Обратные задачи для эволюционных уравнений и приложения к уравнению переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

' . . - МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕЛИ М. В. ЛОМОНОСОВА факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.9

ТИХОНОВ ИВАН ВЛАДИМИРОВИЧ

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЮ ПЕРЕНОСА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского инженерно-физического института.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится . декабря 1993 года в 14 часов 30 минут на заседании специализированного совета К.053.05.87 в Московском государственной университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

Автореферат разослан "¡¿Д" ноября 1993 года.

профессор А. И. Прилепко

профессор И. А. Шишмарев доктор физико-математических наук, ст. науч. сотр. Н. Ю. Бакаев

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

Ученый секретарь Совета доцент

В. М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена обратный задачам для эволюционных уравнений, т.е. таким задачам, в которых требуется восстановить точный вид дифференциального уравнения по некоторой дополнительной информации о его решениях. Известно, что обратные задачи возникают при исследовании многих теоретических и прикладных вопросов. Их можно рассматривать также как задачи управления и прогнозирования.

Начало теории обратных задач связано с именами А. Н. Тихонова, Г. И. Марчука, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова. Дальнейшие исследования были выполнены в работах Ю. Б. Аниконова, А. Д. Ис-кендерова, В. Г. Романова, А. И. Прилепко и других авторов.

Важное место в теории обратных задач занимают вопросы существования, единственности и устойчивости решений, которые рассматриваются как для конкретных уравнений математической физики, так и в общем теоретико-функциональном случае. В последнее время удалось выделить широкие классы обратных задач, обладающих свойством корректности. Развитию этой тематики и посвящена диссертация.

Цель работы состоит в нахождении условий, гарантирующих существование, единственность и устойчивость решений обратных задач в наиболее общем случае абстрактных эволюционных уравнений. Рассматривается вопрос о малых возмущениях корректных обратных задач. Полученные результаты демонстрируются на примере многоскоростного уравнения переноса нейтронов.

Методика исследований. В диссертации используются методы классического функционального анализа, в особенности теории полугрупп линейных операторов и теории полуупорядоченных банаховых пространств (банаховых структур).

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Для эволюционного уравнения в банаховой пространстве впервые установлено общее утверждение о монотонности решений обратных задач относительно входных данных. Выделены широкие классы корректных обратных задач с переопределениями финального и интегрального тина. Найдены достаточные условия корректности. Построена соответствующая теория возмущений, включающая в себя как возмущения уравнений, так и возмущения переопределений. Для уравнения переноса доказаны теоремы о разрешимости линейной задачи восстановления неоднородного слагаемого и теоремы единственности для нелинейной коэффициентной задачи. Указанные результаты являются глобальными, т.е. не содержат ограничений на размеры фазового пространства.

Апробация работы. Полное изложение материалов диссертации состоялось на семинар« по обратным задачам кафедры высшей математики МИФИ (руководитель - проф. А. И. Прилегаю). Основные результаты докладывались на Воронежском семинаре по функциональному анализу (руководитель - проф. С. Г. Крейн), а также на Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 1991), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990), на Республиканской конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Куляб, 1991), на XXIV и XXV Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 1991,1993), на

XXVII и XXIX Научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук УДН (Москва, 1991, 1993).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-7], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вводной части, основного текста и приложений. Вводная часть содержит введение и краткий обзор "Предварительные сведения по функциональному анализу". Основной текст содержит 3 главы, разбитые на 10 параграфов. Нумерация параграфов, теорем, лемм я формул в основном тексте диссертации сквозная. Некоторые вспомогательные результаты вынесены в раздел приложений.

Объем диссертации составляет 84 страницы, библиография - 93 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая характеристика рассматриваемой задачи, приводится обзор содержания диссертации, сделаны необходимые ссылки. В разделе "Предварительные сведения по функциональному анализу" собраны те результаты по теории полугрупп линейных операторов и полуупорядоченных пространств, которые используются в дальнейшем без специальных оговорок.

