Общие свойства плоских типологичных отображений с ограниченными интегральными характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6

од

АКАДЕМÍH НАУК УКРАЙМ 1ИС1ИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопиоу

ГОЛЬЕЕРГ Анатолий Леонхдовдч

ЗАГАЛЬН! ВЛАСТИВОСТ! ШЮСШ ТОПОЛОЙЧНИХ В1ДОБРА1ЕНЬ 3 ОВШЕНИМИ йПЕГРАШШМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Oi.OI.OI - математичний. анал!в

АВТОРЕФЕРАТ дисертацг! на здобуття вченого ступени кандидата $i эико-математичних наук

Khïb 1993

Робота виконана у Кримському 1нститутх природоохоронного курортного буд!вництва.

Науковий Hepi вник - доктор фхзико-мятематичних наук КУДЫШ1Н B.C.

Офпцйнг опоненти - доктор $1зико-математичних наук ГУТЛЯНСЬКИЙ В.Я.

каедедат фгэико-матемагичнюс наук. БАХТ1Н O.K.

Пров1дн« установа - Льв1вський университет

Захисх вгдбудеться 199 ¿р. 0 &__год.

на зас1дагоп спвщал1зовано1 ради Д 016.50.01 при 1нститут1 на тематики АН Укра!ни еа адресов: 252601 Кн!в, ГШ, вул. Тере-"rHKiBClKa, 3.

3 дисер*гац1ею можна ознайомитися у б1блхотецх институту. Автореферат роэ^лано " 199 Зр.

Учений секретар сиецтал^зовано* ради

ГУOAK Д.В.

ЗАШЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дцтуальн!сть теми» Поняття кваз!кон?ориного в!добрааення було взеденв Г.Грьочеи у 1928 роц!. Згодоы у середин! тридця-тех рок!в квез1конфорине в!добршшшя 8"явилось у роботах М»А* Лаврентьева, ЛДльфорса, О.^Гейхыюллера. Тоор1я плоских кваз!-кон^оринях в!добрааень становить вааливу чаотвду теорП ¿ункцН коыплексно! : .. зи!нно1 1 ыаа числена! застосуваь::л у задачах ивхан!ки й иатеыатики, Досить повний виклад ц!етеор!У полна виайти в роботах Л.Алы;орпа, л.П.Бел!нсысого, Л.1.Волкозиоького, ОЛехто Й К^,В!ртанона, С.Л.Круткаля.

В1дтак, послаблшчи уыову квпз!кон£ориност!, тобто потре-бувчи обыеяеност! характеристики в деякоиу 1нтегральноыу сенс!, вид!лявться клади в1добразсень, кваз!кон£орыних у середньоиу, 1 в!добраиення а обиеяаниыи 1нтегралеш Д!р1хле.

Класи в!добраяеаь, кваз!кон^орыних у середньоыу, розгля-далися в роботах П,П.Бел!нського, 1.Н.Пес1на, Г Л.Суворова, В. I.Гавр плова, В.иКругликова, В.С.Кудьяв1на, П.А.Б!лути, В.1. Пайкова та ^агатьох !нших автор!в. бдиний ызтод досл!дке1Шя даних клвд1в в!добр8яень1 вд груктуаться на зи!нах зшготей конденсатор 1в, аапропонований В.1 .Круглигавим.

В1дображеннп з обиежениии !нтегралаыи Д!р!хле досл!дку-валися переважно ГЛ .Суворовиы та його учняци, а танок £ран-цуэьким ыатеыатикои Леллон-Ферран.

Такиы чиной,становить !итерес побудова клао!в плоских в!-дображень, як! природно об"вднують ! доповнюють розгллдуван! класи в!добраяень, а такоа роэробка адиного геоке^ичного методу досл!джень властивостей введених клао!в. Методика вивчення цих клшз!в в!дпов!даа 1деХ, эелропонован1й Д.б.Менъшовш, але аа б!льи загальних припущеяь, оок!льки не потребуатьсп уиова регулпрност! норыальних сиотец окол!в.

