Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.911

КИНЗЕБУЛАТОВ ДАМИР МАРАТОВИЧ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Дерр Василий Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Сесекин Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Родионов Виталий Иванович

Ведущая организация: Пермский государственный университет

Защита состоится с » сята^-л^уту 2006 г. в 1400 на заседании диссертационного совета К zl2.275.04 в ГОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1 (корп. 4), ауд. 222. Е-таИ: tmi@uni.udm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан « 7.5* »

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Актуальность темы. Интерес к обыкновенным дифференциальным уравнениям с обобщенными функциями возник на рубеже 50-60-х годов двадцатого века, и был обусловлен необходимостью исследования ряда задач теории оптимального управления, а также задач моделирования технических, биологических, экономических систем, для которых характерно наличие импульсного воздействия, вызывающего изменения состояния системы, протекающие значительно быстрее, чем собственные динамические процессы.

В разное время (и в разной степени) свое внимание к проблеме уделили Я. Курцвейль, H.H. Красовский, А.Д. Мьпнкис и A.M. Самой-ленко, А. Халанай, Д. Векслер, Р.В. Ришел, Ф. Аткинсон, А.Ю. Левин, А.Ф. Филиппов, С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин, В.Я. Дерр, Ю.В. Орлов, Б.М. Миллер, Ж.-Ф. Коломбо, В.А. Дыхта, Я.В. Радыно, A.B. Анто-невич, Ю.В. Егоров и многие и многие другие (см. например 2, 3, 4, Интерес к этой тематике не иссякает до настоящего времени (см. 5, 6, 7).

Во многих из упомянутых работ в классическом пространстве V обобщенных функций с непрерывными основными функциями8 рассматривается дифференциальное уравнение вида

правая часть которого афинна относительно обобщенной функции V; к уравнению вида (1) сводится линейное дифференциальное уравнение

^.W. Rishel, An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Optim. and Contr., 3, 1965, p. 191-205

2А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, Системы с толчками в заданные моменты времени // Матем. сб., 74, 1967, с. 202-208

3А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, 1985, 224 с.

4 С.Т. Завалищин, Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения, 26, 1990, с. 1316-1323

5G.N. Silva, R.B. Vinter, Necessary optimality conditions for optimal impulsive control problem // SIAM J. Optim. and Contr., 35, 1997, p. 1829-1846

6A.H. Сесекин, О нелинейных дифференциальных уравнениях в классах функций ограниченной вариации // Дифференц. уравнения, 25, 1989, с. 1925-1932

7Б.М. Миллер, Метод разрывной замены времени в задачах управления импульсными и дискретно-непрерывными системами // Автом. и телемех., 54, 1993, с.3-32

8Г.Е. Шилов,: Математический анализ. Второй специальный курс, Изд-во МГУ, 1984, 208 с.

х = f(t,x) +g(t, x)v,

(1)

х = Vx,

(2)

где V — обобщенная функция.

В 3 отмечается, что решение начальных задач для уравнений (1) и (2) естественно предполагать разрывным. Как следствие, в общем случае в правой части уравнений (1) и (2) возникает произведение разрывной функции и обобщенной функции, которое не определено в пространстве Т>'. Это приводит к тому, что уравнения (1) и (2), рассматриваемые в Х>', не имеют решения в смысле теории обобщенных функций.

Существует несколько подходов к формализации дифференциальных уравнений (1) и (2) : подход 9, основанный на переходе к интегральному уравнению с интегралом Лебега-Стилтьеса или Перрона-Стилтьеса, подход 10, предполагающий замену дельта-функций на члены дельтаобразных последовательностей, и другие 11, 12, 13.

Многие определения понятия решения уравнений (1) и (2) порождают определение произведения функции Хэвисайда вт и дельта-функции 8Т € V вида

вт8т = aST, (3)

где а 6 Е фиксировано 9, 12, 13. Легко видеть, что определение (3) не согласовано со свойствами пространства Т>'. В частности, операция (3) не является непрерывной: заменой дельта-функций на члены дельтаобразных последовательностей в (3), можно получить любое значение а; если а ф 0, а ф 1, то операция (3) оказывается неассоциативной.

В результате запись уравнений (1) и (2) остается некорректной с точки зрения теории пространства V, а существование разных решений одной и той же начальной задачи для уравнения (1) ((2)), если решение понимается в смысле работ разных авторов, не позволяет говорить о единой теории дифференциального уравнения (1) (соответственно, (2)).

В связи со сказанным представляется актуальным построение таких пространств обобщенных функций, в которых постановка начальных и

9S.G. Pandit, S.G. Deo, Differential Equations Involving Impulses. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1982, 102 p.

10J. Kurzweil , Generalized ordinary differential equations // Chezhosl. Math. Journal, 8, 1958, p. 360-388

11 A.N. Sesekin, S.T. Zavalishin, Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications, Kluwer Acad. Publ., 1997, 256 p.

12C.O.R. Sarrico, Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation // J. Math. Anal. Appl., 281, 2003, p. 641-656

13J.F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and physics. Lecture Notes in Mathematics 1532, Springer, 1992, 183 p.

краевых задач для уравнений (1) и (2) была бы корректной.

Цель работы. Основной целью работы является построение вышеупомянутых пространств обобщенных функций и исследование начальных задач для дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Кроме того, в работе изучаются условия, при которых замкнутое множество является положительно инвариантным относительно уравнения (1), исследуется вопрос о равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесия дифференциального уравнения (1).

Научная новизна. Построены пространства обобщенных функций, в которых, в отличие от классического пространства £>', определена непрерывная операция умножения обобщенных функций на разрывные функции. Показано, что рассмотрение обыкновенного дифференциального уравнения с обобщенными функциями вида (1) в построенных пространствах обобщенных функций позволяет сделать запись уравнения корректной с точки зрения теории обобщенных функций, а также объеденить в рамках одного подхода некоторые известные определения понятия решения. Получены достаточные условия положительной инвариантности замкнутого множества относительно системы вида (1). Найдены достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесия системы (1).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Результаты работы могут быть в дальнейшем применены к изучению инвариантных множеств дифференциальных уравнений с обобщенными функциями, а также при исследовании задач импульсного оптимального управления.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2004 — 2006 годы), на семинаре Topology and Non-Commutative Geometry Seminar, University of Calgary (Calgary, 2005), на XXVI-й конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ (Москва, 2004), на всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения-2005" (Казань, 2005), на международной научной конференции 'Тармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование" (Тамбов, 2005), на конференции "Математическая теория управления и математическое моделирование"(Ижевск, 2006), на конференции "Third

Annual Young Researchers Conference in Mathematical and Statistical Sciences "(Edmonton, 2006), на конференции "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двеннадцати работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вспомогательных определений, десяти параграфов и библиографического списка. Применяется двойная нумерация формул и утверждений. Объем диссертации 129 страниц. Библиографический список содержит 116 наименований.

Краткое содержание работы

Далее нумерация утверждений совпадает с нумерацией утверждений в тексте диссертации.

Во введении перечисляются некоторые недостатки подхода к рассмотрению дифференциальных уравнений с обобщенными функциями вида (1) в пространстве V обобщенных функций с непрерывными основными функциями, и кратко излагается содержание работы.

Вспомогательные определения, которые используются в работе.

1. Пусть Rn (RnXm) обозначает пространство векторов размерности п (пространство матриц размерности пхш, соответственно) над полем К, наделенное max-нормой | • |. Обозначим через (,) : Rn xf1 (->• R -скалярное произведение вМ", (•,...,-):ln х •••хМ" ь>1п - покомпонентное произведение векторов в Rn.

2. / = (a,b) С R - открытый интервал, J = (— |).

