Обобщенные разложения в задачах механики деформируемого твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Институт прикладной механики РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

од

/ б шоп да

на правах рукописи УДК 539.3

БЕЛОВ Петр Анатольевич ,

I

ОБОБЩЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Специальность 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 1998г.

Работа выполнена в Институте Прикладной Механики Российской Академии Наук.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Лурье С.А. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, H.H. Рогачева доктор технических наук, Е.М. Зверяев

Ведущая организация:

Московский авиационно-технологический институт им. К.Э.Циолковского.

Защита состоится 30 июня 1998г. в 14.00 часов на заседании Специализированного совета Д 200.47.01 в Институте Прикладной Механики РАН по адресу: 117334, г. Москва, Ленинский проспект, 32а, комната 727. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Прикладной Механики РАН. Автореферат разослан 27 мая 1998г.

Ученый секретарь совета кандидат технических наук

Е.И.Кочемасова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

В настоящее время класс задач, которые считаются традиционными, постоянно расширяется: так в свое время традиционными считались задачи теории упругости изотропного тела, а в связи с появлением композитов появился новый класс задач, связанный с решениями теории упругости анизотропного тела, которые к настоящему времени уже считаются традиционными. В настоящее время класс новых задач, требующих изучения с привлечением новых расчетных схем и моделей расширяется еще большими темпами (появление новых материалов, необходимость изучения поведения элементов конструкций в экстремальных условиях, необходимость расчета поведения тонких пленок и покрытий, учет поверхностных эффектов, учет масштабного фактора при моделировании и т.д.). В соответствии с этим должны быть развиты и модели, и методы их решения. Разработке моделей механики деформируемого тела, методам их анализа и решению на их основе прикладных задач посвящены исследования многих отечественных и зарубежных ученых: В.М.Александрова, Н.А.Алфутова, А.В.Бабешко, Б.И.Баренблата, Ю.А.Богана, В.В.Васильева, И.И.Воровича, Х.Генки, А.Г.Горшкова, А.Л.Гольденвейзера, П.А.Жилина, Е.М.Зверяева, Е.Кедич,

з

Ж.Кирхгоффа, С.А.Лурье, И.Ф.Морозова, И.Ф.Образцова,

A.Н.Полилова, Н.Н.Рогачевой, Е.Рейсснера, Л.И.Седова,

B.Томсона и др.

Поэтому тема диссертации, посвященной разработке моделей механики деформируемого твердого тела, построенных на достаточно общих предположениях, формулировке последовательных расчетных схем и методов их решения (в том числе и асимптотических) представляется актуальной.

Целью работы является построение непротиворечивых моделей объектов механики деформируемого твердого тела, разработка обоснованных расчетных схем и способов их решения.

Научная новизна работы состоит в формулировке методики построения непротиворечивых моделей различной , сложности. В частности, сформулированы следующие Модели:

- несимметричная модель теории упругости без повышения дифференциального порядка разрешающей системы;

- модель когезионного поля типа Баренблата;

- модель сред с поверхностным натяжением, анизотропным относительно нормали к поверхности.

Получено новое представление общего решения трансверсально изотропной теории упругости в трехмерной

постановке. На его основе дан асимптотический анализ классической и неклассических теорий плит. Предложен метод представления решений задач механики деформируемого твердого тела в форме ортогональных разложений по системе заданных кинематических состояний, в основе которого лежат условия инвариантности вариации лагранжиана. Предлагаемый подход, в результате, является основой для разработки прикладных моделей, а также способом построения эффективных вариантов расчетных схем и алгоритмов. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием минимума исходных предположений достаточно общего характера и строгих математических подходов.