Пета роботи. Головка пета дисертецН полягг: в розробц! геоыетричних иетод!в доол!дявння властивостей клас1в плоских тополог!чних в!добрежейЬ, залежиих в!д д!йсних параиетр1в, ! в ваотооуванн! цих иетод!в до розв"ябання екстреыальних задач.

Методика д^агЛду, груитувтьея на вагальних иетодах гею-иетрично! теорН функц!Й, тзор!ях <х -еыностей кондансато-р1в, р -тдул1в с!ией крвдх. Заотосовано таяоз ыетод зас-нованиг. на сп?ц!а.'[ьн!(1 зм1я} рад}ус!» нориальних оистец окал!в

- 2 -

для ровглядуваних клас!в.

Цаукова новцзнд. В робот1 побудован1 клаои плоских в1доб-ракень а обыеженши !нтегральними характер по тикеш и, залежними в!д д!йсних парешетр!в, За конкретних значень пораиетр1в ми отримуаыо класи кваз!кон$.ор11них, квазНзокетричних в1дображень, в1дображень, кваз!кон4>ориних в середньоиу, в!А-браяень 8 об-иеаениыи !нтегралаыи Д1р!хлв. Побудовано геоиетричиий метод досл!дкеннй введения клею1в в1добрал0нь. Одержано критер!й . налезсноет1 гоиеомор£18ы!в класу квазИзометричних в!добраяень^ Розв"пзан! иов1 екстреыельн! задач! в!добраяеиь плоских круго-вих к!лець.

Црактична ! теоретична ц!эд!ст$. Одеркан! результата мо-йуть бути лкорисхаа! в оуы!жних галузях геометрично! теорН 5>ункц!й.

Апробаи1я ррботи. Результата роботи допов!дались на науко-во-досл!дних оеы!нарах в!дд!лу комплексного анал1зу 1 теорН потзнц!алу / кер!вник - професор П.М.Тшразол/ 11) АН УкраТни, в1дд!л!в теорН функц1й/ кер!вник - В.1 ,Б1лий/ та р!внпнь у ■ чацдиних пох1дних / кер!вник - В.Я.Гутлянський/ 1ПШ АН УкраТни мДоизцька; у воесо»зя!й школ! а теор1У потенц!алу /Коц1-вел!, 1991/1 у л!тн1й матеиатичн!й школ1'Иомплексний анол1811 УЫивэлаХвка, 1992/} на нерад1-сеи1нер1 а коиплексного анал1зу / Алушта, 1989/} на наукових оеи1варах С1ы$еропольського ун1-вероитету.

Пчбл1кац1Т. Основн! результата' диоертадИ опубл1 кован 1 в роботах £I -9 3.

Структура та обову дисер^шП. Дисертац1п складавться а! вступу, попередн!х в!домостей, позначень I теры!нологП, трьох глав, розбитих на 10 параграф!в, 1 и1сгить 123 стор!нки машинописного тексту. Список я1тератури нал1чу« 69 найиенуваяь.

ЭД1СТ РОБОТИ

У вотуп! обгрунтована ахтуальн{сть-теми дисертещЯ, дано огляд найб1льв близьких до ц!в¥ тени £еэупьтат1в, коротко вик-ладеяо змГст дисортац!!, а танэж перераховелI основн 1 результати, як} винослться на вахист.

У попередн!х в!домоотях, познаяеннях 1 терм1нолог1Т вво-дяться традиции! для теорН функций йизначення, позначення, наведен! дэяк! зпял! в!докост! з геонетр'ЯноТ теорП фуикц!й. ■

- 3 -

У пврш1й глаз! "Геоыатричн! та вын1сн! характерно тики та. пов"пван1 з ними класи плоских в1дображень" вводятьоя клаои плоских типолог!чних в!добраш1ь, залехних в!д дШних параметра. Мета дано! глави - опис геоцетричного та зин!сного иэ-тод!в доол!джения влаотивостей розглядувалих клас!в.

