Обратная задача рассеяния для одномерного оператора Шредингера с медленно убывающим потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КРУМА-ДАРБУ И ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА

С МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ.

§ I.I. Преобразования Крума-Дарбу

§ 1.2. Операторы Шредингера с квазирациональными потенциалами.

§1.3. Решения Йоста и их свойства.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ НА ОСИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

С КВАЗИРАЦИОНАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ.

§ 2.1* -матрица и данные рассеяния. Общие сведения.••••

§2.2. Свойства /^-матрицы оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом;*, .л.

I I '

§2.3, Обратная задача рассеяния длЛ^Иолургегудярного оператора, не имеющего точечного спектра.

§ 2А, Обратная задача рассеяния в классе квазирациональных операторов в общем случае.

ГЛАВА 3, МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА.

§ 3.1. Рациональные и квазирациональные решения уравнения Кортевегагде Фриза.

§ 3.2. Задача Коши.

Исследование обратных задач спектрального анализа является вот уже более тридцати лет одним из наиболее важных и плодотворных направлений математической физики. При их решении получен ряд существенных результатов как с точки зрения спектральной теории, так и с точки зрения приложений к физическим задачам. Особый интерес к обратным задачам вызвало открытие в 1967 г, Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой метода "обратной задачи рассеяния" решения ряда нелинейных уравнений математической физики.

Рассмотрим одномерный оператор Шредингера (оператор Штурма?-Лиувилля)

I) с вещественным потенциалом удовлетворяющим условию оо

2)

Используя уравнение Лиувилля A

L^x + j вещественных нетрудно показать, что уравнение вещественных Л^О решение дением при X —* -+ о показать, что уравнение имеет при енных ^ 0 решение зо следующим при X —* -+ ©о зо следующим повеимеет при всех

Аналогичным образом устанавливается существование решения с таким поведением при X - ^

Эти решения называются решениями Йоста.

При Л^О пары функций е+(Я>х) и е~(Хх)э образуют фундаментальные системы решений, следовательно, е+(Хх) = а (X) е~С\,х) + BftKU,*),

Вводя обозначения й = Ш^ХиХ'Х.уд), M^CVUcax)), I можно убедиться с помощью соотношений (3), что имеет место зависимость

U = £ \Г , где 5 = , aCX)4, su(30 = eCXVaCX) , $л00 = - &(-W/aOM

Матрица

ЗСМ называется &-матрицей оператора Н . Обратная задача теории рассеяния (ОЗР) для рассматриваемого оператора при отсутствии точечного спектра состоит в а)восстановлении потенциала по -матрице и б) отыскании необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять матрица

5 а) чтобы быть Р -матрицей некоторого оператора Шредин-гера с вещественным потенциалом, удовлетворяющим условию (I). В общем случае, когда у оператора И имеется точечный спектр, та же задача ставится для так называемых данных рассеяния, которые состоят из элементов £-матрицы и набора констант - нормировочных коэффициентов, характеризующих соответствующие собственные функции.

Если потенциал С](х) удовлетворяет более жесткому условию оо со такие функции будем называть быстроубывающими), то решения Йоста допускают представление через операторы преобразования Б.Я.Левина [i]

X -оо

Операторы преобразования играют важную роль в решении ОЗР. Восстановление потенциала сводится в этом случае к решению относите-* льно функции к (х интегрального уравнения (уравнения

В.А.Марченко)

СхЭ х +

Ядро этого уравнения - функция однозначно определяется по данным рассеяния, а потенциал находится по формуле

В классе быстроубывающих потенциалов ОЗР на полуоси была решена в 1955 г. В.А.Марченко [2] и МЛЧКрейном [з] . Аналог уравнения Марченко на всей оси был выведен в 1956 г. Кэем и Мозесом , а полное решение ОЗР на оси, включающее необходимые и достаточные условия на данные рассеянияьбыло получено в 1964г. Л.Д.Фаддеевым [5] . Ключевым пунктом в выводе характеристических свойств данных рассеяния является доказательство^ того, что в результате решения уравнений Марченко для ядер должен получиться один и тот же потенциал

При этом в.существенном используются с одной стороны аналитичность коэффициентов ЯцШ - S22(x) , с другой стороны -поведение элементов о-матрицы при

Л-О Соответственно именно эти свойства iE> -матрицы составляют нетривиальную часть необходимых и достаточных условий, и их доказательство является наиболее трудоемкой частью рассмотрений.

