Обратные задачи для некоторых гиперболических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД 1 6 ОЯТ 1335

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.94.27 На правах рукописи

ТУРДУБАЕВ Салы Кадырович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек - 1995

Работа вьпюязэна а Ояском государственном университете

Научный рукаводателы член-корр, РАН,профессор Романов В.Г.

(ИМ СО РАН .Новосибирск)

Сфацаальныэ споненты i доктор фгзико-математичееки! нзук,

ст. н. с. AcascB А. (ИМ HAH КР1, кандадат физика-математгче стаз. наух, доцент Смуров Т.Д. (КГКУ).

Еедугая оргализацдя: Казахский кгниональшг уишзерсзтэт лм. ¿ль-гагаСа.

Заката диссертанта состоятся '•p&fKc&^+t' 955г. з чзсоз на заседании сп&агадизирсзазнсго Совета

Д. 01.94.27 по прасуадешв учанкх стесанег доктора а кмдтдзта фшияо-матемэтичвсках. наук в Институте ыатвматихи HAH Кыргызской Рэсаубдикд.

С'дассвртациеа-козшо ознекшиться в ЦКБ HAH Кыргызской РаспубЛЕШ.

Автореферат разослан '¿ft? "С&У/ЪбЗ/ие 199 4Г. г

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу! 72007.1, г.Бклкэк -71, проспект Чга ,265-а Институт математики НДН Кыргызской Рэспубдаки, Оээдатазцровгнныя Ссвэт д 01.94.27.

'.Учэнк2 секретарь Спэдиа.газ2рс2зяаого Совета , каядддз? фюахогматаыатичвскгх ыаух, стгзрсаа научай сотрудник С. »{скаадаиоз

ОЗШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В прикладных науках часто возникают задачи определения коэффициентов дифференциального уравнения по некоторым известным функционалам от его решения. Подобного рода задачи получили название обратных задач для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано и требуется найти его решения при некоторых начальных и граничных условиях. Исследованием задач определение коэффициентов уравнений математической физики занимались А.Н.Тнхонов, В.А.Марченко, И.М.Гельфанд, Б.М.Левитан, &Г. Крейн.Д.Д.Фаддеев,М.!/.Лаврентьеву.С.Алексеев, В.К.Иванов, В. Г. Романов, В.М. Брезанскнй, В.И. Дмитриев, А.И. Прилепко, Л.Л.Кнжнкк, А. Л. йскендеров, Ю.Е. Аникснов, В.Г.Чередниченко,

A. Л. БухгеЕм,Н»Я. Безновенко, А.С.Благовещенский, С. И. Кабанихнв,

B.Г.Яхно н многие другие.

Характерной особенностью многих обратит задач является их некорректность по Адамару, А.Н. Тихонов показал целесообразность применения к обратным задачам понятия корректности, отличного от классического. При этом на передний план при ■исследовании задач выдвигается вопросы единственности и устойчивости. Существование решение,как правило,предпологзется априори известным для некоторого множества данных. Результаты диссертационной работы являются развитием теории обратных задач для уравнений математической физики.

Акт^альность_теш. В теории обратных задач, связанной о нестационарными (гиперболическими и параболическими ) уравнениями, основное внимание привлекали задачи определения коэффициентов, зависящих только от-пространственных пэрэывн-нкх. В то. se время встречается в приложениях и задачи такого типа,когда требуется определить кс?фф;ю;9!.гт,котспгй существенно зависит не только от пространственных координат, но к от временной координаты. Такие задачи для гиперболических ¡"равнений почти не изучены, Изучение их и является целью диссертационной работы.

Все результаты.полученные в диссертации,является новаиа и сформулированы в виде теорем, обоснованы строгими катеиати-

- Л--

часкида доказательствами. - Доказаны теоремы единственности и условной устойчивости решения одномерных и многомерных обратных: задач для гиперболического уравнения второго порядка а гиперболически! систем первого порядка. Способ получения теоретических результатов носит конструктивный характер, что может Сыть использовано для построения численных методов решения данных задач.

