Объемы неевклидовых многогранников, обладающих нетривиальной симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



На правах рукописи

Абросимов Николай Владимирович

Объемы неевклидовых многогранников, обладающих нетривиальной симметрией

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 0К7

Новосибирск — 2009

Работа, выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Медных Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Родионов Евгений Дмитриевич,

кандидат физико-математических наук, Пашкевич Марина Геннадьевна

Ведущая организация:

Челябинский государственный университет

Защита состоится 12 ноября 2009 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ирютитута математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 09 октября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. В основном это связано с тем. что объем фундаментального многогранника является одним из основных инвариантов трехмерного многообразия.

Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тар-тальи (Tartaglia, 1499-1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли—Менгера, в ней объем выражается как корень квадратного уравнения, коэффициенты которого зависят от квадратов длин ребер тетраэдра. Этот результат можно обобщить на случай произвольного евклидова многогранника. Около десяти лет назад это было сделано И. X. Сабитовым (1998).

В отличие от евклидова пространства в гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Гаусс, один из создателей гиперболической геометрии, использовал слово „die Dschungel" (джунгли, дебри) в отношении вычисления объемов в неевклидовой геометрии. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского (1936), Я. Бойяи (1902) и Л. Шлефли (1950). Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлер-хальц (19S9), Д. А. Деревниным и А. Д. Медных (2002), А. Ю. Весниным, А. Д. Медных и Дж. Паркером (2004) и другими. Объемы гиперболических мпогограшшков, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом (1988).

Общая формула объема гиперболического тетраэдра долгое время оставалась неизвестной. Несколько лет назад Ю. Чо, X. Ким (1999). Дж. Мураками, У. Яно (2005) и А. Ушиджима (2006) добились успеха, установив такую формулу. Д. А. Деревнин, А. Д. Медных (2005) предложили более простую интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра.

Удивительно, но еще более ста лет назад итальянский герцог Гаета-но Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии А. Д. Медных с X. М. Монтезиносом на конференции в Эль Бурго д'Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца (1906) до этого была полностью забыта.

Отмстим, что в случае симметрического тетраэдра, противоположные двугранные углы которого попарно равны, формула объема существен-

но упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским для идеального гиперболического тетраэдра, то есть тетраэдра, все вершины которого лежат на бесконечности. Дж. Милнор (1982) представил соответствующий результат в весьма элегантной форме.

Теорема 1 (милнор, 1982). Пусть Т = Т(А,В,С) - идеальный гиперболический тетраэдр с двугранными углами А, В,С. Тогда объем V(T') задается формулой

Интересно отметить, что идея использования симметрии оправдывает себя и для более сложных многогранников. Исследованию этого вопроса посвящено основное содержание диссертации.

Цель работы

Нахождение объемов сферических многогранников с симметриями.

Исследование проблемы Зейделя об объемах неевклидовых тетраэдров.

Получение явных интегральных формул для инвариантов Черна—Сай-монса конических многообразий, сингулярным множеством которых является зацепление Уайтхеда.

Методы исследований

В качестве подхода для решения поставленной задачи использованы классические методы, развитые в работах Лобачевского, Шлефли и Кокс-тера, а также современный подход, основанный на геометрической теории трехмерных многообразий.

В диссертации также применяются современные методы, разработанные в статьях Э. Б. Винберга (1988), Дж. Мураками, М. Яно (2001), А. Ушиджима (2002), Д. А. Деревнина, А. Д. Медных (2005, 2009), II. В. Абросимова, М. Годой, А. Д. Медных (2008), Н. В. Абросимова (2009), посвященные классической проблеме нахождения объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1) Получены теоремы синусов-тангенсов и явные интегральные формулы объемов для сферических октаэдров и гексаэдров с симметриями.

2) Решена проблема Зейделя об объемах неевклидовых тетраэдров.

V{T) = А {А) + А {В) + А (С),

Т.

3) Найдены явные интегральные формулы для инвариантов Черна— Саймопоа конических многообразий, сингулярным множеством которых является зацепление Уайтхеда.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы для дальнейшего изучения объемов неевклидовых многогранников, а также для изучения теории геометрических и аналитических инвариантов трехмерных многообразий в пространствах постоянной кривизны. Результаты работы могут быть использованы специали-стахга по теории трехмерных многообразий, теории узлов и неевклидовой геометрии.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на XLII, XLIII и XLIV Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск 2004, 2005 и 2006 гг., на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка, Новосибирск 2004 г., на Международной школе-копференции по геометрии и топологии 3-многообразий, Новосибирск 2005 г., на Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика», посвященной 30-летию Челябинского государственного университета, Челябинск 2006 г., на Международной конференции "Act.as LXXVIII Encuentro Sociedad de Matematica de Chile", Ольмуе (Чили) 2006 г., на Международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию ИМ СО РАН, Новосибирск 2007 г., на Международной конференции "Transformation Groups", посвященной 70-летию Э. Б. Винберга, Москва 2007 г., на Международной конференции "Braids and their ramifications", Нортона (Италия) 2007 г., на Международной конференции "Braids in Paris", Париж (Франция) 2008 г., на Школе-конференции по геометрии и анализу, Телецкое озеро (Горный Алтай) 2009 г., на Международной школе-конференции по теории узлов и ее приложениям в физике и биологии, Триест (Италия) 2009 г.

Кроме того, результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка, на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова, на семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН А. 10. Веснина, на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах»

ИМ СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных, на семинаре "Geometry and Topology", Warwick Mathematics Institute (Великобритания) под руководством профессора С. Series, на семинаре "Coloquio en Instituto de Matemática y Física", Universidad de Talca (Чили) под руководством профессора R. Baeza Rodríguez.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях автора, а также в нескольких тезисах докладов на конференциях. Список указанных работ приведен в конце автореферата |1-13].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 67 использованных источников. Общий объем диссертации — 100 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации и дается краткий обзор исследований по теме диссертации.

В первой главе изучаются неевклидовы октаэдры и гексаэдры, об-ладаюнще нетривиальными симметриями. Содержание главы основано на работе [lj. Структура главы устроена следующим образом. Начало главы состоит из обзора полученных в главе результатов. Параграф 1.1 содержит предварительные сведения, необходимые для вычисления объемов многогранников. В этом параграфе приводится классическая формула Шлефли, связывающая дифференциалы объема многогранника и его двугранных углов в пространстве постоянной кривизны. Указанная формула будет использована для вычислений в последующих параграфах главы 1. Параграф 1.2 посвящен изучению сферических октаэдров, обладающих сим-мегриями различных типов, и состоит из двух частей. В первой части рассматриваются октаэдры с группой симметрий, порожденной отражениями в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях (ттлг-симметрия). Для октаэдров указанного типа предварительно установлена следующая теорема, связывающая длины ребер и двугранные углы.

