Объектно-ориентированное программирование при реализации метода граничных элементов в задачах упругой динамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Ой

Ш'о МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ЗАПОРОЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПЛОТНИКОВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ

ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ ПРОГРАММИРиЬА! ШЕ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЗЛЕМЫ НОВ В ЗАДАЧАХ УПРУГОЙ ДИНАМИКИ

м.с^.а/

СпециальностьИЮ.02.07 - "Механика деформируемого твердого тела"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Запорожье - 1005

Диссертацией является рукопись.

Работа выполнена на кафедре программного обеспечений и магемат ческого моделирования Запорожской государаьсьной инженерной акал

нии.

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор

Пожуев В.И.

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Толок В.А.

кандидат технических наук, доцент Мастиновский Ю.В. Ведущая организация - Научно-исследовательский институт механш быстропротекающих процессов, г.Киев.

Зашита состоится 1996г. в на засе;

нии специализированного ученого совета К 08.02.03 при Запорожском , сударственном техническом университете по адресу: 330063, г.Запорожье, ГСП-39, ул.Жуковского, 64

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке технического ун1 верситета.

Автореферат разослан "/У" 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого совета

-

Д-т.н., профессор ''.у-г,-//' И.П. Волчок

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Актуальность диссертации определяется, во-первых, экономической целесообразностью применения численных методов для построения и анализа моделей динамических конструкций, во-вторых, применением современных компьютерных технологий, таких как объектно-ориентированное программирование (ООП), с помощью которого становится возможным создавать прикладные программы практически любой сложности.

Постановки и численные реализации метода граничных элементов (МГЭ), используемые в диссертации, рассмотрены во многих работах, опубликованных в течение последних 5-10-ти лет.

В 1988 году Ahmad и Banerjee опубликовали полученные фундаментальные решения для тензоров напряжений и перемещений в случае двумерной постановки задач динамической теории упругости, когда окончательное решение получается посредством обратного преобразования Лапласа. Тогда же ими была предложена схема вычислении расходящихся в общем случае сингулярных интегралов.

В этом же году этими же авторами был опубликован .метод решения трехмерных задач в постановке, не требующей наличия расчетов в комплексной плоскости. Таким образом, в отличие от двумерной iiociühoukh, отсутствовала необходимость в преобразованиях, которые, кроме того, что требовали большего времени вычислений, могли привести к накоплению ошибок и тем самым к получению неправильных резулыатои.

Уже в 1989 году Israil и Banerjee были получены результаты, которые можно применять для решения двумерных задач упругой динамики посредством итерационного процесса по времени, без использования обратного преобразования Лапласа.

А в 1990 году этими же авторами был опубликован метол, уточняющий ту часть их предыдущей постановки, которая кяслляг«, >::•<•-(.т>ой

реализации.

1 !а примере изучения работ наиболее *.-с::-:т:' работающих в данном направлении авторов можно проследить насколько качественно быстро развивается база аналитических разработок по применению МГЭ для динамических задач упругости. Тем более актуальной является программная реализация этих разработок с целью успешного практического применения такого мощного и универсального численного метода, каковым является МГЭ.

Цель диссертационной работы заключалась ь разработке технологии применения современных концепций программирования для такого сложного вычислительного метода как метод граничных элементов.

Научная новизна работы состоит в проектировании и разработке программ для инженерных расчетов динамических конструкций, когда структуризация данных и программных событий максимально приближена к предметной области программируемой задачи.

Достоверность полученных результатоз следует из качественных анализов примеров расчетов, а также в результате сравнения полученных результатов расчетов одних н тех же динамических задач в двух различных постановках: при установившемся состояли;! и нестационарной.

Научная и практическая ценность работы заключается в разработке программной технологии нсиодьзоианиь Л1ГЭ ¿ль рса.с«;и динамических задач упругости с применением самых мощных средств создания прикладных программ.