Практическая ценность состоит в формулировке моделей сред, расчетных схем и методов решений, дающих возможность корректно разложить напряженно-деформированное состояние задачи на ряд базисных простейших напряженно-деформированных состояний, повышающих эффективность прикладных методов для соответствующих краевых задач.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: 3-й Всесоюзной конференции по

механике неоднородных структур., Львов, 1991; Second International Symposium " Advances in structural and heterogeneous continua "; International Aerospace Congress, 1994; I Российско-Американском семинаре "Новые физические и математические модели ...", Санкт-Петербург, 1995;

111 Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 1997; 16th Canadian Congress of Applied Mechanics. Quebec, Canada, 1997; семинаре кафедры "Механики композиционных материалов" МГУ под рук. проф. Б.Е.Победри, 1997; научном семинаре ИПРИМ РАН, 1997; IV Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 199 . Публикации. По теме диссертации опубликована двадцать одна печатная работа. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и основных выводов и списка литературы. Общий объем работы составляет 97 страниц и 10 рисунков. Таблиц нет. Библиографический список содержит 51 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы и её новизна, кратко описано её содержание.

Первая глава посвящена формулировке метода ортогональных кинематических состояний. Пространство решений выбранной модели теории упругости представляется в виде прямой суммы двух подпространств. Первое подпространство л4 определяется к заданными базисными кинематическими состояниями л,1. Второе подпространство I определяется как замыкание первого в пространстве решений теории упругости: Я,=ак^+Я, (1)

Определение 1. Кинематическими состояниями я,' назовем к векторов перемещений, которые могут быть возбуждены независимо друг от друга соответствующими внешними объемными х' и поверхностными };' нагрузками. | Определение 2. Для выбранной модели теории упругости ортогональными будем называть такие кинематические состояния, которые удовлетворяют следующему условию: лагранжиан суммы кинематических состояний равен сумме лагранжианов каждого кинематического состояния:

£[(л' +л2),(л' + л2)] = £[л',л']+ л[л2,л2]

В качестве нормы [л, л] = 2и выбирается потенциальная

Г|р то

энергия деформации: 2и = \сф,—^-¡iv, где с„/1;- тензор

' дхц дх1

упругих модулей. Доказываются следующие утверждения: Теорема 1. Все кинематические состояния, принадлежащие пространствуй, в выбранной энергетической норме ортогональны любому элементу, принадлежащему пространству л : г_ , , эяа ¿к;

Теорема 2. Лагранжиан инвариантен относительно преобразования (1): <5£(а,л) = «я.(л,л)

Теорема 3. Объемные х, и поверхностные у, силы представляются в виде разложений по системе заданных по ик сил х,' и у;4 и дополнений к ним хк и г,", причем коэффициенты разложений ак те же , что и в формуле (1).

х=х+акхк у, = г,+акгк

Теорема 4. Для заданных кинематическим состоянием я, нагрузок V,, работа на любом кинематическом состоянии, принадлежащем подпространству як, равна нулю.

Щ х, яуу + $ у^ур =о

Теорема 5. Для заданных системой кинематических состояний л/ нагрузок л/ и );', работа на любом кинематическом состоянии, принадлежащем

подпространству я,, равна нулю. щ Х1%1У + $ )"%!Г =о

Теорема 6. Для любых двух элементов подпространства /? и соответствующих им нагрузок Л", и , справедлив аналог теоремы Бетти:

щ л-; яуу+$);" r:\if =щ х; +§ г

Сформулирован критерий сходимости, использующий следующую силовую норму:

дЛ'А/__1 = Л"__к д ,У__

х,х,с!у + р\)'х<1р

Предложены и исследованы алгоритмы построения бесконечных последовательностей кинематических состояний л,, которые можно использовать в качестве базиса функционального пространства, в котором строится точное решение трехмерных краевых задач. Показано, что метод ортогональных кинематических состояний представляет собой некий синтез и обобщение метода Ритца и метода Галёркина в интерпретации Крылова-Власова.

Вторая глава посвящена применению метода ортогональных кинематических состояний к построению прикладных теорий плит.