3. Обозначим через G = G(I) алгебру функций д : I R, облада-дающих односторонними пределами <?(£+), g(t—) в каждой точке t замыкания cl J. Будем отождествлять элементы алгебры G, обладающие одинаковыми односторонними пределами. Алгебра G наделена нормой

IMIg = sup max{|p(£+)|, Ь(£-)|}, t£l

относительно которой G является полной (элементы алгебры G называются правильными функциями). Обозначим через Т(д) = {£ € I : g(t+) ф g(t—)} множество точек разрыва правильной функции д 6 G.

Лемма 0.1. Множество Т(д) (д е С) не более чем счетно.

Пусть С С © - алгебра ограниченных непрерывных функций.

Обозначим Со = <&. Пусть = Схт (/) - алгебра функций д : I и-» Е таких, что д^ € ©о, где производная порядка 0 ^ к ^ т предполагается определенной всюду, за исключением некоторого не более чем счетного множества. В алгебре <йт вводится норма

относительно которой алгебра <&т является полной.

Пусть ВУ С © - алгебра функций д : / н> Е таких, что

вир №(*»+) ~ 9(и~ 1-)| < оо, Л ых

где а = С I, ¿о < < * • • < tk ~ произвольное разбиение ин-

тервала / (элементы алгебры ВУ назовем функциями ограниченной вариации). Введем обозначение СБУ с ВУ для алгебры непрерывных функций ограниченной вариации.

Обозначим АС = АС (I) иЬ = ]Ь(/) алгебры абсолютно-непрерывных и суммируемых функций, соответственно14. Стандартно определим алгебры СЗюс и ВУ]ос локально-правильных функций и функций локально ограниченной вариации, соответственно.

Пусть С\ СВУП, ВУ£С, АСП, Ьп и - пространства вектор-

нозначных и матричнозначных функций, соответственно.

Пусть К = ¥(1) - алгебра отображений I.

Обозначим через Т>т пространство ш раз непрерывно дифференцируемых основных функций, Т>'т — пространство обобщенных функций с основными функциями из Т)т.

В первом параграфе вводится в рассмотрение пространство обобщенных функций И'т = 7Z'm{I). Элементами Ц.'т являются линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве основных функций 7£т, состоящем из функций (р € Ст> имеющих компактный носитель Бирр(<р) С /, и наделенном топологией, относительно которой 7Zm локально-выпукло, Т>т С 1Zm.

14Н.Данфорд, Дж.Швард, Линейные операторы: общая теория, УРСС, 2004, 895 с.

Теорема 1.1. Если / € ТУт, то существует линейное непрерывное продолжение / с Т>т на 71т ■

В пространстве определены правая и левая дельта-функции с помощью равенств

где г б /, ф € Пт, при этом в общем случае рассматривается дельта-функция = а<£+ + (1 —ос)5~, где а € К. Таким образом, в пространстве И!т определено семейство дельта-функций, каждая из которых является продолжением классической дельта-функции 5Г € Т>'т с Т)т на Т^щ-В пространстве 71'т определено произведение в общем случае разрывной функции д € От1ос и обобщенной функции / € с помощью равенства (д/,<р) = (/,д<р), где <р е 11т, дч> € при этом операция умножения в пространстве 71'т является коммутативной и ассоциативной. Показано, что если д — вТ, где

(единичная функция, разрывная в t = г), и / = то 0Т6% = aS+.

Теорема 1.3. Если fk~+fe fc'm> 9k ^ 9 eGm, mo gkfk gf e Wm.

В пространстве 7Vm производная / € H'm обобщенной функции / € 1Z'm определяется как линейное непрерывное продолжение обобщенной функции (/|z>m)" € V'm с Vm на Tim, так что операция дифференцирования в TZ'm оказывается многозначной. Производные высшего порядка определяются индуктивно. В частности, производные дельта-функций выглядят так:

где 0 I тп, т & I, (р £ 7£т. В настоящей работе показано, что в И!т нет других продолжений дельта-функции и ее производных с Т>т на 7£т, сосредоточенных в одной точке, кроме указанных в диссертации.

Обозначим И = Но, И' = Пусть Лп> - пространство вектор-нозначных обобщенных функций 72. —> Мп.

(6+ ,<р) = (р(т+), (8Т , ф) = <р(т-),

t > г, t <т

Во втором параграфе в пространстве 7Zn' рассматривается начальная задача

где ТС1' — пространство векторнозначных обобщенных функций, в котором соответствующие операции определяются покомпонентно, (¿о>яо) € И, И С 1хШп — непустое открытое множество, функция / : I? »-)• К." удовлетворяет условиям Каратеодори и локально-липшицева по ж, функция <7:1) Н- ЕпХп, д € обобщенная функция ь € 7£п/ определяется как производная функции и € ВУ|^С в пространстве 7£п/,

где Uc € ч_ЖV п — непрерывная часть и £ 16V п, функция а € С" определяет вид производной. Решением начальной задачи (4) на интервале ÍI С. I,to называется функция ж 6 BV1"C(Í)) такая, что (t,x(t)) & D для всех t € fi, удовлетворяется начальное условие в (4) и найдется производная ж Е TZn'(Cl) такая, что жиж обращают уравнение в (4) в равенство в пространстве 7Zn'(fl).

Напомним, что операции дифференцирования, композиции, умножения, возникающие при подстановке ж в дифференциальное уравнение в (4), корректно определены в пространстве обобщенных функций 1Zn>, т.е. запись уравнения в (4) является корректной с точки зрения теории обобщенных функций.

Теорема 2.1. Пусть х € BV£,c(fi) - решение задачи (4). Тогда ж удовлетворяет уравнению

где £ е Обратно, если функция ж 6 ВУ{^С(П) удовлетворяет уравнению (5), то х - решение задачи (4).

Следствие 2.1. Если ж € ВУ£С(Г2) - решение задачи (4), то

ж = /(í, ж) + g(t)v, x(t0~) = х0,

(4)

v = uc+ Y,

ni

т €T(u)

производная х € 71п'(П), возникающая в определении решения, имеет вид

х = хс + (р(т+)(Ми),а(т))г+ +9{т-){<тг(и),1-а{т))6т

Доказывается теорема существования и единственности решения начальной задачи (4), а также теорема о непрерывной зависимости решения задачи (4) от первообразной и.

Третий параграф посвящен построению пространства обобщен-

на которое переносятся понятия абсолютной величины, носителя, точных граней, односторонних пределов, точки непрерывности и точки разрыва, вводятся алгебры динамических функций сПЬ, ¿¿О, я©, йВУ, «¿<Саос, вВ¥1ОС. Определены непрерывные гомоморфизмы алгебр

ЛиЬ, сЯСн+О, вВУы-ВУ, ¿Сю«. {чос, вВУ1ОС (-> В¥1ос,

образ динамической функции под действием гомоморфизма называется обычной частью динамической функции

Пространство динамических основных функций Т состоит из динамических функций <р £ сЮ, имеющих компактный носитель вирр (<,£>) С 7, наделенном топологией, относительно которой Т локально-выпукло и Т>, 7£ — подпространства Т.

Элементами пространства обобщенных функций Т' являются линейные непрерывные функционалы, заданные на Т.

Теорема 3.2. Если / е 72.', то существует линейное непрерывное продолжение f с 72. на Т.

В пространстве Т' определена дельта-функция с помощью равенства

где г € /, <р € Т, а € Ц.7) удовлетворяет условию = 1 (функ-

ция а называется формой дельта-функции). В пространстве 7"*' определено произведение динамической функции д € (Ю\ос (в общем случае

т€Т(х)

(6)

разрывной) и обобщенной функции / G Т' с помощью равенства

(д/,Ч>) =

где <р £ Т, дер € 7". В частности, если g = 0% (динамический "аналог" единичной функции, разрывной в г), / = и fj (3(s)a(s)ds ф 0, то

где 7(») = 0(-)а(-)/ fjP(s)a(s)ds - форма дельта-функции б^. В настоящей работе показано, что операция умножения в пространстве Т' является коммутативной и ассоциативной.

Теорема 3.3. Если fk-*fe Т', дн g в dG, то дк/к -> 9Î в Т'.