Целью настоящей работы является решение обратной задачи рассеяния для оператора Шредингера (I) с медленно убывающим потенциалом вида г хг

0 (х > О), где С[^0(Х) - быстроубывающая функция (точное описание класса рассматриваемых потенциалов будет дано ниже), а также обобщение метода ОЗР применительно к решению задачи Коши для уравнения Корте-вега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными.

Центральное место в исследовании задачи рассеяния для указанного класса потенциалов занимает установление зависимости свойств данных рассеяния от характера убывания потенциала. В простейшем случае потенциала вида (А), когда » решения Йоста при |х|>1 совпадают с соответствующими функциями Ханке-ля-Риккати, ,5-матрица выписывается в явном виде и при Л О cor4), 8и(М-(-ЛОСА1иИ).

Таким образом, скорость приближения функций а) И £>2.1 (X) к -1 прямо связана с числами Пи \п , то есть со скоростью убывания потенциала при ЭС -*• ± . Это свойство сохраняется и в общем случае: имеется точная зависимость между поведением коэффициентов отражения sJX) и вЛУ) • при убыванием потенциала.

Перейдем к описанию содержания работы. В первом параграфе главы I вводится семейство многообразий

Т. рациональных функций С(см. [б] ), параметризованных точками К -мерного векторного пространства (С^ (R- • При

1x1 — гЛх.ЙЛ = 1Ь(хД» * ос**> ^ + 0(х

Функции 1ГК^Х, С*характерны тем, что уравнения

I 2 > . 2

4-2е? = A Cf olx интегрируемы явным образом,и решения выражаются через элементарные функции.

Во втором параграфе дается точное определение исследуемого класса операторов, а именно рассматриваются операторы Шредингера с потенциалами Cj^OO ^ С (ВО такими, что при х и

X •»- оо они совпадают с рациональными функциями соответственно и с точностью до функций, убывающих быстрее любой степени [X\ • Многообразие всех таких функций будем обозначать через • (Через ) обозначаем множество функций » Убывающих быстрее любой степени |Х| при (соответственно ), при которых уравнение Hlf = О не имеет ограниченных на всей оси решений, а через

-i ,m/ множество функций с подобными асимптотиками, но отличных тем, что уравнение Н(р = 0 имеет ограниченное на всей оси решение).

Далее в первой главе вводятся решения Йоста соответствующих уравнений и выясняются их свойства (леммы 1.2 - 1.5). Существенную роль при этом играют преобразования Крума-Дарбу, позволяющие переходить от одного класса потенциалов.к.другому. Заметим, что аналогичные преобразования применяли В.Ф.Короп [7] и А.С.Сохин [в] , рассматривая обратную задачу рассеяния на полуоси для оператора Шредингера с особенностью.

Первые два параграфа второй главы посвящены исследованию свойств данных рассеяния для рассматриваемого класса операторов. Основной результат состоит в следующем. Если потенциал

Q (xl £ (RVi уу1 , то оператор Н может иметь только конеч

2. ное число неположительных собственных значений =

-матрица удовлетворяет условиям:

I. Матрица $(Х) унитарна (^()0,$CX) ~ IV s1(m=s22a\ s^oo = 6ц(-зо.

П. Элементы матрицы суть бесконечно дифференцируемые функции; при функции &12

СХ) и Б^д ОО убывают быстрее любой степени » и при всех

Ш. Функция S^CX) продолжается аналитически в полуплоскость Ли > 0 , где она может иметь конечное число полюсов первого порядка Lv^ (к = ., С ) на мнимой оси и нигде не обращается в нуль; при 12( в полуплоскостх 3m Z>0 1 * ФГ1) .