Формулировка задачи дана в трехмерной постановке. Плита рассматривается, как трансверсально изотропный параллелепипед, высота которого 2а меньше других габаритных размеров, причем на основаниях ставятся только статические граничные условия. Плоскости

изотропии перпендикулярны поперечной оси. Модули ц и

I

л определяют упругие свойства в плоскости изотропии {х,у}, а модули £,к,в - упругие свойства в направлении поперечной оси {г}.За единицу длины принимается полувысота плиты а: -1<г<1. Вводится модуль

цилиндрической жесткости: й = +

Общее решение представляется через две потенциальные функции и строится в перемещениях. Компоненты вектора перемещений иул записываются следующим образом через бигармонический потенциал <р и гармонический

потенциал у:

1 дф дц/

1 д<р ду/

где />,(д\\') и />,(л-,г)- касательные .внешние нагрузки, приложенные к лицевым поверхностям плиты;

?> = .-»»"'"(.-= 1)-(/1 (2/у + л) - (6' + а)") .......

а(0- + л) У:(1Г|-,'-;|К|0|(г= I))

Р/' + Ло:,,,,.-» .

(О' + А) и

причем IV удовлетворяет обобщенному бигармоническому уравнению:

+ (§~ 4)у2,гт + (1+ = 0 (2)

а со удовлетворяет обобщенному гармоническому уравнению:

Са)" + ^-(о = 0 (3)

Потенциалы построены так, что граничные условия на

лицевых поверхностях по касательным напряжениям

удовлетворяются точно. В терминах IV и со граничные

условия на лицевых поверхностях также разделяются. Для

IV они имеют вид:

= , (4)

(о + л)1 1 ск д>>

а для со - следующий:

В ортогональных координатах связанных с торцевой поверхностью плиты, вводятся внешние обобщенные крутящий н и изгибающий м моменты и Сен-Венанова перерезывающая сила о с произвольным распределением по толщине : и Фн

X ф, (2;/ + ;.) .

в" К-р.

где р,,р„,р>,р„ - значения внешних касательных нагрузок и их нормальных производных на ребрах плиты, образованных пересечением лицевых и торцевой поверхностей, у„у„,у соответствующие внешние нагрузки на торцевой поверхности.

В рамках трехмерной постановки, с учетом сложившейся терминологии в теории плит, вводятся определения восьми возможных вариантов граничных условий на торцевой поверхности:

1 .Свободный край (заданы внешние нагрузки Н, М, 0); Шарниры:

2. Б-шарнир (задано перемещение я, и нагрузки М, 0),

3. Ы-шарнир (задано перемещение я„и нагрузки Н, <3),

4. Z-шapниp (задано перемещение и нагрузки Н, М),

Мембраны:

5. Б-мембрана (задана нагрузка Н и перемещения /?„,\У),

6. Ы-мембрана (задана нагрузкаМ и перемещения

7. 2-мембрана (задана нагрузка О и перемещения я,, к„)

8. Защемление (заданы перемещения /е,, и W). Формулируется точная постановка естественных

граничных условий на торцевой поверхности плиты в терминах ф и V)/:

Доказывается, что при растяжении контурной координаты ? = &, естественные граничные условия преобразуются к виду, который приводит к асимптотически точному разделению краевых задач для <р = <раа" и ^ = уа5° на каждом шаге а:

+[ ма + (2/1+Я) & - Лида-«.)+[Оа + с( Ф' - и':, )]<ягв = о где

[С? + + - (¿')]<Я(/ - О

(Л.). =(*.).+—^

/Л'

й

и„ =

У - — р :.если а = О 'с1'

М Ф„

:,ес:ш а = 1

а /к

0,если_а > 1

).----/>„:,с'С.ш и - О

а 1"

_ ¡Я, ,ес:ш_а = О ~ \о,с'11И_а > О

м. =

а =

а

О,если_а > 1

-1,если_а = 1

Г. -р„,если_а = О

Г. =

II,,,если _а = О О,если а > О

IV.если а - О

|0,ес.7и_а>0 '" (0,сслм_а>0

Таким образом. кинематическое состояние, соответствующее гармонической краевой задаче для может быть определено отдельно на каждом шаге приближения а как решение следующей краевой задачи : Дифференциальное уравнение: оу^'+^у'^

1(—--—), если_ а = О = 1 & |0,ес.7н_а * О

Граничное условие на лицевой поверхности: у/'а = о и естественные граничные условия на торцевой поверхности: [На =о.