Теорема 9 (Правило синусов—тангенсов). Пусть О = = 0(а, Ь, с, А, В, С) — сферический октаэдр, обладающий тптт-сшшетрией. Тогда выполняются следующие соотношения

sin Л sin В sin С _ „К

_=_=_=Т = 2_

tana tan b tan с С

где Ки С — положительные числа, определенные как

К2 = (z - ху)(х - yz)(y - xz), С = 2xyz -х2 - у2 - z2 + 1, х = cos а, у — cos b, z — cos с.

Используя приведенную теорему, установим, что длины ребер октаэдра выражаются через двугранные углы. Это позволяет получить следующую формулу объема в терминах двугранных углов.

Теорема 10 (Объем октаэдра с гпгшп-симметрией). Пусть О — = 0(А,В,С) — сферический октпаэдр, обладающий ттпт-симметрией. Тогда объем. V(0) задается выражением в

2 i farth(Z cos г) + arth(Y cos т) + arth(Z cos г) + arth(cos г)4) —— , J V /cos r

т/2

где X = cos Л, Y — cos В, Z = cos С и 0 < 9 < tz/2 — корень уравнения

1+Х + Y + Z

Кроме того, в определяется из теоремы синусов-тангенсов sin Л sin В sin С

tan a tan b tan с

= tan в.

Во второй части параграфа 1.2 изучаются сферические октаэдры с группой симметрий, порожденной отражением в плоскости и поворотом на угол 7Г вокруг оси, перпендикулярной к плоскости отражения (2 | ш-симметрия). Для таких октаэдров справедлива следующая теорема.

Теорема 12 (Правило синусов—тангенсов). Пусть О = = 0(a,b,c,d,A,B,C,D) — сферический октаэдр, обладающий 2| тп-симлтприей. Тогда выполняются следующие соотношения

. C+D . C-D sin A sin В sm—

-= -—г --=-é—r = tan в,

tan a tan о . с + а с — а

tan —-— tan-

2 2

где Q < в < ir/2 — корень уравнения

2 X+Y+Z+W

C0S XYZ 4- XYW + XZW + YZW '

C + D С — D

X = eos Л, Y = cos B, Z = eos —-— и W — eos —-— .

Приведенная ниже теорема выражает объемы октаэдров через двугранные углы.

Теорема 13 (Объем октаэдра с 21 ш-симметрией). Пусть О ~ = 0(А, ¡3, С. D) — сферический октаэдр, обладающий 2 | т-симметприеи. Тогда объем V(0) задается выражением

и

2 J (arth(X cos г) + arth(F cos т) + arth(Z cos r) + arth(W cos r))

dr cos r

Л v I, ry C + D „, C-D

где X = cos Л. Y = cos В, Z = cos-, W — cos- -u

2 2

7Г

0 < 0 < J корень уравнения

2. X+Y+Z+W

cos в H--= 0.

XYZ + XYW + XZW + YZW

Кроме того, в определяется из теоремы синусов-тангенсов

. C+D . C-D sin A sin В sin—— sin——

-=-=-г --Г = tan б .

tan a tan b , c + d. с — а

tan —-— tan -

2 2

Двойственным по отношению к октаэдру общего вида является гексаэдр — многогранник того же комбинаторного типа, что и куб, но имеющий, вообще говоря, различные по величине ребра и двугранные углы. Опираясь на соотношения между длинами ребер и двугранными углами, полученные для октаэдров, можно получить похожие соотношения для двойственных им гексаэдров. Параграф 1.3 посвящен изучению сферических гексаэдров, обладающих mmm-симметрией. Для гексаэдров указанного типа установлено следующее правило синусов-тангенсов.

Теорема 14 (Правило синусов—тангенсов). Пусть Н — = 7í(a,b, c,AtB,C) — сферический гексаэдр, обладающий ттт-симметрией. Тогда выполняются следующие соотношения

sin a sin 6 sin с _ К — « . ,

tan Л tan В tan С С где X = cos Л, Y = cos В, Z = cos С, К и С определяются как

К2 = -(X + YZ)(Y + XZ){Z + XY) иС = 2XYZ + X2+Y2 + Z2- 1.

Также получена следующая формула объема.

Теорема 15 (Объем гексаэдра с mmm-симметрией). Пусть Н = = Н.(А,В.С) — сферический гексаэдр, обладающий ттт-симм.етрией. Тогда объем V(W) задается выражением

л/2

П f Т, Í и Х Л.^ , Z 1 \ dr

2 I Re arch--1- arch--1- arch--1- arch-1 -,

J V cos T cos r cos r cos T J sm r в

где. X = cos A, Y — cos В, Z = cos С и 0 < в < -к/2 — корень уравнения

2 (2XYZ + X2 + Y2 + Z2- I)2 tan + А{Х+ YZ){Y + XZ){Z + XY) ~

Вторая глава диссертации посвящена изучению объемов неевклидовых тетраэдров и решению известной проблемы Зейделя. Постановка проблемы подробно изложена в параграфе 2.1, в же этом параграфе приведены необходимые определения. В 1986 году Дж. Зейдель сформулировал гипотезу о том, что объем идеального гиперболического тетраэдра можно выразить как функцию от определителя и перманента матрицы Грама. Около десяти лет назад усиленный вариант гипотезы Зейделя был предложен И. Ривнным и Ф. Лю. Они предположили, что объем тетраэдра (гиперболического или сферического) зависит лишь от определителя его матрицы Грама. В параграфе 2.2 настоящей работы показано, что усиленная гипотеза не верна. В первой части параграфа построен контрпример к усиленной гипотезе Зейделя для сферических тетраэдров. Имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Существует однопараметрическое семейство сферических тетраэдров с постоянным значением определителя матрицы Грама и переменным значением объема.

Во второй части параграфа 2.2 доказана следующая теорема, дающая решение усиленной проблемы Зейделя в гиперболическом случае.

Теорема 19. Существует однопараметрическое семейство гиперболических тетраэдров с постоянным значением определителя матрицы Грама и переменным значением объема.

Как и в предыдущем случае классическая проблема Зейделя в целом решается отрицательно. Рассмотрим отображение

F : (А, В) —> (det G, per G),

которое ставит в соответствие каждому идеальному тетраэдру, заданному своими двугранными углами А и В значения определителя и перманента его матрицы Грама. Степень неоднозначности обратного отображения устанавливает следующая теорема.

