Обратные задачи для псевдопараболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство образования азеебапдкансксй республики

бакинский государственный университет им.М.Э.РЛСУЛЗАДЕ

На правах рукописи

РГБ ОД

УДК 517.35

1 Л и:он то

МАСШСВА САМИРА НАРШАН кызц

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДШАРАБОЛ1ЧБСКИХ УРАВНЕНИЙ.-(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку - 1994

Работа вшоднена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Бакинского Государственного Университета им.М.Э,Расулзада.

Научный руководитель:

- кандидат физико-математических щук, профессор

НАМАЗСВ Г. К.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук АЛХУТОВ Ю.А.

- доктор Физико-математических наук, профессор

МАЩЩЗ Ю.А.

Ведущая организация: Азербайджанский Технический

Университет

Защита состоится "Л-Л* 1994 г. Б » ¡Ц

час. на заседании Специализированного Совета Д. 054.03.02 по присуждению ученой степони кандидата физико-ыагеглати-чвских наук в ЕГУ вя.Ц.Э.Еасулзаде по адресу: 370073, г.Баку „ ул.З.Халилова, 23, 2

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке ЕГУ шл.Ц. Э.Расулзаде.

Автореферат разослан 1994 г.

Учений секретарь л

Специализированного Совета (/ /) и » апгкгт

доктор физико-ыатекатических У^ ' ^ ы. а. пилил

науж„ профессор {Д

со

- 3 -

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении различных задач физики весьма часто возникает необходимость в восстановлении основных количественных характеристик изучаемого явления или процесса, если известна полная математическая постановка задачи. Задачи определения коэффициентов или правой части дифференциального уравнения по некоторой дополнительной информации принято называть обратными задачами.

В настоящее время обратные задачи относятся к одной из актуальных проблем математической физики.

Одно из обширных направлений теории обратных задач -это обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Обратное задачи по определенно правых частей или же коэффициентов псевдопараболических уравнений в различных постановках рассматривались в работах З.Р.Атшла-нова, М.Ш.Мамаюсупова, Б.С.Аблабэкова, С.Н.Землянского, Г.К.Намазова, Н.А.Сваричевской я др.

И потому для дальнейшего развития теории обратных задач представляет интерес исследование обратных задач для нового класса псевдопараболических уравнений.

Цель работы. Основной цольв работы является исследование обратных задач для псевдопараболических уравнений,, а именно исследуется:

- классическая разрешимость (существование, единственность и непрерывная зависимость в определенном смысла) в целогл одной нелинейной одномерной обратной краевой задачи для линейных псевдопараболических уравнений;

- классическая разрешимость (существование, единствен-

- 4 -

нооть и непрерывная зависимость в определенном смысле) нелинейной одномерной обратной краевой задачи для полулинейных псевдопараболических уравнений.

Рдучнад новизна. Новыми являются следующие результаты диссертационной работы:

- в постановке обратных задач приведены дополнительные условия обедах вадов;

- с помощью обобщенного принципа сжатых отображений получены достаточные условия для разрешимости в целом одной нелинейной обратной краевой задачи для одного класса линейных псевдопараболических уравнений;

- с помощью принципа сжатых отображений получены достаточные условия дая разрешимости нелинейной обратной краевой задачи для одного класса полулинейных лсевдолараболических уравнений;

- для. рассматриваемых обратных задач получены оценки; показывающие в каком именно смысле классические решения зависят от данных.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют научно-исследовательский, теоретический и практический интерес. Они могут быть применены при моделировании фильтрации жидкости в средах с двойной пористостью, передаче тепла в гетерогенной средо, влагопе-реносе, дая гидродинамических основ анализа разработки месторождений нефти и газа, а также при изучении широкого класса прямых и обратите задач математической физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры дафферегада-

альннх и интегральных уравнений ЕГУ им.М.А.Расулзаде (19901993), на XI7 Республиканской научной конференции молоднх учеких В/Зов Азербайджана (1991), на П АзербаЗдашо-турецкои сиютозиуие по математике (1Э92), на семинарах профессора К.И,Худавордиева (ЕГУ), в институте математики п механики АН Азербайджанской Республики,

Структура и ор.-^оти. Диссертационная ¿»йота состоит из введения и двух глав. Oía изложена на 150 страницах, список литературы содержит 7G наименования.