У § I вводиться клаои в!добракень, побудоввн1 на спец!аль-ноыу закон! вгаЛру рад!ус!в нориальних систем око: з.

Нехай х.~ дов!льна точка в К" '. Припуетшо, що ДЛ1 всякого Ье(Оу{] визначено деяки'« заикнений ок!л Ч^сх.) точки х0 Скахеыо, що ыножина окол!в [ ЧМэг.), (0,1]| утворюа нор-мальну систему, пкцо 1снуа неперорвна функц!я и : тала, що и(хо)г0,и"(х)>0 при : * Но , Ч^(х.Ь{тсе К : ! мнонина ¡"¡ОсЛ^хеК'^х^!:} а ыекеп при конноиу Ъв (0,41. Функц!я л/ назгаеатьоя пород»уючою функц1ак> нормально! систеыи

Ввожааыо

Нехай 4- *- С, —»С * - гоыеошрф!зц, х.е С , С*» $ (С),

чГ(ХоЛ> 1пЛ | |(хУ-|(х0)|, su.pl

Означения 1.1,1. Будемо говорит», що гоиеоыорфне в1-добрвженая С —С належить клаоу Иы.р. ( • якцо для деяких д!йсних чисел р, (Ноир><оо) !оаують об-иеяена субадигивна Функц1я Ф^ р, , задана на в!дкритих п!дцноиинах облаот1 6 , 1 нормальна система окол!в {ЧМ3^ сС так!, ца для вс!х осей шткоиуатьоя неп!1 1сть

г(хл)

йе Фа.р (х")- пох1дна субадитивно* функц!Т Фс,,р,.

Сп!вв1дношення м!х класеыи На^С^ в валежност! в!д эначень параметр^ о^,^ назодяться в наступному тверджени!.

Теорема 1.1.1. Нехай - гоиеоиорф1зм*

I. Для будь-яких Ф1кси .;аних таких, що 1 * 6<

?., Для ЙуДЬ-ЯКИХ ф!кСОВЙЯИХ <>(.,£, Ь таких, 40 < 4о<< & < <

Означения IЛ,2. Будеш говорити,цо гомеоморфне в!доб-рекення наложить до клаоу Htl6(G.), якцо для

деяких д}йоних чисел ( и^би») iснзвиь обложена

субадцтивна функц!я Ф^.ь , задана на в1дкритих п1дмно*№-вах облает! G , 1 нормальна система окол1в {^JtWjc Q ïfijtl, цо для sclx а с G виконуатьоя нер1вн1сть

/ : v2ítü> ¿X

Дв Ф^.ьСх)- пох!дна субадитивиоТ i'jHKatl Ф8,б .

Лнсиюг1чно теорвч! I.I.I, доол1дяу«тьоя питания про вкла-^дення kjibcíb Н^ьСС^ аа параметрами 8,5.

Означения 1.1,3« Toiumrinite в!добрахення ^iC^G* назвемо в1добреженням класуH (G) , пкщо в1дображення наложить перетяну клая!в i Hj,e(C^ . При цьому припус-

каемся в{доыии, про як1 параметра ( {'<?(< р <

1деться,

Деяк! s ввёдених клае!в за певни* значень параметр!в oí , р, ^Jf. fe Сули ДОСИТЬ добре BOTieiíf. 8окреиа,при 1 ící,y<2 , = a клао H(QV розглядавоя В.С.Кудьявшим., а при oí«pft»S=2 - Д.В.Меныиовим таП.ПЛ>в-Шйським.

У § 2 доол!джувтьоя аагальн! ялаотивост! вводених клао}в в f добрая ень, Наведемо Ix лише для в!добрахень клаоу

Теорема 1,2,1. Нехай j : G, — G* наложить клаоу Hrt,p(G). Тод1 f налепить класу jlCL(G^ .