Теорема 20. (г) Существует не более двух идеальных гиперболических тетраэдров с одними и тем оке значениями определителя и перманента матрицы Грама.

(«) Существует е > 0 такое, что каждая точка Р из е-окрестности

Ро = задает два неконгруэнтных идеальных гиперболи-

ческих тетраэдра с одними и теми же значениями определителя и перманента матрицы Грама. На мноо/сестве I — {(А, В) : А > > 0,В > А, 7Г > А + 2В} всех идеальных тетраэдров указанные тетраэдры определяются параметрами Р, Р' такими, что F(P) =

С другой стороны, при выполнении указанных ниже естественных геометрических условий классическая проблема Зейделя имеет положительное решение. Это показывает следующая теорема.

Теорема 21. Объем идеального гиперболического тетраэдра можно выразить как функцию от определителя и перманента его матрицы Грама при условии, что он является остроугольным или тупоугольным.

В настоящей работе рассмотрено обобщение классической гипотезы Зейделя для более широкого, по сравнению со множеством всех идеальных тетраэдров, класса симметричных1 тетраэдров в гиперболическом и сферическом пространствах. Был поставлен следующий вопрос: можно ли объем произвольного симметричного тетраэдра (сферического или гиперболического) выразить как функцию, зависящую от двух переменных — определителя и перманента его матрицы Грама?

В параграфе 2.4 на этот вопрос получен отрицательный ответ. Справедлива следующая теорема.

Теорема 22. Существует семейство симметричных тетраэдров с постоянными значениями определителя и перманента матрицы Грама и переменным объемом.

1 Симметричным мы называем тетраэдр, у которого противоположные двугранные углы попарно равны.

= Г(Р') иРфР1.

В параграфе 2.5 приведены численные примеры, подтверждающие справедливость теорем 19 и 22.

Основные результаты второй главы опубликованы в статье [2].

Третья глава начинается с введения, в котором приведен краткий исторический обзор возникновения и развития теории узлов, а также обозначена ее связь с современной теорией трехмерных многообразий и проблемой вычисления объемов многогранников.

Параграф 3.1 содержит необходимые предварительные сведения. В параграфе 3.2 на основе полученных тригонометрических соотношений найдены мнимые части сингулярных геодезических конических многообразий над зацеплением Уайтхеда. В параграфе 3.3 введено понятие обобщенной функции Черна—Саймонса, определен новый инвариант Черна—Саймон-са для орбифолдов над зацеплением Уайтхеда и показана корректность этого определения.

В параграфе 3.4 получены явные формулы для обобщенной функции Черна—Саймонса для конических многообразий Уайтхеда IV(а, /3), носителем которых является трехмерная сфера, а сингулярным множеством — зацепление Уайтхеда с коническими углами а и /3. В гиперболической геометрии справедлива следующая теорема.

Теорема 25. Пусть IV(а, 0) — гиперболическое коническое многообразие Уайтхеда. Тогда справедлива формула

-1 -1 1{¥/{а,0)) = I F(C, А,В)с2С + I Р(С, Л, В)(1С-<1 <2

где F((,A,B) =

Р

1

2(С2 + А2)«2 4- В2)

2тг2«2 _ 11

L(1 + A2)(1 + B2)(C2_C3)

а

, А = cot-,

В = cot —, С = —, Ci = z< Сг — z> а г, Im(-z) > 0 — корень кубического

а

уравнения

гз + 1{А2В2 + А2 + В2- 1 )z2 - A2B2z + А2В2 = 0.

В сферической геометрии установлена аналогичная теорема.

Также в параграфе 3.4 вычислен инвариант Черна—Саймонса для ор-бифолдов над зацеплением Уайтхеда в гиперболическом и сферическом случаях. Получена следующая формула

WW,*«,»)-/(*(£!)) -j). (ЗЛО)

Кроме того, в конце параграфа 3.4 установлена связь инварианта Черна—Саймонса для орбифолдов с классическим инвариантом Черна—Саймонса для многообразий. Указанный инвариант найден для п-листных циклических накрытий трехмерной сферы, разветвленных над зацеплением Уайтхеда. Формула для его вычисления приведена в следующей теореме.

Теорема 27. Пусть Mn(W) — п-листное циклическое накрытие трехмерной сферы, разветвленное над зацеплением Уайтхеда. Тогда инвариант Черна—Саймонса многообразия Mn(W) задается формулой

CS{M„{W))=nCS{S3,W,n,n) (modi).

Результаты третьей главы опубликованы автором диссертации в статьях [3, 4].

Работы автора по теме диссертации

[1] Абросимов Н. В., Годой-МолинаМ., Медных А. Д. Об объеме сферического октаэдра с симметриями // Соврем, мат. и ее прил. 2008. Т. 60. С. 3-12.

Перевод на английский:

AbrosimovN. V., Godoy-MolinaM., MednykhA. D. On the volume of a spherical octahedron with symmetries // J. Math. Sci. (N. Y.) 2009. V. 161, № 1. P. 1-10,

[2] Абросимов H. В. К решению проблемы Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров // Сиб. электрон, мат. изв. 2009. Т. 6. С. 211-218.

[3] Абросимов Н. В. Инварианты конических многообразий с сингулярным множеством в виде зацепления Уайтхеда // Мат. труды. 2007. Т. 10, № 1. С. 1-13.

Перевод на английский:

Abrosimov N. V. The Chern-Simons invariants of cone-manifolds with Whitehead link singular set // Siberian Adv. Math. 2008. V. 18, № 2. P. 77-85.

¡4] AbrosimovN. V. On Chern-Simons invariants of geometric 3-manifolds // Sib. Electron. Mat. Izv. 2006. V. 3. P. 67-70.

[5] Абросимов H. В. Инварианты Черна—Саймонса конических многообразий над зацеплением Уайтхеда // Тезисы докладов Международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-лотию академика Ю. Г. Решетняка. Новосибирск, 2004. С. 48.

[6] Абросимов Н. В. Инварианты Черна—Саймонса конических многообразий над зацеплением Уайтхеда // Материалы XLIII Международной научной с-гуденческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. С. 57-58.

[7] AbrosimovN. On Seidel problem for hyperbolic and spherical tetrahedra // Actas LXXVIII Encuentro Sociedad de Matematica de Chile, Octubre 2006, Olmue, Chile, 2006. P. 11-12.

[8| АбросимовH. В. Гипотеза Зейде.пя об объёмах гиперболических тетраэдров / / Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», посвященная 30-летию Челябинского государственного университета. Челябинск, 2006. С. 3.

[9] Абросимов Н. В. Гипотеза Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. С. 3-4.