Публикации. Основные результати диссертации отра*еки а работах [1-4] .

Во введении приведен краткий обзор исследований, относящихся к рассматривае:лш в работе задача!*, обосновиваотся актуальность теми и излагается краткое содотганио работы.

В первой главе исследуются готюси суцссгаэЕштя, единственности и непрерывной загпсимостп (в осределеиноц -свисло) классического ранения одной нв^.иойноЛ одноьгерной обратной краевой задачи для одного гласоа линейных нсовдопарабо-личоских уравпоний, т.е. изучается задача ой опредолеюш функций -[Ь(хЛ), р(Щ яп условий

СОДОЕАШЕ РАБОТЫ.

pixi№)+p(t){ix(o,é)+0 -i

-/Ф Iwmtefidx. - ad) r),

0 о (4)

где S>0 , J3 - постоянные, Ffri) <p(x) , /(4) ,

в ^(i) - заданные функции. Причем под классическим решением задача (1)-(4) будем понимать:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под классическим решением задачи (1)-(4) понимаем пару {l(x,i) ,/>Ю} функций ¡■(cC,i) и p(ê) , удовлетворяющих условиям:

а) функция l(Z,t) непрерывна в <^,= [0,/]х[0,7\] вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (I);

б) функция р{}} непрерывна на {0/7*3 и Vèe. p[i)>0 ;

в) уравнение (I) в условия (2)-(4) удовлетворяются в обычном смысле.

Первая глава.состоит из четырех параграфов. В § I главы I пригодится постановка задачи (1)-(4), принимается определение классического решения задачи (1)-(4) и после применения формальной схемы метода Фурье решение задачи (I)-(4) сводится к роаопис нелинейной системы интегральных уравнений

т) - Ъ{%е*р\ ++

f+ftV „^^["Tíkv

i ,

• S О <pfsH^sJot +1 j , (6)

где

/

Ц>к =2 $ Хкхс/х,

0 1

о

1

о

Причем очевидно, что решив уравнанио (6) для р({) и подставив его рее чие р[4) в правую часть соотношения (5). получаем явное выражение для первой компоненты Цх,{) классического решения задачи (1)-(4) и тем самым окончательно решаем задачу (1)-(4).

Для изучения вопроса единственности классического решения задачи (1)-(4) важную роль играет следующая лемма, доказанная в § I.

ЖША. Пусть ,)>Ц) , $({)€С([0,Т}), {х)(=1г{0,1),

а ^ р№)У - любое классическое решение задач!'.

С1)-(4). ,

Тогда коэффициенты «Ьурьо Ьк({)—2

) Функции по системе Жкх

определятся формулами

+

1ф7К

- 9 -

а функция удовлетворяет на [0,7] уравнению (6).

В §2 исслодуется уравнение (6) для функции рЦ) „ Здось сначала при определенных предположениях на дшпгые задачи (1)-(4) с помощью обобщенного принципа сжатых отображений доказывается следующая тсорома существования я единственности в С^Г]) положи тельного решения нрлинейного интегрального уравнения (6) для р(£) ТЕОРЕМА I.

1. ЦП), У® , ; тпв От&1<Ы]х[0,Т] .

2. Выполняется одно из следующих двух условий:

а> ¡\/К{К = «,-..-) %>о-,

ЧЫ [О, Г ] , К О = 1,2,...) Р* Ц) >О} у^е [о, т] , к С*-¿2,...) /(Ш >0) чЫ ип ; а) > Ук (К**1'2'" )

У1<=\0,ТЗ, к (к-1,2,...) РяЮ<0;

3. ^ 10, п ,

Тогда уравнение (6) для р(+) имеет в С{[0,Т\) единственное положительное решение.