Теорема 1.2.2. Нехай V С С* наложить кладу 1í d<f>¿ й. Для x,xeG , Óc* Зс. вважатимемо

Тод! ДЛЯ П.В. OCCG 1 для всяко! в!дкрк-

то! мнояини fíCQ

J ^(хуАхою,

де v- JL.. »

Теорема 1.2.8. Нехай наложить клаоу

Тод!

а 1е-(*.*>/

дв Фа,^ -субадитивна функц!я инонини а визначення 1.1.1.

Аналог!чн1 твердження в!дносно в!добралень кл-оу N5,6(0) наводятьоя в теореиах 1.2Л, 1-2.5, 1.2.9.

У § 3 вводиться класи го»еоыорфних в1добраясень, в!дпов!д-н1 деякии спец1альнш законам зы!ни аыноотей конденсатор 1в. . Означения 1.3.1. Будеио говорити, що гомеоыорф1зи : належить кладу , Дв (

якщо !снув обменена оубадитивна функц!я

Я5«.*, задана на в!д-критих п1дшокшах облаят! С, така.що длябудь-якого нэнден-сатора (Е,£>) , цо Авшю в С, Е*={(Е), Э*® ■{■(*) , виконувться нер!вн1сть

сор; (£,»).

Теореча 1,3,1. Нехай 4 • ^С.* - гоиеоыорф!зи.

1. Для будь-яких ф!ксованих Б,таких, цо <*<

2. Для будь-яких £,1ксовалих Ь таких, що 4 <*> ,

Означения 1.3.2. Будемо говорити, цо гоиеоморф1эу ^ '.' наложить класу (Ц^ , де

якцо 1спуа обмежена субадитивна фуикц!я Ф ^.Ь- ,-'8адана на в1д!фитих п!динояинах област1 С , тока, що для будь-якого конденсатора (Е,®^, цо лежите в С , виконубться чер!вн!оть ■ ■ ' ■

ССф* (Е < Ф;Л2»ССф6* );

Аналог!чло ^теорем! 1,3.1. досл1дчуатьоя питания про вкладами клас!в М^ЦС. в валекноот! в'д значень параыетр1в 5,6

Очпачення 1.3.3. Тополог!чн»? в! до браке ни я (-;С-»"ГЧ* наавв?» 8!добршЕвннга|' кладу №(£) , пгао ва~

лететь пчрг.тяиу 1 к'\,ь > ' ? Пр*

цьоыу вавжди припуокаатьея в!дошш, про як! пераыетри 1двться.

Депк1 18 введение клас!в (^(С) досить добре вивчен!, 8оч)выа,при и 2 , р» 6= 2 «и отримуаыо класи в1-добраяень, кваэ1кон4ориних в середньоиу, розглянут! в роботах В.I.Круглимова, В.С.Кудьяв1на та 1ниих автора.

У § 4 дано У глеши вивчаютьсп властивост! в1добра»ень кла-с!в Ка^Сй), 4(0. Ьа аналог1ею В 3 2 наведено

основн! твердяення лише для в!добреяень клао!в

Теорема 1.4.1. Нетай | : Сналожить класу Тод1 £ налекить клаоу ЯСЦС).

Теореиа 1.4 ,2. Нехай^ { : С -'»С,* напенить класу к«,

Для х, хС 0 , ФИ вважатииеыо

П 1-1-1.1

Тс ,1 для п.в, хсС -Ь('Х)<оо 1 для вояко! в!д-крито! «нояини Лс/С

с

ле р= ^^ ,

Теореаа 1.4.4. Яехай Ц —» С налвкить класу <2. Тод!

де

- субадитивна функц!я инояини 8 визначення 1.3,1. .

У теореиах 1,4,5, 1.4.6, !.'(.8 наведаться аналогии! теории для в1дображень клаоу № (С} .