1У. при Л — О

6и(зо-(-<Г -осо, г эе где (э ^ О , а X = И + Ш.-1 , если оператор Н имеет нулевое собственное значение, и П + Ш. + 4 в противном случае.

В последних двух параграфах главы 2 доказывается достаточность сформулированных свойств данных рассеяния и приводится алгоритм восстановления потенциала. Полученные здесь необходимые и достаточные условия на данные рассеяния (теоремы 2.1 и 2.2 ) являются основным итогом этой главы.

Третья глава посвящена приложению полученных результатов к решению задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза й-t+ ri'Lxx ' 6=0 , 0) = с^оо с начальной функцией CjOO £ (R-»i,т. . Показывается, что метод Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [9] , базирующийся на теории ОЗР, может быть обобщен на рассматриваемый случай. Доказывается разрешимость поставленной задачи Коши при помощи этого метода и исследуется поведение решений при X . Оказывается (теорема 3.3), что решения принадлежат тому же классу функций (R-n т. ЧТ0 и начальные данные, причем, при всех t fx —ч где

- рациональные решения уравнения Кортевега-де Фриза, найденные Л.А.Бордаг и В.Б.Матвеевым [ю] , и М.Адлером и Ю.Мозером [б] , а добавки £+(Х) и £~(Х) убывают быстрее любой степени когда

ОС — ioo соответственно.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (г.Черноголовка, 1981 г.), 1-ем республиканском семинаре "Интегральные и дифференциальные уравнения" (г.Одесса, 1982 г.), харьковском общегородском семинаре по математической физике, а также на конференциях молодых исследователей Физико-технического института низких температур АН УССР. Основные результаты опубликованы в работах [28-3l] .

Нумерация формул, утверждений и параграфов ведется в каждой главе независимо. Первая из цифр номера соответствует номеру главы.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю академику АН УССР В.А»Марченко за постоянное внимание к работе и ценные обсуждения.

На защиту выносятся следующие новые результаты:

- необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять матрица , чтобы быть о -матрицей некоторого оператора Шредингера с квазирациональным потенциалом

Х) € (ЯП)т .

- алгоритм восстановления потенциала по данным рассеяния;

- точная взаимосвязь между поведением элементов 5-матри

ЦЫ при А-0 и поведением потенциала при (х\—* ;

- обобщение метода ОЗР на задачу Коши для уравнения Корте-вегаг-де Фриза с медленно убывающими начальными данными х,о) е (Яп>пг .

- исследование асимптотического поведения при х —± 00 и всех t решений u(x5"0 задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с медленно убывающими начальными данными

U(X,0) £ .

1. Левин Б.Я. Преобразования типа Фурье и Лапласа при помощи решений дифференциального уравнения второго порядка.-ДАН СССР, 1956, т. 106, №2, с. 187-190.

2. Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн.-ДАН СССР,1955,т.Ю4,№5,с.695-698.

3. Крейн М.Г, Об определении потенциала частицы по ее fb-функ-ции.-ДАН СССР,1955,т.105,№3, с.433-436.

4. Kay I.} Mosgs Н.Е, J\ia cJetermLna'tlovi scaite,-Kht) potentlat tVn spectral measure |uruction. .1, Nuovo Clwiertto, 19565 v.5, mZ^ p. 276-304.

5. Короп В.Ф. Обратная задача рассеяния для уравнений с особенностью .-Сибирский математический журнал,1961,т.2,№5,с.672-693.

6. Сим ММ. А^сааЫ SWwi-Ltotwlffe systems.Ш fyuflrterfoj journal of MatUmaties 3 ОфыI (2*)э1955, V, р.М-Ш.

