Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения

Елшин, Михаил Анатольевич

Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.08 ВАК РФ

Елшин, Михаил Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.08 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения»

Автореферат диссертации на тему "Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения"

На правах рукописи

Елшин Михаил Анатольевич

Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения.

Специальность 01.02.08 - «Биомеханика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□□3469149

Саратов-2009

003469149

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Гуляев Юрий Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Скрипаль Анатолий Владимирович

кандидат физико-математических наук, Шабрыкина Наталья Сергеевна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Московский государственный университет приборостроения и информатики»

Защита состоится « 16 » апреля 2009 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, к. 9, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Автореферат разослан « 11 » марта 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Ю.В. Шевцова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Статистика утверждает, что сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ) — это одна из основных причин инвалидности и преждевременной смерти жителей экономически развитых стран. На сегодняшний день доля ССЗ в структуре смертности является основной и составляет от сорока до шестидесяти процентов от общей смертности. При этом продолжается рост заболеваемости и поражение людей всё более молодого возраста, что делает сердечно-сосудистые заболевания важнейшей медико-социалыгой проблемой здравоохранения.

Сосудистые заболевания конечностей — лидирующая причина ампутаций у людей в возрасте 50 лет и старше, и занимает 90% всех ампутаций. Обычно лечение осложненных сосудистых заболеваний состоит в назначении антибиотиков, удалении инфицированных тканей, назначение сосудистых препаратов (например, антикоагулянтов), а оперативное лечение заключается в таких операциях, как ангиопластика, шунтирование, стентирование. Однако когда перечисленные мероприятия не могут помочь достичь требуемого результата, хирургу приходится прибегать к ампутации в качестве спасительной меры.

Заболевания артерий нижних конечностей, помимо болей при ходьбе нередко приводят к развитию критической ишемии и ампутации. Для лечения этих поражений применяется весь спектр сосудистых препаратов, но нередко приходится выполнять реконструктивные сосудистые операции, чтобы восстановить кровообращение в пораженной нижней конечности.

Реконструктивные операции выполняются достаточно часто в наше время, однако на данный момент не существует объективных показаний к применению того или иного типа материала шунта и выбора его геометрических параметров. Часто невозможно также объективно предсказать результат операции, а именно, на сколько близок будет кровоток после

реконструируемого участка к нормальному или какой тип реконструкции будет оптимальным для каждого конкретного случая.

Таким образом, математическое компьютерное моделирование течения крови является актуальной научно-практической задачей. Моделирование течения крови позволяет вычислить параметры кровотока в любой точке сосудистого русла в любой момент времени и спрогнозировать его изменение в результате реконструктивной операции.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка математической модели и программного комплекса, удовлетворяющего выше обозначенным критериям. Для достижения цели исследования рассмотрены следующие задачи:

• выполнить сравнительный анализ существующих на данный момент математических моделей и расчетных схем течения крови в артериальной системе человека.

• построить быстродействующую, многопараметрическую математическую модель течения крови в артериальном русле, применимую к сосудистому дереву произвольной конфигурации.

• разработать на базе построенной математической модели пакет прикладных программ, позволяющий моделировать различные сосудистые деревья и рассчитывать параметры течения крови в любой их части и в любой момент времени периода пульсации.

• сравнить in vivo данные с результатами моделирования исследованного участка артериальной системы.

Научная новизна.

1. Разработана одномерная линейная, многопараметрическая математическая модель, позволяющая получить аналитическое решение, в силу этого адаптируемая к большому множеству кровеносных систем, быстродействующая при ее реализации на компьютере. Модель применима к сосудистому руслу произвольной конфигурации.

2. Разработано ПО, позволяющее быстро графически строить модели артериальных систем и вычислять параметры течения крови в них. ПО имеет высокую производительность и простой удобный интерфейс.

3. Приведены in vivo данные и их сравнение с результатами компьютерного моделирования. Компьютерное моделирование на основе разработанного ПО показало результаты, близкие к эксперименту.

Теоретическая и практическая ценность работы. Пакет прикладных программ и математическая модель, описанные в данной диссертации, могут служить инструментом для выбора наиболее удачного варианта реконструктивной операции, наиболее подходящего по геометрическим размерам шунта и его материала. Одномерная математическая модель показывает результаты, мало отличающиеся от результатов трехмерного моделирования кровотока всюду, за исключением локальных участков сосудистой системы, где имеется достаточно выраженная физическая и геометрическая неоднородность.

Положения, выносимые на защиту:

1. Одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови, учитывающая углы разветвления.

2. ПО, построенное на основе одномерной математической модели, являете:* быстродействующим, требующим мало системных ресурсов, простое е обращении, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраивается под конкретный случай. Разработанная система может служить прототипом для промышленного производства такого рода программ, их внедрения в медицинские учреждения РФ или даже интеграции их в УЗ аппараты.

численного решения, а уравнения одномерной модели решаются аналитически, время вычисления для последней на несколько порядков меньше.

4. Моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции "Вычислительная механика деформируемого твердого тела" (Москва, 2006); Всероссийской научной школе-семинаре "Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2007" (Саратов, 2007); Всероссийской школе семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Дивноморск, 2007, 2008); Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (Саратов, 2007); XIII Всероссийском съезде сердечно-сосудистых хирургов в НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМН (Москва, 2007); IX всероссийской конференции по биомеханике "Биомеханика-2008" (Нижний Новгород, 2008). В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической "еории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета ймени Н.Г. Чернышевского.

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 7-и печатных работах, в том числе одна статья [2] в журнале, входящем в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Работа содержит 145 страницы машинописного текста, 69 иллюстраций, 2 таблицы и библиографический список из 133 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи, показаны новизна и практическая значимость работы, приведен!.' основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлена информация о строении кровеносной системы человека и в частности конфигурация русла бедренной артерии нижней конечности человека, кратко описано наиболее распространенное заболевание сосудов - атеросклероз. Кроме того, здесь представлено описание современных математических моделей и расчетных схем, применяемых разными авторами для вычисления или анализа параметров кровотока и напряженно деформированного состояния стенки сосуда.