Апробация работы. Основные полижи;;:* ;i результаты работы докладывались и обсуждались на:

- I Всесоюзной конференции "Техиили;«ческие проблемы прочности несущих конструкций" (г. Запорожье, 1991 г.);

- III Всесоюзно;": конференции "Меха;:;:;;:: неоднородных структур" (г. Лыши, 1991 г.);

- научных семинарах кафедры программного обеспечения и математического моделирования при ЗГИЛ (Запорожье, 1990-1995 гг.);

- межкафедральном тематическом семинаре при ЗП'У (Запорожье, 1995 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 работы.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав , заключения и списка литературы (85 наименований). Общий объем 114 страниц, включая 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается исторический обзор применения метода граничных элементов для решения различных задач теории упругости. Особое внимание уделяется применению метода для решения динамических задач. Приводятся многочисленные ссылки на изученные работы.

Так как МГЭ является численным методом, его можно рассматривать н двух аспектах - аналитическом и алгоритмическом. Аналитический аспект предполагает прежде всего нахождение фундаментальных решений метода для тех или иных уравнений, описывающих поведение среды. Алгоритмический аспект сосредоточивается на разработке и целесообразности применения новых схем вычисления коэффициентов матрицы линейных уравнений, использующих имеющиеся фундаментальные решения.

Рассматриваются различные подходы к модельному проектированию реальных конструкций, когда на различных его стадиях значительный экономический эффект может дать применение приближенных вычислительных схем, реализованных и выполненных на ЭВМ. После чего делается вывод о целесообразности применения новейших достижений в области технологии программирования, позволяющих во многих случаях успешно спрлв.т«"» о« га сложностью перенесения аналитической схемы вы-

числении и программную реализацию.

В конце вводной «кгсго даиноГг ряботы вселяются те огргппчивгю-щие характеристики существующих подходов в реализациях метода граничных элементов, которые затрудняют более широкое применение МГЭ. Такие характеристики ыожко назвать недостатками. Это, например, следующие:

• отсутствие общности при рассмотрении разного класса задач;

• грубое приближение константами величин параметров упругой среды, имеющих на самом доле на рассматриваемых как геометрической так и временном интервалах переменные числовые величины;

• аппроксимация граи над с использованием прямолинейных отрезков;

• неточное вычисление сингулярных интегралов и как следствие неприемлемый уровень тонкости получаемых результатов.

Тем самым делается обоснование выбора именно тех подходов в реализации МГЭ, которые позволяют или уменьшить влияние подобных недостатков, или вообще их исключить.

Первая глава посвящена установившимся динамическим задачам теории упругости. Здесь описывается постановка метода граничных элементов для этого случая, численная его реализация, а также приводятся примеры расчетов задач. Описывается проект программной реализации.

Постановка метода граничных элементов в случае установившегося движения прежде всего включает в себя уравнение (1), которое является выражением, описывающим доведение упругих тел. Точнее говоря, оно представляет собой урашенже динамического равновесия для задач упругости в условиях изотропной и однородной среды в предположении малых амплитуд перемещения точек среды.

(г5 - с:)« (т. Л + сги. г. Т) + Ь(х. Т) - Я/х, Т) = 0 (1)

где запятые обозначают производные по пространственным координатам, а »очки - проюииддиаС ио ЦуС;.;иш; и, прсдстаиляст собой вектср аере-

мещения; х является точкой среды; т представляет время; 6, - это вектор массовых сил; с, н являю".си скоростями распространения поперечных (сдвиговых) и продольных (сжатия) волн в среде, соответственно; I, у = 1 , 2.

В основе применяемого метода граничных элементов для установившихся динамических задач упругости лежит интегральное уравнение

С,,(<?)«,(#, = \ ГС,/*. *)/,(*. 5) - РЧ(Х, <?, х)й,(х, *)]<К(х) (2)

г

Используемая здесь формулировка предназначена для решения нестационарных задач упругой динамики посредством нахождения решения в комплексной плоскости с последующим применением обратного преобразования Лапласа. В данном же случае это уравнение применяется для решения установившихся задач, когда упругие тела подвержены действию периодической нагрузки. Для этого комплексный параметр обратного преобразования Лапласа .V заменяется на выражение вида /<у, где а представляет собой круговую частоту прилагаемой нагрузки.

Моделируемое периодическое нагружение, действующее на части поверхности упругой среды, принадлежащей границе области задачи, имеет следующий вид:

/ = /„ * с'"' (3)

где /0 это величина амплитуды ¡гагрузки; со является круговой частотой периодической нагрузки.

Данный вид нагружения показывает, что задача имеет установившийся с течением времени процесс деформирования как границ так и всей упругой среды. Установившийся процесс носит гармонический характер и поэтому может быть выражен с помощью периодических функций.

