Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и Bpq тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Условия корректности задачи Коши для уравнения типа Шредингера в паре пространств (А р , Л р )

§ I. Необходимы^гус'ловия корректности

§ 2. Достаточные условия, корректности.

Глава IX. Случай w =

§ X. Вспомогательные утверждения

§ 2. Необходимые и.достаточные.условия. корректности

Глава XII. Условия корректности задачи Коши для уравнения типа Шредингера в паре анизотропных пространств- (Ар , Ар j

§ I. Необходимые и достаточные условия корректности в.паре анизотропных пространств.

§ 2. Некоторое обобщение задачи Коши для уравнения типа Шредингера

Рассмотрим следующую задачу Коши:

I = p(t>)u , t > о, (0.1) d ъ

U (о) = ы0 , (0.2) где Р (D) - дифференциальный оператор с постоянными коэффици \ ^—> ос /йС I О) Z06/ ентами: = , аос€ & > 1 ос/ 6 м, с> xt .ЪХп,

JoeI - ос4+ + ос^ порядок мультииндекса =

Для любой начальной функции и0 из пространства быстро убывающих функций S - S ( £ ) существует единственное решение задачи Коши (0.1), (0.2), принадлежащее S) Л

ПС ( см., например, [3^); при этом, также как и для уравнения Шредингера, справедлив следующий "закон сохранения :

-д/

Естественно возникает вопрос о существовании оценок

И*)||. ^ eft) II W0 II t*0, Vu0eS(^).

P P решения задачи Коши для уравнения (0.1), которое в дальнейшем будем называть уравнением типа Шредингера. Наряду с этими оценками будем исследовать вопрос и о существовании более общих оценок для решения задачи (0.1), (0.2): м(*)|| ^CKijlNJI^, t>0, Vu0eS, (О.з')

LP LP ufi)|| о * C(*,t)\\"o\\ «6 , bo, Vu0£ 5, (о.з") <4. /" где Lp = Lp (2 ) , 1 <- p + <*=> , °c > о , - пространства Лиувилля ( Lp = Lp ), a = Б p ^ ( R, ) , с p < 00 , c-c > о пространства Бесова.

Как показано в диссертации, условия существования оценок (0.3 ) и (О.з") совпадают и не зависят от . Поэтому в дальнейшем будем исследовать вопрос о существовании оценок вида u(i)\\.0 & C(«,t)||uJ * , ЬгО, Vu.eS, (0.3) /\р /\р л 00 I 00 где Л D - либо пространства Лиувилля L D , либо простг . / L ранства Бесова В> р ^

В первых работах, посвященных этим вопросам, исследовалась задача Коши для волнового уравнения ы^ = д и , * е , t > О, (0.4)

U I h

Q = Ыо , Co.5) для которой соответствующий "закон сохранения" - закон сохранения энергии - имеет вид Е^(i)= (Ц^иЦ. + i и, £ В.Литтманом, [?8] , было показано, что при р ф оценок вида Ер ^ ; его£/>roj . где £p(i)'(IIVиII[ * IIиъ II£ )? не существует; а именно, для любого tD> О можно подобрать по

Г (к) ") следовательностъ начальных данных \ UQ ил I f К = -1, из S (R> ) таких, что нормы ]| V Ы^ . и || ^ j| j " II "Ч II i равномерно ограничены по К , а энергия с р ( t0J соответст

К), , ч вунцего решения U (х, t/ задачи (0.4) - (О.б) неограниченно растёт при К —1> . Более того, как доказал Л.А.Муравей,

7], при -с < " X не существует и оценок вида

Е ft) < с(~, i) Ep^(o), t » О, Vuo, Ч, 6 S(RK), С0.7)

Р Р где Ep}oCfi) = (II VUHL^ + //^ //^ J Р , а Е.Лан

Р р конелли, [22] , установил, что при > ~ £ j для каждого t^O существует постоянная Cfoc.bJ такая, что оценка (0.7) имеет место при любых е 3 (ф*') • Таким образом, неравенство * >* | р" ~ Jc | является необходимым, а ^ > ~ I ~ li I " достаточным условием для существования оценок (0.7). В работе [22] также показано, что условие > (уь--f] J ~ & I является необходимым и достаточным для существования аналогичной (0.7) оценки, в которой ) заменена нормой пространства г

В рр ( £ ) .В сравнительно недавней работе [32] А.Мияхи доказал, что оценка (0.7) имеет место и при ^ ~ ~ т.е. условия существования оценок энергии решения задачи Коши для волнового уравнений в пространствах Lp (& ) и ) совпадают.