Вторая глава посвящена построению математической модели движения крови в упругом изотропном сосуде. Кровь рассматривается как нютоновская жидкость. Модель строится на базе системы уравнений состоящей из следующих соотношений:

- упрощенное одномерное дифференциальное уравнение течения вязкой несжимаемой жидкости:

где 2 - скорость объемного расхода крови, Р - давление крови, (л -вязкость крови, р - плотность крови, К — радиус рассматриваемого сосуда, : - продольная координата, Г - время;

- уравнение неразрывности, которое связывает объёмный расход <2 с радиальным перемещением стенок сосуда

(1)

дн>_ ___

81 ~ 2яй 8:

динамические уравнения осесимметричного деформирования круговой цилиндрической оболочки по безмоментной теории:

, д2и 55 50 - Т0 д\у „ дг & Л &

рь

д2у дг1

= Р + -Цт IV--+ 5,

Л"

„

(3)

(4)

где А - толщина стенки сосуда, и - продольное перемещение стенки сосуда, А', и К2 - коэффициенты податливости тканей в радиальном и осевом направлениях, 5 и Т - пульсационные составляющие осевой и поперечной силы натяжения сосуда, и Та - их начальные величины;

- соотношения идеальной упругости стенок сосуда для обобщенного плоского напряженного состояния

5 =

ЕЙ

Г =

\-у1

ЕЙ 1-у1

ди 1Г --1- V —

Д" Л.

Эы IV у— + —

& г

(5)

(6)

где Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона; или известные соотношения, учитывающие анизотропию стенок сосуда. Таким образом, получается замкнутая система уравнений (1) — (6) в частных производных относительно шести неизвестных и,мг&,Т,8,Р, которая преобразуется в систему трех уравнений в частных производных для трех неизвестных функций и Q(:,t).

рН

д2и 812 "

Я 5:

УЕЬ

+ лК

дм

ЕЙ д1и

1 -V2 о:2

ЕЙ

-ПК,

л Л(1 -у2)

уЖ

ЕЙ д1и ^и1

1-И2 &2

5- лЕ2

9и> ___

Зг " 2пК д:

Затем функции и, и.(2 представляются в виде комплексного ряда Фурье: «(=,О = С/, (.-У*"',м<_,О = IV, , 0{г, О = & (г)^, ^ = 'Щ- (8)

где Г - период кровообращения. После подстановки выражений (8) в систем; уравнений (7) получается система уравнений (для простоты записи нижний индекс к у искомых функций опускается):

2и 1 -V* , 2,Т1 1-У2 м

уЕЬ

1-у

2+э0-Т0

с13}¥ 1 (№

¿г3 ^

1(акР ,

Ё1^ + КК1.КрИсо1+Т^у

ЛЯ 1 * Л

8тг,и

я-2Л45п

¿7

= -2 лШюЛУ

(9)

Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Отмечается, что искомые функции и множители являются величинами комплексными. Для того, чтобы полностью решить эту систему уравнений шестого порядка, необходимо задать шесть произвольных постоянных для каждого участка артериальной системы. Эти постоянные определяются из краевых и контактных

условий артериальной системы. Необходимо задать шесть условий для каждого участка. В качестве таких условий принимаются следующие сооьношения:

- на входе в артериальное русло:

б(о,о = бо(0, и(0) = 0,

(10)

ди &

= 0;

:=0

- на выходе из артериального русла:

Л* £(/) = ?(/), н(/) = 0,

(И)

ди &

= 0;

где / - длина сосуда.

- в точке соединения/разветвления нескольких участков артериального русла:

£а=о,

¡=1

(сумма объемных расходов входящих и исходящих равна нулю) Р1=Р, г =

и\-и{ /' = 2, и, (12)

¿ = 2 ,п,

Е// I'/

/=2

1-2

где п - количество артерий соединенных в данной точке, /, - длина окружности поперечного сечения / -го сосуда в узле ветвления. Таким образом, получается по три условия в начале и в конце артериальной системы. Чтобы система уравнений для определения произвольных констант была замкнутая, необходимо, чтобы в точке контакта на каждую из артерий приходилось по три контактных условия. Действительно, имеем одно уравнение баланса кровотоков, два осредиенных уравнения равенства продольных и поперечных усилий и по п-1 уравнению для давления и перемещений: 3 + 3(п -1) = Зп, т.е. для п артерий в узле задается 3п уравнений, по 3 на каждую артерию. Таким образом, получается замкнутая система уравнений для нахождения произвольных констант для каждой из артерий составляющих артериальную систему.

Для вычисления установившегося течения крови сначала определяется сопротивление течению в узлах разветвления с учетом углов между входящей артерией и исходящими. За основу берутся динамические контактные условия, полученные из уравнения сохранения количества движения сплошной среды:

дОI дО? дОя р ? Р ?

+ р—-созаг2£2 + р-^еоза^з - —£д + —61 соза2 +

Р 1

+ — 2з соб аъ = —- рЕ2

д\

4^1 Ри

а3 с-

51па2 —~ рРъ

го1 + о^г

эта, +

+ Р^ - Р2Е2 соьа2 - Р3Е3 соэ^з,

дО•> . „ ВО* . „ Р „2 ■ Р 2 .

зта2/2 + Р—-51па3г3 + — 02 зшаг2 + — 23 Бтагз =

дг

а,

рР2

Р^ ят аг3.

Рг

д1

4^1 Рз у

соза3 -Р2Е2 5та2 +

Члены, отвечающие не установившемуся течению, отбрасываются:

- — Qi +~Qj eosa2 + — Ql cosa^ = -— pF2

y A Fu

sin a2 -

«3

PF.з

sinof3 + P\FX -P2F2 eos«2 - Pt,F¡ cosflTj,

Ql sina2+ — Q¡ sina3 = — pF2\ — + — | eos a2 -

— pF3 í — + —1 8 F \F, F3

F, F7

cosor3 -P2F2 sina2 + ^з^з sinor3.

Далее анализируется случай, когда в узле соединены только две артерии. Слагаемые, относящиеся к третьей артерии, отбрасываются. С учетом того, что в узле осталось только две артерии и, значит, кровотоки в них одинаковы -Ql =Q2, записывается соотношение:

Бта2 + Р[- Р2Р2 соза2,

F-,

Q2 sin«, =-~pF2

Fi F2 J

Fi F2J

eos«2 - P2F2 sin ■

¿3 результате домножения первого из этих уравнений на cosa2, второго на sin а2 и их сложения получается выражение:

— Ql ~~Qi eos«2 = Р^у cosar2 -P2F2.

После выражения Q2, получается формула:

й =

/'i/'¡ cosa2 - P2F2

Р Р

—---eos от,

я л 2

(13)

Затем рассматривается следующая аналогия для артерии выходящей из узла: п

R, Q2 р ' 2С1 Q2 Р„

Rv R.

Рис. 1. Электродинамическая аналогия.

