Об уравнениях фильтрации многомерного диффузионного процесса (растущие коэффициенты) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИТО ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Введение

§ 2. Обозначения, определения, предположения, основные результаты

§ 3. Задача Коши для J -параболических уравнений

Ито второго порядка.

§ 4. Задача Коши для параболических уравнений Ито второго порядка.

§ 5. Контрпример.

ГЛАВА П. ОБ УРАВНЕНИЯХ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОМЕРНОГО

ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА (РАСТУЩИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ)

§ I. Проблема и основные результаты

§ 2. О представлении решения задачи Коши

§ 3. Об условных распределениях ^ -невырожденных диффузионных процессов

§ 4. Прямые уравнения фильтрации для вырождающихся диффузионных процессов . III

ГЛАВА Ш. О ПРОБЛЕМЕ ОБНОВЛЕНИЯ

§ I. Постановка задачи. Основной результат

§ 2. Вспомогательные утверждения

§ 3. О совпадении <о -алгебр в задаче фильтрации диффузионных процессов

ДОБАВЛЕНИЕ.

Одной из важных задач статистики случайных процессов, имеющей многочисленные практические применения, является задача фильтрации: наблюдается процесс . i z [OjT] , Т <00 f представляющий из себя сумму "полезного сигнала" JCH) и "шума" . Требуется отделить "шум" от "сигнала", т.е. для некоторого +€[о,Т] нужно найти "наилучшее приближение" x(-i) вида xfO ~ ^ - ^ (^ <«}, se [о, t]) Например, если эс(1) описывает фактические координаты движущегося объекта по результатам радиолокационного наблюдения, то в этом случае "шум" В<4) описывает ошибку измерения.

Точная постановка задачи выглядит следующим образом. На некотором вероятном пространстве Р) задан двухкомпонентный процесс ( у) ={ , t»oJ » У которого может наблюдаться лишь вторая компонента . Требуется найти наилучшую в среднем квадратичном оценку ^fX(V) , где ^ - известная измеримая функция, по наблюдениям за траекторией компоненты ^ до момента времени £ . Иными словами, эту оценку следует искать в виде функционала от траекторий компоненты у Д° момента времени t .

7 ^

Хорошо известно, что если £ f ("*«))< е*> , то такой оценкой является условное математическое ожидание ^(хс-и) относительно б*-алгебры, порожденной значениями у до момента времени z — (эе c-i)) I . Проблема фильтрации заключается в вычислении этого условного математического ожидания.

Первые фундаментальные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А.Н.Колмогоровым [i] и Н.Винером [2]. При широких предположениях проблема фильтрации эквивалентна задаче отыскания условного распределения ос ({) , i^O--1 . Наиболее общие результаты в этом направлении, для марковских процессов, получены в работах [3], [4]. В частности, в работе [3], где предполагалось, что (x(t), cf^V - двумерный диффузионный процесс, доказано, что условная мера p^x(t) е • / 9 о й т £ S J имеет плотность Ж^ $<х) и эта плотность достаточно "гладкая" по х , а также выведено стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных для апостериорной плотности Jf^ ex.): • Это уравнение называют обычно уравнением фильтрации. Один из основных результатов этой книги, состоит в том, что решение проблемы фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению уравнения фильтрации.

Далее, Н.В.Крыловым и Б.Л.Розовским в работе [51 методами, отличными от используемых в [3], получены аналогичные утверждения для общего многомерного диффузионного процесса при слабых предположениях о гладкости коэффициентов этого процесса. Аналогичная ситуация рассматривается в книге [9]. Однако, в отличие от [3], где гладкость понималась как гладкость в С"~ и рассматривалось классическое решение уравнения фильтрации, в работах [5J, [9] рассматриваются аналитические свойства условной плотности прежде всего в пространствах Соболева, а фильтрационное уравнение (см. уравнение (0.3)) понимается в обобщенном смысле (см. определение 1.2.2).