[10| AbrosimovN. Hyperbolic and spherical volumes of octahedra with sorn.e symmetries // Тезисы конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летшо ИМ СО РАН. Новосибирск, 2007. С. 113— 114.

[11] AbrosimovN. Volumes of hyperbolic and spherical octahedra with symmetries // Abstracts of talks of the International Conference "Transformation Groups" dedicated to the 70-th anniversary of Ernest B. Vinberg. Moscow, 2007. P. 5-8.

Jl2] AbrosimovN. The Seidel problem on volume of hyperbolic tetrahedra / / Warwick Symposium "Low Dimensional Geometry and Topology". Warwick, 2007. http://www.warwick.Eic.uk/ masgar/Seminar/WGTS/Abrosimov.pdf ~ 27 pp.

[13] AbrosimovN., Godoy-MolinaM., MednykhA. On the volume of a spherical octahedron with symmetries // Abstracts of Advanced School and Conference on Knot Theory and its Applications to Physics and Biology, May 11-29, ICTP, Trieste, Italy. 2009. — 14 pp.

В работе [1] вклад авторов равноценный.

Абросимов Николай Владимирович

Объемы неевклидовых многогранников, обладающих нетривиальной симметрией

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 07.10.2009. Формат 60 х 84 1/16. Усл. псч. л. 0,9 Печать RISO. Тираж 80 экз. __Заказ № 123

Отпечатало в центре оперативной печати «Оригинал 2», ИП Плужникова О. Ф. 633010, г. Бердск, ул. Кошевого, 6

Введение

1 Объемы неевклидовых многогранников с симметриями

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Сферические октаэдры с симметриями.

1.2.1 Объем сферического октаэдра, обладающего ттт-симметрией.

1.2.2 Объем сферического октаэдра, обладающего 2 | ш-симметрией.

1.3 Сферические гексаэдры с симметриями.

1.3.1 Объем сферического . гексаэдра, обладающего штт-симметрией.

2 Проблема Зейделя об объеме неевклидового тетраэдра

2.1 Постановка проблемы.

2.2 Усиленная проблема Зейделя.

2.2.1 Сферическая геометрия.

2.2.2 Гиперболическая геометрия.

2.3 Классическая проблема Зейделя.

2.4 Проблема Зейделя для симметричного тетраэдра.

2.5 Примеры.

3 Инвариант Черна—Саймонса для конических многообразий

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Тригонометрические тождества и их следствия.

3.3 Определение и основные свойства обобщенной функции Черна—Саймонса и инварианта Черна—Саймонса.

3.4 Инварианты Черна—Саймонса для конических многообразий над зацеплением Уайтхеда.

3.5 Примеры.

Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. В основном это связано с тем, что объем фундаментального многогранника является одним из основных инвариантов трехмерного многообразия.

Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тартальи (Tartaglia, 1499-1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли— Менгера.

•Теорема 1 (тарталья, 1546). Пусть Т — тетраэдр в евклидовом пространстве с длинами ребер (1^, 1 < I < ^ < А. Тогда объем V = У[Т) задается формулой

0 1 1 1 1

1 0 4. 4$

1 0 4з

1 н2 "32 0 4*

1 <4 СI2 42 4з 0

Заметим, что в приведенном выше соотношении объем является корнем квадратного уравнения, коэффициенты которого являются многочленами с целыми коэффициентами от длин ребер. Удивительно, но этот результат можно обобщить на случай произвольного евклидова многогранника. Около десяти лет назад И. X. Сабитов [1] доказал соответствующую теорему.

Теорема 2 (сабитов, 1998). Пусть Р — евклидов многогранник с жесткими гранями и длинами ребер dij. Тогда объем V(P) — это корень алгебраического уравнения четной степени, чьи коэффициенты являются многочленами с рациональными кэффициентами от dfj и зависят от комбинаторного типа Р.

Стоит обратить внимание, что эта замечательная теорема носит чисто теоретический характер. Даже в тех редких случаях, когда указанное уравнение известно для конкретного типа многогранников, оно очень сложное и искать с его помощью объем крайне затруднительно. С другой стороны, теорема Сабитова дала отрицательный ответ на вопрос известной проблемы кузнечных мехов: можно ли изготовить кузнечные меха в виде многогранника с жесткими гранями, соединенными при помоги^ шарниров ?

В отличие от евклидова пространства, в гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Гаусс, один из создателей гиперболической геометрии, использовал слово „die Dschungel" (джунгли, дебри) в отношении вычисления объемов в неевклидовой геометрии. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского [2] и JI. Шлефли [3]. Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлерхальц [4], Д. А. Деревниным и А. Д. Медных [5], А. Ю. Весниным, А. Д. Медных и

Дж. Паркером [6], и другими. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Вин-бергом [7].

Общая формула объема гиперболического тетраэдра долгое время оставалась неизвестной. Несколько лет назад Ю. Чо, X. Ким [8], Дж. Му-раками, У. Яно [9] и А. Ушиджима [10] добились успеха, установив такую формулу. Д. А. Деревнин, А. Д. Медных [11] предложили более простую интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра.

Теорема 3 (Деревнин, Медных, 2005). IJycmbT(A,B,C,D,E,F) -компактный гиперболический тетраэдр с двугранными углами A,B,C,D,E,F. Тогда объем V = V(T) задается формулой 1 J COS A+B+C+z COS Л+E+F+z COS S+D+F+* CQS C+D+E+z

V l0g Sin ¿+B+D+E+* sin A+C+D+F+z sin B+C+E+F+Z sin i dz> 1 где z\ и Z2 — корни подынтегрального выражения, удовлетворяющие условиям 0 < Z2 — z\ < 7г. Более точно, к3 к\ к3 к\ . z\ = arctan ---arctan — , Z2 = 7г — arctan ---arctan — , где k4 k2 kA k2 fci = - cos S - cos (.A + D) - cos (В + E) - cos [C + F) — cos {D + E + F)~

- cos (D + B + C) - cos (A + E + C) — cos(A + В + F), k2 = sin S + sin(A + D) + sin(B + E) + sin(C + F) + sin(D + E + F)+ sin(£> + B + C)+ sin (A + E + C)+ sin(A + В + F), k3 = 2 (sin A sin D 4- sin В sin E + sin С sin F), \J k'í + Щ Щ ,

S = A + B + C + D + E + F.

Удивительно, но еще более ста лет назад, в 1906 г., итальянский герцог Гаетано Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии А. Д. Медных с X. М. Монтезиносом (J. М. Montesinos) на конференции в Эль Бурго д'Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца [12] до этого была полностью забыта.

