Обобщенные функции и граничные интегральные уравнения двумерных нестационарных задач теории упругости для многосвязанных областей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

, НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ 1ГАУК РЕСПУБЛИКИ ^ КАЗАХСТАН

^ N ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ, И МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

ЖАНБЫРБАЕВ Адпльбек Бегалиевич

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ II ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗАННЫХ ОБЛАСТЕЙ

Специальность 01.02.04 — «механика деформируемого твердого тела»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы -1994

Работа выполнена в Институте механики и машиноведения HAH PK

Научные руководители: академик HAH PK, доктор технических наук,

профессор Ш.М.Айталиев;

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Ш.А.Дильдабаев.

Ведущая организация: Казахский государственный национальный

университет им. Аль-ФараОи.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л.А.Алексеева;

кандидат физико-математических наук, доценг К.У.Карыысаков.

Защита состоится $ 1994 г. в /{ часов на засе-

дании Специализированного совета Д 53.02.02 при Институте механики и машиноведения HAH PK ( 480091, г. Алматы, пр. Абая, 31 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке HAH PK ( г. Алматы, 21, ул. Шевченко, 28 ).

Автореферат разослан " ^ 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат ^мзико-математичесюа /п

наук, СНС ^ •А• Баймухаметов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Создание и совершенствование методов расчета сейсмостойкости подземных сооружений, кх прочности и надежности под действием динамического нагруженил является весьма актуальной научной задачей и представляет большой практический интерес в связи с тем, что возможность анализа нестационарного поведения сооружений на основе натурных эксперементов весьма ограничена.

Среди разнообразных, аналитических и численных методов исследования нестационарных динамических процессов по своей эффективности и экономичности особое место занимает численно - аналитический метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Современная математическая теория для МГИУ двумерных нестационарных начально-краевых (смешанных) задач для линейно-упругих сред развита в. основном в направлении использования применение преобразования Лапласа (или Фурье) по времени и численном решении в пространстве трансформант с последующим численным обращением. Становится известным,, что применение техники преобразования Лапласа (или Фурье) описывает хорошо медленные процессы и не совсем удовлетворительно процессы с быстро изменяющимися физическими характеристиками, такими, как многократное отражение, преломление и дифракция волн в многосвязаных областях. С целью получения более достоверных данных для таких явлений необходима разработка и математическое обоснование подхода, используемого в настоящей работе и основанного на применении обобщенных функций и запаздывающих волновых потенциалов простого и двойного слоя с построением разрешающих граничных интегральных уравнений в исходной пространственно-временной области.

Цель диссертации! Исследование теоретических и прикладных аспектов применения метода граничных интегральных уравнений, полученных в пространственно-временной области со следующими конкретными задачами: построение т основе обобщенных функций формул Кирхгофа-Сомидьяны для двумерных нестационарных задач теории упругости применительно к бесконечной изотропной среде; изучение

разрешающих граничных интегральных уравнений в запаздывающих потенциалах основных начально-краевых задач; рассчет напряженно-деформированного состояния плоскости с концентраторами напряжений в задачах, моделирующих процессы с быстро изменяющимися физичес-

кими характеристиками.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

- получены регулярные представления для обобщенных функций вида i^fx.i )=(i2-|х|2лфа m-|x|/ct; и их производных с плотностью, имеющей неинтегрируемые особенности на поверхности характеристического конуса;

- предложены регулярные представления для сингулярных интегралов на подвижных фронтах волн посредством предварительного интегрирования по частям временных интегралов;

- дана методика решения на основе ГИУ двумерных нестационарных задач теории упругости;

- ттриведена алгоритмизация полученных граничных интегральных уравнений;

- представлены результаты расчетов напряженно-деформируемого состояния (НДС) для некоторых когкретных задач дифракции волн различного вида на одном и двух отверстиях сводчатой формы.

Практическая ценность. Диссертационная работа является частью выполняемых научно-исследовательских работ по теме Б1.3 "Статические и динамические задачи в телах с концентраторами напряжений" в рамках фундаментальных программ HAH PK. Разработанные в диссертации алгоритмы реализованы в виде пакета прикладных программ, написанных на языке ФОРТРАН.