Фундаментальные решения с;. ?! !■' представляют собой величины прпемршр»!»"« !■ ч.тпрстжгчг-'Я. сог-Г!"--"'.......... в точке т, получаемые - по-

еле приложения единичной гармонической нагрузки формы е'" в точке

Эти режеиля выражаются формулами (4) и (5).

= и*., - я г, г,] (4)

+кУ' £ + (5)

л = + (I / ~(с2 / с,)* /:,(=,)]

« = А-\(гз) - {с2 / с,Укг{х,)

Г с Л. : сг - И / г

С? - / ' /г = -2 / <?г)

Л = ((с; ! с2): - г| (Л1 I Зг - дВ I дг - В ! г) (6)

здесь г. /«г / с, и :г = кат / с2;

а А'0, а:, и г. являются модифицированными функциями Бесселя второго

рода.

Численная реализация включает в себя несколько аспектов. Это такие как рассмотрение типа аппроксимации геометрии границ областей,

особсннг.ст;: общей схемы численного интегрирования, а также методы вычисления сингулярных интегралов.

С ::сл1:о дискретизации уравнения (2) граница аппроксимируется некотрку количеством граничных элементов, чья геометрия описывается с использованием квадратичных функций. Аргументом этих функций является (ы;усальный параметр геометрии границы. Функции второго порядка используются и для описания переменных вдоль каждого граничного члем»-нта величин перемещений и напряжений. Квадратичный зако« измен» и.■!».пользуется с целью более точного описания значений параметров и с:ч;:нении с постоянными и линейными элементами. Данный гена - •-.-•>-!•« пполне очеадим, если учесть тот факт, что в реальных

калачах очень часто граница является нелинейной, а величины перемещений и напряжений на каждом отрезке разбиения также выряжаются нелинейными функциями.

Функции и и представляющие собой величины перемещений и напряжений, соответственно, можно выразить с помощью однородной координаты т} следующим образом:

и(т]) = ЛГ,* и, + ЛГ2* иг + ЛГ,* а, = [ ЛГ, Л", N ъ ]

= Н.и.

1(ч)=На1а (7)

В выражении (7) функции Na представляются следующим образом:

ЛГ, = угп\л -1).лг2=(1->?)(1 + 7) . <8>

Функции (8) имеют квадратичный закон изменения. При этом натуральный параметр лежит в следующих пределах 7 е | - 1, 11 от одного крайнего узла до другого крайнего узла квадратичного элемента, принимая значение 0 в среднем узле элемента.

С учетом того, что вся граница области задачи разбивается на определенное число элементов, а также с учетом представленных поверхностных функций, с помощью которых и происходит дискретизация, уравнение (2) может быть преобразовано к виду:

в

I С,^х(П), 4, *)мк(ч)11ам{х(г1))

- ] е, *) if.it) »,„ (п»I (9)

I

В приведенном уравнении Ыа является функцией, ошк-ынаюшей граничную поверхность, »,„ и 7Ы являются узловыми значениями перемещения и напряжения, соответственно, Л" является поверхностью (1-го элемента, и представляет собой число элементов границы, ни которым проходит интегрирование.

После выражения величины ¿&(Х) в натуральных координатах выражение (0) преобразуется к следующему г;:ду: с

.1 ,

¿«.Л И ¿п

(10)

где Л представляет собой число узлов на одном элементе; а |./} это Якобиан, предназначенный для преобразования декартовых координат (х^^ во внутренние координаты элемента интегрирования ц.

х2

и или

Узел П Н, ы2 М3

1 -1 I 0 0

2 0 0 1 0

3 1 0 0 1

Рис. I. Геометрия квадратичного элемента.

Таким образом, глобальная система уравнений всей границы получается пугеы обычной схемы коллокации в умах, то есть при последовательном рассмотрении точки среды \ в уравнении (10) в качестве узловой, для всех узловых точек границы.

Следует отметить, что требуется подставлять декартовы координаты х> и х? как фухгкди" зна!гс?пн* V 1 ~ -ч<-г- -—.■ ^ стем же способом, что н в случае функций и и I;

А , — ^ ^ т Л г Л' ( г 1> ^ Л |

х ^ = + N^1 + (11)

где х\ л л; ло координаты узла в глобальной системе координат, как изображено на Рис. I.