Теорема 4 (СФОРЦА, 1906). Пусть Т — гиперболический тетраэдр с матрицей Грама G. Рассмотрим G = G(A) как функцию двугранного угла А. Тогда объем Т задается формулой где А0 — подходящий корень уравнения сЫ;С?(А) = 0 и с34(Л) — соответствующий минор Сг(А).

Приведенная формула, хотя и имеет компактную запись в терминах миноров матрицы Грама, не так проста. Отметим, что в случае симметрического тетраэдра, противоположные двугранные углы которого попарно равны, формула объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским [2] для идеального гиперболического тетраэдра, то есть тетраэдра, все вершины которого лежат на бесконечности. Дж. Милнор [13] представил соответствующий результат в весьма элегантной форме.

Теорема 5 (МилнОР, 1982). Пусть Т = Т(А,В,С) — идеальный гиперболический тетраэдр с двугранными углами А, В, С. Тогда объем V = V(T) задается формулой

V(T) = А(А) + А (В) + А (С), X где А(х) — — J log | 2 sin i | dt — функция Лобачевского. о

В общем случае, объем симметричного тетраэдра найден Д. А. Деревянным, А. Д. Медных и М. Г. Пашкевич [14].

Теорема 6 (Деревнин, Медных, Пашкевич, 2004). Пусть Т = = Т(А, В, С) — симметричный гиперболический тетраэдр с двугранными углами А, В, С. Тогда объем V(T) задается как вещественная часть выражения оо f /. a b .с . 1 \dv arcsm , + arcsm . + arcsin . — arcsm . —,

J V y/u* + l V^TT V^TT ч/РТТ^ v и где

1 — a2 — b2 — с2 — 2 abc и = —. , у/(1 — a + b + c)(l + a — b + c)(l + a + b — c)(—l + a + b + с) a cos Л, b = cosB, c = cosC.

Интересно заметить, что идея использования симметрий оправдывает себя и для более сложных многогранников, о чем и пойдет речь в первой главе настоящей работы.

Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов.

В первой главе диссертации изучаются неевклидовы октаэдры и гексаэдры, обладающие нетривиальными симметриями. Содержание главы основано на работе [55]. Структура главы устроена следующим образом. Начало главы состоит из обзора полученных в главе результатов. Параграф 1.1 содержит предварительные сведения, необходимые для вычисления объемов многогранников. В этом параграфе приводится классическая формула Шлефли (теорема 7), связывающая дифференциалы объема многогранника и его двугранных углов в пространстве постоянной кривизны. Указанная формула будет использована нами для вычислений в последующих параграфах главы 1. Параграф 1.2 посвящен изучению сферических октаэдров, обладающих симметриями различных типов, и состоит из двух частей. В первой части рассматриваются октаэдры с группой симметрий, порожденной отражениями в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях (mmm-симметрия). Для таких октаэдров установлена следующая явная формула объема.

Теорема 10 (Объем октаэдра с mmm-симметрией). Пусть О = 0(А, В, С) — сферический октаэдр, обладающий ттт-симметрией.

Тогда объем V — V(0) задается выражением в

Л* arth(X cos т) + arth(y cos т) + arth (Z cos т) + arth(cos r) j —— , vr/2 где X = cos A, Y = cos B, Z = cos С и 0 < в < тх/2 — корень уравнения

Кроме того, в определяется из теоремы синусов-тангенсов sin A sin В sin С tan a tan Ъ tan с tan в.

Также для октаэдров указанного типа установлены тригонометрические соотношения в форме правила синусов-тангенсов, связывающие длины ребер и двугранные углы.

Теорема 9 (Правило синусов—тангенсов). Пусть О = = 0(а, Ь, с, А, В, С) — сферический октаэдр, обладающий ттт-симметрией. Тогда выполняются следующие соотношения sin A sin Б sin С 2 К tana tan b tan с С ' где К и С — положительные числа, определенные как

К2 = (z- ху)(х - yz)(y - xz), С = 2xyz - х2 - у2 - z2 + 1, х = cos а, у = cos b, z = cos с.

Во второй части параграфа 1.2 изучаются сферические октаэдры с группой симметрий, порожденной отражением в плоскости и поворотом на угол 7г вокруг оси, перпендикулярной к плоскости отражения (2 | т-симметрия). Для таких октаэдров установлена следующая формула объема.

Теорема 13 (Объем октаэдра с 2 | ш-симметрией). Пусть О = — 0(А, В, С, D) — сферический октаэдр, обладающий 2 | т-симметрией. Тогда объем V — V(0) задается выражением а

2 J ^arth(X cos т) + arth(y cos r) + arth(Z cos r) + arth(W cos r)^ dr

COST

С + D С — D где X - cos Л, Y = cos J3, Z — cos—-—, W = cos—-— и i A

7Г

О < и < — — корень уравнения

2 X+y+Z+Ж cos + XYZ + + + yzw U.

Кроме того, в определяется из теоремы синусов-тангенсов

C + D . C-D sin Л sin Б sm—о

-=-г =-f-г =-^-r = tan a tan о , с + а с — а tan- tan

2 2

Для октаэдров указанного типа также установлено правило синусов-тангенсов.

Теорема 12 (правило синусов—тангенсов). Пусть О = = 0(а, 6, с, d, Л, i?, С, D) — сферический октаэдр, обладающий 2 | т-симметрией. Тогда выполняются следующие соотношения tan#, C + D . C-D sin Л sin В tan a tan b , c + d c — d tan —-— tan —-— ¿d ¿ где 0 < # < 7г/2 — корень уравнения

2 X+Y+Z+W

C0S XYZ + XYW + XZW + У^Ж '

C+D C-D

X = eos Л, Y = cos B, Z = eos —-— i¿ VV = eos —-—. z z

Двойственным по отношению к октаэдру общего вида является гексаэдр — многогранник того же комбинаторного типа, что и куб, но имеющий, вообще говоря, различные по длине ребра и двугранные углы грани не обязательно параллельны). Гексаэдр является Платоновым телом, следующим по сложности после октаэдра. Опираясь на соотношения между длинами ребер и двугранными углами, полученные для октаэдров, можно получить похожие соотношения для двойственных гексаэдров. Параграф 1.3 посвящен изучению сферических гексаэдров, обладающих mwm-симметрией. Для них получена следующая явная формула объема.

Теорема 15 (ОБЪЕМ ГЕКСАЭДРА С mmra-СИММЕТРИЕЙ). Пусть Н = = Л{А, В, С) — сферический гексаэдр, обладающий ттт-симметрией. Тогда объем V = V{J~i) задается выражением тг/2 ъ f Í 1 х , У , Z , 1 \ dr

2 Re / arch--Ь arch--h arch--h arch- —— ,

J \ cos r COS T COS T COS T / sin r в где X = cos Л, Y — cos В, Z = cos С мО<0<7г/2 — корень уравнения

2 (2 XYZ + X2 + У2 + Z2 — I)2 tan + 4(Х + YZ)(Y + XZ)(Z + XY) ~~ '

Кроме того, для гексаэдров указанного типа установлено следующее правило синусов-тангенсов.

