 3.

Определение 2. Будем говорить, что совокупность функций (2) принадлежит классу G(C, Ф), где С ^ 1 и Ф ^ 1, если для любого е > 0 существует постоянная у, зависящая только от е и функций fi(z),fm(z), такая, что:

1) 1Л>1 <7<?(1+£)",3 = 1,...,m,€ Z+;

2) существуют натуральные числа такие, что все числа <Pnfj,u G Z,i = 1,..., m, и = 0,1,... ,n, n € N, и<рп <

при п € N.

Для совокупности G-функций ji(z),..., fm{z), линейно независимой над С(^) с единицей, коэффициенты системы (3) лежат в поле Q(z) и можно выбрать многочлен Г'(г) 6 так, что T(z)Q¡j(z) £ Z[zJ, I = 1,... ,т, j = 0,...,т. Наряду с системой (3) будем рассматривать сопряженную к ее однородной части систему линейных однородных дифференциальных уравнений

£«,■ = £^.«1, j = 1,. - -,

m;

' ~ -• (4)

Sji(z) = -Qij(z) G Q(z), j,l = l,...,m,

и (подобно выбору многочлена T(z)) через Т» (z) € Z[zj обозначим наименьший общий знаменатель функций Sji (z),j, I = 1,..., т. Из (4) следует, что для производных порядка тг, п = 1,2,..., имеют место соотношения

JTL т

о V^ сМ • 1

az i=i

где все ¿''"'(г) £ Q(z), j, I = 1 ,...,m. Несложные выкладки показывают, чтоТ^{г)Б1Ц](г) G QH, j,l = 1,... ,m, n e N.

Определение 3. Будем говорить, что система линейных дифференциальных уравнений (4) принадлежит классу (удовлетворяет условию "сокращения факториалов" с постоянной Ф), где Ф ^ 1, если существуют натуральные числа {'/'n }ii=i такие, что все функции

^Ti(z)Sf} € Z[z], j,l=l,...,m, i = l,...,n, n€N,

и для любого s > 0 существует постоянная 7', зависящая только от е и системы (4), такая, что фп < 7'ф(1+£)п при п Е N.

Сформулируем теперь результаты второй главы диссертации - теорему 3 и следствия из нее. Через Я(-) обозначается высота многочлена из С[z] (максимум модулей его коэффициентов).

Теорема 3. Пусть совокупность функций fi{z),..., fm{z), m ^ 2, из класса G (С, Ф)

а) линейно независима над C(z) с единицей в случае тп = 2;

б) алгебраически независима над <C(z) в случае т > 2,

и составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (3), для которой система (4) принадлежит классу С(Ф). Пусть, кроме того, а = а/Ь, 'где о 6.2, i е N, удовлетворяет условию аТ(а) ф 0; е < - произвольная положительная

постоянная. Поло-жим N = — ш + 1,

t = maxjdegT - l,ma;x{deg!rQij} j, Я = max j H(T), max{H(TQij)} j,

__(1-f te) log b + log 6'q_

Щ ~ (1 - (m -f1 + l)e) log b - log Co - (2 - (m + l)e) log(C|a|)'

Если для заданного а выполнено условие т]о > 0, иными словами, если

bl-(m+t+l)£ > Со . ^^-(m+l)^ (5)

то числа fi(ot), I = 1 иррациональны. Более того, для лю-

бого Т] > Т}о и произвольных р € Z, q £ N, q > qm{fi,.. ■, fm\a,e, 77), справедливы оценки

fi{<*) - - I > 1 = l,...,m.

91

В ряде предыдущих работ5 доказана иррациональность значений G-функпий, удовлетворяющих системе (3), в рациональных точках а = а/Ь, для которых выполнено условие типа

6 > Cb\a\m+1+S, 5> 0.

Поэтому неравенство (5) теоремы 3 расширяет класс известных иррациональных значений таких G-функций.

Вычисление постоянной, с которой происходит сокращение факториалов6, для произвольной системы (3) позволяет указать следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть функция f(z) € G(C, Ф) является решением линейного дифференциального уравнения

АтУ{т) + --- + А1У' +А0у = В, 2,

Aj = Aj(z) G С[г], j =0,1,...,m, В = B{z) £ C[z],

порядка m и не удовлетворяет никакому

а) линейному в случае m = 2,

б) алгебраическому в случае m > 2

5 См., например: Галочкин А. И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых G-функций // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 4. С. 541-552.

6См.: André Y. G-Functions and Geometry. Aspects of Mathematics. V. E13. Braunshweig: Vieweg, 1989.

дифференциальному уравнению с коэффициентами изС(г) меньшего порядка. Пусть, кроме того, а = а/Ь, где а 6 Ъ, Ь 6 М, удовлетворяет условию аАт(а) ф 0; е < то_Д+1 - произвольная положительная постоянная. Обозначим через в. € N наименьший общий знаменатель коэффициентов многочленов В,Ао,...,Ат € <Щг] и положим

t = maxj deg Ат — 1, ()™.ax {deg Aj } > deg £? j,

H - dmax|H(B),omax- {//(A,-)}}, ф = (C$^(m+l)2(t+l)(l+logm)

Co = (2e(i+ 1)2ЯФ)е(1~,08е)Ф1+<е(СФ)^-1>)',

__(1 + te) log b + log Cp_

m ~ (1 - (m + t + l)e) log b - log C0 - (2 - (m + l)e) log(C|a|)"

Если для заданного а выполнено условие (5), то число /(а) иррационально и для любого г/ > 7]о и произвольных р £ Z, q € N, q > qt(f\a,£,T}), справедливы оценки

/с,-г

>q-1~rl.