Для вычисления как сингулярных так и несингулярных интегралов используются квадратурные формулы Гаусса. Для несингулярных интегралов интервал интегрирования подразбивается на несколько отрезков равной длины, начиная с длины всего отрезка. Далее, уже внутри каждого такого подотрезка, количество точек интегрирования варьируется от 4 до 8. При оценке сингулярных интегралов интервал разбиения последовательно делится пополам. Таким образом, выделяется сингулярная и регулярная части. К регулярной части применяется приведенная выше схема; сингулярное интегрирование проводится по обыкновенной Гауссовой схеме при варьировании числа точек интегрирования от 4 до 10. Однако в случае вычисления сингулярного интеграла, когда подынтегральным выражением является фундамента ль нос решение, полученное для напряжений, необходимая точность вычислений не достигается. Поэтому подобные интегралы вычисляются с помощью непрямого метода, рассмотренного ниже.

Выражение (10) подразумевает интегрирование по границе областей задачи. При этом последовательно проходятся все узлы и для каждого такого узла интегрирование ведется по всем элементам, на которые разбивается граница. Таким образом, в схеме интегрирования для каждого узла элемента вычисляется отдельная группа из восьми интегралов. С учетом того, что каждому элементу принадлежат по три узла, число интегралов, вычисляемых на каждом отдельном этапе программной реализации схемы интегрирования, равняется двалпатн четырем

В том случае, копа узел ннтеггч'рлр.-тчя совпадает с одним из узлов отрезка интегрирования, интеграл с подынтегральным выражением, содержащим фундаментальное решение для напряжений, приходится вычислять непрямым способом. Делать это приходится по дпу.м причинам.

Первая причина заключается в том, что в общей случае подынтегрально с (5) приводит к плохой численной сходимости. Вследствие этого невозможно достичь приемлемой относительной точности интегрирования, что и подтвердили многочисленные вычислительные анализы.

Вторая причина заключается л присутствия в левой части выражения (10) коэффициента с,,, учитывающего положение узла интегрирования относительно границы. Существуют случаи, коща известно численное значение этого тензора (например в случае гладкой границы оно равно /2). Для того, чтобы не рассматривать специфику геометрии элемента граниаы, по которому ведется интегрирование, диагональные блоки матрицы учитывающие значение тензора сч, можно вычислять косвенным образом, используя выражения (12) и (13).

д, = +(12)

где /У, является поверхностной функцией для сингулярного узла интегрируемого отрезка, а длиной сингулярного элемента.

Подобны» же образом для задач статики можно записать:

О!, = ^ + \ (13)

где переменные являются тем же самым в статике, что в уравнении (12) для динамики.

Из уравнений (12) и (13) получаем следующее:

Ц, = + \ [Ц, - 2Р;)лг,л (14)

."с

В только что приведенном выражении диагональные блоки Щ, представляющие егб«"? »:п»ффкпиенты мэтрипн напряжений для стгтяческиг задач той м са;«ий геометрии могут быть получены с помощью использования идеи о твердого тела ьак целого:

О',, = С„ + / Е,) ЛГ, = -[£ 1 /■/лг„ 05 + £ 21 /•; лг„ ¿У

.г, (_« «-г «-!.$,

Следует заметить, что интеграл с подынтегральным выражением - уже не является сингулярным, следовательно выражение (14) может быть использовано для г.олучения о .

Понятно, что схема, учитывающая факт движения всей совокупности упругой среды, моделирующей задачу, как одного целого, предполагает ограниченность границы. Таким образом, вычисление диагональных блоков матрицы Р в случае бесконечной границы треЛуе.т^лоопределения. В том случае, когда имеется бесконечная часть границы, возможно применение иной схемы, описанной ниже.

В данной диссертационной работе применяется метод окружающих элементов. Этот метод основывается на предположении о том, что перемещения и напряжения узлов окружающих элементов, расположенных на достаточно большом расстоянии от основной границы областей задачи вносят незначительный вклад в перемещения в любой точке основной границы.

Используя данный подход, диагональные блоки Д, матрицы Р можно получить суммированием несингулярных интегралов, полученных для статического случая как для всех элементов основной границы так и для всех элементов окружающей границы:

о л

о;, = -

Е | г,;пя м + Е Е Г ¿Б + X Е \ ^ м

(16)

где трети« член соответствует суммированию по окружающим элементам; Ь представляет собой общее число таких элементов.