Пвль_паОота.. Исследование единственности, устойчивости и существования решения обратных задач о восстановлении коэффициентов зависящих от пространственных и временной переменных для гиперболического уравнения второго порядка и гиперболических систем первого порядка.

Исследование обратных задач б ди:-сертационной работе проводится на основе методов,'разработанных в математической физике, теории интегральных урззканиг, а также методов и приемов исследования обратных задач,

АпЕдбация_£аботы. Результаты диссертации докладывались z обсуждалисы на конференции молодых ученых БД СО АН СССР (март,-1984- г., 1985 г.), научной конференции преподавателей: СоГУ ( апрель, 1992, г., 1993 г.), на Всесоюзной конференции "Асимптотические метода теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" ( сентябрь, 1991 г., г.Бишкек),, на республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (сентябрь, 1993 г.,г.С® ) семинаре лаборатории волновых процессов ИМ СО РАН (рук. член-корр. РАН Романов В.Г.), семинаре кафедры математического анализа (рук.доктор ф.-м.наук, проф. Каримов С.К.).

Структура и обьем„работа. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии из 66 наименований. Работа содзргит '98 страниц машинописного текста.

Й&шкащш.. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, перечень которых.приведен'в конце автореферата.

СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ.

Во введении дается оЗзор литературы по теории некорректных задач к ойрзтных задач для дифференциальных уравнений. В краткой ферме изложено содержание.работа.

Б'первой главе исследованы обратные задачи для гиперболического уравнения второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить,что функция ч(х,1) ¿ринадлезшт классу ж (М,Т) .если она непрернвна в области Л(Т) и удовлетворяет неравенству

с положительной постоянной М. _ .

В § 1.1 рассматривается в области й(Т)={(х,г)| О ^ X 4 Т-|х|> задача Кэши.

= и^ + я(х,1)и, (1.1)

и[,=о=би^), и((4=0 =0, (1.2)

где С(х-Х) - дельта-функция Дираха,сосредоточенная в точке X. Относительно решения задачи (1.1). (1„2") задана дополнительная информация'

и1 ,»,*.), и I =г,(гл), (М)« С(Т). (1.3)

I Ж — и* X * I * — о

где С(Т)={(А.,г111 -т<хчт,|>.|а € тз

Пусть функции Г , I удовлетворяют условиям

С(С(Т);, г2!гл'1 е с (с ст. >) ,

г,'гг.;:,-■:) - т[ ¡:, г)-тг(г, и,скг<т

.Обратная задача захлгчается ь определении. 4(1,г> из (1.1), (1.2).- (1.3).

Основные результату этого параграфа содерхатся ъ предложениях.

- б -

ТЕОРЕМА 1.1. Если, функции удовлетворяет условиям

(1.4) и допускам непрерывное продолжение на границу области то существует такое Т* > О, что при Т « (0,Т*) ревеяиа, обратной задачи в классе С(Д(Т)) существует и единственно.

'ГЕОРЕМА 1.2. Если в условиях теоремы 1.1 решение обратной задачи существует и принадлежит классу С(Д(Т)), то оно единственно.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть ц, (} - два решения обратной задачи (1.1), 1.2), (1.3) с данными Г,, Г2 и !2, соответственно. Пусть кроме того ч, ч « Тогда имеет место сценка

К-Ч I < С<1г;- 1г\), И.5;

причем константа С зависит от выбора класса т~

В § 1.2 рассматривается в области Ст={(х,« И1,

уравнения вида (1.1), в котором оператор —- заменен на оператор Лапласа с данными Кош: ах

•и|1ио=чр(1-а°), ,0), 1° =<х^,х°) (1.6)

• Требуется найти 4(1,1:) в области Дт если относительно решения задачи (1.1), (1,6) известна|

и|г=о £ =(х4,х1). , (1.7)

Црвдаолошм.что функция С) представила в виде •

=40(13,1;) г) ,

где Од- известна, э 4(1 ,1) - мала и финитна но х при фиксированном i и,подлежит определении. По отношению к обратной задачи (1.1), (1.6),(1.7) в лйнэйном приближении справедлива!