Здесь Ри - давление в конце первого участка (входящего в узел), Р№ -давление в начале второго участка (исходящего из узла), Ри — давление в конце второго участка (исходящего из узла), - сопротивление узла разветвления, Rn - Пуазейлево сопротивление второго участка, Q1 — ток на участке. В силу того, что данная схема представляет собой последовательное соединение, ток в каждой точке будет одинаковый. Тогда из закона Ома следует выражение:

0-^11 ~^о _ -Р-11 _P\\~Pi\ Ry Rn Ry +Rn

Формула (13) будет выполняться на участке с сопротивлением Ry и примет для этого участка вид:

|P11FiCosg2-P20F2

Q2= u 1 ^^ (15)

' P P

---coscr-,

F2 F{

После подстановки выражения (14) в (15) и преобразования получается соотношение:

Так как все давления здесь мало отличаются от нормального атмосферного

коэффициент

07)

"20

Подстановка соотношения (17) в (16) дает уравнение, после выражения из которого Ry получается формула:

где А: — 1 —10 2 -=- Ю-3 в силу малого перепада давления в сосудах относительно нормального атмосферного давления.

Для вычисления установившегося кровотока составляется система уравнений для всей рассматриваемой артериальной системы. В нее включаются следующие уравнения:

- Доя каждого участка уравнение связи тока и давления согласно формуле

давления, то принимается

и вводится

(18)

(14)

(19)

где к — номер сосуда входящего в узел ветвления; - номер исходящего сосуда; Рк1 - давление в конце /с-го сосуда, то есть, давление

непосредственно перед узлом ветвления; давление в конце /-го сосуда. Для входного участка системы, в силу того, что он не исходит из

Ло ~~ ?1,1

узла ветвления, записывается соотношение О, = —-.

- Для каждого узла

2Д=о, (20)

где 1к - номера артерий соединенных в узле.

- На входе в артериальную систему задается = О00, где Qйa -свободный член разложения (8).

- На выходах из артериальной системы задается Pjtl =0, где ]к - номера

артерий, которыми оканчивается рассматриваемая артериальная система (здесь Р(0 и Р:1 — соответственно значения в начале и в конце /-го

участка).

Таким образом, получается замкнутая система уравнений для вычисления установившегося течения крови в артериальном русле с учетом углов между сосудами в узлах разветвления.

Для определения этого параметра рассматривается уравнение неразрывности для г -го участка.

<4 =__1 Щ

61 2Щ & '

Здесь Я, = II,0 + V,, где Я,() - начальный радиус сосуда. Тогда уравнение можно

переписывается в виде

Данное уравнение после преобразований приводится К следующему соотношению:

дпв} = ад,

Интегрирование по dz последнего соотношения, дает формулу

Учитывая что = V,, где Г, - текущий объем сосуда, получают уравнение

^ = ШО,/)-£.(/„/)• дг

После интегрирования данного соотношения по времени, получается формула для избыточного объема крови в сосуде в конкретный момент времени

В третьей главе описана, разработанная для предлагаемой математической модели, программная система, позволяющая графически строить участок артериальной системы, в который можно включить и искусственные элементы, такие как, например, шунты, имплантаты или другие, а также задавать геометрические и механические параметры каждого сосуда модели. По заданным входным параметрам система вычисляет характеристики тока крови во всех участках модели и в любой момент времени периода пульсации. Ниже, структурировано, записаны входные и выходные данные вычислительной системы.

Входными параметрами являются геометрия артериальной системы, механические параметры крови и сосудов, входной объемный расход крови и некоторые дополнительные параметры. Геометрические характеристики могут быть получены с помощью рентгена или УЗИ аппарата. Вязкость можно получить с помощью ротационного вискозиметра при скорости сдвига 100 с"1. Необходимыми механическими параметрами сосудов являются модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Кроме того, на входе задается изменение объемного кровотока по времени Q(t). Здесь О скорость объемного расхода крови (м3/с), ? — время (с). Данный параметр может быть получен с помощью допплерографа. Дополнительные параметры, представляют собой следующие характеристики: параметры, связывающие объемный кровоток с давлением на выходах, среднее за период давление на выходах, начальное натяжение. Эти величины подбираются эмпирически, таким образом, чтобы расход крови в неизмененном русле (до оперативного вмешательства) был максимально близок реальному, который можно измерить соответствующими приборами.

Выходными данными являются:

• давление крови в артериальном русле

• объемный кровоток в артериальном русле

• скорость крови.

Результаты представляются в виде графиков зависимостей У(:, 1), Р(:, 0 и Q(z, I), где V- средняя по сечению скорость крови, Р — давление крови в сосуде, - -продольная координата. Возможно отображение как двухмерных графиков, так и трехмерных. Двухмерные графики показывают изменение по одной переменной при второй фиксированной, или анимацию при переборе допустимых значений второй координаты с заданной дискретностью. Возможен просмотр графиков для каждого участка в отдельном окне или семейство анимированных графиков для всех участков системы одновременно. В строке состояний отображаются координаты положения курсора относительно текущей координатной сетки.

В четвертой главе диссертации производится сравнение данных, полученных при помощи разработанной программы, с данными, полученными с помощью конечно-элементного моделирования, а так же с данными, полученными in vivo в клинике с ультра звукового дуплексного аппарата Toshiba Xario. Ниже приведены характерные графики сравнения для конечно-элементного моделирования и для экспериментальных данных.

■AD1NA- • - Blood Flow Modeler

0.25

0.20

о.оо «S-0.00

0.20

0.40

о.ео

0.80

1.00

Рис. 2. График зависимости скорости от времени на выходном сечений подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы и конечно-элементного пакета АйША).

Рис. 3. График зависимости скорости объемного расхода от времени на выходном сечений подколенной артерии (сравнивается результат вычислений разработанной системы с экспериментальными данными).

Раздел «Основные результаты и выводы» содержит информацию о результатах проделанной работы и выводы, сделанные на основе полученных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови. Модель применима к сосудистому дереву произвольной конфигурации. Система уравнений модели допускает аналитическое решение, в силу чего построенная на ее базе вычислительная система является быстродействующей.

2. Показано, что одномерная математическая модель в результате

вычислений дает значения, мало отклоняющиеся от результатов

вычислений, произведенных для трехмерной модели. Однако в силу того,

что математическая модель является одномерной, она не позволяет

анализировать распределение того или иного параметра в достаточно узкой

области с ярко выраженной геометрической и физической

неоднородностью, например в близи области ветвления или возле атеросклеротических бляшек. Также модель не позволяет анализировать распределение скорости по сечению и не учитывает изгибы русла.

3. На основе одномерной математической модели разработано простое в обращении программное обеспечение, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраиваемое под конкретный случай. ПО позволяет графически строить артериальное русло, имеет высокую скорость вычислений, настраиваемый пользовательский интерфейс.

4. Показано, что моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено на основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).

5. На сравнительных графиках продемонстрировано, что моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие к экспериментальным данным.