Программная реализация основывалась на современных концепциях объектно-ориентированного проектирования и программирования.

Процесс объектно-ориентированного проектирования опирается на метод возвратного'проектирования программного продукта, при реализа-

ции которого разработчик идет от начального варианта, постепенно при-ближапсь к кспачной цели методе" проб и ошибок. Но правильно заложенное начальное абстрагирование как данных так и процессов позволяет довольно точно описать структуру программного продукта с самого начала его создания. Достигается это при помощи объектного мышления программиста, которое намного естественнее для человека, чем более распространенные на нынешний ыомент методы и подхода, применяемые в структурном программировании.

Как известно, одной из основных составляющих ООП является объектно-ориентированная декомпозиция. Декомпозицию классов можно подразделить на две категории: декомпозицию предметной области и программную декомпозицию.

Предметная декомпозиция отражгет понятия, входящие в словарь предметной области. Впоследствии программист манипулирует этими понятиями с такой же легкостью и ясностью, как, например, математик при общении со своими коллегами использует математические абстракции, представляющие собой не только структурированный набор данных, но и правила использования этих наборов. По аналогии с математикой в ООП используется термин "абстрактные данные".

Программная декомпозиция при использовании языка программирования С-1 + Бь^швается в оптимальное размещение по различным файлам программных модулей, представляющих собой как описание классов, так и их реализацию. Основной принцип программной декомпозиции, применяемый автором данной диссертационной работы - это расположение всех описании аостр^хиий в так называемых заголовочных файлах с расширением Ml, а реализация в файлах *.СРР.

Абстракция на уровне классовой декомпозиции представляет собой рассматриваемую ниже совокупность.

• Класс Node содержит номер узла, два поля, задающие координаты узла в глобальной декартовой системе координат, попе перечислим ого

типа, содержащее информацию о типе граничных условий, задаваемых на узле, два поля, о которые заносятся значения известных граничных условий. Объекты типа Node по мере ввода программой начальных данных образуют односвязный линейный список, и поэтому каждый такой объект включает в себя одно поле для связи pNext, содержащее указатель на следующий элемент в списке.

• Класс Element предназначен для создания объектов, представляющих собой абстракцию элементов разбиения границы задачи, и содержит информационное поле, представляющее собой номер элемента, три поля, содержащие номера узлов, включенных в элемент, три поля, представляющие собой указатели на объекты класса Node, то есть уже непосредственно на структуры, размещенные в оперативной памяти ЭВМ, которые являются абстрактным представлением узлов границы, и также как и в случае с классом Node, поле связи pNext, необходимое для образования односвязного линейного списка элементов конкретного слоя задачи.

• Класс Medium служит для введения в программе абстракции слоя задачи. Этот абстрактный тип содержит следующие информационные поля: по.".:-:, задающие физические параметры данного слоя, поле для хранения количества слоев задачи, номера слоя, общего количества элементов и узлов разбиения для данного слоя; а для связи конкретного слоя со списком принадлежащих ему элементов и узлов его программная абстракция содержит два поля, являющиеся указателями на головные узлы соответствующих односвизных списков. Также для связи служат два поля, активно используемые при программировании и содержащие указатели на текущие элемент и узел.

• Для .г.'Гь: содержать доступную программы информацию с жестко связанных между собой узлах соседних слоев, используется специальный класс JointNodes, который включает информационные

и

поля, содержащие число пар жестко связанных узлов, а также парные померз свягяниш' узлоп грашпда рягбяекия.

• Класс Р1апеРот1 представляет собой абстракцию точки геометрии задачи и содержит ее координаты.

• Класс SegmentNodesCcюrdinates вводится для служебных целей в программе. Этот класс содержит три информационных поля, представляющих собой объекты класса Р1апсРо1п1. В этих объектах содержатся координаты трех узлов квадратичного элемента.

• Класс Р1апеУеЫог представляет собой абстракцию вектора в плоскости и содержит три объекта типа Р1апеРо'т1, задающие начальную и конечную точки вектора и величины проекций вектора на оси глобальной декартовой системы, а также длину вектора.