Теорема 14 (Правило синусов—тангенсов). Пусть Н = = Н(а,Ь,с,А,В,С) — сферический гексаэдр, обладающий ттт-симметрией. Тогда выполняются следующие соотношения sin a sin b sine К z tan A tan Б tan С С ' где X — cos Д Y — cos В, Z = cos С, К и С определяются как

К2 = ~{X + YZ)(Y + XZ){Z + XY) и С = 2XYZ + X2 + Y2 + Z2 - 1.

Вторая глава диссертации посвящена изучению объемов неевклидовых тетраэдров и решению известной проблемы Зейделя. Постановка проблемы подробно изложена в параграфе 2.1, также в этом параграфе приведены необходимые определения. В 1986 году Дж. Зейдель в своей работе [15] высказал гипотезу о том, что объем идеального гиперболического тетраэдра можно выразить как функцию от определителя и перманента матрицы Грама. Около десяти лет назад усиленный вариант гипотезы Зейделя был предложен И. Ривиным и Ф. Лю. Они предположили, что объем тетраэдра (гиперболического или сферического) зависит лишь от определителя его матрицы Грама. В параграфе 2.2 настоящей работы показано, что усиленная гипотеза не верна. В первой части параграфа построен контрпример к усиленной гипотезе Зейделя для сферических тетраэдров. Имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Существует однопараметрическое семейство сферических тетраэдров с постоянным значением определителя матрицы Грама и переменным значением объема.

Во второй части параграфа 2.2 доказана следующая теорема, дающая решение усиленной проблемы Зейделя в гиперболическом случае.

Теорема 19. Существует однопараметрическое семейство гиперболических тетраэдров с постоянным значением определителя матрицы Грама и переменным значением объема.

Как и в предыдущем случае классическая проблема Зейделя в целом решается отрицательно. Рассмотрим отображение

F : (А, В) —> (detG.perG), 13 которое ставит в соответствие каждому идеальному тетраэдру, заданному своими двугранными углами А и В значения определителя и перманента его матрицы Грама. Степень неоднозначности обратного отображения устанавливает следующая теорема.

Теорема 21. (г) Существует не более двух идеальных гиперболических тетраэдров с одними и тем же значениями определителя и перманента матрицы, Грама. гг) Существует £ > 0 такое, что каждая точка Р из е-окрестности ческих тетраэдра с одними и теми же значениями определителя и перманента матрицы Грама. На множестве I = {(А, В) : А>0,Б>Л,7г>А + 2 В} всех идеальных тетраэдров указанные тетраэдры определяются параметрами Р, Р' такими, что

С другой стороны, при выполнении естественных геометрических условий, классическая проблема Зейделя имеет положительное решение. Это показывает следующая теорема.

Теорема 20. Объем идеального гиперболического тетраэдра можно выразить как функцию от определителя и перманента его матрицы Грама при условии, что он является остроугольным или тупоугольным.

В настоящей работе рассмотрена возможность обобщения классической гипотезы Зейделя для более широкого, по сравнению со множеством задает два неконгруэнтных идеальных гиперболи Р(Р') иРфР'. всех идеальных тетраэдров, класса симметричных1 тетраэдров в гиперболическом и сферическом пространствах. Вопрос был поставлен следующим образом: моо/сно ли объем произвольного симметричного тетраэдра (сферического или гиперболического) выразить как функцию, зависящую от двух переменных — определителя и перманента его матрицы Грама?

В параграфе 2.4 на этот вопрос получен отрицательный ответ. Более точно, справедлива следующая теорема.

Теорема 22. Существует семейство симметричных тетраэдров с постоянными значениями определителя и перманента матрицы Грама и переменным объемом.

В параграфе 2.5 приведены примеры симметричных тетраэдров различного объема с одинаковыми значениями определителя и перманента матрицы Грама. Указанные примеры численно подтверждают справедливость теорем 19 и 22.

Основные результаты второй главы опубликованы в статье [56].

Классическая задача вычисления объема многогранника в последние десятилетия получила новое продолжение в теории трехмерных многообразий. В основном это связано с тем, что объем фундаментального многогранника является на ряду с инвариантом Черна—Саймонса и комплексными длинами геодезических одним из важнейших инвариантов многообразия. Третья глава диссертации посвящена изучению инвариантов Черна—Саймонса ряда многообразий с особенностями. При этом

1 Симметричным мы называем тетраэдр, у которого противоположные двугранные углы попарно равны. использованы аналитические и геометрические методы, разработанные для вычисления объемов многогранников.

Глава 3 начинается с введения, в котором приведен краткий исторический обзор возникновения и развития теории узлов, а также обозначена ее связь с современной теорией трехмерных многообразий и проблемой вычисления объемов многогранников.

Параграф 3.1 содержит необходимые предварительные сведения. В параграфе 3.2 на основе тригонометрических соотношений найдены мнимые части сингулярных геодезических конических многообразий над зацеплением Уайтхеда. В параграфе 3.3 введено понятие обобщенной функции Черна—Саймонса, определен новый инвариант Черна—Саймонса для орбифолдов над зацеплением Уайтхеда и показана корректность этого определения.

В параграфе 3.4 получены явные формулы для обобщенной функции Черна—Саймонса для конических многообразий \¥{а, (3) с сингулярным множеством в виде зацепления Уайтхеда и коническими углами а и (3 вдоль компонент сингулярного множества. В гиперболической геометрии справедлива следующая теорема.

Теорема 25. Пусть \У(а,р) — гиперболическое коническое многообразие. Тогда справедлива формула

-1

-1 где А, В) =

2(С2 + А2)(С2 + Д2) L(1 + A2)(1 + 52)(C2-C3)J а А = cot —, 2'

2тг2(С2 - 1)

В = cot С = Ci — С2 = z, a z, Im(2;) > 0 — корень кубического уравнения 1 А2 + В2 А2В22 + = д

В сферической геометрии имеет место похожая теорема.

Теорема 26. Пусть — сферическое коническое многообразие.