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть ф - дважды непрерывно-дайеренцируема и при фиксированном х> имеет конечное преобразование Фурье по переменной 2» непрерывно зависящее от х3.причем |<р(0,0)| >0.

Дусть кроме того»выполняется условие согласования

<р(х-?,0) = Пх,х°,0>.. Тогда существует такое Т* >0,что функция ч(х,г) С&шетнзя п непрерывная в ооласти 1>т» однозначно определяется эадаюэы функции (1,5°>е Нг«Нж, г е '10,Т*3.

В § 1.3 рассматривается уравнение и, 4 =ли + ч + (1.8)

с данными Коаи -

* ' И.9)

Требуется найтг неарврнвяув по х5, г н четную по функцию ,ъ) по известному на плоскости г1=0 реиенню задачи (1.8),(1.9) г

и| х* '+ I* $ б. • (1.Ю)

_ *

где х =(х( ,0), е - сколь угодно малое лел стегальное число, Т - некоторое положительное число.'

По отношению к'обратной задаче (1.8), (1.9), (1,1 0) в линейном приближении справедлива I

ГЕОРШ 1.5." Непрерывная и четная по х, функция д (I,, г; единственнкм образом определяется та функции Г {г, г; в облаете . Рт=((х,г)1 |х, |йГ/2, ¡тгЦШ/2). В § 1.4 рассматривается в области От=С(х,^): ¡х|<Т,.Осг<Г> прямая.задача

и14=ди +• д(г;ц, п. и.

гй!1го =Ф(х), и4К 0=Ф(2), х * ?Л (5.12;-

Гребуется найти ч(г>«С(0,Т], если рэкете задвчг (1,11). (1.12) известно на кэсгестве х-Э,

ОПРЕПЙЯЕКИЕ. Будем говорить, что Г прЕнаыеат

классу тп. (а,К,го), еслг они удовлетворяют азр&ьевствдо

¡пгн > а > с, г « го,гсз, ск:0ст,

) * Н' ) * К'

о

о

с универсальный' для всего класса шэлмвтельамш а,Е. дналогетао д « 0(М,го), еслг 131с(о,го} * **

Основные результаты этого параграфа содержатся в утверждениях.

ТЕОРЕМА 1.6. ' Пусть функция ф - триада непрерывно диф$е-ренцяруема, причем ф(0)*0, ф - дванда непрерывно-дифференцируема. Функция í(t) € С'[0,Т1, причем |f(t)¡ 2г а > 0, и кроме того выполняется условие 1(0)=ф(0). Тогда решение обратной задачи (1.11)-(1.13) в классе CCO,toI существует и единственно, tc * (0,Ti.

ТЕОРЕМА 1.7. Если в условиях теоремы 1.6 решение обратной задача существует и принадлежит-классу 'ССОД], то оно единственно.

TEOPSJá 1.8. Пусть q, q - два решения обратной задачи (1.11)-(1.13) с данными ф, ф. Г, и ф, ф, í соответственно. Пусть кроме того , q,q « Q, ф, ф, Í, <j>, ф, Г е 131. Тогда имеет место оценка

iq - q¡o |<н>1,т ir" - r"{3+ \t - t\ot

причем константа С зависит от выбора классовэп., Q.

Во Еюрой главе исследованы обратные задачи для гипорбо-лических систем первого поядка.

Б § 2.1. в области G=C (х, t) txiO, t^Cií рассмогривается п-разлкчннх задач для системы.

ut+ Kuk+ D(t)u=0, (2.1)

с начальными условиями

= i.l=í.2.....а, (2.2>

где u(x,t) вектор - функция с компонентам! (ulf...,un>, К, D - квадратные матрицы размерности- п*п, причем К -г диого-нальна и постоянна.

.1. Пусть все kt<0, 1-1 ,2,...,п.