Наконец, следующее утверждение относится к значениям так называемых обобщенных полилогарифмических функций. Для них удается эффективно подсчитать постоянную, с которой происходит "сокращение факториалов". Формулировка следствия 2 требует вспомогательные обозначения. Под den А G N будем понимать знаменатель несократимой дроби А. Введем в рассмотрение следующие функции натурального аргумента:

V

logp

<р(Ь) ^ г' AW ^ р - 1'

(t,b)=1

tp(b) = ^ 1 - функция Эйлера, b 6 N. 1

(г,Ь)=1

Так, например, />(1) = 1, *(1) = 0; р(2) = 2, х(2) = log 2; р(3) = f, Х(3) = |log3;p(4) = |,х(4) = log2 и т.д.

Следствие 2. Рассмотрим функцию

= A€Q\{-l,-2,...}.

i>—i * '

Пусть а = а/Ь ф 0, где а € Z, Ь € N, и пусть е < ^ту ~ пР°~ извольная положительная постоянная. Положим р = p(denA), X = x(den А), Я = den А • max{l, |А|},

Со = ехр{ (log(8H) + х + т)е( 1 - logе) +тр( 1 + е'+ ,

=_(1 + g) log b -flog Co_

710 ~ (1 - (m + 2)e) log 6 - log C0 - (2 - (m + l)e) log |a|'

Если для заданного а выполнено условие

bl-(m+2)e > С70 . |а|2-(т+1)е>

то число f(a) иррационально и для любого ц > г\о и произвольных р € Z, Q 6 N, д > qt(X,а,£,!]), справедливы оценки

f(«)~P-Я

> q

-1-г,

В частном случае, при А = 0, имеем:

Со = ехр{ (т + log 8)е(1 - log е) + т (1 + е + } •

►

Опишем теперь кратко метод "градуированных приближений Пале" -основной инструмент для доказательства изложенных теорем.

В методе Зигеля-Шидловского строится (с помощью принципа Дирихле) одна линейная приближающая функциональная форма

ВД = РоОгО + ]СЗД/;(*). ^еод, ¿ = 0,1,....т,

с большим порядком нуля в точке г = 0, а остальные формы (такого же вида) получаются из нее дифференцированием по г с последующим до-множением на определенный выше многочлен Т(г). Невырожденность

m

определителя, составленного из коэффициентов-многочленов, позволяет перейти к линейным формам от чисел 1, Д(а),..., /т(а).

Параметрами описываемой ниже конструкции являются натуральные числа М, N и (достаточно малое) вещественное е > 0. Обозначим через а = (а 1,.. .,ат) - набор вспомогательных переменных. В дальнейшем будут встречаться суммы, слагаемые которых нумеруются мультииндексами к = (кх,..., кт) £ Z"г.• При этом если в некоторой сумме по к встретится слагаемое хотя бы с одной компонентой к^ <0, то будем считать это слагаемое отсутствующим (равным нулю). Через ё^ обозначим мультииндекс, у которого на месте с номером стоит единица, а на остальных местах - нули. Для экономии места в формулах будем писать:

ТП ТП

з=1 ¿=1

Рассматриваются формы от переменных сч,..., ат с функциональными коэффициентами вида

ТП

Щг;а)= £ а*Р*(*) + £ а*Ря(г) £

й:|к| = АГ к:|к| = ЛГ-1 3 = 1

Ря(г) € ОД. (6)

Поскольку такие формы однородны и имеют степень N, их можно представить в виде

Я(2;а)= £

5:|5| = .ЛГ

где

ТП

ад = Р,(*) + ^ Рг-Ч ША*), 5 : |1| = ¿V. (7)

¿=1

Также, как и в методе Зигеля-Шидловского, с помощью принципа Дирихле удается построить совокупность линейных функциональных форм (7) с большим порядком нуля в точке г = 0. Применение к формам вида (6) дифференциального оператора

д т / т \ Я

3 = 1 \1=1 / ■>

связанного с системой дифференциальных уравнений (4), с последующим домножением на многочлен T(z) переводит их в формы того же вида с другими коэффициентами-многочленами Pr(z), к : |к| = Лг — 1, N. Это обстоятельство связано со следующим легко проверяемым свойством оператора D:

тп m

D X! - И aiQto(z)-j-i i=i

Таким образом, по одной построенной форме вида (б ) удается построить целый набор таких форм.

Наиболее трудным моментом метода является доказательство невырожденности функционального определителя, составленного из коэффициентов-многочленов этих форм. Для этого исследуются свойства матрицы перехода от строки многочленов {/^(z)} к строке линейных форм (z)}, а также используется технический аппарат для оценки порядка нуля многочленов от z, /1(2),..., jrn{z). Заключительная часть доказательств теорем 1 и 3 проводится по двум различным схемам: традиционной схеме метода Зигеля-Шидловского и использова-ютю приближений Паде второго рода.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю. В. Нестеренко за интересную тему и большое внимание, оказанное настоящей работе.

Печатные работы по теме диссертации

1. ЗУДИлин В. В. О рациональных приближениях значений одного класса целых функций // Матем.сб. 1995. Т. 186. №4. С. 89-124.

2. Зудилин В. В. О рациональных приближениях значений G-функ-ций //II Международная конференция "Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел". Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 1995. С. 67.