Обратная задача спектрального анализа для некоторых сингулярных дифференциальных операторов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Типко Алексей Николаевич

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Магнитогорск - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

В.В. Дубровский

кандидат физико-математических наук, доцент А.И. Седов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Я.Т. Султанаев

доктор физико-математических наук, профессор Г.А. Свиридюк

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится « £2.» СЦ'ЦЩЦ'С_ 2004 года ч. О^мин. на

заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакском государственном педагогическом институте.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института.

Автореферат разослан «2.0» -/ИйрГА. 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

В.Н. Кризский

Общая характеристика работы Актуальность темы. Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачу восстановления оператора по его спектральным характеристикам. В настоящее время для некоторых специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов обратные задачи достаточно хорошо изучены. Среди этих операторов простейшим является оператор Штурма-Лиувилля

Ту = -у"+р(х)у о)

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну, который исследовал частный случай восстановления потенциала р(х) по спектру. Он показал, что если собственные значения краевой задачи

-у"+р(х)у = Лу,уЧ0) = У(х) = 0 (2)

есть Однако результат В.А. Амбарцумяна являет-

ся исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения оператора.

Дальнейшее развитие теория обратных задач получила в работе Г. Борга1, который доказал следующую теорему.

Пусть Л Q< Л А ••• - собственные значения уравнения (2) при

граничныхусловиях

/(0)-А>. = 0, у'(л) + Ну(л) = О,

где h и Н — действительные конечные числа, и //0<//|<//2<"- — собственные значения уравнения — y"(x) + q(x) у = 0 при граничных условиях

где —действительное конечное число, Н\фН. Тогда последовательности {Л„ и {fi„ J^g однозначно определяют функцию q(x) и числа h, Н и Я,.

' Borg G. Eine Urnkehnrng der Shtunn-Uouvillochen Eigemreruuifgut* II Acta Muh. 78 (1946), 1-96

3 Гйос. национальная]

I БИБЛИОТЕКА I

Аналогичный факт был установлен Н. Левинсоном, но для других спектральных характеристик. В работе А.Н. Тихонова получена теорема единственности обратной задачи Штурма - Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля.

Важную роль в спектральной теории дифференциального оператора Штурма — Лиувилля сыграл оператор преобразования, впервые примененный В.А. Марченко2. Он доказал, что дифференциальный оператор Штурма — Лиувилля, заданный на полуоси или конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции.

Более сложной задачей является построение конструктивной процедуры восстановления дифференциального оператора и описание необходимых и достаточных условий на спектральные данные. Эти вопросы исследовались в работах М.Г. Гасымова, И.М. Гельфанда, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Л.Д. Фаддеева.

В диссертации при доказательстве теорем единственности восстановления потенциалов существенно используются асимптотики собственных функций самосопряженных операторов. Ранее, этой темой занимались В.А. Винокуров, В.А. Садовничий3, ЯЛ. Султанаев4 и др., где построены явные асимптотические формулы для собственных значений цп и нормированных собственных функций

Многие приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами

yM+nipM)yw- (3)

В сравнении с дифференциальным оператором Штурма - Лиувилля, обратная задача для операторов (3) более сложна для изучения; В различных

Марченко ВА. Спектральная теория операторов Штурма-.Лиувилля. Киев: Навукова Думка, 1972.

3 Садовничий В.А. Замечание об одном методы вычисления собственных значений и собственных функций дискретного оператора //Тр.сем им.ИГ.Петровского.М, 1194 вып. 17

4 Султанаев Я Т. Асимптотическое поведение решений Сингулярного уравнения Штурма-Лиувилля // Доклады PAR 1994. Т. 335

постановках она исследовалась в работах А.Ф. Леонтьева, M.K Фаге, А. П. Хромова5, где выяснено, что оператор преобразования при n > 2 имеет более сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. М.Г. Гасымов и ИХ. Хачатрян исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования.

ЗЛ. Лейбензон6 предложил эффективный метод решения обратной задачи (3), основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей Н. Левинсона. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах В.А. Юрко, R. Beals, X. Zhou. Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю.М. Березанского, А.Л. Бухгей-ма, В.В. Дубровского, А.И. Прилепко, В.А. Садовничего.

В 1992 году В.В. Дубровским7 была доказана теорема устойчивости восстановления потенциала для краевой задачи Дирихле по неточно заданным спектральным данным.

Важным классом обратных задач, часто встречающимся в приложениях, являются так называемые неполные обратные задачи восстановления оператора по неполной спектральной информации при наличии дополнительной априорной информации об операторе. Многие обратные задачи имеют неединственное решение. К этому же классу относятся рассмотренные в нашей работе обратные задачи спектрального анализа..

