Об устойчивости осесимметрических решений одной математической модели движения вязкой несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

ГУВИН АЛЕКСЕЙ ЮРЬЕВИЧ

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико - математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Новосибирского Государственного Университета и в лаборатории качественной теории дифференциальных уравнений Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук, профессор Зеленяк Тадей Иванович.

Научный консультант:

доктор физико - математических наук, профессор Лаврентьев Михаил Михайлович-мл.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Григорьев Юрий Николаевич;

кандидат физико - математических наук Саженков Сергей Александрович.

Ведущая организация:

Красноярский Государственный Университет (г. Красноярск).

Защита состоится < > О^Л?2004 года в часов на заседании Диссертационного Совета Д 212.174.02 при Новосибирском Государственном Университете по адресу: 630090, Новосибирск - 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского Государственного Университета.

« /А ¿¿Луг?*

Автореферат разослан

2004 года.

Учёный секретарь Диссертационного Совета, доктор физ. - мат. наук

Макаренко Н.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Вихри в природе и технике известны давно. Это своеобразное и сравнительно легко наблюдаемое гидродинамическое явление привлекало внимание многих исследователей. Вихревые движения ограниченные твёрдыми стенками получили широкое распространение в технике, причём устройства, использующие закрученные потоки газа или жидкости, обычно существенно увеличивают интенсивность процесса и, тем самым, его экономическую эффективность. Однако, несмотря на большое число работ, посвященных изучению вихревых движений, ряд вопросов остается открытым.

Рассмотрение математических вопросов, связанных с изучением гидродинамических процессов в приосевой зоне1 вращения жидкости в вихревой камере, приводит к задаче о протекании жидкости через заданную область, на границе которой имеются участки втекания и вытекания. Первые результаты в этом направлении для движения идеальной несжимаемой жидкости были получены Н. Е. Кочиным2, где в качестве дополнительного граничного условия предложено задавать все компоненты вихря вектора скоростей на участке втекания. В работах В. Заячковски и А. В. Кажихова показано, что задача, изучавшаяся Н. Е. Кочиным, является переопределённой и в ней произвольно можно задавать только касательные составляющие вихря скорости. В работах А. В. Кажихова доказывается существование решений в задаче протекания Идеальной несжимаемой жидкости при задании физически более обоснованного условия, когда на участке втекания задаётся полный вектор скоростей, а на участке вытекания его нормальная составляющая или давление.

Несмотря на то, что для движения идеальной несжимаемой жидкости удалось найти корректные постановки задач протекания, даже в этом модельном случае соответствующие теоремы существования имеют локальный характер. Для вязкой жидкости удовлетворительной теории пока нет. Основная трудность заключается в правильной постановке граничных условий на участке вытекания. Например, в монографии О. А: Ладыженской для преодоления этой трудности сначала рассматриваются задачи с условиями непротекания на всей границе и некоторыми условиями на начальные данные, а затем делается распростране-

1 Течение в вихревых камерах принято разбивать на зону пограничных слоев, периферийную зону и приосевую зону.

2 Ссылки на эту и другие работы указанные ниже можно найти, например, в книге Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей — Новосибирск: Наука, |

1пдд - *• >■ - ■ II ■ ■

Пос. национальная | I БИБЛИОТЕКА I

! ¿»яьзц

3

ние результатов на случай неоднородных граничных условий (то есть задачи протекания через заданную область), но при этом возникает требование малости норм граничных условий.

Одним из способов преодоления трудностей при изучении качественных свойств решений и численных расчетах является использование априорных предположений о характере движения вязкой жидкости и геометрии рассматриваемой области. Наиболее распространённым действием является рассмотрение класса движений с определёнными свойствами (например, обладающие симметрией или не зависящие от одной из пространственных переменных). В ряде экспериментальных работ описаны опыты, в которых за счёт выбора геометрии вихревой камеры были получены вихри с цилиндрической приосевой зоной, а поле скоростей существенно изменялось по осевой координате только вблизи торцевых крышек. Эти работы указывают на физическую обоснованность предположений, которые часто используются для описания поля скоростей приосевой зоны вихря вязкой несжимаемой жидкости. Суть этих предположений в том, что приосевая зона является цилиндром радиуса го, а вектор скоростей в цилиндрических координатах имеет вид:

u = u(r,t), v = v(r,t), Wc = Wcl(r,t) + Wc2{r,t)z, (1)

где и, v, wc — соответственно радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей. При этом из системы уравнений Навье — Стокса вытекает, что давление имеет представление

Р =Po(r,Î) +Pl(t)z +P2(t) у.

Эти предположения позволили не только упростить систему уравнений Навье — Стокса, но и корректно поставить краевую задачу, задавая, помимо условий Дирихле на боковой поверхности цилиндра дополнительное условие только на одном торце цилиндра.

Рассмотрением задач для семейства решений вида (1) занимались R. Sullivan, W. Lowellen, М. А. Гольдштик, В. И. Кислых, Т. И. Зеле-няк, В. С. Белоносов, Н. Э. Кейльман и другие. На основе этих постановок задач производится расчёт вихревых камер, которые, например, используются при разработке новых биотехнологий, обеспечивающих мягкие условия перемешивания суспензии клеток при высокой скорости межфазного обмена.

От системы уравнений для семейства решений вида (1), в которую преобразуются уравнения Навье — Стокса, полностью отделяется урав-

нение для радиальной компоненты вектора скоростей, решение которого входит в остальные уравнения системы в качестве коэффициентов. По этой причине уравнение для радиальной компоненты вектора скоростей является в определённом смысле ключевым уравнением системы, а его решение наиболее изученным. Однако, несмотря на достаточно большое количество работ, многие вопросы, связанные с изучением уравнений для тангенциальной и осевой3 компонент вектора скоростей оставались открытыми. Не изучен вопрос о разрешимости нестационарных начально-краевых задач (так же как и последующее исследование вопроса об устойчивости) для этих компонент вектора скоростей;

Цель работы Основными целями настоящей диссертации являются: выделение семейства решений специального вида для системы уравнений Навье - Стокса, постановка корректной начально-краевой задачи для этого семейства решений и исследование вопросов устойчивости её стационарных решений.