Далее исследуется непрерывная зависимость решения

- 10 -

уравнения для p(i) от некоторых данных. И поэтому наряду с этим уравнением (6) рассматривается другое уравнение, которое определено так же как и уравнение (6), но только в правой чаЕсцр этого нового уравнения вместо ç (¿) , F(x,i) , <f>(X), , и нужно иметь в виду

$(+)» F foi), <f(x),y(t), (f>(x) и Cj(i) соответственно. Справедлива следующая ТЕОРЕМ 2.

1. Выполнены все условия теоремы I.

2. функции 0), F(rj) ,/W, i^to ,§d)

. и числа ук (к. (Д. ) удовлетворя-

ют тем ж» условиям9 которым удовлетворяют функции ,

FfavOt fix) , /fi) , <|W > 0) и числа (fa (к—1,2,... ) , (к = 1,2,,.. ) соответственно. Тогда дат единственных в С ([ О, ТУ) положительных решений pli) в р[{) соответственно уравнений (6) и нового Емяеы:

+as I f(x.i) - f МЛ ^^+l^y

+<b «s Sift-M^i +

K6f,eo J e=f 1

4-

-lito

+ мер* + , (7)

гдо Q¡ (¿ — константы, зависящие от функций и чисел,

определенных условиями I и 2 данной теоремы, и Т

В §3 доказана следующая теорема существования п единственности в целом классического решения задачи (1)-(4): ТЕОРЕМА 3„ Пусть

1. Ffai), Fjr,i)<= C(QT) i VíeiO,Г] F(0,t) = W) -O.

2. <p{х)е=С2([о,П), ¿2(o,i) и (p(0) = Щ0 = f(o) = f(i) = O

3. <№),ytí),$U)eC(lO,Tl)

4. Выполноны условия 2 и 3 теоремы I.

Тогда задача (1)-(4) имеет единственное классическое решение » рЮ}

В четвертом параграфа доказывается теорема о непрерывной зависимости (в определенном смысле) классического решения задачи (1)~(4) от ее данных ОД), F(xJ) ,<р(х) , уШ •

ijjfc) я Cj[l) .С этой целью, для краткости, задачу (1)-(4) называем задачей /} „а эту .го задачу с ланныг.з §{í)> £(*А) , Щк) ,#({), ¡pfz) и у [i) (вместо J(éJjF(ft*) а 0) соотаот-ственно) называем задачей /) „ Из этой теоремы следует, что для единственных классических .решений { b(Vii) ? и {соответственно задач Л я А справедлива оценка (7) и получены новые оценки, показывавшие в каком смысле классическое решение задачи (1)-(4) зависит от данных, л именно, дня любого §>О существует такое число

- 12 ->0 , что из соотношений

следует, что

!) ** м ^ф/ь, ихх{ №

Во второй главе рассматривается нелинейная одномерная обратная краевая задача для полулинейного псевдопараболичео-кого уравнения. С помощью принципа сжатых отображений доказывается теорема существования п единственности классического решения, а также исследуется непрерывная зависимость (в определенном смысле) классического решения от данных задачи. А именно, рассматривается следующая задача определения пары функций {МЫ), из У^овий:

- г Ы) = о {о^Ы т), 110)

(о-сЫт), ш)

- 13 -

где 8>0 , - постоянные, } 0{1),

- известные функции. Причем под классическим решением понимаем:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под классическим рошониом задачи (8)-(11) понимаем паруфункций ЦХ, {) , удов-

летворяющих следующим условиям:

а) функция Ъ(хЛ) непрерывна в Огр =■ [0,1] вмеоте со всоми своим производными, входящими в уравнение (8);

б) функция непрерывна на (0,Т~\ ;

в) пара ^ удовлетворяет уравнению (8) и условиям (Э)-(П) в обычном классическом смысле.