Вернёмся к рассмотрению задачи Коши для уравнения типа Шре-дингера. В ряде работ [ 15, 16, 20, 24, 25, 29, 32, 33 ] устанавливались необходимые, а также достаточные условия существования оценок вида (0.3) для решения задачи Коши (0.1), (0.2) для некоторых конкретных дифференциальных операторов P(d) . Так, например, из работ П.Бреннера, С.Сьёстрада и А.Мияхи [l2, 34, 30, 31] вытекает, что, если P(D) = ^д) » гДе Q s ~ много~ член S -ой степени, то условие об ^ s и' X j будет необходимым и достаточным для существования оценок (0.3).

В дальнейшем, следуя-указанным работам, будем говорить, что задача Коши (О.Т), (0.2) корректна в паре пространств (Ар, если для решения данной задачи Коши- существует оценка (0.3) для всех начальных функций ис е 5 . Наиболее общие достаточные условия корректности задачи Коши (0.1), СО.2) в паре пространств а; , Ар) получены П.Бреннером и А.Мияхи, [ 12, 30 ] , и, в случае рассматриваемого нами оператора Р(о) , имеют вид L Р ос Ж, и. I - - / ; (0.8) при этом в указанных работах для функции установлена следующая оценка сверху:

I - - / c(*,i) i cj^t) lp x/, t>.0, «.9) где С ^ - некоторая положительная постоянная.

В.§ I главы I. диссертации, выделяется класс дифференциальных операторов РfD), для которых условие (0.8) является и необходимым для корректности задачи Коши (О.Х), (0.2) в паре пространств

Обозначим через А(Т) гессиан главного символа Ли ^ьсТ дифференциального операто

I °с I = WI ^ pa Р (D) , т.е. Д

Теорема I. Если у дифференциального оператора Р ( D) О » т0 условие (0.8) является необходимым для корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в паре пространств (Ар)-При этом, в ходе доказательства данной теоремы для функции получена аналогичная (0.9) оценка снизу

И- /— -/ р Л ' c^.t; , t*o. (O.m) где С - некоторая положительная постоянная. Следовательно, в случае A^J^O, порядок роста по t функции C(oC,-LJ не зависит от порядка дифференциального оператора Р(й).

В тоже время, теорема I показывает, что в случае точные условия корректности задачи Коши (O.I), СО.2) в паре пространств (Лр , Ар ) определяются (при фиксированных и. и р ) только порядком дифференциального оператора Р(й).

Если же у оператора P(d) Д ffj г о , то условие СО. 8) уже не будет точным (т.е. необходимым и достаточным). Оказывается, что в этом случае точные условия корректности задачи Коши (0.1), (0.2) определяются не порядком w. дифференциального оператора Р (D) , а некоторым вектором Wi . Для того, чтобы привести соответствующий результат, разобьем символ Р("?) дифференциального оператора P(D) на 1 однородный многочлен р^ (-f) = аосТ°С > £ = •. у м- и для каад°г° к= и. обозначим через т.^ наибольший из всех номеров £ многочленов р^ , зависящих от ~fic , т.е. ^Х ^ i : Щ® 4о J . если Б00б ще не зависит от ^^ , то положим ил,^ - О . Таким образом, любому дифференциальному оператору R(o) соответствует некоторый вектор рйС = [. Пусть - набор номеров /6 , для которых ууьк > 4 , и их - число эле- ментов множества л .

В § 2 главы I доказано следующее утверждение. Теорема 2. Условие Z2 г/ со-п) является достаточным для корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в паре пространств (Ар , А *J.

Отметим, что в этом случае для функции Cf°<-, Ь) оценка (0.10) может быть уточнена, а именно, в ней показатель п, заменяется на to . . Заметим далее, что условие (О.11) совпадает с условием (0.8) только в том случае, когда ж,, к = (т.е., когда не существует линейного невырожденного преобразования переменных ^ = А х , ~f, х € & . , такого, что функция рил/*) ~ Р^ не зависит хотя от одной переменной X-L).

Поясним смысл доказанных утверждений на простейшем примере, когда P(d) - дифференциальный оператор второго порядка. Тогда условие О означает, что P(d) не является параболическим, т.е. все ntfc равны порядку дифференциального оператора, в данном случае Ъ , к = А у . ^ ^ , и условие об^. J у ~ х | будет необходимым и достаточным для корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в паре пространств f Л р , Л р )

Если A (t) = О , т.е. оператор P(d) -параболический, то существует хотя бы одно № к t которое равно либо нулю, либо единице; пусть число таких (т.е. число нулевых собс

I ^PaW твенных значений матрицы -— равно П0 , тогда необходимым и достаточным для корректности задачи (0.1), (0.2) в (Лр , Л р J будет условие ^ У10) I 4 4

Р '

1. Берг Я., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. -М.: Мир, 1980, с. 264.

2. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982, с. 296.

3. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976, с. 320.

4. Лизоркин П.И. О мультипликаторах интегралов Фурье в пространствах Lp} © . Труды МЙАН СССР, 1967, т. 89, с. 231 - 248.

5. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование иг — \функциональные пространства Lp ( Ь . Теоремы вложения.-. Математический сборник, 1963, т.60, J&3, с. 325.- 353.