Методы исследования При решении рассматриваемых задач широко используется аппарат функционального анализа (например, разложение по собственным функциям, методы последовательных приближений, неподвижной точки и оценок обратного преобразования Лапласа) и качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна В диссертации получены новые результаты о существовании решений системы уравнений Навье — Стокса специального вида

Для этого семейства решений преобразована система уравнений Навье — Стокса, а, кроме того, поставлено более слабое, чем в работах других авторов, дополнительное краевое условие, задающее производную по нормали от давления только в одной точке торцевой крышки цилиндра, которое в декартовых координатах имеет вид

йР сЬ 3

= рю(*). (3)

г1=М=®з=0

Изучен вопрос о корректности постановки граничных условий. Конечным результатом исследования является изучение вопросов устойчиво-

3Слагаемое wC2 осевой компоненты связано с радиальной компонентой и тождеством, которое вытекает из уравнения неразрывности. Поэтому здесь говоря про осевую компоненту мы имеем ввиду слагаемое .

сти, для чего необходимо иметь теоремы существования и равномерные по времени оценки для решения. В силу того, что полученные уравнения имеют ряд особенностей (в первую очередь это вырождение уравнений в точках границы, а также нелинейность и наличие интегральных слагаемых), нет возможности сослаться на классические теоремы существования из теории уравнений с частными производными.

Основные результаты На защиту выносятся следующие основные результаты:

[1.] Выделен класс решений системы уравнений Навье — Стокса вида (2), для которого преобразована система уравнений и поставлен замкнутый набор начально-краевых условий.

[2.] Доказано существование обобщённых и регулярных решений начально-краевой задачи для уравнений из системы уравнений На-вье — Стокса для тангенциальной и осевой компонент вектора скоростей, который имеет вид (1).

[3.] Доказана разрешимость полученной системы уравнений для поля скоростей вида (2) в окрестности одного стационарного семейства решений. Кроме того, доказана корректность постановки дополнительного граничного условия (3).

[4J Для поля скоростей вида (1) проведено полное исследование устойчивости стационарных решений для тангенциальной компоненты и исследование некоторых семейств стационарных решений для осевой компоненты. Найден пример поля скоростей, у которого устойчивость нарушается только по осевой компоненте поля скоростей, а по другим компонентам сохраняется.

[5.] Для поля скоростей Вида (2) получен критерий сохранения результатов устойчивости, которые были полученные для более узкого класса решений вида (1).

Апробация работы Результаты работы докладывались на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике «ИНПРИМ-98» (Новосибирск, 1998), Международной конференции «Ill-posed and inverse problems» (Новосибирск, 2002), а также на семинаре лаборатории качественной теории дифференциальных уравнений Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, семинаре «Математические проблемы механики сплошной среды» Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

Публикации По теме диссертации автором опубликовано 5 печатных работ.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Общий объём диссертации 122 страницы. Библиографический список насчитывает 40 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведён обзор результатов работ по вопросам, которые рассматриваются в диссертации. Сформулированы поставленные задачи и полученные в диссертации результаты.

Глава 1 носит вводный характер и посвящена постановке начально-краевых задач, которые рассмотрены в диссертации. Для этого, в начале главы сформулированы начальные предположения о характере движения жидкости и области, в которой это движение рассматривается. Предполагается, что областью протекания является цилиндр радиуса го и в декартовых координатах (где ось совпадает с осью

цилиндра) движение жидкости удовлетворяет следующим условиям:

1) движение жидкости происходит без разрывов и инвариантно относительно вращения вокруг оси цилиндра;

2) у вектора скоростей в декартовых координатах компонента из является линейной функцией по переменной хз;

3) вектор Щ и давление Р(х1,х2,хз,£) удовлетворяют уравнениям Навье — Стокса;

4) вектор скоростей Ш удовлетворяет начальным данным при t = 0 и стационарным условиям Дирихле на боковой поверхности цилиндра Г = {х1 + = Го}, которые имеют схожую с отыскиваемым решением структуру и удовлетворяют условиям согласования.

Из сделанных предположений непрерывности и симметрии следует, что должны выполняться условия регулярности

^(0,0, х3,*) = и2(0,0,х3,*) =0,

которые можно интерпретировать как отсутствие источников или стоков на оси цилиндра.

Затем, используя сделанные предположения, уточняется вид отыскиваемых решений: доказано, что вектор скоростей и давление в цилиндрических координатах будет иметь вид (2). Не трудно заметить, что такое семейство решений уравнений Навье — Стокса является вполне естественным обобщением решений вида (1). Для выделенного семейства решений преобразована система уравнений Навье — Стокса путём

замены пространственной переменной и искомых функций (которая является прямым аналогом замены предложенной Р. Сулливеном для семейства решений вида (1))

для которых выписывается система уравнении

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9) (10)

(11)

где р = const > 0 — плотность, и = const > 0 — кинематическая вязкость.

Система уравнений (4) - (11) распадается на две подсистемы (6), (8), (9) и (5), (7), (10), а также тождество (4) и уравнение (11). Если функции F и 0J известны, то из уравнения (11), с точностью до слагаемого зависящего только от t, определяется функция Q0, а из тождества (4) однозначно пределяется функция гиг- Поэтому в дальнейшем тождество (4) и уравнение (11) исключаются из рассмотрения. Отметим только, что при помощи тождества (4) граничные условия, задаваемые

для 1У2, переносятся на Рх. Кроме того, тождества (4) даёт условие согласования наложенное на начальные данные для функций юз и Г.

