Обобщенная смешанная задача для эллиптических систем на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

V_

ОБОБЩЕННАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Авторефер ат

диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВЛАДИМИР 1997

Работа выполнена, на кафедре геометрии Владимирского государ-стонного педагогического университета.

Научный руководитель --- доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов А.II.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук.

профессор КИСЛОВ Н.В.,

кандидат физико-математических наук, доцент Валиков К.В.

Ведущая организация — Факультет вычислительной

математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 20 марта 1997 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К.113.33.01 при Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 60ОТ24, Владимир, пр-т Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан 19 февраля !997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-иатемаоических наук,

доцент ^-ч « Степанов С

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Теоретическая it прикладная значимость краевых задач для эллиптических систем хорошо.известна. Среди линейных краевых задач наряду с задачами Дирихле и Неймана ва к-ное. значение имеют смешанные краевые задачи, которые моделируют многие физические процессы. Изучению указанных задач посвящены рабоит С. Зарембы. А. Синьорини, М. Келдыша, Л. Седова. Ж. Жиро. Г. Фикера, Ж. Стампакья, С.Г. Михлина. Я.Б. Лопатии-скогй, Г. Леви, С. Агмона и др.

К рассмотрению краевых задач п областях с кусочно-гладкой границей приводят многие задачи механики и физики. В частности, для приложений представляют интерес задачи теории упругости. В работах Г.В. Колосова и II.И. Мусхелишвили были получены основополагающие результаты решения плоских задач для изотропных тел. Теория анизотропной плоской задачи была- существенно продвинута вперед благодаря работам С.Г. Лехшщкого, Г.Н. Савина. С.Г. Михлина, Д.И. Шермана и др,

Изучению краевых задач для эллиптических систем в областях с кусочно- гладкой границей посвящены работы А.II. Солдатом. 13 ни дается способ сведения задачи к системе граничных интегральных уравнений и установлены критерий нетеровосги и формула индекса общих эллиптических задач. Этот подход был применен к исследованию задач теории упругости и гидродинамики в работах Г. Бегера. P.P. Гилберта, Р.В. Дудучавы, II.А. Жура, А.П. Солдатова и др.

Цель работы. Исследование вопросов классической разрешимости различных смешанных краевых задач для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами в областях с кусочно-гладкой границей; установление единственности решения первой, второй п классической смешанной краевых задач для усиленно эллиптических систем, составляющих подкласс сильно эллиптических систем; приложение полученных результатов к анизотропной теории упругости.

Общая методика исследования. В диссертации используются теория эллиптических уравнений и систем, метод сведения задачи к системе граничных интегральных уравнений, теория сингулярных операторов, теория J -аналитических функции.

Научная новизна, В диссертации получены следующие результаты:

]. Дана постановка обобщенней смешанно» задачи для эллиптической системы второго порядка в области с кусочно-гладкой границей, сформулирован и доказан критерий ее нехеровосш и формула индекса в весовых классах Гельдера.

2. Введено понятие усиленно эллиптической системы, доказаны Теоремы единственности решения нерпой, второй и классической смешанной краевых задач.

3. Исследована структура матриц, участвующих п представлении решений системы Ламе анизотропной теории упругости; доказана теорема существования и единственности решения обобщенной смешанной задачи дяя системы Ламе изотропной теории упругости.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы при исследовании смешанных краевых задач для эллиптических систем в областях с кусочно-гладкой границей, а Также при решении прикладных задач (линейная теория упругоеш, гидродинамики, аэродинамика и др.). Отдельные параграфы могут быть использованы для разработки и чтения спецкурсов.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на конференциях: по методам комплексного анализа и интегральным уравнениям (Сухуми, 1987); "Линейные операторы в функциональных пространствах" (Грозный, 1989); ''Дифференциальные уравнения и оптимальное управление"1 (Ашхабад, 1990): ''Математические модели и краевые задачи" (Самара, 1990, 1991, 1990); '"Современные методы нелинейного анализа" (Воронен;, 1995): "Поктрягин ские чтения \1Г' (Воронеж, 199С). Результаты диссертации был! представлены на Международной научной конференции '" Дифферен циальные и интегральные уравнения. Математическая физика и сне циальные функции' (Самара, 1992).

