Обратная граничная задача теории упругости для круга тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ОВЧИННИКОВА Нелли Викторовна

ОБРАТНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ КРУГА

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

А ВТО Р ЕФ ЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва— 1992

-Л

/

/

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета Московского государственного университете им. И.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник О.А.Кияиковская

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А..Б.Ефимов . кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Александрович.

Ведущая организация - Институт математики СО АН СССР.

Защита состоится " ^ " Л^О^уГй 1992 года в 16 часов на заседании сшциализировашого Совета Д 053.05.03 в МГУ им. Ы.В.Ломоносова пог адресу: 115899, г.Москва, Ленинские горы, МГУ, кеханико-математический факультет, ауд. 16-10 *

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке шхааико-ыатенатического факультета МГУ.

Автореферат разослан

" 1992 Г.

Ученый секретарь специализированного Совета Д 053.05.03 в МГУ кандидат физико-математических наук

доцент В.А.Мольков

426 ~

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Из практики возникает необходимость решения таких задач теории упругости, когда на части границы тела неизвестны ни нагрузки Р , ни смещения £7 , зато на другой части границы, доступной для наблюдений, может быть известно и то, и другое. Задача восстановления напряженно-деформированного состояния в теле, либо граничных условий на недоступной части граница по заданным на другой части границы векторам напряжений и перемещений является обратной задачей. Как и большинство обратных задач оке относится к классу некорректно поставленных задач, т.к. ве решений существует не для любой пары функций ( Р , I/ ), и если существует, то единственно, но неустойчиво к малым изменениям ¡ссходннх данных. Свойство неустойчивости решения согласуется с 1ринцшюм Сен-Венана теории упругости, когда различные распределения усилий, имеющие одинаковые интегральные сарантаристнки и значительно отличавдиеся по дифференциальным свойствам, могут вызывать в точках тала, достаточно удаленных от леста приложения этих усилий, близкие по величине значения запряганий а перемещений.

В реальных задачах исходные данные, являясь результатами измерений, могут быть известны лишь приближенно и в дискретном таборе точек доступной части границы. При этом, если упругое тело гмеет произвольную форму, то задача можы решаться только шслеино, т.е. речь может идти лишь о нахождении приближенного зэшення задачи. На возможность, способ и точность решения ге корректных задач оказывают влияние множество факторов. Поскольку ¡уществует ограниченное число методов эффективного решения юдобных задач, и их возможности недостаточно изучены, то гсследования по постановке и решению рассматриваемой задачи

представляют и теоретический, и практический интерес.

Задача о восстановлении напряженно-деформированного состояна в упругом теле по постановка и свойствам решения близка к задач Коша для уравнения Лапласа. Фундаментальными ■ работами посвященными решении этой задачи, являются работа Карлемана М.М.Лаврентьева, С.Н.Мергеляна, Е.М.Ландиса. Предлагаемые в ни метода устойчивого решения основаны на ограничении класса решена заданным классом функций и требуют таких условий, которые, вряд л могут быть известны в задачах теории упругости, возникших в практики. Более общим методом устойчивого решения некорректна задач является метод регуляризации А.Н.Тихонова. Он не требуе задания компакта функций, в котором содержится искомое решение Класс решений определяется саюш методом.

В немногочисленных работах, связанных с решением задач теори упругости, подобных рассматриваемо® задаче, либо предлагаете метод решения, который не может быть применен на практике, либо в исследуются основные свойства решений: зависимость точном решения задачи от погрешности исходных данных, изменяемое! искомого решения и пр.. Это позволило авторам данных работ сделат ошибочно оптимис. гческий прогноз о возможности восстановлэш искомых функций.

В работе 0 .к. Килшговской (МТТ, 1989, .Й5) дана постанов» задачи теории упругости о восстановлении значений вектор напряжений на части границы упругого тела по векторам перемещен! и напряжений, заданным на остальной части границы. Решение зада*, сведено к решении системы интегральных уравнений Фредгольмз 1-1 рода. Исследовано численное решение плоской задачи восстановлении сосредоточенных сил, действующих. в точке "недоступной" части границы круга, методом регуляризации Тихонове

. ь~

Изучение данной проблемы на примере задачи для круговой области, где возможно использование точных аналитических ядер уравнений Фредгольма, позволило исследовать основные свойства приближенного решения при различном качестве исходных данных.

Цель работн. Настоящая диссертация посвящена численному решению задачи определения вектора напряжений, распределенного на "недоступной" часта границы упругого круга, по векторам напряжений и перемещений, известным на остальной части границы, в постановке, предложенной О.А.Кшнковской. Цель» диссертационной работы является исследование влияния погрешности построения численного оператора, погрешности измерений перемещения, наличия дополнительной информации о решении, соотношения длин доступной и недоступной частей границы на основные свойства приближеного решения задачи методом регуляризации Тихонова при возможном для круговой области использовании точных решений прямых задач.