В пространстве Т' определена операция дифференцирования элементов sBVioc, так что в Т' справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения.

Обозначим через 7~п' пространство векторнозначных обобщенных функций Т Мп.

В четвертом параграфе в пространстве Тп1 рассматривается начальная задача

х = /(i, х) + g(t, x)v, x(t0~) = x0, (7)

где Tn' - пространство векторнозначных обобщенных функций, в котором соответствующие операции определяются покомпонентно, (ta,xo) G D, D С / х Еп - непустое открытое множество, функция / : D Мп удовлетворяет условиям Каратеодори по (t, ж) в D и локально липшице-ва по х для п.в. £; функция g : DxJ Rnxn, д(-, х) G dGJ^n для всех х, динамические значения g(t, •)(•) удовлетворяют условиям Каратеодори по (s,x) для всех t G /, обычная часть д(-, •) удовлетворяет условиям Каратеодори по (t,x) в D, g(t, -)(s) локально липшицева по х для всех t, s G J (в частном случае g может быть непрерывна по t и локально-липшицева по ж), выполнено |5(¿,a:)(s)| ^ к(1 + |я|) для всех (t,x) G D, s G J, где к > 0; обобщенная функция v = ù G Tn', где и G sBV^ такова, что at(ul) ф 0 для всех t G Т(и), 1 ^ i ^ п (и = (и*)?=1), т.е.

v = ûc + (8) т€Т(и)

(последнее предположение не является существенным, см. восьмой параграф). Решением начальной задачи (7) на О С /, ¿о € называется динамическая функция х € зВУ,"с(Г&) такая, что (£, ж(£)(з)) £ £) для всех t € П, в € J, удовлетворяющая начальному условию в (7) и обращающая уравнение в (7) в равенство в пространстве Тп'(П).

Отметим, что операции дифференцирования, композиции, умножения, возникающие при подстановке х в дифференциальное уравнение (7) в пространстве обобщенных функций 7~п/, корректно определены. Обычным решением начальной задачи (7) на П называется обычная часть х е ВУ£С(П), где х е вВУ£с(П) - решение задачи (7).

Теорема 4.1. Пусть х € вИУ£с(П) - решение задачи (7), ж 6 ВУ£С(Ю) - обычное решение задачи (7). Тогда ж удовлетворяет уравнению

ж(£)=ж0 + I /(г, х{г))(1г + I д(г,х(г))с1ис(г)+

+ £Ы1/2-) _ х(т-)) - £ Ы1/2-) - £(т-)), (9)

т<* т<* О

где Т(и) = {т}, динамическое значение ж(т)(-) = 7Г(-) и, соответственно, величина скачка аТ (ж) = ат (х) могут быть найдены решением задачи

7т(в) = д{т,ут(з))(з)(ат(и),ат(з)), 7г(_1/2+) = ж(т-) (10)

где д(т,х)(•) - динамическое значение д, х(т+) = ж(г+) = 7г(1/2—). Обратно, если х е вВУ^с(П) удовлетворяет (9),(10), то х - решение задачи (7).

Доказывается теорема существования и единственности решения начальной задачи (7), а также теорема о непрерывной зависимости решения задачи (7) от первообразной и.

Пусть д непрерывна по (£, х) € И и имеет непрерывные частные производные по х в И. Тогда выполнение равенства

ЛЛ(*,г) = 0,

для всех (£, х) 6 Б, 1 ^ /, ш ^ п, где д1 — 1-ый столбец д, [•, -]х — скобка Ли по переменной ж, является необходимым и достаточным условием

независимости обычного решения х задачи (7) от выбора форм дельта-функций ат.

В пространстве Тп' рассматривается начальная задача для однородной линейной системы, доказывается аналог формулы Лиувилля. Показано, что, в отличие от самого обычного решения, его определитель не зависит от выбора форм дельта-функций в коэффициентах.

В пятом параграфе приводятся достаточные условия положительной инвариантности замкнутого множества М С И, заданного с помощью ограничений

М = {(*,у) : тц{Ъу) ^ 0, 1 < « ^ ш}, (11)

где функции т){ : £> н-> М предполагаются непрерывно дифференцируемыми (1 ^ г ^ тп) и такими, что для каждого £ € / сечение Мг = {у : (£, у) € М} ф 0. Множество М называется положительно инвариантным относительно системы (7), если для любого решения х такого, что для некоторого ¿о € I я(£о—) € А/*0, выполнено ж(£)(я) 6 для всех £ ^ £о> в € 3. Важным для определения свойства положительной инвариантности оказывается то, что интегральные кривые решений системы (7) с обобщенными функциями из Тп' образуют связные множества. Обозначим Ху(£) = {г: т/»(£,у) = 0}.

Рассмотрим в Тп' систему вида (7),

оо

х = /(£,ж) + <?(£,*)«, ь = ю + Х>*,С> € Г", (12)

к=1

где функция ю : I и- Еп непрерывна, ск € Мп, 5% е Тп', ак € С1 (3), функция / непрерывна по (£, х).

Пусть {£с}сес. - семейство непрерывных функций таких, что £с(£) € дМъ для каждого £ € I и для произвольно заданных £ € /, у € дМг найдется с € С такое, что £с(£) = у (где С - множество индексов).

Пусть ~ семейство функций ~фя^,у) е ЬУ{Ь) (£ € I, у €

9М*) таких, что для произвольно заданных £ € /, у € дМь имеет место равенство {фч(Ь, у) :?£(?} = £у(£) и для каждого с £ С существует не более чем счетное семейство открытых интервалов {/2}, Д С /, на каждом из которых функция фя(', £с(')) постоянна, которое покрывает / всюду, за исключением, может быть, не более чем счетного множества точек (где — некоторое множество индексов).

Теорема 5.3. Пусть Vyrji(t,y)) € R1+n линейно-независимы

для каждого t € J, у € dMt (i € Ly(t)) . Если выполнены неравенства

ЫЬШ) + (VyVi(t,Ut))J(t>Ut))+9{t,Sc(t))v) ^ О

в T'(R) для всех с €Е С и q € Q, где R С I - произвольный интервал постоянства функции ipq(*,€c(')) = wio множество М является положительно инвариантным относительно системы (12).

Следствие 5.2. Пусть Vyr}i{y) G Мп (г € Ly = {г : ^¿(у) = 0}) линейно-независимы для каждого у € дМ С К.". ü/Vvm выполнено

(VyVi(t,у), f(t,у) + g(t,y)v) <$0 (г €

в Г' для всех у € 5М, то М является положительно инвариантным относительно системы (12).

В шестом параграфе приводятся приложение теоремы 5.3 к исследованию равномерной и асимптотической устойчивости по начальным данным (при t —» -Ьоо) решений дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Пусть / = (а, оо).

Решение хт 6 sBV£,c системы (7) называется устойчивым по начальным данным, если для каждых е > 0 и ¿о € / найдется 8 > 0 такое, что из выполнения |ж*(<о—) — )| < 8 следует, что решение х системы в (7) существует в sBV£c и ||х* - ar||eG«(Í0>oo) < е.

Решение х» € sBV[^c системы в (7) называется равномерно устойчивым по начальным данным, если значение 8 > 0 в определении устойчивости может быть выбрано не зависящим от to € I.

Решение хт G sBV[^c системы в (7) называется асимптотически устойчивым по начальным данным, если ж* устойчиво по начальным данным и для каждого t0 € I найдется <5 > 0 такое, что из выполнения ¡ar* (¿o—) — x(¿o—)| < 8 следует, что решение х системы в (7) существует в sBVjoc и Цат* - rcl|sGn (t>00) -»• 0 при t -ч оо.

Рассмотрим в пространстве Т™' систему вида (12),

х = f(x) + g(x)v, (13)

где V G Тп\ Решение, тождественно равное постоянной, назовем положением равновесия системы (13), и будем в дальнейшем отождествлять с этой постоянной.