У друг!в глсв! "Воображения. & обниентщ »нтегральниии хпппктчристикаии. Геометрией та ямн 1си1 матоди Тх ло<гл1дкеипя"

розглндштоя клали плоских гоыеочорйних а1дображень в перииии узагальнентт пох!дниии, с умов алии и в ступен! р. Головна ые-та дало! глави поляга* в доведевн! екв1валентност1 геоиетрич-нях, вмн1сних визначень ровглядуваних клас!в.

Нехай 5; G G* - гомеомор$ио в1добра*ения обиежених облаотей G,G* простору R* . Для вЦобраденяя ^ , яке was п.в, в G частннн! noxfxai 7>ii/*eocj , L, j 1,2, визначимо наотупя! величини (&>, l)\

ЗЫ-t)

\ та'-

при цьоыу ввежаячи Nui^AKNti^A) pibhumh нвок!нчвн-ноот!, явдо а ¿(хД)*0.

Якщо £ та J"' невиродвено диференц!йовая1 в точках X I ТО NjxfrbCmJ')! NU^il-'ШчЛ-

Означения 2.1 Л. Гоыеоморфне в!добраяеная f:G-»G* наявеыо вЦ Зракенняы класу (f>< 00) ,яю$о

i 1 ^ a ACL- в1добрахенняыи, аевиродасено диференц1йов&-ниии п.в. у ccoix областях визначення. i при цьсау ■ -r ¿L

Nu.M)*\bCTx.{)dx<*o.

G

Величину Njtp(i) будеыо нааивати /\/-оередньоо характер котиков в!добрахення -f .

Означения 2.1.2. Гоыеоыорфне воображения f : G~*G* назвеыо в1добраяенням класу Т^ь(О (-fift^ х3) , ящо ■f i в АСЬ-в1дображенняия, невироджено ди).еренц1йова-нини п.в. у csolx облаотпх визначепня, i при цьоыу '

Величину Nбудем? назквати А/'-сервдньой харак-териетикоо в!добраяеинп f .

Заувеяояня 2 Л Л, 8 овиачень 2.ХЛ та 2.1.2 вкпливоа, до ,

Означения 2.1.3. Гонеоморфне в1добреЖення $:&-»С* наавеыо в!добрявенням кладу T(G), якцо в!добреяення { наложить перетину клас!в Tá,^(G), V\,ó(GV . При дьоиу вввжди припуокавться в!домим, про яв1 параметра йдетьоя. Клао T(G\ будеио називати такоя класои в!добракень в обмеяенгош N -!нтегральниыи характеристиками.

Дал!, в теоремех2.1Л - 2 Л .3 та ленах 2 Л Л -2.1.2 досл!дж^ютьсн питания вкладення клас1в в!добрвкень Td.^íG), T'k.íAGY у залеяност! в!д пефаыетр!в

1 вивчшоться ди$еренц1альн1 властивост1 в!добрааень цих кла-о1в.

Наступив твердаення показув, «о teopeua 1.2.8 мае обер-

нену.

Teopeua 2 Л Л. Якцо 14ot¿ р> < 2, то вояке гоыеоморфне в!добраяеняя класу Т^.к (QV наложить клаеу

Аналог!чна пропоаиц!я наводитьоя отосовно клао!в в!доб-ре:гонь Ч\,6 (G1), (G) , тим самим встановлено геоырт-ричний ритер!Й . валежност! гоыеоморф!зм!в до клас1в в!доб-раяень s обмеяеними N -!нтегральяиыи хедактеристиками.

Teopeua2Л.7. Пехай {'G^G* -гомеоморфам 1 деяк! nooilflHÍ ( U ot с р 4 е , f ¿ у < S < 2). Наступи! унови екв!вал0нтн1:

l\ 1снуоть обменен! субадитивн! функц!! Ф та Ф , задай! на в!дкритих п1дннояшах облаот! G , 1 нормальна система окол!в ^ {^(xl^cQ, так!, цо для во!х xcG вико-

нуютьоя нер1вност!