Глава П состоит аз трех параграфов. В §1 приводится постановка задачи (8)-(II), принимается определение классического решения задачи (8)-(11), приводятся некоторые вспомогательные (¡акты. А тленно, вводятся следующие пространст-

1. Через оРо'-'Р^т обозначав совокупность всех функций вэда м

ьЫ) ' 2 ЪКЦ)Бт ЯГЕ

рассматриваемых в 0, у , где функции ртз

непрерьшно диффорокцируемн на [ О, Т ] и

где сС- У/О , 0 — 0,г) • в птом «ноа&с-

тве определяем следующим образом »

П. Через Еу обозначаем мнохестао \ 0

нормой

Далее, применяя формальную схему метода Фурье, как и в первой главе, решение задачи (8)-(П) сводится к решению нелинейной системы уравнений оо 7

2!{2 я™ е*р[- •

^ 2

< г 00 00

аз)

Во втором параграфе главы П с помощью принципа сжатых отображений доказывается следующая теорема существования и единственности классического решения задачи (8)-(П). ТЕОРЕМА 4„ Пусть выполнены условия

1. Функции р{{) ,^Ю, Ь-И) непрерывны на I , причем ¡1$)Ф0 ; кроме того

^ ж2 Ш1Ш

2. функция ^[х) дважды непрерывно дифференцируема на

г о, о . 4 М * Щ-Щ=Л=О.

- 15 -

3. Функция ■ непрерывна в замкнутой области

вместе со своими частный! производными В,. V \ У^еТЛГЗ, 2е.[-г»,г«,] ,Р(о,{,о,2)=

= Г(и^,0,2) —0 ; п замкнутой области £¡1. т

I - у, ё) I -9 к |€-г

где I - постоянная, и <?о фиксированы, причем

„. (i р'у 1б (гот), а /v?, ,, л/г? 1—+Д* +л?'

ЩЛ \Ш) | 0*1*7

о* и?

кроме того, пусть выполняется неравенство

с} + (с3 +ад(/?04?0)+$,

т.о.

и неравенство где .

\?ьы\пя л,

Шт) т* 0*ит ¿гШ/ 1

•VF , j

c¿ (tw4-aí-; 4-Ipíí;||, )

8z2 v ¿ r ¿-(ад)7

£ Wr/и

3 "mí+w '

5 VF \hU)\ ; л/в X2 .

таг

4. Выполняются неравенства

W wwz

o T\\pmc(ic,n) Ъ. 1

f j_,jmi, M , w

17+^* fШ *T Ш+Ш?)'

.(iTM(R0 +20) 4- fl Ffr^ll, /n j}

Тогда задача (8)-(II) имоот единственное классическое решение -{¿(îyfy, ^f^} » удовлетворяющее условиям:

В 53 главы П доказывается тоорема о непрерывной зависимости (в определенном смысле) классического решения задачи (8)—(II) от нелинейной правой части уравнения (8)

г{?А, , qui)

с от начальной функции <р(£) и функций рЦ) , CCli) о Ш) И Cjd) . Для удобства задачу (8)-(П) называем задачей А , а эту же задачу о данными р({) , ° ffo '^tt) •

lU) и Ш) (вместо p(è) , Pfafyfaiï.fH)). ffz). oi{i) „ %({) и ¿jlij соответственно) называем задачей ¡\ . Тогда согласно доказываемой теоромэ, туи единственных классических решений fyH)} и задач Л и I соответственно справедливо:

Ш; - *ы>|ейг) +и?© ~№c6mf м>"

где 01,011 (£ = Ьб ) константы, зависящие от данных задач

А я Я я т .

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую

благодарность научному руководителю профессору Г.К.Намазову

за постоянное внимание и помощь в работе,

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Намазов Г.К., Масимова С.II. Одномерная обратная краевая задача для псевдопараболического уравнения при дополнительном условии общего вица. Деп. в АзНШНТИ В июля 1992 г., № 1855-Аз. 26 с.

2. Намазов Г. К. «Масимова С.Н. Непрерывная зависимость классического решения одномерной обратной краевой задачи для одного класса параболических уравнений. Деп.в АзНИИНТИ 20 апреля 1993 г., Я 1983-Аз. 47 с.

3. Масимова С.Н. Обратная задача для поевдопараболического уравнения при общем-дополнительном условии. Тезисы Х1У Респуб.науч.конф.молод.уч.ВУЗов Азербайджана (Баку,26-27 декабря 1991 гоце\ ч.1, Баку, 1993, с.22.