Апробация работа. Результаты работы докладывались на международной научной конференции "Актуальные проблемы механики деформируемого тела" (Алматы, 1992г.); на научной сессии Общего собрания отделения физ.-мат. наук HAH PH, посвященной проблемам развития механики в Казахстане (Алматы, 1993г.); на научных семинарах лаборатории вычислительных методов волновой динамики Института теоретической и прикладной математики HAH PH под руководством д.ф.-м.н., проф. Алексеевой Л.А. и лаборатории сейсмостойкости подземных сооружений Института механики и машиноведения HAH PK под руководством академика HAH PK Айталшва Ш.М. по мере завершения работы; в полном объеме диссертация обсуждена на семинаре по механике этого ке института под руководством академика HAH PK Ерлайова Я.С.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликованы 2 научные статьи и депонирована рукопись I статьи.

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из

введения, трех глав, заключения и содержит 104 страницы машинописного текста, включая список литературы из 91 наименования, 29 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель и задачи исследования, дан обзор литературы по методам решения двумерных нестационарных задач теории упругости. Отмечено,что аналитическими методами решены задачи для областей с канонической формой границы. Для границ произвольной формы используются численные метода: метод конечных разностей ( Ковшов А.Н., Нещоретов Н.И., Степаненко М.В., Абдукадаров O.A., Курманалиев К.К. и др.); метод конечных элементов ( Avanessian V., Садырин А.И., Айталиев Ш.М., Масанов Ж.К., Ваймаханов Р.Б., Махметова Н.М. и др.); метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). В использовании МГИУ для решения нестационарных задач теории-упругости существуют два подхода. Первый связан с построением ГИУ в пространстве преобразования Лапласа (или Фурье) по времени с последующим численным обращением трансформант полученных решений. Этот подход использовали Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А., Жанбырбаев Н.Б., Галабурдин A.B., Cruse Т.Е., Rlzso Í.G., Manolls G.D., Везкоз D., Nlwa Y., Kobaya-shl S-, Azuma N., Hlrose S. и др. Второй подход, основанный па построении ГИУ в исходном пространстве, разрабатывали Алексеева Л.А., Закирьянова Г.К., Mansur W.J., Israll A.S., Banerjee P.K., Domínguez J..Gallego R. и др. ( двумерные задачи ) и Хуторянский Н.М., Турилов Е.В, Айталиев Ш.М., Дильдабаев Ш.А. ( трехмерные задачи ).

В первой главе приведены полученные на основе обобщенных функций основные соотношения для изотропной упругой плоскости, ослабленной отверстиями, имеющими конечные размеры и произвольную геометрическую форму.

Рассмотрим задачу определения напряженно-деформированного состояния ("НДСJ однородного изотропного линейно-упругого тела, занимающего область D(x)eRs, при динамических воздействиях:

a{j(x,t )/ij(x) = p((x,t) , xeS, i./=1.2 (1)

на его границе S и с заданными нйчзлшш у елимтп

U4fX,ÍJ = О , XCD U S ,

ii((x,t) = О , J(D . (2)

Здесь ut(x,t)- компоненты вектора перемещения u(x,t), alj(x,t)~ компоненты тензора напряжения в точке х=(х1,х2), S= у Sk - конечная совокупность CS^} непересекающихся линий, ограничивающих область D. Без ограничения общности рассмотрим случай односвязной конечной или бесконечной области D. Задача сводится к интегрированию в области D системы волновых уравнений:

ig^^ufx.t; + Рfx,U = О, • (3)

здесь матричный оператор дифференцирования:

« я, х d^JX.t)

¥(x,t) - вектор объемных сил, р- плотность среды, ClJkl- коэффициенты (модули; упругости, которые для рассматриваемого нами случая изотропной среда выражаются через коэффициенты Ламе X, ц следующем образом:

сиы= + Ьбл + °ii0J*> ' f5->

где СtJ- символ Кронекера.

В (3) \i(x,t) - функция, дважды непрерывно-дифференцируемая в области Ъ по переменным х и t и один раз непрерывно диффренцируе-мая по х на границе S, ?(x,t) интегрируемая в D.

Известно, что от решения задачи (1), (2), (3) можно перейти к нахоздению обобщенного решения в R2«? уравнения

А

сиы%.и(*'г) + •= p5tfxrtj- рнБ(х)Ь(г)и{(х,с» -

. - рНп(х)Ъ(г)и{(х,0)- С1П1дг(На)п^х)иь(хЛ)08) -

удовлетворяющего ему в обобщенном смысле, то есть для любой Ф (х,гнв?*т-.