Глава 1 состоит из трех параграфов (§§1-3). Первый параграф содержит точную постановку обратной задачи. В банаховом пространстве Е рассматривается неоднородное эволюционное уравнение:

«'(«) = Аи(<) + Ф(<)/

(0 5^ Г),

(1)

где Т > 0 - фиксированное число. Оператор А - линейный замкнутый с плотной областью D(A). Предполагаем, что А порождает Со-полутруппу S(t). Операторная функция Ф(0 принадлежит классу С1 ([О, Т]; С(Е)), где С(Е) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, отображающих Е в Е. Элемент / 6 Е в уравнении (1) считается неизвестным.

Дополнительно к уравнению (1) зададим условие Коши:

«(0) = *, (фовЩА)), (2)

и переопределение: Гт

/ u(t) 4<(t) = (фг € D(A)). (3)

J о

Здесь fi(t) - известная скалярная функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0,Т]. Интеграл в условии (3) понимается как векторный интеграл Римана-Стильтьеса.

Важный частным случаем условия (3) является финальное переопределение :

и(Т) = ф! (леад), (4)

которое получается из (3), если /¿(t) есть функция скачка в точке t — Т. Если же ß{t) абсолютно непрерывна, то условие (3) переходит в интегральное переопределение :

ГТ

/ w(£)tt(£) dt =i/>i (faeDCA)), (5)

J о

где oj(t) = ß'(t) - суммируемая функция.

Решением задачи (1)-(3) при фиксированных фо,фх € О(А) назовем элемент / 6 Е, такой, что решение задачи Коши (1),(2) с данным / удовлетворяет условию (3). Под решением задачи Коши (1),(2) мы всегда понимаем классическое решение, т.е. функцию и(£) из класса С1([0,Т1;В)ПС([0,Г|;0(Л)).

Обратная задача (1),(2),(4) рассматривалась ранее во многих работах, первыми среди которых были работы Искендерова, Тагиева (1979) и Ранделла (1980). Задача (1),(2),(5) рассматривалась в недавней статье Прилепко, Костина (1992) для случая параболических уравнений в классах Соболева. Общая задача (1)-(3), по-видимому, является новой и позволяет объединить изучение задач (1),(2),(4) и (1),(2),(5) в рамках единой теории.

Оставшаяся часть § 1 посвящена выводу специальных операторных уравнений, эквивалентных задаче (1)-(3).

В § 2 задача (1)-(3) рассматривается для случая полуупорядоченного пространства Е (банаховой структуры). Полугруппа 5(() предполагается позитивной (состоящей из положительных операторов), а операторная функция Ф(£) - равномерно дизъюнктной на отрезке [0,!Г]. По определению это означает, что из соотношения fiJ.fi вытекает соотношение (Ф(*1),Д)-1-(Ф(£з)/з) при любых £ь£з € [О,X] Например, если Е - функциональная структура на множестве Я, то всякая операторная функция вида

(Ф(0/Н*) = *>(«,*)/(«) (6)

с подходящей функцией <р(х, £) является равномерно дизъюнктной на (О, Г].

•'Символом /1_1_/з иы обозначаем дизъюнктные элементы структуры Е:

/а/а <=> Ы(|/1|,|/2|) = 0.

-e-

Следующее утверждение мы называем принципом максимума для задачи (1)-(3).

Теорема 1. Пусть p(t) - неубывающая на [О,Г] скалярная функция, непрерывная справа при t = 0. Пусть операторная функция Ф(t) равномерно дизъюнктна на [О, Т] и Ф(<) J 0 при 0 ^ i ^ Т. Пусть Ker J = {0}, где оператор J определен формулой J = /0ТФ(4) dß(t). Пусть полугруппа S(t), порожденная оператором А, позитивна, и спектр оператора А лежит в полуплоскости {А 6 С : ReA < 0}. Предположим, что выполнено любое из следующих условий:

(a) Ji 0 при 0 ^ t < Т;

(b) функция ß(t) выпукла вверх на [О,Г].

Наконец, предположим, что фо = 0, а элемент ф\ € D{A) выбран так, что Аф\ < 0. Тогда решение задачи (1)-(3) (если оно существует) удовлетворяет условию / ^ 0.

Очевидным следствием теоремы 1 является утверждение о единственности решения задачи (1)-(3).