Научная новизна. Впервые и лично автором диссертации получены следующие результата:

1. Погрешность дискретного оператора мало влияет на основные свойства решения, а именно: слаОошзменяемио распределения напряжений восстанавливаются с удовлетворительной точностью на всем рассматриваемом интервале, а знакопеременные - только на его части, примыкающей к "доступной" границе. Увеличение "доступного" интервала позволяет уточнить решение лишь на .ой же относительной части недоступной границы.

2. Погрешность 'численного оператора при дискретизации задачи можно рассматривать как неисключимую погрешность правой части, которая определяет рациональный уровень точности входящих данных. При атом в реальном счете уточнение численного оператора, начиная с некоторой величины, не приводит к качественному улучшению

-н-

точности восстановления.

3. Использование в качестве дополнительного условия одной компонента вектора перемещений на недоступной границе позволяет существенно улучшить точность восстановления лишь одноименной компоненты вектора напряжений на всем рассматриваемом интервале.

4. Распределения напряжений, имеющие в общей точке границ интегрируемую особенность типа 1/»* , восстанавливается удовлетворительно лишь при ц<0.5'.

5. Предложен способ оценки погрешности оператора для реальных задач, используемой в определении оптимального параметра методом-невязки.

Достоверность научных положений и выводов обеспечивается: -соответствием установленных общих закономерностей решения механическим свойствам поведения упругих тэл (принципу Сеп-Венана теории упругости); - формулировкой выводов на осноев анализа модельных задач при сравнении полученного решения с заданным точным;- использованием для решения задачи метода регуляризации Тихонова, апробированного на решении шогих некорректных задач.

Практическая ценность диссертация заключается в определении свойств приближенных решений поставленной задачи методом регуляризации Тихонова на примере круговой облэсти н возможности их использования в качестве рекомендаций при решении обратных граничных задач теории упругости для произвольных тел.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы опубликованы в работах I I - 6 1 и докладывались на аспирантском семинаре кафедры теории упругости механико-математического ф-та МГУ им.М.В.Ломоносова, семинаре подсекции статической прочности и пластичности секции механики твердого деформируемого теле Совета Института мехвники МГУ, семинаре кафедры математического

моделирования физико-механических систем Московского института электронного машиностроения, на 6 Всесоюзной конф. по управлении в мех. системах (Львов: Иаст. прикл.проблем механики АН УССР, 1988), ла сов.-итальянском симпозиуме "Неклассические и некорректно поставленные задачи математической физики и анализа" (Самарканд, 1990).

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 99 страниц основного машинописного текста, 10 страниц таблиц, 43 страницы рисунков, список литературы из 37 наименований. Таблицы и основная часть рисунков помещены в конце третьей главы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность решения задачи о

восстановлении напряженно-деформированного состояния в теле или

недостающего граничного условия на части границы тела по заданным

на другой части границы переопределенным граничным условиям.

Излагаются цели и краткое содержание диссертации.

В первой главе сформулирована постановка задачи теории

упругости об определении вектора напряжений на части границы

произвольной области по заданным на другой ( Ц ) часта границы

векторам напряжений ( , 56 . с =1,2,3 ) и перемещений

(И;Г«). ¿1 ) ( Задача (С,Р) ). Показано, что задача (17,Р)

относится к классу некорректных задач.

В §1.1 исследован вопрос о существовании и единственности

точного решения задачи исходя из общей теории задачи Коши

для эллиптических уравнений. Теорема Коши-Ковалевской утверждает

локальное суцествование аналитического решения вблизи

аналитической поверхности данных Коши для аналитических

эллиптических уравнений. При атом существующее локальное решение 2-/26

- е-

задачи не всегда можно продолжить в область. Вопрос о существовании решения для произвольных данных Кош является открытым. Из теорем Коши-Ковалевской и Хольмгрена следует, что в случав существования решение задачи (V , Р ) единственно. Единственность плоской задачи ((Г,Р) можно доказать с помощь» теоремы о единственности аналитического продолжения для функций комплексного переменного. Однако свойство неустойчивости решения задачи (17.Р) приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности данных. Невыполнение требований корректности задачи по Адамару позволяет отнести поставленную задачу к классу некорректных задач.

В §1,2 решение задачи (17, Р) сведено к решению систем* интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода относительно неизвестных на и напряжений: (1=1,2,3 )

к и*"'

1 (I)

I А I А (2)

где (э, ¿) - тензор-функции Грина для перемещений и могут Сыть определены из решения прямых зэдач.

