Обратные задачи для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

. ' МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

~ • • ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 517.95

КОСТИН АНДРЕИ БОРИСОВИЧ

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ С ФИНАЛЬНЫМ И ИНТЕГРАЛЬНЫ! НАБЛЮДЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

/

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-1993

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского инженерно-физического института.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.И.Прилепко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г.Ягола кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Музылев

Ведущая организация: ВЦ РАН, г.Москва

декабря 1993 года в

Защита диссертации состоится часов -ЗО минут на заседании специализированного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан

„23

ноября 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

Говоров В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Акт£ажность_тены. При построении математической модели

исследуемого объекта, как правило, отсутствует полная информация о его свойствах. Поэтому имеет смысл производить математическую постановку задачи с учетом этого факта и считать, например, свойства среды неизвестными' ■• ( полностью или частично ) и подлежащими восстановлению вместе с физическими полями. Такие постановки и составляют предмет исследований в теории обратных задач. Начало интенсивного изучения обратных (часто некорректных) задач для уравнений в частных производных связано с работами А.Н. Тихонова, П.С. Новикова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, Г.И.Марчука . Цель изучения - это найти такие условия на исходные данные, чтобы обратная задача имела бы единственное решение (или решение существовало бы, или являлось в некотором смысле устойчивым и т.д. ). Этим вопросам посвящены работы Ю.Е. Аниконова, А.Д. Искендерова, В.Р. <1опез, ,1.11. Сагаюп, А.И.Прилепко, С. Рисс1, В.Г. Романова и их учеников .

В диссертации исследуются вопросы существования, единственности и устойчивости обобщенных решений обратных задач для параболических уравнений второго порядка. В первой главе рассмотривается задача о нахождении правой части (или источника) в уравнении. Дополнительная' к данным прямой задачи информация задается в виде финального или интегрального переопределения. Доказаны глобальные теоремы о разрешимости и устойчивости.

Во второй главе изучаются коэффициентные обратные задачи двух типов, при таких же переопределениях. В первом из них ищется коэффициент перед 1](хЛ) в уравнении, во втором коэффициент перед ¡¡¿(х^). При этом неизвестные коэффициенты считаются зависящими

лишь от пространственных переменных. Доказаны соответствующие теоремы существования, единственности и устойчивости обобщенных решений отмеченных задач. Цель_работы состоит в

- получении достаточных условий существования, единственности и устойчивости обобщенного решения линейной задачи нахождения источника в параболическом уравнении с финальным и интегральным наблюдением;

- доказательстве теорем об однозначной разрешимости и устойчивости обобщенных решений коэффициентных ( нелинейных ) обратных задач для параболических уравнений;

Основмя методжа исследований линейной задачи состоит в ее

сведении к операторному уравнению второго рода с вполне непрерывным оператором. При изучении коэффициентных задач применяется теория изотонных операторов. В доказательствах используются априорные оценки обобщенных решений основных начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка. Слабый принцип максимума для эллиптических и параболических уравнений позволяет установить необходимые качественные свойства соответствующих обобщенных решений.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты

являются новыми. Основные из них состоят в следующем: 1. Доказаны глобальные теоремы существования, единственности и устойчивости решения линейной обратной задачи восстановления источника в параболическом уравнении с финальным и интегральным наблюдением. Как следствие из теоремы единственности получены достаточные условия полноты в Ь2(П) для нового класса систем функций.

2. Для нелинейной обратной задачи восстановления коэффициента' С(х) перед функцией U(x,t) доказаны глобальные теоремы существования, единственности и устойчивости обобщенного решения.

3. Для нелинейной обратной задачи восстановления коэффициента р(х) перед i/t(x,t) с указанными переопределениями доказаны теоремы существования и единственности решения без условий малости норм заданных функций, получены оценки устойчивости.

Приложения^ Работа носит теоретической характер. Ее

результаты могут найти применение в развитии теории обратных задач, в теории управления и прогнозирования процессов.

Апробация_работа. Результаты диссертации докладывались на

семинаре кафедры высшей математики МИФИ, руководимом профессором

А.И. Прилепко, на семинаре в МГУ им. М.В.Ломоносова, руководимом докторами физ.-матем. наук А.Б.Бакунинским, А.В.Гончарским, А.Г.Яголой, на семинаре в РУДН им. П.Лумумбы, руководимом профессором В.Н.Масленниковой, на пятой школе молодых математиков Сибири и дального востока ( Новосибирск, 1990 г.), на XXVII-XXIX конференциях молодых ученых РУДН им. П.Лумумбы (Москва, 1991-1993г.), на международной конференции "Некорректно

поставленные задачи в естественных науках" ( Москва, 1991г. ), на XXV (1993г.) Воронежской зимней математической школе.