Обратная задача заключается в восстановлении матрицы D е области Go=Ctfí^0>, если решение каэдой задачи (2.1), (2.2) известно при

=*£<*>. i>u=!-2.....и- (2.3)

fio отноаешаз к сформилированной задаче справедлива :

ГЕОРШ 2.1. Пусть <plt(x)«=C'EO,«), í|(t)í0'!0,»l, и

ф^(0)=:'<□)« Кроме того ¿Leí ?(t)*0, ?=(F*f i.i=T"7ñ). Тогда решение обратной задачи сушествует и единственно в классе СЮ,13.

2. Пусть к.^О, ^-(,2....... ^<0, 1-в+1,...,п.

Рассмотрим область С={(1,0|0<К11,. 4?0> с границе» г=г0и г, и г2! г0={<х,т сххс1,1=0), г, ={ (х, г) Iх=о, г>о>, г,=( (х, г) и=п, г>0).

В этом случая для системы г> (2.1) рассмотрим краевую задачу

и'|р ^(х). ООСЙ1, I,1»' ,2,...,п, ' ©

иЬГ =г*;сг), гэо, 1=1,2,....з, (2.4.)

и^г^х'т, г>э, 1=э+1„..,п, 1*1,2,...пп.

Требуется наЗтз матрацу 0, если относительно резаная задача (2.1), (2.4) известно

ulJr =?^(t), i=a+f,,..,n>

(2.6)

Зрадполояам» что

ist P(t)*0, Ist Q(t)#a. ° (2.6)

где через P, Q -обозначены ыатрпщ. образованна» го следупдему правилу ?=(р1}, i,t=ünü, 0=(qjf J,i-f7n):

Pi-

r l l f , ¡sa, i=i,2. ... ,n,

ql-

У1:, j>3. i=1,2. ... ,n, 1

?Jt j<s, ,2, ... , a,

i'. i>3, tZ, ... . n.

Па отЕояешпз к обратно® задаче (2.1),(2.4),(2.5) отрвввдпшз.

ТЕ0Р31А. 2.2. Пусть ф^Х^'СО.Ы, Г^ (г)«С*[0,®> а ешаг-ненн условия согласования данных. Кршэ того нзхаолнэза уолегал (2.6). Тогда сузээствуег такое Г* >0, что для есэх Т<Т* ргзэгт обратной задачи существует, эдзнствэнно а щгшадлэзгг классу сю.тз.

В 5 2.2. исследованы аяалогзчннэ задача дзя сзстегэ

ХЦ.+ Вт- Э(7,г)и?=0 , (2.75

где матрицы К, В -диогнвльнк и повтояваы.

1.Пусть Kj<0, i=1r2,....п. В ойваста

G=C (x,y,t)ix>0,-y«R,t>0} два системы зададим условия

l»l=1.2.....с,

(2.8)

я**), 1.1=1,с......л.

Трубуется найти матрицу D(y,tj в области Go={(y,t)t y«R, t>0) es (2.T), (2.8). Справедлива;

ТЕОРЕШ 2.3. Пус«ъ функции - ф|. Ейпрерывны и ограничены вместе с частными производными певвогс порядка и удовлетворяет услонаяы согласования нулевого порядка. Тсгдй существует, такое >0, ч:о при всех Г с Г* ЧяргнгзеЕЕое решение обратной задачи существует и единственно в классе С([0,ТЫ-®,®)) при условии |dst P(y,t)j > а > 0, где а - фшжрованное число.

2. Пусть в» kxO, i=s+l,...,n. Рассиотрна область G, пространства x,?.ti G=t(x,y,t)iOcx<h, yea, t^}, с границей Г=Г&и rtU Г2 , где Г^ к=0,1,2 определяется аналогично пункту 2 парагре£е 1. *

Для системы (2.7) рассмотрим вравуг задачу

1 ■ • и 1г =*p,jx.y), оавц ,и,

■о ' , -

. u^jp =ii(y.t),'y«R, .-ОС, U=l,2,...,st (2.9)

uii-r =ihr.t), y«a,t>o, i=b+i,...»u,i=u2f.,,,ru.