В работе [5] (см. также [9] ) рассматривается двухком-понентный процесс , точнее (4,+с1г) - мерный диффузионный процесс, удовлетворяющий следующей системе стохаотических дифференциальных уравнений

Axto* 6L

0.1) olyfO- ^(ifxd),ya))c(i * (4, d.iYyiX-JL , W(4 )—-n* -мерный стандартный винеровский процесс, не зависящий от случайных величин ~J0 , . При широких предположениях доказывается, что х ) (0.2) где - решение задачи Коши [КО'Ч+ ^ (fcktftf <*>)]taO'Vo, (0-3) а фильтрационная плотность является единственным решением уравнения фильтрации Г * -'/г I Т I (0.4 fa где d^W = (Git*)''* et^H) матрица, элементами которой являются e)/^x4axJ , а <3)х — вектор с координатами ^/qx' •

Во всех перечисленных работах, помимо остальных ограничений, предполагалось, что коэффициенты системы (0.1), а значит и уравнения (0.3), (0.4), ограниченные функции. Исключение составляет схема Калмана-Бьюси (см. гл.10 в [3]), в которой коэффициенты "сноса" и ^ в (0.1) линейно зависят от ненаблюдаемого процесса xW) (точнее, в этой схеме, ^ (-6, x(-t), $(t))~ = и 4XU, *<*), ft(t>) - jxd)) . Однако, здесь дополнительно предполагается, что (эс (•*■),%( 4)) двумерный гауссовский случайный процесс. В общем случае проблема фильтрации при растущих коэффициентах не была изучена.

Предметом исследований в данной работе являются условные распределения компонент диффузионных процессов, когда коэффициенты системы (0.1) могут расти на бесконечности. Мы отказываемся также от предположения о невырожденности матрицы 6;$;*

- G, С^г^г) (при ограниченных коэффициентах это было сделано в работе [7]). Основными результатами настоящей работы являются теоремы о существовании и единственности решения уравнения фильтрации (0.4) и о его аналитических свойствах. В частности, мы обобщаем результаты работы [5].

Уравнение фильтрации относится к типу уравнений сочетающих в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Поэтому для решения основной задачи нам приходится предварительно рассмотреть вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши для линейных стохастических уравнений с частными производными второго порядка с растущими коэффициентами (уравнения типа (0.3)) и изучать аналитические свойства решений. Отметим, что такие уравнение исследовались в работах [6], flO], [9] (см. также имеющуюся в них библиографию), когда коэффициенты уравнения были ограниченными функциями, а начальное значение и внешние силы в [Ю] (соответственно, в [9]) принимали значения в пространствах Соболева (соответственно, в пространствах Соболева с весом, со специальной весовой функцией - (7 * fx\г )

Т6&1 - фиксированно). Мы переносим результаты этих работ на наш случай. В работе рассматривается также проблема обновления для вырождающихся диффузионных процессов.

Работа состоит из трех глав. Глава I посвящена пораболичес-ким уравнениям Ито второго порядка. В § I приведены некоторые известные результаты из теории линейных эволюционных стохастических систем (ЛЭСС) и из функционального анализа, а также вводятся пространства Соболевского типа с весом и изучаются его основные свойства. § 2 посвящен обозначениям, определениям, допущениям, в нем также сформулированы основные результаты главы. В §§3, 4 доказываются теоремы существования и единственности для задачи Коши с растущими коэффициентами в пространствах Соболева с весом в р - невырожденном и вырожденном случаях соответственно, исследуются аналитические свойства решения в зависимости от гладкости коэффициентов (доказывается так называемая теорема о повышении гладкости решения), приводятся теоремы об аппроксимации решения, а также следствие о марковском характере решения. Все эти вопросы решаются с помощью сведения исследуемых задач к некоторой ЛЭСС. В § 4 приводится также одна условная теорэла, решающая упомянутые выше вопросы, в том случае, когда на рост коэффициентов не накладываются предварительные ограничения. Наконец, в § 5 строится пример, противоречащий одному результату книги [21]. Этот пример показывает, что из-за неправильного подбора функциональных пространств может нарушаться единственность решения.