Публикации^ Основные результаты диссертации опубликованы в 7

работах [ 1 -7 ].

С^уктураиобъемдиссертадии^ Диссертация состоит из

введения и двух глав, в первой из которых четыре параграфа, а во второй - шесть. Для удобства чтения, в конце диссертации даны

- б -

приложения I-VII. Объем работы составляет 130 машинописных страниц, библиография - 127 названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Пространства Lp(fi). №р(П), W^,1(Q), Lq p(Q) вводятся общепринято. Обозначим w9'l (Q) = { h{x,t) : h, ht e L _(Q) > - банахово

пространство о нормой « h iJ^J = i h iq>2>Q + ■ hf <qt2>Q .

Все равенства и неравенства встречающиеся в тексте понимаются в смысле почти всюду (п.в.) по мере Лебега, основными являются

множества Hs Ь2(П) , Es 1^(0), Е_= { сеЕ : c(x)iO х«П },

Н+= { ф€Н : cp(x)iO хеп }, В1= С реЕ : р(х)£ р0 >0 хеп },

где р0 - фиксированная постоянная.

Пусть П - ограниченная, односвязная область в Rn с границей an € С2. В цилиндре Q=Qx(0,Т), где Т>0 , с боковой поверхностью S=<9CM0,T], рассмотрим следующие обратные задачи.

Задача I. Найти пару функций U(x,t) и f(x), удовлетворяющую условиям

pUt - LU = hi + g (x.t)eq ( i )

U{x,0)= a(x) xen ( 2 )

BJ= b(x,t) (x,t)6S ( 3 )

1 (t/)=x(x) xen ( 4 )

если все остальные, входящие в (1)-(4) функции и операторы заданы.

Под задачей IQ будем понимать наховдение U(x,t) и Г(х) из (1)-(4) с g=0, а=0, ö=0. Функция pellt, оператор L предполагается равномерно эллиптическим

L U = Е 3(A,.(x)dU/dx.)/dx. + Е B,(x)at;/öx. + С„WU. i,j=l 13 3 1 1=1 1 1 0

с вещественными коэффициентами удовлетворяющими следующим условиям

гладкости Ai;).€C1(C5); В^ ЗВ^Зх^ С0<=1,да(П).

Под оператором краевых условий 3 в (3) понимается следующее :

либо. либо W=dU/öN + a(x)U, где N - внешняя конормаль. В

условии (4) выражение 1(17) имеет вид : либо l(ü)=U(x,t1) 0< t, <Т,

т

либо 1 Щ)= ^ U(x,T)u(t)dT,

где t1 - фиксировано, а о е L,(0,T) - задана. Эти выражения в дальнейшем будем называть финальным и интегральным наблюдением соответственно.

Обобщенным решением обратной задачи I называется пара

функций tfeWg,1 (Q) и ГеН удовлетворяющих (1)-(4).

В первой главе исследуется задача I, в первом параграфа показано, что она сводится к задаче IQ. При определенных условиях гладкости и согласования для заданных функций, задача IQ в свою очередь эквивалентна операторному уравнению второго рода (1-В)ф=<|> в Н, с вполне непрерывным оператором В ( I - тождественный

оператор в Н). Если функция fteW^'gCQ) и |1(Л)|>3>0 в П, то

В:Н-»Н определяется по правилу

Bcp=pl(tft) ' ( 5 )

где I/(x,t) - решение задачи

püt - LU = ПЩЛ)Г1ф В Q,

i/(x,0)=0 в 0,-, BU=О на S.

с данным феН.

Теорема I. Если х€^п)г Зх=0 на ön> а |i<h>l-e>0

в fi, то задача IQ - фредгольмова.