Для новых введённых функций выписываются начальные данные, преобразуются стационарные условия Дирихле на боковой поверхности и условия регулярности на оси цилиндра

где 0211 011) «>11 — константы. Естественно, что после сделанной замены будут сохраняться условия согласования.

Простым подсчётом получаем, что количество краевых условий в (12) - (15) на единицу меньше, чем сумма порядков производных по пространственной переменной в уравнениях (5) - (10). Таким образом, для получения замкнутого набора граничных условий не хватает одного условия, которое естественно ставить на торцевых крышках цилиндра. В последнем пункте главы 1 приводятся рассуждения о том, для каких функций это условие можно поставить, чтобы не переопределить задачу. Кроме того, ставится условие (3), которое для введённых функций примет вид

<21М = д1(г). (16)

Глава 2 посвящена рассмотрению семейства решений, у которого в2 = 0, что соответствует полю скоростей вида (1). При этом из уравнений (9), (10) следует, что (^(х,*) = 51 (4), = а полученная система уравнений примет вид

Fxt = xFx:

(Н

Fxx —

я2

вц = x6ixx + — 01Х,

+

(И

+ 92,

Wit - XWUx

где функция д2(0 — неизвестна, a qi(t) — задана условием (16).

(17)

(18) (19)

В параграфе 2.1 выписана, рассматриваемая на протяжении всей главы 2, начально-краевая задача для уравнений (17) - (19) с условиями (12), (14), (15). Кроме того, введены обозначения стационарных решений соответствующих задач, сделаны дополнительные предположения об их существовании и указаны некоторые их свойства. Используя результат работ В. С. Белоносова и Т. И. Зеленяка о существовании классического решения задачи (17), (12), в главе 2 исследуются вопросы существования и устойчивости решений начально-краевых задач для уравнений (18), (19). Поскольку применяемая техника рассуждений для этих задач отличается незначительно, то в главе 2 подробные доказательства проводятся для решений уравнения (19), а для решений уравнения (18) только конечный результат.

Кроме того, в параграфе 2.1 проводится преобразование начально-краевой задачи (19), (15) путём подстановки функций

wt - Аи = uit - xuixx + ujx —^-cj = /(i, t) + V(w), (20)

ш(ж,0) = Wio(x) — W{x) = w0(x), w(M) = 0, sup |w(a:,t)| < oo, (21)

I6[0,l]

где G(x), W{x) — стационарные решения задач (17), (12) и (19), (15) соответственно, а в правой части уравнения (20) использованы следующие обозначения

2У(У) = ФгУ-ФУг, f(x,t)=q.{t)+V{W), 9.(t) =?i(0-fa,

здесь 9оо — заданная константа, которая стоит в уравнении (19) вместо 91(£) при нахождении стационарного решения Ж(х). Кроме того, в главе 2 будет рассматриваться линеаризованная задача

с начально-краевыми условиями (15). Несмотря на то, что слагаемое У(о») является линейным по w, уравнение (22) мы будем называть линеаризованным потому, что уравнение (20) рассматривается в системе с уравнением (17) (линеаризацию которого мы не проводим поскольку функцию считаем найденной), а следовательно слагаемое

является нелинейным.

F(x,t) = G(i) + $(i,i), wi(x,t) = ТУ(х) + u)(x,t).

При этом задача запишется в виде

— Аи — f(x,t)

(22)

В параграфе 2.2 изучается вопрос о существовании и единственности обобщённых решений начально-краевых задач (18), (14) и (19), (15). В пункте 2.2.1 введены пространства обобщённых функций, которые используются в дальнейшем. Кроме того, опираясь на одну теорему вложения из работы С. М. Никольского, формулировка которой приведена в одномерном случае, доказано вложение одного из введённых пространств в пространство С[0,1]. В пункте 2.2.2 рассматривается билинейная форма связанная с оператором А из линеаризованного уравнения (22), для которой показано, что она является скалярным произведением и индуцирует эквивалентную норму в пространстве, которое в пункте 2.2.1 было введено как Банахово.

В пункте 2.2.3, используя решение вспомогательной задачи Ко-ши (существование и единственность аналитического решения которой доказывается здесь же), доказано существование самосопряжённого, вполне непрерывного оператора для некоторого достаточ-

но большого положительного значения р. Опираясь на это, доказано, что спектр оператора А состоит только из собственных значений, которые расположены на действительной оси и не имеют конечных, точек сгущения, а соответствующие им собственные функции являются аналитическими. Кроме того, используя разложение по собственным функциям оператора Л, доказано существование аналитического стационарного решения краевой задачи для уравнения (19) с граничными условиями из (15).

В пункте 2.2.4 дано определение обобщённых решений для задач (18), (14) и (19), (15) и, используя разложение по собственным функциям оператора Л, доказана теорема о существовании и единственности обобщённого решения начально-краевой задачи (22), (21). Затем, применяя метод сжимающих отображений, доказана теорема существования и единственности обобщённого решения начально-краевой задачи (19), (15), которое будет удовлетворять оценке

1 \ Х!2 / Т 1 \

вир I I (хи>1 + ш2) ¿х\ +[/ +х2и%х+и?)<1х<и] о / \о о

1 \ !/2

о<г<Т \./ /

<С(Т)

Г(хшох + "о) ^ + ||Фг|ис + 1ыи

, (23)

где ||д»|и — нормапространства2^(0,Г), ||Ф*||£С — нормапространства ¿г (0, Т; С[0,1]), а константа С(Т) может быть выбрана не зависящей от

Т, если все собственные числа оператора А из уравнения (22) отрицательны. В оценке использованы обозначения функций введённых для задачи (20), (21). Кроме того, в пункте 2.2.4 приведена без доказательства теорема о существовании и единственности обобщённого решения задачи (18), (14).