6. Приведенные в диссертации математическая модель и ПО могут служить основанием для дальнейшего клинического исследования с целью обоснования выбора метода и варианта реконструкции, типа и формы пластического материала с учетом индивидуальных особенностей артерий каждого пациента.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Елшин М. А. Основные уравнения одномерной теории динамики кровотока системах крупных артерий. // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». Труды.-Т. 1.-М.:МИИТ,2006. С,- 152-155.

2. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Постановка и решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории. // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. -2007. - Т. 7. - Вып. 1.-С. 45-48.

3. Елшин М.А. Пакет программ для вычисления кровотока в част ■ артериальной системы // Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2007». - Саратов: Изд. Саратовского университета, 2007, — С. 4145.

4. Елшин М.А. Гуляев Ю. П. Решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории с использованием ПК. // Труды III всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2007 г. - Ростов-на-Дону, 2007. - С. 33-34.

5. Елшин М.А., Гуляев Ю.П. Решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории с использованием динамических условий в узле разветвления // Труды конференции «XVIII сессия

Международной школы по моделям механики сплошной среды». СаратоЕ, 2007 г. - Саратов, 2007. - С. 112-118.

6. Елгиин МЛ. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Тезисы докладов. IX Всероссийская конференция по биомеханике «Биомеханика - 2008». Нижний Новгород, 2008. - Нижний Новгород, 2008. - С. 180-182.

7. Елшин М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Труды IV всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Дивноморск, 2008 г. - Ростов-на-Дону, 2008. - С. 42-43.

Подписано к печати 07.03.2009 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл.-печ. л. 1. Тираж 100. Заказ № 27.

Отпечатано с оригинал-макета в ООО «Принт-Клуб» 410026, г. Саратов, ул. Московская, 160. Тел.: (845-2) 507-888

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Елшин, Михаил Анатольевич

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 ОБЗОР.

1.1. СОСУДИСТАЯ СИСТЕМА ЧЕЛОВЕКА.

1.2. АТЕРОСКЛЕРОЗ.

1.3. ОБЗОР МОДЕЛЕЙ И РАСЧЕТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТОКА КРОВИ И МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СОСУДОВ.

Классические модели кровеносных сосудов.

Модель для асимптотического анализа.

Модель, использующая метод сосредоточенных параметров.

Квазиодномерное приближение.

Модель, учитывающая винтовую анизотропию.

Модель сужающихся сосудов.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

2.1. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ КРОВОТОКА В ЧАСТИ АРТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ.

2.2. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ КРОВОТОКА.

2.3. КРАЕВЫЕ И КОНТАКТНЫЕ УСЛОВИЯ.

2.4. УПРОЩЕНИЯ ПОСТРОЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПУЛЬСАЦИИ КРОВОТОКА.

2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КРОВОТОКА С УЧЕТОМ УГЛОВ РАЗВЕТВЛЕНИЙ.

2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗБЫТОЧНОГО ОБЪЕМА КРОВИ В СОСУДАХ.

ГЛАВА 3 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ.

3.1. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

3.2. МОДУЛИ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ.

3.3. ТЕХНОЛОГИИ И СРЕДСТВА РАЗРАБОТКИ.

3.4. АРХИТЕКТУРА.

3.5. АЛГОРИТМЫ.

3.6. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ.

ГЛАВА 4 РАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

4.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ КОНЕЧНО ЭЛЕМЕНТНОГО ПАКЕТА ADINA.

4.2. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИ С ПОМОЩЬЮ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ С IN VIVO ДАННЫМИ.

Введение диссертация по механике, на тему "Одномерная математическая модель динамики кровотока в русле артериальной системы человека и вариант ее практического применения"

Проведенное исследование направлено па решеиие медицинской и социальной проблемы, связанной с оптимизацией хирургического лечения расстройств кровообращения в целом и как частный случай кровообращения нижних конечностей.

Актуальность темы. Статистика утверждает, что сердечнососудистые заболевания (ССЗ) — это одна из основных причин инвалидности и преждевременной смерти жителей экономически развитых стран. На сегодняшний день доля ССЗ в структуре смертности является основной [40] и составляет от сорока до шестидесяти процентов от общей смертности [53; 3; 4]. При этом продолжается рост заболеваемости и поражение людей всё более молодого возраста, что делает сердечно-сосудистые заболевания важнейшей медико-социальной проблемой здравоохранения [9]. В наше время появление современных методов диагностики в кардиологии (ЭКГ — электрокардиография, ФКГ - фонокардиография, ангиокардиография, эхокардиография или ЭхоКГ - ультразвуковое зондирование полостей сердца, биохимические методики и др.) позволяют успешно выявлять многочисленные болезни сердца и сосудов на ранних стадиях и проводить эффективную профилактику и лечение этих заболеваний.

Наиболее частая причина нарушения кровоснабжения атеросклероз (атеротромбоз) - отложение холестерина в сосудистой стенке. Это приводит к образованию так называемых бляшек, суживающих или полностью закрывающих просвет сосуда. Подобные бляшки могут образовываться и в артериях нижних конечностей (бедренных, подколенных и берцовых артериях), суживая и в итоге закупоривая их. При сужении или окклюзии подвздошных, бедренных артерий кровь и кислород в нижние конечности поступают в недостаточном количестве, что вызывает боль. Нехватку кислорода в тканях называют ишемией. В тяжелых случаях, могут развиться трофические язвы и гангрена, что может привести к ампутации коиечпости

Сосудистые заболевания конечностей - лидирующая причина ампутаций у людей в возрасте 50 лет и старше, и занимает 90% всех ампутаций. Кроме того, повреждение сосудов может встречаться и при тяжелых (размозженных, раздробленных) травмах, глубоких ожогах и других случаях. В результате этого также наблюдается отсутствие кровоснабжения тканей конечности и их некроз. Если не удалить некротизированпую ткапь, то это чревато распространением по всему организму продуктов гниения и инфекции.

Наиболее изучены показатели смертности от сердечно-сосудистых заболеваний как проявление генерализованного атеросклероза. В Российской Федерации в 2000 г. стандартизованный показатель смертности от болезней системы кровообращения составил 800,9 на 100 000 населения. Для сравнения во Франции этот показатель 182,8 (самый низкий в Европе), в Японии — 187,4. Доказано, что снижение риска сердечно-сосудистых заболеваний в этих странах связано не столько с качеством медицинской помощи, сколько с образом жизни и особенностями диеты [2].

Заболевания артерий нижних конечностей, помимо болей при ходьбе нередко приводят к развитию критической ишемии. Обычно лечение сосудистых заболеваний состоит в назначении антибиотиков, удалении инфицированных тканей, назначение сосудистых препаратов (например, антикоагулянтов), но нередко приходится выполнять реконструктивные сосудистые операции, чтобы восстановить кровообращение в пораженной конечности. Однако, когда перечисленные мероприятия не могут помочь достичь требуемого результата, хирургу приходится прибегать к ампутации в качестве спасительной меры.