Тогда справедлива формула

-1 -1 1{УУ(а,Р)) = I + I ^(С.АВК

С1 С2 2 / 2 7Г — а \ / 7Г — р где А, В) =

2тг J V 2тг '

2(С2 + А2)(С2 + Б2)

2тг2(С2 - 1)

L(I + A2)(I + 52)(C2-C3)J а А = cot-,

В = соЬ^-, С — С1 = Сг = ¿2, а ^ъ 0 < ^ < г2 — вещественные корни кубического уравнения

23 + 1(А2Б2 + А2 + В2 1)г2 А2Б2г + ^2 = д

Также в параграфе 3.4 вычислен новый инвариант Черна—Саймонса для орбифолдов над зацеплением Уайтхеда в гиперболическом и сферическом случаях. Получена формула m}

3.10)

Кроме того, в конце параграфа 3.4 установлена связь инварианта Черна—Саймонса для орбифолдов с классическим инвариантом Черна—

Саймонса для многообразий. Последний инвариант найден в этом же параграфе для n-листных накрытий трехмерной сферы, разветвленных над вложенным в нее зацеплением Уайтхеда.

Теорема 27. Пусть Mn(W) — п-листпое накрытие трехмерной сферы, разветвленное над зацеплением Уайтхеда. Тогда инвариант Черна— Саймонса многообразия Mn(W) задается формулой

CS{Mn(W)) = nCS{§>3,W,n,n) (modi)

Результаты третьей главы опубликованы автором диссертации в статьях [57, 58].

Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка, на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова, на семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» ИМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН А. Ю. Веснина, на семинаре «Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах» ИМ СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных, на семинаре "Geometry and Topology", Warwick Mathematics Institute (Великобритания) под руководством профессора С. Series, на семинаре "Coloquio en Instituto de Matemática y Física", Universidad de Talca (Чили) под руководством профессора R. Baeza Rodríguez.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на XLII, XLIII и XLIV Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск 2004, 2005 и 2006 гг., на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка, Новосибирск 2004 г., на Международной школе-конференции по геометрии и топологии 3-многообразий, Новосибирск 2005 г., на Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика», посвященной 30-летию Челябинского государственного университета, Челябинск 2006 г., на Международной конференции "Actas LXXVIII Encuentro Sociedad de Matematica de Chile", Ольмуе (Чили) 2006 г., на Международной конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию ИМ СО РАН, Новосибирск 2007 г., на Международной конференции "Transformation Groups", посвященной 70-летию Э. Б. Винберга, Москва 2007 г., на Международной конференции "Braids and their ramifications", Кортона (Италия) 2007 г., на Международной конференции "Braids in Paris", Париж (Франция) 2008 г., на Школе-конференции по геометрии и анализу, Телецкое озеро (Горный Алтай) 2009 г., на Международной школе-конференции по теории узлов и ее приложениям в физике и биологии, Триест (Италия) 2009 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55]—[67].

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько параграфов. Нумерация формул состоит из двух чисел — номера главы и порядкового номера формулы в главе. Таким же образом нумерованы рисунки и таблицы. Для замечаний и теорем используется сплошная нумерация. Работа содержит 13 рисунков и 2 таблицы. Список литературы насчитывает 67 использованных источников, которые приведены в порядке их цити

1. Сабитов И. X. Объем многогранника как функция длин его ребер // Фундамент, и прикл. матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 305-307.

2. Lobatschefskij N. I. Imaginäre Geometrie und ihre Anwendung auf einige Integrale // Deutsche Ubersetzung von H.Liebmann. — Leipzig: Teubner, 1904.

3. SchläfliL. Theorie der vielfachen Kontinuität // In: Gesammelte mathematishe Abhandlungen. — Basel: Birkhäuser, 1950.

4. Kellerhals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541-569.

5. Деревнин Д. А., Медных А. Д. Объем куба Ламберта в сферическом пространстве // Матем. заметки. 2009. Т. 86, № 2. С. 190-201.

6. MednykhA. D., Parker J., VesninA.Yu. On hyperbolic polyhedra arising as convex cores of quasi-Fuchsian punctured torus groups // Bol. Soc. Mat. Mexicana (3). 2004. V. 10. P. 357-381.

7. ВинбергЭ.Б. Геометрия-2 // Современные проблемы математики, Т. 29. — М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1988.

8. ChoYu., KimH. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Disc, and Сотр. Geometry. 1999. V. 22. P. 347-366.

9. Murakami J., YanoM. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. 2005. V. 13. P. 379-200.

10. UshijimaA. Volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // In: Non-Euclidean Geometries. Mathematics and Its Applications. 2006. V. 581. P. 249-265.

11. Деревнин Д. А., Медных А. Д. О формуле объема гиперболического тетраэдра // Усп. мат. наук. 2005. Т. 60, № 2. Р. 159-160.

12. SforzaG. Spazi metrico-proiettivi // Ricerche di Estensionimetria differenziale III. 1906. V. 8. P. 3-66.

13. MilnorJ. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, № 1. P. 9-24.

14. Деревнин Д. А., Медных А. Д., Пашкевич M. Г. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 5. С. 1022-1031.

15. Seidel J. J. On the volume of a hyperbolic simplex // Stud. Sci. Math. Hung. 1986. V. 21. P. 243-249.

16. SchlafliL. On the multiple integral //•■•/ dxdy. .dz whose limits are Pi = aix+biy+. .+hiz > 0,p2 > 0,. .pn > 0 and x2+y2 + . . + z2 < 1 // Quart. J. Math. 1858. V. 2. P. 269-300; 1860. V. 3. P. 54-68; 97-108.

17. KneserH. Der Simplexinhalt in der nichteuklidischen Geometrie // Deutsche Math. 1936. V. 1. P. 337-340.

18. MilnorJ.W. How to Compute Volume in Hyperbolic Space // In: Collected Papers, V. 1. Geometry. — Houston: Publish or Perish, 1994. P. 189-212.

19. Галиулин P. В, Михалев С. H., Сабитов И. X. Некоторые приложения формулы для объема октаэдра // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 27-43.

20. LuoF. On a problem of Fenchel // Geometriae Dedicata. 1997. V. 64. P. 227-282.

21. Медных А. Д., Пашкевич M. Г. Элементарные формулы для гиперболического тетраэдра // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47, № 4. С. 831— 841.

22. ZagierD. Hyperbolic manifolds and special valuesof Dedeking zeta-functions // Invent. Math. 1986. V. 83. P. 285-301.

23. Knott C. G. Life and scientific work of P. G. Tait // Cambridge: Cambridge University Press, 1911.

24. Riley R. An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure // In: Topology of Low-Dimensional manifolds: Proceedings (Lecture Notes in Mathematics № 722). — Springer-Verlag, 1979. P. 99133.

25. Adams C. C. The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots // New York: Freeman and Co., 1994.

26. BurdeG., ZieschangH. Knots // Berlin et al.: de Gruyter, 1985.

27. Conway J. H. On enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties // In: Proceedings of the Conference on Computational Problems in Abstract Algebra, Oxford, 1967. — Oxford: Pergamon, 1970. P. 329-358.