В параграфе 2.3 изучается вопрос о существовании и единственности регулярного решения начально-краевой задачи (19), (15) и классического решения начально-краевой задачи (18), (14). Для этого в пункте 2.3.1 вводятся в рассмотрение весовые пространства функций одной и двух переменных, которые будут использоваться в дальнейшем. В частности, определяются: пространство С^О, 1] — замыкание пространства С^О, 1] по норме Hit = ||VSwzlU,o + 1М1«,о» пространство С2[0,1] — замыкание функций из С2 [0,1] удовлетворяющих условию w(l) = 0, по норме IMIs = WXbJxx\\xfl + llalli,о; здесь и далее || • ||г)о норма по переменной х в пространстве С^О, 1].

Отметим, что не всякая функция П(х), которая имеет конечную норму Н^Иг < будет принадлежать пространству С2 [0,1]. Это следует из того, что любая функция ы(х) 6 С2[0,1] удовлетворяет свойству

lim хыхх = 0.

Z-++0

Аналогичное рассуждение справедливо и для пространства С1 [0,1].

В пункте 2.3.2 автор напоминает определение и некоторые свойства модифицированных функций Бесселя, а также доказывает необходимое в дальнейшем неравенство для модифицированных функций Бесселя, которое не было обнаружено в общедоступной литературе по специальным функциям. В пункте 2.3.3 получены оценки для резольвенты оператора А из линеаризованного уравнения (22). Для этого рассматривается задача со спектральным параметром

Aw - Аш = д(х), ы(1) = 0, sup |ш(х)| < оо, (24)

ieo.1]

для которой доказано, что для любого е > 0 существует Ао > 0 такое, что для любого А € {| arg Л| < 7Г - е, |А| > А0 } и любой /(х) £ С[0,1] существует единственное в пространстве С2[0,1] решение задачи (24) и это решение будет удовлетворять оценкам

1Мко<щ||/||х,о, IMIí^^ll/Iko, IMI§< CII/II*.о.

Кроме того, если /(х) 6 С1 [0,1] и /(1) = 0 , то

Во всех оценках константа С не зависит от А.

Сначала аналогичные оценки получены для модельного уравнения.

Аш - (хых)х = д(х),

доказательство которых опирается на свойства модифицированных функций Бесселя (через них выражается ядро оператора в интегральном представлении решения модельного уравнения). Переход от модельной задачи к задаче (24) осуществляется методом последовательных приближений.

В пункте 2.3.4 определено понятие регулярного решения начально-краевой задачи (19), (15) и указывается на его единственность, которая следует из тою, что регулярное решение является также обобщённым решением этой задачи, единственность которого доказана в пункте 2.2. Затем, применяя метод оценок обратного преобразования Лапласа, который был разработан в работе В. С. Белоносова и Т. И.Зеленяка, доказывается теорема о существовании и единственности регулярного решения начально-краевой задачи для линеаризованной задачи (22), (21), используя которую доказаны следующие результаты: теорема о существовании и единственности регулярного решения начально-краевой задачи (19), (15) и новая оценка для обобщённого решения этой же начально-краевой задачи. Отличие новой оценки для обобщённого решения от оценки (23) заключается в том, что в правой части оценки вместо нормы пространства L¡(0,T) от функции q,(t) будет стоять норма пространства C[0,^. Вполне естественно, что при любом конечном Т справедливо вложение С[0, Т] -L/О, T). Однако доказываемые оценки решения нам нужны для исследования вопроса устойчивости решения при t +оо, а для интервала t € [0,4-оо) нетрудно привести пример функции g„(t), которая принадлежит одному из пространств (<7[0, +оо) или и не принадлежит другому, даже если эта функция непре-

рывна. Таким образом нельзя сказать, что оценка (23) сильнее (или слабее) чем новая оценка. Правильнее будет сказать, что они друг друга дополняют.

Кроме того, в пункте 2.3.4 приведена формулировка теоремы о существовании и единственности классического решения начально-краевой задачи для уравнения (18).

В параграфе 2.4 рассматриваются вопросы об устойчивости стационарных решений системы (17) - (19) с граничными условиями из (12), (14), (15). В частности, в пункте 2.4.1 дано определение устойчивости в пространстве С1 [0,1] пары функций, которые являются стационарными решениями краевой задачи для уравнений (17), (18) и доказана теорема указывающая на то, что решение уравнения (18) не нарушает границы устойчивости определяемой решением уравнения (17).

В пункте 2.4.2 исследуется устойчивость стационарных решений уравнения (19), соответствующих стационарным решениям уравнения (17) — функциям С?(х), которые удовлетворяют одному из следующих условий: С(х) = ах или удовлетворяет неравенствам С?х(0) > 0 и С?а:х(0) > 0. Относительно таких стационарных решений уравнения (17) известны результаты об устойчивости, полученные Н. Э. Кейльманом, которые приводятся в подпункте 2.4.2, где также даны определения устойчивости стационарных решений уравнения (19) в пространствах обобщённых и регулярных функций. В подпункте 2.4.3 исследуется поведение спектра оператора А из линеаризованного уравнения (22) соответствующего выше указанным функциям О(х). Основываясь на этом исследовании и оценках из теорем о существовании и единственности решения уравнения (19), доказанных в предыдущих параграфах, в подпункте 2.4.4 доказывается следующее:

1) устойчивы любые стационарные решения уравнения (19), соответствующие функциям С(х), которые удовлетворяют неравенствам <?х(0) > 0 и Схх{0) > 0 или <?(х) = ах при а > -2;

2) стационарные решения уравнения (19) неустойчивы, если С?(х) = ах при а < —2.

Таким образом показано, что при выполнении условий, которые были сделаны в главе 1, устойчивость по осевой компоненте вектора скоростей может нарушаться раньше, чем по другим его компонентам.