Теорема 2. Пусть А, Ф(t) u /i(f) удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда при любых фо,ф1 6 D(A) обратная задача (1)-(3) может иметь не более одного решения.

Теорема 2 обобщает известные результаты Исакова (1982, 1991), Прилепко, Соловьева (1987) и Прилепко, Костина (1992), полученные ранее для параболических уравнений. Условие (Ь), а также сам принцип максимума, являются новыми даже в этом случае.

Далее в § 2 обсуждается вопрос об ослаблении условий теоремы 1. Показано, что, несмотря на единственность, задача (1)-(3) может быть неразрешимой для некоторых фо,ф\. Соответствующий пример строится при помощи полугруппы Грейнера, Фойгта и Вольфа (1981).

В следующем параграфе (§ 3) вводится важное понятие корректной задачи (1)-(3). Обратная задача (1)-(3) называется корректной, если для любых Фо,Ф1 6 jD(-A) у нее существует и притом единственное решение / е Е, удовлетворяющее оценке:

ИЯК cflilVolll + Ш\\) (7)

с константой С > 0, не зависящей от Фо,Ф\- Здесь |||t/>||| = + — норма графика, введенная на D(Ä). Отметим, что задача о нахождении / по данным Фо,Ф\, корректная в смысле указанного определения, является корректно поставленной по Адамару на паре банаховых пространств (Е, D(A) х D(A)).

В § 3 доказано также свойство фредгольмовости задачи (1)-{3) в случае компактной полугруппы. Эта теорема дополняет соответствующий результат Д. Г. Орловского.

Глава 2 посвящена развернутому изучению корректных обратных задач. Прежде всего необходимо выяснить вопрос об эффективных признаках корректности.

В § 4 рассматривается специальный случай, когда операторная функция Ф(<) является скалярной. Точнее говоря, пусть <р 6 С1 [О, Г]. Тогда Ф(<) определяется, как Ф(f)/ = <p(t) ■ f для / 6 Е. Ввиду такого упрощения ситуации удается получить более сильные результаты. Следующее утверждение является аналогом для теорем 1, 2 из § 2.

Теорема 3. Пусть ft(t) - неубывающая на [0,Т] функция, непрерывная справа при t = 0. Пусть <p(t) ^ 0 при О ^ I ^ Т « fo"Ф 0. Пусть полугруппа S(t), порожденная оператором А, удовлетворяет оценке ||5(t)|| ^ Мехр(—at) с константами М ^ 1, а > 0. Предположим также, что выполнено любое из следующих условий:

(a) <p'(t) > 0 при 0 !$ i ^ Т;

(b) функция ß(t) выпукла вверх на [0,2

Тогда задача (1)-(3) являетея корректной (т.е. ее решение суще-

Теорему 3 можно дополнительно усилить, если имеется полная информация о спектре оператора А. Впервые это обстоятельство заметил Ю. С. Эйдельман (1991), рассматривавший задачу (1),(2),(4) в предположении, что полугруппа 5(4) непрерывна в норме С(Е) при £ > 0. В § 4 метод Эйдельмана распространен на несколько различных ситуаций. Например, для задачи (1),(2),(5) с интегральным переопределением имеет место следующее окончательное утверждение.

Теорема 4 Пусть /0Т^(£)у>(4) А Ф 0. Тогда для корректности задачи (1),(2),(5) необходимо и достаточно, чтобы

для любого г 6 а (Л).

В теореме 4 нет никаких специальных ограничений на полугруппу 5(1), помимо принадлежности ее классу Со- Однако, для задачи с финальным переопределением такие ограничения, вообще говоря, необходимы (см. § 2).

В § 5 вновь рассматривается общий случай операторной функции Ф(4) из класса С1 ([0, Г];£(£)). Как и в § 2 предполагаем, что пространство Е является банаховой структурой. Используя теорему 2 и свойство фредгольмовости, получаем утверждение о корректности задачи (1)-(3) в случае компактной полугруппы. Здесь же даны точные двусторонние оценки спектрального радиуса разрешающего оператора обратной задачи.

Особенно важным представляется утверждение о корректности обратной задачи в случае некомпактной полугруппы. Для простоты

ствует, единственно и удовлетворяет оценке (7)).