Здесь u(x,t)=u(x,t)HD(xJH(t), Gfu,x,tJ- вектор-функция, компоненты которой :

GJu,x,t)=-Ftfi,tJ- pHJx)b(t)u,(x,0)- pBjx)6(t)u,(x,0) -

/ fc » J_/ » ¿J и

- с^к1дг(на)п^х)ик(х,г)^в)- H(t)pl(x,t)G3 , (7) и она обращается в нуль при t<0:

Gfu,x,t;= 0 , t<0 . (9)

Подставляя в (б) С из С77,получим обобщенную форлулу Кщксго-фа-Солшъты в свертках:

+ рнв(х)оа)и3(х,о)*и^+ рн^шъап^о)*!]^ ао)

где 17{к("х,*.)- фундаментальное решение (тензор Грина) уравнения (3), соответствующее массовой силе ?{(х,1) =

- //2 -г/г -иг

<1=1 К Ч Я

(0) Г <1> (11)

- 0«, ^ ,

нгмх|/с4; (12)

0,-1^. скорости продольной и поперечной волн.

В и1к(х^) входя г выракения, имеющие вид (1г-\х\г/сг~\ В результате.дифференцирования по координата в и1к(х^) появятся неинтегрируемые выражения вида к которым надо применять регуляризацию. В связи с этим в настоящей работе более детально рассматриваются'регулярные представления для обобщенных функций вида (12), имеющих при а<-1 неинтегрируемые особенности.

Обозначим через ГсСхД; конус с вершиной в точке (0,0) в пространстве Я2«Т:

Гс Гх,tMx.tr гю, |х|/с-К0 ). хеД2, {€Т (15)

Здесь с>О- некоторая константа, характеризующая угол раствора конуса, |х|= ) г "Ч . Границу кснуса (13) будем обозначать 1к=1 А }

кс(уДМу,1: |у|/с^=0>, У€й2, {сТ (14)

Введем в рассмотрение характеристическую функцию конуса

НТ (х,г) в щг-\1\/о) , (15)

с

значения которой определяется формулой

V -

л е-0 ц(г?е (х;)

В.(х)= 11т—^-, (16)

здесь' Л- некоторое множество из Я*1, ШЕ(х)~ шар радиуса е с центром з точке хейп, И-С'мера ("объем) соответствующих множеств.

Для значений а >-1 1&(х,1) определяет регулярную обобщенную функцию, совпадающую с обычной функцией /(хЛ)= (£2-|х|2/е2)а, следующим образом

]" (^-1х|г/с2)а фГх.ийхсИ =

.= /<34 / ({2-|х|2/с2)афГх,4;сгх1 а >-1 . (17)

о | х I

где фСхД}- из пространства основных финитных бесконечно дифференцируемых функций Т)'(В?*Т). В последнем интеграле, используя теорему Фубини, поменяв местами порядок интегрирования, получим другую форму представления для 1&(т,г)

<2х / (?г-|х|г/с2)а а>-1. (18)

Я2 1Х|/с

Для значений а>0 обобщенную функцию ^(х, и можно дифференцировать по переменным х, I как обычную локально интегрируемую функцию, пользуясь формулой дифференцирования сложных функций. Например ~2ох

^ 2Ш^(х.г) , д§- Ах,и=—^ ^(х.х) .

Дпя значений а<-1 интегралы в (17) а (18) имеют неинтегрируемые особенности и определение функции в этом случае требует

особого рассмотрения. Определим эти функции путем дифференцирования 1&(х,при исходном значении ~1<а<0. Исходной предпосылкой для этого является тот С®кт, что обобщенная функция

С |Х|<с4

сущестзует и является "хорошей" функцией на пространстве производных ог основных функций фГх.ОеЯЧЙ2»^. Для того, чтобы получить еид производной на пространстве самих фунций <р(х,г) используем следующее тоздесгво

аьи, ЧИфМ.

аУуд; _ _ V (хсу1)(хгуР.....ГггУ д<т"1 |

здесь у- точки поверхности конуса Г73,), координаты которых определяем следующим образом:

И* = сгК (20)

где Рк (к=1,2)~ направляющие косинусы вектора х.