Теоремы, единственности восстановления потенциалов в неполных обратных задачах спектрального анализа известны лишь для обыкновен-

5 Хромов А.П. Операторы преобразования дм дифференциальных уравнений произвольных порядков // Исслед. по дифф. уравн. и теории функций. Саратов. 1971. Вып. З.С.10-24.

* Лейбекэон ЗЛ. Единственность решети обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка 22 я преобразования таких операторов // ДАН СССР. 1961 Т. 142, № 3. С 534 - Б37.

7 Дубровский В В., Нагорный А.В. Устойчивость решения обратных задач спектрального анализа // Диференц. уравн. 1992. Т. 28, № 5. С. 839 -843. 5

ных дифференциальных уравнений или для степеней возмущенного оператора Лапласа на прямоугольнике8.

Поэтому проблема единственности восстановления потенциала в неполных обратных задачах для сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка является актуальной задачей.

Целью диссертации является:

1) получение асимптотических формул собственных функций возмущенного самосопряженного оператора,

2) построение базисов Рисса для некоторых сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка,

3) нахождение достаточных условий для единственности восстановления возмущенного оператора,

4) доказательство теорем единственности восстановления финитного потенциала для сингулярных линейных дифференциальных операторов типа Якоби, Гегенбауэра, Лежандра, Чебышева и др.

Методы исследований. Для решения поставленных задач используются методы теории самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах, теории возмущений, теории рядов Фурье. При доказательстве ряда теорем используется асимптотика по Стилтьесу классических полиномов и теорема возмущений для базисов Рисса.

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

Для решения обратных задач спектрального анализа широко применяются 4 основных метода: метод операторов преобразования, метод спектральных отображений, метод эталонных моделей и метод Борга. Все эти методы требуют знания двух спектров двух краевых задач. Для операторов рассмотренных в нашей работе не задаются краевые условия. Это обстоятельство накладывает определенные трудности на получение результатов. Например, из-за отсутствия краевых условий, невозможно "эффективно"

* Дубровский В В. Теорема о единственности решения обратных задач спектрального анализа // Дифференциальные уравнения. -1997. - Т. 33. Л 3. - С. 421 - 42 2..

построить целую функцию класса К, корнями которой являются собственные числа, т.е. невозможно применить метод В.Б Лидского и В.А. Са-довничего. По этой же причине нельзя построить функцию Грина и применять связанные с ней результаты, используя ее в явном виде. В нашей работе также не использовались спектральные характеристики, такие как спектральная функция, функция Вейля, функция рассеяния, матрица Вей-ля, а также операторы преобразования, которые применялись в работах В.В. Дубровского, В.А Марченко, А.П. Хромова, В.А Юрко.

Полученные результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и являются основой для разработки новых методов решения обратных задач.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования» (г. Киров, 2001 г.), на международной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (г. Челябинск, 2002 г.), на региональных научно-технических конференциях «Новые программные средства для предприятий Урала» (Магнитогорск, 2002-2003 г.), на научно-исследовательских семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В. Дубровского в Магнитогорском госуниверситете (2000 - 2002 гг.), на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященная юбилею академика РАН Ильина В.А. (г. Стерлитамак, 2003 г.), а также на научно-исследовательских семинарах Стерлитамакского государственного педагогического института, Саратовского и Башкирского госуниверситетов.

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах. В совместных работах [1] - [4] В.А Садовни-чему и В.В. Дубровскому принадлежит постановка задач. Получение конкретных результатов принадлежит диссертанту.

7

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, состоящих из 10 параграфов, заключения и изложена на 95 страницах. Список литературы содержит 120 наименований, включая работы автора.

Краткое содержание работы

Первая глава состоитиз 8 параграфов.

В первом параграфе формулируется обратная задача спектрального анализа.

Пусть Т - самосопряженный дискретный линейный дифференциальный оператор второго порядка, действующий в гильбертовом пространстве

Н. Пусть его собственным числам {Лп занумерованным в порядке возрастания, соответствуют ортонормированные в Н собственные функции {К

Пусть р - оператор умножения на измеримую по Лебегу, финитную, вещественную, существенно ограниченную функцию 7 = 1,2, которую часто называют потенциалом. Обозначим через (1 = 1,2 ) собственные числа оператора Г + , занумерованные

с учетом алгебраической кратности, а через - соответствующие

им собственные функции.

В диссертационной работе решается следующая обратная задача спектрального анализа: в предположении, что собственные числа операторов Т + р совпадают, за исключением, быть может, конечного их числа (т.е.

при требуется найти условия при которых

потенциалы совпадают почти всюду.

Для решения этой задачи сначала находится асимптотика собственных функций возмущенного оператора.