аИ*«) р.*

eTZ R*(X,t) / gte.tlY*

те ttxtey \ -rajv ^ íx)-

2 (ум) 5-y

ra (та)-. '

Д9 пох!дн! субадитивних функц1й Ф ! Ф* в!д-

пов!дно;

- 9 -

2) $ та $ в КЬ-э1дображвннями, невироджеио дяференц!-йованиии п.в. у своТх областях визначення, 1 при цьоыу к!яцев^ 1нтеграля • '

й а

3)' £ в в!добраденнпы класу \А/{_ ^(С),

*

воображенный класу \Л/£.,(«ЛС,*)

1 прицьоыу к!нцев! !нтегралй з уиови 2.

Уиова I теореии 2.1.7 иохе бути прийнята аа геометр ичн1, а уиови 2} 1 ^ за алал!тичн! визначення класу в!добрахень э об-иеженими Л/-1нтегральниыи характеристиками.

У § 2 дано! глави вводяться наступи! класи в!дображень. Иехай 0-*й*-нввиродхено ди$еренц!йованв п.в. у облас-т! й . , тод! визначиыо наступи! величини (А * о<):

: Означення 2,2.1. Гоиеоыор4не в!добрахення $ '• й - С* назвеыо в!добраасенняы класу 6«,^ (С) , якщо

$ та ^в ЛС1-в1 дображенняыи, невироджено дя|еренц1йовеь-ншп переваяно вспди /п.в./ у овоТх областях визначення, 1 при цьоиу

с

Величину будемо називати М-Сфвдньов характе-

ристика!» в!добраяення ^ .

Означення 2.2.2. Гомеоморфнв в!добрахеняя | : (я-»С* наввено в1добраяенням класу В*,б(С.) ( 60) ,якдо

| та в ЛС1-в1добрахеннями, невиродхено диферевцШова-ними п.в. у сво'1'х областях визначення, ! при цьому

К^Ь £ М'Д^Ыт

< ©о »

■ 'О * —■»»' "

£

Величину будеио називати М -серэдньов характе-

рно т топ в!добралення | .

Означенав 2.2.3, Гомеоморфе воображения f 5 G-*G* наввемо воображениям класу 6>(С,1, якщо воображения 4 належи» nepetray KWttsUb^íG^ta bj,bCG,1 . При цьому завжди припускавться в!домим, про як! параыатри d, £>,5,6 Оеться. Клаа ЬЙ^будемо таюж називати кладом плоских в!- -добраяень в обмеженимн М-1нтегральниии характеристиками.

Властивост! в!дображень клас1в. доел!джувться в теоремах 2.2.1 - 2.2.,. .

Теорема 2.2 .6. Якцо гомеоморфами {•• G - С,* та f': G*-*G в ICL-bfдображенняии, невиродкено дифвренц! йова-ними п.в. у cboíx областях ¿изначеиня, то при иожних о(.,р (Koí<f>í2* для будь-якого шиденсатора (Е,й), що лежить в G , справедлива н ер íbh !сть

capí(е>*Ц5 мr^hdxj cap;(E,al Ve '

Тим самим встановлено, що теорема 1.4.4 маз обернену. Оск!льки аналог!чне твердження наводиться I в!дносно вОображень кладу B^aCGl, то отриыуамо такии чином вин!сний крк-тер!И явленное т! гоиеоиор41зи!в до к лас i в в f добран ень 8 обмехениии М-!нтегральними характеристиками.

Теорема 2.2.9. Нехай f: Q-'G* -гомеоморф!ам 1

- дояк! nooTtiiui ( ^ 6 АИ).

Наступи! умови екв1валеитн!1

f ' 6 ЯС1»-в1дображвпнями, невиродаено ди&ерен-ц!йовшшш п.в. у cboíx областях визначеинями,! при цьому к)нцев! !нтеграли ' -

G С,

о воображениям клаоу

5*' в вОобршвнняы класу f при цьому к1нцев! !нтеграли, як t в умов! 1{ .