Для восстановления кровообращения нижних конечностей применяют следующие хирургические реконструктивные операции:

• Эндартерэктомия — вскрытие просвета артерии и удаление атероматозной бляшки вместе с интимой. Существуют открытый, полузакрытый и закрытый способы эндартерэктомии. Метод может быть использован при ограниченных по протяжению поражениях аорты и крупных артерий.

• Аортобедрениое шунтирование при окклюзии бифуркации аорты и подвздошных артерий (синдром Лериша) дает 85—90% хороших результатов на протяжении 5 лет со средней послеоперациоппой летальностью 1—5%.

• Подвздоишо-бедренное, бедренно-подколеиное, бедреиио-болыиеберцовое одностороннее шунтирование применяют при одностороннем поражении соответствующего сегмента.

• Профундопластика (восстановление проходимости глубокой артерии бедра) приводит к уменьшению болей, заживлению язв, сохранению конечности при облитерации бедренной артерии и сохранении проходимости артерий голени.

• Внеанатолшческое шунтирование — создание анастомозов между разными артериальными бассейнами: бедреппо-бедренпое шунтирование применяют при одностороннем поражении подвздошной артерии с хорошими результатами у 70—75% больных на протяжении 5 лет; подмышечно-бедренное шунтирование показано после удаления ипфицироваиного бифуркационного или иного протеза, когда реваскуляризация может быть выполнена только альтернативным путем.

• Протезирование с использованием аутологичных вен, аллогеппых консервированных артерий и вен, сосудистых эксплантатов применяют в артериях среднего и мелкого калибра [74].

• Артериализация венозного русла, т.е. переключение артериального кровотока в венозное русло in situ после клапанной деструкции, используется при лечении облитерирующего эндартериита.

• При невозможности выполнить реконструктивную операцию или дезоблитерацию (часто как дополнение к этим вмешательствам) выполняют поясничную симпатэктомию (операция Диеца).

Эти реконструктивные операции выполняются достаточно часто в наше время, однако на данный момент не существует объективных показаний к применению того или иного типа материала шунта и выбора его геометрических параметров. Часто невозможно также объективно предсказать результат операции, а именно, насколько близок будет кровоток после реконструируемого участка к нормальному или какой тип реконструкции будет оптимальным для каждого конкретного случая.

Таким образом, необходимым является построение математической модели, которая должна достаточно полно описывать реальное взаимодействие тока крови с сосудистой стенкой, должна быть быстродействующей и многопараметрической, легко приспосабливаемой к конкретному пациенту. Кроме того, необходимо разработать простой удобный инструмент, в данном случае это программное обеспечение (ПО) для персонального компьютера (ПК), который позволит быстро создавать и просчитывать результаты различных реконструктивных операций на сосудистом русле. ПО должно иметь простой, настраиваемый, интуитивно понятный интерфейс, обладать высокой производительностью и потреблять минимальное количество системных ресурсов компьютера.

• выполнить сравнительный анализ существующих на данный момент математических моделей и расчетных схем течения ' крови в артериальной системе человека.

• разработать па базе построенной математической модели пакет прикладных программ, позволяющий моделировать различные сосудистые деревья и рассчитывать параметры течения крови в любой их части и в любой момент времени периода пульсации.

• сравнить in vivo данные с результатами моделирования исследованного участка артериальной системы.

Положения, выносимые на защиту:

1. Одномерная, линейная математическая модель периодического течения крови, учитывающая углы разветвления.

2. ПО, построенное па основе одномерной математической модели, является быстродействующим, требующим мало системных ресурсов, простое в обращении, способное моделировать широкий спектр конфигураций сосудистых систем и легко настраивается под конкретный случай. Разработанная система может служить прототипом для промышленного производства такого рода программ, их внедрения в медицинские учреждения РФ или даже интеграции их в УЗ аппараты.

3. Моделирование течения крови с помощью разработанного пакета прикладных программ показывает результаты, близкие как к результатам полученным на базе трехмерной модели, так и к экспериментальным данным. Однако, в силу того, что уравнения трехмерной модели требуют численного решения, а уравнения одномерной модели решаются аналитически, время вычисления для последней на несколько порядков меньше.

4. Моделирование тока крови в сосудистых системах может быть осуществлено па основе in vivo данных ультразвуковой допплерографии и анализа крови пациента (анализ крови на вязкость и плотность).

Научная новизна:

1. Разработана одномерная линейная математическая модель, позволяющая получить аналитическое решение, многопараметрическая в силу этого адаптируемая к большому множеству кровеносных систем, быстродействующая при ее реализации на компьютере. Данная модель показывает результаты, мало отличающиеся от соответствующих осредиеппых результатов полученных с помощью трехмерной модели динамики кровотока.

2. Разработано ПО, позволяющее быстро графически строить модели артериальных систем и вычислять параметры течения крови в ней. ПО имеет высокую производительность и простой удобный интерфейс.

Теоретическая и практическая ценность работы. Пакет прикладных программ и математическая модель, описанные в данной диссертации, могут служить инструментом для выбора наиболее удачного 'варианта реконструктивной операции, наиболее подходящего по геометрическим размерам шунта и его материала. Одномерная математическая модель показывает результаты, мало отличающиеся от результатов трехмерного моделирования кровотока всюду, за исключением локальных участков сосудистой системы, где имеется достаточно выраженная физическая и геометрическая неоднородность.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-технической конференции "Вычислительная мехаиика деформируемого твердого тела" (Москва, 2006); Всероссийской научной школе-семинаре "Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине — 2007" (Саратов, 2007); Всероссийской школе семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Дивноморск, 2007, 2008); Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (Саратов, 2007); XIII Всероссийском съезде сердечно; сосудистых хирургов в НЦССХ им. А. Н. Бакулева РАМИ (Москва, 2007); IX всероссийской конференции по биомеханике "Биомеханика — 2008" (Нижний Новгород, 2008).

В целом работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 7-и печатных работах [14-20]. В том числе 1 статья в журнале [14], входящем в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы. Работа содержит 142 страницы машинописного текста, 66 иллюстраций, 2 таблицы и библиографический список из 133 наименований.