1

ГреСуотся найти матрицу D, если о.pesraza задачи (2.7), (2.9) известна слв дутая информация

■u'|r»=(Pj<yft), yeR, t£0, U=e+1,...,B, (2.10;

* J!

Предположим, что (ilei P(y,t) |-ja>0, ¡det Q<y,t)|>B>0. 1,2.11) Для разрешимости обратной задачи нл;<(5ходило, чтобы функции ?1 били непрерывны в области G =сíy,í)iy®H,t$0>, удовлэт-

воряли условиям согласования

fj

fy.O)^ (0,у), ^зи..... ,n,

P^(y.h)=<^(h,y). .---1,2.....з. i=1.2.....n,

ъ имели куссчно-яепре£гзные производные s С . По отношения к обратной задаче (2.Т), (2.9), (2.10) спргзеддяна;

TE0F3/IA 2. í. Пусть Еыпо.тпеян несбходгшэ условия на дачные обратной задачи и функции <р';. Г1 непрерывны я ограничены вместе о частными производными первого" порядка и выполнены условия согласования.Пусть, кроме тоге, выполнены условия (2-11) Тогда существует Т* >0, что для всех Т<Т* резвние обр-атней задача существует и едзшетвенно в'класса С( (-®,a>)«tO,®)), В § 2.3 рассмотризается система •

■ ut+- Ku^ Buy+ D(y,t)u=0, . (2.12)

в которой К- ДЕогнальаа и постоянна, В- произвольная постоянная матрица.

Пусть 5с.>0," -и ,2.....3) Х.^О» V-3-M G -область

пространства x.y.t.y3«

G=í(х,7,t,y°)lyeR.y3« Я, 0<х<й, t>OJ Г- ее граница Г=Гои PtU IV

Рассмотрим для t=i ,2,..'.,п, п - краевых задач, закдтаэ-

щихся з отыскания хша (фиксированном ч- решеяяя систсш (2.123

в G =G U Г по данным на Г«

' О

и^^Гу-у9.*).

1=1 ,2,...,П.,

1=1,2,....з, (2.13,1

i^S+í *«»«рд*

где у''- произвольные параметр."

Обратная задача заключается в определении матрицы Б в обмети 0, если известны на Г, п- репениа задачи (2.12), (2.13)!

'=3+1,... ,п,

<у.Ъ,у°), ¡.=1.2,,...Б, 1=1,2,... ,П,

Предположим, 'что матрица.В может окть представлена в виде (у► г). где известная матрица с постоянными элементами, а £'- мала и фйнитда по у при фиксированном г , и подлежит опредэлешве. По отношению к обэатной задаче в линейном прибдшш1_ли справедлива; "

-ТЕОЕЕЖ 2.5. Пусть функциинепрерывна и ограничены

V1 (

шесте с частными производными -- ф. , •■—- 1. и финитны по

• ° эт 1 ех *

£=у-у при фиксированных х,х.

Тогда, если преобразования Фурье ) по переменной £

•«матриц ?(£,-£), г) удовлетворяют условиям йеХ Г(0,г)^0, йег 0(0,1)£0 существует такое Г* >0, что при"Т<Т* мггрица З1, непрерывная и финитная, определяется однозначно в линеаризированной постановке

В § 2.4 рассматривается "в области Д(Т)={ 0^г€Г-|х|}

задача -

■вх .. от1 •от ¿V

ах

■=0(х-

-о, V

+ РСх.Ш1 -=0,

•+а(х,Х)и' =0, . (2.15)

Обозначим

q* (т; = v (i, t) i скхсг, 0< t<t-i > D" ',T) = { (r, t) i -ТчО/1, 0< t-sT+X> i* {T) = { (,t) iO'ro <T, Ia<t<T> a"(T)=f(ia.t)i-r<io<0, -ro<:<T> Будем считать, что фуккцилгр(х,t) известна в области D"(T), 3 q(i,ti в D*(T).