3) IcnyDT* обмеиеп! оубадитивя! функцН Ф ! Ф*? ведан! на вОкритих п1дмнокинах обдаст! G , так!, вд для будь-якого конденсатора (£,?)) , що лежип в G, виконуоться 1,ер1вноот1

со*? ^МЬ Ф^^^ссфЦе',^).

Уыови 1),2) теорешг 2.2.9 мояна прийняти за анал1тичн1, а умову зын1сне визиачення класу плоских в!добраяень а об-меиенгаш М -1нтегральнши характеристиками.

У § 3 друго? главк розглпдаються в1добраяення класу ВЦ.

0ск1льки при Ы-, ^>=8 = 2. класи в1добраяень ' Н(&), Т(&К Ы^) сп!впадають м!ж собою 1 в

гомеоморф!зцаыи класу в!добраяень з обмезенюш 1 ¡негрпламя Д1р1хлв, можна навести наступний критер!й > яалеяност! в!доб-ражень до цього класу.

Теорема 2.3.1. Яехш1 4 • С - О* - гомеоморф1зм. Наступи! умови екв!валентн!:

1) 4 1 Г"' *з Л СI -в 1 до брая енн ям и, невироджено дй$еренц1йованйыи п.в. у своТх областях визначення, 1 при цьоыу к1>щев! 1нтеграли

с а

2) ? е в!добраяенняи класу ВЦй), £ в в!добраиенням класу

3) 1 сну гать обмежен1 оубадитивн1 функцП Ф 1 Ф* , ведай! на в1дкритих п1дмножннах облает! С , ! нормальна система окол!в так!» цо для вс!х виконуються нерп чост!

де Ф'(*>,Ф"(х> _ пох!дн1 оубадитивних 4уннц!й в!дпов!д-КО|

4) !снують обыежен! субадитивн1 функцН Ф ! Ф* , задан! иа в!дкритих п!дынокинах облает! G , так!, що для будь-якого конденсатора що лекить в G , виконуються

нер!вноот!

сор,1 ( £\5&' ) 4 ф( aicafj Е,^ , сор,1 ( t i ф*(5Лсарги\Я?).

Уиова 3) теореыи 2.3.1 ыоае вважатись геоыетричниы визна-ченняы класу гоыеошр$!зы!в а обыежениыи !нтеграланиД!р!хле.

У трет!)! глав! "~аяк! узагалышшя i заотосування моду-льних та emiicimx tie^is" продовжувтьсп визчення властивостей введених клас1в в!дображень.

В § I дано новий 1фитер!й лалежност1 гоыеоыорф!зи!в до класу квазНзоиетричних в!добрш1сень.

Теореыа 3.I.I. Нехай f>,5 -ф!ксован! числа, 1< 8 < , 6at2 , { : С, -*Gi* - лшеоиорфне в!добраа'ення обыегкених областей у R1 . Наступи! уыови екв!валентн! s

I-) f - квазНзоуетричне в!добракення ; 2) для будь—якоÏ в1дкрито! инокини Л с: G та будь-якого конденсатора (Е,й), що леяитв в Л , виконуються нбр!в1Юот!

coup? ( Е.\ »") ( mbf coupр ( Е, S),

W8, кл^Гсорби",^,

де noctltol.

В §2 дано! глави розглпдаютъея серсдн! в!дзтле;шп

ш

екв!валентних областей S ! S)

(Ж d** U \rt

да точка верхня грешь береться по вс!х с!м"ях едивих Г', цо лвявть в S , для яки* И(Г) i М{&(П,\

M (Г*) не оберталться в пуль чи неск1нченн1оть одночаоно. Д1 в!дхилення сп1впадшоть з 1нтегральнкми характер»тиками в1добреаень, кваз!конформних в (о^-середаьому. Такоа вводиться до ровгляду величини

I, (л,«»), üvf , ùti о,m,

f - *

називая! внутр!шн!|| d - оередн1м та зовн!шн1н ^ ß -оередн1м кое$1ц1вятом кваз! конформно с т1 пари областей Д

I $г.