Для производных первого порядка функции (~1<>~<0), о

соответствии с вышеизложенным, используя формулу Остроградского-Гаусса, имеем

М- s [ч>(%,г)-<р(у

о с с

-Н а <0 (21)

Используя теорему Фубини в (21),поменяем местами порядок интегрирования и приведем эквивалентную форму представления:

Ч» J Я2 1X1/с 0 1 с } 1 }

-и а <0 (22)

Производная по времени 1 от 1Р"(тЛ) ( -1<а<0 ) вычисляется аналогично;

Обобщенную функцию, представленную выражением (21) или (22),

-2ах а

естественно обозначить через —^ ( р=а-1, -1<а<0), где

рР(х^)- обобщенная функция, определяемая следующим образом

О |Х|«С{ с

-г< р <-1 (24)

и ж

гх.и.фгх.и)» / л; -1^]р(фгх,г;-<р(х,^))сгх.

Я2 1X1/с с

-2< р <-1 (25)

Аналогично вычисляются производные более высокого порядка. Обобщая вышесказанное, отметим, что обобщенная фуькция I) для значений а в полосе -вка<-т1 вводится следующим гчЬ разом ,г

о |ХКС1 с {=<

apiy,t) Л (xt-y{)(x-у ),...,(Хг-у1 ) a^-'Vy,t) ^

" Ох. > -ТПЙТТТ-dr.Ox.,...,to. J®1 «

* <,jf7...,i=r 1 J 1

или

Д2 1X1/с с

-я--ЧЧ -¿г- ЭД \«

(27)

Интегральный аналог свертки (10) с учетом начальных условий (2) и с использованием (27) имеет вид:

1 г 1

1 и^.у.^Р^у.г-х) аиуг -]£{}[

Б о Б1=' о

, 1/2 -1/2 Л ГО -3/2 ,

/гс2]иЛГуД-и + ^(х.у) г/с^ГуД-т; -• - иъ(у,%-г/с<)\\^С1-г/с1)а1 - т£(х,У) я'{1/гг/(гсг1)Н(х-г/с1) »

« иьСуД-г/с{;|йуЗ + | ^итк(1,у,г)Р}>(7,г-х) сПс1у, Х€0. (28)

где Qr-(t^ jj) , ^[^г-Л^Л Ж Ш '

ct ™

H(t) - функция Хевисайда.

Формула (28) получена для обобщенных функций. Заметим, что в (28) справа и слева находятся регулярные обобщенные функции. Из леммы да Буа-Реймона известно, что всякая локально интегрируемая функция / определяет по формуле (/,<pj (<р - из пространства основных функций; регулярную обобщенную функцию и наоборот, всякая регулярная обобщенная функция определяется единственной локально интегрируемой функцией. Вследствие этого равенства (13) и (14)

справедливы и в обычном смысле.

Во второй главе построены ГНУ основных начально-краевых задач. Для второй основной начально-краевой задачи разработана схема численного решения следующего ГИУ второго рода:-.

1-ап 4 г т

—игхд; / ]т(%,у,в) и(у^-в)-т°(х,у) тхх.гцщ^ = г Б о г .

= / р}(х,у,в)¥(у^-в) + / р(х,у,в)?(у,г-0) авау, х а б. Б о -по . а9)

В дальнейшем предполагаем, что массовые силы отсутствуют, т.е. Р(х^)=0. г (/2

Обозначим К{= ^ . Справедливы следующие разложения:

{/г2=£г/г2- 1/(20*)- г2/(2с41(ик1)г)

г/(сг1К1)=1/с\+г2/(о41К<(иК{)) (30)

Из (1),(2), закона Гука и условия согласования начальных и граничных условий следует, что

р(х,0)= О. (31)

Из ГРбЛ с применением для интегралов по времени формулы интегрирования по частям, с использованием (30), (31), получим

2 " Г/а2 1-а„ гСт=> , оа) ^ г /п \ хг

гг

г/с,

Л Г [ (О) > (~1)1г2 (I) 1п(Ч+К.Л] £ { к^.у; —-з + и^х.у) —Н-) Ь

. ¿^уД-ийт}^ -[С^х.у^^гуд-г/с^-и^хд;]]^

Г/СР 2 * * I

г ?л> т2 • ^ г Г (~1) г

г/о, Ьг/С[ ^^

I »