В главе 3 рассматривается семейство решений вида (2), при 02 ^ 0, удовлетворяющее системе уравнений (5) - (10). Изучению вопроса существования и единственности решений этой системы уравнений посвящён параграф 3.1. Система уравнений (5) - (10) распадается на две подсистемы, одна из которых связывает функции .Г(х,£), вг{х,{) и а другая функции ^(х, £), в\(х,<) и В пункте 3.1.1 преобра-

зуются уравнения первой из указанных выше подсистем. Исключая из рассмотрения функцию С?получаем систему уравнений

3 = хГхх + ^-IУ*'1) ¿х + д2(*)х, (25) о о

(26)

где функция выражается путём интегрирования уравнения (25) по переменной я от 0 до 1 с учётом граничных условий из (12). Кроме того, в пункте 3.1.1 вводится обозначение рассматриваемого семейства стационарных решений системы уравнений (25), (26) — пары функций (0(х),0), где компонента соответствующая функции 02 тождественно равна нулю, а компонента соответствующая функции Г — функция С(х), также как в главе 2, будет являться стационарным решением уравнения (17).

Система уравнений (25), (26) имеет ряд особенностей (такие как нелинейность, вырождение в точках границы, а так же наличие интегральных слагаемых), которые не позволяют использовать классические результаты о разрешимости задач для параболических уравнений. Поэтому в пункте 3.1.2, для системы уравнений (25), (26) с начальными данными и стационарными граничными условиями (12), (13) доказана теорема существования и единствености классического решения в окрестности стационарного решения (0(х),6). Выбор такого стационарного решения обусловлен следующими соображениями. Во-первых, свойства стационарных решений системы уравнений (25), (26), у которых компонента соответствующая функции 02 не равна нулю не исследованы. Во-вторых, линеаризация системы уравнений (25), (26) на стационарном решении (0(х),0) приводит к системе из двух отделённых друг от друга задач, одна из которых была изучена в работе В. С. Белоносова и Т. И. Зеленяка.

В пункте 3.1.3 приведено доказательство теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи для подсистемы уравнений связывающих функции которое

существенно опирается на результаты главы 2. При этом в качестве дополнительного условия на торце цилиндра рассматривалось условие (3). Таким образом доказана корректность постановки условия (3) для задачи протекания, которая определена в главе 1.

Параграф 3.2 посвящен изучению вопроса о том, насколько, для пары стационарных решений (0(х),0)! появление нетривиальной функции #2 (х, 0 ^ 0 меняет границы устойчивости, которые определяются функцией О(х). В пункте 3.2.1 получено сравнительно легко проверяемое, например численными методами, достаточное условие того, что граница устойчивости не изменяется. Это условие заключается в про-

= Х02хх + "2^21--2*02

верке неравенства

J £<*«(£) > 0 при любом х G [0,1].

Несмотря на то, что проведённый анализ устойчивости не является исчерпывающим по отношению ко всем стационарным решениям G(x), полученному условию удовлетворяют все наиболее изученные стационарные решения уравнения (17). В пункте 3.2.2, при условии устойчивости пары стационарных решений (G(x),0), рассмотрены возможные варианты сохранения результатов об устойчивости функций w1 (ж, t) и 6i(xtt), которые были получены в параграфе 2.4.

Публикации автора по теме диссертации

[1] ГУБИН А.Ю. Об устойчивости одного семейства вихревого движе-

ния вязкой несжимаемой жидкости // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) посвященный памяти С. Л. Соболева, Тез. докл., Ч. 1. — Новосибирск, ИМ СО РАН, 1998, С. 13.

[2] ГУБИН А.Ю. Об устойчивости одного решения уравнений Навье —

Стокса Ц Ред. «Сиб. мат. журн.», 2000, 19 с. — Деп. в ВИНИТИ 22.11.2000 №2974.

[3] GUBIN A. Yu. About one class solutions of the Navier - Stokes

equation 11 ILL-POSED AND INVERS PROBLEMS, international conference dedicate to prof. M. M. Lavrent'ev, August 5-9, 2002, Abstracts — Novosibirsk, Sobolev Institute press, 2002.

[4] ГУБИН А.Ю. Об устойчивости одного вихревого движения вяз-

кой несжимаемой жидкости // Сиб. журн. индустр. математики, Т. VII, №2(18), апрель-июнь 2004, С. 40-53.

[5] ГУБИН А.Ю. Об одной математической модели движения вращаю-

щейся вязкой несжимаемой жидкости///Препринт, Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2004.

Подписано в печать 10.08.04. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 396.

Отпечатано в типографии издательства СО РАН, 630090, Россия, Новосибирск, Морской проспект, 2.

# 15 8 0 0

Введение

1 Вывод уравнений и постановка граничных условий

1.1 О классе рассматриваемых решений.

1.1.1 Предварительные предположения.

1.1.2 Уточнение класса рассматриваемых решений

1.2 Постановка начально-краевой задачи.

1.2.1 Замена Р. Сулливена.

1.2.2 О дополнительных граничных условиях.

2 Частное семейство решений: случай 9(х,Ь, г) = 9\{х,{)

2.1 Постановка рассматриваемых задач.

2.2 Обобщённые решения.

2.2.1 Пространства обобщённых функций.

2.2.2 О гильбертовости пространства К2.

2.2.3 Обратный оператор.

2.2.4 Теоремы существования и единственности.

2.3 Регулярные решения

2.3.1 Пространства функций.

2.3.2 О модифицированных функциях Бесселя.

2.3.3 Оценки для резольвенты.

2.3.4 Теоремы существования и единственности.

2.4 Об устойчивости частных семейств стационарных решений

2.4.1 Об устойчивости функции в.

2.4.2 Определения устойчивости функции и>\ и предварительные рассуждения.

2.4.3 О поведении спектра оператора А.

2.4.4 Теорема об устойчивости функции w\.

3 Общий случай рассматриваемых решений (#2 ф 0)

3.1 О разрешимости начально-краевой задачи.

3.1.1 Преобразование уравнений.

3.1.2 Теоремы существования и единственности.