Пусть Е{(гп,Т) = —-щ т)ах --

ортогональный проектор, на ко-

нечномерное подпространство натянутое на собственные векторы

оператора

Т,

отвечающие собственным значениям

Е(а„, Т+Р)=— |Л(Л,Т+Р)с1Л 2л1„_

проектирует на конечномерное

корневое подпространство оператора Т + Р, отвечающее собст-

венным значениям ц „, сосредоточенным вблизи X „. Тогда справедлива

Лемма 1.13. Если ||£(£7Я, 7, + Р)-£(стп,7')|<1, то справедливо асимптотическоеравенство

Во втором параграфе строится базис Рисса и доказаны теоремы единственности восстановления потенциала в обратной задаче спектрального анализа для сингулярного дифференциального оператора типа Якоби

действующего в пространстве с весом

Сформулированы достаточные условия, налагаемые на потенциал, при которых можно опустить конечное число спектральных значений, не влияющих на восстановление потенциала.

Теорема 1.2.1. Пусть р} - измеримые по Лебегу, существенно ограниченные функции с компактным носителем на интервале (-1,1),

(/ = 1,2)/ функция ( р) (совЯ )-р2(со$д ))зт

ж

четная относительно точки в = — на отрезке [0,гг],

/(р,(соз0)-р2(со80))</0 = О, -\<а,Р<\.

Если спектры операторов T+Р/ (/- 1,2) совпадают за исключением, может быть, конечного числа собственных чисел, то ^(х) п.в.

на [-1,1].

Снятие ограничений на а И р (а,Р> — 1), заставляет усилить требования к потенциалу Ръ= Р\— Рг - Введем дополнительно С/* ( х ) = £/( хк, д) - 5-окрестностьточки хк, 8> 0 - малое число, и(х)= и {/¿(х),

о<-

ал-р+1

к - целое число.

Теорема 1.2.2. Пусть функция

р0 ( собЯ ) бш^ в( а+Р+1 )- а+^ j

- четная относительно точки

в = — на отрезке [0, л], />о(соз#)=0 п.е.

при в 6

I я{а + к)Л

и+^+1 /

где к удовлетворяет неравенствам

0<Е<^1<1> р>—\ и \рь(о,оъ9')с1в = 0. Если спектры операторов Т + Pj (—Ь 2) совпадают за исключением, может быть, конечного

числасобственныхчисел,то Р\{х) = Р2(х) п.в. на [-1,1].

В следующих параграфах рассматриваются частные случаи оператора Т. Отметим, что оператор Т + Р, для которого доказывается теорема единственности, не является частным случаем возмущенного оператора Якоби, поскольку на оператор Р накладывается меньше требований. В третьем параграфе для оператора типа Гегенбауэра

действующего в комплексном гильбертовом пространстве

с весом

(Х) = (1-Х2)А 2,0<Л<1,

получена теорема единственности

восстановления финитного потенциала.

Теорема 13.1. Пусть О <Я<^, PJ — финитные, измеримые поЛебе-

гу, ограниченные в существенном функции на интервале (-1,1), (] — 1,2 ), функция (^(совб )-р2(со5д ))8т(2А0-А;т ) - четнаяотно-

сительно

точки

отрезке

[0,я]

Если спектры операторов Т + Р], у = 1,2, совпадают.за исключением,

быть может, конечного числа собственных чисел, то Р\(х) = р2(х) п.в. на [-1,1].

Снятие ограничений на А (0<Л<1), заставляет усилить требования к потенциалу р0.

Теорема 1.3.2. Пусть функция

четная относительно точки на отрезке

, где к удовлетворяет нера-

и

венствам 0<+

В четвертом параграфе для оператора Лежандра

действующего в гильбертовом пространстве На — = при-

ведена теорема единственности восстановления потенциала в обратной задачи спектрального анализа с финитным симметричным потенциалом.

Теорема 1.4.1. Если четные, финитные, измеримые по Лебегу и существенно ограниченные по модулю функции на интервале

и

на

(-1,1), j = 1,2, удовлетворяют условию

j\р 1 (cosfl)- р 2 (cos О)] do = О,

и существует неотрицательное целое число т0 такое, что для собственных чисел операторов Т+Р, справедливы равенства

и = ти0,со, тогда на отрезке [-1,1] функции р\{х) и Pi(.x) совпадают почти всюду.

В пятом и шестом параграфах доказаны теоремы единственности восстановления рг,триттаяття и «Кля-пют чяпяиям гттекгрального анализа для частных случаев = /? = -•^ и а = f} = ~) оператора типа Якоби с

финитным потенциалом.