Результаты работы докладывались и обсуждались на научны: семинарах: Новгородского государственного университета под ру ководстном проф. А.II. Солдатопа (1994, 1995, 1996); Владимирское

государственного педагогического университета под руководством проф. В.В. Жикова (1096): факультета 13\1иК М ГУ под руководством проф. Е.И. Моисеева (10%); МЭИ по дифференциальным уравнениям иод руководством проф. Ю.А. Дубингкого (1000).

Публикации автора. Основные результат диссертации опубликованы в работах [1 -Э].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов, списка литературы из 104 наименований. Объем диссертации составляет 81 страницу машинописного текста.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработки проблемы, ставятся цели и задачи исследования и дается изложение основных результатов работы.

Основное содержание посвящено граничным задачам для эллиптической систем£л уравнений второго порядка

92,1 п

,.=1 ____

с постоянными матричными коэффициентами а^ € Я"" , где и = (н;), — действительная ?-вектор-функция переменных .г = Г) , у = .г2 . Условие эллиптичности гтои системы состоит в том. что характеристическое уравнение (1е1(ап + (а^ + "21)2 + о22г2) = 0 не имеет действительных корней на комплексной плоскости г .

В первой главе рассмотрены общие вопросы теории эллиптических систем второго'порядка с постоянными коэффициентами .

В первом параграфе собраны факты и теоремы, используемые при доказательстве основных результатов работы.

Введем / х I -матрицы Ь и / как решения матричного уравнения аиЬ + (а12 + а21)Ь/ + а^Ь.Р = 0, причем Ь такова, что

¡Матрица ] составлена из клеток Жордана, соответствующих собственным значениям характеристического уравнения системы (1), лежащим в верхней полуплоскости (1т 2 >0). Столбцы матрицы Ь образуют цепочки собственных и присоединенных векторов характеристического многочлена системы (1).

Для общего решения и системы (1) справедливо представление вида

Р- = ПеЬФ, = 11е67Ф (2)

ох ду

через решения Ф канонических систем первого порядка

М-

В этом же параграфе даются определения весовых гельдеровских пространств и конечной области £) на комплексной плоскости, ограниченной простым кусочно гладким контуром Г, составленном из гладких дуг Г,-, ) = 1,...,т. Область £> для простоты предполагается односвязной. Пусть Г — множество угловых точек Г, а А = (А;,... ,Ат) — вещественный вектор, компоненты которого отнесены к угловым точкам г^-, ] = 1,.... ,гп .

Через Н/^х = F), 0 < /с < 1, обозначим класс функций

, г € О, представимых в виде

• ф) = П ^ - ^ - /V«,

т,£Г

где принадлежит классу Гельдера Н^(О) и <р,(г}) = 0, т} 6 -Р.

Добавляя к Нр д многочлены-р переменных ж = Не г, у — 1шг, получим модифицированное пространство функций р = <р0 + р , <р0 £ #„,а(£>; Г), которое обозначим #(1(а) . Через #^ЛД£>;.Г) обозначим класс функций, первые производные которых принадлежат классу Н,/(А-1) • Аналогично определяются пространства Я,,(Л)(Г) функций заданных на границе Г области Т) .

Предполагается, что область £> в малой окрестности точек т) является криволинейным сектором раствора , который подчиняется условию 0 < в; < 2тг.

Во втором параграфе рассматривается задача типа Пуанкаре. Для этой задачи приводятся критерий нетеровости и формула индекса. Эти результаты носяг общий характер и в дальнейшем применяется и уточняются в случаях первой, второй и классической смешанной задач.

С

Во второй главе диссертации с единой точки зрения изучаются различные типы смешанных краевых задач длл системы (1). Нрч этом роль ненормальной производной играет граничный оператор

6

О д \ ( О д

С»)

где »1 и - компоненты единичного вектора внешней нормали.

В третьем параграфе формулируется следующая задача. В области В найти решение и(х,у) класса Р), 0 < А < 1,

системы (1), удовлетворяющей на границе Г краевым условиям

где матрицы ¿1 и ¿2 имеют, соответственно, порядки /ух/ и (/— /,)х/ на Гу, 0 € , Л2 6 . Аналогично правые части

/1 и /2 представляют собой, соответственно. - и (/ — /,)-вектор функции на Гу , причем /-вектор-функция (/¡,/2) € /-'1

Постановка (5)г охватывает классические типы краевых задач В случае /,■ = I, й\ = 1 получаем первую краевую задачу; при /, = 0, <12 = 1 имеем вторую краевую задачу; наконец, если /у принимает только значения 0 и I, то получаем обычную смешанную задачу. В соответствии с этим (о) условимся называть обобщенной смешанной задачей.