4. Масимова С.Н. Классическая разреиимость в целом одной нелинейной одномерной обратной краевой задачи. Тезисы Х1У Респуб.науч.конф.молод.уч.В/Зов Азербайджана (Баку,26-27 декабря 1991 года), ч.Ш, Баку, 1994, с.9.

М9СШ0ВА САМИР8 НЭРКМАН газы

псевдсшрабошк твшшвр гни тэге месалалер.

X У Л А С 8 •

Муо,1лон элава шертлэр дахклиндэ диферонсиал тенлик учун голулан М0СОЛОПИН йодли иле ланашы онун ба"зи эмсалларынын ве Захуд да сорбест Ьедцип талилмасы ыеоолеси!га таре мосело адландьрырлар.

Дисссртасита иши псевдотраболик тонликлэр гчгя торс масолалэрин тодгигиие Иаср олунмушдур. Иш киришден ве ики фэсилдаи ибар<зтдир.

Биринчи фвеилде бир синиф хетти псевцопараболик тенлик-лор учун голулмуш гелри-хотти бирелчглу терс бешланрыч-евр-Иэд М9С0Л9СИНИН глобал классик Ьвллин варлырн ве зеканелвди тедгиг одолир. Эввелче умумилшшиш сыхылмыш иникас принсипи-нин квмэ,1и иле наые"лум емсал учгн гел ри-хегги интеграл тен-лилин Ьеллинин варлыры ве ,1еканэлили Ьаггында теорем исбат олунур. Сонра исв кесторилир ки, бу гелри-хетти интеграл тонлплин Ьелли меселенин бе"зи верилэнлериндзн квеилмэз асшшдыр. Исбат олунмуш теоремлэрин иортлерини бир гедвр кучлэндирмвкле голулмуш месэленин глобал классик Ьеллинин варлыры, ]еканолили ве мэезленин в*- чишнлермндэн муеллен мзин&ца кесилмэз асылнлыры Ьаггында теоремлер исбат олунур.

Икинчи фэсидце ларыихетти псовдопараболнк танлик учун гозулмуш гёлри-хетти таре бчшангыч-серЬед моезлесине бахи-лыр. Сь'Хшмш иникас принсипин кемэ;)и иле классик Ьэллин варлыры вз лсканоли^и Ьаггннда теорем исбат олурур. Бундан башга классик Ьелллн бахылан меселэнин бе"эп всриленлэрпн-дон муэлдон мз"нада коевлмез асьлылыры да исбат олунур.

EASIMOVA S/u:il<A IiAIiIi.'JUJ

THE IUVERSii PHOBLKMS TOrt THE PBEUDOPARABOIiIC LIQUATIONS

ABSTRACT

The protlomn of the determination of cocfficicr.tc or right pert of the differential equation by come eddi tiorc-1 information it in accepted to call inver.in problem«.

The present Jh.D.Theris is dedicated for the InventLc'i-tion of the inverse problem- for peeudopp.rabolic equptionH. It conoista of introduction and two chapters.

In the first chapter the whole classical solvability for the nonlinear one-dimenntonal inverse initial-boundary value problem for the linear pceuiloparabo.Lic equutionc wac investigated. At tlrat, with the help of ¡jenemlizcd contraction mappings principle the existence and uniquenear theorem for the solution of the nonlinear integral equntion for unknown coefficient was proved and after that the continuous depe idence theorem for the solution of this nonlinear Integral equation pon the data of the problem was proved. Further more, by norae amplification of conditiono of proved theoreian the theorems of the whole existence, . uniqueaaon and continuous dependence (in definite uence) of the classical oolution of considered problem upon pome of its data ware proved ao well.

In the cecosd chapter nonlinear one-dimensional Inverae initial-boundary value problem for the Bemilinear poeudo-parabolic equation vmo considered. By using contraction mappings prinoiple the theorem of existence and uniqueness of claBsict'l solution has been proved here, ar.d the continuous dependence (in definite serice) of classical oolution upon the datn considered problem won Investigated too.

lilloty