« Классы ЛшИидУе^ог и Могта1 ЧесЬог являются производными от класса Р1апгУес1ог.

• Класс НайшзУеМог является предметной абстракцией радиус-вектора г. Он не содержит никаких добавочных информационных полей по сравнению со своим базовый классом.

• Класс ЫогпЫУесЛог это абстракция нормального вектора п. Класс содержит одно добавочное поле перечислимого типа, указывающего направление вормального вектора относительно среды.

В этой же главе проводится анализ трех задач по результатам расчета, полученным с применением описанной программы.

Для всех Брокеров расчетов задач в этой работе кроме особенностей геометрии и места приложения нагрузки остальные параметры имели одинаковые значения. Такая унификация преследовала только одну цель - возможность адекватного сравнения полученных для различных задач результатов.

В первоа случае рассматривался квадрат с квадратной полостью, расположенный на бесконечной полуплоскости. Во втором случае этот же

квадрат постепенно заглублялся в полупространство в строго всртикаль-

"9

ном направленна; лра зтом шаг заглубления равнялся ¡л от величины стороны квадрата. В третьем же случае - круговая полость, полностью внедренная в полупространство.

В залаче с квадратными полостями для обоих примеров характер нагрузки одинаков. Прилагаемая нагрузка сосредоточена вокруг центра внешней верхней стороны квадрата. В случае же с круговой- полостью нагрузка прилагалась к небольшой части поверхности полупространства.

В качестве примера здесь приведена задача, когда квадрат с квадратной полостью загружается в бесконечную полуплоскость. Качественный анализ части полученных результатов приведен в виде десяти графиков на Рис. 2. На этих графиках !]1 является величиной заглубления нижней стороны квадрата относительно поверхности полуплоскости. Эта величина выражается зависимостью от размера стороны внешнего квадрата Н. Также лля определенности с помощью Ь[ и Ь2 обозначены нижний и верхний, соответственно, узлы, принадлежащие внешней боковой грани квадрата.

Анализ графиков Рис. 2. при значениях параметра Ь[ от 5Н до 9Н показывает независимость амплитуды колебаний боковой грани от величины заглубления, большего чем 5Н. Так же на этих графиках ясно прослеживается зависимость амплитуды колебаний от геометрии квадратной конструкции, когда серединные узлы, находящиеся напротив пустой полости внутреннего "ппдрата имеют большие величины перемещений, на этот раз уже как бы под динамическим давлением бесконечного пространства.

М =0.25Н

Ы " 0.5Н

Ы - 0.75Н

Ь1 = н

Ы = 2Н

Ы =311

Ы —4Н

Ы =5Н

Ы =6Н

г>-18

¡.2 03

Ы-9Н

Рис. 2. Амплитуды колебаний боковой грани.

Во второй главе рассматриваются нестационарные задачи упругой динамики. Поседение упругсй среды моделируется тем же уравнением, что и в случае установившегося состояния. В отличие от первой главы используются другие фундаментальные решения, дающие решения в вещественном виде и, таким образом, не требующие использования обратного преобразования Лапласа. Использование константных или линейных вариаций допускает аналитическое интегрирование по времени, в то время как пространственное интегрирование, как и в первой главе, осуществляется с использованием численных методов.

Поэтому для разработки технологии расчета задач упругой динамики в случае нестационарных задач, не предполагающих установившегося процесса, выбирается иной подход. Как правило, подобные подходы основываются на итерационной по времени схеме реализации. Но в данном случае применяется примечательная в своем роде схема.

Эта схема основывается на том, что временная интерполяция изменения переменных среды может проводиться как константами, так и с помощью линейной зависимости. Для этого фундаментальные решения для тензоров как перемещений, так и напряжений, являющихся подынтегральными выражениями, допускают аналитическое интегрирование по времени. В то время как пространственное интегрирование по-прежнему проводится с применением численных методов.

Для полноты картины исследований, демонстрирующих как возможности метода граничных элементов, так и возможности разработанного программного пакета, в качестве примера берется квадрат с квадратной полостью, расположенный на Сесколечной полуплоскости. Таким образом, рассматривается та же задача, что и в предыдущей главе. Характер нагрузки также остается тем же самым. Но в данном случае с самого начала процесс деформирования поверхностей рассматривается как нестационарный. Смысл этого состоит в том, чтобы узнать за какое время конструкция с известными геометрическими, физическими и другими пара-

метрами, подверженная периодической нагрузке, перейдет с установившийся про:;ссс колебаний.