В этом же параграфе получена оценка нормы оператора В, дающая достаточное условие однозначной разрешимости задачи I, при этом важную роль играет задача :

1%=0 в Г) В%=О на ÖQ ( 6 )

Теорема 2. Пусть heW^iQ). шеЬ^О.Т), р=1, %ew|(П). В%=0 на 0П, 11 (h) |äö>0 в 0, о(х)£0 на <9П, а задача (б) имеет лишь нулевое решение. Кроме того пусть 0, функции величина t1 и

коэффициенты оператора L таковы, что \о>0 , m<1

где m=m(t1), если l(i/)=i/(x,t1), либо т=«т(* )«2> (0>T)l|w|l2i (0iT) . т

если üüxi't • а ФУНШ®1Я им001 ВИД

/ t - 1 m(t)=exp(-Xt){ift(' ,0)[l(7i) ] 'ш>п +^ехр(Лт)«ЛТ(>.г)[1(/1)] «„^dT)

\Q=(v\]/2- « |В| а Л,1 - первое собственное

значение такой задачи : -Ле=А,е х«П, Ве-0 xedQ,

\=Л0-езззир С0(х). Тогда решение задачи 10 существует, единственно и справедлива оценка устойчивости

*иг.а + ,1»г?а1) 5 с" Ъ 'г.0 •

Во втором параграфе исследуется вопрос о единственности решения задачи I, важную роль играют условия

с0(х)<0 на П, о(х)£0 на дП. ы(1;)гО на (0,Т) ( 7 ) рассмотрим р>2, обозначим г=2р/(р-2),- при р>2 и г=«> при р=2.

Теорема 3. Пусть ЛеИ^'^Ч), выполнено (7) и верны неравенства ?1(х,1;)>0, ^(х,г)>0 в О, 1(П)>0 в П. Если пара функций и

ГеЬр(П) удовлетворяет (1)-(4) с g=a=b=x=0, то и=О, Г=0.

Как следствие сформулированных теорем доказана корректность задачи I.

Теорема 4. . Пусть ЛеЯ^'^СО). хе№|<п>• ВХ=0 на 00 и выполнены условия (7). Кроме того пусть |1(Л)|^С>0 в П,

Л[ИЛ)Г1>0 , в а.

Тогда задача 10 корректна - решение иеИ^'1 (0). ГеЬ^П) существует, единственно и справедлива оценка устойчивости

В § 3 получена оценка г(В)<1 для спектрального радиуса отмеченного выше оператора, дающая возможность вычислить решение обратной задачи. Кроме того исследованы некоторые вопросы устойчивости линейной задачи I.

В § 4, в случае когда р(х)=1, В^х)=0 1=Т7п доказано, что единственность решения задачи I ( когда 1(1П=У(х,Т) ) эквивалентна полноте в Н следующей системы функций

т

ф^ ехр(-А.][(Т-т;))?1(х,1)йт; ек(х), к=1,2,... ( 8 )

Где {ек> и {Л^} собственные функции и собственные значения задачи ( £ У = <31и(А^) + С0(х)1/ )

-Ъе=\в на Я, Ве=О на <9П. Напомним, что система векторов называется полной в гильбертовом пространстве Н, если не существует ненулевого элемента Н ортогонального всем векторам системы.

Теорема 5. Пусть Ш^'^О). Решение обратной задачи I ( при

р 1'

1(У)=У(х,Т) ) единственно в классе (0) и ГеН только тогда,

когда система функций (8) полна в Н.

Аналогичная теорема доказана для задачи I с интегральным наблюдением. Как следствие теорем 3 и 5 получено достаточное условие полноты для систем функций такого класса. В этом же параграфе исследована связь единственности в задаче I со спектром оператора I, приведена формулировка наиболее общей из доказанных в работе теорем о корректности задачи I.

Во второй главе рассматриваются нелинейные задачи II и III, состоящие в следующем.

Задача II. Найти функции У(хД) и С(х) из уравнения

и^ - Ь £7 = СУ + в 0 (9)

и условий (2) с а(х)=0, (3),(4). Под решением понимается пара

ие«?2,1(а) и СеЕ_, удовлетворяющая (9),(2) с а(х)=0, (3),(4). Задача III. Найти пару функций У(хД) и р(х) из уравнения

pUt-IЦ=g в О (10)

и условий (2) с а(х)=0, (3),(4).. Решение рассматривается в классе и рет.

В параграфе 1 главы II дается достаточное условие единственности, а в параграфе 2 существования решения задачи II.

Введем следующие условия:

в(х.1)>0, Е^ЛхД^О в а, Ь(х,г)>0, Ь1.(ХД)>0 на 3. (11 )

Обозначим Ц°(хД) - решение задачи (9), (2) с а=0, (3), при функции С(х)=0 в П.