Глава 2 посвящена проблеме фильтрации. В § I поставлена задача, приведены основные определения, предположения и сформулированы основные результаты. В § 2 на основе результатов главы I доказывается теорема о представлении типа (0.2) для решения уравнений типа (0.3). Она является отправным пунктом для дальнейших рассуждений. В § 3 выводится уравнение фильтрации. Доказательства теорем существования и единственности решения уравнения фильтрации излагаются в параграфах 3, 4 для р-не-вырождающихся и вырождающихся диффузионных процессов соответственно, здесь же изучаются аналитические свойства фильтрационной плотности. При этом мы пользуемся результатами книги [9], однако наши требования на гладкость коэффициентов менее жестки.

В главе 3 изучается вопрос о совпадении б"-алгебр в задаче фильтрации вырождающихся диффузионных процессов. § I посвящен постановке задачи и формулировке основного результата. В §2 доказываются вспомогательные утверждения. В § 3 на основе методов работы II (см., также [40]) положительно решается проблема обновления в более общей ситуации.

Отметим, что в главах I, 2, так же как и в работах [б], [9], [10], мы рассматриваем аналитические свойства решений уравнений прежде всего в пространствах Соболева с весом и уравнения понимаем в обобщенном смысле. Существование обычных производных у решений и классического решения уравнений получаются из этих результатов с помощью теоремы о повышении гладкости и теорем вложения.

Заметим также, что некоторые из основных результатов данной работы публиковались в статьях [40], [411, [42], [43].

Нумерация теорем, лемм, следствий и определений производится серийно по единой системе, последовательно внутри каждого параграфа. Так, ссылка на теорему П.4.1 означает ссылку на утверждение с номером I четвертого параграфа второй главы. В главе II теорема П.4.1 называется теоремой 4.1, а в § П.4 - просто теоремой I. Аналогичным способом нумеруются формулы.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, Н.В.Крылову, за постановку задачи и постоянное внимание.

включение

С дг^'Ъ .Поскольку, как отмечалось в § I, известно и обратное включение, то теорема доказана.

Замечание I. (см. [П]). Доказательства теоремы 1.2 и леммы 2.3 дают способ приближенного вычисления апостериорных распределений . Кроме того, из теоремы 1.2 вытекает, что Jft являются функционалами от 7. Отсюда можно вывести что система (2.2), (2.3) имеет решение на любом вероятностном пространстве, если ^.vy заменить на \ » лишь бы 7 о имело то же распределение, что и Ч0 , a W был бы -мерным вине-ровским процессом, не зависящим от ^ . Наши рассуждения показывают также, что при такой замене совместные распределения как решений (2.2), (2.3) не меняется и решение (2.2), (2.3) со свойствами а)-в) из леммы 2.2 единственно.

Замечание 2. Теорему I.I мы не будем отдельно доказывать, так как она сравнительно легко доказывается с помощью вышеизложенных рассуждений и рассуждений, использованных в [il]. В част ности, для оценки интеграла по % с весом (*) от фигурной скобки в (3.4) достаточно воспользоваться самосопряженностью оператора C-z , однократным интегрированием по частям, неравенствами , IM//^ * II fllo,r , I W4, условием леммы I.I.I6) для r*L-Z и Р-невырожденностью диффузионного процесса.

ДОБАВЛЕНИЕ

Доказательство леммы 1.3.2. При S^R* обозначим £(5) = UfP и для действительных функций f > Ч на будем писать ~f -< ^ если f = Ч 0 и существует такая постоянная М , что при всех х

В 4 У П Ipfp( | aW - |/f Iр + £ I ^Y). ijrUr* J е=1 ' ^

Далее, договоримся опускать аргумент 3/и у функции С и ее производных по $ G'(3?u) = р |Зу*|р"Уи и G" p(p-i) всегда предполагать, что J^l

Ясно, что в силу неравенства ap"l«| t P1ieip + *"4мр, p/(P-n (I) z'fG'at? -(x^f^G1) fa* ^ P-^O/^YVvf - WtfWWiO; x?feG'a>*( cuxnV^-T^c'l/Vl-

Аналогично, из неравенства

Iftp-tj1! 4 0-1)/вИР + У/,|«|р (2) следует, что

I) См. сноску на стр.47.