Для нахождения момента времени, с которого начинается установившийся режим колебаний конструкции, можно выделить два этапа. На первом удовлетворяется необходимое, а на втором - достаточное условия. По сути своей эти условия обозначают одно и тоже: величины колебаний какого-либо узла в моменты времени, отстоящие .труг от друга на величину одного периода, должны быть равны между собой.

При удовлетворении необходимого условия выбирается конкретный момент времени, для которого и производятся требуемые вычисления. Затем применяется итерационный по времени процесс, когда время, для которого происходят следующие вычисления, больше предыдущего на величину, краткую периоду прилагаемой нагрузки. На каждом очередном этане происходит сопоставление результатов этих двух вычислений. При их несовпадении вычисления повторяются для последующего момента времени, также отстоящего от предыдущего на величину, кратную периоду излагаемой нагрузки.

В том случае, когда выполняется необходимое условие, проходит проверка на выполнение достаточного условия. Для этого оба найденных момента времени берутся в качестве начал предполагаемых периодических ко.-.сСйний рассматриваемого узла. Производятся дальнейшие вычисления, позволяющие создать картину деформаций узла в течение одною периода колебаний для обоих начал. В случае полного наложения (с Определен нон относительной погрешностью) этих картин для двух рассматриваемых случаев можно указать момент времени, в который уже присутстьует установившийся режим колебаний.

В случае неудачи происходит дальнейший поиск с целью удовлетворен:::: необходимого, а затем I! достаточного условий. Данную схему можно разнообразно видоизменять. Например, для уменьшении ложных пропгрпк »г> достаточное условие, можно просто уменьшить их количе-

ство, ужесточив необходимое условие. В данной работе, например, для удовлетворения достаточного услопкя каждый период колебаний разбивался на двадцать временных интервалов, для которых и производилось двадцать отдельных расчетов. Для того чтобы реже производить подобные вычисления, можно было бы для удовлетворения необходимого условия проверять по две пары или тройки моментов времени, когда каждая из этих двух групп отстоит друг от друга на время, величина которого кратна периоду нагрузки. Но это тема отдельного исследования, исследования по оптимизации вычислительного процесса при нахождении уста новившегося режима колебаний нестационарной задачи.

Разумеется, полного совпадения картины колебаний установившегося процесса в условиях постановки первой и второй глав, не происходит. Тем не менее, результаты, полученные с помощью предложенного алгоритма поиска установившегося состояния колебаний в случае нестационарной постановки отличаются от результатов, полученных в первой главе, на приемлемые для проведения качественной оценки величины, лежащие в пределах от 10% до 50%.

Третья глава посвящена описанию упрощенной формулировки МГЭ. Описанный подход применим к задачам, граница которых достаточно точно аппроксимируется с помощью постоянных элементов. Также предполагается, что величины перемещений и напряжений вдоль каждого такого элемента постоянны.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы, которые состоят в следующем:

1. На ряде исследованных инженерных задач показаны следующие универсальные хара;лср1:(лнки р-^аботанного пакета программ: допускается наличие любого количества однородных изотропных слоев; ;,.н „\ сматривается возможность рассмотрения бесконечных пространств и геометрии областей задачи; отсутствует требование на гладкость границы.

2. Численная реализации нестационарных задач упругой динамики ис-пол1лует фундаментальные решения, позволяющие вместо итсрацнон-ного процесса посредством линейных вариаций интегрирование по времени проводить аналитически. Этим достигается увеличение точности численных результатов, а также существенная экономия машинного времени.

3. Увеличение точности получаемых численных результатов удается достичь также и благодаря используемым при аппроксимации криволинейным элементам. В этом случае функции второго порядка используются и для описания переменных величин перемещений и напряжений вдоль каждого граничного элемента.

4. Для реализации такого сложного и громоздкого вычислительного метода, каковым является метод граничных элементов в постановке задач динамической упругости, разработана технология использования объектно-ориентированного программирования, позволяющая достичь достаточно ясного и удобного программного абстрагирования понятий предметной области.

5. На ряде задач показана эффективность применения разработанных и реализованных программных решений при нахождения резонансных явлений, а также возможность достижения уменьшения амплитуд колебаний инженерных конструкций одновременно с уменьшением требуемого для создания этих конструкций количества материала.