(I)

- т^(х.у)

" с(1) , , (О) Р (I) ^

где 17^ - и^Сх,у)Ы(г/с4Уо^ компоне-

о о(1) о(2)

нты статического тензора Грина V С г, у >={7^ Сх.у^+У^ (х,у), о(и ( . (О) а) 1 Р

Ттж = ~ Гт|/1'у'))/гс< ~ компоненты стати-

о о(1) 0(2)

ческого тензора напряжений Г (х.у^Т^ (х,у)+Тт;к (х,у), для которого справедлива обобщенная формула Гаусса

Пап --1,хер

Т°(х,у)<1у8

- а^Сх) .хеБ . (33)

х.хей2\х»

где в случае конечной многосвязной области О и ав=-1 в случае бесконечной многосвязной области Б, I- единичная матрица, С-матрица, элементы которой С^=р о на гладких участках поверхности Э,а в угловых точках определяются геометрией поверхности в окрестности угловой точки.

ГИУ (32) являются интегральными уравнениями второго рода, которые можно решить аналитически лишь для узкого класса границ 5 и заданных на них усилий р(хд;, допускающих интегрирование в замкнутом виде. Для более широкого класса границ и функций рГх.х; уравнения (32) решаются численно.

При численном решении ГИУ (32) граничная поверхность Б аппроксимируется совокупностью (Бг) (1=Т7Ъ) конечного числа трехуз-ловых элементов. Декартовы координаты у{ произвольной точки элемента Бг параметрически выражаются через координаты узловых точек этого элемента при помощи функций формы от локальных координат в виде соотношений:

•Д ,, фП.Ю

*а) ' к к1 • (Э4)

*=т

где <р(2,к)- глобальный номер узла, имеющего в I- том элементе локальный номер к, Як(1) (к=1,3) - функции формы элемента:

-\ й(1-и, гРа)- а**)(1-и, я3 (и- \ ш+и 05)

Для компонент векторов перемещения и нагрузок используется трехузловая интерполяция их узловых значений:

^Д . цнг.ь) /,ГЕ> £ и ш Ш ' ' (36)

(ра.к)

Здесь /{ (%) - компоненты векторов перемещений или нагрузок в момент времени 4 в узле с глобальным номером у(1,к). По времени значения-компонент перемещений и нагрузки аппроксимируются кусочно-линейными функциями на постоянной системе узлов I (1=0,1,2,...,т) временной оси 4 следующим образом:

где ~ это /-я компонента векторов перемещения или наг-

рузки в узле с номером п в момент времени которые в даль-

нейшем будем обозначать соответственно через /у'п-<.Дифференцируя по ? выражения ^377, получим кусочно-постоянную интерполяцию для производных перемещений или нагрузок по времени:

В следствии того, что в формуле (32) явный вид ядер интегралов как функций по времени известен, можно, используя (37),(38), провести интегрирование по времени аналитически.

Записывая уравнения (32) для узла хп в момент времени заменяя интегралы по границе Я суммой интегралов по элементам и используя аппроксимации (36), (37), (38), в результате получим дискретный аналог ГНУ:

ь 3 Рг ш I

1~ап п,п . Г-—Д 1 Ю(1,Ъ),п-ц т.ч.*. I Ф(г.к^т-ч"!

^Ч 'II Рл *&« Л

1 3 Рг

п.ч.ъ.г <р(г.к).т~ц 1 п.я.г <р(1.ь).п-ч

Г"» г— *—■ п.я,л,1 VI г—. т.Ч.л.* ш.......... .

-II Есл ь +Ил< ь »

1=Г*=/ 4=017 4=0-,

фа.ю.т-ч

Коэффициенты при и^ и р^ вычисляются по квадра-

турной формуле Гаусса: » р

I т> ^ = I + е • (40>

где е - погрешность интегрирования.

Совокупность равенств (39) при п= 1, N мокно представить как систему 2x4 линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения неизвестных значений перемещений и",п в момент времени tn. В правую честь этой системы входят заданные значения нагрузок и граничных перемещений в предыдущие моменты времени. Поскольку значения перемещений известны из начальных условий (2), то

мокно применить шаговую процедуру для нахождения неизвестных по величинам и"'к(к < т), найденным на предыдущих шагах.