В соответствии с методом ортогональных кинематических состояний оно может быть переведено в «начальное деформированное состояние».

Аналогично, кинематическое состояние, соответствующее бигармонической краевой задаче для может быть

определено отдельно на каждом шаге приближения а как решение следующей краевой задачи : Дифференциальное уравнение:

4 о' е' " /•: г.-Граничные условия на лицевой поверхности: а

(О' + Л)

с

(с + л) где

[EIV'-A v!ik,'"] = </„ [£w„"-av:iku""] = ii.

q,eaiu_a = О Ча~\0 ,если а* О Р"

Ф, Ф,

(—~ + ).ес ш а = О (X cv

0,если_а * О

и естественные граничные условия на торцевой поверхности: [л?„ + (2//+;.) ¿л- му;]5(-Фа)+[Q„ +g( ^= о Асилттотический метод. К полученной трехмерной постановке применяется метод асимптотического интегрирования обобщенного бигармонического уравнения на W. Показано, что и <p = <pts-k линейно связаны на

каждом приближении асимптотического процесса с прогибом К', .

(04-л) (зг-1)

i ---р,-+

ое '1 б

+ 1Г, +

- - З^х»^.', - = ■))-(£■,(= = ')]-

- + (г = О-^^—1/!';!= I)]

10 л,(3-----') (а + л)(г-5'),

ъ^с-^—----+

, о к оле е о л2

+[(О --(о -++-=о)) +

++= 1) - ~ = 0) +

¡сТл)(£-1хий* = =1))]

Прогиб на каждом шаге асимптотического процесса удовлетворяет неоднородному плоскому бигармоническому уравнению:

г'п'

с (/4+1)

.18 г 601 "Г £Г £ +

Каждому номеру приближения основного итерационного

процесса интегрирования трехмерного обобщенного

бигармонического уравнения к ставится в соответствие

счетное число а приближений вспомогательного

16

лг, +

итерационного процесса разделения краевых задач на ср и у. Для каждого номера о. вспомогательного итерационного процесса выводится пара естественных г раничных условий на и-,. Для к=0 и а=0 удовлетворяет соответствующим образом преобразованной классической постановке задачи, для к=0 и а=1 "кирхгофовские значения" граничных функций м, о, И „ и IV уже отличаются от классических и могут внести существенные поправки. Выделение основного напряженно-деформированного состояния. Обобщенный бигармонический оператор, действующий на V/, представляется как произведение двух разных обобщенных гармонических операторов:

и =(...)'""

с

Не трудно видеть, что решение V/ можно представить в виде суммы и

Причем определяет медленно меняющуюся функцию, а - быстроменяющуюся функцию по растянутым координатам х,у. С помощью вспомогательного итерационного процесса, аналогичному изложенному выше,

краевая задача на У/2 отделяется. Таким образом, кинематическое состояние, соответствующее

гармонической краевой задаче для может быть

определено отдельно на каждом шаге приближения и в соответствии с методом ортогональных состояний переведено в «начальное деформированное состояние». Таким образом, переводя в «начальное деформированное состояние» быстроменяющиеся кинематические состояния у и метод ортогональных кинематических состояний дает возможность определить, что такое «медленно меняющееся напряженно-деформированное состояние» и сформулировать соответствующую ему гармоническую краевую задачу.

Третья глава посвящена применению метода ортогональных кинематических состояний к построению моделей сплошных сред.