ограничимся рассмотрением задачи (1),(2),(4). Предположим, что Е является ЛL-пространством (абстрактным пространством Лебега), т.е. банаховой структурой, норма которой аддитивна на конусе Е+ (||/i + Л|| = ll/i|| + 11/зЦ Для любых /ь/з ^ 0). Как известно, такие пространства эквивалентны пространствам типа L\(Q).

Теорема 5. Пусть Е является AL-пространством. Пусть операторная функция Ф(£) удовлетворяет условиям Ф(£) ^ О, Ф'(1) ^ О, [Ф(Т)]-1 6 £(Е) и [Ф(Г)]-1 ^ Ö. Пусть оператор А порождает позитивную полугруппу S(t), такую, что ||S(i)|| ^ e~ai для некоторого а > 0. Тогда задача (1 ),(2),(4) является корректной, причем ее решение f 6 Е выписывается в явном виде с помощью ряда Неймана.

В условиях теоремы 5 удается вычислить константу устойчивости С > 0 из формулы (7). Реализуем пространство Е как L\(Q), где Q - измеримое множество с tr-конечной мерой. Рассмотрим функцию vec1^ О, Г]; L/ оо (<?)) и зададим оператор Ф(£) по формуле (6). Тогда оценку (7) можно представить в виде ||/|| ^ + IHV'ill). гДе

М = inf Г fTvMe-*lT-.) & .

еза supg tp(x,T) Q[J0

Результаты § 5 иллюстрируются на примере линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Следующие два параграфа (§§ 6,7) посвящены теории возмущений. В § 6 наряду с уравнением (1) рассматривается уравнение:

u'{t) = (A + B)u(t) + (4>(t) + V{t))f (O^t^T), (I)

где В е С(Е), Ф € С1 ([0,Т\\С(Е)). Показано, что, если величины ||Д||, ||Ф(£)|| и ||Ф'(£)|| малы, то свойство корректности задачи (1)-(3) не нарушается. В случае задачи (1),(2),(5) от ограничений на величину ||Ф'(')П можно отказаться.

В § 7 исследуется задача (1)-(3) с возмущенным переопределением (3). Пусть наряду с (3) имеется счетный набор условий

L

т

и(«)Ф»(0 = *1. (з»)

Предполагается, что последовательность {/*,»(<)} сходится к в ♦-слабой топологии пространства (С[0,Т])*. Доказаны утверждения о сходимости решений /Л к решению / при подобных предельных переходах.

В главе 3 результаты абстрактной теории применяются к обратным задачам для уравнения переноса нейтронов.

Пусть в - открытая выпуклая область в К' , а V - обобщенный шаровой слой в , т.е. V = {и € : 0 < ^ < |и| < щ ^ оо}. Для записи краевых условий используем функцию зо(х,и),' определенную на множестве б х V по формуле = вир{< ^ 0 : х — € О}.

Рассмотрим уравнение переноса:'

-I- «8гааги(х,и,1) + <т0(х,и)и(х,т),^ =

= I к(х,у,у')и{х,у',1) + (х,у)евхУ, 0 ^ í ^ Т.

^ (8)

К уравнению (8) присоединим начальное условие:

u{x,v,0) = i>o(x,v) (x,v)6 GxV (9)

и краевое условие "нулевого входящего потока":

lim и(х - 3v,v,t) = 0 (x,v)€ GxV, 0 < t Т. (10)

» — »o(x,u)

- u -

В качестве основного пространства Е выберем Ь\{С х V). С уравнением (8) ассоциирован (неограниченный) оператор А-.

действующий на естественной области D(A) С Е.

Предполагаем, что функция oa(x,v) измерима на G х V, неотрицательна и ограничена почти всюду (т.е. ess sup <ra(x,v) < оо ). Функция k(x,v,v') измерима и неотрицательна на множестве G х V х V, причем к(х, • ,v') принадлежит Li(V), а функция

принадлежит Ьоо(С? х V). Следуя Риду и Саймону (том 3), назовем пару функций (аа, к), удовлетворяющую перечисленным выше условиям, регулярной парой.

В § 8 показано, что задачу (8)-(10) можно рассматривать как абстрактную задачу Коши в банаховом пространстве Е = ¿¡(С? х V). При этом используются классические результаты по теории переноса.