Теорема 6.1. Для того, чтобы положение равновесия х* € К.п системы (13) было равномерно устойчиво по начальным данным, достаточно чтобы выполнялось неравенство

(У - х*, f(y) + 9(y)v) <0 в V для всех у таких, что \у — х*\2 = 1 /к (к € N).

Пусть С = {с € М.п : |с|2 = 1} - единичная сфера. Определим fc(t) = e£tc + х* где t G Т.

Теорема 6.2. Для того, чтобы положение равновесия х+ € Мп системы (13) было асимптотически устойчиво по начальным данным, достаточно чтобы выполнялось неравенство

е(Ш ~ , Ш - хт) + (Ш ~ /(*, Ш) + 9(t, ШП ^ 0 в Т' для некоторого е > 0 для всех с е С.

В седьмом параграфе приводится постановка импульсной задачи удержания решения в замкнутом множестве М С Еп. Приводится пример, показывающий, что для некоторых управляемых систем с односторонними фазовыми ограничениями и интегральными ограничениями на управление, управление, удерживающее решение в М в течение максимально долгого времени, может не существовать в классе обычных управлений, но существовать в классе обобщенных управлений.

В восьмом параграфе рассматриваются системы с обобщенными функциями из Т' общего вида. В пространстве Т' определены носитель обобщенной функции и интеграл от обобщенной функции по открытому ограниченному интервалу (см. подробные определения в тексте диссертации). В общем случае, дельта-функцией, сосредоточенной в точке т, называется обобщенная функция 8Т € Т' такая, что

supp(Jr) = {т} и I STdt = 1, J(c,d)

где г € (c,d) С I. В этом смысле определение дельта-функции в Т', данное выше, является неполным: помимо дельта-функций (6) в пространстве Т' определены дельта-функции вида

(6?, <р) = Mr+) + (1 - РМт-), (14)

где /? £ К. В частном случае рассматриваются правая и левая дельта-функции (S+, ср) = <р(т+), (S~,ip) = (р(т—). В более общем случае рассматриваются дельта-функции S? £ Т' вида

Ц = + (15)

где v £ R, 7 = (и, a) £ R х R х Ц J).

Для динамической функции / 6 <¿Gioc и точки т £ I определено

°7(f) = /(r)(-l/2+) - /(г-), *+(/) = /(r+) - /(r)( 1/2-).

Рассматривается алгебра динамических функций cflBVioc С dQoc (sBVioc С dBVioc), в пространстве Т' вводится операция дифференцирования элементов dBVioc в Т7, при этом в общем случае в производную элемента dBVioc в виде слагаемых входят дельта-функции вида (15).

Пусть D С I х R™ — непустое открытое множество. В пространстве Тп' рассматривается начальная задача

х = /(£, х) + g(t, x)v, x(t0—) = xq (16)

где (íoi^o) € D, функция / : D —> Rn удовлетворяет условиям Кара-теодори по (¿, х) в D и локально липшицева по х для п.в. t, функция д : D х J -4 Rn, д(-,х) £ сМЗ£,с для всех х, динамические значения <?(£, •)(•) удовлетворяют условиям Каратеодори по (s, ж) для всех t £ I, обычная часть <?(•, •) удовлетворяет условиям Каратеодори по (£, х) в D, g(t, -)(s) локально липшицева по х для всех í, s £ J (в частном случае д может быть непрерывна по t и локально-липшицева по ж), имеет место оценка |p(¿,x)(s)| ^ к(1 + |х|) для всех (t,x) £ D, s £ J, где к > О, обобщенная функция v = й £ Тп>, где первообразная и £ dBVj"c.

Решение и обычное решение начальной задачи (16) определяются аналогично тому, как это было сделано для начальной задачи (7).

Теорема 8.1. Пусть х £ dBV£c(fl) - решение задачи (16), х £ BVj"c(í7) - обычное решение задачи (16). Тогда х - решение уравнения

x(t) - х0 + í f(r,x(r))dr + í g(r,x(r))düc(r) + ^<хт(£) - ^ <?т(х),

Jt0 Jt0 T<t T<t0

где т Е Т(и); в точках т £ Т(и) решение х терпит разрыв, динамическое значение х(т)(*) = £г(0 соответственно, величина скачка сгТ(х) = сгг(ж) могут быть найдены из системы уравнений

' аг(т)(-1/2+) = х(г-) +д(г-,®(г-))а-(и)>

< irW=p(r>er(e))W(ti(T)(e))'f £т(—1/2+) = ж(т)(—1/2+), (18)

ж(г+) = х(т)(1/2-) +p(r+,®(r+))(T+(u)>

где s G J, ж(т)(1/2-) = £т(1/2-), х(т+) = х(т+), х(т-) = х(т-). Обратно, если х 6 cffiV£c(fi) удовлетворяет (17),(18), то х - решение задачи (16).

В настоящей работе доказывается теорема существования решения начальной задачи (16).

Пусть v допускает представление в виде v = w + ]Ст€Г(и)(ст' где w 6 CBVn, Cr € Rn, дельта-функция определяется согласно (15), 7т = (vT,ßT,a.T) G Е" х Iя xLn(J) (в частном случае v совпадает с (8)). Тогда (18) сводится к

' х(т)(-1/2+) = х(т~) + д(т-,х(т-)) (er, vTi i-ßT), « ir(s)=g{r^T(s))(s)(cT,t-uT,aT(s)), £т(-1/2+) = *(т)(-1/2+), k z(r+) = x(r)(l/2-) +p(r+,x(r+))(cT,i/T,^T>,

(19)

где s e J, ж(т)(1/2—) = £T(l/2—). В случае, если i/r=0(r6 T(u)), то (19) сводится к (10). Если i/r = i (г G T(u)), из (19) следует выполнение

аг(т+) =x(r-)+p(r+,a:(r+))(cr,^T>+y(r-,a:(r-))(cT,t-/?r), (20)

для всех г € Т(и). В диссертации выделяется два типа предельного перехода, которые могут приводить к дифференциальным уравнениям с обобщенными функциями. Из (10) следует, что дельта-функции вида (6) реализуют предельный переход; из (20) следует, что дельта-функции вида (14) реализуют второй предельных переход. В этом смысле рассмотрение дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в пространстве Т7 позволяет объеденить разные определения понятия решения дифференциального уравнения с обобщенными функциями 3.

В девятом параграфе полученные результаты применяются к исследованию популяционной модели Бевертона-Холта 15

i = -x(pi + ii2x) + (pxipf-1 - 1) + V = Srk> (21)

Tfe=fcü>

где к G N, u> > 0, fii, ¿i2 > 0, p > 0, q G R, 7 > 1. Система (21) описывает динамику популяций некоторых видов рыб. Значение x(t) интерпретируется как размер популяции в момент времени t (подробнее о содержательной интерпретации модели (21) см. текст диссертации).

В диссертации приводятся достаточные условия существования периодического решения, двух периодических решений, решения, отвечающего вымиранию популяции за конечное время.

Десятый параграф содержит обзор некоторых из существующих подходов к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Результаты, полученные в диссертации, сравниваются с результатами других авторов.

