Об устойчивости некоторых обратных задач в классе положительных решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

/ 3 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

км. М. Е ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ и КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ГРИГОРЬЕВ Евгений Александрович

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ В КЛАССЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(Ьсква - 1993

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. и. Е Ломоносова

Научные руководители - академик А. Н. ТИХОНОВ,

доктор физико-математических наук, профессор А. И. ДЕНИСОВ

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А. Г. ЯГОДА, кандидат физико-матемзтических наук, доцент ЕВ.ЫУЗЫЛЕВ

Ведущая организация - Объединенный институт ядерных

исследований (г. Дубна)

Защита состоится "/£" 1993 года в час.

на заседании специализированного Совета Д. 053. С®. 37 в Московском государственной университете им. и. Е Ломоносова по адресу: 119899, Мгеква, Ленинские горы, МГУ. факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией южно ознакомиться в научной библиотеке факультета 1ШиК во втором учебном корпусе МГУ.

Автореферат разослан " ос-^^аС 1993г.

Ученый секретарь

специализированного Совета Д. 053.05.37, доктор физико-математических на

профессор {{уцоь/} Е. И. Моисеев

ОБЩДК ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению устойчивости в равномерной метрике некоторых обратных задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка параболического и эллиптического типов при наличии априорной информации о неотрицательности их решений. В центре внимания находятся задачи типа обратной по времени задачи теплопроводности. Эта задача является классическим примером некорректно поставленной задачи, она возникает в целом ряде теоретических и прикладных исследований.

Современная теория решения некорректно поставленных задач, основы которой и главные результаты связаны с именами А. Е Тихонова, М. Я Лаврентьева, В. К. Иванова, их учеников и последователей, берет свое начало с работы А. Н. Тихонова (1943)^ где предложен обг^й подход к изучению устойчивости обратных задач на основе теореыы о непрерывности обратного отображения. В соответствии с этим подходом важнейшее значение при исследовании обратных задач имеет априорная информация об искомом решении. В ряде случаев сна позволяет выделить компактное множество в пространстве возможных решений - множество корректности, ка котором вздача является условно корректной. Априорная информация может иметь различный характер. Так, для выделения компактного множества & М. Лаврентьевым в задаче аналитического продоляения использовано условие, равномерной ограниченности; А. а Гончарский и А. Г. Ягода при решении обратных задач астрофизики в дополнение к ограниченности привлекали условие монотонности, выпуклости возможных решений.

Указание априорных, естественных с точки зрения приложений, условий, вводящих задачу в класс корректности, является

Тихонов А. а Об устойчивости обратных задач. - Докл. АН СССР, 1943, т. 39,5,0.195-198.

важной и актуальной проблемой.

Цель работы состоит в доказательстве устойчивости в равномерной метрике задач типа обратной теплопроводности в классе положительных функций и построении алгоритма приближенного ресения обратной по времени задачи теплопроводности, иепользу-юврго априорную информацию о положительности.

Методика исследования. Доказательства устойчивости изучаемых обратных задач основаны на использовании известнрй теоремы об устойчивости обратного отображения и свойств положительных классических решений уравнений параболического и эллиптического типов. Центральное место занимает получение неравенств типа Харнака

Научная новизна. Новыми являются доказанные а работе теоремы об устойчивости по норме пространства С обратной задачи теплопроводности в классе положительных функций; об устойчивости на множестве положительных функций обратной задачи для линейного параболического уравнения 2-го порядка с гладкими коэффициентами; распространение аналогичных результатов об устойчивости положительных решений на класс обратных задач с оператором, обладающим полугрупповым свойством по "вреыеншга-добной" переменной; алгоритм решения обратной задачи теплопроводности, использухкщй условие положительности решения.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы могут быть использованы в дальнейшем развитии теории некорректно поставленных задач, а таЗ*же в приложениях при решении обратных задач математической физики. Выполнение априорного условия неотрицательности функции легко можно контролировать при реализации численных алгоритмов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались ва Всесокзньп школах-семинарах по теории и прилоявниям некорректно поставленных задач СУсть-Варка,Самарканд. Саратов) , на Всесо-