Заключение диссертации по теме "Биомеханика"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

2. Показано, что одномерная математическая модель в результате вычислений дает значения, мало отклоняющиеся от результатов вычислений, произведенных для трехмерной модели. Однако в силу того, что математическая модель является одномерной, она не позволяет анализировать распределение того или иного параметра в достаточно узкой области с ярко выраженной геометрической и физической неоднородностью, например в близи области ветвления или возле атеросклеротических бляшек. Также модель не позволяет анализировать распределение скорости по сечению и пе учитывает изгибы русла.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Елшин, Михаил Анатольевич, Саратов

1. Сосудистая хирургия и микрохирургия Электронный ресурс. // сайт. URL: www.angio-surgerv.ru (дата обращения 09.06.2008)

2. Википедиа Электронный ресурс. // свободная энциклопедия. URL: www.wikipedia.org (дата обращения 09.06.2008)

3. Социальное положение и уровень жизни населения России. / Госкомстат России. Официальное издание. Статистический сборник. -М., 2003.

4. Смертность населения Российской Федерации 2002 г. / Статистические материалы Минздрава России. - М., 2003.

5. М.В.Абакумов, И.В.Аишетков, Н.Б.Есикова, В.Б.Кошелев, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, В.Ф.Тшикин, А.П.Фаворский, А.Б.Хруленко Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы // Математическое моделирование. М., 2000. — Т. 12, № 2, 106-117с.

6. Абрикосов А. И., С тру ко в А. И. Патологическая анатомия Т. 2. М., 1954.

7. Аничков Н. Н. Общие основы учения об атеросклерозе артерий // Центр. Мед. Журнал. 1928. - Т. 1. №1. - С. 10.

8. Бегун П. К, Шукейло Ю. А. Био Механика. М., 2005.

9. Бокерия Я. А., Гудкова Р. Г. Здоровье населения Российской Федерации и хирургическое лечение болезней сердца и сосудов в 1998 году. М.: Изд-во НЦССХ им. А.Н. Бакулева РАМН, 1999.

10. Выльде М.В., Гуляев Ю.77. Низкочастотные осесимметричные волны в кровеносных сосудах постоянного сечения: ассимптотический подход. // Известия РАН. Серия Механика твердого тела. — Москва, 2009. (в печати).

11. Волъмир А. С., Герштейн М. С. Проблемы динамики оболочек кровеносных сосудов // Механика полимеров. 1970. - № 2. - С. 373379.

12. Гамма Э., Хелм Р., Джонсон Р., Влнссидес До/с. Приемы объектпо-ориентироваиного проектирования. Паттерны проектирования. — С.-Пб.: Питер, 2001.

13. Гуляев Ю.П., Коссович Л.Ю. Математические модели биомеханики в медицине. Саратов: Изд. Саратовского университета, 2001.

14. Елишн М.А., Гуляев Ю.П. Постановка и решение задачи определения динамики кровотока в крупных артериях по одномерной теории. // Известия Саратовского университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Саратов, 2007. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 45-48.

15. Елишн М. А. Основные уравнения одномерной теории динамики кровотока в системах крупных артерий. // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». Т. 1. М.: МИИТ, 2006. 152с.

16. Елишн М.А. Программное обеспечение для вычисления параметров кровотока в части артериальной системы. // Тезисы докладов. IX Всероссийская конференция по биомеханике «Биомеханика — 2008». Нижний Новгород, 2008. Нижний Новгород, 2008. - С. 180-182.

17. Каменский А. В. Математическое моделирование поведения бифуркации сонной артерии человека на различных стадиях атеросклеротического поражения и после операционного вмешательства. — Саратов: Изд. Саратовского университета. 2007.

18. Каменский А. В., Салъковский Ю. Е. Моделирование кровотока в сонной артерии с податливыми стенками методом конечного элемента // Математическое Моделирование и Краевые Задачи: Труды Всероссийской Научной Конференции. Самара, 2004. - Т. 1. -С. 103-106.

19. Каменский А. В., Салъковский Ю. Е. Практическое применение конечно-элементного пакета ANSYS к задачам биомеханики кровеносных сосудов. Саратов: Изд. Саратовского университета, 2005.

20. Кватрани Т. Rational Rose 2000 и UML. Визуальное моделирование. — М.: ДМК, 2001.

21. Киммел 77. UML. Основы визуального анализа и проектирования. -М.: ИТ Пресс, 2008.

22. Кириллова И. В., Морозов К. М., Каменский А. В. Биомеханика бифуркаций сонных артерий // Регионарное кровообращение и микроциркуляция. 2007. Т. 1. №21. - С. 156.

23. Кисляков Ю. Я. Статические свойства пассивных сосудов артериального типа//Биофизика. 1971. Т. 16. - № 6. - С. 1093-1099.

24. Круглински Д. Дэю., Уингоу С., Шеферд Дою. Visual С++ 6.0 для профессионалов. — С.-Пб.: Питер, 2004.

25. Ландау Л.Д., Лифишц Е.М. Гидродинамика. М., Наука, 1988.

26. Ларман К. Применение UML 2.0 и шаблонов проектирования. Введение в объектно-ориентированный анализ, проектирование и итеративную разработку. — М.: Вилиамс, 2007.

27. Леоненков А. В. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с использованием UML и IBM Rational Rose. M.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.

28. Лехтщкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.

29. Лищук В.А., Амосов Г.Г., Амосов (мл.) Г.Г., Фролов C.B. Математическая модель сосуда в частных производных // Клиническая физиология кровообращения. 2006. - Ч. 1, № 1. — С. 1 - 10.

30. Маковеев С.Н. Модель сердечно-сосудистой системы // Труды ТГТУ. Выпуск №20 / Тамбов. Издательство ТГТУ / 2007.

31. Мэйерс С. Эффективное использование С++. 55 верных советов улучшить структуру и код ваших программ. М.: ДМК пресс, 2006.

32. Осадчий Л. И., Балуева Т. В., Сергеев И. В. Эндотелийзависимый механизм формирования реакций системной гемодинамики // Рос. физиол. Жури. Им. И. М. Сеченова. 2003. - Т. 89, № 7.- С. 810-816.

33. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М: Мир, 1983.

34. Покровский А. В. Что могут сегодня сосудистые хирурги // 50 лекций по хирургии М.: Media-Medica, 2003.

35. Пономарев В. А. Программирование на С++/С# в Visual Studio .NET 2003. С.-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.

36. Прохоров А. М. Большая Советская Энциклопедия. 2-е издание, 1949-1960.

37. Пуриня Б. Я., Касьянов В. А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека. — Рига: Зинатне, 1980.

38. Саттер Г., Александреску А. Стандарты программирования на С++. -М.: Вилиамс, 2005.

39. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

40. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987.

41. Синельников Р. Д., Синельников Я. Р. Атлас анатомии человека. —2-е издание, Т. 3, М: Медицина, 1996.

42. Солтер H. А., Клепер С. Дж. С++ для профессионалов. М.: Вилиамс, 2006.

43. Страуструп Б. Дизайн и эволюция языка С++. С.-Пб.: Питер, 2006.