Напряжения на границе 5 определяются системой из 4 уравнений по известным значениям нагрузок и касательным производным от грангпшх перемещений:

-<>Ъ7П'Ж--, (1=и2)

(<П1 ги ы (*.) л Iх V * <ф[7 \+Хп1 а^га =

(41)

где иа^, ра{) в правых частях и х(Ъ{) в левой части вычисляются ко формулам (36) и являются известными функциями. Решив систе-

аи.

му (41), находим неизвестные и затем по закону Гука - компоненты напряжений.

В третьей главе по методике, изложенной во второй главе, решены некоторые конкретные задачи:

- тестовые задачи для классических областей;

- дифракция продольных и поперечных волн различного вида на одном отверстии сводчатой формч;

- дифракция продольных волн на системе из двух сводов.

В рассмотренных задачах все расчеты проводились в безразмерных величинах: г

т - х Г, - Ей п - и 7 - 1 п - °

х - <г> и ~ р^З' р - рг. * - -а-.

где й - характерный геометрический размер, Е - модуль Юнга, р0 характерное значение параметра нагрузки. При атом получаются следующие значения безразмерных параметров:

Коэффициент Пуассона V был принят реввдм 0,25.

В задачах дифракции предполагалось,, что на отверстии (или даа отверстия) падает в заданном направлении плоская волна давле-

ния вида , , V

°и °гг=0' агг = Т^а1Г

или плоская волна сдвига: |Х_Х |

где о0 - некоторое характерное напряжение, х0 - точка касания волной отверстия, - заданная функция, определяющяя форму

падающей волны. В задачах брались функции следующего вида:

|х-х I |х-х|

Я*--гг-^-; = на--- "ступенька"; (42;

/г,-^

"О, ... at- |х-х0|<0

Cot- |х-х0|;/А^... А^ ct~ |х-х0|<Д2

CL-(ct~ |x-x0|;;/A2j... д2« ci- |х-х0|<д О, ... А £ ct- |х-х0|

(43)

-"импульс" ( Д- отрезок возрастания, -отрезок убыва-

ния, Д = Af + Д2 );

Ix-xJ Jx-x.l Ix-X^l ,

/ft------с^-Ц ~ "синусоида", (44)

(a - длина волны).

Результирующее, физическое поле (перемещений и напряжений) складывается из полей падающей и отраженной волн:

аи = °и + 0и ' и( = "ч + ui где о"., uf - компоненты тензора напряжений в падающей волне,

• t ~ в ограненной. Для поля отраженной волны в случае свободной границы получаются следующие граничные условия: а°и(х^)п}(х) = cFljCx.tfrjfx.t), xeS.

В качестве тестовых были выбраны две задачи: I. Задача о круговол отверстии с внезапно щлиожетыл давлением вида H(t) на границе.

Аналитическое решение рассматриваемой задачи было полученно в работах А.Кгошпга.

Анализ расчетов, полученных в диссертации, при различном разбиении единичной окружности и различном временном шаге интегрирования показал, что с увеличением числа точек разбиения наблюдается сходимость решения к аналитическому. С ростом времени при любом разбиении окружности ( даже при таком "грубом" как на 4-е узла ) относительная погрешность не увеличивается, т.е. наблюдав-

тся абсолютная устойчивость схемы, обусловленная тем, что в разрешающих интегральных уравнениях интегрирование по времени проводилось аналитически.

- 2. Дифракция продольной Полны вида "апупеныса" (42) на круглол ■ отверстии.

Решение, полученное в диссертации, сравнивалось с другими известными решениями, полученными на основании некоторых методов (аналятико-численше, МГЭ с использованием преобразования Лапласа и Фурье) различными учеными (Pao и Mow, Manolls и Eeskos, Baron и Matthews и т.д.). Как видке кз анализа, наблюдается "хорошая"

- плотность всех результатов "на кровле" и различия, местами существенные, в "лобовей" и "теневой" точках. Данные несовпадения оставляют открытым вопрос, какой из методов дает наименьшую погрешность решения.в случае наличия разрывов в поле падающей волны. Отметим, что результат из диссертации наиболее близок к решению, полученному с использованием преобразования Лапласа.