6. Лизоркин П.И. Неизотропные бесселевы потенциалы. Теоремы вложения для пространства Соболева L р' . ' . . . с дробными производными. ДАН СССР, 1966, т. 170,1 3, с. 508 - 511.

7. Муравей Л.А. Задача Коши для волнового уравнения в Lpпространствах. Труды МИАН СССР,. 1968, т. 103, с. 172 - 180.

8. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоре-. мы вложения. -М.: Наука, 1977, с. 456.

9. Трибель X. Теория интерполяции,.функциональные, пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, с. 664.

10. Федорюк М.В. Метод перевала. -М.:.Наука, 1977, .с.-368,.

11. Хёрмандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. -М.: ИЛ, 1962, с. 72.

12. Brenner P. The Cauchy problem for systems in Lp and Lp,oc . Ark. Mat., 1973, v. 11, N.l, p.75 - 101.

13. Calderon A.P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution, II. Advances in Math., 1977, v.24, p.101 - 171.

14. Coifman R.R., Weiss G.Extensions of Hardy spaces and their use in analysis. Bull. Amer. Math. Soc., 1977, v.83, N.4, p.569 - 645.

15. Da Prato G., Giusti E. Equazioni di evoluzione in ifAnn. Scuola norm, super. Pisa, 1967, v.21, N.4, p.485 505.

16. Da Prato G., Giusti E. Equazioni di SchrSdinger e delle on-de per l'operatore di Laplace iterato inAnn. Mat. Рига Appl., 1967, v. 76, p.377 397.

17. Fefferman C.L. Inequalities for strongly singular convolution operators. Acta Math., 1970, v.124, p.9 - 36.

18. Fefferman C.L., Stein E.M.spaces of several variables. Acta Math., 1972, v.129, p.137 - 193.

19. Hormander L. Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. Proc. Symp. Pure Math., 1967, v.10, p.138 - 183.

20. Ishii H. On some Fourier multipliers and partial differential equations. Math. Japan., 1974, v.19, N.3, p.139 - 163.

21. Lanconelli E. Valutazioni in £>p della soluzione del problema di Gauchy per l'equazione delle onde. Boll. Unione Mat. Ital., 1968, v.l, N.6, p.780 - 790.

22. Lanconelli E. Valutazioni in LpCOdella soluzione del problema di Cauchy per l'equazione di Schrodinger. -Boll. Unione Mat. Ital., 1968, v.l, N.4-5, p.591 607.

23. Lanconelli E. Sui moltiplicatore negli spazi di Besov. -Boll. Unione Mat. Ital., 1968, v.l, N.6, p.767 778.о

24. Lanconelli Е. Sui moltiplicatori in Lp e in Op e applicazioni al problema di Cauchy. Rend. Mat. Roma, 1970, v.3, N.l, p.33 - 88.

25. Lanconelli E. Sui moltiplicatori dell'integrale di Fourier ed applicazioni. Boll. Unione Mat. Ital., 1972, v.5, N.l, p.165 - 179.

26. Latter R.H. A characterization of in terms of atoms. Studia Math., 1978, v.62, N.l, p.93 - 101.27. de Leeuw K. On L^ multipliers. Ann. Math., 1965, v.8l, p.367 - 379.

27. Littman W. The Wave operator and L p norms. J. Math, and Mec., 1963, v.12, N.l, p.55 - 68.

28. Littman W., Riviere N., McCarthy C. LP multipliers theorems. Studia Mathematica, 1968, v.30, N.2, p.193 - 217.

29. Miyachy A. On some Fourier multipliers forJ. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1980, v.27, N.l, p.157 179.

30. Miyachy A. On some singular Fourier multipliers. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1981, v.28, N.2, p.267 - 315.

31. Miyachy A. On some estimates for the wave equation in LP and WP . J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1980, v.27, N.2, p.331 - 354.

32. Peral J.C. L^ estimates for the wave equation. J. Funct. Anal., 1980, v.36, N.l, p.114 - 145.

33. Sjostrand S. On the Riesz means of the solutions of the Schrodinger equation. Ann. Scoula norm, super. Pisa, 1970, v.24, N.2, p.331 - 348.

34. Stein E.M. Singular integrals, harmonic functions and differentiability properties of functions of several variables. -Proc. Symp. Pure Math., 1967, v.10, p.316 335.

35. Strichartz R. Multipliers on fractional Sobolev spaces. -J. Math, and Mec,, 1967, v.16, N.9, p.1031

36. Triebel H. Spaces of Besov-Hardy-Sobolev type. Leipzig: Teubner-Texte Math., 1977, p.208.

37. Zanghirati L. Su un problema ridotto di Cauchy in un semis-pazio per operatori differenziali lineari a coefficienti constanti. Boll. Unione Math. Ital., 1979, V.15-A, N.2, p.460 - 469.