Затем (§ 9) исследуется обратная задача восстановления неоднородного слагаемого Р(х,г,1) в уравнении (8). Пусть F(x,t^ 4) представлено как произведение известной функции р(х, V, 4) на неизвестную функцию /(х,«):

Для нахождения / зададим дополнительную информацию. В зависимости от ситуации она имеет вид финального переопределениг.

Jv

F(x,v,t) = <p(x,v,t) ■ f(x,v).

u(x,v,T) = Tpi(x,v)

(x,v)€GxV, (13)

или интегрального переопределения: Т

w{t)u(x,v,t) dt = i>i{x,v) (x,v)eGxV, (14)

где uj(t) - скалярная суммируема функция. Более общее переопределение типа (3) с интегралом Римана-Стильтьеса мы для простоты изложения не рассматриваем.

Задачу нахождения функции f(x,v) из соотношений (8)-(10),(13) назовем Обратной Задачей 1 (03-1), а задачу нахождения функции /(x,v) из соотношений (8)-(10),(14) назовем Обратной Задачей 2 (03-2). Решением ОЗ-l (соответственно 03-2) называется функция / 6 Li(GxV), такая, что решение u(x,v,t) задачи (8)-(10) с данной функцией f(x,v) удовлетворяет условию (13) (соответственно (14)). , Основное утверждение для ОЗ-l состоит в следующем.

Теорема 6. Пусть {аа,к) - регулярная пара, такая, что

еаз inf (ffa(x,ti) — <Tp(x,v)) = а > О, (15)

где функция <xp(x,v) определена формулой (12). Пусть функция

Ч> 6 С1 ([О, Г]; Loo(G х К)) удовлетворяет условиям ip(x,v,t) ^ О, дш

i,t) ^ О для п.в. (x,v) £ Gx V, 0 < í ^ Г. Пусть

at

esa inf ip(x,v,T) > О . Тогда ОЗ-l является корректной, т.е. имеет и притом единственное решение f(x,v) при любом выборе ф0, -ф\ из D(A). Решение / удовлетворяет оценке'^:

11/11 +

где А - оператор переноса из формулы (11), а константа М имеет вид

*)Норкы в пространстве L¡(G х V).

I

еззт {<р(х,у,Т) . Г [т _а(Т_.) ,

М =---—еззт! а / <р(х,у,з)е и ''¿з

езз зир(р(х,г;,:Г) I J0

(инфинумы и супремумы берутся по множеству С х V). Если, дополнительно, ф0 = 0, а функция ф\ выбрана, так, что Аф\ 5С О, то /(ж, V) ^ 0 для п.в. (х,у) XV.

Аналогичное утверждение справедливо для 03-2.

Отметим, что сходные обратные задачи для уравнения переноса рассматривались ранее при дополнительных ограничениях на размеры области О, когда сПат в оценивался через время Т и нормы коэффициентов. Сейчас малость <7 не требуется. Предполагается лишь, что выполнено условие (15) поточечного "неразмножения".

Последпий параграф (§10) посвящен задаче нахождения коэффициента в уравнении переноса.

Пусть {сга,к) - регулярная пара, определяющая оператор А по формуле (11). Пусть Р = Г(х,у,1) - известная функция из класса С' ([О, Г]; ¿1 (в х К)). Рассмотрим уравнение переноса вида

^ = (А-а)и + Р (0<^Т), (8)

где функция о = а(х,и) - неизвестна. Другими словами, полный коэффициент поглощения в уравнении (8) представлен как сумма известного слагаемого ста(х,у), входящего в оператор А, и неизвестного слагаемого а(х,у).

Для нахождения а(х, и) зададим условие Коши (9), краевое условие (10), а также одно из переопределений (13) или (14). Задачу нахождения функции сг(х,у) из соотношений (8), (9), (10), (13) назовем Нелинейной Обратной Задачей 1 (НОЗ-1), а задачу нахождения а(а;, и) из

соотношений (8), (9), (10), (14) — Нелинейной Обратной Задачей 2 (НО 3-2).