Введем на Г матрицу^фупхцию порядка 1x1

где матрица Ь определена в (2), а с = —а2\Ь — «22^ ■

Рассмотрим положительное направление обхода контура Г . оставляющее область Б слева. В соответствий с этой ориентацие й обозначим = «!(<) + г$2(0 единичный касательный вектор на Г. С ним свяжем I х I -матрицу [«(<)] = Я] (¿) • 1 4- ■ 7. Каждой угловой точке поставим в соответствие матрицу

<Л«1г = /ь с125и\г = /2,

(5)

■(О = ["*(',■-0))( Иг,

?

как функцию от матрицы J , где ветви степенных функций фиксируются условием

О < агц(—,s( Tj - 0)) - arg(s(7j + 0)) < 2тг.

Задач)- (1), (5) отнесен к нормальному типу, если матрица А не- • особенная но всех точках контура Г, включая предельные значения Л в угловых точках.

Предполагая эю условие выполненным, введем аналитические на всей плоскости матриц-функцип

•МО = 1 - Я"1 (rj - 0)wj(OB(rj + Ojwj "1 ((), Vj(Q - (1 + Л,(С)Х1-«.•,-(<№ (О).

где В -■ Л-1 Л, trj(() = Wj((),a — ¡национальная исчезающая

на с«, функция, удовлетворяющая следующим требованиям: (/') функция у;(С) аналитична в полуплоскости Ile£ < 1 и dety}(Q ф0 при | Itc(| < 1 ;

[ii) в полуплоскости По С < 0 функция det(l+/?(()) имеет одинаковое число нулей и полюсов.

Теорема 3.1. Обобщенная смешанная задача (1), (5) нетероваа F) тогда и только тогда, когда она относится к нормальному

типу и

dot xj(C) ф 0, Rc( = Aj, j = 1,... ,m. (6)

Если эти условия выполнены, то соответствующая однородная задача имеет конечпое число к линейно независимых решений, а неоднородная задача, разрешима тогда и только тогда, когда се правая часть / = (/ь/г) удовлетворяет конечному числу к' линейно независимых условий вида.

[ fi9ds + f f2h ds 4- T /, fo ± 0)>if = 0 (7)

J г J г , J=1

с некоторыми g,h € #,,_л+г , t]f e R'^^ , где £ > 0 и l(t) = ij , t e Г, . При. этом индекс задачи х — k ~ к1 дается формулой

* = ^ (¿i bdet Ч, " ¿jbdetix^ji^ + rt)£ + / - О) - (8)

В условия разрешимости (7) входят и условия согласования на /1 , необходимые для того, чтобы существовала хотя бы одна функция и £ //;,Л) удовлетворяющая на Г первому краевому условию (5).

Условия разрешимости общей краевой задачи возникают в результате сведения этой задачи к системе сингулярных интегральных уравнений на границе.

В четвертом и пятом параграфах решается вопрос о том, когда эти условия можно выразить через условия ортогональности решениям однородной задачи, формально сопряженной (по Лагранжу) к исходной задаче (1), (5).

Рассмотрения ведутся в классе Я'1' полученном объединением но Всем 0 < /1,А < 1. Он состоит из функций и(х,у), первые производные которых и*. м„ после умножения на р(г) = — Г) |. .. | : — г„, | непрерывны по Гельдеру в замкнутой области 1) и обращаются в нуль в точках гь ...,-„ .

Сопряженная задача ставится для системы

т дгг 1 j=i 1

конормалъный оператор 5* которой получается из (4) заменой a,j на ajt. Здесь и ниже Т означает символ транспонирования матриц. В дополнение к условию нормального типа предположим, что

/ <ш \

(let --- ЫО, /ЁГ. ■ (10)

V МО J

Однородная сопряженная задача для системы (9) задается краевыми условиями

d\v = 0. dl6'v=0, (11)

где матрицы d{, d\ определяются из равенства

-Ь т

d{

'Ч

d-

г

Рассмотрим сопряженные по Лагранжу дифференциальные операторы

.А д2и v-> т d'2v

Lu = > й ц ——-—, Lv = > а,-,-

отвечающие системам (1), (9).