Далее

В силу неравенства (1.3.6)

Нетрудно видеть, что из неравенств (2) и (1.3.6) имеет

I)

Пусть теперь >, { . Тогда, опять по неравенствам (1.3.6), (I), (2) имеем

X С "Уи - а". Лгщ + ж Z V!P ^V"МГ"* V|1Л11 +

I) Проще рассматривается случай гч = о • sri ft I tpfp'm'i i i < +uii)x7v,

Наконец, из условия - параболичности (1.2.3) следует, что ы Ы

-•efl&n-KP-lrfuyafyut + £KP-J)I I* ] + и l

Из неравенств (1.3.6), (I), (2) следует, что второе слагаемое в левой части последнего соотношения мажорируется, в смысле , выражением iME

2 irifeM. J

Из приведенных выше оценок, выбирая 1 > 0 достаточно малым, легко получить, что f , |р+4 л

JfccVf g'Z:[2>V.

Это и означает справедливость утверждения леммы.

- 138

Доказательство леммы 1.4Л. Для J, 7 6 А (К'1) будем писать » если J и7 имеют одинаковые интегралы по и Т^<л1 » если J+ е , причем в 1^1')+ с fs uTitf

1 гм. ijuwV

Отметим, что эквивалентность в наших вычислениях возникает при интегрировании по частям. Договоримся опускать аргумент 2>Уи. у , , 6"(Л) и предполагать, в ходе доказательства, что lyl few. .

Из неравенства (I), рассуждая так же, как при доказательстве леммы 1.3.2, получаем, что

Далее, нетрудно видеть, что - [р 1: № + е[ 1>г?/,9б

Из неравенств (I), (2) следует, что Р G- 51(2) ( с-и. +f ) I « 0 f e-i

VVf^ --dyr'z'fh

- 139 T>fe Г' ъг С Л) « x*ff г*с4 <;,

- (г1rV); & « о.

Осталось проверить неравенство l/iihi J q=L

При 1=0 (3) выполняется в силу условия параболичности (1.2.2). В самом деле, интегрируя по частям, получим

-^aijuLG"uj -tVj G. + Q(zp)j a{i Cr - (4)

WVuj G •«

Пусть теперь (^1 i . Поскольку (ty I - z) +i ^ ий° т. раз дифференцируемы, то очевидно, что

HVpWpcW(«y)fIWJ 2:,-= с

Точно так же, как и в (4), при сделанных предположениях относительно имеем гУ'Ч'^аН> ^ - ^

-^Vj « у). + « (гУ"), & +

Следовательно, xYVaVVi) «

J ' (5)

Далее, отметим, что выражение <3/( ") - не содержит производные и порядка , a Q (гч+i) раз дифференцируемы. Поэтому ясно, что ip/Vz rVuj. rVu; Tpf1 f{I o'} Pe[ - rV.£ / *

-it'/VV/a'ri^. - (6)

-frVu.-h] + f№ G" £ irVuJ1^

Из соотношений (5), (6) следует, что левая часть (3) (при >I ) мажорируется (в смысле-« ) следующим выражением: i яарит. ; где \ Г*РС.

У У

Заметим, что при р-2. и)=£<Э и . Поэтому, пользуясь соотношением u(,vt) и.Сол + 1'> = ((ulm1)2)' и формулой интегрирования по частям, легко убедиться, что

JZ «о.

Следовательно, в силу условия параболичности (1.2 Пусть теперь р>\2 . С помощью неравенства Коши-Буняковского легко проверяется следующий факт:

Если у J(x) * 0 в (*) и ^ имеет одну ограничен, 2 d ную производную по х, xeR , тогда для любой функции ir б С (R ~) x)Vi.(x))2 с д/в*\х)Це<*>Це(х>, где постоянная М зависит только от производных У В силу последней оценки

XIv I * И/ 21 /'> 2yu;e tfvjt i

8) z:

Из неравенства (1.3.6) следует, что

-- Г Р IjrlP / Г— п- „Л -i р 1ЛР

J ' J l&lflit*. J ii/jl^ J 0 J • Выбирая теперь С достаточно малым, из соотношений (7)-(9) легко получить, • Этим лемма полностью доказана.

9)

1. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1941, 5, 5, с.3-41.