Публикации по теме диссертации

1. Д-М. Кинзебулатов Задача минимизации величины скачка решения в априорно неизвестыне моменты времени // Тезисы XXVI-й конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ. Москва. 2004. С. 61

2. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов Обобщенные функции с разрывными основными функциями и линейные дифференциальные уравнения // Вестник Удмуртского университета. Серия Математика. Ижевск. 2005. JYU. С. 35-58

3. В. Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов Обобщенные функции, допускающие умножение на разрывные функции // Материалы IV всероссийской молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения-2005", Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. 31. 2005. С. 56-58

15R.J.H. Beverton, S.J. Holt, The theory of fishing, in Sea Fisheries; Their Investigation in the United Kingdom, M. Graham, ed. // Edward Arnold, London, p. 372-441

4. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов Пространство обобщенных функций, допускающих умножение на разрывные функции // Тезисы докладов международной научной конференции "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование". Тамбов. 2005. С. 7-10

5. В. Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов Альфа-интеграл типа Стилтьеса // Вестник Удмуртского университета. Серия Математика. Ижевск. 2006. Ж. С. 41-63

6. Е. Braverman, D. Kinzebulatov On linear peturbrations of the Ricker model // Mathematical Biosicences. 2006. 202. P. 223-239

7. D. Kinzebulatov On one-sided Dirac measures // Abstracts of the Third Annual Young Researchers Conference in Mathematical and Statistical Sciences. Edmonton. 2006. P. 4

8. V. Derr, D. Kinzebulatov Distributions with dynamic test functions and multiplication by discontinuous functions // Preprint. arXiv:math.CA/0603351. 2006

9. V. Derr, D. Kinzebulatov On extension of Schwartz distributions to the space of discontinuous test functions / / Preprint. arXiv:math.FA/06061126. 2006

10. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в пространстве Т' / f Тезисы конференции "Теория управления и математическое моделирование", Известия института математики и информатики. Ижевск. 37. 2006. С. 29-31

11. Д.М. Кинзебулатов Свойство выживаемости для систем с обобщенными функциями // Тезисы конференции "Теория управления и математическое моделирование", Известия института математики и информатики. Ижевск. 37. 2006. С. 59-61

12. Д.М. Кинзебулатов К качественной теории импульсных систем // Вестник Ижевского государственного технического университета. Ижевск. 2006. №4. С. 49-52

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 17.11.2006. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ №1968 Типография ГОУВПО «Удмуртский государственный университет». 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

Обозначения 3Всномогательные определения

1. Пространство обобщенных функций TV

2. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями из %'

3. Пространство обобщенных функций Т'

4. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями из Т'