юзноя конференции по обратным задачам и идентификации процессов теплообмена (Уфа),на научных семинарах МГУ по теории некорректных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четьрех глав и списка литературы (79 наименований). Работа изложена на 8$ страницах машинописного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается краткий обзор литературы, обоснована актуальность темы диссертации и изложены основные результата

В первой главе рассматривается обратная по времени (или ретроспективная) краевая задача для уравнения теплопроводности. А именно, требуется найти для (о,т) решение u(x,i) из

U (U (1,*) О ; t 6 to, Т] , (2)

и (Х,т) = . л: е Г°,Л , (3)

по данной ССоЛ Цусть множество решений

уравнения (I), удовлетворяющих (2); Х7+-= ue-IJ^tt>oj.

Справедлива

Лемма 1.2.2. Пусть ««17+ OCX s-fc^M" , o<f<\.

Тогда ^tp и fx, tj и (a, ij

«его, Л -xHf.t-fl

с константой Ca=C,(fyc,T), He зависящей от вьйора U.. Множество корректности задачи (1)-(3) определяет

- б -

Лемма 1.4.2. Пусть Х/+ „ I и: и е1Г( «(*>т) < * *** 1°,И).

Тогда для произвольно взятого фиксированного (о, Т) мнсле-ство 1Т,Ц (*.)-{«(*•*'>■• и е ^ )

компактно в С <1 .

(Здесь и далее для множества { функций двух пе-ременньа повишется множество следов элементов

из У на сечении £ = : Имеет место

Теорема 1.4.1. Пусть С«,-«), ¿7, Ц"+, причем

Тогда для -£„£(<>,7") существует такое г - что

Л «Г*,*.) - еГо,,7 ^ £ ,

причем ■*„)-»£> .если ^-»О.

Пусть , — множество классиче-

ских решений уравнения теплопроводности в полосе множества Ц"* СГД определяются аналогично предыдупдаму.

Лемма 1.3.1. Пусть х^ (о,Т) .Тогда для любого и имеет место неравенство

^ и(-х,т) ^еб—

а в случае ограниченности и при | *! о-»

II1-к т

Определение. Семейство функций = [ $определенных на , обладает А-свойством, если для лабой 1р при |-зс|-»4» равномерно относите,"мо , т.е. \/£>а

существует А>о такое, что УУ.^Тр выполнено неравенство I У(*.>) < г ' ^ только )-гс| > А.

Лемма 1.4.5. Пусть "V4" - множество тех элементов кзЦ"* для которых £ и , -1*»<х<«>, обладает А-сеойством.

°уоть у+ ^ 1 и: иеу* М * )

м (. /

Тогда при ¿«(¿/^множество (£) компактно в

Устойчивость обратной по времени задачи Коыи в классе по-лояательных решений утверждает

Теорема 1.4.2. Пусть - Т). Если

» 7 ЦП - I «к-«,«, * 2-ГЗ;^,

причем £(когда .

Полученные результаты перенесены на многомерный случай, фи Х1~(о)Ох..хГо,^)с^и'показано, что имеют место утверждения. аналогичные леммам 1.2.2, 1.4.2 и теореме 1.4.1.

Дяя случая

справедлива

Лэмыа 1.5.2. Пусть решения уравнения теплопроводности в полосе ^ х" (о}т~]-ш т. е. и е 17+ . Тогда для ~6 е (о,т)

а дет ограниченных при /х/-> <*> решений

где С«, зависит лишь от и. , но не от выбора и..

ймеет место также утверждение об устойчивости обратной задачи, аналогичное теореме 1.4.2.