3.1 Предложен общий подход к формулировке моделей сплошных сред, подчиняющихся общим кинематическим связям. Показано, что такие среды допускают более широкий спектр взаимодействий: несимметричность тензора напряжений, не только тензорный, но и векторный характер взаимодействий (внутренние объемные и поверхностные силы), поверхностные эффекты и поверхностную анизотропию упругих свойств,

многомодульное™ с модулями разной размерности и наличием, в связи с этим, масштабного фактора.

Ш {К/' + кОД/г, + (// + я - К-)- С'/?, + Л', ]Д?, ¡(/К +

АД,

3.2 Как частный случай модели (3.1) анализируется модель несимметричной теории упругости с тремя модулями Ламе: ц, А. и к. Она соответствует существованию внутри объема присущего материалу среды внутреннего винклеровского основания относительно упругих поворотов.

Ш < + ^ + </' + *-*■) ¿т- + А' № +

£Г оК <?Д. дЯ.

+§[у, - (а+о-гЧ - л-^ги, - с - =0

'дх,сЪ,

"'А,

Модуль к - коэффициент пропорциональности между разностью касательных напряжений и соответствующим упругим поворотом.

3.3 Как частный случай модели (3.1) анализируется когезионное поле типа Баренблата, как модель теории упругости с тремя модулями Ламе: {д., А, и С. Она соответствует существованию внутри объема присущего материалу среды внутреннего винклеровского основания относительно упругих перемещений.

rrr

JJ J i [//ля, + (// + л)^- - CR, + .v, )di' + а- ЭК, dR , dR, „

Модуль С - коэффициент пропорциональности между вектором внутренних сил и упругим перемещением.

На ее основе построены несингулярные решения для трещины и клина.

3.4 Как частный случай модели (3.1) анализируется модель поверхностных эффектов для твердых тел типа поверхностного натяжения. Она соответствует существованию на поверхности тела присущего материалу среды внутреннего анизотропного винклеровского

основания относительно упругих перемещении.

дх.дх,

JJJ {[fJAR, +(ß + A) + X, ]<Ж, )dV +

и дя дЯ, дЯ.

+Я1У,- +- ВКЯ -».», Ш*?=0

Модуль А - коэффициент пропорциональности между нормальными проекциями векторов внутренних сил и упругого перемещения. Модуль В - коэффициент пропорциональности между касательными проекциями векторов внутренних сил и упругого перемещения. 3.5 Как частный случай модели (3.1) анализируется модель чистого сдвига, когда к—и строится краевая задача для соответствующего кинематического состояния.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Сформулирован метод ортогональных кинематических состояний.

2. Построена непротиворечивая прикладная теория плит.

3. Построен алгоритм асимптотически точного выделения задачи кручения в теории плит.

4. Построен алгоритм асимптотически точного выделения задачи краевой плоской деформации в теории плит.

5. Построен алгоритм асимптотически точного выделения "основного" (медленно меняющегося) напряженно-деформированного состояния в теории плит.

6. Предложена методика формулировки моделей сплошных сред, подчиняющихся общим кинематическим связям.

7. Построена несимметричная модель теории упругости без повышения общего дифференциального порядка разрешающей системы уравнений.

8. Построена модель когезионного поля типа Баренблата. Построены не сингулярные решения для трещины и клина.

9. Построена модель поверхностных эффектов для твердых тел типа поверхностного натяжения.

ю. Построена модель порохов с потенциальным полем перемещений (модель кинематических состояний чистого сдвига).

Основные научные результаты диссертации опубликованы в работах:

к Белов П.А., Елпатьевский А.Н. О двух подходах к определению напряженно-деформированного состояния конструкций, выполненных из несжимаемого материала // Тематический сборник научных трудов МАИ №467, М., 1978.

2. Белов П.А. Об оптимальной форме торца силикатной оболочки.// Тематический сборник научных трудов МАИ №470, М„ 1979.