3.1.3 О достаточности задания условия (1.2.14)

3.2 К вопросу об устойчивости.

3.2.1 Об одном достаточном критерии сохранения границ устойчивости

3.2.2 Об устойчивости функций w\(х,t) и в\(я, t)

Вихревые движения часто встречаются в природе и хорошо известны в технике. Это своеобразное и относительно легко наблюдаемое гидродинамическое и газодинамическое явление привлекало внимание многих исследователей. Из курса гидродинамики (например, [1], [2]) хорошо известно такое явление как вихревые дорожки Кармана, а также утверждения, которые называются кинематическими и динамическими теоремами Гельмгольца о вихрях. В работе М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [3] изложены результаты по исследованию кольцевых вихрей и указаны направления их дальнейшего изучения. Однако, несмотря на большое число работ, посвящённых изучению вихревых движений, ряд вопросов остаётся открытым.

Вихревые движения ограниченные твёрдыми стенками получили широкое распространение в технике, причём устройства, использующие закрученные потоки газа или жидкости, обычно обеспечивают существенное увеличение интенсивности процесса и, тем самым, его экономической эффективности. В настоящей работе рассматриваются математические вопросы, связанные с изучением гидродинамических процессов вблизи оси вращения жидкости в вихревой камере, в которой частицы жидкости движутся по спиральным траекториям и выбрасываются через отверстия в торцевых крышках. Вихревые камеры такого типа используются при разработке новых биотехнологий, обеспечивающих мягкие условия перемешивания суспензии клеток при высокой скорости межфазного обмена [4] - [6]. Течение в вихревых камерах принято разбивать на зону пограничных слоев, периферийную зону и приосевую зону.

Рассматривая движение жидкости в приосевой зоне вихря, мы приходим к задаче о протекании жидкости через заданную область, на границе которой имеются участки втекания и вытекания. Первые теоретические результаты в этом направлении для движения идеальной несжимаемой жидкости были получены Н. Е. Кочиным [7], где в качестве дополнительного граничного условия было предложено задавать все компоненты вектора вихря скорости на участке втекания. В работах В. Заячковски [8] и А. В. Кажихова [9] показано, что в задаче, изучавшейся Н. Е. Кочиным, произвольно можно задавать только касательные составляющие вихря скорости. Кроме того, в работах А. В. Кажихова доказывается корректность постановки задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости при задании на участке втекания всего вектора скоростей, а на участке вытекания — давления [10] или нормальной составляющей вектора скоростей [11]. Указанные результаты А. В. Кажихова также изложены в работе [12].

Таким образом, для движения идеальной несжимаемой жидкости удалось найти физически обоснованные и корректные постановки задач протекания. Однако, даже в этом модельном случае соответствующие теоремы существования имеют локальный характер. Для вязкой жидкости сделано значительно меньше, и многие вопросы остаются открытыми. Основная трудность заключается в правильной постановке граничных условий на участке вытекания. Один из способов преодоления этой трудности при изучении качественных свойств решений и численных расчетах является использование априорных предположений о характере движения жидкости и геометрии рассматриваемой области. Например, в монографии О. А. Ладыженской [13] сначала рассматриваются задачи с условиями непротекания на всей границе и некоторыми условиями на начальные данные, а затем делается распространение результатов на случай неоднородных граничных условий (то есть, получаем задачу протекания через заданную область), но при этом возникает требование малости норм граничных условий.

В работе [14] приведены результаты экспериментов с визуализацией приосевой зоны вихря дымом. Из фотографий видно, что приосевая зона вихря представляет собой цилиндр. В работе [15] экспериментально установлено, что при некоторых условиях радиальная и тангенциальная компоненты вектора скоростей существенно изменялись по осевой координате только вблизи торцевых крышек. В работе [14] также описан эксперимент по изучению поля скоростей в длинной вихревой камере с осесимметричным вводом. Показано, что тщательным подбором геометрии вихревой камеры можно получить осесимметрическое поле скоростей с линейной зависимостью осевой компоненты вектора скоростей от осевой координаты.

Приведённые выше экспериментальные работы указывают на физическую обоснованность предположений, которые часто используются для описания поля скоростей приосевой зоны вихря вязкой несжимаемой жидкости. Суть этих предположений состоит в том, что приосевая зона является цилиндром радиуса го, а вектор скоростей в цилиндрических координатах (г, (р, г) имеет вид и = и(г, £), у = у(г^), и> = ги^г^) + (0.0.1) где и, у, ги — соответственно радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей. При этом из системы уравнений Навье — Стокса вытекает, что давление имеет представление

Р = Ро(г,Ь)+р1{Ь)г + р2(!)-.

Р. Сулливеном [16] для упрощения модели была предложена замена искомых функций и пространственной переменной иг п уг г2 г =--, 9 = —, х = -1у.

V V Гц

Таким образом, для поля скоростей вида (0.0.1) уравнения Навье — Сток-са преобразуются в распадающуюся систему уравнений

2и

-Ш2 = ~РХ, (0.0.2)

2 Г°

Лх = Я^ххх + (| + ^ " ^ + (0,0-3) хвхх + (0.0.4) 41/2 г2 / .Р \ Р жгу^д. + ( — + 1 1 у)1Х - у^х + ql{t), (0.0.5)

Г°2 % = - хРхх - ^ + (0.0.6) где

21/2 ~^хх 2 , 4х iiW =--J77~' №) = —2-,

4/9i/ 8pi/2 p = const > 0 — плотность, */ = const > 0 — кинематическая вязкость.

Если выполняются необходимые условия согласования, то от системы уравнений (0.0.2) - (0.0.6) отделяются уравнение (0.0.6) и тождество (0.0.2)*, из которых при известных функциях Р и в легко определяются функции W2 и ро. Уравнения (0.0.4), (0.0.5) являются линейными относительно функций в и w\ и при известной функции Р могут рассматриваться по отдельности. Уравнение (0.0.3) содержит лишь одну неизвестную функцию F и, следовательно, отделяется от получившейся системы уравнений. Поэтому, в определенном смысле, оно является ключевым уравнением системы (0.0.2) - (0.0.6).