44. Устинов Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах. // Доклады академии наук, 2004, Т. 398, № 3, с. 1-5.

45. Фаулер M. UML. Основы. М.: Символ-Плюс, 2006.

46. ХарченкоВ. И. Смертность от болезней системы кровообращения в России и экономически развитых странах // Российский кардиологический журнал.-2005.-№ 2

47. Царев О. А. Атеросклероз аорты и периферических артерий: современные представления о патогенезе и методах лечения. — Саратов, 2001.

48. Шаллоуей A., Tpomm Дж. Р. Шаблоны проектирования. Новый подход к объектно-ориентированному анализу и проектированию. — М.: Вилиамс, 2002.

49. Шильдт Г. Полный справочник по С++. М.: Вилиамс, 2007.

50. Щупак Ю. А. Win32 API. Эффективная разработка приложений. С.-Пб.: Питер, 2007.

51. Theory and Modeling Guide / ADINA. Report ARD 06-07. 2006.

52. Adams P. The Genuine Works of Hippocrates. New York: William Wood, 1886.

53. Avolio A. Aging and wave reflection. // J. Hypertens. 1992. - V. 10. P. 83-86.

54. Bassingthwaighte J. B., Liebovitch L. S., West B. J. Fractal Physiology. // The American Physiological Society Methods in Physiology Series. — New York: Oxford University Press, 1994. P. 236-262.

55. Bathe K.-J. Finite element procedures. Englewood Cliffs, N.J.:Prentice Hall, 1996. Klaus-Jürgen Bathe, ill.; 25 cm. Revision of: Finite element procedures in engineering analysis. 1982.

56. Berge! D. H. The Static Properties of the Arterial Wall // J. of Physiol. 1961. -V. 156. P. 445-457.

57. Berger S. A., Jou L. D. Flows in Stenotic Vessels // Annu Rev Fluid Mech. 2000.-V. 32.-P. 347-384.

58. Brant A.M., ShahS. S., Rogers V. G. J., Hohhmeister J., Herman L. M., Kormos R. L., Borovetz H. S. Biomechanics of the Arterial Wall Under Simulated Conditions //J. Biomechanics. 1988. V. 21. - P. 107113.

59. Bnmey A. Professional VSTO 2005: Visual Studio 2005 Tools for Office (Programmer to Programmer). Chichester: Wrox Press Ltd. 2006.

60. Burton A. C. Physical principles of circulatory phenomena: the physical equilibria of the heart and blood vessels // Handbook of Physiology. Circulation. Amer. Physiol. Soc. 1968. S. 2. - V. 1. - P. 85-106.

61. Burton A. C. The relation of structure to function of the tissues of the wall of blood vessels // Physiol. Rev. 1954. V. 34. -N 4. - P. 619-642.

62. Carew T. E., Vaishnav R. N., Pater D. J. Compressibility and Constitutive Equation for Arterial Wall // Circ. Res. 1968. V. 23. - P. 61-68.

63. Caro C. G., Pedley T. J., Schroter R. C., Seed W. A. The Mechanics of the Circulation. Oxford: Oxford University Press, 1978.

64. Chen J., LuX.-Y. Numerical Investigation of the non-Newtonian Pulsatile Blood Flow in a Bifurcation Model With a Non-Planar Branch // Journal of Biomechanics. 2006. V. 39. - P. 818-832.

65. Chorin A. J., Marsden J. E. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd ed. - New York: Springer 1998.

66. Chuong C. J., Fung Y. C. Three-Dimensional Stress Distribution in Arteries //Journal of Biomechanical Engineering. 1983. V. 105. - P. 268274.

67. De Bakey M. E., Craford E. S. Patch Graft Angioplasty in Vascular Surgery // Journal of Cardiovascular Surgery. 1962. V. 3. - P. 106-141.

68. Delfino A. Analysis of stress field in a model of the human carotid bifurcation. Lausanne.PhD thesis #1599, 1996.

69. Demiray H., Weizsäcker H. W., Pascale K., Erbay H. A. A Stress-Strain Relation for a Rat Abdominal Aorta // J. Biomechanics. 1988. V. 21. - P. 369-374.

70. Deng S. X., Tomioka J., Debes J. C., Fung Y. C. New Experiments on Shear Modulus of Elasticity of arteries // Am. J. Physiol. 1994. V. 266. -P.H1-H10.

71. Dobrin P. B., Doyle J. M. Vascular Smooth Muscle and Anisotropy of Dog Carotid Artery // Circ. Res. 1970. V. 27. - P. 105-119.

72. C. Ebner, W. Tkalec, H.J. Nesser Three-dimensional volume measurements of plaques in the arteria carotis and the arteria femoralis // Journal of the American College of Cardiology. February 1996. V. 27. -P. 103-104.

73. Feinberg A. W., Lax H. Studies of the arterial pulse wave. // Circulation 1958.-V. 18.-P. 1125-1130.

74. Fung Y. C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissue. New York: Springer-Verlag, 1993.

75. Fung Y. C., FronekK., Patitucci P. Pseudoelasticity of Arteries and the Choice of Its Mathematical Expression // American Journal of Physiology. 1979. V. 237. - P. H620-H631.

76. Guyton A. C. Textbook of Medical Physiology. 9th. ed. Philadelphia: W. B. Saunders Company, 1996.

77. Hariton I., deBotton G., Gasser T. C., Holzapfel G. A. How to Incorporate Collagen Fibers Orientations in an Arterial Bifurcation // 3rd IASTED Conference on Biomechanics Benidorm, 2005.

78. Haust M. D. Arterial Endothelium and Its Potentials // Plenum Press. 1977. -P. 34.

79. Hildenbrandt J. Extension of small-strain theory to finite deformation of cylindrical vessels by internal overpressure // Angiologica. 1970. V. 7 - N 5. - P. 257-272.

80. Holzapfel G. A., Gasser T. C., Ogden R. W. A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models // Journal of Elasticity. 2000. V. 61. - P. 1-48.

81. Holzapfel G. A., Ogden R. W. Comparison of a Multi-Layer Structural Model for Arterial Walls With a Fung-Type Model, and Issues of Material Stability // Journal of Biomechanical Engineering. Transactions of ASME. 2004. -V. 126. P. 264-275.

82. Howard B, V., Macarak E. I., Guns on D., Kefalides N. A. Characterization of the Collagen Synthesized by Endothelial Cells in Culture // Proc. Nat. Acad. Sei. 1976. V. 73. - P. 2361-2364.

83. Humphrey J. D. Mechanics of Arterial Wall: Review and Directions // Critical Review in Biomed. Engr. 1995. V. 23. - P. 1-162.