5. Достаточные условия положительной инвариантности

6. Достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости

7. Об импульсной задаче удержания решения в множестве

8. Дифференциальные уравенения с обобщенными функциями общего вида

9. Модель Бевертона-Холта

10. Сравнение с некоторыми из существующих подходов ИЗ

Во многих из упомянутых работ рассматривается дифференциальное уравнение(0.1) x = f{t,x) + g{t,x)vс линейным вхождением обобщенной функции v. Системы вида (0.1) возникают, например, в задачах оптимального управления с конусообразными фазовыми ограничениямина управление v [21, 33, 110]. Приведем пример одной такой задачи.Следующей особенностью подхода к рассмотрению дифференциальных уравнений собобщенными функциями в пространстве V (см. [21, 33, 101, 110, 115]) является неоднозначность в определении понятия решения, которая выражается в существованииразных решений одной и той же начальной задачи для системы (0.1), если решение (0.1)понимается в смысле разных работ [51, 104, ПО]. Указанная множественность отмечалась многими авторами (см. [51, 110]), и оказывается тесно связана с некорректностьюонерации умножения обобщенной функции на разрывную в пространстве V. В этойсвязи в [51, с.34] отмечается, что выбор того или иного определения понятия решениядолжен быть обусловлен тином нредельного перехода, который приводит к дифференциальному уравнению с обобщенными функциями. Приведем в иесколько более общейформе пример из [51, с.34].Отметим также, что в общем случае решение начальной задачи для системы (0.1) всмысле выполнения первого предельного перехода (см. пример 0.2) зависит от выборадельта-образного семейства {ае}е>о. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения семейства {ае}Е>о как части системы (0.1) (см. [21, 33, 110]), несмотря на то,что априорный выбор того или иного способа приближения дельта-функции 6г £ ^ 'не обусловлен никакими свойствами топологии пространства обобщенных функций V.Далее в пространстве TZ' рассматривается дифференциальное уравнение вида(0.8) x = f{t,x)+g{t)v,где V £TV (О системах с обобщенными функциями из V вида (0.8) см. [103]). Дифференциальное уравнение общего вида(0.9) x = f{t,x)+g{t,x)v,рассматривается в пространстве Т', т.е. v &Т'. Запись дифференциальных уравнений(0.8) и (0.9) оказывается корректной с точки зрения теории обобщенных функций.В отличие от пространства V, в пространствах 1Z' и Т' решение начальной задачи,понимаемое в смысле первого предельного перехода (см. пример 0.2), единственно.В настоящей работе показано, что в пространстве Т' содержатся дельта-функции,реализующие предельный переход как первого, так и второго типа (см. пример 0.2), чтопозволяет объеденить разные определепия понятия решения в рамках одного подхода,основанном на пространстве обобщенных функций Т'.Пространство обобщенных функций Т' оказалось удобным для определения и изучения свойства инвариантности замкнутного множества относительно системы с обобщенными функциями вида (0.9). В диссертации приводятся достаточные условия положительной инвариантности, обобщающие известные достаточные условия положительнойинвариантности относительно системы с обычной правой частью. Приводятся достаточные условия равномерной и асимптотической устойчивости положений равновесиясистем с обобщенными функциями.Изучение свойства ноложительной инвариантности отчасти мотивировано необходиостью рассмотрения обобщенных управлепий в задаче удержания решения в заданномзамкнутом множестве [50]. Именно, приводится пример, показывающий, что управление, удерживающее решение в заданном замкнутом множестве в течение наибольшегопромежутка времени, может не существовать в классе обычных управлений, но можетсуществовать в классе обобщенных управлений.9Некоторые результаты настоящей работы применяются для исследования одной модификации популяционной модели Бевертона-Холта.В первом параграфе вводится в рассмотрение пространство обобщенных функцийTZ'j^ = 'П'^{1), элементами которого являются линейные непрерывные функционалы,заданные на пространстве разрывных основных функций TZm. • Пространство TZ^ состоит из функций if е Gm, имеющих компактный носитель supp (у?) С / , и наделенотопологией, относительно которой TZm локально-выпукло и содержит Dm в качествеподпространства (см. используемые обозначения в списке обозначений, с. 3).Теорема 1.1 Пусть f G V^. Тогда существует линейное непрерывное продолж.ениеf с Т>т па Tim.Производные высшего порядка определяются индуктивно. В частности, производные10дельта-функций имеют видгде О ^ I ^ т, т Е I, (р Е TZm • В настоящей работе доказывается теорема об общемвиде обобщенной функции, сосредоточенной в точке, так что оказывается, что в 7?.'„^ нетдругих продолжений дельта-функции и ее производных с V^ на TZj^, сосредоточенныхв точке, кроме определенных выше.Пусть п С I - подинтервал, to € п. Решением начальной задачи (0.10) на п называется функция X Е BVfo(,(J7) такая, что выполнено включение {t,x{t)) € D длявсех t Е О,, X удовлетворяет начальному условию в (0.10) и существует производнаяX Е 72."'(О) такая, что х я х обращают уравнение в (0.10) в равенство в пространстве 1Z"''{U). Напомним, что операции дифференцирования, композиции, умножения,возникающие при подстановке х в дифференциальное уравнение в (0.10), корректноопределены в пространстве обобщенных функций 7<!."', т.е. занись уравнения в (0.10)является корректной с точки зрения теории обобщенных функций.Теорема 2.1 Пусть х Е BVJJ,(,(O) - решение задачи (0.10). Тогда х удовлетворяетуравнениюnt А(0.11) x{t) = xo+ f{r,x{r))dr+ g{r)duc{r)+Jto Jto11где t EQ.. Обратно, если х G BVJJ,j.(Q) удовлетворяет уравнению (0.11), то % -решение задачи (0.10).Следствие 2.1 Если х G BVU,(,(fi) - решение задачи (0.10), т,о производная х е, возникающая в определении решения, имеет видтет{х)Доказывается теорема существования и единственности решения начальной задачи(0.10), а также теорема о непрерывной зависимости решения задачи (0.10) от иервообразной и.Третий параграф посвяш;ен построению пространства обобш;енных функций Т ' . Дляэтого вводится вспомогательное понятие динамической функции, т.е. отображенияЗначение динамической функции / в точке t обозначается через /(t)(-). На элементы алгебры динамических функций вМ переносятся понятия абсолютной величины,носителя, точных граней, односторонних нрередлов, точки непрерывности и точки разрыва. Вводятся алгебры динамических функций cflL, sG С dG,Определены непрерывные гомоморфизмы алгебрdL 1-^- L, dG н-> G, s l V к^ BV, dGbc ^ Gioc, sBViобраз динамической функции под действием гомоморфизма называется обычной частью динамической функции (см. список обозначений; нодробные определения см. втретьем параграфе настоявшей работы).Пространство динамических основных функций Т состоит из динамических функций (/? G dG, имеюш;их компактный носитель supp((/7) с / , наделенном топологией,относительно которой Т локально-выпукло та V, 71 - подпространства Т .Элементами пространства обобп];енных функций Т' являются линейные непрерывные функционалы, заданные на Т .Теорема 3.2 Пусть f Е 1Z'. Тогда суи^ествует, линейное непрерывное продолжениеf с TZ на Т. В пространстве Т' определена операция дифференцирования элементов sBVioc, такчто Б Т' справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения.Доказывается теорема существования и единственности решения начальной задачи(0.13), а также теорема о непрерывной зависимости решения задачи (0.13) от первообразной и.14в пятом параграфе приводятся достаточные условия положительной инвариантностизамкнутого множества М С D, заданного с помощью ограничений(0.17) М = {{t,y) : r]i{t,y) е D < О, l^i^m},где функции T]i : D i-^ Ш. {1 ^ i ^ т) предполагаются непрерывно дифференцируемыми, относительно заданной системы с обобщенными функциями вида системы в (0.13).Именно, множество М называется положитально инвариантным относительно системыв (0.13), если для любого решения х такого, что для некоторого to Е I x{to—) G Mtg,где Mt - сечение М, выполнено включение x{t){s) G Mt для всех f^ to, s Е J.Важным для определения свойства ноложительной инвариантности оказывается то,что интегральные кривые решений системы в (0.13) с обобщенными функциями из Т"'образуют связные подмножества / х Е" .Пусть С - некоторое множество индексов, {^с}сес - семейство ненрерывных функций / Э t ь-> dMt таких, что для произвольно заданных t Е I, у Е dMt найдется с Е Стакое, что ^c(i) = у.Пусть Q - некоторое множество индексов, {i^qjqeQ семейство функций ijq{t,y) ЕLy{t) {t Е I, у Е dMt) таких, что для произвольно заданных t Е I, у Е dMt имеетместо равенствои для каждого с Е С существует не более чем счетное семейство открытых интервалов {R}, на каждом из которых функция il)q{-,Cc{-)) постоянна, которое покрывает /всюду, за исключением, может быть, не более чем счетного множества точек.Теорема 5.3 Пусть {'i]i{t,y),'4yi]i{t,y)) Е М-"-"*"" линейно-независимы для каждогоt Е I, у Е dMt {i ^ Ly{t)). Если выполнены, неравенствав T'{R) для всех с Е С и q Е Q, где R С I - произвольный интервал постоянствафункции i^q{-,^ci')) = Ь ™С1 мноснсество М является полооюительно инвариантнымотносительно системы (0.18).Г' 1 5Следствие 5.2 Пусть Vyr]i{y) е М" {г Е. Ly = {г : г]г{у) = 0}) линейно-независимыдля каждого у € дМ С М" . Если выполнены неравенства(V,77i(t,у), /(t,у) + 5f(t У)^ ') < О (Г 6 L,)в Т для всех у 6 дм, то М является полоокительно инвариантным относительносистемы (0.18).В шестом параграфе приводится приложение теоремы 5.3 к исследованию равномерной и асимптотической устойчивости решений системы (0.18). Пусть / = (а, оо).Рассмотрим в нространстве Т " ' систему вида (0.18),(0.19) x = f{x)+g{x)v,где V е Т" ' . Решение системы (0.19), тождественно равное постоянной, назовем положением равновесия, и будем отождествлять решение с этой постоянной.В седьмом параграфе настоящей работы нриводится ностановка импульсной задачиудержания решения в замкнутом множестве М С К". Приводится нример, показывающий, что для некоторых управляемых систем управление, удерживающее решение вмножестве М в течение максимально долгого времени, может не существовать в классеобычных управлений, но существовать в классе обобщенных управлений.Доказывается теорема существования решения начальной задачи (0.23).Десятый параграф содержит обзор некоторых из существующих подходов к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений с обобщенными функциями. Результаты, полученные в диссертации, сравниваются с результатами других авторов.19Результаты диссертации докладывались на конференциях:1. 26-я конференция молодых ученых Механико-математического факультета МГУ,Москва, апрель 2004,2. Всероссийская молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения 2005", Казань, октябрь 2005,3. Международная научная конференция "Гармонический анализ на однородных пространствах, представления групп Ли и квантование", Тамбов, апрель 2005,4. Математическая теория управления и математическое моделирование, Ижевск, январь 2006,5. The Third Annual Young Researchers Conference in Mathematical and SatatisticalSciences, Canada, Edmonton, April 2006,6. Теория управления и математическое моделирование, Ижевск, июль 2006,а также на семинарах:1. Ижевский городской семинар по дифференциальным уравнениям и теории управления, УдГУ, май 2004, май 2005, октябрь 2006,2. Topology and Non-Commutative Geometry Seminar, University of Calgary, Canada,October 2004.Диссертация состоит из списка обозначений, введения, вспомогательных определений, десяти параграфов и библиографического списка. Применяется двойная нумерация формул и утверждений, где нервое число - номер параграфа.Пусть / = (а, 6) С М - открытый интервал, в общем случае неограниченный.Обозначим через F = F(/) множество всевозможных отобрал<ений I h-^R. Назовемэлементы F(J) обычными функциями. Множество F образует алгебру (под терминомалгебра здесь и далее будем понимать коммутативную алгебру с единицей над полем Шотносительно поточечных операций).Можем определить фактор-алгебруG = G/J.Элементы фактор-алгебры G будем отождествлять с функциями, которые не имеютзначений в точках разрыва, а обладают только односторонними нределами. Заметим,что переход от алгебры G к алгебре G нозволяет упростить пространство обобщенныхфункций (см. ниже).Обозначим черезмножество точек разрыва функции д Е G.Лемма 0.1 ([79]). Мноокество точек разрыва Т{д) [д G G) не более чем счетно.21в дальнейшем обозначение g{t) используется в двух случаях 1) t е I \ Т{д), иg{t) - общее значение односторонних пределов g{t+), g{t-) 2) в дифференциальномуравнении или нод знаком интеграла чтобы подчеркнуть независимую переменную илипеременную интегрирования.В алгебре G определена норма [84](0.30) ||^||G = supmax{|p(t+)|,|(/(t-)|}.teiЛемма 0.2. Алгебра G банахова.Обозначим алгебру функций ограниченной вариации через BV = ШЧ{1), и введемнорму(0.33) | |^IU = b(a+)| + var;(5').Лемма 0.3 ([79]). Алгебра ЖЧ банахова.Обозначим через BVbc (CBVioc) алгебру функций локально ограниченной вариации,т.е. функций д таких, что для каждого ограниченного интервала п, cl(fi) С / ,д\а € В¥(П){д\п £ СШ¥{п), соответственно). Аналогично определим Gbc, ^тЬс^ AQoc и BVjoc.Лемма 0.4 ([16]). Если Ц -^ / в G, ди -^ д в MY, щ-^ а в С, то[аи) / fk{t)dg,{t) -> (а) / f{t)dg{t).Ju JuДля д е BVi" р, а е С", / € GJJ,^ " определим значение а-интеграла с использованием равенства (0.37), где ("/)(t) определяется согласно (0.36).

1. Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функцонально-дифференциальных уравнений, М.:Инст. комп. иссл., 2002, 384 с.

2. А.В. Анохин, О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР, 286, 1986, с.1037-1040

3. Я. Ацел, Ж. Домбр, Функциональные уравнения с несколькими переменными, Физматлит, 2003, 432 с.

4. В.Н. Баранов, Достаточные условия локальной выживаемости для систем с последействием // Дифференц. уравнения, 39, 2003, с. 858

5. В.Н. Баранов, Задачи выживания для систем с последействием // Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 28, 2003, с. 3-114

6. B.C. Владимиров, В.В. Жаринов, Уравнения математической физики. Физматлит, 2000, 400 с.

7. И. Гайшун, Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения, Минск: Наука и техника, 1983, 253 с.

8. В.И. Гурман, Принцип расширения в задачах управления, Наука, 1985, 288 с.

9. Н. Данфорд, Дж. Шварц, Линейные операторы: общая теория, УРСС, 2004, 895 с.

10. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, 1967, 472 с.

11. В.Я. Дерр, К определению понятия решения дифференциального уравнения с обобщенными функциями // Докл. АН СССР, 298, 1988, с. 269-272

12. В.Я. Дерр, О дифференциальных уравнениях с обобщенными функциями и С-интегральных уравнениях // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2000

13. В.Я. Дерр, К.И. Дизендорф, 0 дифференциальных уравнениях в С-обобщенных функциях // Изв. вузов. Матем., 40, 1996, с. 37-47

14. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Замечания о квазиравномерной сходимости // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2002, с. 96-102

15. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Обобщенные функции с разрывными основными функциями и линенйные дифференциальные уравнения // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2005, с. 35-58

16. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Альфа-интеграл типа Стилтьеса // Вестн. Удмуртского ун-та, 1, 2006, с. 41-63

17. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Об умножении обобщенных функций // Тезисы конференции "Математическая теория управления и математическое моделирование", Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 36, 2006, с. 43-48

18. В.Я. Дерр, Д.М. Кинзебулатов, Обыкновенные дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в пространстве Т' // Тезисы конференции "Теория управления и математическое моделирование", Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 37, 2006, с. 29-31

19. В.А. Дыхта, О.Н. Самсонюк, Оптимальное импульсное управление с приложениями, Физматлит, 2003, 255 с.

20. С.Т. Зав&лигцин, Специальные нелинейные уравнения в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения, 26,1990, с. 1316-1323

21. В.К. Иванов, Гиперраспределения и умножение распределений Шварца // Докл. АН СССР, 204, 1972, с. 1045-1049

22. К. Иосида, Функциональный анализ, Мир, 1967, 624 с.

23. JI.B. Канторович, Г.П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, 1975, 741 с.

24. Д.М. Кинзебулатов, К качественной теории импульсных систем // Вестн. Ижевского гос. техн. ун-та, 4, 2006 Л^-гг

25. Д.М. Кинзебулатов, Свойство выживаемости для систем с обобщенными функциями // Тезисы конференции "Теория управления и математическое моделирование", Изв. инст. матем. и информ., Ижевск, 37, 2006, с. 59-61

26. Д.М, Кинзебулатов, Задача минимизации величины скачка решения в априорно неизвестыне моменты времени // Тезисы 26-й конференции молодых ученых Механико-математического факультета МГУ, Москва, 2004, с. 61

27. А.И. Колмогоров и С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, 1981, 544 с.

28. Н.Н. Красовский, Теория управления движением: линейные системы, Наука, 1968, 475 с.

29. А.Ю. Левин, Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных уравнений // Вестн. Ярославского ун-та, 8,1974, с. 122-144

30. В.П. Максимов, A.H. Румянцев, Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Матем., 5,1993, с. 56-71

31. Б.М. Миллер, Метод разрывной замены времени в задачах управления импульсными и дискретно-непрерывными системами // Автоматика и телемеханика, 54, 1993, с. 3-32

32. Б.М. Миллер, Оптимизация динамических систем с обобщенными управлениями // Автоматика и телемеханика, 6, 1989, с. 23-24

33. Б.М. Миллер, Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управлениями I. Проблема существования решения. // Автоматика и телемеханика, 4, 1995, с. 62-76

34. Б.М. Миллер, Обобщенные решения в нелинейных задачах оптимизации с импульсными управлениями II. Представление решений с помощью дифференциальных уравнений с мерой. // Автоматика и телемеханика, 5, 1995, с. 56-70

35. В.Д. Мильман, А.Д. Мышкис, Об устойчивости движения при наличии толчков // Сибирский матем. журнал, 1, 1960, с. 233-237

36. А.Д. Мышкис, A.M. Самойленко, Системы с толчками в заданные моменты времени // Матем. сборник, 74, 1967, с. 202-208

37. Ю.В. Орлов, Виброкорректные дифференциальные уравнения с мерами // Матем. заметки, 38, 1985, с. 110-119

38. Ю.В. Орлов, Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями, Паука, 1988

39. В.И. Родионов Абстрактные дифференциальные уравнения в пространстве прерывистых функций // Изв. инст. матем. и информ. Ижевск, 25, 2002

40. В.И. Родионов Присоединенный интеграл Римана-Стилтьеса в алгебре прерывистых функций // Изв. инст. матем. и информ. Ижевск, 31, 2005, с. 3-78

41. A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк, Устойчивость решений дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения, 13, 1977, с. 1981-1992

42. A.M. Самойленко, Н.А. Перестюк, Об устойчивости решений системы с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения, 17, 1981, с. 1995-2001

43. А.Н. Сесекин, О нелинейных дифференциальных уравнениях в классах функций ограниченной вариации // Дифференц. уравнения, 25, 1989, с. 1925-1932

44. А.Н. Сесекин, Свойства множества достижимости динамической системы с импульсным управлением // Автоматика и телемеханика, 2, 1994, с. 52-59

45. А.Н. Сесекин, О связности множества разрывных решений нелинейной динамической системы с импульсным управлением // Изв. вузов. Матем., 11, 1996, с. 85-93

46. А.Н. Сесекин, О непрерывной зависимости от правых частей и устойчивости аппроксимируемых решений дифференциальных уравнений, содержащих произведения разрывных функций на обобщенные // Дифференц. уравнения, 11,1986, с. 2009-2011

47. А.Н. Сесекин, О множествах разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем., 6, 1994, с. 83-89

48. А.З. Фазылов, Достаточные условия оптимальности для задачи выживания // Прикл. Матем. Мех., 61, 1997, с. 535-537

49. А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, 1985, 224 с.

50. Г.М, Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегального исчисления. Лань, 1997, 800 с.

51. А.Г. Ченцов, К вопросу о компактификации пучка траекторий одной абстрактной управляемой системы // Изв. Вузов. Матем., 528, 2006, с. 55-65

52. Г.Е. Шилов, Математический анализ. Второй специальный курс, Изд-во МГУ, 1984, 208 с.

53. М. Ashorida, On systems of linear generalized ordinary differential and integral inequalities // Mem. Differential Equations Math. Phys., 10, 1997, p.122-124

54. M. Ashorida, On successive approximations for solving the Cauchy problem for a system of linear generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys., 10, 1997, p.lll-112

55. M. Ashorida, On a method of the solution of the multipoint boundary value problem for a system of generalized ordinary differential equations // Mem. Differential Equations Math. Phys., 5, 1995, p.119-111

56. J. Aubin, Viability Theory, Birkhauser, 1991, 326 p.

57. J.-P. Aubin, Viability kernels and capture basins of sets under differential inclusions, SIAM J. Optim and Contr., 40, 2001, p. 853-881

58. J. Aubin, A survey on viability problem // SIAM J. Optim and Contr., 28, 1990, p. 749-788

59. J. Aubin, A. Cellina, Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viablity Theory, Springer-Verlag, 1984, 388 p.