В ранних работах [16] - [22] рассматривалось поле скоростей (0.0.1), в котором слагаемое w\ отсутствовало (тогда в выражении для давления будет отсутствовать слагаемое p\z). При этом формально получается задача о протекании жидкости в бесконечном по переменной z цилиндре, и условия на торцах цилиндра не задавались, в виду достаточности гра

Это тождество даёт условие согласования, наложенное на начальные данные для функций ги? и Г. Кроме того, граничные условия, задаваемые для хи^, переносятся на Рх. ничных условий на боковой поверхности.

Из соображений того, что при замене переменной 2 на 2 — уравнения Навье - Стокса не изменяются, в работах [23], [24] отмечается, что осевая компонента вектора скоростей не обязана быть однородной по переменной а, следовательно, может быть не равным нулю. При этом возникает необходимость задавать функцию д\(Ь), так как граничных условий на боковой поверхности цилиндра не достаточно для её нахождения. В декартовых координатах условие, задающее функцию определяет производную по нормали от давления на участке втекания и имеет следующий вид

0-0.7)

Таким образом, показано, что предположение (0.0.1) позволяет не только упростить систему уравнений Навье — Стокса, но и задавать краевое условие только на одном из торцов цилиндра.

Стационарные уравнения (0.0.2) - (0.0.4) с различными граничными условиями и в предположении, что функция = 0, рассматривались в работах [16] - [22]. Вопрос о разрешимости стационарного уравнения (0.0.4) не представляет особой трудности, поскольку его общее решение можно выписать в виде в{х) = Сг + С21 ехр (-1 о \ о / поэтому основное внимание уделялось исследованию уравнения (0.0.3).

В работах [16], [17], [20] для некоторых частных случаев граничных условий найдены стационарные решения уравнения (0.0.3), выражаемые в элементарных функциях, например,

Е(х)=ах или Р(х) = -2ах - 6(1 - еах).

В работе [19] проведён анализ разложения решений стационарных уравнений (0.0.2) - (0.0.4) в ряд по малому параметру, в качестве которого выбран квадрат числа Россби. В работе [20] приведены расчёты решений задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными

F(0) = 0, Fx(0) = a, Fxx(0) =

В работе [21] предложен алгоритм расчета решений краевых задач для стационарных уравнений (0.0.2) - (0.0.4), учитывающий специфику этих уравнений, результаты этих расчетов сопоставлены с экспериментальными данными, полученными при измерении тангенциальной и осевой компонент вектора скорости в вихревой камере [26]. В работе [21] также показано, что стационарное уравнение (0.0.3) с граничными условиями

240) = 0, F{l) = Fu Fx(1) = F2 (0.0.8) может иметь несколько решений, и предложен способ, основанный на теории подобия, позволяющий численно определять эти решения и области неединственности решения в пространстве параметров (Fi, F2), определяющих краевые условия (0.0.8).

В работе [22] наиболее подробно, по сравнению с другими работами, были изучены свойства решений задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с условиями

F(0) = 0, Fx(0) = a, q2~ заданная константа. (0.0.9)

Доказана единственность решения и его непрерывная зависимость от начальных данных. В работе [21] для решения задачи (0.0.3), (0.0.9) выписаны рекуррентные соотношения, определяющие коэффициенты сходящегося в окрестности х = 0 ряда Тейлора, а в работе [22] доказана аналитичность решения задачи (0.0.3), (0.0.9) при х > 0, и изучено поведение решения и его производных до третьего порядка включительно при х —> +оо. Основываясь на этом, показано, что множество пар чисел (FbF2) таких, что существуют константы a, q2, для которых

F(l,a,q2) = F1, FX{1, а, q2) = F2 9 здесь а, #2) — решение задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными (0.0.9)), является замкнутым множеством в К2 и не совпадает со всем пространством, то есть существуют пары значений (Рь/^), при которых стационарная задача (0.0.3), (0.0.8) не имеет решений.

В работах [22], [24], [25] изучались вопросы о существовании и устойчивости решений нестационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными и стационарными граничными условиями

В работе [22] изучен вопрос об устойчивости однопараметрического семейства стационарных решений вида Р = ах в пространствах [0,1] и С4[0,1]. Это вполне стандартные пространства с весовыми нормами 1 тцм = /(х<2Рххх + г2) Н^Нсчод] = \\^хххх\\ст + 11^11сз[0,1]. о

Использование весовых пространств обусловлено вырождением уравнения (0.0.3) в точках границы. Установлено, что при а > —6 стационарное решение Р = ах устойчиво в выше указанных пространствах, а при а < — 6 — неустойчиво. Так же показано, что все стационарные решения, удовлетворяющие условиям Рх(0) > 0, Рхх(0) > 0, устойчивы в пространстве И^О, 1].

В работах [24], [25] рассматривалась начально-краевая задача для проинтегрированного по х уравнения (0.0.3), для которой доказано существование решения "в малом" по £ при небольших отклонениях начальных данных от стационарного решения в норме С:[0,1], а также сформулирован критерий устойчивости по Ляпунову стационарного решения в пространстве С^О, 1] в терминах отрицательности спектра оператора, полученного путем линеаризации оператора из уравнения (0.0.3) на этом стационарном решении.

Ограничимся вышеперечисленными ссылками на работы, которые напрямую соответствуют тематике рассматриваемых в диссертации задач, и некоторые результаты которых будут использованы автором в дальнейшем. Более полную библиографию по работам данного направления можно найти, например, в книгах [23], [27].