Требуется найти функция р и q а областях D'(T) a D-(7) соответственно, если известно решение задачи (2.15} i

4J(G,t,4; = r(t.xo), (i0,t) * G*(T>,

V1(0,t,i3*,ro), U,.t) - <T(T)

Основные результаты этого параграфа содержатся э предяо-кенилх .

7НСРЭ1А 2,5. Если '$УЯКЮТ Г, g. удовлетворяет услсики Г C!G"¡t;:, g € C(G"7t)) то существует таксе ?о >0, что для Те (0,То) ресение обратной задачи (2.15),(2.16) сугестзуе?, единственно яре С((Г(Т)), q е C(G~(?j).

ТЕОРЕМА 2.7, Вели реаение обратноЗ задача (2.15), (2.16) существует а непрерывно, то cao единственно з .ггСгЛ конэтнаЗ области.

В заключение автор ныражает благодарность научному руководителю члену-корр. РАЯ З.Г. Рсмянову за -остановку задач, достоянное внимание к работе и полезные совета.

По теме диссертации огубликсзаны слэдудзм работы 1. Турдубаев С.К. Сгределеязе коэффициента q(r,t) з утзаВЕэ-hsh utt- u>x- q(i,t)u=0 //Ме?сдн резешя некорректных *?а-ыатематических задач а проблеет геофизики , Сб.аауч.'гр. Новосибирскi ВД СО АН СССР, 1984. - С, 114-120. Z. Турдубаез С.К. О единственности определения козф^здзэн-тоз гидзрСоличечнсЗ систеыщ паевого порядка // Обратные задачи математической цнзпяи. Сб.науч. тр. НовссзСирсз! ЕЦ СО АН СССР, 1985. -С 134-—138. 3. Турдубаев С.К. ССратша задачи для шперболичзскзх систеа первого порядка //Вопросы корректности задач иатематичэс-коЗ фззша л анализа. Сб. науч. тр. - Новосибирск! ВЦ СО ¿Я

СССР, 1936,- С. 127-1 ¿Ь,

ТурдуОаэв С. К. Определение коэффициентов гиперболической системы первого порядка //*Окутуучулардык XXX илимкй тео-риялык конференцияскнда окулген доклад хана билдируулор-дув тезистери.-Ое, ОшПК.-1991. С. 24.

5. Турдуоаев O.K. Обратная задача определения коэфициентз волнового уравнения, -зависящее от пространственной и временной переменных //Там. же - С. 57.

С. Турдубаеь С, К. Определение коэффициента волнового уравнения //Тезисы докл. Всесоюзной конференции "Асимпусти--ческие ктоды теории сингулярно-возмущенных задач к некорректно постаглекЗ/х задач:,Бишкек, гент., 1991.- Биэкек. Клим,J99*. С. 1S9.

Т. Турдубзев O.K. Одна обратная згдача для волнового уравнена // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докл. ре сну бл. науч. ко£ф,, -Ош, ОяГУ, сент., 1993. -С. 10Т.

8. Турдубаез С.К. Определение коэффициента волнового уравнения // Сб.науч.тр. ОеГУ. Естественные науки. -Ов, оаГУ, 1995.-С. 13-18. '

Т'/рдуСавв Сэ-т»1 ;<алыроплт

Коз Cirp ггпэрСс.тгкалцй тзнд;.-иелзр глаз сзстчиллзр тчтн тчомря ыасэдвдэр.

1зго?вд»я >

Тгпэссолахялых •мадамея»? гя:=а сзст-?чм_л~р гтгя ггрдтт'.э recxspa масвлв-'лр карала?. 1&тллЗ тчсхарa здс«лэл?р.1ГЯ дэршин «азаны, халтийагы заяэ турунтуулугу гг/чтпдигт rvrpj-чалзр далзллэнйт.

Cali K-ad/r^v'.-n inverse ргоЫагэ for syp^rtciic: squatloro acd зузtcvî Annotation

Various Inverse ргсЫ^гз for ,ч.тг erteile equation *r;;i systems ars considered la tiila rssearca sorti- lor this parpo-розез tüe theorems of erl3tancs, unlqueca» sal 3tnMyty £374 Ъееп proved.