Теорема 6. Пусть в.Ь.Ь^Й/р'1 (<3), ргп+1, %(х)>б>0 хеП,

выполнены условия согласования Ь(х,0)=0, В%=1(Ь), ^(х,0)=Ь^(х,0) х«ЙП и условия (7), (11). Кроме того пусть 1С1(и°)-х]<0 в Л. Если одновременно Ш=ди/ви, С0(х)=0 и 1-С1 (Ц'0)-%]=:0 в Я, то дополнительно требуем (1(У°)-х)(х0)=0 хотя бы в одной точке х0«П.

Тогда существует единственное решение задачи II (/е'^'1 (0), СеЕ_ .

В § 3 получены оценки устойчивости рассматриваемой задачи с постоянной независящей от и1,С1. Функции и1,С1 при 1=1,2 введем как решения следующих обратных задач

- 12 -

uj - LU1 = + g1 (X,t)€Q,

и1&,0)=0 xefl, Ж/МЛиД) (x.t)eS,

1(ff1)=x1(x)

xen.

Тогда разности £7=1^-I71, C=02-C1, g=g2-g1. X=X2~X1 удовлетворяют равенствам

üt - (L+C2)P = U1S + ë (x.t)€Q, Î7(x,0)=0 x«n, Й7=Б (x,t)es,

( 12 )

l(P)=X(x) Решение (12) с C=0 обозначим 0°.

хеП.

Теорема 7. Пусть в1, Ь1,^ еда^*1 (0), р>п+1, Кх1)^, х1(х)^0>0

хеП, выполнены условия (7),(11) и условия согласования Ь1(х,0)=0,

ВХ^КЪ1), Вв*(х,0)=ь£(х,0) хеап. Кроме того пусть

н х, (2,1) ,ь1,(2,1) ,ь1я(2,1) < „

6 "р.о • 0 р.а ' ч р,а » ^ да,а ~ м'

при 1=1,2. Если Ш=ди/дИ, то дополнительно требуем, чтобы Б1*0. Тогда существует постоянная С(П,Т,Ь,0,М)>0 :

+ "блг,п - +

В § 4 дается достаточное условие для единственности, а в параграфе 5 для существования решения задачи III. Решение задачи

(10),(2) с а=0, (3) при р(х)=р0 в П обозначим U*. Разрешимость задачи III доказана для случая первой начально-краевой задачи, то есть при UU=U в (3).

Теорема 8. Пусть g^.b.^.b^eWp'1 (Q), pän+1, L%<zЕ, выполнены условия (7),(11),Co(x)s0;g(i,0)=Ö хеп и условия согласования :

b(x,0)=bt(x,0)=0, x=l(b) xeöfl. Кроме того пусть gtt(x,t)>0 в Q,

btt(x,t)>eo>0 на S, l(gt)*0 на П, . lnf{gt(x,0):xen}=go>0.

а также ЬЩа*)-х]<0 и bx+HgJigoKt) на П. Тогда существует единственное решение задачи III i/ew^'1 (Q), p<=m.

В § б исследуется устойчивость в задаче III.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Алексею Ивановичу Прилепко за постановку задачи и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Прилепко A.M., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Матем. сборник. 1992. Т. 183, N4. С. 49-68.

2. Костин А.Б. Обратная задача для параболического уравнения с интегральным переопределением // Тез. докл. на межд. конф. "Некорректно поставленые задачи в естественных науках. (Москва, 19-25 августа 1991 г.) с.176.

3. Костин А.Б. Обратная задача для уравнения теплопроводности // Пятая школа молодых математиков Сибири и Дальнего востока. Тез. докл. Новосибирск. 1990. с.57.

4. Костин А.Б. О разрешимости обратной задачи для уравнения

теплопроводности при краевых условиях второго рода // Тез. докл.

XXVII научн. конф. факультета физико-математич. и естественных наук (13-18 мая 1991 г.) М.: УДН. 1991. с.94.

5. Костин A.B. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента в параболическом уравнении // Тез. докл.

XXVIII научн. конф. факультета физико-математич. и естественных наук (13-18 мая 1992 г.) М.: УДН. 1992. с.50.

6. Костин A.B. Разрешимость одной обратной задачи // Тез. докл. всесоюзн. конф. "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Новосибирск,1-5 июня 1992 г.), Новосибирск: 1992. С.62-63.

7. Костин A.B. Разрешимость одной параболической обратной задачи // Тез. докл. XXIX научн. конф. факульт. физ.-матем. и естеств. наук (17-21 мая 1993 г.) ,М. :РУДН,. 1993. с.59.