Ещё раз отметим, что в предположениях (0.0.1) система уравнений Навье — Стокса преобразуется в распадающуюся систему уравнений (0.0.2) - (0.0.6). Как видно из её структуры, при известных функциях Гид, тождество (0.0.2) и уравнение (0.0.6) позволяют легко определить функции г^ и ро. Таким образом, система уравнений Навье — Стокса сводится к рассмотрению уравнений (0.0.3) - (0.0.5). Решение уравнения (0.0.3) и его производные входят в другие уравнения в качестве коэффициентов. Этим, а также отделяемостью уравнения (0.0.3) от остальных уравнений системы, можно объяснить то, что именно для уравнения (0.0.3) достаточно хорошо изучены различные стационарные краевые и эволюционные начально-краевые задачи.

Основными результатами настоящей диссертации являются доказательства существования и устойчивости решений специального вида для системы уравнений Навье — Стокса. Прежде всего, доказывается однозначная разрешимость начально-краевых задач для уравнений (0.0.4), (0.0.5). Отметим, что эти уравнения являются вырождающимися, поскольку коэффициент при старшей производной обращается в нуль на части границы. Поэтому исследование вопроса о существовании решений потребовало введения специальных весовых пространств и изучения некоторых их свойств. При исследовании устойчивости найден пример поля скоростей, у которого устойчивость нарушается только по осевой компоненте, а по другим компонентам сохраняется.

Кроме того, в диссертации предложено ослабление априорных предположений, рассматриваемых ранее другими авторами, наложенных на структуру решений системы уравнений Навье — Стокса, которое приводит к полю скоростей вида и = и(г, £), V = У\(г, г) + У2(г, ги = £) + гс^т", Ь)г, (0.0.10) где, как и прежде, и,у,1и — радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей соответственно. Получена система уравнений, которая расширяет систему (0.0.2) - (0.0.6) и при этом, в отличии от системы (0.0.2) - (0.0.6), не распадается на отдельные уравнения. Для одного семейства решений расширенной системы изучен вопрос о разрешимости начально-краевой задачи, а так же вопрос о том, на сколько появление новой искомой функции влияет на границу устойчивости.

Из приведённых рассуждений, используя предположение об устойчивости функций Р(х,Ь) и #2(2, ¿), можно сделать следующие выводы:

1) остаются в силе все результаты пункта 2.4.4 об устойчивости и неустойчивости функции и)\(х, ¿);

2) если устойчива функция ги\{х, ¿), то сохраняются результаты пункта 2.4.1 о том, что функция в\{х, ¿) не изменяет границ устойчивости, которые определяет функция Р{х,Ь) (только теперь границу устойчивости может определять и функция 92{х,£));•

3) если устойчивость функции ио\(х, ¿) нарушается, то вопрос об устойчивости функции #1(2:, ¿) требует дополнительного исследования (этот вывод связан с наличием в правой части уравнения (3.1.21) произведения функций и 02(х,1), которое может быть как ограниченным, так и неограниченным).

1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: в 2-х частях — М.-Л.: Гостехиздат, 1963.

2. СЕДОВ Л. И. Механика сплошной среды: в 2-х томах — М.: Наука, 1983.

3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели — М.: Наука, 1977.

4. Бадаев Б. Н., Воробьёв И. Д., Кислых В. И., Харченко В. А. Способ суспензионного культивирования клеток тканей или микроорганизмов и аппарат для его осуществления // Патент России, Би 1779690 А1.

5. Кислых В. И., Репков А. П., Рамазанов Ю. А., Воробьёв И. Д. Аппарат для суспензионного культивирования клеток тканей или микроорганизмов // Патент России, Эи 2099413 А1.

6. Кислых В. И., Репков А. П., Рамазанов Ю. А. Аппарат для суспензионного культивирования клеток тканей или микроорганизмов // Патент России, БИ 98117375 А1.

7. Sullivan R. D. A two-cell vortex solution of the Navier — Stokes equation // J. Aerospace Sei. 1959. V. 26. N 11. P. 767-768.

8. ACKERET J. Uber exacte Lösunsen des Stokes — Navier — Gleichungen inkompressibler Flüssigkeiten bei veränderten Grenzledingungen // Z. angew. Math, und Phis. 1952. Bd 3. S. 259-271.

9. КеЙЛЬМАН Н. Э. О разрешимости краевых задач для некоторых дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях / Канд. диссертация. Новосибирск: НГУ. 1984.23. гольдштик м. а. Вихревые потоки — Новосибирск: Наука, Сиб. отделение. 1981.

10. Велоносов В. е., Зеленяк Т. И. Об одной нестационарной модели вихря // В сб. Нестационарные проблемы гидродинамики. (Динамика сплошной среды, вып. 58). Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР. 1982. С. 14-26.

11. Белоносов В. е., Зеленяк Т. И. Об устойчивости решений одной задачи, описывающей движение вращающейся жидкости // Препринт. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН. 2001.

12. Волчков Э. П., Кислых В. И., СмульскиЙ И. И. Экспериментальное исследование аэродинамики вихревой камеры с торцевым вдувом // В сб.: Структура пристенного пограничного слоя. Новосибирск. 1978. С. 127-133.

13. СМУЛЬСКИЙ И. И. Аэродинамика и процессы в вихревых камерах — Новосибирск: Наука, 1992.

14. НИКОЛЬСКИЙ С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения — М.: Наука, 1977.

15. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа — М.: Наука, 1967.32. ватсон Г. Н. Теория Бесселевых функций: в 2-х томах — М.: Издательство иностранной литературы, 1949.

16. ОЛВЕР Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции — М.: Наука, 1978.

17. КАТО Т. Теория возмущений линейных операторов — М.: Мир, 1972.38. камке э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям — М.: Наука, 1971.

18. Дидкин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление — М: Высшая Школа, 1975.40. далецкий Ю. Л., крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в Банаховых пространствах — М.: Наука, 1970.