По изложенной в диссертации методике решен комплекс задач дифракции волн различного вида на одном и двух отверстиях сводча-

В задачах для дифракции "импульса'' (43) на одном . отверстии решение (рис.2,3) по своему характеру совпадает с некоторыми известными результатами исследований по рассматриваемой задачи с волной вида "ступенька". ;

Б случае "синусоида" (44) решение ее тем или иным методам наталкивается на трудно преодолимые препятствия, связанные с тем, что происходит быстрое изменение физических процессов. Например, ,при использовании преобразования Лапласа,*, к&к показали исследования, выявляется неустойчивость численного.обращения трансформант

Рис.2 Смещения некоторых точек сводчатого отверстия при дифракции Р-волны вида "импульс"

Рис.З Эпюры напряжений при дифракции З-волны вида "импульс" на одном сводчатом отверстии

Рис.4 Напряжения в точке С сводчатого отверстия при дифракции 5-волны вида "синусоида" (а»1, си.(44))

Рис.Б Эпюры напряжений при дифракции Р-волны вида "синусоида" на одном сводчатом отверстии (а=0.2, С=2.7)

г 1

О -1

ь4"

0.4--

-0.21

Рис.6 Напряжения в некоторых точках сводчатых отверстий при дифракции Р-волны вида "импульс"

Рис.7 Смещения точки при дифракции Р-волны вида "синусоида" на сводчатых отверстиях (а=1)

1--

-1-.

И

1

Рис.8 Напряжения в точке Вд при дифракции Р-волны вида "синусоида" на сводчатых отверстиях (а-1)

Рис.9 Эпюры напряжений при дифракции Р-вол1ш вида "синусоида" на сводчатых отверстиях ' '(а»1, 1-5.8)

на отрезке времени, большем чем время прохождения одного периода волны, в случае средних и коротких волн. Или наоборот, для низкочастотных волн для кругового отверстия при аналитико - численном решении получаются плохо обусловленные матрицы алгебраических систем. По методу, изложенному в данной работе, есть возможность исследовать НДС при дифракции как низкочастотных, так и высокочастотных волн в случае одаосвязных и многосвязных областей.

В диссертации брались гармонические продольные и поперечные волны с длиной волны меньшей, чем ширина свода (а=0.2, см.(44)) и сравнимой с ней (а=1). Особенным для всех решений (рис.4) является то, что они при выходе процессов на стационар носят ярко выражений периодический характер, на первых шагах по времени наблюдается нестационарность процесса. Так же интересен следующий факт: в случае продольной волны с длиной а=б,2 (рис.5) напряжения на боковых сторонах сводчатого отверстия незначительны, т.е. эти стороны являются для высокочастотных волн как бы бесконечно- протяженной плоской границей.

В случае двух сводчатых отверстиях рассматривались только продольные волны вида "импульс" и "синусоида" (а=1).

Для "импульса" на начальных шагах по времени картина НДС первого отверстия аналогична картине в случае единичного отверстия, но затем происходит взаимовлияние элементов системы и протекает затухающий колебательный процесс. Он хорошо виден из графиков напряжений для точек А3 и В3 на рисунке 6.

Влияние отверстий друг на друга можно проследить и в случае "синусоиды", хотя здесь оно не так ярко выражено.

Изменяя длину падающей волны, можно, по всей видимости, выявить и исследовать резонансные явления на перемычке, ведущие к ее разрушению. Но в диссертации ограничивались исследовании!! лишь напряженного состояния.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.

1. Получены регулярные представления для обобщенных функций с плотностью, имеющей неинтегрируемые особенности на поверхности характеристического конуса.

2. Предложен метод регуляризации сингулярных интегралов на подвижных фронтах волн, основанный на применении в формуле Кирхгофа - Сомильяны интегрирования по частям интегралов по времени, в ре-

зультате чего получены новые граничные интегрально - дифференциальные уравнения относительно переметений и напряжений.

3. Дана основанная на полученных граничных интегральных уравнениях методика решения двумерных нестационарных задач теории упругости .

4. Представлены результаты расчетов напряженно-деформированного состояния для некоторых конкретных задач дифракции волн различного вида ("треугольный импульс", средне- и высокочастотные гармонические колебания) на одном и двух отверстиях сводчатой формы.