2. Wiener Н. Extrapolation, interpolation and smothing of stationary time seres. N.Y: I. Wiley and Sons, 1949.

3. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

4. Fujisaki М., Kallianpur G., Kunita Н. Stochastic Differential

5. Equations for the Nonlinear Filtering Problem. Osaka J. Math., 1972, 9, №1, p.19-40.

6. Крылов H.B., Розовский Б.Л. Об условных распределениях диффузионных процессов. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, 42, №2 с.356-378.

7. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. О задаче Коши для линейных стохастических дифференциальных уравнений с частными производными. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1977, 41, № 6, с.1329-1347.

8. Розовский Б.Л. Об условных распределениях вырождающихся диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1980, 25, № I, с.149-154.

9. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Об эволюционных стохастических уравнениях. В кн.: Итоги науки и техники: Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1979, с.71-146.

10. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. М.: Наука, 1983.

11. Крылов Н.В., Розовский B.JI, 0 характеристиках вырождающихся параболических уравнений Ито второго порядка. В кн.: Тр. семинара им.И.Г.Петровского. М.: Изд-во МГУ, 1982, вып.8, с.153-168.

12. Крылов Н.В. 0 совпадении б'-алгебр в задаче фильтрации диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1979, 24,4, с.771-780.

13. Bensoussan A. Filtrage Optimal des Systeme Lineaires. P.: Dunod, 1971.

14. Розовский B.JI. Стохастические дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах и проблемы фильтрации. Тр. школы-семинара по теории случайных процессов. Вильнюс, 1975, с.147-194.

15. Розовский B.JI. О стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных. Мат. сб., 1975, 96, № 2, с.314-341.j54 Pardoux Е. Equations aux Derivees Partielles Stochastiques non Lineaires Monotones. These, Universite Paris XI ,1975

16. Pardoux E. Sur des Equations aux Derivees Partielles Stochastiques Monotones. C.R.Acad. Sc. Paris. Serie A.O?. 275,№2, 1972, p.101-103.

17. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

18. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969,

19. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

20. Ершов М.П. Последовательное оценивание диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1970, 15, № 4Э с.705-717.

21. Bensoussan A., Lions JtL. Applications des Inequations Varia-tionnelles en Controle Stochastique. Paris : Dunod, cop.1978.

22. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

23. Рисс. Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

24. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

25. Kunita Н. Asymptotic Behaviour of the Nonlinear Filtering Errors of Markov Processes. J.Multivar. Anal.,1971»1,№4, p.365 - 393.

26. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

27. Цирельсон Б.С. Один пример стохастического дифференциального уравнения, не имеющего сильного решения. Теория ве-роятн. и ее примен., 1975, 20, № 2, с.427-429.

28. Clark J.M. Conditions for One-to-one Correspondence Betweenan Observation Process and its Innovation.- Technic.Rep1.1, Centre comput. autom., Imperial College,London,1969.

29. Meyer P.A. Sur un Probleme de filtration. Lect. Notes Math., 1973,321, p.223-247.

30. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

31. Pardoux Е. Integrales Stochastiques Hilbertiennes Univ.

32. Paris-Dauphine, Cahiers de Math, de la Decis. 197бИ°7б17 .

33. Ладыженская O.A., Солонников B.A., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

34. Фрейдлин М.И. О факторизации неотрицательно определенных матриц. Те#рия вероятн. и ее примен., 1968, 13, № 2, с.375-378.

35. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971, I.

36. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.

37. Лоев М. Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

38. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук, думка, 1968.

39. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

40. Benes V.E. Extension of Claris Innovation Equivalence Theorem to the Case of Signal Z is Independent of Noise, witht Math. Program. Study, 197 6,5, p. 2-7.fl 5 Coo <*.5V 0,11

41. Пуртухия О.Г. 0 задаче Коши для линейных стохастических уравнений с частными производными (растущие коэффициенты). Случайный анализ и асимптотические задачи теории вероятностейи математической статистики. Тбилиси: изд-во "Мецниереба", 1984, с.57-71.

42. Пуртухия О.Г. Проблема обновления для вырождающихся диффузионных процессов (растущие коэффициенты). УМН, 1984, т.39, вып.4, № , с.

43. Пуртухия О.Г. О представлении решения задачи Коши. ХУШ школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике, Бакуриани, Тезисы докладов, 1984, с.40.