Функцию у £ назовем слабым решением задачи (9), (11),

если

[ {Ьи)гЛхЛу = О для всех функций ы с Я11)(Б)ПС2(Р),

1и € Л(V), удовлетворяющих

однородным краевым условиям (5),

Пусть € Я(1)(1)) П Сг(В) такова, что 1щ 6 И (В) и рыполненЫ условия (5), тогда каждое слабое решение V € однородной сопряженной задачи определяет линейный функционал / —* Нч» формуле

(/>г') = / (1>щ)ьс1т.<1у. /о

Основной результат о разрешимости обобщенной смешанной задачи в классе Я'1' сформулирован в терминах этого функционала.

Теорема 5.2. Пусть задача (1), (5) принадлежит к нормальному типу и выполнено условие (10). Тогда для разрешимости неоднородной, задачи в классе Н^ необходимо и достаточно выполнение условий согласования и условий ортогональности

</,»} = * (12) для всех слабых решений однородной сопряженной задачи.

Таким образом, число к' в теореме 3.1 можем представить в виде к'а + к[, где к'0 — число линейно независимых условий согласования, а к[ — число линейно независимых слабых рещений.

В шестом параграфе рассматриваются сильно эллиптические системы (1). Условие сильной эллиптичности состоит в том, что матрица а,- а, а^ симметрична и положительно определена для любых чисел аьа2 6 К, +

Среди сильно эллиптических систем важное место занимают системы плоской теории упругости, для которых наряду .с первой краевой задачей — задачей Дирихле, корректна и вторая краевая задача Иг = 9-

Однако для произвольной сильно аллиптической системы эта задача может оказаться некорректной. В качестве примера может служить система

д2и + ^ ^ д2и ^ д2и _ д дху дхг дх\

где р — ортогональная f x I -матрица, не имеющая вещественных собстиеиных значений.

В связи с этим удобно ввести подкласс сильно эллиптических систем, которые назовем усиленно эллиптическими. У слопце усиленной эллиптичности определяется требованием симметричности и неотрицательной определенности матрицы

а — ( йп ) (13)

V «21 «22 /

Заметим, что ранг этой матрицы не меньше I.

Для усиленно эллиптических систем рассмотрим вопрос о разрешимости первой и второй краевых задач. С этой целью введем эллиптическую систему первого порядка

i=1 3

В ней 21 уравнений не все из которых Линейно независимы. Число линейно независимых уравнений определяется рангом матрицы (t.

Теорема 6.1. Любое, решение и € H^ однородной второй краевой задачи усиленно эллиптической системы является решением системы (14). Верно и обратное: любая функция и, удовлетворяющая (14); является решением этой задачи.

Таким образом, пространство решений однородной второй краевой задачи совпадает с пространством решений системы (14).' Возникает вопрос о конечномерности этого пространства. Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 6.2. Если ranga = I, то пространство рЬгиений однородной второй краевой задачи заведйЛ1о бесконечномерно.

Если ranga = 21 — 1 , то пространство решений имеет размерность I-f 1 и состоит из многочленов первой степени.

В общем случае I < ralaga < 21 пространство решений бесконечномерно тогда и только тогда, когда матрицы

(<4i ««X^m a2i)> fe' а'п){ап Иг)

имеют общий собственный вектор, отвечающий собственному значению 1.

В случае первой краевой задач!! теорема о единственности решении формулируется особенно просто.

Теорема 6.3. Если и 6 Н1-1- (£>) — решение однородной задачи Дирихле, усиленно эллиптической системы, то и = 0 .

Утверждение последней теоремы сохраняет свою силу и для классической смешанной задачи, когда на Г0 задается условие Дирихле, а на Г \ Го - условие Неймана.

Кроме того, установлен критерий фредгольмовости задачи Дирихле и второй краевой задачи для системы (1).

Третья глава диссертации посвящена задачам анизотропной теории упругости в г.лз'чае, когда свойства рассматриваемого тела не зависят от одной из пространственных переменных.

В седьмом параграфе установлено, что система Ламе (1) для вектора смещений и(х,у) является усиленно эллиптичной.