84. Humphrey J. D., Strumpf R. K., Yin F. C. P. Determination of a Constitutive Relation for Passive Myocardium // Journal of Biomechanical Engineering. 1990. V. 112. - P. 333-346.

85. Jones R. M. Mechanics of Composite Materials. USA: Taylor & Francis, 1999.

86. Kannel W. B., Wolf P. A., McGee D. L., Dawber T. R., McNamara P., Castelli W. P. Systolic blood pressure, arterial rigidity, and risk of stroke // J. Am. Med. Assoc. 1981.-V. 245.-P. 1225-1229.

87. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego: Academic Press, 1998.

88. Kasyanov V. A., Rachev A. I. Deformation of Blood Vessels Upon Stretching, Internal Pressure, and Torsion // Mech. Comp. Mat. 1980. V. 16x. - P. 76-80.

89. Kassab G. S., Rider C. A., Tang N. J., Fung Y. C. Morphometry of Pig Coronary Arterial Trees // Am. J. Physiol. 1993. -V. 265. P. 350-365.

90. Kuchar N. R., Ostrach Biomedical Fluid Mechanics Symposium // Flow in the Entrance Regions of Circular Elastic Tubes New York, 1966.

91. Lax H., Feinberg A., Cohen B. M. The normal pulse wave and its modification in the presence of human atherosclerosis // J. Chronic. Dis. 1956, -V. 3. -P. 618-631.

92. LighthillJ. Matematical Biofluiddynamics. Philadelphia: SIAM, 1975.

93. MalekA. M., Alper S. L., Izumo S. Hemodynamics Shear Stress and Its Role in Atherosclerosis // JAMA. 1999. V. 282:21. - P. 2035-2042.101 .McDonaldD. A. Blood flow in arteries. 2nd. ed., London: Arnold, 1974.

94. MelvinJ. W., Mohan D., Wineman A. S. Mechanical characteristics of soft tissues at high strain rates // Biomechanics Symposium New York, 1975. -V. 10.-P. 75-78.

95. Meyer W. W. Zur Pathogenese der Atherosklerose // Klin. Wschr. 1952. -V. 11. (12).-P. 244-253.

96. Nichols W. W., O'Rourke M. F. McDonald's Blood Flow in Arteries // Chapter 4 London: Arnold, 1998. P. 73-97.

97. Oka S., Azuma T. Physical theory of tension in thick walled blood vessels in equilibrium//Biorheology. 1970. V. 7. - N 2. - P. 109-117.

98. Olufsen M. Modeling the arterial system with reference to an anesthesia simulator / PhD thesis. Denmark, Roskilde: IMFUFA, Roslcilde University, 1998.

99. Olufsen M. Structured tree outflow condition for blood flow in larger systemic arteries // Am. J. Physiol. 1999. V. 276. - P. 257-268.

100. Parker K. H., Jones C. J. H. Forward and Backward Running Waves in the Arteries: Analysis Using the Method of Characteristics // ASME J. Biomech. Engng. 1992. V. 114. - P. 10-14.

101. Patel D. J., Vaishnav R. N. Basic Hemodynamics and its Role on Disease Processes. Baltimore.University Park Press, 1980.

102. Pedersen E. M., SungH.-W., Burlson A. C., Yoganathan A. P. Two-dimensional velocity measurements in a pulsatile flow model of the abdominal aorta simulating different hemodynamic conditions // J. Biomech. 1993 V. 26. - P. 1237-1247.

103. Pedley T. J. Mathematical Modeling of Arterial Fluid Dynamics // Journal of Engineering Mathematics. 2003. V. 47. - P. 419-444.

104. Peskin C. S. Partial Differential Equations in Biology. New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1976.

105. Rugani F. Vascular variation: trifurcation of femoralis communis. // Atti Accad Fisiocrit Siena Med Fis., 1954. V. 1. - P. 55-57.

106. Rhodin J. A. G. Architecture of the Vessel Wall //Handbook of Physiology, the Cardiovascular System H.V. Sparks, D.F. Bohr Jr., A.D. Somlyo,S.R. Geiger. Bethesda, Maryland: Americal Physiological Society, 1980. P. 1-31.

107. Simon B. R., Koboyashi A. S., Strandness D. E., Wiederhielm C. A. Réévaluation of arterial constitutive relations. A finite-deformation approach // Circulation Res. 1972. V. 30. - N 4. - P. 491-500.

108. Spencer A. J. M. Deformations of Fibre-reinforced Materials. -Oxford: Clarendon Press, 1972.

109. Streeter V. L. Keitzer W. F., Bohr D. F. Pulsatile pressure and flow through distensible vessels // Circulation Res. 1963. V. 13. - N 1. - P. 3-20.

110. Takamizawa K., Hayashi K. Strain Energy Density Function and Uniform Strain Hypothesis for Arterial Mechanics // J. Biomech. 1987. V. 20. - P. 7-17.

111. Tambasco M., Steinman D. A. Path-Dependent Hemodynamics of the Stenosed Carotid Bifurcation // Annals of Biomedical Engineering. 2003. -V. 31. P. 1054-1065.

112. Taylor L. A., GerrardJ. H. Pressure-radius relationsips for elastic tubes and their application to arteries. Part 1. Theoretical relationships // Med. Biol. Eng. Comput. 1977. V. 15. - N 1. - P. 11-17.

113. Thubrikar M. J., RobicsekF. Pressure-Induced Arterial Wall Stress and Atherosclerosis // Ann. Thorac. Surg. 1995. V. 59. - P. 1594-1603.

114. Tropea B. I., Schwarzacher S. P., Chang A. Reduction of Aortic Wall Motion Inhibits Hypertension-Mediated Experimental Atherosclerosis // Artherioscler. Thromb. Vase. Biol. 2000. V. 20. - P. 2127-2133.

115. Vaishnav R. N., Young J. T., Patel D. J. Distribution of Stresses and of Strain-Energy Density Through the Wall Thickness in a Canine Aortic Segment // Circ. Res. 1973. V. 32. - P. 577-583.

116. Voltairas P. A., Fotiadis D. I., Massalas C. V., Michalis L. K. Anharmonic Analysis of Arterial Blood Pressure and Flow Pulses // Journal of Biomechanics. Elsevier, 2005. - V. 38. - P. 1423-1431.

117. Waters S. L. Solute Uptake Through The Walls of a Pulsating Channel // J. Fluid Mech. 2001. V. 433. - P. 193-208.

118. Weinbaum S., Tzeghai G., Ganatos P. Effect of Cell Turnover and Leaky Junctions on Arterial Macromolecular Transport // Am. J. Physiol. 1985. -V. 248. P. H945-H960.

119. Wepfer J. Observatio Anatomica Zurich. 1704.