3. Белов П.А., Елпатьевский А.Н., Лурье С.А. К решению, задачи теории упругости в напряжениях. //Сборник «Прочность конструкций», №4, Уфа, 1980.

4. Белов П.А. Об определении компонентов вектора перемещений через компоненты тензора-девиатора деформаций в геометрически линейных односвязных сплошных средах.// Тематический сборник научных трудов МАИ «Расчет тонкостенных элементов конструкций на прочность, устойчивость и долговечность», М., 1982.

5. Белов П.А. Вариант моментной теории упругости.// Тематический сборник научных трудов МАИ «Прочность элементов конструкций летательных аппаратов», М., 1982.

6. Белов П.Л., Образцов И.Ф., Елпатьевский А.Н. Об общем подходе к формулировке линейных моделей сред различной гладкости.//ДАН, Том 303, №6, 1988.

7. Белов П.А., Лурье С.А. Применение метода разложения по малому параметру для построения уточненного решения задачи изгиба полосы. // Тематический сборник научных трудов МАИ «Вопросы прочности тонкостенных конструкций», М., 1989.

8. Лурье С.А., Белов П.А. Расчет составных слоистых композитных балок, пластин и оболочек при локальном нагружении. // Тезисы 3-й Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур., Львов, 1991.

9. Лурье С.А., Белов П.А., Криволуцкая И. И. О расчете напряжений в районе свободных кромок слоистых композиционных материалов. // Межотраслевой научно-технический сборник "Технология", сер. "Конструкции из композиционных, материалов" , вып.4, 1994.

10. Белов П.А., Лурье С. А. Кромочный эффект в композитных структурах. // IAC '94. International Aerospace Congress. Abstracts. М.: Russia, 1994.

п.Лурье С.А., Белов П.А. Определение эффективных характеристик материалов с эффектом памяти формы с учетом фазовых превращений. // I Российско-Американский

семинар "Новые физические и математические методы ..." Санкт-Петербург, 1995.

12. Lurie S.A., Belov Р.А. The model of heterogeneous continuum describing tention. surface and some generalization to the theory of field in physics. // Advances in structural and heterogeneous continua. 2-th Sumposium. M.: Russia, 1995.

13. Лурье C.A., Белов П.А., Орлов А.П. Модели сплошных сред с обобщенной кинематикой. Свойства и некоторые обобщения. // Механика композиционных материалов и конструкций. РАН, Т. 2, № 2, 1996.

и. Belov Р.А., Orlov А.Р., Lurie S.A. The Models of the Continuous Medium with General. Properties and some Application// J.Composite Mechanics and Design.- Allerton Press, Inc., Vol. 3, No 2, 1996.

15. Образцов И.Ф., Лурье C.A., Белов П.А. Об обобщенных разложениях в прикладной теории упругости и их приложения к конструкциям из композитов. // Механика композиционных материалов и конструкций, № 3, 1997.

16. Лурье С.А., Белов П.А. Описание моделей с обобщенной кинематикой и их приложение в механике разрушений. // III Международный симпозиум "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 1997.

17. Белов П.А., Лурье С.А. Модели сред с обобщенной кинематикой и некоторые их приложения.// Тезисы докладов III Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Москва, 1997.

18. Belov Р.А., Lurie S.A., Orlov А.P., Pancratov V.V. Continuum Mechanics Models with Generalized Kinematics and Fracture Mechanics Application.//16th Canadian Congress of Applied Mechanics. Quebec, Canada, 1997.

19. Белов П.А., Лурье C.A. О корректности классической и прикладных теорий пластин. // Механика композиционных материалов и конструкций, № 4, 1997.

20. Белов П.А., Лурье С.А., Сергеев В.Н. О методе ортогональных кинематических состояний. // 4-й международный симпозиум "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, 1998.

21.П.А. Белов, С.А. Лурье, Модели деформирования твердых тел и их аналоги в теории поля.// МТТ № 3, 1998.