Вго2§я глава посвящена исследованию устойчивости обратной надата для параболического уравнения общего вида. Рассмотрена задача определения классического решения

= хе.Л-, (б)

где Ч'СгССЯ.) .Л- ограниченная связная область в (^"с границей -эх! из класса С2 , а оператор ¿гГ, имепяяй вид

■ ' »-I •

является равномерно параболическим в $г и имеет в <РТ непрерывные по Гельдеру коэффициенты.

Обратная вадача состоит в определении для (од) функции ** удовлетворяющей (4)-(5), по данной ■((*)■=.

Изучены свойства неотрицательных классических решений уравнения (4), отвечала« условию (5). Совокупность их обозначим . г

В предположении, что функции ^ > -а**. непрерывны по Гельдеру. показана справедливость неравенства :

^ус^р и(С' ¿*4

ятей. (7)

Здесь о<±1<.Ьг.<Т ,

Неравенство (7) использовано при доказательстве следующего утверждения

Теорема 2.2.1. Пусть Тогда множество

а.) (*-,+.): «с-и* и ^ м)

компактно в СС-Л).

Результат об устойчивости обратной задачи для (4).(5) формулируется следующим образом:

Теорема 2.3.1. Если для и выполнено

I и(ъ,т) _ и^,т)Цс(А> С ^ то при существует такая функция сг>(£)

что | й(т,*.) - и*(Ч-0|| с^д, « СО(V .

В третьей главе рассмотрены обратные задачи, которые сводятся к интегральному уравнении 1-го рода. Цусть с/» о > и+^АмЧ] „ где

^«Рв . (8)

-Л

с непрерывным при <а/»о ядром (9)

Предположим, что семейство линейных непрерывных операторов 2 Д ^ ^ образует полугруппу:

^ (10)

Изучается вопрос об устойчивости задачи определения Мр. по из уравнения

и- -= ил (И)

Получена

Теорема 3.2.1. Цусть XI. - связная ограниченная область в /?**, ■- ее подобласть. Цусть выполнены условия (9)-(10),

Тогда если для некоторого ¿Г е (о, ч )

существует такое с , что

/Гг*,*,«5

при любых , то

^ "О""-""'"«),

где АеГоГ <з) . «",' и+> а о при сГ->о+

Здесь использованы обозначения:

/I мЬ = I | ^

Рассмотрены примеры конкретных задач, к которым приложима теорема 3.2.1: ретроспективная задача теплопроводности с граничными условиями 2-го рода, задачи продолжения гармонической функции.

Для случая К введено пространство С(р) непрерывных

на SI Функций тГро , для которых конечна норма

Ц If II (Р) в 3

где р(-х>— + ) £ - натуральное число.

Дли рассмотрении обратной задачи вида (11) для функций, определенных (8), введено множество

Теорема а 4.1. Пусть SX- Rf . выполнена услозия (9)-(10) и Kcz Aj. -о Ы>о . Если для некоторого

JZSzLsL' « с

то существует такая функция

Соф ■ при

где ы (¿а ) ии(г>е [и: цъо} и,«.

Доказанная для S1-I?', теорема а 4.1 аналогичным образом переносится на случай SI- К" . Показано применение этого, варианта теоремы для задачи определения значений и Ljo е <о, Y)) регулярного з полупространстве xir*

у >oj решения уравнения Лапласа по его значениям Установлено, что V с/е-. U+

и(ъу.) )и кос, У) , осу.< V.

Теорема а 4.1 может быть перенесена на случай неограниченного множества SX-Ф R"1 . В качестве примера рассмотрена обратная по времени задача для уравнения теплопроводности на полупрямой х>о с граничным условием '-J(o,±> - о . Шказана устойчивость в классе положительных функций (при дополнительном условии на поведение решений при -х), причем получена сценка : fe'wfc XJ+

и«.«*

Б четвертой главе рассмотрены вопросы построения приближенного решения обратной задачи теплопроводности на отрез;се при априорном условии неотрицательности решения.