60. J. Aubin, H. Doss, Characterization of stochastic viability of any nonsmooth set involving its generalized contingent curvature // Stoc. Anal. AppL, 21, 2003, p. 955-981

61. J. Aubin, G. DaPrato, Stochastic Nagumo's viability theorem // Stoc. Anal. AppL, 13, 1995, p. 1-11

62. F. Bagarello, Multiplication of distributions in one dimension: possible approaches and applications to delta-function and its derivatives // J. Math. Anal. AppL, 196, 1995, p. 885-901

63. F. Bagarello, Multiplication of distributions in one dimension and first application to quantum field theory, // J. Math. Anal. AppL, 266, 2002, p. 298-320

64. H. Balasin, Geodesies for impulsive gravitational waves and the multiplication of distributions, // Class. Quantum Grav., 14, 1997, p. 455-462

65. R.J.H. Beverton, S.J. Holt, The theory of fishing, in Sea Fisheries; Their Investigation in the United Kingdom // M. Graham, ed., Edward Arnold, London, p. 372-441

66. F. Brauer, C. Castillo-Chavez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Springer-Verlag, 2001, 416 p.

67. E. Braverman, D. Kinzebulatov, On linear peturbrations of the Ricker model // Math. Biosci., 202, 2006, p. 223-239

68. E. Braverman, D. Kinzebulatov, Nicholson's blowflies equation with a distributed delay // Can. AppL Math. Q. (в печати).

69. J.-F. Colombeau, Elementary Introduction to New Generalized Functions", North-Holland Pbulishing Co, Amsterdam, 1985, 281 p.

70. J.F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and physics. Lecture Notes in Mathematics 1532, Springer, 1992, 183 p.

71. J.-F. Colombeau, A. Meril, Generalized functions and multiplication of distributions on smooth manifolds // J. Math. Anal. AppL, 186, 1994, p. 357-364

72. J.F. Colombeau, A. Heibig, Nonconservative products in bounded variation functions // SIAM J. Math. Anal., 23 1992 p. 941-949

73. J.F. Colombeau, A. Heibig, M. Oberguggenberger, Le probleme de Cauchy dans un espace de fonctions generalisees. I. // C. R. Acad. Sci. Paris, 317,1993, p. 851-855

74. J.F. Colombeau, A. Heibig, M. Oberguggenberger, Le probleme de Cauchy dans un espace de fonctions generalisees. II. // C. R, Acad. Sci. Paris, 319,1994, p. 1179-1183

75. J.F, Colombeau, A.Y. Le Roux, A. Noussair, B. Perrot, Microscopic profiles of shock waves and ambiguities in multiplication of distributions // SIAM J. Num. Anal., 26, 1989 p. 871-883,

76. R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics, New York, 1962, 560 p.

77. V.Ya. Derr, A generalization of Riemann-Stieltjes integral // Func.-DifE. Equ., 2002, p. 325-341

78. V. Derr, D. Kinzebulatov, Distributions with dynamic test functions and multiplication by discontinuous functions // Preprint, arXiv:math.CA/0603351, 2006

79. V. Derr, D. Kinzebulatov, On extension of Schwartz distributions to the space of discontinuous test functions // Preprint, arXiv:math.FA/06061126, 2006

80. J. Dieudonne, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960, 361 p.

81. R. Edie, On the optimal control of the Vidale-Wolde advertising model // Optim. Contr, Appl. Meth., 18,1997, p. 59-72

82. T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice Hall, 1969, 252 p.

83. G. Haddad, Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. Math., 31, 1981, p. 83-100

84. G. Haddad, Functional viability theorems for differential inclusions with memory // Ann. Inst. H.Poincare Anal. Non. Lm£aire, 1, 1984, p. 179-204

85. R. Hermann and M. Oberguggenberger, Ordinary differential equations and generalized functions // Nonlinear theory of generalized functions, Vienna, 1997, p. 85-98

86. D. Kinzebulatov, Systems with distributions and viability theorem // J. Math. Anal. Appl (в печати).

87. D. Kinzebulatov, On one-sided Dirac measures // Abstracts of the Third Annual Young Researchers Conference in Mathematical and Statistical Sciences, Edmonton, 2006, p. 4

88. I. Kmit, Multiplication of distributions and distributional solution for a hyperbolic problem arising in population dynamics, Preprint, arXiv:math.AP/0402002, 2004

89. V. Krivan, Perturbation of viability of problem // J. Math. Anal. Appl, 155, 2001, p. 131-139

90. P. Kurasov, Distributions theory with discontinuous test functions and differential operators with generalized coefficients //J. Math. Anal. Appl., 201, 1996, p. 297-323

91. P. Kurasov, J. Boman, Finite rank singular pertrubations and distributions with discontinuous test functions // Proc. Amer. Math. Soc., 126,1998, p. 1673-1683

92. J. Kurzweil, Generalized ordinary differential equations // Chezhosl. Math. Journal, 8,1958, p. 360-388

93. J. Kurzweil, Linear differential equations with distributions as coefficients // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math, 9,1959, p.557-560

94. B.M. Miller, The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control // SIAM J. Optim and Contr., 34, 1996, p. 1420-1440

95. M. Nagumo, Uber die Lage der Integralkurven gewohnliker Differentialgleichungen // Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 24 1942, p. 551-559

96. E. Ozcag, Defining the k'th powers of the Dirac-delta distribution for negative integers, // Appl. Math. Letters, 14, 2001, p. 419-423

97. S.G. Pandit, Systems described by differential equations containing impulses // Rev. roum. math, pures et appl., 26, 1981, c. 879-887

98. S.G. Pandit, S.G. Deo, Differential Equations Involving Impulses. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1982, 102 p.

99. M. Motta, F. Rampazzo, Dynamic programming for nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls // SIAM J. Optim. and Contr., 34,1996, p. 199-225

100. M.R.M. Rao, V.S.H. Rao, Stability of impulsively perturbed systems // Bull. Australian Math. Soc., 1977, 16, p. 99-110.

101. R.W. Rishel, An extended Pontryagin principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Optim. and Contr., 3, 1965, p. 191-205

102. A.M. Samoilenko, N.A. Perestyuk, Impulsive differental equations, World Sicientific, 1995, 462 p.

103. C.O.R. Sarrico, The linear Cauchy problem for a class of differential equations with distributional coefficients // Portugalie Math., 52, 1995, p. 379-390

104. C.O.R. Sarrico, Some distributional products with relativistic invariance // Portugalie Math., 51,1994, p. 283-290

105. C.O.R. Sarrico, Distributional products and global solutions for nonconservative inviscid Burgers equation // J. Math. Anal. Appl., 281, 2003, p. 641-656

106. G.N. Silva, R.B. Vinter, Necessary optimality conditions for optimal impulsive control problem // SIAM J. Optim. and Contr., 35, 1997, p. 1829-1846

107. L. Schwartz, Theorie des distributions I, II, Paris, 1950

108. A.N. Sesekin, S.T. Zavalishin, Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications, Kluwer Acad. Publ, 1997, 256 p.

109. M. Tvrdy, Linear bounded functionals on the space of regular regulated functions // Tatra Mountains Mathematical Publications, 8,1996, p. 203-210

110. M. Pelant, M. Tvrdy, Linear distributional differential equations in the space of regulated functions // Mathematica Bohemica, 118, 1993, p. 379-400

111. M. Tvrdy, On the continuous dependece on a parameter of solutions of initial value problems for linear generalized differential equations // Func.-Diff. Equ., 1997, p. 483-498

112. M. Tvrdy, Regulated functions and the Perron-Stieltjes integral // Casopis Pest. Mat., 114, 1989, p. 187-209

113. R.B. Vinter, F.M.F.L. Pereira, A maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Optim. and Contr., 26,1988, p. 205-229

114. J. Warga, Variational problems with unbounded controls // J. SIAM. Ser. A. Control, 3, 1965, p. 428-434