28. CrowellR. H., FoxR. H. Introduction to knot theory // New York et al.: Springer, 1977.

29. RolfsenD. Knots and Links // Berkeley: Publish or Perish, 1976.

30. Thurston W. Three-dimentional Geometry and Topology // Princeton: Princeton University Press, 1997.

31. Hodgson C. Degeneration and regeneration of geometric structures on three-manifolds // Ph.D.Thesis. — Princeton: Princeton University Press, 1986.

32. HildenH. M., LozanoM.T., Montesinos-AmilibiaJ. M. On the Borromean orbifolds: geometry and arithmetic. // In: Topology'90, eds. Apanasov B. N., Newmann W., Reid A., Siebenmann L. — Berlin: de Gruyter, 1992. P. 133-167.

33. HildenH. M., LozanoM.T., Montesinos-Amilibia J. M. On a remarkable polyhedron geometrizing the figure eight knot cone manifolds //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1995. V. 2. P. 501-561.

34. HildenH. M., LozanoM.T., Montesinos-Amilibia J. M. On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant // Journal of Knots and its Ramification. 1995. V. 4, № 1. P. 81-114.

35. HildenH. M., LozanoM.T., Montesinos-Amilibia J. M. On Volumes and Chern—Simons Invariants of Geometric 3-Manifolds //J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 1996. V. 3. P. 723-744.

36. Hodgson C. D., KerckhoffS. P. Rigidity of hyperbolic cone-manifolds and hyperbolic Dehn surgery //J. Differential Geom. 1998. V. 48. P. 1-59.

37. Dunbar W. D. Geometric orbifolds // Rev. Mat. Univ. Complutense Madr. 1988. V. 1, № 1-3. P. 67-99.

38. Jones K.N. Geometric Structures on Branched Covers over Universal Links // Contemporary Mathematics. 1994. V. 164. P. 47-58.

39. Kojima S. Deformations of hyperbolic 3-cone-manifolds // J. Differential Geom. 1998. V. 49. P. 469-516.

40. PortiJ. Regenerating hyperbolic and spherical cone structures from Euclidean ones // Topology. 1998. V. 37, № 2. P. 365-392.

41. Mednykh A., Vesnin A. On the volume of hyperbolic Whitehead link cone-manifolds // SCIENTIA, Series A: Mathematical Sciencies, Universidad Técnica Federico Santa Maria, Valparaiso, Chile. 2002. V. 8. P. 1-11.

42. EpsteinD., PetronioC. An exposition of Poincaré's polyhedron theorem // L'Enseignement Mathématique. 1994. V. 40. P. 113-170.

43. Mednykh A. On hyperbolic and spherical volumes for knot and link cone-manifolds 11 Warwick. 2002. P. 470-487.

44. MostovG.D. Quasi-conformai mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Publ.IHS V. 34 (1968). Berlin—New York. 1989. P. 53-104.

45. FenchelW. Elementary Geometry in Hyperbolic Space // Berlin et al.: de Gruyter, 1989.

46. Mednykh A. D. On the remarkable properties of the hyperbolic Whitehead link cone-manifold // In: Series Knots and Everything, Singapure et al.: World Scientific, 2000. V. 24. P. 290-305.

47. Gonzalez—Acuña F., Montesinos-Amilibia J. M. On the character variety of group representations in SL(2,C) and PSL(2,C) // Math. Z. 1993. V. 214. P. 627-652.

48. ZhouQ. The Moduli Space of Hyperbolic Cone Structures // J. Differential Geom. 1999. V. 251. P. 517-550.

49. Hodgson C.D. Schlafli revisited: Variation of volume in constant curvature spaces // Manuscript. Melbourne: University of Melbourne, 1991.

50. HellingH., Kim A. C., MennickeJ.L. Some Honey-combs in Hyperbolic 3-space // Communications in Algebra. 1995. V. 23, № 14. P. 5169-5206.

51. ShmatkovR. N. Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds // Siberian Adv. Math. 2003. V. 13, № I. P. 55-86.

52. CoulsonD., GoodmanO. A., Hodgson C.D., Neumann W. D. Computing AArithmetic Invariants of 3-Manifolds // Experemental Math. 2000. V. 9, № 1. P. 127-152.Работы автора по теме диссертации

53. Абросимов H. В. К решению проблемы Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров // Сиб. электрон, мат. изв. 2009. Т. 6. С. 211— 218.

54. AbrosimovN. V. On Chem-Simons invariants of geometric 3-manifolds // Sib. Electron. Mat. Izv. 2006. V. 3. P. 67-70.

55. Абросимов H. В. Инварианты Черна-Саймонса конических многообразий над зацеплением Уайтхеда // Тезисы докладов Международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка. Новосибирск, 2004. С. 48.

56. Абросимов Н. В. Инварианты Черна-Саймонса конических многообразий над зацеплением Уайтхеда // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. С. 57-58.

57. AbrosimovN. On Seidel problem for hyperbolic and spherical tetrahedra // Actas LXXVIII Encuentro Sociedad de Matematica de Chile, Octubre 2006, Olmue, Chile, 2006. P. 11-12.

58. Абросимов H. В. Гипотеза Зейделя об объёмах гиперболических тетраэдров // Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», посвященная 30-летию Челябинского государственного университета. Челябинск, 2006. С. 3.

59. Абросимов Н. В. Гипотеза Зейделя об объемах гиперболических тетраэдров // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. С. 3-4.

60. AbrosimovN. Hyperbolic and spherical volumes of octahedra with some symmetries // Тезисы конференции «Математика в современном мире», посвященной 50-летию ИМ СО РАН. Новосибирск, 2007. С. 113— 114.

61. AbrosimovN. Volumes of hyperbolic and spherical octahedra with symmetries // Abstracts of talks of the International ConferenceTransformation Groups" dedicated to the 70-th anniversary of Ernest B. Vinberg. Moscow, 2007. P. 5-8.

62. AbrosimovN. The Seidel problem on volume of hyperbolic tetrahedra / / Warwick Symposium "Low Dimensional Geometry and Topology". Warwick, 2007. http://www.warwick.ac.uk/ masgar/Seminar/WGTS/Abrosimov.pdf — 27 pp.

63. AbrosimovN., Godoy-MolinaM., MednykhA. On the volume of a spherical octahedron with symmetries // Abstracts of Advanced School and Conference on Knot Theory and its Applications to Physics and Biology, May 11-29, ICTP, Trieste, Italy. 2009. — 14 pp.