Решением НОЗ-1 (или НОЗ-2) называется неотрицательная функция а 6 Loo(G х V), такая, что соответствующее решение u(x,v,t) задачи (8), (9), (10) с данной функцией a(x,v) удовлетворяет условию (13) (соответственно (14)). Подчеркнем, что требование неотрицательности — ua(x,v) ^ 0 для п.в. (x,v) 6 G х V" — включается в определение решения указанных обратных задач.

Результаты абстрактной теории, и в первую очередь, теорема 1, позволяют доказать единственность и монотонность коэффициента <r(x,v). Рассмотрим случай НОЗ-1.

Теорема 7. Пусть (аа,к) - регулярна! пара, удовлетворяющая

dF

оценке (15). Пусть F(x,v,t) ^ 0, —(x,v,í) ^ 0 для п.в. (x,v) £ е G х V, 0 ^ t Т. Пусть tpo(x,v) = 0. Рассмотрим две функции ф'(х,и), ip"(x,v) из D(A), такие, что ф'(х,у) > 0, ф"(х,у) ^ 0 и (Аф')(х,у) < (Аф")(х,у) для п.в. (x,v) 6 G х V *>. Тогда, если <т' — решение НОЗ-1 с V>i = ф', а а" — решение НОЗ-1 сфх = ф", то c'(x,v) ^ a"(x,v) для п.в. (x,v)

Отсюда слезет

Теорема 8. Пусть (<ra,k) и F удовлетворяют условиям теоремы 7. Предположим, что фо = 0, а элемент ф\ G D(A) выбран так, что ф1{х,ь) > 0 для п.в. (x,v) S G х V. Тогда НОЗ-1 может иметь не более одного решения.

Аналогично рассматривается НОЗ-2, причем в этом случав, используя условие (Ь) теоремы 1, можно существенно усилить наши результаты. Утверждение о монотонности коэффициента выглядит так.

'^Строгая положительность (п.в.) требуется только от функция ф'■ Функцию ■ф" достаточно считать неотрицательной.

Теорема 9. Пусть {сга,к) - регулярная пара, удовлетворяющая оценке (15). Пусть F 6 С1 ([0,Т]; Lj(G х V)) и F(x,v,t) ^ 0 для п.в. {x,v) 6 G х V, 0 < t ^ Т. Пусть и>(t) - суммируемая на [О,Г], неотрицательная и нее взрастающая функция. Предположим, что фо € 6 D(A) и фо(х,и) ^ 0 почти всюду в G х V. Рассмотрим две функции ф'(х,у), ф"(х,v) из D(A), такие, что ip'(x,v) > 0, t/>"(x,t>) ^ О и (Аф'){х,у) ^ (Аф")(х,у) почти всюду в G х V. Тогда, если а' — решение НОЗ-2 с ф\ = ф', а. а" — решение НОЗ-2 с V>i = Ф", то a'(x,v) ^ a"(x,v) для п.в. (x,v) € G х V.

Отсюда следует утверждение о единственности коэффициента a(x,v) в случае НОЗ-2.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А. И. Прилепко за постоянное внимание и поддержку этой работы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Тихонов И. В. Коэффициентная обратная задача для уравнения переноса с финальным переопределением // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тезисы докладов Межд. конф. -М.: 1991. - С. 258.

2. Тихонов И. В. К теории обратной задачи Коши // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Куляб, 1991. - С. 158-159.

3. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Матем. заметки. - 1992. - Т. 51, вып. 2. - С. 77-87.

4. Тихонов И. В. О счетном наборе неоднородных задач Коши с некомпактными правыми частями // Тезисы докладов XXVIII научной конференции факультета физико-математических и естественных паук УДН. - 1992. - М: УДН. - С. 49.

5. Тихонов И. В. Об устойчивости в обратных задачах // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Тезисы докладов. - Новосибирск: 1992. - С. 80-81.

6. Тихонов И. В. О связи между обратными задачами с финальным и интегральным переопределениями // Успехи матем. наук. - 1992. - Т. 47, вып. 4. - С. 211-212.

7. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Обратная задача с финальным переопределением для абстрактного эволюционного уравнения в упорядоченном банаховом пространстве // Функц. анализ. -.1993. -Т. 27, вып. 1. - С. 81-83.