В восьмом параграфе рассматривается вопрос о структуре общего регулярного решения (2) системы уравнений анизотропной теории упрзтости в зависимости от свойств симметрии соответствующего тела. Как известно, столбцы матрицы Ь в представлении (2) решений и образуют цепочку собственных и присоединенных векторов характеристического многочлена Р(г) — оц + {а\г + 021)2 а2г22 . Возможны шесть случаев, когда характеристическое уравнение с^Р(г) = 0 имеет в верхней полуплоскости /'

(г) три различных корня

(гг) два различных корня (один кратности 2) V. и3, Р(у) ф- 0;

{Иг) два различных корня (один кратности 2) и, из, Р{р) = 0;

(ги) один кратный корень и, Р(и) ф 0, Р'{у) ф 0;

(у) один кратный корень и, Р(и) = 0. Р'{у) ф 0;

(г>г) один кратный корень V, Р(у) = 0, Р'{и) = 0.

Для каждого из этих случаев матрица 3 имеет вид:

(г) , (гг) ,7= , (ш) 5 —

(¿и) J= , (у) J= (иг) J =

Coo ibctctuokho случаям (/) — (rr) при наличии в тело различных видов симметрии описана структура матриц /».

13 девятом параграф« в качестве приложения теорем 3.1 и 6.2 приведена смешанная задача изотропной плоской теории упругости. В рассматриваемом случае f истома Ламе (1) для дпухкомнолентиого вектора смещении и ("i- "2) определяется коэффициентами

f\ + 2fi 0\ /О А\ т [П 0 \

где А . /т -положительные постоянные коэффициенты , характеризующие упругую среду. Совокупность {Г|,...,ГШ} гладких дуг разобьем на три попарно непересекающиеся класса к обозначим Г' , Г1' Г'! объединение дуг соответствующего класса.

Решение it системы (1) ищется в классе il^^D, F) но краевым условиям (3), в которых

Г 2 на Г 1 на Г1, Г (J на Г',

;,•=<! О на Г2. г/, = <| 0 на Г2, d2 = i 1 на Г2, ( 1 на Г3, [ £ на Г3, [ 7; па Г\

1Дг- с и // некоторые взаимно -ортогональные единичные вектор функции па Г.

Лля этой задачи получены явные выражения для концевых сил-полов (6). С помощью теорем 6.1, С.2 установлена однозначная разрешимость этой задачи.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических паук, профессору Александру Павловичу Солдатону за постоянное внимание и цепные советы при выполнении этой работы.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Митин С.II. Об одной краевой задаче. — Линейные операторы в функциональных пространствах: Тезисы докладов С'еверо - Кавказской региональной конференции. Грозный, Чечоно -Ингушский ГУ, 1989, с. 103-10-1.

2. Митин С.II. Смешанные задачи плоской теории ^упругости.

Дифференциальные уравнения и оптимальное управление: Материалы трудов всесоюзной конференции. Ашхабад, Ылым, 1990, с. 9G-97.

3. Митин С.П., Солдатов А.II. О разрешимости смешанно - контактной задачи плоской теории упругости. — Дифференц. уравнения. 1993; Т. 29, .\г 5, с. 885-889.

4. Митин С..II., Солдатов А.II. О разрешимости обобщенной еме-"шанной задачи. — Современные методы нелинейного анализа: Тезисы докладов конференции. Воронеж. ВГУ, 1995, с. 127.

5. Митин С.П. Смешанная задача плоской теории упругости. — Материалы конференций молодых ученых 1993 и 1994 гг.- Владимир, ВГПУ, 1995, с. 128-132.

G. Митин С.II., Солдатов А.П. О разрешимости обобщенной смешанной задачи. — Дифференц. уравнения. 199G, Т. 32, iY°- 3, с. 1501 1505.

i Т. Митин СЛ. О разрешимости обобщенной смешанной краевой задачи. — "Понтрягинскпе чтения-VII": Тезисы докладов школы. Воронеж, ВГУ, 1996, с. 68-69.

8. Митин С.П. Представление решений системы Ламе анизотропной теории упругости. — Математическое моделирование и краевые задали: Тезисы докладов конференции. Самара, Са-

' марский ГТУ, 1996, с. 105-106.

9. Митин/C.II. Об одной математической модели анизотропной теорий упругости. — Вестник НовГУ. Серия ест. и техн. науки. № 5, Новгород, 1996, с. 91-92.

Подписано к печати 3.02.97. Заказ № 4317. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте АО "Автоприбор". 600016, г. Владимир, ул. Фрунзе 79.