Теорема 1.5.1. Если финитные, измеримые по Лебегу и существенно ограниченные функции на интервале (—1,1) Pj(x) (j = h 2) удовлетворяют условиям:

jPj(cos# )= />2( cos0 ) - четная относительно точки

J[/> 1 (cos &)~Рг (cos 0)ld0 = O,

и спектры операторов Т + Pj (j = 1,2) совпадают за исключением, может быть, конечного числа собственных чисел, то Р\{х) = р2{х) п.в. на

В седьмом и восьмом параграфах для операторов Чебышева первого и второго рода приведены теоремы единственности восстановления потенциала в обратных задачах спектрального анализа с финитным потенциалом.

Теорема 1.7.1. Пусть pj — измеримые по Лебегу, существенно ограниченные функции с компактным носителем на интервале (-1,1) ( = 1,2), р0(со5в)— нечетная относительно Если спектры операторов Т +0=1,2) совпадают за исключением, может быть, конечного числа собственных чисел, то Р\(х)~Рг{.х) п.в. на[—1,1].

Во второй главе доказаны теоремы единственности потенциала для степени сингулярных обыкновенных дифференциальных линейных операторов второго порядка.

Степень самосопряженного оператора Г определяется следующим образом

Т*у = ] ХЫе{Х )у=1хрп(у,Зп)9п,

где (.У, <9П) - скалярное произведение функ^цш^в гильбертовом

пространстве . - разложение единицы оператора

Вторая глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе ставится обратная задача для степени дифференциального линейного оператора второго порядка с финитным потенциалом. Доказывается ряд вспомогательных утверждений для асимптотики собственных функций возмущенного оператора.

Во втором параграфе доказывается теорема единственности восстановления потенциала в обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лежандра.

Теорема 2.2.1. Если и существует неотрицательное целое чис-

ло mo такое, что для собственных чисел операторов Тр +Р) выполнены равенства

|[рх(со59)-р2(со5в)]с!9 = О,

то Р\(х) = р2{х) п.в. на [—1,1].

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руко-

водителю доктору ф.-м. наук Дубровскому Владимиру Васильевичу] и

академику РАН Садовничему Виктору Антоновичу за поставленные задачи, кандидату ф.-м. наук Седову Андрею Ивановичу за плодотворные дискуссии.

Публикации автора по теме диссертации

1. Садовничий ВА, Дубровский В.В., Седов А.И., Типко А.Н. Обратная задача спектрального анализа для оператора типа Якоби с потенциалом //ДАН. 2001. Т. 381, № 3. С. 313 - 314.

2. Дубровский В.В., Типко А.Н, К единственности решения обратной задачи спектрального анализа для сингулярного обыкновенного дифференциального оператора второго порядка // УМН. 2001. Т. 56, № 3. С. 153 -154.

3. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Седов А.И., Типко А.Н. Об обратной задаче спектрального анализа для оператора типа Якоби // Диффе-ренц. и интегр. ур-ия. Мат. модели: Тез. докл. межд. науч. конф. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 90.

4. Дубровский В.В., Типко А.Н., Чекашкина З.С. Регуляризованные следы унитарных операторов // УМН. 2001. Т. 56, № 6. С. 145-146.

5. Типко А.Н., Дубровский В.В.(мл.) К единственности восстановления потенциала в обратной задаче спектрального анализа для оператора типа Чебышева первого рода / Дифференциальные уравнения и их приложения: межвуз. сб. науч. трудов. Самара: Самарский гос. ун-т, 2003. С. 62 -63.

6. Типко А.Н. Уравнение диффузии. Существование и единственность решения. // Новые программные средства для предприятий Урала. Вып.2:

Сборн. трудов МГТУ. Магнитогорск, 2003. С. 148 -154.

7. Типко А.Н. О единственности решения обратной задачи для псевдодифференциального обыкновенного оператора типа Лежандра / Деп. в ВИНИТИ, 30.03.2001, № 815-В2001,6 с.

8. Типко А.Н. Обратная задача спектрального анализа для сингулярного обыкновенного уравнения типа Гегенбауэра с потенциалом / Деп. в ВИНИТИ, 30.03.2001, № 816-В2001,6 с.

9. Типко А.Н. Единственность решения обратной задачи для сингулярного обыкновенного уравнения типа Лежандра / Деп. в ВИНИТИ, 30.03.2001, № 817-В2001,6 с.

10. Типко А.Н. К единственности восстановления финитных потенциалов для некоторых сингулярных дифференциальных операторов второго порядка / Деп. в ВИНИТИ, 19.03.2003, № 483-В2003.34 с.

Р- 59 3 0

Изд. лиц. ЛР №020072 от 20.03.04 г. Подписано в печать 19.03.2004 г. Формат 60x84 1/16 Бумага тип. № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 146. Бесплатно

Издательство Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография МаГУ