7. Dat^oux 6г, Sur иие proposition refatlve auxequations tuieares.- Comptes Rehdues3 4882., v, p. ^56-^59,

8. Крейн М.Г. 0 континуальном аналоге одной формулы Кристоффе-ля из теории ортогональных многочленов, ДАН СССР,1957,113, № 5, с.970-973. . .

9. Агранович 3.С.,Марченко В.А., Обратная задача теории рассея-ния.-Харьков, Изд-во ХГУД960, 268 с.

10. Matveev У.В.(Матьее& б,Б,") Darboux transom at ion аиЛ ik explicit solutions of "tk Kacbmicev-PetvLas^i/ e^utftum, depending on tU .functional parameters e~1.tters wi MatkefoaticaC Ш,*3,Р.213-2К.

11. Matveev V,E>, (Матьеее, Ь.Ъ) Some comments ova iUa rutixmai solutions of tk 2dWiarov Sckabat equations.-Letters lv\ MatltematieaC РЦ^с, 5^.503-512,

12. Ьигс-fUnaW З.ЦСкаиЦ} T.W. Commutative огЛшя-^ c(L|ferentla? operators. Proceeding Ro^aC Soc, London, ser. 2., V.24, p. 420-^0.

13. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния.П.-В кн.:Современные проблемы математики. М.:ВИНИТИ,1974,т.З, с.93-180.

14. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.- К.: Наукова Думка,1977, 331 с.

15. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза.- Мат. сборник, 1974, т.95 (137),№ 3, с.331-356.

16. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. I.-Функц.анализ,1974,№8,вып.3,с.54-66.

17. Хруслов Е.Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза, с начальными данными типа ступеньки.-Мат.сборник,1976,т.99 (141),№2, с.261-281.

18. Ермакова В.Д. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с неубывающими начальными данными специального типа.-.Доклады АН УССР, Сер.А,1982,№7, с.3-6.

19. Ломоносова О.М. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера на оси и.новый класс решений уравнения Кортевега-де Фриза.- ДАН СССР,1982, т.264,№4,с.823-826.

20. Захаров В.Е.,Манаков С.В.,Новиков С.П. Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.-М.: Hay к а, 1980.319 с.

21. Lax. P.D. Litajr-ats of vmCmear ec^atuws of evofctt-tuws and sotiiaHj waves.-Comm. Pure and Appf,MatL, <968, v.2<, .</5, р.Н'МЗО, (перевод: Лаке П., Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные волны.-Математика,1969,т.13,вып.5,с.128-150).

22. AMowLtz М. 1,Сог-1я1Й€ W* On soEutiovis о| tk Ког--teweg de Vines e^uaiioti, - ph^s, Le-fct fJ 4979,v. 71 A3 p. 2??

23. Давыдов P.H. Обратная задача рассеяния на оси для уравнения Штурма-Лиувилля с квадратично-убывающим потенциалом.- В кн.: Функциональный анализ и прикладная математика. Киев: Нау-кова Думка, 1982, с.3-13.

24. Давыдов P.H. $-матрица уравнения Штурма-Лиувилля с медленно убывающим потенциалом.- Теория функций,функциональный анализ и их приложения. Респ. межвед.научн.сб. Харьков: Вища школа, 1982, вып.38, с.25-31.

25. Давыдов Р.Н. Об одном классе неособых медленно убывающих решений уравнения Кортевега-де Фриза.1. Теория функций,функциональный анализ и их приложения. Респ. межвед. научн. сб. Харьков: Вища школа, 1983, вып. 40, с.47-56.

26. Давыдов Р.Н. Медленно убывающие решения уравнения Кортевега-де Фриза.- ФТИНТ АН УССР, Харьков,.1982, 42 с. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 25 янв.1983 г.,№393-83 Деп.(РЖМат., 1983, 5Б469).