6. Разработан метод объединения двух ¡¡остановок задач динамической упругости, описывающих стационарные и нестационарные колебательные процессы, с целью выявления времени, через которое инженерная конструкция входит в установившийся режим колебаний.

Материалы, составляющие основное содержание диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Пожуев В.И., Плотников В.А. Исследование задач динамической теории упругости для полуплоскости с круговой полостью методом гра-

ничных элементов //13 сб.: Технологические проблемы прочности несущих конструкций. Труды I Веес. конф. - т.1. - ч.1. - Запорожье. - 1991. -С. 169-173.

2. Пожуев В.И., Плотников В.Л. Применение метода граничных элементов при динамическом расчете многослойной полуплоскости с круговым отверстием. / / В сб.: Механика неоднородных структур. Тез. докл. III Всес. конф. - часть II - Львов. - 1991. - С.257.

3. Пожуев В.И., Плотников В.Л. Динамика многосвязных сред с подкрепленными границами. / / Известия высших учебных заведений. Строительство. - 1993. - N4. - С.22-26.

Личный вклад автора. В работах, написанных в соавторстве, автору принадлежат: непосредственное участие в выборе классов задач, которые способен решать разработанный пакет программ; самостоятельная разработка программной схемы расчетов; а также формы представления и анализа полученных результатов.

А1ЮТЛЦ1Я

Плотпксн Б.А. О5*сктно-ор1ситсване прсграмування при рег.лЬацп метода граничних елемент1в в задачах пружкьоТ динамши.

Дисертацгя на здобугтя наукового ступеня кандидата техшчних наук за спещагьшспо 05.02.07 - мехашка деформ1вного твердого -пла, За-порш.кий лержавний техшчний ушверситет, Запор1жжя, 1995.

На основ! методу граничних елементш реал13овано пакет програм, призпачених ддя р«в'язання задач динамично! пружноси. Пакет дае мож-ливють виконувати розрахунки як стал их коливань, отриыаних внасл'щок гардгошчного наваетаження, ! таким чином ыаючих Сталин режим коливань, так 1 задач. а.о мають нсстащинарний режим коливань. Програмна реальэашя дозволяе робити розрахунки для необмеженоТ кшькосп шарш, дов1льноТ геометрн гранят", в тому числ! I при наявносп безкокечнкх про-стор1в. Точтсть рпзень забезпечуеться иоделюванням границ! за допоыо-гою квадратичних елемента, а також непрямим обчисленням сингуляр-них штеграл1в 1 аналогичною схемою штегрування по зшннш часу. Внаслщок складноси \ гром1здкосп методу граничних елементт у постанови! задач ди1!а;.пч!ЕоТ пружносп з метою устшного проектування \ скла-дання програм використовувалась найбшьш сучасна об*ектно-ор1ентована тсхнолоп'я програл^ванкя о » реалаацн на лов! С++.

Ключов1 слова: метод граничних елемент1в, динамична пруяшсть, стацюнарж коливааня, нестацюнарний режим коливань, геометрш гранит', квадратичн! елементи, об'ектно-оркнтозана технололя програму-ьашш.

ANNOTATION

Plotnikov V.A. Object orknlcd programming applied to boundary clement method for elastodynamic problems.

The dissertation on scientific degree of candidate of technical sciences on specialities 05.02.07 - mechanics of deformable solid body, Zaporozhsky State technical university, Zaporozhye, 1995.

The pack of applied programs, intended for computing elastodynamic problems, was created on the basis of boundary element method. By the pack it is available to compute pseudo-static vibration, resulted by harmonic loading, as well transient elastodynamics. The program pack enables computing the unrestricted amount of layers, arbitrary boundary geometry, as well the unbounded surfaces. The computing accuracy is guaranteed by quadratic elements surface modelling, as well nondirect singular integrals calculating and time-integrating analytical scheme. The object oriented designing and programming in C++ language realization was used to attain successful designing and programming in consequence of complexity of the boundary element method for elastodynamic problems.

'Hi/

Подписано к печати 08.12.95г. Заказ №591. Тираж 100 экз. Объем 1,0 п.л.

Запоров! о. ЗГИА. пр.Ленина, 226.