В § 3 знаяэдимо розвпязання наступно! эадач1. У клас! в!добраяень, кваз1конформних у середньому, плос,.дзс нругових к1лець знайти екстремальн! в!дображення, чо надавта м!н!мум величинам Т«(4) I О^Ш.

Нехай iQb>=.(i6lR,:0<t«.<|iUl}, 2)р0= {цеШ1: 1фугов1 к!льця, О < j>0 4 I» < i ¿B тага му раз í

a e ко трепальне вЦобрахення мае вигляд ! в!дпов1дне flovy екстреаальяв воображения

8ааначимо, цо

In.—

tim {¿m. ,

ol-too 1

tociio коеа1ц1ен?у квав!кон4орь».оот1 плоских кругов их к1лець.

0CHQBH1 НОШЕНИЯ ДИЗЕРТАЦ1! 0ПУБЛ1К0ВАН1 В Н'ЛТУПНИХ РОБОТАХ :

1« Гольберг A.I. Некоторые акстремальныа задачи плоских отображений, квазиконформных в средней.- Симферополь: ОФ.ДИСИ, 1989.- 7 с.-Рукопись деп. в УкрНШНТИ, к 2061 Ук-89 Два.

2. Гольберг А.й. 00 одной вкстрехальной вадаче плоских отображений, квазиконформных в средней // Материалы респ. совещания-семинара по комплексному анализу, Алушта, 27 сент, - k окт. 1989 г. - Киев: ИМ АН Украина, I989.-C.I5.

3. Гольберг АЛ., Кудьявин B.C. Дифференциальные свойства одного класса плоских топологических отображений,-Симферополь: СФ ДИСИ, 1989.- 6 о .-Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, й 2138 Ук-89 Деп.

4. Гольберг A J. Экстремальные отображения плоских колец в

р -иодули // Вопрооы анализа и приближений: Сб.науч.тр.-Киев: ИМ АН Украины, 1990.-С.25-29.

5. Гольберг А.Х. Геометрические свойства плоских топологических отображений о ограниченными интегральными характеристиками.- Симферополь: КЙПКС, I99I.-I9 о .-Рукопись деп. в УкрШШИ» «1218 УК-91 Деп.

6. Гольберг A.S. 0 ;ооиго«ениш некоторых классов плоских гомеоморфивмов Ц Материалы I Всесоюзной школы по теории

потенциала, К ац ив ели, 26 ганя - 3 июля 1991 г. - Киев: ИВ АН Украины, 1991.-С.9.

7. Гольберг АЛ., Кудьявин B.C. Средние ковффицйенты квази-кои^орынооти пары областей // Укр.иат.журн.- 1991.-43, fcI2.-C.I709-I7I2.

8. Гольберг А.Л. О некоторых классах клооких топологических отображений о первыии обобценными проивводвши Ц Упр. кат.яурн,- 1992,- » 8.- СЛИ-Шб,

9. Гольберг А.1;, Кудьявия B.C. Об одной якстремальнон отображении плоских колец // Комплексный он ал ив я теория потенциала: Сб.науч.тр,- Киев: ИМ АЯ Украины, 1992.-

С .2 3-26.

Шдп. до друку 14.06.93. Формат 60x84/16. liantр друк. Офс. друк. Ум. друк. арк, 1,16. Ум. фарбо-вхдб. 1,16. Обл.-вид. арк. 0,0. Тирак ICO ср. 8ам. 235. Безкоагговно.

В|дцруковаяо в 1нститут1 математики АН УкраКни 252601 Ки!в 4, ГСП, вул. Терещенкгвська, 3