Для решения ярямой задачи, удовлетворяющего (1)-(2),справедливо представление 1

и (V. т) ~ $ Vт- * > иЪ*> , . (1г)

° эсер»,<7, 0<+<Т,

где , _гя»Ч

Л 2.- -С -Яч -

Для С О», Л введен функционал

где фиксированы, а черев обозначен образ ви-

да (12) для функции ус-зо

Определение. Обобщенный решением обратной задагл (1)-(3) па множестве Яр называется р е "ф :

Теорема 4.2.2. Пусть ^е С+Г<м7 ^ ОчЛ.

обобщенное решение обратной задачи сузцеет-

Еует.

Далее рассмотрена следупцая постановка; Задача Дана пара , где * ^ "г>>0, причем

известно, что ^ является 5 -приближением некоторого г- и^г).

а?-Лее*,п . /

Для найти такую функцию . чтобы

т) удовлетворяла неравенству

где о- при

£ ,

На отрезка /о, Л введена сетка ^н • , образованы линейные комбинации я_,

где

С с^о, ^о=

{а к - <3 £ * 1 - вектор коэффициентов.

С учетом (12) и определения обобщенного решения осуществлен переход к постановке,позволяющей дать конструктивный подход к решению задачи .1: а

Задача 2^ Для ^е С с"°(Л найти такой вектор о* из положительного ортанта £гг: ¿ГеЯ*"' Ок^о^ чтобы

Доказана ^

Теорема 4.3.3. Пусть и - обобщенное решение обратной задачи теплопроводности на множестве 1ГЧ+), - функция

вида (13). где а* определяется из (14). Тогда

является устойчивым приближением обобщенного решения на множестве положительных функций.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1) Доказаны теоремы устойчивости в равномерной метрике в классе положительных функций обратной по времени задачи для уравнения теплопроводности на .отрезке (с краевыми условиями первого рода) и на прямой.

2) Доказана теорема об устойчивости в пространстве непрерывных функций С положительных решений обратной задачи для линейного уравнения 2-го порядка параболического типа с гладкими коэффициентами при граничных условиях первого рода.

3) Исследована устойчивость в метрике С положительного решения интегрального уравнения 1 рода специального вила; на основе этого изучен ряд обратных задач для уравнений Лапласа и теплопроводности.

4) Предложи алгоритм приближенного решения обратной по времени задачи для уравнения теплопроводности, использующий априорную информацию о неотрицательности решения.

Осповные результаты опубликованы в работах:

1. Григорьев Е. А. Об устойчивости положительных решений обратных задач для уравнения теплопроводности.. - В сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. - М., изд. ЫГУ.1980.С. 5-6.

2. Григорьев Е. А. Об устойчивости обратной по времени задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе положительных решений. - Дифференц. Уравнения,1981,т. 17,7,с. 1250-1255.

3. Григорьев Е. А. Об устойчивости положительных решений обратных задач теплопроводности. - ЖОДиШ, 1982, т. 22,6, с. 15081513.

4. Григорьев Е. А. Устойчивость положительных решений одного класса задач.приводящихся к интегральноиу уравнению 1 рода. -В сб.: Методы решения некорректных задач и их приложения. -Новосибирск,1982,с. 199-201.

5. Григорьев Е. А. Устойчивость одной сбратной задачи для параболического уравнения.- В сб.: Теория и методы решеция некорректно поставленных задач и их прилояэния. - Новосибирск, 1983, с. 86-87.

6. Григорьев Е. А. Об одной еадаче обратной теплопроводности. - В сб.: Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена- Уфа. 1984, с. 27.

7. Григорьев Е. А. Об устойчивости одной обратной задачи для параболического уравнения. - Budapest, AnruUilv. Sel. ,soct. Conputatorlca, 1984.5, р. 3-9,

8. Григорьев К А. О линейных задачах типа обратной задачи теплопроводности. - В сб.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач.- Саратов, 1985,с.55.

9. Григорьев Е. А. Один класс корректности для обратно параболического уравнения. - В сб.: Применение ЭВМ для решения задач математической физики.- М..изд.МГУ, 1985,с. 18-24.