В §1.3 сформулирована постановка плоской симметричной относительно коирцинатных осей Ох- и Оу. задачи {V) теории упругости для единичного круга (рисЛ). В такой задаче условия равновесия (2) выполнены тождественно. В качестве ядер уравнений Зредгольма взяты решения прями задач - перемещения в точке единичной окружности с угловой координатой & ( О £ &<£7Г ) от действия на границе круга симметрично расположенных относительно координатных осей четырех единичных сосредоточенных сил (рис.1).

- г-

Точки приложения сил определяются угловой координатой У, Везде далее без ограничения общности принято, что часть границы свободна от нагрузок, т.е. = О , 5 €. ¿^ . с учетом всех упрощений система (1,2) принимает вид (3). ( I =1,2)

Т± цх^жм***=

а «.»< л

в<4<СО0 (3)

В §1.4 приведена дискретная постановка задачи для круга, использующая поточечное задание граничных условий. Дискретным аналогом системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода (3) является система линейных алгебраических уравнений (4), где неизвестными являются компоненты А/ усилий, действующих на площадках 4£ • Х^¡>л(Ц^аУ, ^¿рг^^Аф. (¿¿Л/)

Л&^СОВ/А/, ; (Д ^СОВуг)лц>;О.*¿08-(]-

/

Элементами матрицы В являются соответствующие значения ядер Матрица В характеризуется близостью к О ее определителя и большой разницей (на порядки) между ее элементами. Отличие между значениями вектора V и $>)( , возникшее из-за погрешности при замене интеграла интегральной су. .юй по формуле прямоугольников, определяет погрешность дискретного оператора' системы (4) до сравнению с интегральным оператором системы (3).

Г(Р1 (5)

Вторая глава представляет собой обзор основных работ (Карлемана, М.М.Лаврентьева, С.Н:Мэргеляна) по методам решении

задачи Коши для уравнения Лапласа, т.е. задачи определения решения уравнения Аи=0 в области .£2. по заданным на чести £ ее границы значениям функции Ц, и ее нормальной производной 'Ъи/Ьп* , и эквивалентной ей в плоском случае задачи аналитического продолжения функции, заданной на части границы области, на всю область (§2.1), а также работ О.И.Махмудова, А.А.ШввбаД.В.Фомина, посвященных обратным граничным задачам для упругих и неупругих тел (§2.3). Здесь же даны основные положения метода регуляризации Тихонова, который используется для построения приближенного решения задачи (1Г,Р) в данной работе.

Метод регуляризации Тихонова, основные положения которого приведены в §2.2 не требует фактического задания компакта функций, в котором содержится искомое решение. Этот метод из всего многообразия возможных решений выбирает решение с минимальной нормой. Для системы алгебраических уравнений

БУ- гг

он сводится к решению системы (Ь*8> а

Здесь £>*-транспонированная к £> матрица, Е - единичная матрица. Решение этой системы при определенном выборе параметра регуляризации *С принимается за приближение к искомому решению.

В третьей главе на основе решения модельных задач исследованы возможность и точность восстановления методом Тихонова распределений напряжений различного вида. Для численного решения была составлена программа на языке Фортран. Расчеты модельных задач велись на ВЭСМ-6 и 1ЬМ РС .

В §3.1 предложен алгоритм построения и решения модельных задач, позволяющий сравнивать заданное точное решение с восстановленным приближенным. Задается точное решение

фазяки и анализа" Самарканд, 1990

4. Киликовская O.A., Овчинникова Н.В. Об особенностях решения обратной граничной задачи теории упругости при приближенном построении оператора.-В сб. трудов НИИ механики мгу: Некоторые задачи о поведении вязких и упруго-пластических конструкций. йзд-во МГУ, 1989, с.38-45.

б, Киляковская O.A., Овчинникова Н.В. Постановка задачи об аврэдэлэяЕи вектора запряганий на части границы упругой области по пвреопрэделенннм граничным условиям на другой части границы.- Деп. а ВИНИТИ № SI53-B89, IB89, 13с.

в. Калнковская O.A., Овчинникова Н.В* Исследование точности восстановления напряжений методом Тихонова в обратной граничной вадачэ теории упругости для крута.- Деп. в ВИНИТИ й 5302-В89, 1989. 31 с.

fVc.2, кг/см

Л . , i—â . i.

i ■ I ■ Л ч г s

— amp ö £ С о.аг -----атрк M сШщsO.Äfi

P, f^if , *гЛм il

r—

*4a|---

l~-amp с о.

amp»о е »o.? «o.i

amp к о.о< Pue. 3

{

_ ri »"Г

rs. при ьаданиа

— на Í.

р .