Исходя из анализа числовых результатов можно утверждать, что метод граничных инт«гральных уравнений, полученных в пространственно-временной области в форме запаздывающих потенциалов, позволяет исследовать напряженно - деформированное состояние плоскости с концентраторами напряжений и получать достаточно точные решения задач, моделирующих процессы с быстро изменяющимися физическими характеристиками в случае бесконечной изотропной среды.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

1. Айталиев Ш.М., Дильдабаев Ш.А., Жанбырбаев А.Б. Обобщенные Функции характеристического конуса с переменной плотностью распределения// Доклады HAH PK, 1993. №3. С. 3-10.

2. Дильдабаев Ш.А., Жанбырбаев А.Б. Обобщенные функции и формулы Кирхгофа-Сомильяны двумерных нестационарных задач теории упругости/ Материалы науч. сессии отд. физ.-мат. наук, посвященной проблемам развития механики в Казахстане. Алматы, 1993, С. 45-55.

3. Жанбырбаев A.B. Регулярные представления сингулярных интегралов в обобщенной фэрмуле Кирхгофа-Сомильяны // Алматы, 1994. 9 с. Деп. в КазгосИНТИ 20.01.94, № 4581-Ка94.

работах:

Жанбырбаев 9д1лбек Бегалы-улы

ШПЫЛАНГАН ФУНКЦИЯЛАР ЖЭНЕ СЕРП1М-Д1ЛЖ ТЕОРИЯСЫНЫН. КОПБАИЛАНЫСТЫ ОБ-ЛЫСТАРЫ УШ1Н СТАЦИОНАР ЕМЕС ЕК1 91-ШЕМД1 ЕСЕПТЕР1ШН ШЕКАРАЛЫК ИНТЕ-ГРАДДЫК ТЕНДЕУЛЕР1.

Диссертацияда шекаралык интегралдык тендеулер (ШИТ) эд1с1 эр! карай зерттелген. Бул эд1с бастапкы кен}ст1к-уакыт облысында шешуш тендеулерд! кеппгетж потенциал туршде куру аркылы бер1-лген. Алынган нэтижелер мынандай:

1. Сипаттауьш конус бетшде интегралданбайтын ерекпплжтер! бар тыгыздыгымен бер1лген жалпыланган функциялар ушн реттеуш! кеск1ндеу алынган.

2. Толкындардын фронгында сингулярлык интегралдарды реттеу эд1с1 усынылган. Ол ушн уакыт аркылы интегралдарды бел!ктеп ин-тегралдау (я'.и'ж Кирхгоф-Сомильяна форму ласы колданылган, сонын нзтижес ¡нде орын ауьютыру мен кернеулерге катысты жанадан шекаралык интегралдн - дифференциалдык тендеулер алынган.

3. Алынган ШИТ нег1з1нде сертмдШк теориясынын ею елшем-д! стационар емес есептер1н шешу эд1с! бер!лген.

4. Б1р гоне ек1 кумбез тэр1зд1 тес!ктердег! эртурл1 толкындардын кейб1р насты есептер! ушЫ ("ушбурышты импульс", орташа *эне жогары хи1л1кт1 гармониялык тер<^ел1стер ) кернеул! деформа-цияланган куйлерд!н есеп-кисал нетижелер! корсет!лген.

Zhanbyrbaev Adilbek Begalieyich

DISTRIBUTIONS AND BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS OF TWO-DIMENSIONAL TRANSIENT PROBLEMS OP THEORY OF ELASTICITY FOR MULÏICOUPLE DOMAINS.

The thesis concerns the development of the boundary lnte gral equation method In a form of retarding potentials and the construction of constrain equations In the original space-time domain. The following results were obtained:

1.Regular representatlngs for distribution with density having strong singularity on the surface of characteristic cone were constructed.

2.The method of singular integral régularisation on moving wave fronts based on time Integration by part in the Klrchgoff -Somlgllan's formula was suggested. New boundary Integral-differencial equations in displacements and stresses resulted from this method.

3.0n the bases of BIE the solutions methods of two - dimensional transient problems of the theory of elasticity were elaborated .

4.Results of numerical estimation of strain-stress state in particular diffraction problems of varions wave types ("triangular Impulse", mid- and high-frequency harmonic vibration ) on one and two holes were represented.